PE-Apostila MAF1730- ZEZÉ e MARIA HELENA (1)

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 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS 
 ESCOLA DE CIÊNCIAS EXATAS E DA COMPUTAÇÃO 
 
 
 
 ELABORADA POR: MARIA JOSÉ PEREIRA DANTAS 
 MARIA HELENA RAMOS BITTENCOURT 
 
 
 
MAF1730 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
 
• NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
 
• VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
• CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR 
 
 
 
 
ALUNO(A): .................................................................................. MATRÍCULA: ............................... 
MAF1730 – TURMA: ........... SALA ............ ÁREA ............ BLOCO ............ 
 
PROFA. . MARIA HELENA RAMOS BITTENCOURT 
 
 
 
 
2019/2 
MAF1730 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - 2019/2 
 
MARIA JOSÉ PEREIRA DANTAS E MARIA HELENA RAMOS BITTENCOURT 
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MARIA JOSÉ PEREIRA DANTAS E MARIA HELENA RAMOS BITTENCOURT 
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NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
 
Assuntos: EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS, ESPAÇO AMOSTRAL, EVENTOS E 
CÁLCULOS DE PROBABILIDADES 
 
 
“Um engenheiro é alguém que resolve problemas de interesse da sociedade, pela aplicação 
eficiente de princípios científicos.” 
 
 
 Objetivos: Obtenção de conceitos para o desenvolvimento de raciocínio probabilístico útil 
na solução de problemas que envolvam variabilidade e incerteza, conhecimento e aplicação dos 
modelos probabilísticos que são adequados para modelar o comportamento de muitos sistemas do 
mundo real, e obtenção de fundamentos para os métodos estatísticos que serão estudados no curso. 
 
 De forma geral, os modelos probabilísticos e os métodos estatísticos auxiliam os projetistas 
na construção ou modificação de sistemas complexos, descritos por variáveis e parâmetros que 
envolvem alguma incerteza e variabilidade, de tal forma que seja possível se chegar em resultados 
implementáveis (analisando desempenho, confiabilidade e custo). 
 Cientistas e Engenheiros de Computação utilizam a Probabilidade e Estatística para 
fazerem análises de algoritmos e sistemas computacionais. Engenheiros de Rede para analisarem 
comportamento de protocolos, algoritmos de roteamentos, congestionamentos em redes. Por outro 
lado, sistemas de computadores e redes estão sujeitos às falhas, e os estudos de confiabilidade, 
também, têm suporte na teoria das probabilidades e em técnicas estatísticas. 
 Por exemplo, antes de se fazer a análise de um algoritmo (ou protocolo) ou um sistema, 
vários modelos de probabilidade devem ser especificados. Mas, a questão relevante aqui é: como 
identificar os modelos adequados? Para o estudo do sistema (ou algoritmo) é possível coletar dados 
durante a sua operação. As medidas podem ser coletadas por monitores de hardware, monitores de 
software, ou ambos. Os dados podem ser analisados para se investigar que modelos podem ser 
utilizados. A Estatística Matemática disponibiliza técnicas para se viabilizar a investigação dos 
modelos, tais como planejamento de experimentos, testes de hipótese, estimação, análise de 
regressão, entre outras. Com alguns poucos modelos é possível descrever muitas situações reais e os 
problemas ficam relativamente simples. 
 
 Exemplo: Quando se considera a análise de um servidor de web, disponível para um grande 
número de usuários, muitos fenômenos aleatórios devem ser considerados. Primeiro, o padrão de 
chegadas de requisições de serviço possui comportamento aleatório devido à quantidade e 
diversidade de usuários. Segundo, as requisições de serviço diferem quanto aos recursos que 
demandam e ao tempo de duração; apresentando, também, comportamento que envolve incerteza e 
variabilidade. Por último, os recursos do servidor de web estão sujeitos a falhas que ocorrem 
aleatoriamente devido à atuação conjunta de uma série de fatores. Cada vez mais, solicita-se o 
desenvolvimento de projetos e de produtos para satisfazer a necessidade dos usuários a um custo 
competitivo. A garantia de qualidade de serviço (congestionamentos, atrasos em chamadas, perdas 
de chamadas; dentro de limites aceitáveis) depende do uso de modelos capazes de descrever de 
forma realística toda essa variabilidade. 
 Além disso, os métodos estatísticos, que têm seus fundamentos na teoria das probabilidades, 
foram incorporados nos processos industriais, logo após a Revolução Industrial, para garantir a 
qualidade dos produtos. Atualmente, a avaliação de qualidade passou a ser feita ao longo de todo o 
processo produtivo, de forma preventiva. Em decorrência, os resultados mostram produtos com mais 
qualidade e com menor custo, pois se reduziram drasticamente as perdas por defeitos. Hoje, as 
indústrias controlam seus processos e obtêm dados através de pesquisas de levantamento e de 
experimentos, utilizando largamente a estatística como ferramenta. 
 Na verdade, os próprios métodos da Engenharia já incorporam intrinsecamente 
procedimentos probabilísticos ou estatísticos. 
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MODELOS 
 
 Um modelo é uma descrição ou uma representação simplificada de um sistema. Pode ser 
uma maquete, uma equação matemática ou mesmo um programa de computador. 
 Conforme J. Neymann, toda a vez que empregar Matemática com a finalidade de se estudar 
algum fenômeno deve-se começar por construir um modelo matemático, que pode ser 
determinístico ou probabilístico. 
 Durante a modelagem são feitas diversas hipóteses simplificadoras devido à impossibilidade 
de se considerar todos os detalhes do sistema no modelo. 
 Ao se construir um modelo uma das tarefas mais difíceis é a decisão sobre que elementos do 
sistema devem ser incluídos no modelo. A inclusão de um detalhe supérfluo pode causar um gasto de 
recursos desnecessários. Por outro lado, a exclusão de um elemento relevante pode conduzir a uma 
solução que não resolve o problema. 
 Assim, a modelagem de um sistema pode ser vista como uma “simplificação” que descarta 
as características julgadas irrelevantes, capturando o que é essencial no sistema a ser representado. 
 Os modelos matemáticos por sua vez podem ser reproduzidos por sistemas computacionais 
através de modelos de simulação por computador. Em geral, os modelos de simulação podem 
reproduzir os modelos matemáticos e, ainda, são capazes de representar os sistemas físicos mais 
complexos, com mais detalhes que os modelos matemáticos. E algumas vezes são preferidos. 
 
• Modelo determinístico: conhecendo-se as entradas x1, x2,..., xn é possível chegar 
a um resultado exato y, usando uma função y = f (x1, x2,..., xn). 
 
Exemplo: Lei de Ohm, dados x1 = tensão, x2 = resistência, y = fluxo de corrente, 
y = f(x1, x2), define-se . 
• Modelos probabilísticos: nesse caso, não é possível se chegar a um resultado 
exato, pois se associam às entradas algum tipo de incerteza ou variabilidade. Mas, pode-se 
determinar o conjunto de resultados possíveis e a chance (ou a probabilidade) de cada resultado em 
particular, devido ao que chamamos regularidade estatística, ou seja, os resultados, mesmo variáveis, 
apresentam um padrão de comportamento, que pode ser capturado por um modelo matemático. 
 
 Não existe um modelo determinístico para se determinar o número de pacotes que chegam 
em um servidor por segundo. As fontes possuem um comportamento variável e a demanda flutua ao 
longo do tempo. Neste caso, utiliza-se um modelo probabilístico. Sob certas condições e admitindo-
se uma taxa média de chegadas por segundo, é possível calcular a probabilidade de se chegar 
exatamente k pacotes num dado segundo, usando o modelo de Poisson (este modelo será estudado 
mais tarde). 
 
 Exemplos de situações que envolvem algum tipo de incerteza ou variabilidade. 
 
• Calcular a vazão, tempo de resposta, ociosidadede um servidor de comércio 
eletrônico de uma empresa em função da demanda 
• Calcular o número de caixas de um banco para atender a demanda dos clientes, 
considerando uma dada qualidade de serviço. 
• Projetar um sistema de comunicações que esteja livre de erros considerando 
que os canais estão sujeitos a interferências e ruídos. 
• Projetar um sistema de reconhecimento de voz que decodifique suas entradas 
com alta confiabilidade. 
• A operação de um sistema depende da operação de alguns ou todos os seus 
componentes. Não é possível predizer exatamente quando um componente irá falhar. A teoria 
das probabilidades permite a avaliação de medidas de confiabilidade tais como o tempo médio 
entre falhas e a probabilidade de todos os componentes estarem funcionando após certo 
período de tempo. É possível assim, avaliar um sistema do ponto de vista de confiabilidade, e 
então, projetar sistemas que sejam mais confiáveis. 
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 Terminologia 
 EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 
 Um experimento aleatório pode ser pensado como um teste para demonstrar uma afirmativa, 
examinar a validade de uma hipótese, ou para determinar a eficácia de alguma coisa nunca tentada 
previamente. Exemplos desse tipo de experimento são: jogar uma moeda, lançar um dado, ou ainda o 
sorteio cego de uma bola a partir de uma urna com múltiplas bolas coloridas. Um ingrediente 
fundamental na teoria da probabilidade é a noção de um experimento que, hipoteticamente, pode ser 
repetido sob condições essencialmente idênticas, mas com resultados diferentes. Quando se diz que é 
possível repetir um experimento sob condições essencialmente idênticas, naturalmente, está se 
pensando no controle de certo número de fatores. São justamente esses fatores não controlados 
(chamados de variáveis de confusão, variáveis estranhas ou variáveis espúrias) que irão construir a 
aleatoriedade do fenômeno. 
 
 Regularidade estatística: Suponha que um experimento aleatório 
seja repetido n vezes sob as mesmas condições. Se observarmos um particular conjunto de resultados 
A, a frequência relativa de A, tende a se estabilizar em torno de um valor constante à 
medida que n tende para o infinito, ou seja, quando se repete um experimento um número 
suficientemente grande de vezes (passagem ao limite), é possível, na equação acima, substituir a 
expressão “frequência relativa” por “probabilidade” com erro desprezível. 
 
 
Exercício: Simular o lançamento de uma moeda 1000 vezes e calcular a frequência relativa do 
resultado A = {cara}. 
Reguralidade estatística 
E = lançamento de uma moeda
P(cara) = 0,5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 200 400 600 800 1000
n (número de repetições)
fr
(A
)
 
 
 
Exemplos de experimentos aleatórios não-triviais: 
 
 (E1) Contar o número de mensagens que são transmitidas corretamente por dia em uma rede de 
computadores. 
(E2) Medir o tempo para carregar uma página da web. 
(E3) Contar o número de pacotes de voz contendo somente silêncio e produzidos por um grupo 
de N-usuários em um período de 10 ms. 
(E4) Contar o números de capacitores fora da especificação em uma amostra de 20 
componentes. 
(E5) Medir o tempo de vida do chip de memória de um dado computador em um ambiente 
específico. 
(E6) Um bloco de informações é repetido sobre um canal ruidoso até que seja recebido sem 
erro pelo receptor. Contar o número de transmissões requeridas. 
 
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(E7) Medir o tempo entre as chegadas de duas mensagens. 
(E8) Escolher um número aleatório X entre 0 e 1 e então escolher outro número aleatório Y 
entre 0 e X. 
(E9) Um componente é instalado em um sistema no tempo t = 0. Para t  0, X(t) = 1 se o 
componente está funcionando, e X(t) = 0 se o componente está fora de serviço. 
(E10) Numa linha de produção, em um período de 1 hora, 5 peças inspecionadas. As peças são 
etiquetadas com (D) se são defeituosas e com (P) se são perfeitas. 
 
 
 ESPAÇO AMOSTRAL 
 
 Um espaço amostral de um experimento é o conjunto formado por todos os resultados 
possíveis e depende do tipo de observação que é realizada quando da realização de experimento. 
Denota-se por S ou . 
 No experimento lança se uma moeda e: 
 (1) Registra-se a face voltada para cima, o espaço amostral é S = {C, K} 
 (2) Conta-se o número de caras, o espaço amostral é S = {0, 1} 
 
 Podemos observar que espaços amostrais podem ser numéricos (2) ou não-numéricos (1). No 
último caso, para se chegar a um modelo matemático é necessário transformar o espaço não-
numérico em um espaço numérico. 
 Além disso, os espaços podem ser: 
 Espaços discretos 
• Finitos. São os espaços contáveis. 
• Infinitos enumeráveis (seus elementos podem ser enumerados) 
 
 Espaços contínuos 
• Infinitos não-enumeráveis (ou não contáveis). 
 
 Na construção de modelos probabilísticos para espaços discretos usamos as técnicas de 
contagem provenientes da análise combinatória. No caso de espaços contínuos usamos resultados do 
cálculo diferencial e integral. 
 
 Veja a seguir os espaços amostrais associados aos exemplos dos diferentes experimentos 
aleatórios anteriores: (Pág. 04) 
 (E1), S1 = {0, 1, 2, ... }, infinito enumerável. 
 (E2), S2 = {t   / t  0}, infinito não-enumerável 
 (E3), S3 = {0, 1, 2, ..., N}, finito 
 (E4), S4 = {0, 1, 2, ..., 20} 
 (E5), S5 = {t   / t  0} 
 (E6), S6 = {1, 2, 3, ... } 
 (E7), S7 = {t   / t  0} 
 (E8), S8 = {(x, y) / 0  y  x  1} 
 (E9), S9 = { x / x = 1 para 0  t  to e x = 0 para t  to , onde to é o momento onde ocorre a 
falha} 
 (E10) = {DDDDD, ... (*), PPPPP}, neste caso o espaço possui 25 pontos e a árvore de 
possibilidades pode ser utilizada para obter os pontos em (*). 
 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
 Determinar o espaço amostra dos experimentos seguintes: 
(E1) Jogar uma moeda e observar a face voltada para cima. 
(E2) Lançar um dado e observar a face voltada para cima. 
 
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(E3) Jogar três moedas e observar as faces voltadas para cima. 
(E4) 6Jogar três moedas e observar o número de caras voltadas para cima. 
(E5) Jogar dois dados e observar a soma de pontos obtidos nas faces voltadas para cima. 
(E6) Observar o resultado de uma partida de futebol. 
(E7) Observar o resultado do concurso vestibular. 
(E8) Observar o resultado de um candidato que concorre a um cargo eletivo. 
(E9) Observar as possibilidades que o motorista tem quando chega a um cruzamento. 
(E10) Observar o número de filhos de uma pessoa. 
(E11) Uma lâmpada nova é ligada e observar o tempo gasto até queimar. 
(E12) Observar o número de peças defeituosas num intervalo de uma hora em determinada linha de 
produção. 
(E13) Numa entrevista telefônica com 200 assinantes, pergunta-se se o proprietário possui celular ou 
não. 
(E14) Um grupo com 4 pessoas: A, B, C e D sortear duas pessoas, uma após outra, com reposição. 
(E15) O mesmo enunciado anterior, mas sem reposição. 
(E16) Uma urna contém duas bolas brancas e três vermelhas. Retirar uma bola ao acaso da urna, se 
for branca, lançar uma moeda e se for vermelha ela é devolvida à urna e retirada outra bola. 
 
Respostas: 
(E1) → S1 = {c, k} 
(E2) → S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
(E3) → S3 = {CCC, CCK, CKC, KCC, CKK, KCK, KKC, KKK} 
(E4) → S4 = {0, 1, 2, 3} 
(E5) → S5 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 
(E6) → S6 = {Ganhou, Perdeu, Empatou} 
(E7) → S7 = {Aprovado, Reprovado} 
(E8) → S8 = {Ganhou, Perdeu} 
(E9) → S9 = {Direita, Esquerda, em Frente} 
(E10) → S10 = {0, 1, 2, ..., m} 
(E11) → S11 = {t Є !R | t ≥0} 
(E12) → S12 = {0, 1, 2, ..., m} 
(E13) →S13 = {Sim, Não} 
(E14) → S14 = {AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD} 
(E15) → S15 = {AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC} 
(E16) → S16 = {BC, BK, VB, VV} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EVENTOS 
 
 Para se tomar decisões estamos interessados em um conjunto de resultados (evento) do 
experimento aleatório. Por exemplo, no experimento E10 (pág. 5) a decisão pode ser: parar a linha de 
produção se mais de um defeito for registrado nas peças inspecionadas. 
 Um evento, então, é um subconjunto do espaço amostral, ou seja, é uma coleção de 
resultados. Todos os conceitos da teoria de conjuntos podem ser aplicados a eventos. São denotados 
pelas letras maiúsculas e iniciais do nosso alfabeto. 
 
 
 C 
 B K 
 
 B 
 
 V V 
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 São válidas, para os eventos, as operações com conjuntos. 
 
 DIAGRAMA DE VENN: é um diagrama que permite a representação geométrica dos 
conjuntos. O conjunto universal (neste caso o espaço amostral S) é representado por um retângulo, e 
os subconjuntos (neste caso os eventos) são representados por círculos. Na figura abaixo 
representam-se dois subconjuntos A e B sombreados, a área duplamente hachurada representa a 
interseção AB e a área sombreada total representa a união AB. 
 
 
 REUNIÃO OU UNIÃO 
 A união de dois conjuntos quaisquer A e B, denotada por A U B, é o conjunto dos elementos 
x tais que x pertence a pelo menos um dos dois conjuntos A e B, ou seja, x Є A U B se e somente se 
x Є A V x Є B. 
c 
 
 
INTERSECÇÃO 
A interseção de dois conjuntos quaisquer A e B, denotada por A∩B, é o conjunto dos 
elementos x tais que x pertence a ambos os conjuntos A e B. Em símbolos, A∩B = {x |(x Є A 
) /\ (x Є B)}, ou {x Є A | x Є B}. Se A∩B = ø, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. 
 
 
 COMPLEMENTAR DE A ( ) = S – A 
 
 _ 
DIFERENÇA (A – B) = (A∩B) = A – (A∩B) 
 Se A e B são conjuntos, o complemento relativo de B em A é o conjunto A – B, definido por: 
 
 A – B = {x Є A | x B} 
 
 
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 Dizemos que um evento ocorre quando um dos resultados que compõem ocorre. Veja os 
conceitos sobre tipos de eventos 
• Eventos mutuamente exclusivos , ou seja, quando um ocorre o outro 
não ocorre. 
• Eventos complementares tais que e 
• Eventos dependentes: quando a ocorrência de um influencia a probabilidade de 
ocorrência do outro. 
• Eventos independentes: quando a ocorrência de um em nada interfere na 
ocorrência do outro. 
 
 Alguns exemplos de eventos: 
 Para o E1 (pág. 5), podemos definir A1 = {nenhuma mensagem foi transmitida com erro} ou 
{todas sem erro}. Nesse caso, se são transmitidas N mensagens, A1 = {N}. 
 Para o E4 (pág. 5), podemos definir A4 = {no máximo 1 capacitor está fora das 
especificações}. Nesse caso os elementos de A4 são: A4 = {0,1}. 
 
 Propriedades: 
Seja S um conjunto e A, B e C subconjuntos de S, então, temos: 
 (a) Os elementos neutros: A U ø = A A ∩ S = A 
 (b) As leis de idempotência: A U A = A A ∩ A = A 
 (c) As leis comutativas: A U B = B U A A ∩ B = B ∩ A 
 (d) As leis associativas: A∩(B∩C) = (A∩B)∩C AU(BUC) = (AUB)UC 
 (e) As leis distributivas: AU(B∩C) = (AUB)∩(AUC) A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C) 
 
 TEOREMA DE MORGAN 
Para quaisquer dois conjuntos A e B: 
 ________ __ __ _______ __ __ 
a) A U B = A ∩ B b) A ∩ B = A U B 
 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
01) Desenhe um diagrama de Venn para: 
 _ _ _ _ _____ _ _ _ _ 
A  B, A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B , A U B, A U B, A U B e A U B. 
 
 Nos problemas de 02 a 10, desenhe diagramas de Venn e dê argumentos heurísticos 
(verdadeiros) de que cada uma das afirmações é plausível. 
 
02) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. 03) A U (B U C) = (A U B) U C. 
 _____ _ _ 
04) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C). 05) A U B = A ∩ B. 
 ________ __ __ 
06) A ∩ B = A U B. 07) A ∩ (B – A) = ø. 08) A U (B – A) = A U B. 
09) (A U B) – (A ∩ B) = (A – B) U (B – A). 
10) Se S = {1 a 10}, A = {1 a 5} e B = {4 a 7}, resolva os itens do ex. 01) exceto A  B. 
 
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DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADE: 
 
 Definição Clássica 
 
 Seja E um experimento aleatório e S um espaço amostral associado formado por “n” 
resultados igualmente prováveis. Seja A  S um evento com n(A) elementos. A probabilidade de A, 
denotada por P(A), lê-se “pê de A”, é definida como sendo: 
= 
 
 A definição clássica de probabilidade é bastante simples e intuitiva, sendo fácil de 
compreender e empregar. No entanto, possui severas limitações. 
 (i) A definição clássica é dúbia, já que a ideia de “igualmente provável” é a mesma de “com 
probabilidade igual”, isto é, a definição é circular, porque está definindo essencialmente a 
probabilidade com seus próprios termos. 
 (ii) A definição não pode ser aplicada quando o espaço amostral é infinito. 
 
 
 Definição Frequentista ou Frequencialista (Teorema de Bernoulli) 
 
 Em 1692, Jacob Bernoulli demonstrou um teorema segundo o qual, se a probabilidade de 
ocorrência de um evento num experimento aleatório é conhecida, é possível indicar qual é a 
expectativa da frequência da sua ocorrência, se o mesmo experimento for repetido um número 
considerável de vezes, sob condições semelhantes. Por outro lado, se a probabilidade de um evento é 
desconhecida, mas se o número de repetições do experimento aleatório é muito grande, a frequência 
relativa de ocorrência de tal evento pode ser utilizada como aproximação da probabilidade de 
ocorrência. 
 O teorema de Jacob Bernoulli para o cálculo das probabilidades é conhecido como “Lei dos 
Grandes Números”, que numa série imensa de experimentos, a frequência relativa de um evento se 
aproxima cada vez mais da sua probabilidade. 
 
onde n(A) é o número de vezes que A ocorreu e n é o número de vezes que o experimento aleatório 
foi repetido. 
 
 Quando se repete um experimento um número suficientemente grande de vezes (passagem 
ao limite), é possível, na equação acima, substituir a expressão “frequência relativa” por 
“probabilidade” com erro desprezível. 
 
 
 Em se tratando de Probabilidade e Estatística talvez o maior mérito da Lei dos Grandes 
Números seja o fato dela permitir, através da observação ou experimentação, a estimativa da 
probabilidade associada a fenômenos onde não há uma simetria que auxilie o uso da definição 
clássica. 
 
 Probabilidade subjetiva 
 
 É frequentemente a mais usada em sistemas baseados em conhecimento (para aplicação em 
inteligência artificial), representandoa crença de um determinado indivíduo na ocorrência de um 
evento. 
 
 DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE 
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 Em 1933 o matemático russo Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1982) lançou as bases 
axiomática da probabilidade e desenvolveu toda uma teoria que constitui um enorme avanço na área, 
estabelecendo um marco histórico. Independentemente de como são calculadas, as probabilidades 
devem satisfazer os axiomas (axiomas são proposições que são consideradas verdadeiras sem 
necessidade de demonstração). 
 Os Axiomas são: 
 Seja E um experimento aleatório com um espaço amostral associado S. A cada evento A  S 
associa-se um número real, representado por P(A) e denominado “probabilidade de A”, que satisfaz 
as seguintes propriedades (axiomas): 
 
 (1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 
 (2) P(S) = 1 
 (3) P(A U B) = P(A) + P(B), se A e B forem eventos mutuamente excludentes → A∩B = ø 
 (4) Se A1, A2, A3, ..., An , ... , forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então: 
 n n 
 P(U Ai) = ∑ P(Ai) 
 i=1 i=1 
 Dos axiomas têm-se os seguintes teoremas fundamentais da probabilidade: 
 
 TEOREMAS DE PROBABILIDADES: 
 
 Seja E um experimento aleatório, 
S o espaço amostral associado a E 
e A e B eventos, ou seja, A S e B S, então: 
 
(1) A probabilidade de um evento impossível é zero: 
 Demonstração: 
 Qualquer que seja o conjunto S, 
 
 
 , como S e são mutuamente excludentes, implica em: 
 
 
(2) Se A e são eventos complementares, então: 
Demonstração: 
 Qualquer que seja o evento A, 
 
 
 , onde A e são mutuamente excludentes e =1, axioma (2). 
 
 
 
 
(3) Se A  B, então P(A) ≤ P(B) 
Demonstração: 
 
, como A e são mutuamente excludentes, implica em: 
 
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 _ 
(4) Se A e B são dois eventos quaisquer, então: P(A – B) = P(A) – P(A ∩ B) = P(A ∩ B) 
 _ 
 OU P(B – A) = P(B) – P(A ∩ B) = P(A ∩ B) 
 
Demonstração: 
 
, como e são mutuamente excludentes, implica 
em: , então: 
 
 
 
 
 
 
(5) Se A e B são dois eventos quaisquer de S, então: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
 
Demonstração: 
 
 , como e B são mutuamente excludentes, implica em: 
, pelo teorema (4), temos: 
 
 ou 
 
 
 
 
Corolário do teorema (5) 
 
 P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P( AB) – P(BC) – P(AC) + P(ABC) 
 
 
 
 
 
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13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Extensão para n eventos: 
 
(6) Se A1, A2, A3, ..., An são eventos de um espaço amostra S, então: 
 n n n n 
 P(A1 U A2 U A3 U ... U An ) = P(U Ai) = ∑ P(Ai) + ∑ P(Ai ∩ Aj) + ∑ P(Ai ∩ Aj ∩ Ar) + ... + 
 i=1 i=1 i<j=2 i<j<r=3 
(– 1)k + 1P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An). 
 
 
 
 PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
 Na maioria das vezes, o fato de se saber que certo evento ocorreu faz com que se modifique 
a probabilidade que se atribui a outro evento. 
 Digamos que a probabilidade de ocorrer congestionamento em um sistema com três 
servidores de correio eletrônico seja p. Mas, se sabemos que um dos servidores está inoperante a 
probabilidade de congestionamento é maior que p. 
 Denota-se por P(A/B) e representa a probabilidade da ocorrência de A quando se sabe que o 
evento B já ocorreu, ou probabilidade de A condicionada a B. O cálculo é dado por: 
 
 , De outra forma: , 
 
 
PROBABILIDADE DA INTERSEÇÃO – EVENTOS DEPENDENTES 
 
 
 
 
 TEOREMA DO PRODUTO – EVENTOS INDEPENDENTES 
 
 Se A e B são eventos independentes, então a probabilidade de que ambos aconteçam ao 
mesmo tempo é necessariamente igual à probabilidade isolada de um deles ocorrer multiplicada pela 
probabilidade isolada do outro, ou seja, em notação matemática: 
 
 
 
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14 
 
 Se o evento A é estatisticamente independente do evento B. 
Isso implica ser B também estatisticamente independente de A. Para k eventos independentes, o 
teorema do produto fica. 
 
 
 
 TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
 
 Sejam eventos mutuamente exclusivos e exaustivos dois a dois, ou 
seja, (AiAj) = , para todo ij; tal que , com P(Ai) > 0. Agora 
considere que B seja um evento qualquer de S. 
 
 
 
 
 Então: 
 
 
 
 TEOREMA DE BAYES 
 
 É uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades condicionais. Em 
algumas análises de decisão, a informação probabilística pode ser obtida de uma ou mais 
fontes, sendo interessante combinar informações já conhecidas (as probabilidades a priori) 
com informações adicionais, calculando-se assim novas probabilidades (as probabilidades a 
posteriori). 
 Este teorema está intimamente relacionado com o teorema da probabilidade total. 
Supõem-se as mesmas condições. Neste caso, é possível determinar a probabilidade de que 
um dos Ai ocorra, sabendo que o evento B ocorreu. Veja a figura anterior. 
 
. 
 
 Desenvolvendo o denominador tem-se 
 
 ( j = 1, 2, ... , n) 
 
 
 Esta equação simples é a base de todos os sistemas modernos de Inteligência 
Artificial (IA) para inferência probabilística. Ela exige uma probabilidade condicional e duas 
incondicionais para calcular uma quarta probabilidade condicional. A regra de Bayes é útil 
na prática, pois, existem muitos casos em que fazemos boas estimativas de probabilidades 
para esses três números e precisamos calcular o quarto número. 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) Sejam “A” e “B” eventos de um mesmo espaço amostral, tais que P(B) = 0,5; P(A U B) 
= 0,6 e P(A) = 0,3, faça o diagrama de Venn e determine: 
a) b) P(A∩B) c) d) e) f) 
 
Resolução: 
 
a) = (T2) 1 –- 0,5 = 0,5 b) P(A∩B) = (T5) 0,3 + 0,5 – 0,6 = 0,2 
 
c) = (T4) 0,5 – 0,2 = 0,3 d) = (T2) 1 – 0,6 = 0,4 
 
 e) = (P.C.) 0,3/0,5 = 0,6 
 
f) = (Morgan) = (T2) 1 – 0,2 = 0,8 
 
 
 
2) P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5, qual a P(A U B) se “A” e “B” são: 
 a) mutuamente exclusivos? b) eventos independentes? 
 
Resolução: 
 
a) Para serem ME a , então pelo axioma 3 temos: P(AUB) = P(A) + P(B) 
P(AUB) = 0,3 + 0,5 P(AUB) = 0,8 
 
b) Para serem E.I. a , então pelo teorema 5 temos: 
 P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
 P(AUB) = 0,3 + 0,5 – 0,3.0,5 = 08 – 0,15 
P(AUB) = 0,65 
 
 
3) Dos 500 alunos matriculados, 155 mulheres cursam Cálculo (C), 150 mulheres cursam 
Estatística (E), 10 Física (F) e 35 Química (Q). 45 homens (H) cursam Cálculo e 70 
Estatística. Os alunos matriculados em Física são 30 e 50 em Química. Um aluno é sorteado 
ao acaso. 
 a) Apresente esses dados em uma tabela. 
 Encontre a probabilidade de: 
 b) não ser mulher. c) ser do curso de Estatística. 
d) ser mulher do curso de Química. e) ser mulher, se é de Física. 
f) ser do curso de Cálculo, dado que é homem. g) ser homem ou do curso de Química. 
Resolução:MAF1730 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - 2019/2 
 
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16 
 
a) b) P(M’) = 150 / 500 = 0,3 
 C E F Q Total 
Mulher (M) 155 150 10 35 350 c) P(E) = 220 / 500 = 0,44 
Homem (H) 45 70 20 15 150 
Total 200 220 30 50 500 d) P(M∩Q) = 35 / 500 = 0,07 
 
e) P(M/F) = 10/30 = 0,3333 f) P(C/H) = 45/150 = 0,3 g) P(HUQ)= (150+50-15)/500=0,37 
 
4) O sistema mostrado aqui opera somente se houver um caminho de componentes 
funcionais da esquerda para a direita. A probabilidade de cada componente funcionar é 
mostrada a seguir. Considere que os componentes funcionem ou falhem independentemente. 
Qual a probabilidade de que o sistema opere (O)? 
 
 Bloco A = A Bloco B = B Bloco C = C 
 
 
 0,9 
 C1 0,9 
 C4 
 0,8 0,99 
 C2 C6 
 0,95 
 0,9 C5 
 C3 
 
OBS.: O sistema pode ser dividido em blocos (A e B) que sejam exclusivamente 
subsistemas em paralelo. O resultado para um sistema em paralelo pode ser aplicado a cada 
bloco e os resultados dos blocos podem ser combinados pela análise para um sistema em 
série. Para o bloco A = A, a confiabilidade é obtida a partir do resultado para um sistema em 
paralelo como P(A) = P(C1UC2UC3) = 1 – = 1 – = 1 
– 0,1 . 0,2 . 0,1 = 1 – 0,002 = 0,998. 
 Similarmente, para o bloco B = B, a confiabilidade é P(B) = P(C4UC5) = 1 – 
 = 1 – = 1 – 0,1 . 0,05 = 1 – 0,005 = 0,995. 
 
 A confiabilidade do sistema é determinada a partir do resultado para um sistema em 
série. O sistema em série só opera(O) se: 
 
 P(O) = P(A∩B∩C) = P(A).P(B).P(C) P(O) = 0,998 . 0,995 . 0,99 P(O) = 0,9831. 
 
5) Um supermercado com o intuito de controlar a validade de seus produtos, toma 
diariamente e de forma aleatória, 3 embalagens de cada produto. O lote é todo vistoriado se 
for encontrado pelo menos 1 com data vencida. Na seção de frios tem 10 hamburguês, dos 
quais 2 estão vencidos. Ache a probabilidade deste lote ser totalmente vistoriado. R. 0,5333 
 
Resolução: 2 vencidos (V) + 8 não vencidos = 10 hamburguês 
 
P(≥1V) = 1 – = 
 
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6) Três máquinas “A”, “B” e “C” produzem respectivamente 40%, 50% e 10% da produção 
da empresa X. Historicamente as porcentagens de peças defeituosas (F = fora das 
especificações) produzidas em cada máquina são de: 5%, 3% e 3%. A empresa contratou um 
Engenheiro para fazer uma revisão das máquinas e no processo de produção. O Engenheiro 
pretende utilizar conhecimentos de Estatística para formalizar, calcular probabilidades e 
tomar decisões. 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Qual é a probabilidade de que um item da produção, selecionado ao acaso, esteja 
dentro das especificações? 
 c) Se um dos engenheiros pretende escolher uma máquina para manutenção durante 
o período de férias coletivas, qual deve ser escolhida? Justifique sua resposta. 
 
Resolução: 
 F = fora das especificações F’ = dentro das especificações 
a) 
b) P(F’) = P(A).P(F’/A) + P(B).P(F’/B) + 
 P(C).P(F’/C) 
 P(F/A) = 0,05 P(F’) = 0,4.0,95 + 0,5.0,97 + 0,1.0,97 
 P(F’/A) = 0,95 P(F’) =0,38 + 0,485 + 0,097 
 P(A) = 0,4 P(F’) = 0,962 
 P(F/B) = 0,03 
 P(B) = 0,5 P(F’/B) = 0,97 c) P(A/F) = P(A).P(F/A) : P(F) 
 P(A/F) = (0,4.0,05) : (1 - 0,962) 
 P(C) = 0,1 P(F/C) = 0,03 P(A/F) = 0,02 : 0,038 
 P(F’/C) = 0,97 P(A/F) = 0,5263 → P(A/F) = 0,5264 
 P(B/F) = P(B).P(F/B) : P(F) P(C/F) = P(C).P(F/C) : P(F) 
 
 P(B/F) = (0,5.0,03) : 0,038 P(C/F) = (0,1.0,03) : 0,038 
 
 P(B/F) = 0,015 : 0,038 P(B/F) = 0,3947 P(C/F) = 0,003 : 0,038 P(C/F) = 0,0789 
 
R. Escolher a máquina "A" para manutenção, pois a probabilidade de fora das 
especificações é maior. 
 
 Exercício para fixação: 
 __ 
Se P(A) = 0,55 e P(B) = 0,40, ache as probabilidades seguintes para que “A” e “B” 
sejam E.I. Responda todos os itens do exercício nº 12, da pág. 19, exceto m, n, o. 
 
