AD1_2020_1_Solucao_criterio ALgebra 1 Cederj

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AD1
{Álgebra 1}
Universidade do Federal Estado do Rio de Janeiro
Professor: Gladson Antunes – 2020.1
Questão 1. [2,5 pontos] Ache a fórmula fechada para a soma
n∑
i=2
1
(i− 1) i
,
para todos os inteiros n ≥ 2 e prove o seu resultado por indução matemática.
Solução:
Veja que para n = 2, 3 e 4 têm-se:
2∑
i=2
1
(i− 1) i
=
1
1 · 2
=
1
2
3∑
i=2
1
(i− 1) i
=
1
1 · 2
+
1
2 · 3
=
1
2
+
1
6
=
2
3
4∑
i=2
1
(i− 1) i
=
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+
1
3 · 4
=
2
3
+
1
12
=
3
4
agora note que
1
2
= 1− 1
2
,
2
3
= 1− 1
3
e
3
4
= 1− 1
4
. Tal observação nos leva a conjecturar que
n∑
i=2
1
(i− 1) i
= 1− 1
n
, qualquer que seja o n ≥ 2. (1)
Vamos agora provar por indução matemática a afirmação em (1).
Já verificamos acima que a afirmação é válida para n = 2. Como hipótese de indução vamos supor
que a afirmação é válida para n = k, isto é,
k∑
i=2
1
(i− 1) i
= 1− 1
k
.
Temos então que verificar que a afirmação ainda é válida para n = k + 1. De fato,
k+1∑
i=2
1
(i− 1) i
=
k∑
i=2
1
(i− 1) i
+
1
k (k + 1)
=
= 1− 1
k
+
1
k (k + 1)
=
k − 1
k
+
1
k (k + 1)
=
=
(k2 − 1) k + k
k2 (k + 1)
=
k (k2 − 1 + 1)
k2 (k + 1)
=
k
k + 1
= 1− 1
k + 1
,
obtendo assim o resultado desejado.
Critério de correção
• 0, 5 ponto se testou a fórmula para alguns valores de n;
• 0, 5 se obteve a fórmula fechada;
• 0, 5 se verificou a validade da fórmula obtida para n = 2;
• 0, 5 para a formulação correta da hipótese de indução;
• 0, 5 para o restante da solução.
Questão 2. [2,5 pontos] Seja n ≥ 1. Prove que:
(a) 23n − 1 é sempre divisível por 7;
(b) 2n + (−1)n+1 é sempre divisível por 3.
Solução:
(a) De fato, faremos a prova por indução sobre n. Para n = 1
23 − 1 = 7
e portanto o resultado vale para n = 1.
Tomemos para hipótese de indução que 7 divide 23k − 1, isto é, existe um inteiro a tal que
23k − 1 = 7a.
Provemos que 7 divide 23(k+1) − 1. Para isto, note que
23(k+1) − 1 = 23k · 23 − 1︸ ︷︷ ︸
Utiliza-se aqui a hipótese de indução: 23k=7a+1
= (7a+ 1) · 23 − 1 = 8 · 7a+ 23 − 1 = 7 (8a+ 1)
Ou seja, existe a = 8a+ 1 tal que
23(k+1) − 1 = 7a,
mostrando que 7 divide 23(k+1) − 1.
(b) Para n = 1 tem-se que 2 + (−1)2 = 3. OK!
Hipótese de Indução: Existe um inteiro a tal que
2k + (−1)k+1 = 3a.
Para n = k + 1 tem-se:
2k+1 + (−1)k+1+1 = 2k+1 + (−1)k+1 (−1) = 2k+1 +
(
3a− 2k
)
(−1) = 2k+1− 3a+2k = 2k (1 + 2)−
3a = 3
(
2k − a
)
. Ou seja, existe um inteiro a = 2k − a tal que
2k+1 + (−1)k+1+1 = 3a,
que mostra o resultado desejado.
Critério de correção
(a)
• 0, 25 se verificou a afirmação para n = 1;
• 0, 5 para a formulação correta da hipótese de indução;
2
• 0, 5 para o restante da solução.
(b)
• 0, 25 se verificou a afirmação para n = 1;
• 0, 5 para a formulação correta da hipótese de indução;
• 0, 5 para o restante da solução.
Questão 3. [2,5 pontos] Considere a e b inteiros quaisquer e n ∈ N. Utilizando indução matemática
prove que
a+ b divide a2n − b2n.
Solução:
Para n = 1 temos que a2n − b2n = a2 − b2 = (a− b) (a+ b) o que mostra que a+ b divide a2 − b2.
Como hipótese de indução vamos admitir que a + b divide a2n − b2n, isto é, existe k ∈ Z tal que
a2n − b2n = k (a+ b).
Mostremos que a afirmação pe válida para n+ 1, isto é, a+ b divide a2(n+1) − b2(n+1).
De fato,
a2(n+1) − b2(n+1) = a2na2 − b2nb2 =
= [b2n + k (a+ b)] a2 − b2nb2 =
b2n (a2 − b2) + k (a+ b) a2 =
= (b2n (a− b) + ka2) (a+ b) ,
que nos mostra que existe k′ = b2n (a− b) + ka2 tal que a2(n+1) − b2(n+1) = k′ (a+ b), ou seja, a + b
divide a2(n+1) − b2(n+1) e sendo assim, pelo princípio da indução matemática, a afirmação vale qualquer
que seja o n ∈ N.
Critério de correção
• 0, 5 se verificou a afirmação para n = 1;
• 0, 5 se fez a formulação correta da hipótese de indução;
• 1, 5 para o restante da solução.
Questão 4. [2,5 pontos]
(a) [1,5 pontos] Mostre que se m e n são inteiros positivos, então
mdc(2m, 3n) = 1.
(b) [1,0 ponto] Mostre que se a, b e c são inteiros tais que a | bc e mdc(a, b) = 1, então a | c.
Solução:
(a) Observe, inicialmente, que, como 3n = 3 · 3 · ... · 3 (n fatores) e 2 é primo e diferente de 3, então,
pelo lema 1 da aula 8, 2 - 3n.
• Nenhum múltiplo de 2 é divisor de 3n
De fato, suponhamos que exista um inteiro q tal que 2q | 3n. Então existe um inteiro k tal que
3n = (2q)k = 2(qk) e, portanto, 2 | 3n, contradizendo o que foi provado acima.
Conclusão: Nenhum múltiplo de 2 é divisor de 3n.
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• Por outro lado, note que D(2m) = {±1,±2,±22,±23, ...,±2m}
Dessa forma, tem -se que D(2m) ∩D(3n) = {±1} e, portanto, mdc(2m, 3n) = 1.
(b) Como mdc(a, b) = 1, então existem inteiros r e s tais que ar + bs = 1 e, portanto, acr + bcs = c.
Como a | bc, existe um inteiro q tal que bc = aq. Assim
c = acr + bcs = acr + aqs = a(cr + qs) = aq,
e,portanto, a | c.
Critério de correção
(a)
• 0, 5 se justificou corretamente que 2 - 3n;
• 0, 5 mostrou corretamente que nenhum múltiplo de 2 é divisor de 3n.;
• 0, 5 pela conclusão correta.
(b)
• 0, 5 se percebeu que deverão existir inteiros r e s tais que ar + bs = 1;
• 0, 5 pela conclusão correta.
Atenção: Entrega da AD1 exclusivamente via postagem pela Plata-
forma até o dia 08 de março.
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