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Probabilidade - Parte IV
Luis A. Toscano
EST - UFMG
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
Frequentemente, iniciamos a analise com estimativas da
probabilidade inicial ou a priori, P(A).
Dada nova informac¸a˜o, atualizamos os valores da
probabilidade previa calculando as probabilidades revisadas,
chamadas probabilidade a posteriori, P(A|B).
O teorema de Bayes constitui um meio de efetuarmos esses
ca´lculos de probabilidade.
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Teorema de Bayes
Pela regra da Multiplicac¸a˜o sabemos que
P(A ∩ B) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B |A)
Pela regra da Probabilidade Total sabemos que
P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ Ac)
= P(B |A)P(A) + P(B |Ac)P(Ac)
Rearranjando a u´ltima igualdade temos o Teorema de Bayes
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
=
P(B |A)P(A)
P(B |A)P(A) + P(B |Ac)P(Ac)
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Teorema de Bayes
Exemplo
Num certo estado onde os automo´veis devem ser testados quanto a`
emissa˜o de gases poluente, 25% de todos os automo´veis emitem
quantidades excessivas de gases poluente.
Ao serem testados, 99% de todos os automo´veis que emitem
quantidades excessivas de gases poluente sa˜o reprovados, mas 17%
dos que na˜o emitem quantidades excessivas de gases poluente
tambe´m sa˜o reprovados.
Qual e´ a probabilidade de um automo´vel que e´ reprovado no teste
efetivamente emitir uma quantidade excessiva de gases poluente?
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Teorema de Bayes
Podemos sempre usar a Regra da probabilidade total para
calcular a probabilidade do denominador.
Temos o seguinte resultado geral.
Teorema de Bayes
Sejam E1, . . . ,En eventos mutuamente excludentes e exaustivos.
Seja B um evento qualquer com P(B) > 0 temos enta˜o que
P(Ei |B) =
P(B |Ei )P(Ei )
P(B |E1)P(E1) + P(B |E2)P(E2) + · · ·+ P(B |En)P(En)
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Teorema de Bayes
Exemplo
Considere uma firma de manufatura que recebe remessas de pec¸as de dois
diferentes fornecedores.
Atualmente, 65% das pec¸as pela empresa sa˜o do fornecedor 1 e os
restantes 35% sa˜o do fornecedor 2.
A qualidade das pec¸as compradas varia de acordo com a fonte de
fornecimento.
Os dados histo´ricos sugerem que as avaliac¸o˜es da qualidade dos dois
fornecedores sa˜o dada na tabela abaixo.
% de pec¸as boas % de pec¸as Ruins
Fornecedor 1 98 2
Fornecedor 2 95 5
Suponha que as pec¸as recebidas dos dois fornecedores sa˜o usadas no
processo manufatureiro da firma e que uma maquina se quebre ao tentar
processar uma pec¸a ruim.
Dada a informac¸a˜o que a pec¸a e´ ruim, qual e´ a probabilidade de ela ter
vindo do fornecedor 1 e de ter vindo do fornecedor 2?
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Teorema de Bayes
Exemplo
Numa fabrica de enlatados, as linhas de produc¸a˜o I, II e III respondem
por 50, 30 e 20% da produc¸a˜o total.
Se 0, 4% das latas da linha I sa˜o lacradas inadequadamente e as
porcentagem correspondente a`s linha II e III sa˜o de 0, 6% e 1, 2%,
respectivamente.
Escolhido uma lata produzido pela treˆs linhas de produc¸a˜o, qual e´ a
probabilidade da lata estar lacrada inadequadamente (e descoberta na
inspec¸a˜o final de produtos prontos).
Qual e´ a probabilidade de uma lata lacrada impropriamente provir da
linha de produc¸a˜o I?
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Teorema de Bayes
Exemplo
A administrac¸a˜o de um fundo de investimento em ac¸o˜es pretende
divulgar, apo´s o encerramento do prega˜o, a probabilidade de queda de um
ı´ndice da bolsa no dia seguinte, baseando-se nas informac¸o˜es dispon´ıveis
ate´ aquele momento.
Suponha que a previsa˜o inicial seja de 0,10.
Apo´s encerrado o prega˜o, nova informac¸a˜o sugere uma alta do frente ao
real.
A experieˆncia passada indica que, quando houve queda da bolsa no dia
seguinte, 20% das vezes foram precedidas por esse tipo de not´ıcias,
enquanto, nos dias em que a bolsa esteve em alta, apenas em 5% das
vezes houve esse tipo de not´ıcia no dia anterior.
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Teorema de Bayes
Exemplo (Continuac¸a˜o)
Supoha, agora, que horas depois suja nova informac¸a˜o relevante: o Banco
Central ira´ reduzir a taxa de juros vigente a partir do dia seguinte.
O interesse sera´ saber como essa informac¸a˜o afetara a probabilidade
calculada anteriormente.
Informac¸o˜es passadas mostram que, dado que tenha havido alta do dolar
e queda da bolsa, 10% das vezes foram precedidas por noticias de queda
de juros, enquanto, dado que tenha havido alta do dolar e alta da bolsa,
60% das vezes foram precedidas de queda dos juros.
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