 R. a) (T2) 0,45 b) (T2) 0,6 c) (EI) 0,33 d) (T4) 0,27 e) (T4) 0,22 
 f) (T5) 0,82 g) (T2) 0,18 h) (T2) 0,67 i) (T5 ou M) 0,67 j) (T5 ou M) 0,18 
 
 
 
 
 
 
 Neste texto discutimos os resultados introdutórios da teoria das probabilidades. 
Em seguida vamos estudar as variáveis aleatórias e alguns modelos de probabilidade 
discretos e contínuos. Para o estudo dos modelos discretos vamos usar resultados da 
análise combinatória e para o estudo dos modelos contínuos resultado do cálculo 
integral e diferencial. 
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 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
01) Dos seguintes valores, qual é probabilidade? Justifique cada item. 
a) 0,00001 b) – 0,2 c) 3/2 d) 3/4 e) √ 2 f) √ 0,2 R. Sim: a – d – f Não: b – c – e 
 
02) Dois eventos são complementares se, e somente se, a intersecção entre eles for vazia e a união 
der o espaço amostral. Considere o espaço amostral: S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
a) Sejam os eventos: A = {4, 6, 7} e B = {2, 3, 5, 8, 9}. Os eventos A e B são complementares? Faça 
os cálculos. R. Sim, ... 
b) Sejam os eventos: A = {4, 6} e B = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}. Os eventos A e B são complementares? 
Faça os cálculos. R. Não, pois A∩B = {6} ≠ { } 
 
03) Seja o seguinte espaço amostral: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. A probabilidade de sair um 
número ímpar(I) ou superior(S) a 6 é de 6/10 ou 0,6 ou 60%. Formalize, calcule e conclua. 
R. P(I U > 6) Sim, ... 
 
04) Se A, B e C forem eventos mutuamente excludentes, será possível obter: 
a) P(A) = 0,1, P(B) = 0,3 e P(C) = 0,5? Justifique. R. Sim 
b) P(A) = 0,3, P(B) = 0,4 e P(C) = 0,5? Justifique. R. Não, U > 1 
 
05) Se A, B e C forem eventos mutuamente excludentes, com P(A) = 0,2, P(B) = 0,3 e P(C) = 0,4, 
determine as seguintes probabilidades: 
a) P(AUB) R. 0,5 b) P(AUC) R. 0,6 c) P(BUC) R. 0,7 d) P(AUBUC) R. 0,9 
e) P(A∩B) R. φ f) P(A∩C) R. φ g) P(A∩B∩C) R. φ h) P[(AUB)∩C)] R. φ 
 
06) Qual a P(AUB), se P(A) = 0,33 e P(B) = 0,52, para que “A” e “B” sejam eventos: 
a) mutuamente exclusivos? R. 0,85 b) independentes? R. 0,6784 
 
07) P(A) = 0,6 e P(AUB) = 0,9 qual a P(B) se “A” e “B” são eventos: 
a) mutuamente exclusivos? R. 0,3 b) independentes? R. 0,75 
 
08) P(B) = 0,5 e P(A U B) = 0,6, qual a P(A) se “A” e “B” são: 
a) mutuamente exclusivos? R. 0,1 b) eventos independentes? R. 0,2 
 
09) Classifique os eventos em dependente e independente cada par de eventos: 
a) Assistir a aula de estatística. – Passar em um curso de estatística. R. D 
b) Furar um pneu no trajeto para a aula. – Acordar tarde demais para as aulas. R. I 
c) Eventos A e B, com P(A) = 0,40, P(B) = 0,60 e P(A∩B) = 0,20. R. D 
d) Eventos A e B, com P(A) = 0,90, P(B) = 0,80 e P(A∩B) = 0,72. R. I 
 
10) Se P(A) = 0,30, P(B) = 0,25, P(C) = 0,60, P(AUB) = 0,55 e P(BUC) = 0,70, determineas 
seguintes probabilidades: 
a) P( ) R. 0,70 b) P( ) R. 0,75 c) P( ) R. 0,40 
d) P(AUC), sendo eventos independentes. R. 0,72 
e) Os conjuntos A e B são mutuamente excludentes? R. Sim, ... 
f) Os conjuntos B e C são mutuamente excludentes? R. Não, ... 
 
11) Se P( ) = 0,8 e P(B) = 0,7, ache as probabilidades seguintes para que “A” e “B” sejam E.I.: 
 
a) P(A) = (......) b) P( )= (......) c) P(A∩B) = (.....) d) P(( ) = (.....) e) P( ) = (.....) 
 
f) P(AUB) = (......) g) P( ) = (......) h) P( ) = (.....) i) P(AUB) = (.....) j) P(A∩B) =(......) 
 
k) Montar uma tabela. l) Fazer o diagrama de Venn. 
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19 
 
“P” S 
 
 
 1,00 
 
 Se os eventos “A” e “B” são mutuamente exclusivos, então: 
 ____ 
m) P(AUB) = (......) n) P(AUB) = (.......) o) Faça o diagrama de Venn. 
 
 
R. a) (T2) 0,2 b) (T2) 0,3 c) (E.I.) 0,14 d) (T4) 0,56 e) (T4) 0,06 f) (T5) 0,76 g) 
(T2) 0,24 h) (T2) 0,86 i) (T5 ou M) 0,86 j) (T5 ou M) 0,24 m) (A3) 0,9 n) (T2) 0,1 
 
 
12) Se P(A) = 0,37 e P( ) = 0,58, ache as probabilidades seguintes para que “A” e “B” sejam E.I.: 
 _ 
a) P(A) = (......) b) P(B) = (......) c) P(A∩B) = (.....) d) P(( ) = (.....) e) P( ) = (.....) 
 _ _ _ _ 
f) P(AUB) = (.....) g) P( ) = (.....) h) P( ) = (.....) i) P(AUB) = (.....) j) P(A∩B) = (......) 
 
k) Montar uma tabela. l) Fazer o diagrama de Venn. 
 
“P” S 
 
 
 1,0000 
 
 Se os eventos “A” e “B” são mutuamente exclusivos, então: 
 ____ 
m) P(AUB) = (.......) n) P(AUB) = (.......) o) Faça o diagrama de Venn. 
 
 R. a) 0,63 b) 0,42 c) 0,1554 d) 0,2646 e) 0,2146 f) 0,6346 
 g) 0,3654 h) 0,8446 i) 0,8446 j) 0,3654 m) 0,79 n) 0,21 
 
13) Sejam P(A) = 0,50, P(B) = 0,40 e P(AUB) = 0,70. 
a) A e B são eventos mutuamente exclusivos? Por que? R. Não, ... 
b) A e B são eventos independentes? Por que? R. Sim, ... 
Calcule: b.1) P(A/B) R. 0,5 b.2) P(B/A) R. 0,4 
 
14) Os eventos A e B são independentes? Justifique. 
a) Se P(A/B) = 0,6, P(B) = 0,5 e P(A) = 0,6. R. Sim, ... 
b) Se P(A/B) = 0,4, P(B) = 0,8 e P(A) = 0,6. R. Não, ... 
 _____ 
15) Sejam “A” e “B” eventos de um mesmo espaço amostral tais que P(A U B) = 0,1; P(A) = 0,5 e 
P(B) = 0,7, faça o diagrama de Venn, monte uma tabela e determine: 
a) P(A U B) R. 0,9 b) P(A ∩ B) R. 0,3 c) P(B – A) R. 0,4 
 _ _ _ _ _ 
d) P(A ∩ B) R. 0,2 e) P(A ∩ B) R. 0,1 f) P(A/B) R. 0,3333 
 
16) Se P(A) = 0,3, P(B) = 0,2 e P(A∩B) = 0,1, determine as seguintes probabilidades: (Faça o 
diagrama de Venn e elabore uma tabela.) 
a) P( ) b) P c) P ) d) P(AUB) e) P( ) 
 
 S 
 
 
 
 S 
 
 
 
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20 
 
f) P( ) g) P( ) h) P(A/B) i) P( ) j) P( 
 
 R. a) 0,7 b) 0,8 c) 0,9 d) 0,4 e) 0,6 f) 0,1 g) 0,2 h) 0,5 i) 0,8 j) 0,5 
 
17) Se P(A) = 0,45, P(B) = 0,35 e P(A∩B) = 0,15, determine as seguintes probabilidades: (Faça o 
diagrama de Venn e elabore uma tabela.) 
a) P( ) R. 0,55 b) P R. 0,65 c) P ) R. 0,85 d) P(AUB) R. 0,65 
e) P( ) R. 0,35 f) P( ) R. 0,2 g) P( ) R. 0,3 h) P(A/B) R. 0,4286 
i) P( ) R. 0,7 j) P(B/A) R. 0,3333 k) P( ) R. 0,4615 
 
18) Se P(A) = 0,55, P = 0,4 e P(AUB) = 0,77, determine as seguintes probabilidades: (Faça o 
diagrama de Venn e elabore uma tabela.) 
a) P( ) R. 0,45 b) P(B) R. 0,6 c) P( ) R. 0,23 d) P(A∩B) R. 0,38 
e) P(B/A) R. 0,6909 f) P ) R. 0,62 g) P( R. 0,17 h) P( R. 0,22 
i) P( R. 0,83 j) P R. 0,3667 k) P( R. 0,425 l) P R. 0,4889 
 __ 
19) Sabendo-se que “A” e “B” eventos de um mesmo espaço amostral e que P(A ∩ B) = 1/2; P(B) 
= 1/3 e P(A) = 3/5, determine: 
a) P(A ∩ B) R. 0,1 b) P(A U B) R. 0,8333 c) P(A – B) R. 0,5 
 _ _ _ _ _ 
d) P(A/B) R. 0,75 e) P(B/A) R. 0,4167 f) P(A U B) R. 0,9 
 
20) Suponha que P(A/B) = 0,4, P(A) = 0,4 e P(B) = 0,5. Determine: (Faça o diagrama de Venn e 
elabore uma tabela.) 
a) P(A∩B) R. 0,2 b) P(B/A) R. 0,5 c) P(AUB) R. 0,7 
d) P( R. 0,3 e) P( R. 0,2 f) P( ) R. 0,3 
 
21) Suponha que P(A/B) = 0,8, P(A) = 0,5 e P(B) = 0,2. Determine: (Faça o diagrama de Venn e 
elabore uma tabela.) 
a) P(A∩B) R. 0,16 b) P(AUB) R. 0,54 c) P(B/A) R. 0,32 
d) P( R. 0,04 e) P( R. 0,34 f) P R. 0,425 
 
22) Uma montagem eletrônica é formada de 2 subsistemas A e B. De procedimentos de ensaio 
anteriores, as seguintes probabilidades se admitem conhecidas: _ 
P(A falhe) = 0,20 P(A e B falhem) = 0,15 P(B falhe sozinho) = 0,15 = P(A e B). 
Calcule as seguintes probabilidades: 
a) P(B falhe) b) P(AUB) c) P(A falhe sozinho) d) P(A falhe/ B tenha falhado) e) P(B/A) 
 R. a) 0,3 b) 0,35 c) 0,05 d) 0,5 e) 0,75 
 
23) Suponha que P(A/B) = 0,2, P = 0,3 e P(B) = 0,8. Qual é P(A)? R. 0,22 
 
24) Uma fábrica produz quatro tipos de pneus. A tabela seguinte mostra a produção de um dia. 
 
Tipo W X Y Z Total 
 Bom(B) 90 180 270 360 900 
 Ruim(R) 10 20 30 40 100 
Total 100 200 300 400 1.000 
 
 O fabricante escolhe ao acaso um pneu para testar. Ache a probabilidade de ser: 
a) ruim. R. 0,1 b) do tipo Z. R. 0,4 
 c) ruim do tipo Y. R. 0,03 d) do tipo W, sabendo que é bom. R. 0,1 
 e) bom, dado que é do tipo X.R. 0,9 f) não ser bom e do tipo Z. R. 0,04 
 
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25) A tabela seguinte lista a história de 940 pedidos de opcionais de computadores. 
 
Processador opcional de 
alta velocidade 
Memória extra Total 
Não Sim (B) 
Não 514 68 582 
Sim (A) 112 246 358 
Total 626 314 940 
 
 Faça A denotar o evento em que um pedido requer o opcional de processador de alta 
velocidade e faça B denotar o evento em que um pedido requer o opcional de memória extra. 
Determine as seguintes probabilidades: 
a) P(A∩B) R. 0,2617 b) P(AUB) R. 0,4532 
c) R. 0,8809 d) R. 0,5468 
e) Qual é a probabilidade de que um pedido requeira um processador de alta velocidade, dado que o 
pedido requer memória extra? R. 0,7834 
f) Qual é a probabilidade de que um pedido requeira memória extra, dado que o pedido requer um 
processador de alta velocidade? R. 0,6872 
 
26) A análise de eixos para compressor está resumida de acordo com as especificações: 
 
Obedece ao 
acabamento da 
superfície 
Obedece ao aspecto arredondado Total 
Sim (C) Não (D) 
Sim (A) 345 5 350 
Não (B) 12 8 20 
Total 357 13 370 
 
a) Se o eixo for selecionado ao acaso, qual será a probabilidade de que o eixo atenda aos requisitos 
de acabamento da superfície? R. 0,9459 
b) Qual é a probabilidade de que o eixo selecionado atenda aos requisitos de acabamento da 
superfície ou aos do aspecto arredondado? R. 0,9784 
c) Qual é a probabilidade de que o eixo selecionado atenda aos requisitos de acabamento da 
superfície ou não atenda ao aspecto arredondado? R. 0,9676 
d) Qual é a probabilidade de que o eixo relacionado atenda tanto aos requisitos de acabamento de 
superfície como aos de aspecto arredondado? R. 0,9324 
e) Se soubermos que um eixo satisfaz o requerimento de aspecto arredondado, qual será a 
probabilidade de que o eixo atenda aos requerimentos de acabamento na superfície? R. 0,9664 
f) Se soubermos que um eixo não satisfaz o requerimento de aspecto arredondado, qual será a 
probabilidade de que o eixo selecionado atenda aos requerimentos de acabamento na superfície? R. 
0,3846 
 
27) Amostras de uma peça de alumínio fundido são classificadas com base no acabamento (em 
micropolegadas) da superfície e nas medidas de comprimento. Os resultados se 100 peças são 
resumidas a seguir: 
 
Acabamento da 
superfície 
Comprimento Total 
Excelente (B) Bom (D) 
Excelente (A) 75 7 82 
Bom (C) 10 8 18 
Total 85 15 100 
 
 Determine as seguintes probabilidades: 
a) P(A) R. 0,82 b) P(B) R. 0,85 c) P(A/B) R. 0,8824 d) P(B/A) R. 0,9146 
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22 
 
e) Qual será a probabilidade de que o acabamento na superfície seja excelente e a probabilidade do 
comprimento ser excelente? R. 0,75 
f) Qual a probabilidade de a peça selecionada ter bom comprimento e ter bom acabamento na 
superfície? R. 0,08 
g) Se a peça selecionada tiver bom acabamento na superfície, qual será a probabilidade do 
comprimento ser excelente? R. 0,5556 
h) Se a peça selecionada tiver bom comprimento, qual será a probabilidade de que o acabamento na 
superfície seja excelente? R. 0,4667 
 
28) A Master Card Internacional efetuou um estudo de fraudes em cartões de crédito distribuídos 
entre as mulheres e homens. Os resultados estão consubstanciados na tabela a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Selecionado aleatoriamente um caso de fraude, qual a probabilidade de a fraude resultar de 
um cartão: (Formalize cada item.) 
a) falsificado? R. 0,1995 b) de um homem? R. 0,5962 
c) roubado ou de uma mulher? R. 0,7465 d) de um homem pedido por correio? R. 0,0117 
e) roubado, sabendo que é de um homem? R. 0,5748 
f) de uma mulher, se é um cartão falsificado? R. 0,2 
 
29) Suponha duas estações metereológicas A e B, em certa região. As observações mostraram que a 
probabilidade de chuva em A é 0,55 e em B é 0,4. A probabilidade de ocorrência de chuva 
simultânea nas duas regiões é 0,25. A partir destas informações, 
a) Monte uma tabela. b) Faça o diagrama de Venn. 
 Determine a probabilidade de: 
c) não ocorrer chuva em A. R. 0,45 
d) ocorrer chuva pelo menos em uma das duas regiões A ou B. R. 0,7 
 
30) A probabilidade de um aluno A resolver uma questão de prova é de 0,8, enquanto que a do outro 
B resolvê-la é 0,6. Qual é a probabilidade da questão ser resolvida se ambos tentam resolvê-la 
independentemente? R. 0,92 
 
31) Em uma pesquisa entre estudantes de uma faculdade, 1.162 afirmaram que “colavam” nos 
exames, enquanto 2.468 afirmaram não “colar”. Selecionado aleatoriamente um desses estudantes, 
determine de ele ou ela ter “colado” em um exame. R. 0,3201 
 
32) Em seu trajeto para a aula, um estudante deve passar por dois sinais de tráfego que operam 
independentemente. Para cada sinal, a probabilidade de “verde” é 0,4. Ele deve encontrar os dois 
sinais abertos para chegar a tempo na aula. 
a) Qual a probabilidade de não se atrasar? R. 0,16 b) Qual a probabilidade de se atrasar? R. 0,84 
 
33) Um estudante tem dificuldade com o mau funcionamento de despertadores. Em lugar de utilizar 
um despertador, ele decide utilizar 3. Cada despertador tem 96% de chance de funcionar. Qual a 
probabilidade de: 
a) todos funcionarem? R. 0,8847 b) somente o terceiro funcionar? R. 0,0015 
c) apenas 1 não funcionar? R. 0,1106 d) ao menos 1 despertador funcionar? R. 0,9999 
 
Tipo de fraude Mulher (M) Homem (H) Total 
Cartão roubado (R) 97 146 243 
Cartão falsificado (F) 17 68 85 
Pedido por correio (C) 47 5 52 
Outras (O) 11 35 46 
 Total 172 254 426 
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34) A probabilidade de que um pedido de um consumidor não seja despachado no tempo 
especificado é de 0,05. Um consumidor particular faz três pedidos, em longos intervalos de tempo, 
de modo que os eventos podem ser considerados independentes. Qual é a probabilidade de que: 
a) todos os pedidos sejam despachados no tempo especificado? R. 0,8574 
b) exatamente um pedido não seja despachado no tempo especificado? R. 0,1354 
 
35) Os problemas de assédio sexual têm recebido muita atenção nos últimos anos. Em uma 
pesquisa, 420 trabalhadores, dos quais 240 homens (H) consideram uma simples batida no ombro 
como uma forma de assédio (A) sexual, enquanto que 580 trabalhadores, dos quais 280 homens não 
consideram isso como assédio ( ). Monte uma tabela. Escolha aleatoriamente um dos trabalhadores 
pesquisados e determine a probabilidade de: (formalize cada item) 
a) obter alguém que não considere uma simples batida no ombro como uma forma de assédio sexual. 
R. 0,58 
b) ser mulher (M). R. 0,48 
c) ser um homem ou alguém que não considere uma simples batida no ombro como uma forma de 
assédio. R. 0,82 
d) ser um homem que considere uma simples batida no ombro como uma forma de assédio sexual. 
R. 0,24 
e) ser uma mulher, sabendo que ela não considera uma simples batida no ombro como uma forma de 
assédio sexual. R. 0,5172 
f) ser alguém que considere uma simples batida no ombro como uma forma de assédio sexual, dado 
que ela é mulher. R. 0,375 
 
36) Foi realizada uma pesquisa na indústria X, tendo sido feitas aos seus operários apenas duas 
perguntas. Dos operários, 92 responderam sim à primeira, 80 responderam sim à segunda, 35 
responderam sim a ambas e 33 responderam não a ambas as perguntas feitas. Monte uma tabela e o 
diagrama de Venn. Formalizee responda: 
a) Qual o número de operários da indústria? R. 170 
 Ache a probabilidade dos que responderam: 
b) sim à primeira pergunta. R. 0,5412 c) apenas uma sim. R. 0,6 
d) não à segunda pergunta. R. 0,5294 e) no máximo uma não. R. 0,8059 
f ) não à primeira e sim à segunda. R. 0,2647 g) pelo menos uma sim. R. 0,8059 
h) não à primeira, se responderam não à segunda. R. 0,3667 
i ) sim à primeira, dado que responderam não à segunda. R. 0,6333 
 
37) Há 80% de chance de uma máquina fabricar um prego sem defeitos. Se a fabricação de peças 
sucessivas constitui um processo independente, calcule a probabilidade de: (Formalize cada item.) 
a) duas peças numa sequência serem defeituosas. R. 0,04 
b) uma peça boa e uma peça defeituosa, nesta ordem. R. 0,16 
c) uma peça defeituosa e uma peça boa, em qualquer ordem. R. 0,32 
d) três peças boas em sequência. R. 0,512 
e) em três peças, pelo menos duas defeituosas. R. 0,104 
f) em cinco peças, apenas a segunda e a quarta não serem defeituosas. R. 0,0051 
 
38) As falhas de diferentes máquinas são independentes umas das outras. Se há quatro máquinas, e 
se suas respectivas probabilidades de falhas são 10%, 5%, 2% e 1% em determinado dia, formalize 
cada item e calcule as probabilidades de: 
a) nenhuma falhar. R. 0,8295 
b) nesta ordem, falhar a primeira, não falhar a segunda, falhar a terceira e não falhar a quarta. R. 
0,0019 
c) no máximo três não falharem. R. 0,1705 
 
39) Uma ferramenta de inserção robótica contém 10 componentes principais. A probabilidade de 
que qualquer componente falhe durante o período de garantia é 0,01. Considere que os componentes 
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falhem independentemente e que a ferramenta falhe se qualquer componente falhar. Qual é a 
probabilidade de que a ferramenta falhe durante o período de garantia? R. 0,0956 
 
40) Uma empresa produz 5% de peças defeituosas. O controle de qualidade da empresa é realizado 
em duas etapas independentes. A primeira etapa acusa uma peça defeituosa com 90% de acerto. A 
segunda etapa acusa uma peça defeituosa com 80% de acerto. Calcule a probabilidade de que: 
a) uma peça defeituosa passe pelo controle de qualidade. R. 0,02 
b) ao adquirir uma peça produzida por esta empresa, ela seja defeituosa. R. 0,001 
 
41) Um plano de amostragem consiste em se extrair uma amostra de tamanho n de um lote de 
tamanho N grande (neste caso supor que os itens da amostra foram retirados com reposição). Se 
nenhum dos itens verificados na amostra for defeituoso (D) aceitar o lote. Qual a probabilidade de se 
aceitar o lote se a: 
a) P(D) = 0,01 e n = 5. R. 0,9510 
b) P(D) = 0,10 e n = 5. R. 0,5905 
c) P(D) = 0,30 e n = 5. R. 0,1681 
d) Compare as probabilidades calculadas nos itens a, b e c e conclua. 
 
42) Suponha um sistema de produção onde se tenha duas etapas conectadas em série (suponha 
independência entre as etapas), para a fabricação de um alimento. A probabilidade de falha de cada 
etapa é, P(F1) = 0,02 e P(F2) = 0,05. Qual é a probabilidade de que o sistema de produção funcione? 
R. 0,931 
 
 
 
43) O sistema opera somente se houver um caminho de componentes funcionais da esquerda para 
direita. A probabilidade de cada componente funcionar é mostrada no diagrama. Considere que os 
componentes funcionem ou falhem independentemente. Encontre a probabilidade de que: 
a) o sistema opere. b) o sistema não opere. 
 A) B) 
 
 
 
R: A) a) 0,8928 b) 0,1072 B) a) 0,8862 b) 0,1138 
 
44) Suponha um sistema em série que tem três componentes C1, C2 e C3, cada um com uma 
probabilidade de funcionamento independente igual a 0,90, 0,99 e 0,96, respectivamente. Ache a 
probabilidade de: 
a) o sistema operar. R. 0,8554 b) o sistema não operar. R. 0,1446 
 
45) (Confiabilidade de sistemas) O Sistema de purificação de uma usina de tratamento de água tem 
três componentes em série (R1, R2, R3). As confiabilidades dos componentes são 0,9; 0,7 e 0,9, 
respectivamente. Qual é a probabilidade de falha no sistema de purificação se os componentes 
falham de forma independente? R. 0,433 
 
46) Num circuito elétrico, 3 componentes são ligados em série e trabalham independentemente um 
do outro. As probabilidades de falharem são 0,1; 0,1 e 0,2 respectivamente. Qual a probabilidade de 
que não passe corrente pelo circuito? R. 0,352 
 
47) (Confiabilidade de sistemas) A chance de falha mecânica num sistema de prevenção contra 
vazamento em uma usina nuclear é de 0,003. Um sistema sensorial adicional instalado para detectar 
qualquer falha no sistema mecânico e acionar um dispositivo para interromper qualquer vazamento 
tem 0,045 de probabilidade de falha. Qual a probabilidade de ocorrer um vazamento da usina? R. 
0,0001 
 
 0,02 0,05 
 E1 E2 
 0,93 0,96 
 C1 C2 
 0,955 0,928 
 C1 C2 
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48) O sistema opera somente se houver um caminho de componentes funcionais da esquerda para a 
direita. A probabilidade de cada componente funcionar é mostrada a seguir. (em paralelo) Considere 
que os componentes funcionem ou falhem independentemente. Encontre a probabilidade de: 
a) o componente C1 falhar. b) o componente C2 falhar. 
c) o sistema não operar. d) o sistema opere. 
 A) B) C) 
 
 
R. A) a) 0,1 b) 0,05 c) 0,005 d) 0,995 
 
 B) a) 0,075 b) 0,085 c) 0,0064 d) 0,9936 
 
 C) a) 0,15 b) 0,08 c) 0,012 d) 0,988 
 
49) (Confiabilidade/eventos independentes) O circuito abaixo opera somente se houver um 
caminho de equipamentos funcionais, da esquerda para direita. A probabilidade de que cada aparelho 
funcione é mostrada na figura. Suponha que os equipamentos funcionem ou falhem 
independentemente. Qual será a probabilidade de que o circuito opere (O)? R. 0,9865 
 
 Bloco A = A Bloco B = B Bloco C = C 
 
 
 0,9 
 C1 0,95 
 C4 
 0,9 0,99 
 C2 C6 
 0,95 
 0,9 C5 
 C3 
 
 
50) Suponham que um sistema em paralelo tenha três componentes C1, C2 e C3, cada um com uma 
probabilidade de funcionamento igual a 0,90, 0,99 e 0,93, respectivamente. Qual a probabilidade de 
o sistema operar? R. 0,9999. 
 
51) Um gerente de controle de qualidade utiliza equipamento de teste para detectar modems de 
computador defeituosos. Retiram-se aleatoriamente 3 modems diferentes de um grupo onde há 12 
defeituosos e 18 sem defeito. Qual a probabilidade de, sem reposição: 
a) todos os 3 serem defeituosos? R. 0,0542 
b) ao menos um dos modems escolhidos ser defeituoso? R. 0,7990 
c) somente 1 defeituoso? R. 0,4522 
d) apenas o primeiro modem sem defeito? R. 0,0975 
 
52) Uma arcada dentária é formada por 32 dentes, sendo superior direito e esquerdo e inferior 
direito e esquerdo com oito dentes cada. Três dentes têm manchas brancas, encontre a probabilidade 
de serem: 
 
 0,9 
 C1 
 
 
 0,95 
 C2 
 0,925 
 C1 
 
 
 0,915 
 C2 
 0,85 
 C10,92 
 C2 
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a) todas no superior direito. R. 0,0113 
b) nenhum inferior. R. 0,1129 
c) os três no mesmo local. R. 0,0452 
d) os dois no inferior direito e um superior esquerdo. R. 0,0151 
 
53) Uma indústria farmacêutica produz o creme dental “A”, que são distribuídos em embalagens de 
12 unidades. Para fazer o controle de qualidade um inspetor seleciona uma embalagem e dela extrai 
3 pastas que são testadas. No dia em que a embalagem selecionada houver 4 pastas danificadas, ache 
a probabilidade de serem testadas: 
a) nenhuma danificada. R. 0,2545 
b) exatamente uma danificada. R. 0,5091 
c) no máximo uma danificada. R. 0,7636 
 
54) Um pacote contém 4 sementes de flores vermelhas, 3 de flores amarelas, 2 de flores brancas e 
uma de flores cor de laranja. 
a) Escolhida ao acaso uma semente do pacote, qual a probabilidade de ser de flor vermelhas ou cor 
de laranja? R. 0,5 
b) Escolhida duas sementes: 
 b.1) Qual a probabilidade de serem ambas de flor amarela? R. 0,0667 
 b.2) E vermelhas? R. 0,1333 
c) Escolhidas 3 sementes, qual a probabilidade de 1 ser de flor laranja e 2 de amarela? R. 0,025 
 
55) (Probabilidade condicional) Em um lote de 100 chips semicondutores, 20 são defeituosos. Dois 
deles são selecionados ao acaso, sem reposição. 
a) Qual é a probabilidade de que o primeiro chip seja defeituoso? R. 0,2 
b) Qual é a probabilidade de que o segundo Chip seja defeituoso, dado que o primeiro deles foi 
defeituoso? R. 0,1919 
c) Como a resposta do item b mudaria se os chips selecionados fossem repostos antes da próxima 
seleção? R. 0,2 
 
56) Considere uma urna contendo 3 bolas pretas e 5 vermelhas. Retire duas bolas da urna, sem 
reposição. 
a) Obtenha o espaço amostral e atribua probabilidades. 
b) Mesmo problema para extrações com reposição. 
c) Calcule as probabilidades dos seguintes eventos, nos dois casos: com e sem reposição: 
 A: bola preta na primeira e segunda extração. R. 0,1406 e 0,1071 
 B: bola preta na segunda extração. R. 0,375 e 0,375 
 C: bola vermelha na primeira extração. R. 0,625 e 0,625 
 
57) Em uma pesquisa foram encontrados os seguintes resultados: 60% das pessoas entrevistadas 
bebem leite do tipo A; 50% do tipo B; 45% do tipo C; 20% bebem A e B; 30% bebem A e C; 15% 
bebem B e C e 8% bebem dos três tipos. Foram pesquisadas 5.000 pessoas. Faça o diagrama de 
Venn com o número de pessoas. Formalize e responda: a probabilidade dos que: 
a) não bebem nenhum dos três tipos de leite. b) bebem somente um tipo de leite. 
c) bebem exatamente dois tipos. d) bebem pelo menos um dos tipos de leite. 
e) bebem apenas o leite do tipo B. f ) bebem leite do tipo A. 
 R. a) 0,02 b) 0,49 c) 0,41 d) 0,98 e) 0,23 f) 0,6 
 
58) Num grupo com 80 jovens, 11 jovens gostam somente de esporte(E), 12 gostam somente de 
leitura(L), 13 gostam apenas de música(M), 20 jovens gostam de esporte, leitura e música, 25 gostam 
de esporte e leitura, 27 de leitura e música e 29 de esporte e música. 
a) Apresente os dados em diagrama de Venn com o número de pessoas. 
 Formalize e responda: a probabilidade de que um desses jovens, selecionado ao acaso, goste: 
 
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b) de música. R. 0,6125 c) de música e não goste de leitura. R. 0,275 
d) apenas de leitura. R. 0,15 e) de esporte e leitura e não goste de música. R. 0,0625 
f) de esporte e música. R. 0,3625 g) de música, se também gosta de esporte. R. 0,6444 
h) de esporte, sabendo que gosta de música. R. 0,5918 
 
59) Uma firma de consertos tem 3 empregados, “A”, “B” e “C”. As probabilidades de fazerem um 
conserto mal(M) feito são respectivamente de 1%, 2% e 3%. “A” e “B” repartem entre si 80% dos 
consertos e o restante de “C”. 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Qual a probabilidade de um conserto mal feito? R. 0,018 
c) Dado que o conserto foi mal feito, qual a probabilidade de ter sido consertado pelo empregado 
“B”? R. 0,4444 
d) Qual a probabilidade de ter sido consertado pelo empregado “C”, sabendo que o conserto não foi 
mal feito? R. 0,1976 
 
60) Uma loja possui 74% dos clientes do sexo feminino (F), destas 36% preferem efetuar pagamento 
de suas compras a prazo (P), enquanto que esta forma de pagamento é a preferida por 31% dos 
homens(H). 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Calcular a probabilidade de que o pagamento das compras seja efetuado a prazo. R. 0,347 
c) Se o cliente prefere o pagamento a prazo, qual a probabilidade de ser homem? R. 0,2323 
d) Qual a probabilidade de ser mulher, sabendo que o cliente prefere o pagamento à vista? R. 
0,7253 
e) Qual a probabilidade de ser homem, se ele prefere o pagamento à vista? R. 0,2747 
f) Com base nos resultados dos itens d e e, que conclusão tirar? R. 1 
 
61) Uma empresa de consultoria, especialista em resolver problemas relativos à lançamentos de 
novos produtos, classifica os problemas apresentados em três categorias A, B e C. 50% dos 
problemas são classificados na categoria A, 40% na categoria B e o restante na categoria C. A 
capacidade histórica de resolver (R) problemas das diversas categorias são de: 80% se o problema é 
da categoria A, 90% se for da categoria B e 10% da categoria C. 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Chegou um problema, qual a probabilidade de ser resolvido? R. 0,77 
c) Se foi resolvido, qual é a probabilidade de ser da categoria C? R. 0,0130 
d) Qual é a probabilidade de ser da categoria A, se não foi resolvido? R. 0,4348 
 
62) Em uma grande fabrica antiga, as verificações in loco determinaram que a probabilidade de 
fiação defeituosa é de 0,20. Dado que uma fábrica tenha fiação defeituosa, a probabilidade de 
ocorrer um incêndio é de 0,7 e, se a fiação não for defeituosa, a probabilidade de um incêndio fica 
reduzida para 0,1. Um incêndio recente queimou gravemente um operário e causou prejuízos. 
Embora não haja provas, o gerente de operações foi solicitado por uma companhia de seguros para 
calcular a probabilidade do incêndio ter sido provocado por fiação defeituosa. Qual é então, esta 
probabilidade? R. 0,6364 
 
63) Uma companhia petrolífera obteve a concessão para explorar certa região. Estudos anteriores 
estimam que a probabilidade de existir (E) petróleo nessa região em 0,20. A companhia pode optar 
por um teste, sendo que, se realmente existir petróleo, esse teste dirá com probabilidade de 0,80 que 
existe (foi favorável F), e, se realmente não existe, dirá com probabilidade de 0,70 que não existe 
(teste foi desfavorável). 
a) Faça a árvore de possibilidades 
b) Ache a probabilidade do teste ser favorável R. 0,4 
c) Se o teste for desfavorável, qual é a probabilidade de realmente existir petróleo na região? R. 
0,0667 
 
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64) Um programa computacional para detectar fraudes em cartões telefônicos dos consumidores 
rastreia, todo dia, os números de áreas metropolitanas de onde as chamadas originam. Sabe-se que 
1% dos usuários legítimos faz suas chamadas de duas ou mais (≥ 2) áreas metropolitanas em um 
único dia. Entretanto, 30% dos usuários fraudulentos fazem suas chamadas de duas ou mais áreas 
metropolitanas em um único dia. A proporção de usuários fraudulentos (F) é de 0,01%. Se o mesmo 
usuário fizer suas chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um único dia,qual será a 
probabilidade de que seja um usuário fraudulento? R. 0,0030 
 
 
 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
01) O departamento de engenharia industrial da Companhia XYZ está realizando um estudo amostral 
do trabalho de oito técnicos. O engenheiro deseja aleatorizar a ordem de visita às áreas de trabalho 
dos técnicos. De quantas maneiras ele pode organizar essas visitas? R. 40.320 
 
02) Numa batelada de 15 peças moldadas por injeção, 5 delas sofreram excessivo (E) encolhimento. 
Se três peças forem escolhidas, ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de que somente a 
terceira tenha sofrido excessivo encolhimento? R. 0,1648 
 
03) Um lote de 15 calculadoras contém 5 delas com defeitos(D). Suponha que duas calculadoras 
sejam selecionadas, ao acaso, sem reposição no lote. Qual a probabilidade de que todas as duas 
sejam defeituosas? R. 0,0952 
 
04) Uma batelada de 50 reservatórios para suco congelado de laranja contém 9 defeituosos (D). Da 
batelada, quatro são selecionados ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de que apenas o 
primeiro seja defeituoso? R. 0,1041 
 
05) Numa batelada de 25 peças moldadas por injeção, 4 delas sofreram excessivo encolhimento (E). 
Encontre a probabilidade e sem reposição; 
a) se duas peças foram selecionadas ao acaso, a primeira peça não tenha sofrido excessivo 
encolhimento e segunda peça tenha sofrido excessivo encolhimento. R. 0,14 
b) se três peças foram escolhidas ao acaso, a primeira e a segunda não tenham sofrido excessivo 
encolhimento e a terceira peça tenha sofrido excessivo encolhimento. R. 0,1217 
 
06) Sob a hipótese de que certo programa de treinamento melhora o rendimento de 80% das pessoas 
a ele submetidas, qual a probabilidade de, numa amostra de quatro pessoas submetidas a este 
programa de treinamento, apenas a primeira não apresentar melhora(M) no rendimento? R. 0,1024 
 
07) A probabilidade de que um pedido de um consumidor seja despachado(D) no tempo especificado 
é de 0,95. Um consumidor particular faz três pedidos, em longos intervalos de tempo, de modo que 
os eventos podem ser considerados independentes. Qual a probabilidade de que todos os pedidos 
sejam despachados no tempo especificado? R. 0,8574 
 
08) Os problemas de assédio sexual têm recebido muita atenção nos últimos anos. Foram 
pesquisadas 20 mulheres das quais 5 já sofreram algum tipo de assédio(A) sexual. 
 A) Eventos dependentes B) Eventos independentes 
a) Suponha que 3 mulheres sejam selecionadas ao acaso, ache a probabilidade de que todas não 
tenham sofrido assédio sexual. R. 0,3991 0,4219 
 
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29 
 
b) Escolhida 4 mulheres, encontre a probabilidade de que apenas a 3ª. tenha sofrido assédio sexual. 
R. 0,1174 0,1055 
 
09) Uma placa de aço contém 30 parafusos. Considere que 25 parafusos estejam apertados (A) até o 
limite apropriado. Quatro parafusos são selecionados ao acaso, para verificação do torque. Qual é a 
probabilidade de que apenas o primeiro parafuso selecionado esteja apertado até o limite apropriado? 
a) sem reposição. b) com reposição. R. a) 0,0023 b) 0,0039 
 
10) Das 50 peças fabricadas em um dia contém 45 peças que encontram (E) os requisitos esperados 
pelos consumidores. São selecionadas 3 peças, ao acaso. A probabilidade de serem encontradas: 
 A) com reposição. B) sem reposição, 
a) todas as peças com os requisitos esperados pelos consumidores. R. 0,729 0,724 
b) a primeira encontra os requisitos e as outras não, nesta ordem. R. 0,009 0,0077 
 
11) Uma ferramenta de inserção robótica contém 4 componentes (C1, C2, C3 e C4) principais que 
funcionam em série. As probabilidades de funcionamento dos componentes são: 0,90, 0,92, 0,93 e 
0,99 respectivamente. Considerando que os componentes falhem independentemente, qual é a 
probabilidade de que a ferramenta falhe(F) durante o período de garantia? R. 0,2377 
 
12) Um sistema de frenagem é composto por um subsistema eletrônico (E), com uma confiabilidade 
de 0,97, um subsistema hidráulico (H), com uma confiabilidade de 0,96, um subsistema mecânico 
(M), com uma confiabilidade de 0,95. O subsistema é em paralelo. Falham ou funcionam 
independentemente. Qual a probabilidade do sistema de frenagem funcionar (F)? R. 0,9999 
 
13) Suponha que o diagrama seguinte é de um sistema elétrico e que cada componente falhe ou 
funcione independentemente. A probabilidade de funcionamento de cada componente consta no 
diagrama. Qual a probabilidade de que o sistema funcione? a) R. 0,7776 b) R. 0,8037 c) 0,7511 
 
a) 
 0,8 
 C 
 0,9 0,9 
 A B 
 0,8 
 D 
 
b) 
 0,7 
 B 
 0,95 0,9 
 A D 
 0,8 
 C 
 
c) 
 0,7 0,7 
 A B 
 
 
 0,8 0,8 0,8 
 C D E 
 
 
 
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30 
 
14) Os dados de 200 peças usinadas estão resumidos a seguir: 
 
Condição da 
extremidade 
Profundidade do orifício Total 
Acima do desejado (C) Abaixo do desejado (B) 
 Grosseira (G) 15 10 25 
 Moderada (M) 30 20 50 
 Lisa (L) 55 70 125 
 Total 100 100 200 
 
a) Qual é a probabilidade de que uma peça selecionada tenha uma extremidade em condição 
grosseira e uma profundidade do orifício abaixo do valor alvo? R. 0,05 
b) Qual é a probabilidade de que uma peça selecionada tenha uma extremidade em condição 
moderada ou uma profundidade do orifício acima do valor alvo? R. 0,6 
c) Qual é a probabilidade de que uma peça selecionada tenha uma extremidade em condição lisa, se 
tem uma profundidade do orifício abaixo do valor alvo? R. 0,7 
 
15) Os dados de 600 teclados de terminais de computador que são produzidos pelas máquinas estão 
resumidos a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o cliente recebe os teclados, eles são escolhidos ao acaso para a instalação. Encontre 
a probabilidade de um teclado escolhido: 
a) tenha sido produzido pela máquina Z e seja ruim. R. 0,05 
b) seja bom ou tenha sido produzido pela máquina X. R. 0,9083 
c) seja ruim, sabendo-se que foi produzido pela máquina Y. R. 0,1 
 
16) Uma pesquisadora está estudando os rendimentos de pessoas que trabalharam em 2007. Veja a 
tabela abaixo. Formalize cada item. 
 
 
 
 
 
 
 
 Ache a probabilidade de um indivíduo sorteado se encontrar: 
a) com trabalho formal. R. 0,6136 
b) com renda alta. R. 0,4527 
c) com trabalho informal. R. 0,3864 
d) com renda média e trabalho formal. R. 0,2019 
e) com renda alta e trabalho formal. R. 0,3549 
f) o trabalho informal e com renda alta. R. 0,0978 
g) com renda alta, sabendo que é do trabalho formal. R. 0,5784 
h) com renda alta, sabendo que é do trabalho informal. R. 0,2531 
i) desenvolve trabalho formal, se possui renda baixa. R. 0,2769 
j) desenvolve trabalho informal, sabendo que possui renda alta. R. 0,2160 
k) dado que possui renda média, desenvolve trabalho informal. R. 0,4101 
l) dado que é informal, possui renda média. R. 0,3633 
 
 
 Variável Máquina Total 
X Y Z 
 Bom (B) 45 225 270 540 
 Ruim (R) 5 25 30 60 
 Total 50 250 300 600 
TRABALHO Renda Total 
 Baixa (B) Média (M) Alta (A) 
Formal (F) 36 128 225 389 
Informal (I) 94 89 62 245 
 Total 130 217 287 634 
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31 
 
17) No jornal USA Today (05/09/96) foram listados os resultados de uma pesquisa sobre o uso de 
roupas de dormir durante viagens: 
 
Tipo Mulher (M) Homem (H) Total 
Roupa íntima (R) 24 220 244 
Camisola (C) 180 2 182 
Nada (N) 18 160 178 
Pijama (P) 73 102 175 
Camiseta (B) 88 46 134 
Outro (O) 3 84 87 
 Total 386 614 1.000 
 
 Um viajante é escolhido aleatoriamente. Qual é a probabilidade de o viajante: 
a) ser uma mulher? R. 0,386 b) durma com roupas intimas? R. 0,244 
c) durma de camisola ou camiseta? R. 0,316 d) seja um homem que durma nu? R. 0,16 
e) seja uma mulher, dado que ela dorme de pijama? R. 0,4171 
f) durma de camiseta, se ele é um homem? R. 0,0749 
g) seja homem se ele dorme de pijama ou camiseta? R. 0,479 
h) Assumindo que o viajante seja homem, qual é a probabilidade de que ele durma de pijama? R. 
0,1661 
 
18) Das 200 empresas que atuam num dado setor industrial, 150 empresas possuem departamento de 
marketing(M), 102 empresas registram lucros(L) e 62 possuem departamento de marketing e 
registram lucros. 
a) Monte uma tabela usando estes dados. 
Pretende-se calcular a probabilidade para uma empresa, escolhida ao acaso, estar nas 
seguintes condições: 
b) possuir departamento de marketing ou obter lucros. R. 0,95 
c) possuir departamento de marketing e não obter lucros. R. 0,44 
d) não obter lucros, se não possuir departamento de marketing. R. 0,2 
 
19) De acordo com a revista Consumer Digest (julho/agosto, 1996) a provável localização de PCs 
(computadores pessoais) em uma residência é: 
 
 Quarto de adultos 0,03 
 Quarto de criança 0,15 
 Outro quarto 0,14 
 Escritório ou gabinete 0,40 
 Outros cômodos 0,28 
 
a) Qual é a probabilidade de um PC estar em um quarto(Q)? R. 0,32 
b) Qual é a probabilidade de um PC não esteja em um quarto? R. 0,68 
c) Suponha que uma casa de família seja selecionada aleatoriamente entre as casas que tem um PC; 
em qual cômodo você esperaria encontrá-lo? R. No escritório ou gabinete. 
 
20) Em um colégio, 5% das mulheres (M) e 2% dos homens (H) têm mais (>) do que 1,70 m de 
altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são mulheres. Um estudante é selecionado aleatoriamente 
e tem mais de 1,70 m de altura. 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Calcule a probabilidade de que o estudante tenha mais do que 1,70 m. R. 0,038 
c) Se o estudante tem mais de 1,70 m, qual a probabilidade de ser mulher? R. 0,7895 
d) Qual a probabilidade de ser homem, sabendo que ele tem mais de que 1,70 m? R. 0,2105 
e) Com base nos itens c) e d) que conclusão tirar? R. ... 100,0% 
 
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32 
 
21) Uma grande indústria usa três hotéis locais para fornecer acomodação para seus clientes. Com 
base em experiências anteriores, sabe-se que 20% dos clientes são hospedados no Hotel A, 50% no B 
e 30% em C. Se 5% dos quartos A, 4% dos quartos de B e 8% dos quartos de C tem problemas de 
encanamento (E). 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Qual é a probabilidade de que um cliente seja acomodado em um quarto com problemas de 
encanamento? R. 0,054 
c) Qual é a probabilidade de que uma pessoa acomodada em um quarto que apresenta problemas no 
encanamento esteja hospedada no Hotel C? R. 0,4444 
 
 
22) Certa agência federal emprega três empresas de consultoria com P(A) = 0,40; P(B) = 0,35 e P(C) 
= 0,25. Sabe-se, com base em experiências anteriores, que a probabilidade de os custos serem 
ultrapassados (U) por cada uma das empresas é de 0,05; 0,03 e 0,15, respectivamente. 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
Qual é a probabilidade de que: 
b) as empresas ultrapassem os custos. R. 0,068 
c) a consultoria envolvida seja a A, dado que os custos foram ultrapassados. R. 0,2941 
d) a consultoria envolvida seja a B, dado que os custos foram ultrapassados. R. 0,1544 
e) a consultoria envolvida seja a C, dado que os custos foram ultrapassados. R. 0,5515 
 
 
23) Em certa região do país, sabe-se, baseado em experiências anteriores, que a probabilidade de 
selecionar um adulto com mais de 40 anos, com câncer (C), é de 0,05. Se a probabilidade de o 
médico diagnosticar corretamente (D) uma pessoa com câncer como portadora da doença (P) é de 
0,78 e se a probabilidade de diagnosticar incorretamente (I) uma pessoa sem câncer como sendo 
portadora da doença é de 0,06. 
a) Faça a árvore com as possibilidades. 
b) Qual é a probabilidade de que a pessoa seja portadora da doença? R. 0,096 
c) Qual é a probabilidade de que a pessoa diagnosticada corretamente com câncer, se realmente 
tenha a doença? R. 0,4062 
 
24) Depois de ocorrências de acidentes de avião, faz-se uma investigação detalhada. A probabilidade 
de que um acidente devido a uma falha estrutural seja corretamente (C) identificado é de 0,9 e a 
probabilidade de que um acidente que não se deva a uma falha estrutural não seja corretamente 
identificado como resultante de uma falha estrutural é de 0,2. Suponha que 25% de todos os 
acidentes aéreos são devidos a falhas (F) estruturais. 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Calcule a probabilidade de que um acidente aéreo seja corretamente identificado. R. 0,825 
c) Se o acidente aéreo foi corretamente identificado, ache a probabilidade que de seja devido a uma 
falha estrutural. R. 0,2727 
 
 
25) Apenas uma em cada dez pessoas de uma população tem tuberculose (T). Das pessoas que tem 
tuberculose 80% reagem positivamente (P) ao teste Y, enquanto apenas 30% dos que não têm 
tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa é selecionada ao acaso e o teste Y é aplicado. 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Calcule a probabilidade de que a pessoa tenha reagido positivamente ao teste. R. 0,35 
c) Se a pessoa reagiu positivamente ao teste, ache a probabilidade de ter tuberculose. R. 0,2286 
 
 
26) Três tipógrafos para o setor de publicações da Geórgia Tech, o qual estipula uma multa 
contratual para atraso nos trabalhos e os dados a seguir refletem uma vasta experiência com esses 
tipógrafos. 
 
 
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 Um departamento observa que seu folheto de recrutamento está atrasado há mais de um mês. 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Calcule a probabilidade da entrega que tem mais de um mês de atraso. R. 0,34 
c) Ache a probabilidade de que o contratado seja o tipógrafo C, se o trabalho estava com mais de um 
mês de atraso. R. 0,4412 
 
 
27) Em um centro de máquinas, há quatro máquinas automáticas de parafusos. Uma análise dos 
registros de inspeção passados fornece os seguintes dados 
 
 
 
 
 
 
 
 . Um parafuso e selecionado ao acaso. 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Calcule a probabilidade de um parafuso ser defeituoso. R. 0,032 
c) Se o parafuso é defeituoso: 
c1) ache a probabilidade de ter sido produzido pela máquina 3. R. 0,3125 
c2) ache a probabilidade de ter sido produzido pela máquina 4. R. 0,2188 
d) Se o parafuso não é defeituoso: 
d1) ache a probabilidade de ter sido produzido pela máquina 1. R. 0,1488 
d2) ache a probabilidade de ter sido produzido pela máquina 2. R. 0,3006 
 
 
28) Livro: Estatística Aplicada e Probabilidade Aplicada para Engenheiros - Montgomery. 
 Três bits são transmitidos em um canal de comunicação. Cada bit é distorcido (d) ou 
recebido sem distorção )(d . Faça Ai denotar o evento em que o i-ésimo bit é distorcido, i = 1, 2, 3. 
a) Descreva o espaço amostralpara as sequências obtidas. (Use o diagrama em árvore para auxiliá-lo 
na descrição dos pontos do espaço amostral.) 
b) Descreva os seguintes eventos: Ai, iA , A1 A2 A3 
c) Os eventos Ai são mutuamente excludentes? 
 
 
29) Livro: Probabilidade – Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer. 
Um número binário é constituído apenas dos dígitos zero e um. (Por exemplo, 1011, 1100 
etc). Esses números são importantes na utilização dos computadores eletrônicos. Suponha que um 
número binário seja formado de n dígitos. Suponha que a probabilidade de um dígito incorreto 
aparecer seja p e que os erros em diferentes dígitos sejam independentes uns dos outros. 
a) Qual será a probabilidade de formar-se um número incorreto? R. 1 – (1 – p)n 
b) Se são formados k números binários, qual é a probabilidade de que todos eles sejam corretos? R. 
(1 – p)n.k 
 
 
Tipógrafo 
 Fração dos 
contratos 
 Fração de entregas com mais 
de um mês de atraso (+) 
A 0,2 0,2 
B 0,3 0,5 
C 0,5 0,3 
Máquina % da produção % de defeitos produzidos (D) 
1 0,15 0,04 
2 0,30 0,03 
3 0,20 0,05 
4 0,35 0,02 
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30) Triola, ex. 21, pág. 77. Um processo de exame de sangue se torna mais eficaz combinando-se 
amostras de espécimes de sangue. Se combinarem amostras de sangue de 5 pessoas e o resultado da 
mistura é negativo, pode-se afirmar que todos são negativos. Determine a probabilidade de um 
resultado positivo para 5 amostras combinadas em uma única mistura, supondo que a probabilidade 
de o teste de uma amostra individual ser positivo é de 0,015. R. 0,0728 
 
 
31) Triola, ex. 9, pág. 77. Quatro estudantes que chegaram atrasados para um teste e deram a 
desculpa do pneu furado. Se não houve nenhum pneu furado e os estudantes responderam na base do 
“palpite”, qual a probabilidade de todos eles terem escolhido o mesmo pneu? R. 0,0156 
 
 
32) Livro: High- Speed Networks: TCP/IP and ATM Design Principles – William Stalings - 
1998, pág. 129. (Teorema do total/ Bayes) Suponha a transmissão de zeros e uns sobre uma linha 
de transmissão com ruído. Sejam os eventos So = {enviar 0}, S1 = {enviar 1}, Ro = {receber 0}, R1 = 
{receber 1}. Suponha que a probabilidade da fonte enviar um zero é p. Agora a linha é observada 
para se avaliar a quantidade de erros de transmissão. Neste caso um erro ocorre se for recebido um 
zero quando um 1 foi enviado, ou se foi recebido um 1 quando um zero foi enviado. Suponha P(R0 / 
S1) = pa e P(R1 / So) = pb. 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Qual a probabilidade de erro? R. ab pppperroP ).1(.)( −+= 
c) Calcule a probabilidade de que dado que um zero foi recebido, qual a probabilidade de tenha sido 
enviado 1? R. 
)1().1(
).1(
)/( 01
ba
a
pppp
pp
RSP
−+−
−
= 
 
 
33) Considere um canal binário de comunicações transmitindo palavras de 32 bits cada. A 
probabilidade da transmissão correta de um bit é de 0,991 e se utiliza um código capaz de corrigir até 
1 erro. Considerando que a transmissão de bits sucessivos é independente, qual é a probabilidade da 
transmissão correta de uma palavra? R. 0,2176 (exatamente 1 erro) e 0,9664 
 
 
34) Selecionada uma pessoa, ao acaso, determine a probabilidade de ela fazer aniversário: 
a) em 18 de outubro, que é Dia Nacional da Estatística. Ignore os anos bissextos. R. 0,0027 
b) em novembro. Ignore os anos bissextos. R. 0,0822 
c) recalcule a probabilidade do item a, sabendo que um ano bissexto ocorre a cada quatro anos. R. 
0,0027 
O problema do aniversário. Pode ser encontrado em Estatística Elementar, Paul G. Hoel, 
1989, pág. 71, ou Introdução à Estatística – Triola, 1999, pág. 78. 
 
n
n
APAP
365
)1365.(....363.364.365
)()'(
__ +−
== 
 
35) Suponha que haja n pessoas em uma sala. Se uma lista de seus aniversários for feita (dia e mês), 
ache a probabilidade de que duas ou mais pessoas façam aniversário no mesmo dia. Considere o ano 
com 365 dias e que cada dia seja igualmente provável de ser o aniversário de qualquer pessoa. Seja A 
o evento em que duas ou mais pessoas aniversariam no mesmo dia. Ache P(A) e P(A’) para n = 2, 3, 
4, 5, 10, 15, 20, 25, ... R. 
 
(25 alunos = 0,569881 50 alunos = 0,970455) 
 
. . . . . . . . 
N 2 3 4 5 10 15 20 25 40 60 
P(A) 0,0027 0,0082 0,0164 0,0271 0,1169 0,2529 0.41.. 0,56... 0,89.. 0,99.. 
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35 
 
FORMULÁRIO: AXIOMAS: A1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 A2) P(S) = 1 
 
A3) P(AB) = P(A) + P(B), se A B = φ (M.E.) 
 
A4) P(A1A 2 ... An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An), se os eventos forem 
M.E., dois a dois. 
 
TEOREMAS: T1) P(φ) = 0 
 _ _ _ 
T2) P(A) + P(A) = 1 → P(A) = 1 ─ P(A) ou P(A) = 1 ─ P(A) 
 
T3) Se A  B → P(A) ≤ P(B) 
 _ _ 
T4) P(AB) = P(A) ─ P(AB) e P(AB) = P(B) ─ P(AB) 
 
T5) P(AB) = P(A) + P(B) ─ P(AB), se (AB) ≠ φ 
 
T6) P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) ─ P(AB) ─ P(AC) ─ P(BC) + 
 P(ABC) 
 _ _ ____ ____ 
MORGAN: a) P(AB) = P(AB) → P(AB) = 1 ─ P(AB) 
 _ _ ____ ____ 
b) P(AB) = P(AB) → P(AB) = 1 ─ P(AB) 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL: 
a) Para dois eventos: P = e P = 
 
b) Para três eventos: = 
 
PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO PARA EVENTOS DEPENDENTES: 
 
a) Para dois eventos: P(AB) = P(A) . P(B/A) 
 
b) Para três eventos: P(ABC) = P(A) . P(B/A) . P(C/AB) 
 
PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO PARA EVENTOS INDEPENDENTES: 
 
a) Para dois Eventos: P(AB) = P(A) . P(B) 
 
b) Para três Eventos: P(ABC) = P(A) . P(B) . P(C) 
 
TEOREMA DA PARTIÇÃO: = 
 
TEOERA DE BAYES: = = 
 
 
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37 
 
VARIÁVEI7S ALEATÓRIAS 
 
 
 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
Uma variável é dita aleatória quando seus valores são determinados por processos ao 
acaso, que não estão sob o controle do observador. Em simulação de filas são exemplos de 
variáveis aleatórias: tempo entre as chegadas das pessoas em uma fila, tempo de serviço, 
tempo de espera de uma pessoa na fila etc. 
Quando o espaço amostral do experimento de interesse não é constituído por 
números reais, é necessária a sua transformação em um espaço amostral numérico. Nesse 
caso, consideramos a definição de uma variável aleatória como sendo uma função que 
transforma valores de um espaço amostral, associado ao experimento de interesse, em 
números reais. 
Quando se atribuem valores de probabilidade a todos os possíveis valores de uma 
variável aleatória X, tanto por uma listagem apresentada em uma tabela ou gráfico, como 
por uma função matemática, o resultado é o que chamamos de distribuição de 
probabilidades. 
Para uma variável aleatória discreta, os possíveis valores podem ser listados, com as 
correspondentes probabilidades. Isto não ocorre para uma variável aleatória contínua, pois o 
espaço amostral em questão é infinito não-enumerável. Desta forma, as probabilidades são 
determinadas através de uma integral definida da função denominada função densidade de 
probabilidade,ou por uma curva de probabilidade. 
 Há muitos tipos de distribuição de probabilidades. Cada uma tem seu próprio 
conjunto de hipóteses que definem as condições sob as quais o tipo de distribuição pode ser 
utilizado validamente. STEVENSON (1981) nos diz que a chave da utilização de uma 
distribuição de probabilidades consiste em confrontar as hipóteses do tipo de distribuição 
com as características da situação real. Sempre que for tal a correspondência, todos os 
problemas enquadrados em cada tipo de distribuição são tratados essencialmente da mesma 
maneira. 
 
2.1. MODELOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 
(v.a.d.) 
Uma variável aleatória discreta assume um número finito ou infinito enumerável de 
valores. 
Exemplo: Em filas de espera podemos definir algumas variáveis discretas tais como 
número de clientes que chegam a uma fila durante um determinado período, número de 
pessoas na fila, número de pessoas no sistema. 
 
2.1.1. MODELO GERAL 
 
 Função de Probabilidade, f(x): A probabilidade de que a variável X assuma um 
particular valor x, é a função de probabilidade de X que se representa por f(x) = P(X = x). A 
função f(x) determina a distribuição de probabilidades da variável aleatória e, pode ser 
expressa por uma tabela, gráfico ou fórmula. 
 
f(x) = P(X = x) 
 
 
A função “f” assim definida é denominada de função de probabilidade de X, e a 
coleção dos pares (xi, f(xi)), para i = 1, 2, 3, ... , é denominada de distribuição de 
probabilidade da variável aleatória discreta X. 
 
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38 
 
A função f(xi), satisfaz as seguintes propriedades: 
• f(xi)  0, para todo “i”. 
• 1)( = ixf 
 
Note que f(xi) = P(X = xi) = P({s  S / X(s) = xi}). Desta forma, quando se calcula 
f(xi) está se calculando, na realidade, a probabilidade do evento {s  S / X(s) = xi}  S. 
 
Exemplo: Dois dados são lançados e observa-se o par obtido. O espaço amostral é 
formado por 36 resultados equiprováveis. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas da 
seguinte forma: 
X = soma do par obtido Y = maior valor do par 
 
Tem-se então: 
X(S) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Y(S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Para X tem-se: 
f(2) = P( X = 2) = P({ (1, 1) }) = 1/36 
f(3) = P( X = 3) = P({ (1, 2), (2, 1) }) = 2/36 
f(4) = P( X = 4) = P({ (1, 3), (2, 2), (3, 1) }) = 3/36 
f(5) = P( X = 5) = P({ (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) }) = 4/36 
f(6) = P( X = 6) = P({ (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) }) = 5/36 
f(7) = P( X = 7) = P({ (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) }) = 6/36 
f(8) = P( X = 8) = P({ (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) }) = 5/36 
f(9) = P( X = 9) = P({ (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) }) = 4/36 
f(10) = P( X = 10) = P({ (4, 6), (5, 5), (6, 4) }) = 3/36 
f(11) = P( X = 11) = P({ (5, 6), (6, 5) }) = 2/36 
f(12) = P( X = 12) = P({ (6, 6)}) = 1/36 
 
A distribuição de probabilidade de X pode ser apresentada numa tabela: 
 
x | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
f(x) | 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 
 
Para Y tem-se: 
f(1) = P( Y = 1) = P({(1, 1)}) = 1/36 
f(2) = P( Y = 2) = P({(2, 1), (2, 2), (1, 2)}) = 3/36 
f(3) = P( Y = 3) = P({(1, 3), (2, 3), (3, 3), (3,2), (3, 1)}) = 5/36 
f(4) = P( Y = 4) = P({(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (4, 3), (4, 2), (4, 1)}) = 7/36 
f(5) = P( Y = 5) = P({(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (5, 4), (5, 3), (5, 2), (5, 1)}) = 9/36 
f(6) = P( Y = 6) = P({(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (6, 5), (6, 4), (6, 3), (6, 2), 
 (6, 1)}) = 11/36 
 
A distribuição de probabilidade de Y pode ser apresentada numa tabela: 
 
y 1 2 3 4 5 6 
 
f(y) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 
 
Observe que 1)( = ixf e 1)( = iyf . 
 
 
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39 
 
 
 Função de distribuição acumulada ou função de repartição, F(x): Define-se a 
Função de Distribuição de Probabilidade ou Função de Repartição da variável aleatória X, 
no ponto x, como sendo a probabilidade de que X assuma um valor menor ou igual a x, isto 
é: 
F(x) = P(X  x) = ).(
xx
i
i
xf 
 Para o cálculo das probabilidades no ponto X = xi, com base em F(X), tem-se: 
f(xi) = F(xi) – F(xi-1) 
 
Para o cálculo das probabilidades acumuladas, tem-se: 
P(a  X  b) = F(b) – F(a) + P(X = a) 
P(a < X  b) = F(b) – F(a) 
P(a  X < b) = F(b) – F(a) + P(X = a) – P(X = b) 
P(a < X < b) = F(b) – F(a) – P(X = b) 
 
 
 
 EXERCÍCIO RESOLVIDO: 
 
 Um operário recebeu treinamento para executar uma tarefa. A probabilidade de que o 
treinamento tenha sido eficiente é de 0,9. Executar a tarefa 3 vezes. Seja X o número de 
vezes que a tarefa foi executada corretamente. Considerar C como execução correta e 
__
C 
como não correta. 
 a) Definir o espaço amostral e o Rx. 
 b) Qual o tipo de v.a.? 
 c) Achar a função de probabilidade e colocar os dados em uma tabela. 
 d) Esboçar o gráfico da função de probabilidade. 
 e) Encontrar a função de distribuição acumulada ou função de repartição. 
 f) Esboçar o gráfico de F(x). 
 g) Dar a expressão geral ou função de distribuição acumulada. 
 
Solução: X = Número de tarefas executadas corretamente. 
a) S = {
__
C
__
C
__
C , 
__
C
__
C C, 
__
C C
__
C , C
__
C
__
C , 
__
C CC, C
__
C C, CC
__
C , CCC} Rx = {0,1, 2, 3} 
b) Discreta finita. 
c) )()( xXPxf == P(C) = 0,9 P(
__
C ) = 0,1 
 
__
C
__
C
__
C → 001,01,0.1,0.1,0)0()0( ==== XPf 
 C
__
C
__
C + 
__
C C
__
C + 
__
C
__
C C → 027,09,0.1,0.1,0.3)1()1( ==== XPf 
 CC
__
C + C
__
C C + 
__
C CC → 243,09,0.9,0.1,0.3)2()2( ==== XPf 
 CCC → 729,09,0.9,0.9,0)3()3( ==== XPf 
 
 x i 0 1 2 3 soma 
 f i 0,001 0,027 0,243 0,729 1 
 
e) F(x) = P(X ≤ x) F(< 0) = P(X < 0) = f(<0) = 0 
 
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40 
 
 F(0) = P(X ≤ 0) = F(< 0) + f(0) = 0 + 0,001 = 0,001 
 F(1) = P(X ≤ 1) = F(0) + f(1) = 0,001 + 0,027 = 0,028 
 F(2) = P(X ≤ 2) = F(1) + f(2) = 0,028 + 0,243 = 0,271 
 F(3) = P(X ≤ 3) = F(2) + f(3) = 0,271 + 0,729 = 1 
g) 













=
3;1
32;271,0
21;028,0
10;001,0
0;0
)(
xse
xse
xse
xse
xse
XF 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
No lançamento de duas moedas equilibradas, seja X = Número de caras. Então a 
distribuição de probabilidades de X, f(x), é dada por: 
 
X 0 1 2 ∑ 
f(x) 
 
¼ 2/4 = 1/2 1/4 1 
 
1) Esboçar o gráfico de f(x). É um diagrama de barras. Os valores da variável são 
apresentados no eixo x e os valores de probabilidade no eixo y. Para cada valor de x, ergue-
se uma barra da altura da probabilidade da variável assumir aquele valor. A barra possui 
uma base quase nula. 
2) A expressão geral ou função de distribuição acumulada. R. 











=
2,1
21,4/3
10,4/1
0,0
)(
x
x
x
x
xF 
 
3) Esboçar o gráfico de F(x). Observe que F(x) é uma função em escada. 
 
 
CARACTERÍSTICAS NUMÉRICAS: 
 
Valor Esperado de uma Variável Aleatória (esperança, expectância): É uma 
medida de síntese. Se uma variável aleatória X toma os valores ,...,...,, 21 ixxx com as 
probabilidades correspondentes ,...,...,, 21 ippp então o seu valor esperado, E(X), é: 


=
=
1
.)(
i
ii xpXE = ∑ xi.f(xi) 
 
 Note que o valor esperado de uma variável aleatória é uma média. 
 
Variância de uma Variável Aleatória discreta (
2 ) : É uma medida de 
variabilidade dos valores de X tomadosem relação à média: 
 
 22 ))(()( XEXEXV i −== ( : sigma) 
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41 
 
 
 Fórmula mais operacional:  222 )()()( XEXEXV −== 
 )(.)(.)(
1
2
1
22
i
i
ii
i
i xpxxfxXE 

=

=
== 
 Desvio padrão de uma v.a.d. ( ): )()( XVXDP +== 
 
 
 EXERCÍCIO RESOLVIDO: 
 
 Use os dados do exemplo da página 4 para completar a tabela abaixo: 
x i 0 1 2 3 Soma 
f(x i) 0,001 0,027 0,243 0,729 1 
F(x i) 
x i.f(x i) 
x i 2 - 
x i 
2.f(x i) 
 
 a) Encontre o número esperado de tarefas corretas. (0,1) 
 b) Ache o desvio padrão. (0,01) 
 
Solução: 
a) E(X) = 0.0,001 + 1.0,027 + 2.0,243 + 3.0,729 = 2,7 tarefas corretas 
b) V(X) = (02.0,001 + 12.0,027 + 22.0,243 + 32. 0,729) – 2,72 = 7,56 – 7,29 = 0,27 
 corretastarefasXDPXDP 52,0)(5196,027,0)( =→=+= . 
 
 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
1) A tabela abaixo fornece a probabilidade de um sistema de computação ficar fora de 
operação um dado número de períodos por dia, durante a fase de inicialização do sistema. 
Determine: 
a) o nº esperado de vezes, por dia que o computador ficará fora de operação. R.6,22 
b) o desvio padrão da distribuição. R. 0,8897 
 
Nº de períodos(x) P(X=x) = f(x) 
4 0,06 
5 0,13 
6 0,34 
7 0,47 
∑ 1,00 
 
2) Seja X uma v.a.d. que representa o número de acidentes que podem ocorrer num certo 
cruzamento, entre as 20 e 24 h. Supõe-se que mediante certas considerações teóricas obteve-
se a função de probabilidade f correspondente a variável X e que é representada pela tabela 
seguinte: 
 
 
 
x 0 1 2 3 ∑ 
P(X = x) = f(x) 0,80 0,10 0,07 0,03 1,00 
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42 
 
Determine a probabilidade de ocorrer: 
a) um acidente. R. 0,1 b) no mínimo dois acidentes. R. 0,1 
c) menos de 3 acidentes. R. 0,97 d) mais que 1 e menos que 3 acidentes. R. 0,07 
 
3) Seja: 
 


















=
5
54
43
32
21
10
0
;0,1
9,0
;8,0
;5,0
;3,0
;1,0
;0,0
)(
xse
xse
xse
xse
xse
xse
xse
xF 
 
a) Construa o gráfico de F(x). 
b) Determine a função de probabilidade de X e construir o gráfico. 
c) Calcule: c.1) E(X) c.2) V(X) c.3) σ
 
= DP(X) R. c.1) 2,4 c.2) 2,04 c.3) 1,43 
 
4) X é uma v.a. com a seguinte função de probabilidade: 
 
N. de caminhões alugados/dia (xi) 0 1 2 3 4 Total
Probabilidade de alugar caminhões p(xi) 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1 1 
 
 a) Calcule o número médio diário (esperança) de caminhões alugados. (1) R. 2 
 b) Calcule o desvio padrão de caminhões alugados por dia. (0,01) R. 1,18 
 c) O valor do aluguel por dia é da ordem de R$ 300,00. Quanto será o ganho médio 
por dia? R. R$ 600,00 
 
5) Um dono de padaria sabe que o número de bolos que ele pode vender em um determinado 
dia é uma v.a. tendo a função de probabilidade P(x) = 1/6 para x = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Ele sabe 
também que há um lucro de R$ 20,00 para cada bolo vendido e uma perda de R$ 8,00 para 
cada bolo que ele não vende. Supondo que cada bolo só pode ser vendido no dia em que é 
feito, encontrar o lucro esperado para um dia no qual o dono da padaria produz 3 bolos, 4 
bolos ou 5 bolos. Qual é o mais lucrativo? Justifique a resposta. 
 R. R$ 32,00; R$ 33,33 e R$ 30,00. 4 bolos, ... 
 
6) Uma amostra de 2 objetos é escolhida aleatoriamente, sem reposição de uma caixa que 
contém 12 dos quais 4 são defeituosos, Seja X o número de defeituosos encontrados na 
amostra. Determine: 
 a) a distribuição de probabilidade. R. 14/33, 16/33 e 1/11 
 b) a média e o desvio padrão dos objetos defeituosos. (0,01) R. 0,67 0,63 
 c) a expressão geral ou função de distribuição acumulada. 
 R. 











=
2,1
21,33/30
10,33/14
0,0
)(
xse
xse
xse
xse
XF 
 
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43 
 
7) Após o encerramento das apostas de um teste da Loteria Esportiva do Brasil, o 
processamento de dados fornece as seguintes frequências relativas para cada uma das 
marcações nos 13 jogos: 
 
 
Jogo Coluna 1 Coluna x Coluna 2 Resultado
1 0,15 0,35 0,50 x
2 0,80 0,15 0,05 1
3 0,30 0,40 0,30 x
4 0,60 0,25 0,15 1
5 0,04 0,06 0,90 2
6 0,55 0,30 0,15 x
7 0,50 0,40 0,10 x
8 0,05 0,25 0,70 2
9 0,35 0,35 0,30 2
10 0,40 0,40 0,20 x
11 0,08 0,12 0,80 1
12 0,75 0,15 0,10 1
13 0,90 0,06 0,04 1 
 
 O líquido a ratear, no teste é de R$ 54.499.716,00 num total de 3 milhões de apostas. 
 a) Qual o número esperado de apostas vencedoras? R. 99 
 b) Qual o valor esperado do prêmio de cada aposta vencedora? R. R$ 550.502,18 
 
8) X é uma v.a. com a seguinte função de probabilidade: 
 
 
x 0 1 2 3 4 Total
P(x) 0,25 0,125 0,25 0,125 0,25 1 
 
a) Obtenha a função de distribuição. R. 
















=
4;1
43;75,0
32;625,0
21;375,0
10;25,0
0;0
)(
xse
xse
xse
xse
xse
xse
XF 
 
 b) Encontre a E(X), V(X) e DP(X). R. 2; 2,25 e 1,5 
 
 Calcule as probabilidades: 
 c) P(0 ≤ X ≤ 2) R. 0,625 d) P(X > 2) R. 0,375 
e) P(X ≤ 3) R. 0,75 f) P(X > 4) R. 0 
g) P(1 < X < 3) R. 0,25 h) P(X ≥ 3) R. 0,375 
 
 
 
 
 
 
 
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44 
 
 
2.2. MODELOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 
(v.a.c.) 
 
 Uma variável aleatória contínua assume valores em um conjunto infinito não-
enumerável. 
 
 Exemplo: Em filas de espera podemos definir algumas variáveis contínuas, tais 
como tempo médio entre as chegadas, tempo de espera ou o tempo de serviço. 
 
 
 2.2.1. MODELO GERAL 
 
 Função Densidade de Probabilidade (f.d.p.), f(x). Seja X uma variável aleatória 
contínua com valores em Rx. A função densidade de probabilidade f(x) é uma função que 
satisfaz as seguintes condições: 
 
a) f(x)  0, para todo x  Rx 
b)  =
xR
dxxf 1)( 
 c) f(x) não fornece valores de probabilidade. Para se calcular a probabilidade de a 
variável X estar entre x1 e x2, devemos calcular a integral definida, tal que: 
P(x1 < X < x2)= 
2
1
)(
x
x
dxxf 
 A probabilidade é a área sob a curva da função f(x), entre X = x1 e X = x2, sendo 
 x1 < x2. 
 
Observações: 
• A probabilidade de qualquer valor especificado de X, por exemplo xo, ocorrer é 
zero, ou seja, P(X = xo) = 0 
• Observe que P(x1 < X < x2) = P(x1  X < x2) = P(x1 < X  x2) = P(x1  X  x2). É 
indiferente considerar ou não os extremos, quando especificamos um intervalo. 
 
 
 Função de distribuição acumulada: 
 
F(x) = P(X  x) = 
−
x
dxxf )( , )()( xF
dx
d
xf = 
 
 Propriedades: 
 
• 0  F(X)  1 
• 1)(lim =
+→
XF
x
, isto é , F(+) = 1 
• 0)(lim =
−→
XF
x
, isto é , F(-) = 0 
• F(X) é uma função não decrescente, logo se a < b → F(a)  F(b). 
 
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45 
 
 
CARACTERÍSTICAS NUMÉRICAS: 
 
 Valor esperado, E(X) 
E(x) = 

−
dxxfx )(. 
 Variância, σ2 = V(X) 
 V(X) = E(X2) – [E(X)]2 = 

−
dxxfx )(.2 – ])(.[ 

−
dxxfx 2 
 Desvio Padrão, DP(X) 
 )()( XVXDP +== 
 
 
 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) Seja a função f(x) = 2x, 0 < x < 1: 
a) mostra que a função dada é uma f.d.p., 
b) faça o gráfico desta função, 
c) obtenha a função de distribuição, 
d) esboce o gráfico da função de distribuição, 
e) calcule: 
 e.1)P(0,2 ≤ x ≤ 0,6) 
 e.2) P(x > 0,4) 
 e.3) P(x ≤ 0,7) 
 e.4) P(0,5 ≤ x ≤ 1,5) R. 0,75 
 e.5) P(x ≤ 0,4) R. 0,16 
 e.6) P(x > 0,3) R. 0,51 
Solução: 
a)   1110111
2
2
1.21).( 22
1
0
2
1
0
2
1
0
==−==





==  x
x
dxxdxxf
Rx
 então, é uma f.d.p. 
 
c)   202
0
2
0 2
2
)(.2)().()()( xt
t
xFdttxFdttfxXPxF
x
x
xx
==





====  − 








=
1;1
10;
0;0
)( 2
xse
xsex
xse
xF 
 
e.1) P(0,2 ≤ x ≤ 0,6) =   32,004,036,02,06,0 226,0 2,02 =−=−=x 
 
e.2) P(x > 0,4) =   84,016,014,01 221 4,02 =−=−=x 
 
e.3) P(x ≤ 0,7) =   49,0049,007,0 227,002 =−=−=x 
 
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46 
 
2) A f.d.p. da v.a.c. é dada por: 


 −
=
contráriocaso
xsex
xf
01
;0
;3
)(
2
 
 
Determine: a) a expectância. b) a variancia. c) o desvio padrão. 
 
Solução: 
a) E(X) = 75,0
4
3
4
)1(
.30
4
.3)3().3.().(.
4
0
1
4
0
1
3
0
1
2 −=−=
−
−=





===
−
−−

− 
x
dxxdxxxdxxfx 
b) σ2 = −





=−=−−=−
−
− −

−  
0
1
5
0
1
0
1
422222
5
.35625,03)4/3()3.()(.
x
dxxdxxxdxxfx  0,5625 
 = 3/5 – 0,5625 = 0,6 – 0,5625 = 0,0375 
 
c) 19,01936,00375,0)( ==+==  XDP 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
1) Em uma localidade, a distribuição de renda em u.m.(x1.000) é uma variável aleatória X 
com f.d.p. dada por: 
 1/10x + 1/10, 0  x  2 
f(x) = –3/40x + 9/20, 2 < x  6 
 0, x < 0 ou x > 6 
 
a) Qual a renda média nesta comunidade? R. 2,5 u.m.(x1.000) 
 b) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual é a probabilidade de sua renda ser superior a 
3 u.m.? R. 0,3375 
 
 
2) Seja X uma v.a.c., que representa o tempo necessário para a pintura de uma peça de 
automóvel, em horas, com função densidade de probabilidade dada por: 
 






−

=
1;0
10;89
0;0
)( 32
xse
xsexx
xse
xf 
Determine: 
 a) a probabilidade de gastar menos de meia hora para a pintura. R. 0,25 
b) a probabilidade para que o tempo gasto se situe entre ½ e ¾ h. R. 0,3828 
c) o tempo médio gasto na pintura da peça. R. 0,65 
d) o desvio padrão. R. 0,21 
e) a função distribuição. R. 








−=
1
10
0
;1
;23
;0
)( 43
x
x
x
se
se
se
xxxF 
 
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47 
 
3) Um posto de gasolina recebe o líquido uma vez por semana. As vendas do passado 
sugerem uma função densidade de probabilidade das vendas semanais X, medida em 
milhares de litros, dada por: 
 






−
−
=
31;0
32;3
21;1
)(
xouxse
xsex
xsex
xf 
Calcule: 
 a) a probabilidade de que, em dada semana, sejam vendidos de 1,5 a 1,8 milhares 
de litros. R. 0,1950 
 b) a média de vendas semanais. R. 2,0 
 
4) Uma v.a.c. tem a seguinte função densidade de probabilidade; 
 
 







−=
arcomplementno
xse
xse
xk
k
xf 21
10
;0
);2(
;
)( 
Determine: 
 a) o valor de k; R. 2/3 
 b) a função de distribuição. R. 








−−


=
2;1
21;
3
1
3
1
3
4
10;
3
2
0;0
)(
2
x
xxx
xx
x
xF 
 
 c) P(X ≥ 1,5 ); R. 0,0833 d) E(X); R. 0,7778 e) V(X); R. 0,2284 
 
5) Seja X uma v.a.c. com função de distribuição dada por: 
 














=
4
42
21
10
0
;1
;
4
1
;
2
1
;
2
1
;0
)(
x
x
x
x
x
x
x
xF 
Determine: a) E(X). R. 1,75 b) V(X). R. 1,77 
 
6) Supõe-se que o diâmetro X de um cabo elétrico é uma v.a.c. com função densidade dada 
por: 
 
 f(x) = 6x(1 – x), quando 0 < x < 1 
 0, no complementar 
a) Verifique se essa função é uma densidade de probabilidade; 
b) Calcule a função de distribuição acumulada de X. R. 
 








−=
1
10
0
;1
;23
;0
)( 32
x
x
x
xxxF 
 
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48 
 
 
PROPRIEDADES DA MÉDIA E DA VARIÂNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
 
 
 MÉDIA 
 
1) A média de uma constante é a própria constante. 
 E(k) = k, onde k = constante 
 
2) Se multiplicarmos os valores de uma v.a. por uma constante, a média fica multiplicada por 
esta constante. 
 E(k.X) = k.E(X) 
 
3) Somando ou subtraindo uma constante a uma v.a., a sua média fica somada ou subtraída 
da mesma constante. 
 E(X ± k) = E(X) ± k 
 
4) A média da soma ou diferença de duas v.a. é a soma ou diferença das médias dessas 
variáveis. 
 E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) 
 
5) A média do produto de duas v.a. independentes é o produto das médias dessas variáveis. 
 E(X.Y) = E(X).E(Y) 
 
 
 
 
 
 VARIÂNCIA 
 
1) A variância de uma constante é nula(zero). 
 V(k) = 0 
 
2) Se multiplicarmos os valores de uma v.a. por uma constante, a variância fica multiplicada 
pelo quadrado da constante. 
 V(k.X) = k2.V(X) 
 
3) Somando ou subtraindo uma constante a uma v.a., a sua variância não se altera. 
 V(X ± k) = V(X) 
 
4) A variância da soma ou diferença de duas v.a. independentes é a soma das variâncias 
dessas variáveis. 
 V(X ± Y) = V(X) + V(Y) 
5) A variância do produto de duas v.a. independentes é o produto das variâncias dessas 
variáveis. 
 V(X.Y) = V(X).V(Y) 
 
 
 
 
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49 
 
 3. MODELOS PROBABILÍSTICOS 
 
 3.1. MODELOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 
 
Existem algumas distribuições de probabilidade para variáveis discretas, que pela sua 
frequência de uso vale a pena estudar mais detalhadamente. Estas distribuições apresentam 
expressões para o cálculo das probabilidades, isto é, as probabilidades f(x) podem ser 
avaliadas através de um modelo matemático conhecido. A seguir são apresentadas algumas 
distribuições, sendo que as mais importantes são a Distribuição Binomial e a Distribuição de 
Poisson. 
 
 
 A. DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI 
 
 Experimento de Bernoulli – é um experimento onde só podem correr dois resulta- 
dos: “sucesso” ou “fracasso”. A probabilidade de sucesso é p e a probabilidade de fracasso 
é q = 1 – p. 
 Uma variável aleatória X = número de sucessos em uma realização do experimento 
Bernoulli tem Distribuição de Bernoulli. 
 
 A função de probabilidade, f(x) é dada por: 
 
X 0 1 
f(x) = P(X = x) 0 sucesso = 1 fracasso 
q = 1 – p 
1 sucesso 
P 
 





=
=−
===
cc
xp
xp
xXPxf
,0
1,
0,1
)()( 
 
1,0,)( 1 == − xqpxf xx . 
 
 
 
 
 CARACTERÍSTICAS NUMÉRICAS: 
 
 Média: E(X) 
=
=
n
i
ii xpXE
1
.)( = 0.(1 – p) + 1.(p) = p E(X) = p 
 
 
 Variância: V(X) E(X2) = 02.(1 – p) + 12(p) = p 
 
  222 )()()( XEXEXV −== = p – p2 = p.(1 – p) = p.q V(X) = p.q 
 
 
 Desvio padrão: DP(X)= + qp. 
 
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50 
 
 B. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 
 É uma das mais antigas distribuições de probabilidade. Foi desenvolvida por J. 
Bernoulli (1713). 
 
 Seja um experimento que consiste na realização de n provas independentes de 
Bernoulli. Define-se X = número de sucessos nessas n provas. Neste caso X poderá assumir 
os valores 0, 1, 2,..., n. Como as provas são independentes, a probabilidade de ocorrência de 
sucesso não altera de uma prova para outra, o mesmo ocorre com a probabilidade de 
fracasso. 
 
 Observe o exemplo: 
X = 3 provas de Bernoulli 
Espaço amostral S = {FFF, SFF, FSF, FFS, SSF, SFS, FSS, SSS} 
Vamos calcular as probabilidades de ocorrênciade cada valor de X. 
f(0) = P(X=0) = P(FFF)=P(F).P(F).P(F) = q.q.q = q3 
f(1) = P(X=1) = P(SFF)+P(FSF)+P(FFS) = P(S).P(F).P(F) + P(F).P(S).P(F) + P(F).P(F).P(S) 
= p.q.q + q.p.q + q.q.p = 3 p. q2 
 f(2) = P(X=2) = P(SSF)+P(SFS)+P(FSS) = P(S).P(S).P(F) + P(S).P(F).P(S) + P(F).P(S).P(S) 
= p.p.q + p.q.p + q.p.p = 3 p2. q1 
f(3) = P(X=3) = P(SSS) = P(S).P(S).P(S) = p.p.p = p3 
 
 Colocando os resultados numa tabela, podemos observar um padrão e definir a 
fórmula matemática. O número total de sequências diferentes de tentativas que contém x 
sucessos e n-x fracassos vezes a probabilidade de cada sequência é igual a P(X = x). 
 
x = 0 1 . p0. q3 
em que, 1 = 





0
3
 
x = 1 3 . p1. q2 
em que, 3 = 





1
3
 
x = 2 3 . p2. q1 
em que, 3 = 





2
3
 
x = 3 1 . p3. q0 
em que, 1 = 





3
3
 
 
 Então, a função de probabilidade, f(x), nos permite calcular a probabilidade de se 
obter x sucessos em n provas, e é dada por: 
 
xnx qp
x
n
xXPxf −





=== .)()( , x = 0, 1, 2, ..., n. 
em que 
)!(!
!
xnx
n
x
n
−
=





 e tem-se a fórmula de Stirling para o cálculo de n!, quando n é 
muito grande. 
nn enn −+= ..2! 2/1 
 
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51 
 
 Lembre-se de que =





1
n
n
n
n
=





−1
, =





0
n
1=





n
n
, 1! = 1 e 0! = 1. 
 
 Obs.: O nome da distribuição é obtido da expansão binomial. Para as constantes a e 
b, a expansão binomial é dada por: 
knk
n
k
n ba
k
n
ba −
=






=+  .)(
0
 
 
 A função de distribuição acumulada, F(x), nos permite calcular a probabilidade de 
se obter um número de sucessos menor ou igual a x, nas n provas, e é dada por: 
 
ini
xi
qp
i
n
xXPxF −

 





== ..)()( , i = 0, 1, ..., x. 
 
 
 CARACTERÍSTICAS NUMÉRICAS: 
 
 Média: E(X) = n.p 
 
 Variância: V(X) = n.p.q 
 
 Desvio padrão: DP(X) = + qpn .. 
 
 Notação: X: B(n, p), em que n e p são os parâmetros da distribuição. 
 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO: 
 
 Uma moeda é lançada 20 vezes. 
a) Qual é a probabilidade de saírem 8 caras? 
b) Qual é o número esperado de caras? 
c) E o desvio padrão? 
 
Solução: 
a) Define-se inicialmente uma variável aleatória para o problema em questão. Neste caso, 
pode ser X = número de caras (assim, cara representa sucesso). 
 
Então, X: B(20; 0,5), com x = 0, 1, 2, ..., 8, ..., 20 e n = 20 e p = 0,50, pois p = 
probabilidade{cara}. 
Para responder deve-se calcular P(X= 8). 
1201,05,0.5,0.
8
20
)8( 8208 =





== −XP 
 
b) E(X) = n.p = 20.0,5 =10 Esperam-se 10 caras em 20 lançamentos. 
 
c) DP(X) = qpn .. = 5,0.5,0.20 = 2,2 caras. 
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 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
01) Suponha que 12% dos clientes façam compras com pagamento à vista. Dos 7 clientes 
que fizeram compras, qual a probabilidade de que apenas 1 faça o pagamento à vista? R. 
0,3901 
 
02) Suponha que 8% dos cachorros quentes vendidos sejam pedidos sem mostarda. Se 10 
pessoas pedem cachorro quente, qual a probabilidade de que: 
 a) somente 2 não a queria? R. 0,1478 
 b) todos queiram mostarda? R. 0,4344 
 
03) Um produtor de sementes afirma que 70% das sementes de certo tipo germinam. Um 
lote com 5 dessas sementes foram plantadas, qual a probabilidade de nenhuma semente 
germinar? R. 0,0024 
 
04) Certo telefone público tem a probabilidade de completar uma ligação 5% das vezes sem 
coletar a ficha. Se 6 pessoas fizerem uma ligação neste telefone, qual a probabilidade de: 
 a) menos de 2 fichas não serem coletadas? R. 0,9672 
 b) mais de 4 fichas serem coletadas? R. 0,9672 
 
05) Um lote de aparelhos de TV é recebido por uma firma. 20 aparelhos são inspecionados. 
Sabendo-se que 1% dos aparelhos é defeituoso. Determine a probabilidade de a firma 
rejeitar todo o lote 
 a) O lote é rejeitado se pelo menos 4 forem defeituosos. R. 0,000.04 
b) O lote é rejeitado se pelo menos 3 forem defeituosos. R. 0,0010 
 c) O lote é rejeitado se pelo menos 2 forem defeituosos. R. 0,0169 
 d) Ache a probabilidade de encontrar nenhum com defeito. R. 0,8179 
 
06) Em uma empresa 0,20 é a probabilidade das funcionárias que já sofreram algum tipo de 
assédio sexual. Ache a probabilidade de que numa amostra com 8 funcionárias escolhidas ao 
acaso tenhamos: 
 a) mais de 2 que sofreram assédio sexual. R. 0,2031 
 b) menos de 6 que não sofreram assédio sexual. R. 0,2031 
 
07) Uma firma exploradora de petróleo acha que 4% dos poços que perfura acusam depósito 
de gás natural. Se ela perfura 9 poços, ache a probabilidade de no máximo, 7 dar resultado 
negativo. R. 0,0478 
 
08) Uma loja estima que 10% das pessoas que fazem reservas não voltam para efetuar a 
compra. Em virtude desta informação, sua política consiste em reservar 21 produtos quando 
no estoque tem apenas 20, qual a probabilidade de que todos que comparecerem para 
efetivar a compra serem atendidos? R. 0,8906 
 
09) Uma confecção de roupa infantil suspeita que 30% de sua produção apresenta algum 
defeito. Se tal suspeita é correta, determine a probabilidade de que, numa amostra de 4 
peças, sejam encontradas: 
 a) no mínimo 2 peças com defeitos. R. 0,3483 
 b) menos de 3 peças boas. R. 0,3483 
 
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53 
 
10) Se a probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa à injeção de determinado 
soro é 0,001, determine a probabilidade de que, em 2.000 indivíduos: 
 a) exatamente 3 acusem reação negativa; R. 0,1805 
 b) mais de dois acusem reação negativa. R. 0,3233 
 
11) Uma companhia de seguros verificou que 0,005% de uma população falece cada ano de 
certo tipo de acidente. Sabendo que existem 10.000 pessoas seguradas contra esse tipo de 
acidente, qual a probabilidade de que a companhia tenha que pagar o seguro para mais de 3 
clientes? R. 0,0018 
 
12) Estatísticas recentes do tráfico revelam que 25% dos veículos interceptados numa 
autoestrada não passam no teste de segurança. De 9 veículos interceptados, ache a 
probabilidade de: 
 a) 2 ou mais não passarem no teste de segurança. R. 0,6997 
 b) 6 passarem no teste de segurança. R. 0,2336 
 
13) A probabilidade de que um componente sobreviva a um teste de choque é de 0,90. Entre 
os 5 próximos componentes, qual a probabilidade de exatamente 2 sobreviverem? Suponha 
os testes independentes. R. 0,0081 
 
14) Devido à natureza destrutiva dos testes, apenas pequena porcentagem de determinadas 
peças é inspecionada. Se num lote de 20 peças há 1 defeituosa, qual a probabilidade de ela 
se encontrar numa amostra de 4 peças? R. 0,1715 
 
15) 20% dos prédios construídos tem 8 andares. Dos 6 prédios construídos no setor Bueno, 
qual a probabilidade de que 2 tenham 8 andares? R. 0,2458 
 
16) Dos gados comercializados no Brasil, sabe-se que 40% são da raça nelore. Na semana 
em que um fazendeiro vender 6 bois, ache a probabilidade de serem comercializados: 
a) no máximo 3 bois nelores. R. 0,8208 
b) entre 3 e 6 bois nelores. R. 0,1751 
 
17) Sabendo-se que 0,25 dos adultos de certa região são alfabetizados. Nestas condições, 
qual a probabilidade de que, entre 5 adultos, mais de 2 sejam alfabetizados? R. 0,1035 
 
18) Pesquisa recente indica que apenas 15% dos médicos de determinada localidade são 
fumantes. Escolhidos 2 médicos de um grupo de 8 constantes de uma relação fornecida pelo 
Conselho de Medicina, constatou-se serem fumantes. Admitindo-se correta a pesquisa, qual 
a probabilidade de chegar ao resultado acima? R. 0,237619) A probabilidade de um bilhete de loteria dar um prêmio é 1/1.000. Uma pessoa deseja 
comprar 50 bilhetes. Qual a probabilidade de: 
 a) nenhum bilhete dar prêmio? R. 0,9512 
b) ao menos 1 ser premiado? R. 0,0488 
 
20) Um levantamento efetuado em um pregão da bolsa de valores mostrou que naquele dia 
40% das empresas tiveram aumento do valor de suas ações, enquanto que as ações das 
empresas restantes ficaram estáveis ou perderam valor. Um fundo negocia com ações de 10 
destas empresas. Calcule a probabilidade de que neste dia: 
 a) todas as ações do fundo tenham se valorizado. R. 0,0001 
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54 
 
 
 b) no máximo ações de 2 empresas não tenham se valorizado. R. 0,0123 
 c) todas as ações do fundo tenham desvalorizado ou ficaram estáveis. R. 0,0060 
 
21) Numa criação de coelhos, 60% são fêmeas. Qual a probabilidade de que nasçam pelo 
menos 2 coelhos machos num dia em que nasceram 10 coelhos? R. 0,9536 
 
22) A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo com uma única flecha é de 0,20. Lança 
8 flechas no alvo. Qual a probabilidade de que: 
 a) exatamente 4 acertem o alvo? R. 0,0459 
 b) pelo menos 3 acertos no alvo? R. 0,2031 
 
23) Um inspetor de qualidade recusa peças defeituosas numa proporção de 10% das peças 
examinadas. Calcule a probabilidade de que sejam recusadas: 
 a) pelo menos 3 peças de um lote com 7 peças examinadas. R. 0,0257 
 b) no máximo 2 peças de um lote de 9 peças examinadas. R. 0,9470 
 
24) Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou 20% dos títulos 
eram pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 títulos da carteira, determine 
a probabilidade que: 
 a) no máximo 2 sejam pagos com atraso. R. 0,2061 
 b) no mínimo 18 sejam pagos sem atraso. R. 0,2061 
 c) mais de 80% sejam pagos sem atraso. R. 0,4114 
 d) mais de 90% sejam pagos sem atraso. R. 0,0692 
 
25) Engenheiros de tráfego instalaram 5 sinais de trânsito com novos bulbos. A 
probabilidade de que qualquer um dos bulbos falhe dentro de 200 horas de operação é 0,15. 
Considere que cada um dos bulbos falhe independentemente. Dentro de 200 horas de 
operação, encontre a probabilidade de que; 
 a) menos de 2 dos bulbos originais falhem. R. 0,8352 
 b) nenhum bulbo terá de ser trocado. R. 0,4437 
 c) mais de 4 dos bulbos originais necessitarão ser trocados. R. 0,0001 
 d) mais de 3 dos bulbos originais necessitarão ser trocados. R. 0,0022 
 
26) Uma indústria fabrica tanques para combustível e sabe-se que cada tanque possui 5 
válvulas. A cada período determinado de tempo é feita uma manutenção preventiva nessas 
válvulas, e tem-se verificado que 30% delas necessitam ser substituídas. Calcule a 
probabilidade de um tanque ter no máximo 3 válvulas que necessitam substituição. R. 
0,9692 
 
27) Aproximadamente 10% de todas as tempestades ocorridas nos últimos 5 anos foram 
mesociclones (tempestades que dão origem a furações). Suponha que uma comunidade sofra 
7 tempestades, qual a probabilidade de que 2 sejam mesociclones? R. 0,1240 
 
28) Uma máquina produz 0,2% de peças defeituosas. Calcule a probabilidade de que uma 
caixa com 10 peças produzidas por esta máquina contenha: 
 a) nenhuma peça defeituosa. R. 0,9802 
 b) apenas uma peça defeituosa. R. 0,0196 
 c) menos de 2 peças defeituosas. R. 0,9998 
 
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55 
 
29) Considere uma anomalia metabólica que atinja aproximadamente 1 a cada 100 bebês. Se 
4 bebês nascem em um hospital, em certo dia, qual a probabilidade de nenhum apresentar 
este problema? R. 0,9606 
 
30) Suponha que em todo cruzamento um motorista tenha 40% de chance de seguir em 
frente sem fazer retorno. Se um motorista faz um percurso atravessando 5 cruzamentos, qual 
a probabilidade de ter feito, no mínimo, 1 retorno? R. 0,9898 
 
31) A probabilidade de um estudante que ingressa na universidade de graduar-se é de 0,40. 
Ache a probabilidade de, entre 4 estudantes, pelo menos 1 graduar-se? R. 0,8704 
 
32) Os motores de um avião operam independentemente durante o vôo e falham com uma 
probabilidade de 1/5. Suponha que um avião voa com segurança se, pelo menos, a metade 
de seus motores funcionarem. Determine a probabilidade de um vôo com êxito em um: 
 a) avião bimotor. R. 0,96 
 b) avião quadrimotor? R. 0,9728 
 
33) Registros de uma pequena companhia indicam que 40% das faturas por ela emitidas são 
pagas após o vencimento. De 14 faturas expedidas, determine a probabilidade de: 
 a) nenhuma ser paga com atraso. R. 0,0008 
 b) no máximo 2 serem pagas com atraso. R. 0,0398 
 c) ao menos 3 serem pagas com atraso. R. 0,9602 
 d) todas serem pagas no vencimento. R. 0,0008 
 e) A média das faturas pagas antes do vencimento. R. 8 
 f) O desvio padrão destas faturas. R. 2 
 
34) Uma companhia aérea estima que 5% das pessoas que fazem reservas para determinado 
vôo não comparecem. Consequentemente, sua política consiste em vender 84 bilhetes para 
um vôo que só pode acomodar 80 passageiros. 
a) Qual a probabilidade de não acomodar todos os passageiros que comparecem? 
R. 0,3897 
b) Qual o número médio de não comparecimento? R. 4 
 
35) O controle de qualidade exige que as sementes comercializadas para os horticultores 
tenham índice de germinação igual a 95%. Das 3.000 sementes postas para germinar, 
quantas podemos esperar que germinem? R. 2.850 
 
36) Dados históricos mostram que 5% dos itens provindos de um fornecedor apresentam 
algum tipo de defeito. Considerando um lote com 20 itens, calcule a probabilidade de haver: 
 a) algum item com defeito. R. 0,6415 
 b) exatamente 2 itens defeituosos. R. 0,1887 
 c) mais de dois itens defeituosos. R. 0,0755 
 d) Qual é o número esperado de itens defeituosos no lote? R. 1 
 d.1) e de itens bons? R. 19 
 
37) Um proprietário acaba de instalar 5 lâmpadas em sua casa. Suponha que cada lâmpada 
tenha 0,8 de probabilidade de funcionar mais de 3 meses. 
 a) Qual a probabilidade de que 3 delas durem mais de 3 meses? R. 0,2048 
 b) Qual o número médio de lâmpadas que ele deverá substituir em 3 meses? R. 1 
lâmpada. 
 
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56 
 
 
38) Uma amostra de 6 peças é extraída, com reposição de um lote que contém 10% de peças 
defeituosas. Calcule a probabilidade de que o lote: 
 a) não contenha peça defeituosa. R. 0,5314 
 b) exatamente 3 peças defeituosas. R. 0,0146 
 c) pelo menos 1 peça defeituosa. R. 0,4686 
 d) entre 3 e 6 peças defeituosas. R. 0,0013 
 e) de 3 a 6 peças defeituosas. R. 0,0159 
 f) contenha todas as peças sem defeitos. R. 0,5314 
 g) no máximo 5 peças boas. R. 0,4686 
 h) Ache o valor esperado do número de peças boas. R. 5,4 ou 5 peças boas 
 i) O desvio padrão do número de peças. R. 0,73 ou 1 peça 
 
 
39) Num processo de fabricação, a probabilidade de ocorrer uma peça defeituosa é de 20%. 
Retirando-se 5 peças produzidas por este processo, calcule: 
 a) a probabilidade de encontrarmos 2 peças defeituosas. R. 0,2048 
 b) a esperança de peças boas. R. 4 peças boas 
 c) o desvio padrão das peças produzidas. R. 1 peça 
 
 
40) Aplicação da Distribuição Binomial (Confiabilidade de sistemas). Sistemas k–de–n, 
são aqueles que têm n componentes, requerendo k  n ou mais desses componentes para que 
ocorra a correta operação do mesmo. Se k = n, tem-se um sistema em série; se k = 1 tem-se 
um sistema em paralelo. Para facilidade de cálculo, admite-se que todos os componentes são 
exatamente idênticos e funcionam independentemente um do outro. Se R for a 
confiabilidade (probabilidade de que determinado componente façaa função para a qual foi 
projetado nas condições ambientais previstas e por um intervalo determinado de tempo) de 
um componente, então o experimento de observar a situação dos n componentes pode ser 
pensado como uma seqüência de n tentativas com a probabilidade de sucesso igual a R. Se X 
= número de componentes funcionando x = {0,1, 2,..., n} e R = confiabilidade de que um 
componente irá funcionar, encontre a distribuição de probabilidades de X, f(x). 
 
 R. xnx RR
x
n
xf −−





= )1.(.)( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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57 
 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
1) Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças conterá, no 
máximo, duas defeituosas. Se a caixa contém 18 peças e a experiência tem demonstrado que 
esse processo de fabricação produz 5% das peças defeituosas, qual a probabilidade de que 
uma caixa satisfaça a garantia? R. 0,9419 
 
2) Um curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa população de 
funcionários em 80% dos casos. Se dez funcionários quaisquer participam desse curso, 
encontre a probabilidade de: 
a) exatamente sete funcionários aumentarem a produtividade. R. 0,2013 
b) não mais do que oito funcionários aumentarem a produtividade. R. 0,6242 
c) pelo menos três funcionários não aumentarem a produtividade. R. 0,3222 
 
3) Determinado tipo de parafuso é vendido em caixas com 1.000 peças. É uma característica 
produzir 10% dos parafusos com defeito. Normalmente, cada caixa é vendida por R$ 13,50. 
Um comprador faz a seguinte proposta: de cada caixa, ele escolhe uma amostra de 20 peças, 
se a caixa não tiver parafusos defeituosos, ela paga R$ 20,00; um ou dois defeituosos, ele 
paga R$ 10,00; três ou mais defeituosos, ele paga R$ 8,00. Encontre a alternativa que é mais 
vantajosa para o fabricante. Justifique. R. A do fabricante, a proposta deu R$ 10,56. 
 
4) Uma fábrica produz válvula, das quais 20% são defeituosas. As válvulas são vendidas em 
caixas com dez peças. Se uma caixa não tiver nenhuma defeituosa, seu preço de venda é 
R$10,00; tendo uma, o preço é R$ 8,00; duas ou três, o preço é R$ 6,00; mais de que três, o 
preço é R$ 2,00. Ache o preço médio de uma caixa. R. R$ 6,48 
 
5) A probabilidade de um consumidor acertar a marca de um determinado refrigerante é 1/3. 
Se o referido consumidor for consultado 5 vezes, qual a probabilidade de acertar 3 vezes? 
R. 0,1646 
 
6) Um grupo de cliente de uma “fast-food” foi consultado para responder sim ou não, se está 
satisfeito com os serviços da casa. Sabe-se que 30% dos entrevistados responderam sim à 
pergunta. Seis pessoas são escolhidas ao acaso deste grupo. Qual a probabilidade de terem 
escolhidas 3 pessoas que disseram (não) à satisfação com o serviço? R. 0,1852 
 
7) No departamento de engenharia, a probabilidade de um funcionário chegar atrasado é 
sempre constante e igual a 0,30. Em um mês corrido de 30 dias, qual a probabilidade deste 
funcionário chegar atrasado: 
 a) 10 dias. R. 0,1416 b) nenhum dia. R. 0,0000 
 c) no máximo 4 dias. R. 0,0344 d) pelo menos 5 dias. R. 0,9192 
 e) Se ele perde a cada dia que chega atrasado R$ 5,00 de seu salário, qual o valor 
esperado de sua perda no mês? R. R$ 45,00 
 
 
 
 
 
 
 
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58 
 
 C. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 
 A distribuição de Poisson é útil para descrever as probabilidades do número de 
ocorrências num campo ou intervalo contínuo (em geral tempo ou espaço). 
 Pode-se, em um determinado intervalo de tempo, anotar o número de carros que 
passam numa rodovia. Da mesma forma, o número de chamadas telefônicas ou o número de 
usuários que chegam a uma fila, em um determinado intervalo de tempo. 
 
 
 x x x x xx 
 
 Tempo x = ocorrência de um evento de interesse 
 
 
 A utilização da distribuição de Poisson baseia-se nas seguintes hipóteses: 
• A probabilidade de uma ocorrência é a mesma em todo o campo de observação. 
• A probabilidade de mais de uma ocorrência num único ponto é aproximadamente 
zero. 
• O número de ocorrências em qualquer intervalo é independente do número de 
ocorrências em outros intervalos. 
 
 Se uma v.a. é descrita por uma distribuição de Poisson, então a probabilidade de 
realizar (observar) qualquer número dado de ocorrências por unidade de medida (minuto, 
hora, centímetro, etc.) é dada pela fórmula: 
!
.
)()(
x
e
xXPxf
x−
=== 
 Em que x é o número de ocorrências, e é a base dos logaritmos naturais,  (lâmbida) 
é a taxa média por unidade de medida (minuto, hora, centímetro etc.) 
 Uma demonstração detalhada desta fórmula pode ser observada em FONSECA e 
MARTINS (1996, pág. 66). 
 
 
 CARACTERÍSTICAS NUMÉRICAS: 
 
 Média:  == )(XE 
 
 Variância:  == )(2 XV 
 
 Desvio Padrão:  +== )(XDP 
 
Notação: X: P() 
 
 Aproximação de Poisson para eventos binomiais raros: a probabilidade de 
ocorrência de um valor x de uma distribuição Binomial, no caso limite; ou seja, quando n é 
muito grande ( )→n e p muito pequeno ( )0→p , pode ser calculada por uma 
aproximação de Poisson, dada por: 
 P(X = x) =
xnx
pn
qp
x
n
xf −
→→ 






= ..lim)(
0,
= 
!
.
x
e x−
, em que  = n. p 
 
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59 
 
 Na prática, usa-se a aproximação de Poisson no lugar da Binomial quando 
n  10 e p  0,1. 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) O número de solicitações que chegam por segundo em um servidor tem uma taxa média 
de 10 mensagens por segundo. Determine a probabilidade de que: 
a) nenhuma solicitação chegue no período de um segundo? 
b) 2 ou mais solicitações cheguem no período de 1 segundo? 
 
Solução: 
Pode-se definir X = número de solicitações por segundo 
E(X) = 10 mensagens por segundo = . Assim X:P(10), x = 0, 1, 2, 3, 4,... 
 
a) P(nenhuma) = P(X = 0) = f(0) =
!0
10. 010−e
= e-10 = 0,000.0454 
b) P(X  2) = 1 – P(X < 2) = 1 – [f(0) + f(1)] = 1 – (
!0
10. 010−e
+ 
!1
10. 110−e
) = 
= 1 – (0,000045 + 0,000454) = 1 – 0,000499 = 1 – 0,0005 = 0,9995 
 
 
2) Em certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem defeitos a uma taxa de 1 a cada 
2.000 metros. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 metros de fita magnética: 
a) não tenha defeitos? 
b) tenha no máximo dois defeitos? 
c) tenha pelo menos dois defeitos? 
 
Solução: 
Neste caso, tem-se: 
(X) = Taxa de defeitos a cada 2 000 metros =  = 1 
X = número de defeitos a cada dois mil metros, x = 0, 1, 2, 3, ... 
Então: 
,...3,2,1,0,
!
.
)()( ====
−
xpara
x
e
xXPxf
x
 
a) 3679,0
!0
1.
)0()0( 1
01
===== −
−
e
e
XPf 
b) 9197,0
2
5
!2
1.
!1
1.
!0
1.
)2(
1211101
==++=
−−−− eeee
XP 
c) 2642,021
!1
1.
!0
1.
1)1(1)2( 1
1101
=−=





+−=−= −
−−
e
ee
XPXP 
 
 
3) Uma amostra de 50 peças é retirada da produção de uma máquina que trabalha com um 
índice de defeitos de 2%. Determine a probabilidade de se encontrarem duas peças 
defeituosas na amostra. Use: a) a binomial b) aproximação de Poisson. 
 
Solução: 
 a) P(X = 0) b) P(X  2) 
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60 
 
a) Pela Binomial, tem-se: 1858,098,0.02,0.
2
50
)2( 2502 =





== −XP 
b) Usando uma aproximação pela distribuição de Poisson 
n = 50 10 e p = 0,02  0,1. 
 = n . p = 50.0,02 = 1 
 
1839,0
!2
1.
)2(
21
===
−e
XP 
 
 
4) Cada face de um dado é formada por chapas de plástico de 10 cm x10cm. Em média 
aparecem 50 defeitos por metro quadrado de plástico, segundo uma distribuição de Poisson. 
a) Qual a probabilidade de uma determinada face apresentar exatamente 2 
defeitos? 
b) Qual a probabilidade de o dado apresentar no mínimo dois defeitos? 
c) Qual a probabilidade de que pelo menos 5 faces sejam perfeitas? 
 
Solução: 
 
a) Pode-se definir X = número de defeitos por face, x = 0, 1, 2, ... 
Em média aparecem 50 defeitos/m2 = 50/10.000 defeitos/cm2. 
Como cada face tem área = 10 cm x 10 cm = 100 cm2, tem-se então: (50/10.000) 
defeitos/cm2 x 100 cm2 = 0,5 defeitos por face = λ. 
A probabilidade de uma face apresentar dois defeitos será: 
P(X = 2) = f(2) = 
!2
5,0. 25,0−e
 = 0,0758 
 
b) Pode-se definir X = número de defeitos por dado, x = 0, 1, 2, ... 
No dado inteiro, a área total será a = 6x100 cm2 = 600 cm2 e o número médio de 
defeitos será então de (50/10 000) defeitos /cm2 x 600 cm2 = 3 defeitos = λ. 
A probabilidade de o dado apresentar no mínimo dois defeitos será: 
P(X  2) = 1 – [f(0) + f(1)] = 1 – [
!0
3. 03−e
+
!1
3. 13−e
] = 1 – [0,0498 + 0,1494] = 0,8008 
 
 c) Pode-se definir X = número de defeitos por face, x = 0, 1, 2, 3 , ... e, em seguida, pode-
se definir Y = número de faces perfeitas. 
Têm-se então uma Poisson X: P(0,5) e uma binomial Y com n = 6 (número de 
faces do dado), tal Y: B(n = 6; p), e p = P(X = 0) = 
!0
5,0. 05,0−e
= 0,6065. 
Então Y: B (n = 6, p = 0,6065). 
A probabilidade de pelo menos 5 faces perfeitas é: 
 
 P(Y  5) = P(Y = 5) + P(Y = 6) = 
 
 = 666565 )3935,0.()6065,0.(
6
6
)3935,0.()6065,0.(
5
6
−−






+





= 0,2435 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
01) Um laboratório de microcomputadores tem uma biblioteca de 100 sub-rotinas e a cada 
semana, em média, são encontrados (e corrigidos) bugs em duas sub-rotinas. Determine a 
probabilidade de que serão encontrados bugs em não mais de 3 sub-rotinas na próxima 
semana. R. 0,8571 
 
02) O número de transistores que falham em um computador, segue a distribuição de 
Poisson com falha média de 1 transistor a cada 10 horas. Suponha que o computador torna-
se inoperante se dois ou mais transistores falharem. Determine a probabilidade de que um 
trabalho requerendo 10 horas seja finalizado sem que ocorra parada no sistema. R. 0,7358 
 
03) Em uma indústria automotiva, defeitos superficiais de pintura ocorrem a uma taxa de 
0,15 defeitos/unidade. Encontre a probabilidade que em duas unidades escolhidas ao acaso 
apresente 1 ou mais defeitos superficiais. Considere a variável seguindo modelo de Poisson. 
R. 0,2592 
 
04) Numa linha adutora de água de 60 km de extensão, o número de vazamentos no período 
de um mês segue a lei de Poisson com média de 4 vazamentos. Qual a probabilidade de 
ocorrer durante o mês, pelo menos um vazamento num certo setor de 3 km de extensão? R. 
0,1813 
 
05) Numa indústria acontece, em média, 0,6 acidente de trabalho por dia. Sabe-se que a v.a. 
número de acidentes de trabalho segue aproximadamente a distribuição de Poisson, a partir 
deste modelo, determine a probabilidade de que em 5 dias de trabalho ocorra: 
 a) no mínimo um acidente; R. 0,9502 
b) menos de 2 acidentes; R. 0,1991 
 c) pelo menos 3 acidentes. R. 0,5768 
 
06) O número de raios gama emitidos por certa substância radioativa em um segundo é uma 
v.a. tendo distribuição de Poisson com média igual a 0,8. Se um aparelho se torna inoperante 
quando há mais de 2 raios por segundo, qual é a probabilidade de que este aparelho se torne 
inoperante durante um intervalo qualquer de um segundo? R. 0,0474 
 
07) Se 3% das lâmpadas elétricas fabricadas por uma companhia são defeituosas, determine 
a probabilidade de, em uma amostra com 100 lâmpadas, serem defeituosas: 
 a) nenhuma defeituosa. R. 0,0498 
 b) 5 lâmpadas. R. 0,1008 
 c) mais de 2 lâmpadas. R. 0,5768 
 
08) Entre as 14 e 16 horas, o número médio de chamadas telefônicas por minuto, atendidas 
pela mesa de ligações de uma companhia é de 2. Encontre a probabilidade de que durante 
um determinado minuto, haver: 
 a) nenhuma chamada. R. 0,1353 
 b) 1 chamada. R. 0,2707 
 c) 2 chamadas. R. 0,2707 
 d) 3 chamadas. R. 0,1804 
 
09) Os clientes chegam a uma loja a razão de 6,5/hora. Determine a probabilidade de que, 
durante qualquer hora: 
 a) não chegue nenhum cliente. R. 0,0015 
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 b) chegue ao menos um cliente. R. 0,9985 
 c) chegue mais de um cliente. R. 0,9887 
 d) chegue exatamente 6,5 clientes. R. Impossível 
 
10) Chegam caminhões em um depósito a razão de 2,8 caminhões/hora. Determine a 
probabilidade de chegarem 3 ou mais caminhões: 
 a) num período de 30 minutos. R. 0,1665 
 b) num período de 1 hora. R. 0,5305 
 c) num período de 2 horas. R. 0,9176 
 
11) Uma mesa telefônica recebe chamadas a razão de 4,6 por minuto. Determine a 
probabilidade de cada uma das ocorrências abaixo, num intervalo de 1 minuto: 
 a) exatamente 2 chamadas. R. 0,1063 
 b) ao menos 2 chamadas. R. 0,9437 
 c) 0 chamada. R. 0,0101 
 d) 2 a 6 chamadas. R. 0,7617 
 
12) Estima-se em 0,01 a probabilidade de vender uma apólice de seguro para pessoas que 
respondem a um anúncio especial. Nessa base, se 1.000 pessoas respondem ao anúncio, ache 
a probabilidade de que: 
 a) nenhuma compre uma apólice. R. 0,000.045 
 b) ao menos uma compre 1 apólice. R. 0,999.955 
 
13) Numa estrada há 2 acidentes para cada 100 km. Qual a probabilidade de que em: 
 a) 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes? R. 0,8754 
 b) 300 km ocorram 5 acidentes? R. 0,1606 
 
14) A probabilidade de uma lâmpada queimar ao ser ligada é de 1/100. Numa instalação 
com 100 lâmpadas, qual a probabilidade de 2 lâmpadas se queimarem ao serem ligadas? R. 
0,1839 
 
15) O número de mortes por afogamento em fins de semana, numa cidade praiana é de 2 
para cada 50.000 habitantes. Qual a probabilidade de que em: 
 a) 200.000 habitantes ocorram 5 afogamentos? R. 0,0916 
 b) 112.500 habitantes ocorram pelo menos 3 afogamentos? R. 0,8264 
 
16) Seja X uma variável binomial com n = 400 e p = 0,02. Calcule pela aproximação de 
Poisson: 
 a) P(X = 7) R. 0,1396 b) P(2 ≤ X < 6) R. 0,1882 c) P(X ≥ 3) R. 0,9862 
 
17) Certo posto de bombeiros recebe, em média, 3 chamadas por dia. Calcule a 
probabilidade de: 
 a) receber 4 chamadas num dia. R. 0,1680 
 b) receber 4 chamadas, em 2 dias. R. 0,1339 
 c) receber 3 ou mais chamadas num dia. R. 0,5768 
 
 Usando a aproximação de Poisson, resolva: 
18) o exercício 05 da página 52. a) 0,0001 b) 0,0011 c) 0,0175 d) 0,8187 
19) o exercício 10 da página 53. a) 0,1804 b) 0,3233 
20) o exercício 11 da página 53. 0,0018 
21) o exercício 19 da página 53. a) 0,9512 b) 0,0488 
22) o exercício 28 da página 54. a) 0,9802 b) 0,0196 c) 0,9998 
23) o exercício 36 da página 55. a) 0,6321 b) 0,1839 c) 0,0803 d) 1 d.1) 19 
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63 
 
 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
1) Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de 
Poisson, com média de oito chamadas por minuto. Determine qual a probabilidade de que 
num minuto se tenha: 
a) entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas. R. 0,2792 
b) no máximo três chamadas. R. 0,0424 
c) exatamente oito chamadas. R. 0,1396 
d) pelo menos quatro chamadas. R. 0,9576 
 
2) Num certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de um por 
2.000 pés. Ache a probabilidade de que um rolo com 2.000 pésde fita magnética tenha: 
a) nenhum corte. R. 0,3679 b) no máximo dois cortes. R. 0,9197 
c) pelo menos dois cortes. R. 0,2642 d) de três a cinco cortes. R. 0,0797 
 
3) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma 
distribuição de Poisson, com λ = 2. As atuais instalações podem atender, no máximo, a três 
petroleiros por dia. Se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviado a outro porto. 
a) Em um dia, ache a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto. R. 
0,1429 
b) Qual é o número médio de petroleiros que chegam por dia? R. 2 
 
4) Em um dado posto de pedágio, passam em média cinco carros por minuto. Encontre a 
probabilidade de passarem exatamente três carros por minuto. R. 0,1404 
 
5) Certo posto de bombeiros recebe em média três chamadas por dia. Dê a probabilidade de 
receber quatro chamadas em dois dias. R. 0,1339 
 
6) Uma loja atende em média dois clientes por hora. Calcule a probabilidade em uma hora 
atender: 
a) exatamente dois clientes. R. 0,2707 b) três clientes. R. 0,1804 
 
7) Suponha que haja em média dois suicídios por ano numa população de 50.000 habitantes. 
Encontre a probabilidade de que em um dado ano tenha havido: 
a) nenhum suicídio. R. 0,1353 b) um suicídio. R. 0,2707 c) dois suicídios. R. 0,2707 
 
8) Suponha 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. 
Encontre a probabilidade que em uma dada página contenha: 
a) nenhum erro. R. 0,4493 b) exatamente dois erros. R. 0,1438 
 
9) Supondo que a probabilidade de que um item produzido por certa máquina seja 
defeituoso é de 0,02. Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao acaso, 
ache a probabilidade de que não mais do que um defeito seja encontrado. Use a Binomial e a 
distribuição de Poisson e compare os resultados. R. 0,9838 e 0,9825 
 
 
 
 
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64 
 
3.2. MODELOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 
 
 A. DISTRIBUIÇÃO UNIFORME 
 
 Quando uma variável aleatória pode tomar qualquer valor numa escala contínua entre 
dois pontos a e b de tal maneira que nenhum valor seja mais provável que outro, então as 
probabilidades associadas à variável podem ser descritas pela distribuição uniforme. 
 
A função densidade de probabilidade, f(x), é dada por: 
 
 
ab −
1
, se a ≤ x ≤ b 
 f (x) = 
 0 , se x < a ou x > b 
 
A função de distribuição acumulada, F(x), é dada por: 
 








−
−
=
−
==  −
bxse
bxase
axse
ab
ax
du
ab
xXPxF
x
;1
;
;0
1
)()( 
 
 CARACTERÍSTICAS NUMÉRICAS: 
 Média:  

− −
==
b
a
dx
ab
xdxxfxXE
1
.)(.)( 
2
)(
ba
XE
+
= 
 Variância:  

−
−
−
=
22 )(
1
.)( XEdx
ab
xXV 
12
)(
)(
2ab
XV
−
= 
 Desvio padrão: )()( XVXDP +== 
 
 Notação: X: U(a, b) 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO: 
 
Seja X uma v.a.c. com distribuição uniforme no intervalo [5, 10]. Determine as 
probabilidades: 
a) P(X < 7) b) P(X > 8,5) c) P(8 < X < 9) d) P(|X – 7,5| > 2) 
 
Solução: 
5
5
)(
−
=
−
−
=
x
ab
ax
xF , 5  x  10 
Utilizando a função de distribuição da variável vem: 
a) P(X < 7) = F(7) = 4,0
5
2
5
57
==
−
 
b) P(X > 8,5) = 1 – P(X )5,8 = 1 – F(8,5) = 1 – =
−
5
55,8
1 – 0,7 = 0,3 
c) P(8 < X < 9) = F(9) – F(8) = −
−
5
59
=
−
5
58
0,8 – 0,6 = 0,2 
d) P(|X – 7,5| > 2) = P(X – 7,5 < – 2 ou X – 7,5 > 2) = P(X < 5,5) + P( X > 9,5) = 
= F(5,5) + (1 – F(9,5)) = 0,1 + (1 – 0,90) = 0,1 + 0,1 = 0,2 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
01) Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta [1, 4]. Calcule: 
 a) a probabilidade de que o ponto escolhido esteja entre 2 e 3. R. 0,3333 
 b) a probabilidade de que o ponto escolhido esteja entre 0,5 e 2,5. R. 0,5 
 c) a probabilidade de que o ponto escolhido seja exatamente o 2. R. 0 
 d) a média dessa distribuição. R. 2,5 
 e) a variância dessa distribuição. R. 0,75 
 
02) Um entreposto comercializa diariamente entre 100 e 200 toneladas de um cereal, com 
distribuição uniforme de probabilidades. Sabe-se que o ponto de equilíbrio para esta 
operação corresponde a uma venda de 130 toneladas por dia. Calcule: 
 a) o valor médio das vendas diárias. R. 150 t 
 b) o desvio padrão da distribuição. R. 28,87 t 
 c) a probabilidade de o comerciante realizar prejuízo em determinado dia. R. 0,3 
 d) a probabilidade de o comerciante vender entre 120 e 175 t. R. 0,55 
 
03) Uma variável aleatória x tem distribuição uniforme no intervalo [0, 10]. Determine: 
 a) a média da distribuição. R. 5 
 b) o desvio padrão. R. 2,89 
 
04) As vendas de gasolina num depósito de atacado acusam a média de 40.000 galões 
diários, com um mínimo de 30.000 galões. Supondo adequada a distribuição uniforme. 
 a) Determine a venda diária máxima. R. 50.000 
 b) Ache a porcentagem do número de dias em que a venda excede 34.000 galões. 
R. 80% 
 c) Ache a probabilidade das vendas entre 38.500 e 45.950 galões. R. 0,3725 
 
05) Uma pequena firma corta e vende lenha para lareiras. O comprimento das toras varia 
uniformemente entre 2 e 3 pés. 
 a) Qual o comprimento médio de uma tora? R. 2,5 
 b) Qual a probabilidade de uma tora: 
 b.1) ser maior que 2,6 pés. R. 0,4 
 b.2) ter mais de 3 pés. R. 0 
 b.3) ser inferior à média. R. 0,5 
 b.4) ter exatamente 2 pés. R. 0 
 b.5) ter entre 2 e 3 pés. R. 1 ou 100% 
 
06) Suponha que a temperatura máxima, em janeiro, em certa zona rural do hemisfério sul, 
tenha, no passado, variado uniformemente entre 0ºC e 6ºC. 
 a) Qual a percentagem do número de dias em que se pode esperar máxima acima de 
3,5ºC? R. 41,67% 
 b) Se um meteorologista deseja minimizar seu erro de predição, que temperatura 
deve prever? R. 3ºC 
 c) Qual é a probabilidade de que, num dia qualquer de janeiro, a temperatura não 
exceda 1ºC? R. 0,1667 
 
07) Sabe-se que a quantidade de sorvete vendida numa lanchonete nas terças-feiras tem 
distribuição uniforme entre 20 e 50 galões. 
 a) Qual a probabilidade de venda de 40 galões ou mais numa terça-feira? R. 0,3333 
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66 
 
 b) Qual a probabilidade de venda de 40 ou mais galões numa segunda-feira? R. 
Desconhecido 
 c) Se a lanchonete tem um lucro de R$ 3,00 por galão, qual o lucro esperado na 
venda de uma terça-feira? R. R$ 105,00 
 d) Qual a probabilidade de o lucro de uma terça-feira seja inferior a R$ 75,00? R. 
0,1667 
 e) Se o ponto de equilíbrio, nas terças é de 32 galões, calcule a probabilidade de 
lucro. R. 0,6 
 
08) Uma variável aleatória x tem distribuição uniforme com média 4 e variância 4/3. 
Determine a probabilidade de: 
 a) x < 4. R. 0,5 
 b) 2,5 < x < 4,5. R. 0,5 
 c) x > 6. R. 0 
 
09) Uma variável aleatória x tem distribuição uniforme no intervalo [3, 5]. 
 a) Determine a função de densidade de probabilidade associada. 
 R. 


 
=
..;0
53;5,0
)(
cc
xse
xf 
 b) Construa o gráfico desta função. 
 
10) Na produção de petróleo, a temperatura T (graus centígrados) é decisiva na determinação 
da qualidade do produto final. Suponha que T seja considerada uma v.a. uniformemente 
distribuída sobre [150; 300]. Admite-se que produzir um galão de petróleo custe 10 dólares. 
Se o óleo for destilado à temperatura menor que 200 °C, o produto é conhecido como nafta e 
se vende por 15 dólares por galão. Se o óleo for destilado a umatemperatura maior que 200 
°C, o produto é denominado óleo refinado destilado e se vende por 20 dólares o galão. 
Determine o lucro líquido esperado por galão. R. 8,33 dólares 
 
11) A temperatura T de destilação do petróleo é crucial na determinação da qualidade final 
do produto. Suponha que T seja considerada uma v.a., com distribuição uniforme no 
intervalo de 150 a 300 °C. Suponha que o custo para produzir um galão de petróleo seja C1 
(u.m.). Se o óleo é destilado a uma temperatura inferior a 200 °C, o produto obtido é 
vendido a C2 (u.m.); se a temperatura for superior a 200 °C, o produto é vendido a C3 (u.m.). 
a) Fazer um gráfico da função densidade de probabilidade de T 
b) Qual é o lucro médio esperado por galão? R. (C2 – C3)F(200) – C1 + C3 
 
12) Um pequeno desenho foi planejado para estar distribuído aleatoriamente de maneira 
uniforme ao intervalo de [0, 2] metros de um cartaz publicitário. Ache a probabilidade de 
que o pequeno desenho esteja no intervalo entre 1 e 1,5 metros do cartaz. R. 0,25 
 
13) A dureza de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável aleatória 
uniforme no intervalo [50, 70] da escala Rochwel. Calcule a probabilidade de que uma peça 
tenha dureza entre 55 e 60. R. 0,25 
 
14) Uma empresa deseja empacotar e amarrar com barbante bem resistente pacotes de café 
moído. Estuda a viabilidade de usar certo tipo de barbante, cuja resistência R é uma variável 
aleatória distribuída sobre o intervalo fechado [50, 70]. Estabeleça a probabilidade de 
a) P(R < 65). R. 0,75 b) P(45 < R < 60). R. 0,5 c) P(53 < R < 67). R. 0,7 
 
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67 
 
 B. DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 
 
 A distribuição exponencial envolve probabilidades ao longo do tempo ou da 
distância entre ocorrências num intervalo contínuo. Por exemplo, a exponencial descreve em 
sistemas de filas de espera o comportamento de variáveis tais como tempo médio entre as 
chegadas e tempo de serviço. 
 
 Sua função densidade de probabilidade, f(x), é dada por: 
 
 0 , para x < 0 
 f (x) = 
 
xe ..  − , para x ≥ 0 , λ > 0 
 
 Sua função de distribuição acumulada, F(X), é dada por: 
 
 0 , x < 0; 
 F(x) = 
x
x
x edxe .
0
. 1.  −− −= , t > 0 
 
CARACTERÍSTICAS NUMÉRICAS: 
Média: 

 
1
..)(.)(
0 0
. ====  
 
− dtetdttftXE t 


1
)( == XE 
 
Variância: ( )

− =−=−=
0 2
2
.2222 11..)(

  dtetXE t 
2
2 1)(

 == XV 
 
Desvio padrão: 


11)()( 2 =+=+== XVXDP 


1
)( == XDP 
 
 
 Notação: X: E(λ) 
 
 Observações: 
 
 1) A distribuição Exponencial apresenta uma propriedade interessante que é 
denominada de falta de memória, ou seja: 
 
P(X  x + s / X  x) = P[(X  x+s)  (X  s)] : P(X  x) = P(X  x + s) : P(X  x) 
 
P(X  x + s / X  x) = x
sx
e
e
.
).(


−
+−
= 
se .− |___x___|_____s________| 
 Então, P(X  x + s / X  x) = P (X  s) = 
se .− 
 
 2) Outro aspecto é que esta distribuição, entre as distribuições padrões, é a que 
possui a maior variância. 
 
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68 
 
 
 EXERCÍCIO RESOLVIDO: 
 
 Suponha que um componente eletrônico tenha um tempo de vida T (em unidades de 
1 000 horas) que segue uma distribuição exponencial de parâmetro  = 1. Suponha que o 
custo de fabricação do item seja R$ 2,00 e que o preço de venda seja R$ 5,00. O fabricante 
garante total devolução se t < 0,90. Qual o lucro esperado por item? 
 
Solução: 
Neste caso, tem-se: 
f(t) = e-t, para t > 0 
A probabilidade de um componente durar menos de 900 horas é dada por: 
P(T < 0,90) = =
− dte t
9,0
0
9,0
0
te−− = – e– 0,9 – (– e0) = 1 – e– 0,9 = 0,5934 
Desta forma o lucro do fabricante será uma v.a.d. L com a seguinte distribuição: 
 
 l | – 2,00 3,00 (R$) 
 f(l) | 0,5934 1 – 0,5934 
 
E(L) = – 2.0,5934 + 3.0,4066 = R$ 0,03 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
01) Uma fábrica de tubos de TV determinou que a vida média dos tubos de sua fabricação é 
de 800 horas de uso contínuo e segue uma distribuição exponencial. Qual a probabilidade 
de que a fábrica tenha de substituir um tubo gratuitamente, se oferece uma garantia de 300 
horas de uso? R. 0,3127 
 
02) O tempo de atendimento numa oficina é bem aproximado por uma distribuição 
exponencial com média de 4 minutos. Determine a probabilidade da espera ser: 
a) inferior a 4 minutos. R. 0,6321 
b) de exatamente 4 minutos. R. 0 
c) entre 3 e 6 minutos. R. 0,2492 
 
03) Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial com 
vida média de 100 horas. 
a) Qual é a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas? R. 0,2231 
b) Cada fusível tem um custo de R$ 10,00 e, se durar menos de 200 horas, existe 
um custo adicional de R$ 8,00. Qual é o preço justo a pagar por cada fusível? R. R$ 16,92 
 
04) Um componente eletrônico tem distribuição exponencial, com média de 50 horas. Ache 
a probabilidade de um componente eletrônico durar: 
a) mais de 56 horas. R. 0,3263 
b) menos de 44 horas. R. 0,5852 
c) entre 46 e 54 horas. R. 0,0589 
d) Suposta uma produção de 10.000 unidades, quantos deles devemos esperar que 
durem entre 45 e 55 horas? R. 737 
 
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05) Um satélite de comunicação tem uma única fonte de energia. Ache a probabilidade de o 
satélite operar pelo menos 20.000 horas antes de se verificar uma falha de energia, se o 
tempo médio entre falhas (1/λ) é: 
 a) 10.000 R. 0,1353 b) 20.000 R. 0,3679 c) 40.000 R. 0,6065 
 
06) Suponha que o tempo médio entre o pedido e o atendimento num grande restaurante seja 
de 10 minutos. Suponha ainda que esse tempo tenha distribuição exponencial. Ache a 
probabilidade de espera: 
a) superior a 10 minutos. R. 0,3679 b) não superior a 10 minutos. R. 0,6321 
 c) não superior a 3 minutos. R. 0,2592 d) entre 6 e 12 minutos. R. 0,2476 
 
07) Suponha que uma máquina falhe uma vez cada dois anos. (1/λ = 2 → λ = 0,5). Ache a 
probabilidade de a máquina não falhar durante o próximo ano. R. 0,6065 
 
08) Sabe-se que as chamadas de emergências nas primeiras horas da manhã das segundas-
feiras seguem um padrão exponencial com tempo médio de 1 hora entre as chamadas. Ache 
a probabilidade de um período de: 
a) 2 horas sem chamadas. R. 0,1353 b) 3 horas sem chamadas. R. 0,0498 
 
09) O tempo de resposta de computadores é uma importante aplicação da distribuição 
exponencial. Suponha que um estudo sobre um certo sistema de computador revele que o 
tempo de resposta, em segundos, tem uma distribuição exponencial com média de quatro 
segundos. Qual é a probabilidade de que o tempo de resposta: 
a) exceda cinco segundos? R. 0,2865 b) exceda dez segundos? R. 0,0821 
c) não exceda seis segundos? R. 0,7769 d) esteja entre 3 e 7 segundos? R. 0,2986 
 
10) O tempo entre panes em um equipamento essencial é importante para a decisão de se 
usar o equipamento auxiliar. Um engenheiro entende que o melhor modelo para o tempo 
entre as panes de um gerador é uma distribuição exponencial com média de 15 dias. 
a) Se o gerador acabou de quebrar, qual é a probabilidade de que ele quebrará novamente 
nos próximos 21 dias? R. 0,2466 
b) Qual é a probabilidade de que o gerador vai operar nos próximos 30 dias sem nenhuma 
falha? R. 0,135311) O tempo médio de vida de certo dispositivo eletrônico é de 4.000 h e segue uma 
distribuição exponencial. Determine a probabilidade de que: 
a) um dispositivo esteja funcionando no final de 3.000 h, dado que está funcionando no 
final de 1.000 h. R. 0,6065 
b) num conjunto de 4 dispositivos, somente um queime antes de 3.000 h de funcionamento. 
R. 0,2224 
 
12) Ligação entre a distribuição de Poisson e a distribuição exponencial. Ao observar a 
duração das baterias de vídeo-game, conclui-se esta vida nada mais é que o intervalo entre 
falhas sucessivas das baterias; para essas falhas, pode-se aplicar o processo de Poisson. 
Desse modo, o tempo médio entre falhas vem a ser a vida média da bateria. Considere que 
inúmeras baterias foram usadas e anotou-se (algo raro de ocorrer no dia-a-dia, somente as 
fábricas o fazem) que a cada sete dias havia necessidade de trocá-las (ou seja, a vida média 
da bateria é de uma semana). As falhas das baterias são aleatórias e independentes e atendem 
às condições da distribuição de Poisson; então, para o tempo de vida da bateria, pode-se 
utilizar a distribuição exponencial. 
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70 
 
 
a) Determine a probabilidade de a bateria durar pelo menos 2 semanas. R. 0,1353 
b) Determine a probabilidade de a bateria falhar dentro de 3 dias. R. 0,3495 
c) Determine o desvio padrão do tempo de vida de uma bateria. R. 7 dias (1 sem.) 
 d) (propriedade da falta de memória) Sabendo-se que uma bateria já durou 1 
semana, determine a probabilidade de que ela dure pelo menos mais duas semanas.R. = a) 
 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
1) Os defeitos de um tecido seguem a distribuição de Poisson com média de um defeito a 
cada 400 metros. Dê a probabilidade de que o intervalo entre dois defeitos consecutivos seja; 
a) no mínimo de 1.000 m. R. 0,0821 b) no máximo de 1.000 m. R. 0,9179 
c) entre 800 e 1.000 m. R. 0,0532 
 
2) Em média, um navio atraca em certo posto a cada dois dias. Encontre a probabilidade de 
que, a partir da partida de um navio, se passem mais de quatro dias antes da chegada do 
próximo navio. R. 0,1353 
 
3) Cada rolo de lâmina de aço de 500 metros contém, em média, duas imperfeições. Ache a 
probabilidade de que, à medida que se desenrole um rolo, a primeira imperfeição apareça no 
segmento de 50 metros. R. 0,1813 
 
4) Um departamento de conserto de máquinas recebe, em média, cinco chamadas por hora. 
Iniciando em um ponto de tempo aleatoriamente escolhido, ache a probabilidade de que a 
primeira chamada chegue dentro de meia hora. R. 0,9179 
 
5) Suponhamos que o manuscrito de um livro-texto tem um total de 50 erros nas 500 
páginas de material. Sendo os erros distribuídos aleatoriamente através do texto, qual a 
probabilidade de que, quando o revisor comece a ler um capítulo, o primeiro erre se 
encontre: 
a) dentre das cinco primeiras páginas. R. 0,3935 
b) depois das quinze primeiras páginas. R. 0,2231 
c) entre sete e treze primeiras páginas. R. 0,2241 
 
6) As interrupções do funcionamento de energia elétrica ocorrem segundo um Poisson com 
média de uma interrupção por mês (quatro semanas). Qual a probabilidade de que entre duas 
interrupções haja um intervalo de: 
a) menos de uma semana? R. 0,2212 b) exatamente um mês? R. 0 
c) entre dez a doze semanas? R. 0,0323 d) mais de três semanas? R. 0,4724 
 
7) Em média de 0,5 cliente por minuto chega a um balcão. Depois que o funcionário abre o 
balcão, qual a probabilidade de que ele tenha que esperar pelo menos três minutos antes que 
apareça o primeiro cliente? R. 0,2231 
 
8) Em média seis pessoas por hora se utilizam de uma caixa-automática de um banco em 
uma loja de departamentos. Ache a probabilidade de que: 
a) se passem pelo menos dez minutos entre a chegada de dois clientes. R. 0,3679 
b) depois da saída de um cliente, não apresente outro em pelo menos vinte minutos. 
R. 0,1353 
c) chegue um segundo cliente dentro de um minuto, após a chegada do primeiro. R. 
0,0952 
 
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71 
 
 C. DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 Foi introduzida em 1733 pelo matemático francês Abraham de Moivre, como a 
forma limite da distribuição binomial, quando n é muito grande. 
No início do século XIX é que foi verificada sua importância em outros contextos, como 
atestam as obras de Laplace e Gauss. A função de densidade normal aparece como uma 
aproximação para o estudo de erros de medidas. 
A distribuição normal é a mais importante distribuição de probabilidades, não 
apenas na teoria estatística, como também nas aplicações industriais. Tem uma posição 
única na teoria das probabilidades, pois pode ser utilizada como aproximação de outras 
distribuições. Por outro lado, a distribuição normal representa o resultado da atuação 
conjunta de causas aleatórias e, por isso, é fundamental no controle estatístico de processos, 
particularmente na teoria dos gráficos de controle de fabricação. A distribuição normal é a 
base do critério estatístico para a distinção entre diferenças normais e diferenças 
significativas. 
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal de probabilidade com 
parâmetros  e 2, -  <  < +  e 0 < 2 < + , se a sua função densidade de 
probabilidade é dada por: 
 f(x) = dxe
x






 −
−
2
2
1
2
1 


, –  < x < +  sendo: 
 = média da distribuição,  = desvio padrão da distribuição,  = 3,1416... e e = 2,718... 
 
O gráfico de f(x) a seguir ilustra três curvas normais, determinadas por diferentes 
valores de  e 2. 
 
X: N(0, ½), N(0, 1), N(0, 2) 
 
As principais características dessa função são: 
a) o ponto de máximo de f(x) é o ponto X = , e o valor máximo é  21 
b) os pontos de inflexão da função são: X =  +  e X =  - . 
c) a curva é simétrica com relação à X = , isto é, f( –h) = f(+h), para todo h > 0. 
d) Média, E (X) =  e a variância, V (X) = 2. 
 
Interpretação dos parâmetros: 
 , determina o deslocamento horizontal e 
, determina o grau de dispersão dos valores em torno de . 
 
 N(0,2) 
 N(0,1) 
 N(0,1/2) 
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72 
 
OBS.: 
• Maior desvio padrão indica maior dispersão: curva mais achatada 
• Menor desvio padrão indica maior concentração: curva com “pico” mais 
acentuado. 
Demonstra-se que: 

+
−





 −
−
=1
2
1
2
2
1
dxe
x



 
 
Notação: X: N( , 2) Lê-se: X tem distribuição normal com média  e variância 2. 
 
Pode-se calcular que: 
1o) cerca de 68,26 % de todos os valores estão a menos de 1 desvio padrão da média; 
2o) cerca de 95,44% de todos os valores estão a menos de 2 desvios padrão da média; 
3o) cerca de 99,74% de todos os valores estão a menos de 3 desvios padrão da média. 
 
 
CÁLCULO DE PROBABILIDADES: 
 Se quisermos calcular a probabilidade indicada na figura seguinte, devemos fazer: 
P (a  X  b) = dxe
x
b
a
2
2
1
2
1 




 −
−




 
 
 
 
Observe que o cálculo representa um grau relativo de dificuldade. Tal integral não 
pode ser calculada exatamente. A probabilidade indicada na figura acima só pode ser obtida, 
aproximadamente, por métodos numéricos. 
 
 
 
TEOREMA: Se X tem distribuição normal, com média  e variância 2, 
escrevemos, X : Para tornar mais fácil o cálculo de probabilidade utiliza-se uma variável 
padronizada Z. (Tabela – Pág. 89). 
N ( , 2), então a variável aleatória Z, definida por: 
 

−
=
X
Z , tem uma distribuição Z: N(0, 1). 
Demonstra-se que Z também tem distribuição normal. Z é chamada de variável 
normal reduzida ou normal padronizada ou variável normalizada.Vamos mostrar que E(Z) = 0 e V(Z) = 1 
 
( ) 0)(
1
)(
1
)( =−=−=




 −
= 




XEXE
X
ZE 
 
P (x1  X  x2) 
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 1)(
1
)(
1
)(
22
==−=




 −
= XVXV
X
ZV




 
Logo: 
X : N ( , 2)  Z : N (0, 1) 
 
E a função densidade de probabilidade de Z é: 
2
2
2
1
)(
z
ezf
−
=

 para –  < Z < + , 
como mostra a figura seguinte. 
 
 
 
Essa curva é também simétrica com relação a  z. 
 
 
CÁLCULO DE PROBABILIDADES 
 
(Notação): P (z1 < Z < z2) denota a probabilidade de o valor de Z estar entre z1 e z2, 
conforme mostra a figura a seguir. 
 
 z1 z2 
 P(z1<Z<z2) = Φ(z2) – Φ(z1) 
 
P (Z > z1), denota a probabilidade de o valor de Z ser maior do que z1. 
P (Z < z2), denota a probabilidade de o valor de Z ser menor do que z2. 
 
Na prática existem tabelas que dão as probabilidades acumuladas da Z: N(0, 1). 
Desta maneira trabalha-se com a variável X, fazendo a seguinte transformação: 
 
 P(X  x) = P =




 −

−



 xX
P =




 −


x
Z P ( )zZ  
 
Assim, as infinitas distribuições reduzem-se apenas a uma Z: N(0, 1), onde  = 0 e 
2 = 1. A variável Z é desprovida de unidade de medida, ou seja, é um número puro. 
 
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74 
 
OBS.: 1) P(X < x) = P(Z < z) = Φ(z) 
2) P(X > x) = P(Z > z) = P(Z < – z) = Φ(– z) 
3) P(x1 < X < x2) = P(z1 < Z ≤ z2) = Φ(z2) – Φ(z1) 
 
O uso da tabela para cálculos de probabilidades é extremamente simples. (Pág. 89). 
 
 
EXEMPLOS USANDO A TABELA DA NORMAL: 
 
CASO A: Encontre um valor de probabilidade com base em valores de Z. 
 
1) a) P(Z < 0,27) = (0,27) = 0,6064 (olhar direto na tabela 0,27) 
 
Z 0 1 2 … 7 8 9 
... 
0,2 0,6064 
… 
 
b) P(Z < 1,57) = (..............) = ...................... 
 
c) P(Z < – 2,91) = (– 2,91) = ..................... 
 
d) P(Z < 3,5) = (..............) = ...................... 
 
2) a) P(–2,53 < Z < 1,88) = (1,88) – (–2,53) = 0,9700 – 0,0057 = 0,9643 
 
Z 0 1 2 3 … 8 9 
... 
1,8 0,9700 
… 
 
Z 0 1 2 3 4 … 9 
... 
–2,5 0,0057 
… 
 
b) P(0,22 < Z < 2,89) = (2,89) – (0,22) = ............... – ............... = ............... 
 
c) P(–1,77 < Z < 1,77) = (..........) – (..........) = ............... – ............... = ............... 
 
 d) P(– 2,46 < Z < – 0,31) = (..........) – (..........) = ............... – ............... = ............... 
 
3) a) P(Z > 2, 95) =(propriedade de simetria) = P(Z < –2,95) = (–2,95) = 0,0016 
 
Z 0 1 … 5 … 9 
… 
–2,9 0,0016 
… 
 
b) P(Z > – 0,36) = P(Z < 0,36) = (0,36) = .................... 
 
c) P(Z > 3,3) = P(Z < ..........) = (..........) = .................... 
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75 
 
CASO B: Encontre um valor de Z para um dado valor de probabilidade 
(problema inverso do caso A). 
 
Veja os exemplos seguintes: 
 
1) a) P (Z < z) = 0,2061 Desejamos saber para que valor z a probabilidade acumulada é de 
02061, então, consultando a tabela verificamos que z = – 0,82. 
 
A consulta deve ser feita de forma sistemática. Acompanhe a solução do exemplo. 
Os valores de probabilidade, no corpo da tabela, devem ser procurados na última coluna (é a 
do 9) e, após encontrado o primeiro valor de probabilidade menor (ou maior) que o valor 
procurado, deve-se continuar a consulta da direita para esquerda, conforme indicado pelas 
setas. 
Z 0 1 2 … 7 8 9 
… 
– 0,8 0,2061 0,1867 
... 
 
 b) P(Z < z) = 0,3340 → descendo a coluna 9, temos 0,3121 que é o primeiro menor 
que 0,3340, voltando à esquerda até encontramos 0,3336 (o mais próximo de 0,3340), 
continuando à esquerda encontraremos z = – 0,4; voltando a 0,3336 e deslocando para cima 
encontraremos 3, daí teremos: z = – 0,43. 
 
 c) P(Z < z) = 0,4940 → z = – 0,02 ou z = – 0,03 (Para facilitar use o final par.) 
 
d) P(Z > z) = 0,0057 = P(Z < – z) → – z = – 2,53 ( – 1) → z = 2,53 
 
 e) P(Z > z) = 0,3055 = P(Z < .......... ) → ........ = ............... ( ..... ) → z = .............. 
 
 
2) a) P(Z < z) = 0,9780 → z = 2,01 
 
Z 0 1 2 … 7 8 9 
... 
2,0 0,9778 0,9817 
... 
 
→ (descendo a coluna 9, temos 0,9817 que é o primeiro maior que 0,9780, voltando à 
esquerda até encontramos 0,9778 (o mais próximo de 0,9780), continuando à esquerda 
encontraremos z = 2,0; voltando a 0,9778 e deslocando para cima encontraremos 1, daí 
teremos: z = 2,01.) 
 
 b) P(Z < z) = 0,6025 → z = .......... 
 
c) P(Z > z) = 0,8260 = P(Z < – z) → – z = 0,94 (– 1) → z =– 0,94 
 
d) P(Z > z) = 0,9991 = P(Z <..........) → .......... = .......... ( .........) → .......... = .......... 
 
 
3) a) P(z1 < Z < z2) = 0,8164, sendo z1 e z2 simétricos. 
 
 P(Z < z) = 0918,0
2
1836,0
2
8164,01
==
−
 z1 = – 1,33 e z2 = 1,33 
 
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Z 0 1 2 3 ... 8 9 
e... 
– 1,3 0,0918 0,0823 
... 
 
 b) P(z1 < Z < z2) = 0,4312, sendo z1 e z2 simétricos. 
 
 P(Z < z) = .............................. = .......................... = ..................... z1 = .......... e z2 = .......... 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) Consulta à tabela deve ser feita conforme caso A. 
 Seja Z uma N(0, 1). Determine as seguintes probabilidades: 
 a) P(Z < 2,23) b) P(Z > –1,45) c) P(–2,00 < Z ≤ 2,00) d) P(–1,08 < Z ≤ 2,83) 
 
Solução: 
a) P(Z < 2,23) = Φ(2,23) = 0,9871 
b) P(Z > –1,45) = P(Z < 1,45) = Φ(1,45) = 0,9265 
c) P(–2,00 < Z ≤ 2,00) = Φ(2,00) – Φ(–2,00) = 0,9772 – 0,0228 = 0,9544 
d) P(–1,08 ≤ Z ≤ 2,83) = Φ(2,83) – Φ(–1,08) = 0,9977 – 0,1401 = 0,8576 
 
 
2) Consulta à tabela deve ser feita conforme caso A. 
 
 Seja X uma v.a.c. com distribuição N(10, 4). Determine: 
a) P(X < 10) b) P(X > 11,50) c) P(8 < X ≤ 12) d) P(6,08 ≤ X ≤ 13,12) 
 
Solução: 
 Neste caso, antes de procurar os valores na tabela é necessário padronizar cada valor 
de X, através da expressão: 
 Z = ( X – μ)/σ 
 
a) z = (10 – 10)/2 = 0 z = 0,00 P(X < 10) = P(Z < 0,00) = Φ(0,00) = 0,5000 
 
b) z = (11,50 – 10)/2 = 0,75 z = 0,75 
 P(X > 11,50) = P(Z > 0,75) = P(Z < – 0,75) = Φ(–0,75) = 0,2266 
 
c) z = (8 – 10)/2 = –1 z = –1,00 e z = (12 – 10)/2 = 1 z = 1,00 
 P(8 < X ≤ 12) = P(–1,00 < Z ≤ 1,00)= Φ(1,00) – Φ(–1,00)= 0,8413 – 0,1587 =0,6826 
 
d) z = (6,08 – 10)/2 = –1,96 z = –1,96 e z = (13,12 – 10)/2 = 1,56 z = 1,56 
 P(6,08 ≤ X ≤ 13,12) = P(–1,96 < Z ≤ 1,56) = Φ(1,56) – Φ(–1,96) = 0,9406 – 0,0250 
 = 0,9156 
 
 
 3) Consulta à tabela deve ser feita conforme caso B. 
 a) P(Z < z) = 0,9864 b) P(Z > z) = 0,0025 
 
Solução: 
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77 
 
a) P(Z < z) = 0,9864 Na tabela, coluna 9, descer até encontrar um valor maior (ou igual) 
que 0,9864, (0,9890) vai da direita para esquerda até encontrar a própria probabilidade ou a 
mais próxima (0,9864), e nesse cruzamento, indo até o fim da linha encontrando 2,2 e 
subindo encontrará 1, portanto o valor de z = 2,21 
 
b) P(Z > z)= 0,0025 
Para a solução do item b, devemos usar a propriedade de simetria da curva normal. 
Em primeiro vamos procurar na tabela a probabilidade de valor 0,0025. Após encontrar o 
valor de ztab correspondente (no caso ztab = –2,81), a solução do problema é –ztab (ou seja, z 
= – ztab = – (–2,81) = 2,81. 
 
4) (Montgomery) Considere que, na detecção de um sinal digital, o ruído siga uma 
distribuição normal com média 0 volt e um desvio padrão de 0,45 volt. Se o sistema 
considerar que um sinal digital seja transmitido quando a voltagem exceder 0,9 volt, qual 
será a probabilidade de detectar um sinal digital quando nada tiver sido enviado? 
 
Solução: 
X = voltagem do ruído X:N(0; 0,452) 
Na verdade, deseja-se calcular a probabilidade de falsa detecção, ou seja, 
 z = (0,9 – 0)/0,45 = 2 z = 2,00 
P (X > 0,9) = P(Z > 2,00) = P(Z  –2,00) = Φ(–2,00) = 0,0228 
 
 
5) Considere os dados do exercício anterior e obtenha os limites simétricos, em torno de 
zero, que incluam 99% de todas as leituras do ruído. 
 
Solução: 
P(– x < X < x) = 0,9900 
 P(– x < X < x) = P(– z < Z < z) = 0,9900. Para se determinar os limites pedidos, 
consultando a tabela como mostrado no caso B, n. 3, tem-se: 
 P(Z < z) = (1 – 0,9900)/2 = 0,005  z = 2,58 
 
45,0
0
58,2
−
=−→
−
=
xx
z


 161,145,0.58,2 == x 
 Os limites são –1,161 e 1,161 volts. 
 
 
C.1 APROXIMAÇÃO DA BINOMIAL PARA NORMAL 
 
As probabilidades associadas com experimentos binomiais são facilmente obtidas 
pela fórmula da distribuição binomial ou utilizando tabelas quando n é pequeno. Para n 
grande o cálculo torna-se praticamente inviável. 
 
TEOREMA: Se X é uma variável binomial com média E(X) = n.p e variância V(X) = 
n.p.q, então a fórmula limite da distribuição de 
npq
npX
Z
−
= , quando n→  é uma 
distribuição normal padrão Z: N(0, 1). 
 
Na prática quando n.p e n.q forem maiores que 5 a aproximação pela normal será 
boa. No geral, n grande e p não muito proximo de 0 (zero) ou de 1 (um). 
 
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78 
 
 
C.2. TEOREMA DA COMBINAÇÃO LINEAR 
 
A combinação linear de variáveis normais independentes é também uma variável 
normal. Logo se X e Y são variáveis normais, então: 
 
aX  bY também será normal, 
 
com, média ax  by e variância a22x + b22y 
 
Obs.: Para o cálculo da variância fazemos sempre a soma, independente se 
estamos caracterizando X + Y ou X – Y. 
 
A soma ou a diferença de variáveis normais independentes, também, é uma variável 
normal. 
 
 
CORREÇÃO DE CONTINUIDADE 
 
 Para se aproximar uma distribuição discreta por uma contínua faze-se necessário 
uma correção de continuidade, que consiste em subtrair 0,5 ao valor inferior e somar 0,5 ao 
valor superior. A correção de continuidade garante a inclusão dos pontos a e b quando se 
calcula a probabilidade de X ficar entre x1 e x2. 
 
P(x1  X  x2) = P( z1 Z  z2) , onde 
npq
npx
z
−−
=
)2/1( 1
1 e 
npq
npx
z
−+
=
)2/1( 2
2 
 
 
 
 
 Veja os casos correspondentes às seguintes afirmações: 
 
1) pelo menos 64 ocorrem (inclui 64 ou mais) . . . . . . . . Área à direita de 63,5 
2) menos de 64 ocorrem(não inclui o 64) . . . . . . . . . . Área à esquerda de 63,5 
3) mais de 64 ocorrem (não inclui o 64) . . . . . . . . . . Área à direita de 64,5 
4) no máximo 64 ocorrem (inclui o 64 ou menos) . . . . . . Área à esquerda de 64,5 
5) exatamente 64 ocorrem . . . . . . . . . . . . . . . Área entre 63,5 e 64,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) No lançamento de 30 moedas honestas, qual a probabilidade de saírem: 
a) exatamente 12 caras? b) mais de 20 caras? 
 
Solução: 
 
a) A probabilidade de saírem 12 caras é dada pela distribuiç ão binomial por: 
 ( ) 0806,05,0.5,0.)12( 18123012 ===XP 
 Aproximando pela normal tem-se: 
 ____ ________ ____ 
 μ = n.p = 30.0,5 = 15 σ =√n.p.q =√30.0,5.0,5 =√0,75 = 2,7386 σ = 2,74 
 
 P(X = 12) calculando pela normal com utilização da correção de continuidade será: 
 
 z1= (11,5 – 15)/2,74 = –1,2773 z1 = –1,28 
 
z2= (12,5 – 15)/2,74 = –0,9124 z2 = –0,91 
 
 P(X = 12) = P(11,5 < X < 12,5) = P(–1,28 < Z < –0,91) = Φ(–0,91) – Φ(–1,28) = 
 = 0,1814 – 0,0103 = 0,0811 (que não é muito diferente do valor exato 0,0806) 
 
b) P(X > 20) = ( ) 0214,05,0.5,0. 30
30
21
30 =− iii 
 Aproximando pela normal, tem-se: 
 
 z = (20,5 – 15)/2,74 = 2,0072 z = 2,01 
 
 0222,0)01,2()01,2()01,2()5,20()20( =−=−=== ZPZPXPXP 
 
 
2) Em uma indústria, a montagem de certo item é feita em duas etapas. Os tempos 
necessários para cada etapa são independentes e tem as seguintes distribuições: 
 
X1: N(75s, 16 s
2) e X2: N(125s, 100s
2). 
 
Qual é a probabilidade de que sejam necessários, para montar a peça: 
a) mais que 210 segundos. b) menos que 180 segundos. 
 
Solução: 
a) T = X1 + X2, T: N (200 s, 116s2) P (T > 210 s) 

−
=
X
Z , 928,0
116
200210
=
−
=z , z = 0,93 
P(T > 210) = P(Z > 0,93) = P(Z < –0,93) = Φ(–0,93) = 0,1762 
 
b) P (T < 180) 
86,1
116
200180
−=
−
=Z P(T < 180) = P (Z < –1,86) = Φ(–1,86) = 0,0314 
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80 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE APROXIMAÇÃO DA BINOMIAL 
PELA NORMAL: 
 
1) Calc ule para X: B(15; 0,4) 
 a) P(X = 4) a.1) utilizando binomial R. 0,1268 
 a.2) utilizando aproximação normal R. 0,1214 
 
 b) P(7  X  9) b.1) utilizando binomial R. 0,3563 
 b.2) utilizando aproximação normal R. 0,3645 
 
2) Sabe-se que 20% dos itens produzidos por certa fábrica são defeituosos. Suponha que a 
v.a. X indica o número de itens defeituosos em uma amostra de tamanho 100. Qual é a 
probabilidade de se obter pelo menos 80 itens perfeitos na amostra? (Calcule utilizando a 
aproximação pela normal – correção de continuidade). 
 R. P(80 ≤ X ≤ 100) = P(79,5 < X < 100,5) = 0,5517 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
OBS.: PARA CADA ITEM, COLOQUE A NOTAÇÃO DA NORMAL, DESENHE A CURVA 
NORMAL, SOMBREAR A PARTE QUE FOI SOLICITADA E FORMALIZE. 
 
01) Seja Z uma variável aleatória contínua distribuída normalmente com média zero e desvio 
padrão 1, isto é Z: N(0; 1). Determine: 
a) P( Z ≤ –1,00) R. 0,1587 b) P( Z ≤ –2,89) R. 0,0019 
c) P(Z < –1,74) R. 0,0409 d) P(Z < 0,00) R. 0,5000 
e) P(Z < 2,35) R. 0,9906 f) P(Z < –6,32) R. 0 
g) P(Z > 1,60) R. 0,0548 h) P( Z ≥ 2,00) R. 0,0228 
i) P(Z > 4,36) R. 0 j) P(Z > –1,30) R. 0,9032 
k) P(Z > 4,21) R. 0 l) P(1,31 ≤ Z ≤ 2,41) R. 0,0871 
 m) P(–1,00 ≤ Z < –0,61) R. 0,1122 n) P(–1,00 < Z < 2,03) R. 0,8201 
 
02) Determine o valor de z: 
 a) P(Z ≤ z) = 0,4870 R. –0,03 b) P(Z ≤ z) = 0,0018 R. –2,91 
c) P(Z ≤ z) = 0,6239 R. 0,32 d) P(Z ≥ z) = 0,7100 R. –0,55 
e) P(Z ≥ z) = 0,5315 R. –0,08 f) P(Z ≥ z) = 0,4210 R. 0,20 
 g) P(–1,40 ≤ Z ≤ z) = 0,2840 R. –0,35 h) P(z ≤ Z ≤ 1,94) = 0,3146 R. 0,41 
i) P(–1,80 ≤ Z ≤ z) = 0,4998 R. 0,09 
 
03) Seja Z uma v.a.c. normalmente distribuída com média 0 e desvio padrão 1. Determine: 
A) o valor de z
1 
tal que: 
 a) P(Z ≤ z
1 
) = 0,0495 R. z1 = – 1,65 
 b) P(Z ≤ z
1
) = 0,9476 R. z1 = 1,62 
 c) P(Z ≥ z
1
) = 0,0618 R. z1 = 1,54 
 d) P(Z ≥ z
1
) = 0,8200 R. z1 = – 0,92 
B) Sejam z
1 
e z
2
, simétricos, dois particulares valores de Z. Determine-os tais que: 
 a) P( z
1 
≤ Z ≤ z
2 
) = 0,9216 R. –1,76 e 1,76 
 b) P( z
1 
≤ Z ≤z
2 
) = 0,8858 R. –1,58 e 1,58 
 
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04) X é normal com média 20 e variância 25, obtenha os valores x1 e x2, tal que 
P(x1 < X ≤ x2) = 0,9800. Observe que os valores x1 e x2 são simétricos em relação à média. 
R. 8,35 e 31,65 
 
05) Seja X uma v.a.c. normalmente distribuída com média 100 e desvio padrão 10. 
A) Seja x
1 
um particular valor de X. Calcule-o tal que: 
 a) P(X ≤ x
1
) = 0,0359. R. 82 b) P(X ≤ x
1
) = 0,9830. R. 121,2 
 c) P(X ≥ x
1
) = 0,0228. R. 120 d) P(X ≥ x
1
) = 0,6480. R. 96,2 
 
B) Sejam x
1 
e x
2 
dois particulares valores simétricos tais que: 
a) P(x
1 
≤ X < x
2 
) = 0,9000. R. 83,6 e 116,4 
b) P(x
1 
< X < x
2 
) = 0,9500. R. 80,4 e 119,6 
 
06) Sendo X uma variável aleatória normalmente distribuída com média µ e desvio padrão 
σ, determine: 
 a) P(µ – σ ≤ X ≤ µ + σ ). R. 0,6826 
 b) P(µ – 2 σ ≤ X ≤ µ + 2σ ). R. 0,9544 
 c) P(µ – 3 σ ≤ X ≤ µ + 3 σ). R. 0,9974 
 
07) Uma empresa produz um equipamento cuja vida útil admite distribuição normal com 
média 300 h e desvio padrão 20 h. Se a empresa garantiu uma vida útil de pelo menos 280 h 
para uma das unidades vendidas, qual a probabilidade de ela ter que repor essa unidade? R. 
0,1587 
 
08) A vida média das lâmpadas incandescentes produzida pela Luminex Brasil S. A. foi 
estimada em 2.420 h, com desvio padrão de 110 h. Nessas condições, qual a probabilidade 
de uma lâmpada Luminex, vendida pela loja Marreteiro S.A., durar: 
 a) entre 2.300 e 2.450 h? R. 0,4685 b) menos de 2.500 h? R. 0,7673 
 c) mais de 2.380 h? R. 0,6406 d) menos de 2.390 ou mais de 2.550 h? 
 R. 0,5126 
 
09) Seja X uma v.a.c. normalmente distribuída com média 300 e desvio padrão 2. Calcule a 
probabilidade de X assumir valores: 
 a) menores que 302,48. R. 0,8925 
 b) maiores que 298,14. R. 0,8238 
 c) entre 297,6 e 303,86. R. 0,8581 
 
10) Suponha que os pesos das pessoas de certa comunidade tenham distribuição normal com 
média 60 kg e desvio padrão 10 kg. Determine a porcentagem das pessoas que pesam: 
 a) 55 kg ou mais. R. 69,15% b) 58 kg ou menos. R. 42,07% 
 c) entre 52 e 70 kg. R. 62,94% d) entre 65 e 80 kg. R. 28,57% 
 
11) Sabe-se que os graus atribuídos por certo professor à seus alunos tem distribuição 
normal com média 5 e desvio padrão 2. O professor atribuiu conceitos da seguinte forma: 
A: grau maior ou igual a 8. B: grau maior ou igual a 6 e inferior a 8. 
C: grau maior ou igual a 4 e inferior a 6. D: grau inferior a 4. 
Determine a porcentagem de alunos com conceito A, B, C e D. 
R. 6,68%; 24,17%; 38,30% e 30,85% 
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12) As vendas de determinados produtos têm distribuição normal com média 500 e desvio 
padrão 50. Se a empresa decide fabricar 600 unidades no mês em estudo, qual é a 
probabilidade de não poder atender a todos os pedidos desse mês, por estar com a produção 
esgotada? R. 0,0228 
 
13) Suponha que numa cidade a temperatura T durante junho seja normalmente distribuída 
com média 68ºF e desvio padrão 6ºF. Determine: 
 a) t’ tal que P ( T ≤ t’) = 0,9382. R. 77,24º F 
 b) a probabilidade de, num certo dia a temperatura estar entre 59ºF e 65ºF. R. 
0,2417 
 
14) O gerente de um banco tem seu domicílio no bairro A. Ele deixa sua casa às 8h 45 min 
dirigindo-se ao emprego e iniciando seu trabalho às 9h. A duração dessa viagem tem média 
de 13 min e desvio padrão 3 min. Considerando que o tempo de duração da viagem tem 
distribuição normal, determine a probabilidade do gerente chegar atrasado ao banco. R. 
0,2514 
 
15) Uma indústria produz xícaras com peso médio de 250 g e desvio padrão 5 g. Qual a 
probabilidade de uma xícara qualquer pesar: 
 a) entre 245 e 255 g? R. 0,6826 b) menos de 248 g? R. 0,3446 
 c) mais de 256 g? R. 0,1151 d) entre 253 e 259 g? R. 0,2384 
 
16) Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com 
média de 150 mil km e desvio padrão 5 mil km. Qual a probabilidade de que um carro, 
escolhido ao acaso, dos fabricados por esta firma, tenha um motor que dure: 
 a) menos de 170 mil km? R. 1,0000 
 b) entre 140 mil e 165 mil km? R. 0,9759 
 c) mais de 150 mil km? R. 0,5000 
 d) exatamente 150 mil km? R. (v.a.c. não existe igualdade) 
 
17) Considerando o exercício anterior, se a fábrica substitui o motor que apresentar duração 
inferior à garantia, qual deve ser essa garantia, para que a percentagem de motores 
substituídos seja inferior a 0,2%? R. 135 600 km 
 
18) A distribuição dos salários dos funcionários de certa empresa é normal com média de R$ 
1.850,00 e desvio padrão de R$ 325,00. Qual o salário que separa os 15% dos funcionários 
melhor remunerados por essa empresa? R. R$ 2.188,00 
 
19) Uma variável aleatória X distribui-se normalmente com média 80 e variância 9. Calcule 
o intervalo central que contém: 
 a) 50% dos valores da variável. R. [77,99; 82,01] 
 b) 95% dos valores da variável. R. [74,12; 85,88] 
 c) 68,268% dos valores da variável. R. [77; 83] 
 
20) A vida média de um motor elétrico é de 6 anos com desvio padrão de 2 anos. Se a 
amplitude da vida de tal motor pode ser tratada como variável normal, qual deve ser a 
garantia para que o máximo 15% dos motores falhem antes de expirar a garantia? R. 3,92 
anos 
 
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21) Uma aplicação clássica da distribuição normal é inspirada em uma carta a Dear Abby, 
em que uma esposa alegava ter dado à luz 308 dias após uma rápida visita de seu marido que 
estava servindo na Marinha. O período da gravidez tem distribuição normal com média de 
268 dias e desvio padrão de 15 dias. Com base nessa informação: 
 a) determine a probabilidade de uma gravidez durar 308 dias ou mais. Que é que o 
resultado sugere? R. 0,0038 ou ocorreu um evento muito raro ou o marido não é o pai. 
 b) Se definirmos como prematura uma criança nascida com ao menos 3 semanas de 
antecipação, ache a percentagem das crianças nascidas prematuramente. R. 8,08% 
 c) Se definirmos como prematura uma criança cujo período de gestação esteja nos 
4% inferiores, ache o período de gestação que separa as crianças nascidas prematuramente 
das não prematuras. R. 242 dias 
 
22) Testes para medir a duração de aparelhos eletrodomésticos mostram que o modelo 
adequado é o normal com média de 26.000 horas e desvio padrão de 4.000 horas. Pede-se a 
probabilidade de que um aparelho escolhido ao acaso: 
 a) dure mais que 25.000 horas? R. 0,5987 
 b) dure menos que 30.000? R. 0,8413 
 c) sabe-se que se um defeito aparecer dentro do tempo de garantia a fábrica deve 
consertá-lo, tendo assim prejuízo. Qual deve ser a garantia para que a porcentagem de 
aparelhos consertados dentro da garantia seja inferior a 10%? R. 20.880 h 
 
23) A resistência à tração de isoladores cerâmicos apresenta distribuição normal com média 
95 kg e desvio padrão 4 kg. São produzidas 10.000 unidades desses isoladores. 
 a) Quantas apresentarão resistência inferior a 85 kg? R. 62 unidades 
 b) Quantas apresentarão resistência superior a 90 kg? R. 8 944 unidades 
 c) Se a fábrica despreza isoladores térmicos com resistência inferior a um certo valor 
K, determine-o, para que a porcentagem de rejeitados seja inferior a 0,3%? R. 84 kg 
 
24) A distribuição de nossas médias N1 foi normal com média 4,4 e desvio padrão 2,1. 
 a) Se formos ter atividades de recuperaçãoparalela para 25% dos alunos de pior 
rendimento na N1, quem participará destas atividades. R. 3,0 
 b) Se usarmos 5% dos alunos de melhor rendimento na N1 como monitores, quem 
exercerá esta atividade. R. 7,8 
 c) Qual a porcentagens dos alunos que não terão atividades de recuperação paralela e 
nem serão monitores? R. 70% 
 
25) Certo tipo de cimento tem resistência à compressão com média de 5.800 kg/cm2, e 
desvio padrão de 180 kg/cm2, segundo uma distribuição normal. Dada uma amostra desse 
cimento, calcule as seguintes probabilidades: 
 a) resistência inferior a 5.600 kg/cm2. R. 0,1335 
 b) resistência entre 5.600 e 5.950 kg/cm2. R. 0,6632 
 c) se quer a garantia de que haja 95% de probabilidade de o cimento resistir a 
determinada pressão, qual deve ser o valor máximo dessa pressão? R. 6.095,2 kg 
 
26) Admita que os pesos das mulheres tenham distribuição normal com média 63,6 kg e 
desvio padrão 2,5 kg. Admita também que uma mulher seja escolhida aleatoriamente. Ache 
o que se pede: 
 a) Determine o peso que separa os 90% inferiores dos 10% superiores. R. 66,8 kg 
 b) P(63,6 < X < 65,0) R. 0,2123 c) P(X < 70,0) R. 0,9948 
 d) P(X > 58,1) R. 0,9861 e) P(59,1 < X < 66,6) R. 0,8490 
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 f) Os pesos das dançarinas em um espetáculo devem estar entre 65,5 e 68,0 kg. Ache 
a probabilidade de uma dançarina escolhida ao acaso, poder ser uma neste espetáculo. R. 
0,1844 
 g) Uma organização social tem uma exigência de que as mulheres tenham ao menos 
70 kg de pesos. Determine a percentagem de mulheres adultas elegíveis para membro da 
organização, por terem o peso mínimo de 70 kg. R. 0,52% 
 h) Cogita-se de abrir uma filial em uma área metropolitana com 500.000 mulheres 
adultas, quantas podem ser candidatas, atendendo à exigência anterior? R. 2.600 mulheres 
 i) Para ingressar na Marinha dos EUA, uma mulher deve ter peso entre 58 e 73 kg. 
Determine a percentagem das mulheres que satisfazem essa exigência. R. 98,73% 
 j) Se para ingressar na Marinha dos EUA, uma mulher deveria ter peso entre 59 e 
68,2 kg. Determine a percentagem das mulheres que satisfazem essa exigência. R. 93,42% 
 
27) Uma fábrica solicita em média 937 peças do tipo A, do seu almoxarifado, por dia e com 
desvio padrão de 32 peças. Qual deveria ser o estoque de peças do tipo A para que com 
probabilidade de 0,9600 pudesse atender todos os pedidos? R. 993 
 
28) O número de pedidos de compra de certo produto que uma companhia recebe por 
semana distribui-se normalmente, com média de 150 e desvio padrão de 30. 
a) Se em uma semana o estoque disponível é de 180 unidades, qual é a 
probabilidade de que os pedidos sejam atendidos? R. 0,8413 
b) Qual é a probabilidade de que os pedidos estejam entre 120 e 180 produtos? R. 
0,6826 
c) Qual deveria ser o estoque para que, com probabilidade de 0,9700 pudesse atender 
todos os pedidos? R. 206 
 
29) Suponham que a estatura de recém-nascidos do sexo masculino é uma variável aleatória 
com distribuição aproximadamente normal de média de 50 cm e desvio padrão 2,5 cm. A 
pesquisa contou com 5.490 recém-nascidos. Quantas crianças podemos esperar que tenha 
nascido com estatura: 
a) entre 47 e 52 cm? R. 3.695 b) inferior a 48 cm? R. 1.163 
 c) acima de 52 cm? R. 1.163 d) acima de 46 cm? R. 5.189 
 
30) Suponha que a pressão sanguínea sistólica normal em indivíduos com idade entre 15 e 
25 anos é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal de média 120 
mmHg e desvio padrão 8 mmHg. Nestas condições, calcule a probabilidade de um indivíduo 
dessa faixa etária, com pressão sanguínea sistólica normal, apresentar pressão: 
 a) menor que 114 mmHg. R. 0,2266 
 b) entre 110 e 130 mmHg. R. 0,7888 
 c) maior que 135 mmHg. R. 0,0300 
 d) Vamos supor que foram pesquisadas 275 pessoas. Quantas podemos esperar que 
tenha pressão sanguínea sistólica acima de 139 mmHg. R. 2 pessoas. 
 
31) A quantidade de óleo contida em cada lata fabricada por uma indústria tem peso 
normalmente distribuído, com média de 990g e desvio padrão de 10g. Uma lata é rejeitada 
no comércio se tiver peso menor que 976g. Quantas latas deverão ser rejeitadas numa caixa 
com 50 unidades? R. 0,0808 4 latas rejeitadas 
 
32) Peças produzidas por uma empresa têm diâmetros normais com média de 5 cm e desvio 
padrão de 0,04 cm. Cada peça deve se encaixar em outra. Um encaixe é aceitável se o 
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diâmetro da peça tiver de 4,92 cm a 5,08 cm. Suponha um lote casual de 1.000 peças. Em 
quantas peças podemos esperar encaixe aceitável? R. 954 peças 
 
33) O número de pessoas que almoçam num restaurante suburbano é aproximadamente 
normal, com média 250 pessoas/dia e desvio padrão de 20 pessoas/dia. 
 a) Qual a probabilidade de haver ao menos 200 clientes em determinado dia? R. 
0,9938 
 b) Determine a probabilidade de comparecerem entre 225 e 275 clientes. R. 0,7888 
 c) Se o preço médio pago por cada cliente é de R$ 4,00, qual a receita diária 
esperada? R. R$ 1.000,00 
 
34) A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma normal de média 
µ e desvio padrão 20 gramas. Em quanto deve ser regulado o peso médio para que apenas 
5% dos pacotes tenham peso acima de 500 gramas? R. 467,2 g 
 
35) Em uma distribuição normal, 32% dos elementos são inferiores a 45 e 8% superiores a 
65. Encontre a média e o desvio padrão da distribuição. R. 50 e 10,64 
 
36) O padrão de qualidade recomenda que os pontos impressos por uma impressora estejam 
entre 3,7 e 4,3 mm. Uma impressora imprime pontos cujo diâmetro médio é igual a 4 mm e 
o desvio padrão é 0,19 mm. Suponha que o diâmetro dos pontos tenha distribuição normal. 
Qual a probabilidade do diâmetro de um ponto dessa impressora estar: 
a) entre 3,81 e 4,38 mm? R. 0,8185 
b) dentro do padrão? R. 0,8860 
 c) Qual deveria ser o desvio padrão para que a probabilidade do item anterior 
atingisse 95%? R. 0,15 mm 
 
37) O copo de liquidificador comercializados para substituições tem diâmetro interno 
normalmente distribuídos com média 9,00 cm e desvio padrão 0,01 cm. As dimensões 
externas toleradas para esse diâmetro são 9,015 cm e 8,985 cm. 
 a) Numa partida de 150.000 copos, quantos esperamos que sejam bons? R. 129.960 
 b) O custo de fabricação de cada copo é R$ 9,00. Se o diâmetro estiver dentro dos 
limites de tolerância, é vendido por R$ 20,00. Se o diâmetro estiver fora dos limites de 
tolerância, não é aproveitado. Determine o lucro esperado, quando se produz 150.000 copos. 
R. R$ 1.249.500,00 
 
38) Frascos são cheios com determinado líquido e tampados através de processo automático 
de engarrafamento. A inspeção de grande número de frascos mostra que o volume do líquido 
nos frascos é uma variável aleatória que pode ser considerada normalmente distribuída, com 
desvio padrão de  = 0,4 cm3. Qual é o valor mínimo que se pode atribuir ao volume médio 
de líquido, , para se garantir no máximo 0,5% de frascos com menos de 199 cm3? R. 
200,03 cm3 
 
39) As normas de fiscalização estabelecem que o volume médio de um saco de leite deve ser 
de 1.000 ml, com uma variância absoluta de 400 ml
2
, sendo permitido que uma amostra 
aleatória tenha no máximo 5% das unidades com volume abaixo do mínimo previsto. 
 a) Qual o volume mínimo permitido? R. 967,2 ml 
b) Qual deve ser a variância da máquina para se obter exatamente os valores 
previstos pela fiscalização, se a máquina for regulada para uma média de 1020ml? R. 1036,5 
ml
2
 
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40) Um avião com 64 passageiros tem a sua carga máxima reservada aos passageiroslimitada em 5.820 kg. Supondo que os passageiros, mais suas bagagens, têm seus pesos 
distribuídos com média 80 kg e desvio padrão 25 kg, determine a probabilidade de que o 
avião lotado, desprezando o peso dos tripulantes: 
 a) ultrapasse a carga máxima; R. 0,0002 
 b) tenha uma carga menor que 5.400 kg; R. 0,9192 
 c) tenha uma carga compreendida entre 4.800 e 5.500 kg. R. 0,9165 
 
41) A capacidade máxima de um elevador é de 500 quilos. Se a distribuição X dos pesos de 
cada usuário é suposta N(70; 100), qual é a probabilidade de 7 passageiros ultrapassarem 
esse limite? R. 0,3520 
 
42) Uma máquina automática enche latas baseada no peso bruto das mesmas. O peso líquido 
tem distribuição normal com média 910 g e desvio padrão 22 g. As latas têm peso 
distribuído normalmente com média de 90 g e desvio padrão 10 g. Qual a probabilidade que 
uma lata tenha de peso bruto: 
a) menos de 1.070 g? R. 0,9981 b) mais de 970 g? R. 0,8925 
 
43) O peso bruto de latas de conserva é uma variável normal, com média 1.000 g e desvio 
padrão de 20 g. As latas têm peso médio de 100 g e desvio padrão de 10 g, também com 
distribuição normal de peso. 
a) Qual é a probabilidade de uma lata conter menos que 850 g de peso líquido? 
b) Qual é a probabilidade de uma lata conter mais que 920 g de peso líquido? 
R. a) 0,0126 b) 0,1867 
 
44) O peso de um cigarro é a soma dos pesos do papel e do fumo. O peso médio do fumo é 
1,16 g com desvio padrão 0,06 g. O peso médio do papel é 0,04 g com desvio padrão 0,02 g. 
Esses pesos têm distribuição normal. Os cigarros são feitos em uma máquina automática que 
pesa o fumo a ser colocado no cigarro, coloca o fumo no papel e enrola o cigarro. 
Determine: 
 a) o peso médio e o desvio padrão de cada cigarro; R. 1,20 g e 0,063 g 
 b) a probabilidade de um cigarro ter menos de 1,13 g de peso. R. 0,1335 
 
45) Um eixo deve ser fabricado obedecendo as seguintes tolerâncias quanto ao diâmetro 
(3,040 mm  diâmetro  3,080 mm). Pode se utilizar para sua execução, 3 processos que 
controlados dão as seguintes distribuições: 
Processo A: X é normal, com  = 3,060 e  = 0,010mm R. 0,91 u.m. 
Processo B: X é normal, com  = 3,062 e  = 0,008 mm R. 0,77 u.m. 
Processo C: X é normal, com  = 3,057 e  = 0,011 mm R. 0,94 u.m. 
Qual processo deve ser escolhido se os custos por peça são respectivamente para os 
processos A, B e C de: 1 unidade monetária (u.m.); 1,2 u.m.; 0,9 u.m.? Peças largas ou 
estreitas serão perdidas e o preço de venda é de 2 u.m. em todos os casos? R. Processo C. 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
01) O volume de correspondência recebido por uma firma quinzenalmente tem distribuição 
normal com média de 4.000 cartas e desvio padrão de 200 cartas. Qual a probabilidade de 
numa dada quinzena a firma receber: 
a) P(3.600 < x < 4.250) R. 0,8716 b) P(X < 3.400) R. 0,0013 
 
02) A idade dos respondentes a uma pesquisa de marketing é normalmente distribuída com 
média 35 anos e desvio padrão 5 anos. Calcule a probabilidade de selecionar ao acaso deste 
grupo um respondente com: 
a) mais de 40 anos. R. 0,1587 b) entre 40 e 45 anos. R. 0,1359 
c) com menos de 40 anos. R. 0,8413 d) entre 30 e 45 anos. R. 0,8185 
e) A probabilidade de 0,9670 representa qual idade dos mais novos? (1) R. 44 anos 
 
03) Um grupo de donas de casa foi selecionado a dar notas à sua satisfação quanto ao 
funcionamento de uma determinada marca de cafeteira. As notas são normalmente 
distribuídas com média 5 e desvio padrão 1. Calcule a probabilidade de uma dona de casa 
selecionada ao acaso deste grupo tenha dado nota: 
a) maior que 3. R. 0,9772 b) menor que 4,5. R. 0,3085 
 
04) O tempo para o atendimento de uma pessoa em um grande banco tem aproximadamente 
distribuição normal com média de 130 segundos e desvio padrão 45 segundos. Qual a 
probabilidade de um indivíduo aleatoriamente selecionado requerer menos de 100 segundos 
para terminar suas transações? R. 0,2514 
 
05) Uma pessoa tem 20 minutos para chegar ao escritório. Para tal pode escolher entre 2 
caminhos (X ou Y). Sabendo-se que o tempo para percorrer o caminho X:N(18, 25) min e 
que o tempo para percorrer o caminho Y:N(19, 4) min. Qual a melhor escolha? Justifique. 
R. 0,6554 e 0,6915 A probabilidade de chegar na hora é mais alta pelo caminho Y. 
 
06) Os depósitos efetuados no Banco da Ribeira durante o mês de janeiro são distribuídos 
normalmente com média de R$ 10.000,00 e desvio padrão de R$ 1.500,00. Um depósito é 
selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. Encontre a 
probabilidade de que o depósito seja: 
a) R$ 10.000,00 ou menos. R. 0,5 
b) pelo menos R$ 10.000,00. R 0,5 
c) um valor entre R$ 12.000,00 e R$ 15.000,00. R. 0,0913 
d) maior que R$ 20.000,00. R. 0 
 
07) Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos, A e B, tenha distribuições 
N(42, 36) e N(45, 9), respectivamente. Se os aparelhos são feitos para ser usados por 
períodos de 45 horas, qual aparelho deve ser preferido? E se for por um período de 49 
horas? Justifique. R. 0,3085 e 0,5; 0,1210 e 0,0918 
 
08) O diâmetro (D) de rolamentos esféricos produzidos por uma fábrica tem distribuição 
N(0,6140; 0,00252). O lucro (L) de cada rolamento depende de seu diâmetro. Calcule a 
probabilidade: 
a) L = 0,10, se o rolamento for bom (0,610 < D < 0,618). R. 0,8904 
 
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b) L = 0,05, se o rolamento for recuperável (0,608 < D < 0,610) ou (0,618 < D < 
0,620). R. 0,0932 
c) L = – 0,10, se o rolamento for defeituoso (D < 0,608 ou D > 0,620). R. 0,0164 
 
 
09) Os pesos de coelhos criados numa granja são distribuídos normalmente com média de 5 
kg e desvio padrão de 0,8 kg. O gerente de um abatedouro comprará 5.000 coelhos e 
pretende classifica-los de acordo com o peso, do seguinte modo: 20% como pequenos (P), 
55% como médio(M), 15% como grandes (G) e 10% como extras (E). Quais os limites de 
peso para cada classe? R. 4,328; 5.536; 6,024 kg 
 
 
10) O diâmetro de certo tipo de anel industrial é uma v.a. com distribuição normal, de média 
0,10 cm e desvio padrão de 0,02 cm. Se o diâmetro de um anel diferir da média em mais que 
0,03 cm, ele é vendido por R$ 5,00; caso contrário é vendido por R$ 10,00. Qual o preço 
médio de cada anel? R. R$ 9,67. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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FORMULÁRIO – V. A. 
 
A) DISCRETAS: 
1) X tem distribuição de BERNOULLI. 
 
qpXVepXE
qpxXP
p
q
X
xx
.)()(
.)(
1
0 1
==
==




→
→
=
−
 
2) X tem distribuição de BINOMIAL. 
 Se X:B(n, p) → 
xnx qp
x
n
xfxXP −





=== ..)()( 
 E(X) = n . p V(X) = n . p . q DP(X) = + )(XV 
 
3) X tem distribuição de POISSON. 
 Se X:P(λ) → P(X = x) = =)(xf 
!
.
x
e x−
 
  == )(XE ( = n. p)  == )(2 XV  +== )(XDP 
 
 
B) CONTÍNUAS: 
1) X tem distribuição UNIFORME. 






−=
bxouaxse
bxase
abxf
,0
,
1
)( 
 
)()(
12
)(
)(
2
)(
2
XVXDP
ab
XV
ba
XE +=
−
=
+
= 
 
2) X tem distribuição EXPONENCIAL. 
 
0,0
0,.
)(
.





=
−
xse
xsee
xf
x
 
 

1
)(
1
)(
1
)(
2
=== XDPXVXE 
 
3) X tem distribuição NORMAL. 
 



−
=
X
ZondeNZNX)1,0(:),(: 2 
 
)()( 2121 zZzPxXxP = = ϕ(z2) – ϕ(z1) 
 
 === )()()( 2 XDPXVXE 
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CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR 
 
1. INTRUDUÇÃO 
 
 Nas unidades anteriores, nossa preocupação era descrever a distribuição de valores de uma 
única variável. Com esse objetivo, aprendemos a calcular medidas de tendência central e 
variabilidade. 
 Quando, porém, consideramos observações de duas ou mais variáveis, surge um novo 
problema: as relações que podem existir entre as variáveis estudadas. Nesse caso, as medidas 
estudadas não são eficientes. 
 Assim, quando consideramos variáveis como peso e altura de um grupo de pessoas, uso do 
cigarro e incidência do câncer, vocabulário e compreensão da leitura, dominância e submissão, 
procuramos verificar se existe alguma relação entre as variáveis de cada um dos pares e qual o grau 
dessa relação. Para isso, é necessário o conhecimento de novas medidas. 
 Sendo a relação entre as variáveis de natureza quantitativa, a correlação é o instrumento 
adequado para descobrir e medir essa relação. 
 Uma vez caracterizada a relação, procuramos descrevê-la através de uma função matemática. 
A regressão é o instrumento adequado para a determinação dos parâmetros dessa função. 
 
 
NOTA: Ficaremos restrito às relações entre duas variáveis (correlação simples). 
 
 
 
 
2. CORRELAÇÃO 
 
 
2.1. Relação fundamental e relação estatística 
 
 
 Como sabemos, o perímetro e o lado de um quadrado estão relacionados. A relação que os 
liga é perfeitamente definida e pode ser expressa por meio de uma sentença matemática: 2p = 4l, 
onde 2p é o perímetro e l é o lado. 
 Atribuindo-se, então, um valor qualquer a l, é possível determinar exatamente o valor de 2p. 
 Consideremos, agora, a relação que existe entre o peso e a estatura de um grupo de pessoas. 
É evidente que essa relação não é do mesmo tipo da anterior; ela é bem menos precisa. Assim, pode 
acontecer que a estaturas diferentes correspondam pesos iguais ou que a estaturas iguais 
correspondem pesos diferentes. Porém, em média, quanto maior a estatura, maior o peso. 
 As relações do tipo perímetro - lado são conhecidas como relações fundamentais e as do 
tipo peso - estatura, como relações estatísticas. 
 
 Quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística, 
dizemos que existe correlação entre elas. 
 
 
NOTA: As relações funcionais são um caso limite das relações estatísticas. 
 
2.2. Diagrama de dispersão 
 
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 Consideremos uma amostra aleatória, formada por dez dos 98 alunos de uma classe da 
faculdade A e pelas notas obtidas por eles em Matemática e Estatística - Tabela 1. 
 
 Representando, em um sistema coordenado cartesiano ortogonal, os pares ordenados (xi , yi), 
obtemos uma nuvem de pontos que denominamos diagrama de dispersão. Esse diagrama nos 
fornece uma ideia grosseira, porém útil, da correlação existente: 
 
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
 
 
 
 
2.3. Correlação Linear 
 
 Os pontos obtidos, vistos em conjunto, formam uma elipse em diagonal. 
 Podemos imaginar que, quanto mais fina for a elipse, mais ela se aproximará de uma reta. 
Dizemos, então, que a correlação de forma elíptica tem como “imagem” uma reta, sendo, por isso, 
determinada correlação linear. 
 É possível verificar que a cada correlação está associada como “imagem” uma relação 
funcional. Por esse motivo, as relações funcionais são chamadas relações perfeitas. 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
 
 
 Como a correlação em estudo tem como “imagem” uma reta ascendente, ela é chamada 
correlação linear positiva. 
 
 Assim, uma correlação é: 
a) linear positiva se os pontos do diagrama têm como “imagem” uma reta ascendente; 
b) linear negativa se os pontos do diagrama têm como “imagem” uma reta descendente; 
c) não linear se os pontos têm como “imagem” uma curva. 
 Se os pontos apresentam dispersos, não oferecendo uma “imagem” definida, concluímos que 
não há relação alguma entre as variáveis em estudo. 
 Temos, então: 
 Tabela 1 
N0S. Notas 
 MATEMÁTICA (X ) ESTATÍSTICA (Y ) 
1 5 6 
8 8 9 
24 7 8 
38 10 10 
44 6 5 
58 7 7 
59 9 8 
72 3 4 
80 8 6 
92 2 2 
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correlação linear positiva correlação linear negativa correlação não-linear não há correlação 
 
 
2.4. Coeficiente de correlação linear 
 
 O instrumento empregado para a medida da correlação linear é o coeficiente de correlação. 
Esse coeficiente deve indicar o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis e, ainda, o 
sentido dessa correlação (positivo ou negativo). 
 Faremos uso do coeficiente de Pearson, que é dado por: 
 _____________________________________ 
 
])(.[.])(.[
...
2222 yynxxn
yxyxn
r
−−
−
= 
 
onde n é o número de observações. 
 
Os valores limites de r são –1 e + 1, isto é, o valor de r pertence ao intervalo [–1, + 1]. 
 
 
 
 
NOTAÇÃO PARA O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR “r” 
 
r representa o coeficiente de correlação linear para uma amostra. [Arredondar com a precisão 
de milésimos (0,001)]. 
n representa o número de partes de dados presentes. 
∑ denota a adição dos itens indicados. 
∑x denota a soma de todos os valores de x. 
∑x2 indica que devemos elevar ao quadrado cada valor de x e somar. 
(∑x)2 indica que devemos somar os valores de x e elevar o total ao quadrado. É importante não 
confundir ∑x2 com (∑x)2. 
∑x.y indica que devemos multiplicar cada valor de x pelo valor correspondente de y e somar todos 
esses produtos. 
ρ (rô) representa o coeficiente de correlação linear para uma população. 
 
 
CARACTERÍSTICAS DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 
LINEAR “r” 
 
1. O valor de r está sempre entre –1 e + 1. Isto é, –1 ≤ r ≤ + 1. 
2. O valor de r não varia se todos os valores de qualquer umas das variáveis (ou as duas) são 
convertidos para uma escala diferente. 
3. O valor de r não é afetado pela escolha de x ou y, r permanece inalterado. 
4. r mede a intensidade ou grau de n relacionamento linear. Não serve para medir a intensidade 
de um relacionamento não linear. 
5. Quando a correlação for do tipo negativa, r será. –1 ≤ r < 0. 
 
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94 
 
6. Quando a correlação for do tipo positiva, r será 0 < r ≤ + 1. 
7. Quando a correlação for nula, r assume o valor zero. Se r = 0, ou não há correlação entre as 
variáveis, ou a relação que porventura exista não é linear. 
8. Quando r = +1, há uma correlação perfeita e positiva entre as variáveis. 
9. Quando r = –1, há uma correlação perfeita e negativa entre as variáveis. 
 
 
INTENSIDADE DE “r” 
 
r ± INTENSIDADE 
 0,000 Correlação nula 
 > 0,000 a 0,200 Correlação muito pequena 
 > 0,200 a 0,400 Correlação baixa 
 > 0,400 a 0,700 Correlação moderada 
 > 0,700 a 0,900 Correlação alta 
 > 0,900 a <1,000 Correlação muito intensa 
 1,000 Correlação perfeita 
 
NOTA: Para que uma relação possa ser descrita por meio do coeficiente de correlação de Pearson 
é imprescindível que ela se aproxime de uma função linear. Uma maneira prática de verificarmos a 
linearidade da relação é a inspeção do diagrama de dispersão: se a elipse apresentar saliências ou 
reentrâncias muito acentuadas, provavelmente trata-se de correlação curvilínea. 
 
Vamos, então, calcular o coeficiente de correlação linear relativo à Tabela 1. O modo maisprático para obtermos r é abrir, na tabela, colunas correspondentes aos valores de X.Y, X 2 e Y 2. 
Assim: 
TABELA 2 
 
Logo: 
r = 
)6547510()6548110(
656547310
22 −−
−
=
)225.4750.4(.)225.4810.4(
225.4730.4
−−
−
= 
 
= =
 525585
505
911,0242.911,0
59.188,554
505
125.307
505
=== r 
 
O resultado indica uma correlação linear positiva entre as variáveis X (Matemática) e Y 
(Estatística) e a intensidade é de uma correlação muito intensa. 
 
 
n 
 
MATEMÁTICA (X) 
 
ESTATÍSTICA (Y) 
 
X.Y 
 
X2 
 
Y2 
1 5 6 30 25 36 
2 8 9 72 64 81 
3 7 8 56 49 64 
4 10 10 100 100 100 
5 6 5 30 36 25 
6 7 7 49 49 49 
7 9 8 72 81 64 
8 3 4 12 9 16 
9 8 6 48 64 36 
10 2 2 4 4 4 
∑ 65 65 473 481 475 
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INTERPRETAÇÃO DE “r” 
 
 O coeficiente de correlação não é uma porcentagem. Assim, r = 0,700 não significa 70,0% 
da correlação total. Os coeficientes de correlação não formam uma escala de intervalos, com 
unidades constantes. Assim, r = 0,700 não pode ser interpretado como a dobro de r = 0,350. 
 Para melhor interpretar o coeficiente de correlação utiliza-se o seu quadrado multiplicado por 
100% (r2.100), denominado de Coeficiente de Determinação. Este é uma estatística mais 
significativa que r, pois é uma quantidade que expressa a variação comum entre as variáveis X e Y, 
fornecendo em porcentagem o quanto da variação de Y pode ser atribuída a X. 
 
CD = r 2.100 Arredondar para centésimos (0,01). OF = 100 – CD 
 Temos, assim: 
 CD = 0,9112 x 100 = 82,992.1 CD = 82,99% 
OF = 100 – 82,99 OF = 17,01% (OF = OUTROS FATORES.) 
 
O QUE SIGNIFICA: As notas de Estatística dependem 82,99% das notas de Matemática e 
17,01% dependem de outros fatores. 
 
 
3. REGRESSÃO 
 
3.1. Ajustamento da reta 
 
 Sempre que desejamos estudar determinada variável em função de outra
*, fazemos uma 
análise de regressão. 
 
Podemos dizer que a análise de regressão tem por objetivo descrever, através de um modelo 
matemático, a relação entre duas variáveis, partindo de n observações das mesmas. 
 A variável sobre a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de variável 
dependente e a outra recebe o nome de variável independente. 
 Assim, supondo X a variável independente e Y a dependente, vamos procurar obter uma 
função definida por: 
 bXaY += . , onde a e b são os parâmetros. 
 
 Sejam duas variáveis X e Y, entre as quais exista uma correlação acentuada, embora não 
perfeita, como as que formam a Tabela 2. 
 
 Podemos concluir, pela forma do diagrama de dispersão, do item 2.3, que se trata de uma 
correlação retilínea, de modo a permitir o ajustamento de uma reta, imagem da função definida por: 
 bXaY += . 
 
 Vamos, então, calcular os valores dos parâmetros a e b com a ajuda das formulas: [Precisão 
de centésimos (0,01).] 
22 )(.
...
xxn
yxyxn
a
−
−
= 
 
Inclinação 
_____
. XaYb −= 
 
Intercepto 
 
onde, 
 n é o número de observações; 
 
___
X é a média dos valores de x : 
n
x
X

= ; [Arredondar para centésimos (0,01).] 
 
___
Y é a média dos valores de y : 
n
y
Y

= . [Arredondar para centésimos (0,01).] 
___________________ 
* Lembre-se de que estamos restritos à regressão linear simples. 
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NOTA: Como estamos fazendo uso de uma amostra para obtermos os valores dos parâmetros, o 
resultado, na realidade, é uma estimativa da verdadeira equação de regressão. Sendo assim, 
escrevemos: 
,. bXaY +=

 onde 

Y é o Y estimado. 
 
Temos, assim: (tabela de valores: 2) 
 
86,08632,0
585
505
225.4810.4
225.4730.4
6548110
656547310
2
===
−
−
=
−
−
= aa 
Como, 50,6
10
65___
==X e 50,6
10
65__
==Y , (6,50; 6,50) 
 
OBS:. Estas médias formam o ponto centróide ),(
_____
YX da reta de regressão. 
 
E, 
_____
. XaYb −= 91,059,550,650,6.86,050,6 =−=−= bb 
Logo: 
 
 
 
 
 Para traçarmos a reta no gráfico, basta determinar dois de seus pontos: 
 91,00 ==

YX (0,0; 0,9) 
 21,55 ==

YX (5,0; 5,2) 
 Podemos usar o ponto centroide: 91,086,0 +=

XY 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
 
 
 
3.2. Interpolação e Extrapolação 
 
 Voltando à tabela 1, vemos que 4,0 não figura entre as notas de Matemática. Entretanto, 
podemos estimar a nota correspondente em Estatística fazendo X = 4,0 na equação da reta: 
 91,086,0 +=

XY 
Assim: 4,435,491,044,391,0486,00,4 ==+=+==

YYYX 
 
 Como 4,0[2,0; 10,0], dizemos que foi feita uma interpolação. 
91,086,0 +=

XY 
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 Repetindo o procedimento com a nota 1,0. 
8,177,191,086,091,00,186,00,1 ==+=+==

YYYX 
Como 1,0[2,0; 10,0], dizemos que foi feita uma extrapolação. 
 
 Com origens para X e para Y use a fórmula: bXXaYY +−=− ).( 00 
 
 
NOTA: Uma norma fundamental no uso de equações de regressão é a de nunca extrapolar, exceto 
quando considerações teóricas ou experimentais demonstrem a possibilidade de extrapolar. 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO USANDO A CALCULADORA CASIO fx-82MS, 
 
EXERCÍCIO da tabela 1, pág. 92: 
 
 
ON MODE 3 1 (REGRESSÃO LINEAR) 
 
(Iniciando a entrada com dados X,Y) 
5,6M+ 8,9M+ 7,8M+ 10,10M+ 6,5M+ 7,7M+ 9,8M+ 3,4M+ 8,6M+ 2,2M+ (Vai aparecendo n = 1, n 
= 2 , ... , n = 10 que são os 10 pares de notas.) 
 
SHIFT S-SUM 1 = 481 (é a soma dos valores de X ao quadrado) 
SHIFT S-SUM 2 = 65 (é a soma dos valores de X) 
SHIFT S-SUM 3 = 10 (é a quantidade dos pares de valores) 
 
SHIFT S-SUM ►(REPLAY) 1 = 475 (é a soma dos valores de Y2) 
SHIFT S-SUM ► 2 = 65 (é a soma dos valores de Y) 
SHIFT S-SUM ► 3 = 473 (é a soma dos produtos dos pares de valores) 
SHIFT S-VAR 1 = 6,5 (é o resultado da média de X → 
___
X ) 
SHIFT S-VAR ► 1 = 6,5 (é o resultado da média de Y → 
___
Y ) 
 
SHIFT S-VAR ►► 1 = 0,89 (é o resultado do parâmetro A → o que usamos é o parâmetro b da 
equação da reta de regressão.) Obs.: Diferente do nosso resultado, pois usamos a precisão em cada 
item. 
 b = 0,91 
SHIFT S-VAR ►► 2 = 0,86 (é o resultado do parâmetro B → o que usamos é o parâmetro a.) 
 
SHIFT S-VAR ►► 3 = 0,911.242 → 0,911 [é o resultado do coeficiente de correlação linear r → 
 Precisão (0,001).] 
SHIFT S-VAR ►► 3 = 0,9112(arredondado)x100 = 82,99% (é o resultado do coeficiente de 
determinação = r2x100.) 
 
Para estimar Y para X = 5,0 (Nota de Matemática): 
5 SHIFT S-VAR ►►► 2 = 5,21 → 5,2 (é o resultado de Y projetado - Nota de Estatística). 
 
Para estimar X para Y = 3,0 (Nota de Estatística): 
3 SHIFT S-VAR ►►► 1 = 2,43 → 2,4 (é o resultado de X projetado - Nota de Matemática). 
 
MODE 1. 
 
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98 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO USANDO UMA VARIÁVEL AUXILIAR OU 
ORIGEM PARA X (X0) E PARA Y (Y0): 
 
 Os dados reunidos abaixo representam a velocidade (km/s) e a altitude (km) do meteoro No. 
1.242, como relatado em “Smithsoniam Contributions to Astrophysics”dos Proceedings of the 
Symposiun on Astronomy and Phusics of Meteors, Cambridge, Mass., ago. 28-set., I, 1961. (Meyer, 
pág.355 - Probabilidade - Aplicações à Estatística.) 
 
X (Velocidade, km/s) 11,93 11,81 11,48 10,49 10,13 8,87 
Y (Altitude, km) 62,56 57,78 53,10 48,61 44,38 40,57 
 Resolver: 
A) Ache o coeficiente de correlação linear (r). (Precisão de 0,001) Dizer sua intensidade. 
B) Encontre o coeficiente de determinação (CD = r2.100) (Precisão de 0,01) O que significa?C) O ponto centróide ( X , Y ) com precisão de 0,01. 
D) Ajuste uma reta, pelo método dos mínimos quadrados (M.M.Q.). [Y = a.X + b) 
Regressão Linear Simples]. Para os parâmetros a e b usar a precisão de 0,01. 
E) Estime a altitude para uma velocidade de 8,00 km/s. [ bXXaYY +−=− ).( 00 ] 
 Houve uma interpolação ou extrapolação? Justifique. 
 F) Construa o gráfico diagrama de dispersão. Trace a reta. (Use o EXCEL, R ou outro.) 
 
RESOLUÇÃO: 
Sugestão: Para simplificar os cálculos, use para velocidade uma variável auxiliar (origem) X0 = 10 
km/s e para altitude Y0 = 51 km. 
N VELOCIDADE (X) ALTITUDE (Y) X.Y X 2 Y 2 
1 11,93 – 10 = 1,93 62,56 – 51 = 11,56 22,3108 3,7249 133,6336 
2 11,81 – 10 = 1,81 57,78 – 51 = 6,78 12,2718 3,2761 45,9684 
3 11,48 – 10 = 1,48 53,10 – 51 = 2,10 3,1080 2,1904 4,4100 
4 10,49 – 10 = 0,49 48,61 – 51 = – 2,39 – 1,1711 0,2401 5,7121 
5 10,13 – 10 = 0,13 44,38 – 51 = – 6,62 – 0,8606 0,0169 43,8244 
6 8,87 – 10 = –1,13 40,57 – 51 = – 10,43 11,7859 1,2769 108,7849 
∑ 4,71 1 47,4448 10,7253 342,3334 
A) 
r =
)13334,3426()71,47253,106(
171,44448,476
22 −−
−
=
)10004,054.2(.)1841,223518,64(
71,46688,284
−−
−
= 
 
= =
0004,053.21677,42
9588,279
x
952,0951501,0
2283212,294
9588,279
30497,570.86
9588,279
=== r 
 
O resultado indica uma correlação linear positiva entre as variáveis X(velocidade) e 
Y(altitude) e a intensidade é de uma correlação muito intensa. 
 
B) %37,963,90100%63,906304,90100952,0
2 =−==== OFOFCDxCD 
 A altitude depende em 90,63% da velocidade e 9,37% dependem de outros fatores. 
 
C) 79,0785,0
6
71,4 ______
=== XX 17,01666,0
6
1 ______
=== YY 79,0( ; )17,0 
 
Estas médias formam o ponto centróide ),(
_____
YX da reta de regressão. (0,79; 0,17) 
 
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99 
 
 
D) 
22 )(.
...
xxn
yxyxn
a
−
−
= a = 6391,6
1677,42
9588,279
71,47253,106
171,44448,476
2
==
−
−
x
64,6= a 
 
08,50756,52456,517,079,064,617,0.
_____
−=−=−=−=−= bxXaYb 
 
 +=

bXaY . 08,5.64,6 −=

XY 
 
E) bXXaYY +−=− ).( 00 Y – 51 = 6,64 .(8 – 10) – 5,08 Y – 51 = 6,64 . (– 2) – 5,08 
 
Y = – 13,28 – 5,08 + 51 Y = 32,64 km/s Extrapolação, pois 8  [8,87; 11,93] 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 Para as variáveis (X, Y) abaixo, construir a tabela com as seis colunas para a resolução de: 
A) Ache o coeficiente de correlação linear (r). (0,001) Dizer sua intensidade. 
B) Encontre o coeficiente de determinação. (Precisão de 0,01) O que significa? 
C) O ponto centróide ( X , Y ) com precisão de 0,01. 
D) Ache a equação da reta. (Y = a . X + b Regressão Linear Simples). Para os 
 parâmetros a e b usar a precisão de 0,01. 
E) Calcule as estimativas pedidas em cada exercício. [ bXXaYY +−=− ).( 00 ] 
 Só para E.1): Houve uma interpolação ou extrapolação? Justifique. 
 F) Construa o gráfico diagrama de dispersão. Trace a reta. (Use o EXCEL, R ou outro.) 
 
01) Número de peças: X = 2, 3, 5, 5 e 10. 
 Peso das peças: Y = 6, 9, 14, 16 e 30 kg. 
 E.1) Estime o peso de 11 peças. 
 E.2) Estime o número de peças com peso de 38 kg. 
 
02) Número de filhos: X = 2, 3, 4, 6, 8 e 9. 
 Tamanho da residência: Y = 5, 4, 3, 2, 1 e 1 cômodo. 
 E.1) Predizer o tamanho da residência para 7 filhos. 
 E.2) Predizer o tamanho da residência para 10 filhos. 
 
03) Renda familiar: X = 1, 2, 4, 6, 8 e10 salários mínimos. 
 Número de filhos: Y = 9, 8, 6, 4, 3 e 2. 
 E.1) Projete o número de filhos para renda familiar de 11 s.m. 
 E.2) Predizer a renda familiar (em s.m.) para as famílias que tem 5 filhos. 
 
04) Média de moradores carentes por domicílios em algumas cidades goianas em 2010 de acordo 
com IBGE - Censo Demográfico 2010/O jornal “O Hoje” de 22/12/11. 
 Média de moradores: X = 3,0, 3,3, 3,4, 3,5, 3,8 e 4,5. 
 Número de domicílios: Y = 170, 224, 252, 352, 292 e 427. 
 E.1) Projete o número de domicílios para uma média de 3,6 moradores. 
 E.2) Projete o número de domicílios para uma média de 4,3 moradores. 
 E.3) Projetar o número médio de moradores para 210 domicílios. 
 
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100 
 
 
05) Usar a tabela: 
 
 
 
 E.1) Estime o valor de Y para X = 0. 
 E.2) Estime o valor de X para Y = 60 
 
06) Dado o esquema seguinte para responder: 
 
 
 
 E.1) Estime o valor de y, se x = 5. 
 E.2) Estime o valor de x, se y = 20. 
 
07) Estabelecimentos comerciais: X = 1, 15, 20, 55, 75, 105, 145, 222 e 363. 
 Depósito bancário (em R$ 1.000,00): Y = 1, 3, 6, 17, 18, 20, 22, 30 e 37. 
 E.1) Estime o valor do depósito bancário para 400 estabelecimentos. 
 E.2) Predizer o número de estabelecimentos quando o depósito for de R$ 60.000,00. 
 E.3) Predizer o número de estabelecimentos quando o depósito for de R$ 45.000,00. 
 
08) Considerar os resultados de dois testes, X e Y, obtidos por um grupo de alunos da escola W: 
X 11 14 19 19 22 28 30 31 34 37 
Y 13 14 18 15 22 17 24 22 24 25 
 E.1) Projete o valor de y para x = 27. 
 E.2) Projete o valor de x para y = 20. 
 
09) (Montgmorey, pág. 227) Um artigo da revista IEEE Transactions on Instrumentation and 
Measurement (vol.40, 1991, pp. 951-955) descreveu um modelo de regressão linear simples para 
expressar a corrente y (em A) como uma função da diferença de voltagem x (em V). Os dados são 
apresentados a seguir: 
X 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 
Y 0,73 0,89 1,04 1,19 1,35 1,50 1,66 1,81 1,97 2,12 
 E.1) Estime y para x = 1,35 V. 
 E.2) Estime x para y =1,30 A. 
 
10) Muitas vezes a determinação da capacidade de produção instalada para um certo tipo de indústria 
em certas regiões é um processo difícil e custoso. Como alternativa, pode-se estimar a capacidade de 
produção através da escolha de uma outra variável de medida mais fácil e que esteja linearmente 
relacionada com ela. Suponha que foram observados os valores para as variáveis abaixo: 
 E.1) Obtenha a produção instalada para uma potência instalada de 4.000 KW. 
 E.2) Estime a potência instalada para uma produção instalada de 7t. 
 
11) Dez corredores contratados por uma seguradora foram submetidos a períodos de treinamento que 
variavam de meio dia a dois dias e meio de treinamento. Após o treinamento, todos os corretores 
participaram de uma série de situações simuladas de vendas e, de acordo com seu desempenho, 
receberam uma nota que podia variar de 0 a 130. 
 
 
 
 E.1) Projete a nota para 2,2 dias. 
 E.2) Projete a quantidade de dias para um desempenho (nota) de 90. 
X 1 2 3 4 5 6 
Y 70 50 40 30 20 10 
X 2 4 6 8 10 12 14 
Y 30 25 22 18 15 11 10 
X = Potência Instalada (1.000 KW) 1 1 2 3 3 5 5 6 6 6 
Y = Produção Instalada (toneladas) 4 5 4 5 8 9 10 11 12 12 
Dias de treinamento (X) 0,5 0,5 1,0 1,0 1,5 1,5 2,0 2,0 2,5 2,5 
Desempenho (Y) 46 51 71 75 92 99 105 112 121 125 
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101 
 
 
12) Os dados abaixo, referem-se a meses de experiências de 10 digitadores e o número de erros 
cometidos na digitação de um mesmo trabalho. 
 
 
 
 E.1) Estime o número de erros cometidos na digitação deste trabalho para um digitador que 
ficou somente 5 meses de experiências. 
 E.2) Estime o número de meses para 19 erros. 
 
13) Uma empresa de transporte de cargas estabelece suas tarifas (preços) em função da distância a 
serem percorridas por seus veículos. Pretende-se por meiode técnicas de ajustamento, estudar a 
relação entre as tarifas e as respectivas distâncias percorridas. Para este estudo tomou-se uma 
amostra aleatória de n = 12 e as variáveis X = distância (km) e Y = preço (em R$ 1,00). 
X 5 10 12 15 17 18 24 33 35 48 50 55 
Y 36 42 48 50 52 58 48 69 70 91 92 93 
 E.1) Estime o valor para um percurso de 40 km. 
 E.2) Estime o percurso para um valor de R$ 45,00. 
 
14) Ano: X = 2000, 2001, 2002, 2003 e 2004, tomando como origem 1999. 
 Produção (em R$ 1.000,00): Y = 10, 23, 27, 41 e 59. 
 E.1) Predizer a produção para o ano de 2005. 
 E.2) Predizer o ano em que a produção atingirá R$ 90.000,00. 
 
15) Número de filhos por mulheres brasileiras – 1960–2010. Dados retirados do jornal “O Popular” 
de 08/11/15. 
 X (Ano): 1960, 1970, 1980, 1990, 2000 e 2010, com origem em 1980. 
 Y (Número de filhos): 6,3; 5,8; 4,4; 2,9; 2,3 e 1,9. 
 E.1) Estime o número de filhos por mulheres para o ano de 1985 
 E.2) Estime o número de filhos por mulheres para o ano de 2015. 
 E.3) Estime o ano para 2 filhos por mulheres. 
 
16) Evolução das exportações da São Salvador Alimentos (Super Frango) desde o inicio das 
operações – 2005 a 2014. Dados fornecidos pela Super Frango com publicação no jornal “O 
Popular” de 03/12/15. X0 = 2005 
Ano(X) 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 
Exportação (1.000t) (Y) 0,02 1,20 3,20 6,50 9,30 11,10 11,90 13,20 13,20 16,60 
E.1) Estime a exportação para o ano de 2015. 
E.2) Estime o ano para uma exportação de 20 mil t. 
 
17) Os dados abaixo, referem-se aos valores gastos anualmente pelos brasileiros no exterior, em US$ 
bilhões, de 2002 a 2011. X = origem 2002 
Ano (X) 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 
Valor (Y) 2,3 2,2 2,8 4,7 5,7 8,2 10,9 10,8 16,4 21,2 
 E.1) Estime os valores que serão gastos no ano de 2012. 
 E.2) Estime o ano para um gasto de U$$ 25 bilhões. 
 
18) Os dados abaixo, referem-se aos valores gastos anualmente pelos estrangeiros no Brasil, em U$$ 
bilhões, de 2002 a 2011. X = origem 2002 
Ano (X) 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 
Valor (Y) 1,9 2,4 3,2 3,8 4,3 4,9 5,7 5,3 5,9 6,7 
 E.1) Estime os valores que serão gastos no ano de 2012. 
 E.2) Estime o ano para um gasto de U$$ 8,5 bilhões. 
 
Meses (X) 1 2 3 4 6 7 8 9 10 10 
Erros (Y) 30 28 24 20 18 14 13 10 7 6 
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102 
 
 
19) Evolução das vendas de imóveis em Goiânia de acordo com Grupom/Ademi-GO e O jornal “O 
Popular” de 17/12/11 - (Associação das Empresas do Mercado Imobiliário de Goiás). 
 Ano: X = 2000 a 2011, tomando como origem 2005. 
 Unidades vendidas: Y = 1,2, 1,5, 2,0, 2,4, 2,6, 2,7, 3,9, 4,6, 7,0, 8,4, 10,5 e 12,7 (12,7 unidades 
vendidas até outubro de 2011), (em 1.000 unidades). 
 E.1) Projete o número de unidades vendidas para o ano de 2012. 
 E.2) Projete o ano para 14.000 unidades vendidas. 
 
20) Goiás, número de pessoas mortas em ação policial no período de 2013 até 2017 segundo o jornal 
“O Popular” de 20/04/18 são: (Y) 77, 98, 147, 225 e 270 mortos respectivamente. Use como origem 
de X o ano de 2015 e de Y, 160 mortos. 
E.1) Estime o número de mortos para o ano de 2018. 
E.2) Estime o ano para 375 mortos. 
 
21) Temperatura: X = 10, 15, 20, 25 e 30◦C, tomando como origem 10. 
 Comprimento de uma barra de aço: Y = 1.003, 1.005, 1.010, 1.011 e 1.014 mm, tomando 
1.000 mm como origem. 
 E.1) O valor estimado do comprimento da barra de aço para a temperatura de 8 ◦C. 
 E.2) O valor estimado do comprimento da barra de aço para a temperatura de 26◦C. 
 E.3) O valor estimado da temperatura da barra de aço para o comprimento de 1.018 mm. 
 E.4) O valor estimado da temperatura da barra de aço para o comprimento de 1.021 mm. 
 
22) Evolução das vendas de imóveis em Goiânia de acordo com Grupom/Ademi-GO e O jornal “O 
Popular” de 17/12/11 - (Associação das Empresas do Mercado Imobiliário de Goiás). 
 Ano: X = 2007 a 2011, tomando como origem 2007. 
 Unidades vendidas: Y = 4.615, 6.978, 8.410, 10.512 e 12.724 (12.724 unidades vendidas até 
outubro de 2011), tomando 8.647 unidades vendidas por origem. 
 E.1) Projete o número de unidades vendidas para o ano de 2012. 
 E.2) Projete o ano para 15.700 unidades vendidas. 
 
23) Diplomas de honra ao mérito concedido pela Câmara Municipal de Goiânia, até outubro de 2011. 
Dados divulgados pela Presidência da Câmara Municipal de Goiânia e publicados pelo jornal “O 
Popular” de 01/01/12. 
 Meses: X = Junho, julho, agosto, setembro e outubro de 2011. Substitua o mês de junho por 0. 
 Número de diplomas: Y = 20, 57, 305, 430 e 540, tomando por origem 20 diplomas. 
 E.1) Projete o número de diplomas para o mês de dezembro de 2011. 
 E.2) Projete o mês para 680 diplomas. 
 
24) CO2 na atmosfera segundo observatório de MAUNA LOA, no Havaí, divulgados pela NOAA 
(Administração Nacional Oceânica e Atmosférica) e site: CRÊ Mario Covas Centro de Referências 
em Educação. 
 Ano: X = 1960, 1970, 1980, 1990 e 2000, tomando como origem 1960. 
 Concentração (partículas por milhão): Y = 317, 327, 339, 356 e 370, tomando por origem 317. 
 E.1) Projete o total de partículas por milhão para o ano de 1995. 
 E.2) Projete o ano para 348 partículas por milhão. 
 
25) Os dados abaixo, referem-se aos fundos administrados (R$ bilhões), de 2007 a 2011, pelo Banco 
Safra. X = origem 2007 Y = origem R$ 30,0 bilhões 
Ano (X) 2007 2008 2009 2010 2011 
Fundos (Y) 22,8 23,5 26,1 32,8 45,1 
 E.1) Estime o valor dos fundos administrados para o ano de 2012. 
 E.2) Estime o ano para aplicações em fundos com R$ 50,0 bilhões. 
 
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26) Os dados abaixo, referem-se ao consumo de energia elétrica no período de 2007 a 2011, em 
Goiás: O consumo foi em milhões de MW/h. X= origem 2007 Y = origem 7,9 milhões de MW/h. 
 
 
 
 E.1) Estime o consumo de energia elétrica para o ano de 2013.r. 
 E.2) Estime o ano para um consumo de 10,3 milhões MW/h. 
 
27) Os dados abaixo, referem-se ao número de consumidores de energia elétrica no período de 2007 
a 2011, em Goiás. X = origem 2007 Y = origem 2,00 milhões de consumidores. 
Ano (X) 2007 2008 2009 2010 2011 
Consumidores (em milhões) (Y) 2,05 2,13 2,21 2,31 2,41 
 E.1) Estime o número de consumidores para o ano de 2013. 
 E.2) Estime o ano para 1,85 milhões de consumidores. 
 
28) Os dados abaixo, referem-se ao número de consumidores (em milhões) e o consumo de energia 
elétrica (em milhões de MW/h), em Goiás. 
 X = origem 2,00 milhões de consumidores e Y = origem 7,9 milhões de MW/h. 
 
 
 
 E.1) Estime o consumo de energia elétrica para 2,50 milhões de consumidores. 
 E.2) Estime o número de consumidores para um gasto de 11,0 milhões de MW/h. 
 
29) Os dados abaixo, referem-se ao lucro líquido (R$ milhões), de 2007 a 2011, do Banco Safra. 
 X = origem 2007 Y = origem 900 milhões de reais. 
Ano (X) 2007 2008 2009 2010 2011 
Lucro líquido (Y) 831 843 911 1.048 1.254 
 E.1) Estime o lucro líquido para o ano de 2012. 
 E.2) Estime o ano para R$ 1.390 milhões. 
 
30) Número de alunos na graduação da PUC-GO retirados do especial “Balanço Social – 10 anos” 
editado em janeiro de 2015. X0 = 2011 Y0 = 22.600 
Ano (X) 2009 2010 2011 2012 2013 
N°. de alunos (Y) 20.643 21.492 22.551 23.700 24.792 
E.1) Estim3e o número de alunos para o ano de 2015. 
E.2) Estime o ano para 25.800 alunos. 
 
31)Número de aeronaves, em Goiás, segundo o jornal “O Popular” de 15/03/15 e Agencia Nacional 
de Aviação Civil (Anac). X0 = 2012 Y0 = 1.160 
 
 
 
E.1) Estime o número de aeronaves para o ano de 2015. 
E.2) Estime o ano para 1.500 aeronaves. 
 
32) Número de helicópteros, em Goiás, segundo o jornal “O Popular” de 15/03/15 e Agencia 
Nacional de Aviação Civil (Anac). X0 = 2012 Y0 = 50 
 
 
 
E.1) Estime o número de helicópteros para o ano de 2015. 
E.2) Estime o ano para 93 helicópteros. 
 
Ano (X) 2007 2008 2009 2010 2011 
Consumo (Y) 7,9 8,3 8,6 9,4 9,9 
Consumidores (X) 2,05 2,13 2,21 2,31 2,41 
Consumo (MW/h) (Y) 7,9 8,3 8,6 9,4 9,9 
Ano (X) 2010 2011 2012 2013 2014 
NO. de aeronaves (Y) 975 1.101 1.189 1.251 1.325 
Ano (X) 2010 2011 2012 2013 2014 
NO. de helicópteros (Y) 29 39 50 58 73 
MAF1730 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - 2019/2 
 
MARIA JOSÉ PEREIRA DANTAS E MARIA HELENA RAMOS BITTENCOURT 
104 
 
33) Número de pessoas flagradas dirigindo sem o cinto de segurança, no período de 2012 até 2016, 
no Estado de Goiás, respectivamente são: (Y) 1, 105, 147, 214 e 219 (em mil pessoas). Dados 
retirados do jornal “O Popular”, de 12/3/17 e Detran-Go. Use como origem de X o ano de 2014 e de 
Y, 137 mil pessoas. 
E.1) Estime o número de pessoas para o ano de 2017. 
E.2) Estime o ano para 350 pessoas. 
 
34) Taxa de fecundidade por mulher dos anos (X) de 1960, 1970, 1980, 1990, 2000 e 2010, no 
Brasil conforme dados retirados do jornal “O Popular” de 08/11/15, respectivamente são: 6,3; 5,8; 
4,4; 2,9; 2,3 e 1,9 filhos. Use como origem de X o ano de 1960. 
E.1) Estime o número de filhos por mulher para o ano de 1985. 
E.2) Estime o número de filhos por mulher para o ano de 2015. 
E.3) Estime o ano para 2 filhos por mulher. 
 
35) Evolução da população carcerária feminina em Goiás de acordo com Infopen/Depen/MJ e O 
jornal “O Popular” de 18/12/11 - (Depto. Penitenciário Nacional, do Ministério da Justiça). 
 Ano: X = 2006, 2007, 2008, 2009, 2010 e 2011, tomando como origem 2008. 
 Número de mulheres: Y = 411, 475, 535, 553, 669 e 768, tomando 500 pessoas por origem. 
 E.1) Projete o número de mulheres para o ano de 2012. 
 E.2) Projete o ano para uma população carcerária de 870 mulheres. 
 
36) Evolução da população carcerária masculina em Goiás de acordo com Infopen/Depen/MJ e O 
jornal “O Popular” de 18/12/11 - (Depto. Penitenciário Nacional, do Ministério da Justiça). 
 Ano: X = 2006, 2007, 2008, 2009, 2010 e 2011, tomando como origem 2008. 
 Número de homens: Y = 9.489, 9.149, 10.068, 10.565, 11.172 e 11.825, tomando 10.000 pessoas 
por origem. 
 E.1) Projete o número de homens para o ano de 2012. 
 E.2) Projete o ano para uma população carcerária de 12.500 homens. 
 
37) Evolução da população carcerária masculina, por tráfego, em Goiás de acordo com Infopen 
/Depen/MJ e O jornal “O Popular” de 18/12/11 - (Depto. Penitenciário Nacional, do Ministério da 
Justiça). 
 Ano: X = 2006, 2007, 2008, 2009, 2010 e 2011, tomando como origem 2008. 
 Número de homens: Y = 900, 1.434, 2.064, 2.211, 2.536 e 2.399, tomando 2.000 pessoas por 
origem. 
 E.1) Projete o número de homens para o ano de 2012. 
 E.2) Projete o ano para uma população carcerária de 800 homens. 
 
38) Evolução da população carcerária feminina, por tráfego, em Goiás de acordo com Infopen 
/Depen/MJ e O jornal “O Popular” de 18/12/11 - (Depto. Penitenciário Nacional, do Ministério da 
Justiça). 
 Ano: X = 2006, 2007, 2008, 2009, 2010 e 2011, tomando como origem 2008. 
 Número de mulheres: Y = 71, 260, 251, 234, 346 e 399, tomando 260 pessoas por origem. 
 E.1) Projete o número de mulheres para o ano de 2012. 
 E.2) Projete o ano para uma população carcerária de 500 mulheres. 
 
39) Número de motocicletas (em mil unidades), em Goiânia, segundo o jornal “O Popular” de 
28/08/13, Rede Metropolitana de Transporte Coletivo (RMTC) e Detran. (2013 até o mês de julho.) 
 X0 = 2010 Y0 = 190 
 
 
 
E1) Estime o número de motocicletas para o ano de 2014. 
E.2) Estime o ano para 240 motocicletas. 
 
Ano (X) 2008 2009 2010 2011 2012 2013(1) 
NO. de motocicletas (Y) 161 173 186 201 210 216 
MAF1730 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - 2019/2 
 
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105 
 
 
40) Evolução da população carcerária em Goiás de acordo com Infopen/Depen/MJ e O jornal “O 
Popular” de 18/12/11 - (Depto. Penitenciário Nacional, do Ministério da Justiça). 
 Ano: X = 2006, 2007, 2008, 2009, 2010 e 2011, tomando como origem 2006. 
 Número de pessoas: Y = 9.900, 9.624, 10.603, 11.118, 11.841 e 12.593, tomando 9.900 pessoas 
por origem. 
 E.1) Projete o número de pessoas para o ano de 2012. 
 E.2) Projete o ano para a população de 13.000 pessoas. 
 
41) Número de máquinas agrícolas e rodoviárias vendidas no atacado, no Estado de Goiás, de 
janeiro a junho de 2016, segundo a Anfavea e publicado no jornal “O Popular” de 28/07/17, 
respectivamente são: 1.593, 2.423, 2.896, 3.016, 3.482 e 4.051 unidades. Use como origem de X o 
mês de março = 0 e de Y 2.910 unidades. 
E.1) Estime o número de unidades vendidas para o mês de julho. 
E.2) Estime o ano para 5.000 unidades vendidas. 
 
42) Um grupo de pessoas fez uma avaliação do peso aparente de alguns objetos. Com o peso real e a 
média dos pesos aparentes, dados pelo grupo, obteve-se a tabela: 
 Para o peso real tomar por origem 62 e para o peso aparente 60. 
 
 
 
 E.1) Estime o peso aparente, se o peso real é de 50. 
 E.2) Estime o peso real, se o peso aparente é de 58. 
 
43) Número de vagas nas enfermarias para internação pelo SUS, no período de 2010 a 2016, no 
Estado de Goiás, segundo a SES/Go, CFM e publicado no jornal “O Popular” de 28/05/16, 
respectivamente são: 12.195; 11.924; 11.290; 10.787; 10.619; 10.574 e 10.425 leitos. Use como 
origem de X o ano de 2013 e de Y 11.115 leitos. 
E.1) Estime o número de leitos para o ano de 2018. 
E.2) Estime o ano para 10.000 leitos. 
 
44) Total de vagas nas enfermarias e UTIs para internação pelo SUS, no período de 2010 a 2016, no 
Estado de Goiás, segundo a SES/Go, CFM e publicado no jornal “O Popular” de 28/05/16, 
respectivamente são: 12.667; 12.439; 11.839; 11.453; 11.238; 11.206 e 11.123 leitos. Use como 
origem de X o ano de 2013 e de Y 11.710 leitos. 
E.1) Estime o número de leitos para o ano de 2018. 
E.2) Estime o ano para 10.500 leitos. 
 
45) Taxa de desemprego no Brasil, de dezembro de 2014 até julho de 2015 segundo a Revista de 
Negócios da ADIAL, de agosto de 2015. X0 = março = 0 Y0 = 6 % 
 E.1) Estime a taxa para o mês de agosto de 2015. 
E.2) Estime o mês e o ano para uma taxa de 8,0 % ao mês. 
 
46) Número de alunos da Escola de Línguas da PUC-GO retirados do “Especial Balanço Social – 10 
anos” editado em janeiro de 2015. X0 = 2009 Y0 = 720 
Ano (X) 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 
Nº. de alunos (Y) 398 483 511 530 591 789 1.116 1.357 
 E.1) Estime o número de alunos para o ano de 2015. 
E.2) Estime o ano para 1.500 alunos. 
 
 
Peso real (X) 18 30 42 62 73 97 120 
Peso aparente (Y) 10 23 33 60 91 98 159 
Mês (X) dez. jan. fev. mar. abr. maio jun. jul. 
Taxa (%) (Y) 4,3 5,3 5,9 6,2 6,4 6,7 6,9 7,0 
MAF1730 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - 2019/2 
 
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106 
 
 
47) Total de pessoas carentes de serviços públicos em algumas cidades goianas em 2010 de acordo 
com IBGE - Censo Demográfico 2010/O jornal “O Hoje” de 22/12/11. 
 Número de pessoas: X = 341, 504, 515, 593, 733, 851, 1.103 e 1.219, tomando 700 pessoas por 
origem. 
 Número de domicílios: Y = 109, 133, 170, 161, 224, 252, 292 e 352, tomando 200 domicílios 
por origem. 
 E.1) Projete o número de domicíliospara 1.000 pessoas. 
 E.2) Projete o número de pessoas para 280 domicílios. 
 
48) Número de mortes de mulheres vitimadas por câncer no Estado de Goiás segundo a Secretaria 
Estadual de Saúde e retirados do jornal “O Popular” de 10/01/16. X0 = 2009 Y0 = 1.995 
Ano (X) 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 
Nº. de mulheres (Y) 1.551 1.676 1.826 1.844 2.026 2.106 2.215 2.378 2.335 
 E.1) Projete o número de mulheres para o ano de 2014. 
 E.2) Projete o ano para 2.755 mulheres mortas. 
 
49) Número de mortes de homens vitimados por câncer no Estado de Goiás segundo a Secretaria 
Estadual de Saúde e retirados do jornal “O Popular” de 10/01/16. X0 = 2009 Y0 = 2.367 
Ano (X) 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 
Nº. de homens (Y) 1.867 2.009 2.155 2.180 2.344 2.521 2.609 2.768 2.857 
 E.1) Projete o número de homens para o ano de 2014. 
 E.2) Projete o ano para 3.167 homens mortos. 
 
50) Taxas de juros anual do cartão de crédito, no Brasil, de julho de 2014 até março de 2015 segundo 
o jornal “O Popular” de 25/04/15 e Banco do Brasil S.A. X0 = novembro = 0 Y0 = 325,9 % 
Mês (X) jul. ago. set. out. nov. dez. jan. fev. mar. 
% (Y) 308,0 311,3 312,0 319,7 327,8 331,6 334,6 342,7 345,8 
E.1) Estime a taxa para o mês de abril de 2015. 
E.2) Estime o mês e o ano para uma taxa de 361 %. 
 
51) A tabela abaixo apresenta a produção de uma indústria: 
 X = Tomar por origem o ano de 2004 e Y = Origem 40 
Ano (X) 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 
Quantidade(t)(Y) 34 36 36 38 41 42 43 44 46 
 E.1) A produção estimada para o ano de 2009. 
 E.2) Estime o ano para uma produção de 45t. 
 
52) O preço médio (em R$ 1,00) da arroba do boi, em Goiás, de julho de 2014 até março de 2015, 
consta abaixo, conforme dados informados pela Faeg e publicados no jornal “O Popular” de 
25/03/15. 
 Origem de x = novembro Origem de y = R$ 132,00. 
Mês (X) jul. ago. set. out. nov. dez. jan. fev. mar. 
Preço (Y) 114 115 122 127 136 139 143 143 145 
 E.1) Estime o preço para o mês de abril de 2015. 
 E.2) Estime o mês para um preço de R$ 162,00. 
 
53) Os dados seguintes foram retirados do jornal “O Popular”, de 21/01/18. A arrecadação (em R$ 
mi) sindical, de 2009 a 2017, no Estado de Goiás foi de 27,8; 32,9; 39,0; 46,5; 55,3; 61,9; 64,9; 67,9 
e 70,5; respectivamente. X0 = ano de 2013 e Y0 = R$ 50 milhões. 
E.1) Estime a arrecadação para o ano de 2018. 
E.2) Estime o ano para uma arrecadação de R$ 85 milhões. 
 
 
MAF1730 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - 2019/2 
 
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107 
 
 
54) CO2 na atmosfera segundo observatório de MAUNA LOA, no Havaí, divulgados pela NOAA 
(Administração Nacional Oceânica e Atmosférica) e site: CRÊ Mário Covas Centro de Referências 
em Educação. 
 Ano: X = 1960, 1965, 1970, 1975, 1980, 1985, 1990 1995, 2000 e 2005, tomando como origem 
1960. 
 Concentração (partículas por milhão): Y = 317, 320, 327, 332, 339, 347, 356, 362, 370 e 381, 
tomando por origem 317. 
 E.1) Projete o total de partículas por milhão para o ano de 2002. 
 E.2) Projete o ano para 348 partículas por milhão. 
 
55) Certa empresa, estudando a variação da demanda(Y) de seu produto em relação à variação de 
preço (X) de venda, obteve a tabela: X = Origem R$ 38,00 e Y = Origem 208 unidades. 
X 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110 
Y 350 325 297 270 256 246 238 223 215 208 
 E.1) Estime Y para X = 60. 
 E.2) Estime Y para X = 120. 
 
56) Ano: X = 1994 até 2004, tomando 1993 como origem. 
 Importação (em bilhões de reais): Y = 14, 15, 15, 18, 21, 21, 21, 25, 33, 50 e 53, tomando R$ 13 
bilhões como origem. 
 E.1) Projete a importação para o ano de 2006. 
 E.2) Projete o ano para a importação de R$ 58 bilhões. 
 
57) Taxas de juros anual do cheque especial, no Brasil, de junho de 2014 até março de 2015 
segundo o jornal “O Popular” de 25/04/15 e Banco do Brasil S.A. X0 = junho = 0 Y0 = 193 
% 
Mês(X) jun. jul. ago. set. out. nov. dez. jan. fev. mar. 
 % (Y) 171,7 172,5 173,0 183,5 188,0 191,8 201,0 209,0 214,2 220,4 
 E.1) Estimar a taxa para o mês de abril de 2015. 
 E.2) Estimar o mês e o ano para uma taxa de 230 %. 
 
58) Número de crianças atendidas pelo Centro de Educação Comunitária de Meninas e Meninos 
(Cecom) da PUC-GO, retirados do “Especial Balanço Social – 10 anos” editado em janeiro de 2015. 
 Ano (X) de 2004 a 2013, tomando como origem o ano de 2008. 
 Número de crianças (Y) são: 111, 127, 130, 137, 137, 138, 146, 179, 199 e 209 (em mil 
crianças), tomando como origem 150. 
 E.1) Projete o número de crianças para o ano de 2016. 
 E.2) Projete o ano para 240 crianças. 
 
59) Média mensal de material recolhido (lixo) em Goiânia segundo o jornal “O Popular” de 19/08/15 
e Companhia de Urbanização de Goiânia (Comurg) (em mil toneladas). X0 = 2009 Y0 = 35,0 t 
Ano(X) 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 
t (Y) 32,2 32,7 32,7 33,0 34,1 35,1 35,1 36,7 36,6 39,4 40,1 
 E.1) Estime a quantidade de toneladas para o ano de 2016. 
E.2) Estime o ano para uma produção de 42.000 t. 
60) O jornal “O Popular” de 04/07/14 divulgou a balança comercial goiana onde registrou 4 
recordes, de janeiro a junho de 2004 a 2014 (em R$ bilhões) em suas exportações. 
 Ano: X = 2004 até 2014, tomando como origem o ano de 2009. 
 Exportação (em bilhões de reais): Y = 0,67; 0,78; 1,06; 1,43; 1,81; 1,78; 2,02; 2,81; 3,44; 3,50 e 
3,66, tomando R$ 2,00 bilhões como origem. 
 E.1) Projete a exportação para o ano de 2015. 
 E.2) Projete o ano para a exportação de R$ 4,40 bilhões. 
 
MAF1730 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - 2019/2 
 
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61) Produção de resíduos descartado no aterro de Goiânia segundo o jornal “O Popular” de 19/08/15 
e Companhia de Urbanização de Goiânia (Comurg) (t = toneladas). X0 = 2009 Y0 = 423 t 
Ano(X) 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 
t (Y) 386 392 392 396 410 421 421 440 439 473 482 
 E.1) Estime a quantidade de toneladas para o ano de 2016. 
E.2) Estime o ano para uma produção de 500 t. 
 
62) Os dados seguintes foram retirados do jornal “O Popular”, de 31/03/18 e Detran do Estado de 
Goiás. 
 X = Ano de 2007 a 2017 com origem em 2012 
 Y = Frota de veículos: 571, 643, 715, 801, 894, 992, 1.088, 1.135, 1.152, 1.166 e 1.185 (em 
mil) carros e com origem de 940 (em mil) carros. 
 E.1) Projete o número de carros para o ano de 2018. 
 E.2) Projete o ano para 1.400 (em mil) carros. 
 
63) Os dados seguintes foram retirados do jornal “O Popular”, de 31/03/18 e IBGE. 
 X = Ano de 2007 a 2017 tomando como origem o ano de 2012. 
 Y = População de Goiânia: 1.245, 1.265, 1.282, 1.302, 1.318, 1.334, 1.394, 1.412, 1.431, 
1.449 e 1.466 mil habitantes com origem em 1.355 mil habitantes. 
 E.1) Estime o número de pessoas para o ano de 2018. 
 E.2) Estime o ano para uma população de 1.500 mil. 
 
64) Os dados seguintes foram retirados do jornal “O Popular”, de 31/03/18, IBGE e Detran de 
Goiás. 
 X = População de Goiânia: 1.245, 1.265, 1.282, 1.302, 1.318, 1.334, 1.394, 1.412, 1.431, 
1.449 e 1.466 mil habitantes com origem em 1.355 mil habitantes. 
 Y = Frota de veículos: 571, 643, 715, 801, 894, 992, 1.088, 1.135, 1.152, 1.166 e 1.185 (em 
mil) carros e com origem de 940 (em mil) carros. 
 E.1) Projete o número de carros para uma população de 1.500 mil pessoas. 
 E.2) Projete a população para 1.300 (em mil) carros. 
 
65) Os dados seguintes foram retirados do jornal “O Popular”, de 31/03/18, IBGE e Detran de 
Goiás. 
 X = Frota de veículos: 571, 643, 715, 801, 894, 992, 1.088, 1.135, 1.152, 1.166 e 1.185 (em 
mil) carros e com origemde 940 (em mil) carros. 
 Y = População de Goiânia: 1.245, 1.265, 1.282, 1.302, 1.318, 1.334, 1.394, 1.412, 1.431, 
1.449 e 1.466 mil habitantes com origem em 1.355 mil habitantes. 
 E.1) Projete a população para 1.348 (em mil) carros. 
 E.2) Projete o número de carros para uma população de 1.500 mil pessoas. 
 
66) Progressão dos juros do cartão de crédito, no Brasil, de abril de 2014 a março de 2015, segundo 
o Banco Central e publicado no jornal “O Popular” de 24/04/15. X0 = abril = 0 Y0 = 321% 
Mês(X) abr. Maio jun. jul. ago. set. out. nov. dez. jan. fev. mar. 
Juro(Y) 305 306 308 308 311 312 320 328 332 335 343 346 
E.1) Estime o juro para o mês de abril de 2015. 
E.2) Estime o mês para o juro do cartão de crédito de 351%. 
 
67) Progressão dos juros do cheque especial, no Brasil, de abril de 2014 a março de 2015, segundo o 
Banco Central e publicado no jornal “O Popular” de 24/04/15. X0 = setembro = 0 Y0 = 188% 
Mês(X) abr. Maio jun. jul. ago. set. out. nov. dez. jan. fev. mar. 
Juro(Y) 162 169 172 172 173 184 188 192 201 209 214 220 
E.1) Estime o juro para o mês de março de 2014. 
E.2) Estime o mês para o juro do cheque especial de 224%. 
MAF1730 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - 2019/2 
 
MARIA JOSÉ PEREIRA DANTAS E MARIA HELENA RAMOS BITTENCOURT 
109 
 
68) A arrecadação do ICMS (Imposto de Circulação de Mercadorias e Serviços) no Estado de Goiás, 
segunda a Secretaria Estadual da Fazenda (Sefaz) e publicada no jornal “O Popular” de 05/12/15: 
 Ano (X) de 2003 a 2014, tomando como origem o ano de 2008. 
 Valores (em R$ bilhões) (Y): 3,7; 4,0; 4,2; 4,8; 5,4; 6,5; 6,8; 8,2; 9,9; 11,4; 12,1 e 13,3, 
tomando como origem 3. 
 E.1) Estime o valor do ICMS para o ano de 2015. 
 E.2) Estime o ano para um valor de R$ 20,0 bi. 
 
69) O preço médio (em R$ 1,00) da arroba do boi, em Goiás, de 2014, consta abaixo, conforme 
dados informados pela Faeg e publicados no jornal “O Popular” de 15/01/15 
. X0 = junho = 0 Y0 = R$ 119,00. 
Mês(X) jan. fev. mar. abr. maio jun. jul. ago. set. out. nov. dez. 
Preço(Y) 106 107 115 118 115 117 114 115 122 127 136 139 
 E.1) Estime o preço para o mês de dezembro de 2013. 
 E.2) Estime o mês para um preço de R$ 141,00. 
 
70) Evolução do salário mínimo brasileiro (em R$ 1,00) conforme o MTE. 
 Ano: X = 2003 a 2015, tomando por origem o ano de 2009. 
 Valor do salário mínimo: Y = 240, 260, 300, 350, 380, 415, 465, 510, 545, 622, 678, 724 e 788, 
tomando por origem R$ 500,00. 
 E.1) Projete o valor do salário mínimo para o ano de 2016. 
 E.2) Projete o ano para um salário mínimo de R$ 855,00. 
. . . . . . . . 
RESPOSTAS 
01)  x = 25 ∑ y = 75 ex.y = 489 ∑ x2 = 163  y2 = 1.469 
 A) 0,997 C.M.I. B) 99,40% e 0,60% C) (5,00; 15,00) D) Y = 3,00X 
 E.1) Y = 33 kg Extrapolação, pois 11[2, 10] E.2) X = 13 peças. 
02)  x = 32 ∑ y = 16  x.y = 63 ∑ x2 = 210  y2 = 56 
 A) – 0,975 C.M.I. B) 95,06% e 4,94% C) (5,33; 2,67) D) Y = – 0,57X + 5,71 
 E.1) Y = 2 cômodos Interpolação, pois 7[2, 9] E.2) Y = 0 cômodo. 
03)  x = 31 ∑ y = 32  x.y = 117 ∑ x2 = 221  y2 = 210 
 A 11) – 0,988 C.M.I. B) 97,61% e 2,39% C) (5,17; 5,33) D) Y = – 0,79X + 9,41 
 E.1) Y = 1 filho Extrapolação, pois 11[2, 10] E.2) X = 6 s.m.. 
04)  x = 21,5 ∑ y = 1.717  x.y = 6.369,1 ∑ x2 = 78,39  y2 = 534.077 
 A) 0,902 C.M.I. B) 81,36% e 18,64% C) (3,58; 286,17) D) Y = 160,58X – 288,71 
 E.1) Y = 289 domicílios Interpolação, pois 3,6[3,0; 4,5] 
 E.2) Y = 402 domicílios E.3) X = 3,1 média de moradores. 
05)  x = 21 ∑ y = 220  x.y = 570 ∑ x2 = 91  y2 = 10.400 
 A) – 0,990 C.M.I. B) 98,01% e 1,99% C) (3,50; 36,67) D) Y = – 11,43X + 76,68 
 E.1) Y = 77. Extrapolação, pois 0 [1, 6]. E.2) X = 1 
06)  x = 56 ∑ y = 131  x.y = 858 ∑ x2 = 560  y2 = 2.779 
 A) – 0,992 C.M.I. B) 98,41% e 1,59% C) (8,00; 18,71) D) Y = – 1,70X + 32,31 
 E.1) Y = 24 Interpolação, pois 5[9, 14] E.2) X = 7 
07)  x = 1.001 ∑ y = 154  x.y = 27.832 ∑ x2 = 222.379  y2 = 3.812 
 A) 0,936 C.M.I. B) 87,61% e 12,39% C) (111,22; 17,11) D) Y = 0,10X + 5,99 
 E.1) Y = R$ 45.990,00 Extrapolação, pois 400 [1, 363]. 
 E.2) X = 540 estab. E.3) X = 390 est.. 
08)  x = 245 ∑ y = 194  x.y = 5.069 ∑ x2 = 6.693  y2 = 3.948 
 A) 0,886 C.A. B) 78,50% e 21,50% C) (24,50: 19,40) D) Y = 0,46X + 8,13 
 E.1) Y = 21 Interpolação, pois 27[11, 37] E.2) X = 26 
09) ∑ x = 15,5 ∑ y = 14,26 ∑ x..y = 23,377 ∑ x 2 = 24,85 ∑ y 2 = 22,3022 
 A) 1,000 C.P. B) 100,00% e 0,00% C) (1,55; 1,43) D) Y = 1,54X – 0,96 
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MARIA JOSÉ PEREIRA DANTAS E MARIA HELENA RAMOS BITTENCOURT 
110 
 
 E.1) Y = 1,12 A Interpolação, pois 1,35[1,1; 2,0] E.2) X = 1,5 V 
10)  x = 38 ∑ y = 80  x.y = 361 ∑ x2 = 182  y2 = 736 
 A) 0,949 C.M.I. B) 90,06% e 9,94% C) (3,80; 8,00) D) Y = 1,52X + 2,22 
 E.1) Y = 8,3 t Interpolação, pois 4[1, 6] E.2) X = 3.000 KW 
11)  x = 15,0 ∑ y = 897  x.y = 1.530,0 ∑ x2 = 27,50  y2 = 87.483 
 A) 0,985 C.M.I. B) 97,02% e 2,98% C) (1,50; 89,70) D) Y = 36,90X + 34,35 
 E.1) Y = 116 Interpolação, pois 2,2[0,5; 15,0] E.2) X = 1,5 dias 
12)  x = 60 ∑ y = 170  x.y = 768 ∑ x2 = 460  y2 = 3.534 
 A) – 0,993 C.M.I. B) 98,60% e 1,40% C) (6,00; 17,00) D) Y = – 2,52X + 32,12 
 E.1) Y = 20 erros Interpolação, pois 5[1, 10]. E.2) X = 5 meses 
13) ∑ x = 322 ∑ y = 749 ∑ x.y = 23.816 ∑ x 2 = 11.826 ∑ y 2 = 51.291 
 A) 0,978 C.M.I. B) 95,65% e 4,35% C) (26,83: 62,42) D) Y = 1,17X + 31,03 
 E.1) Y = R$ 77,83 Interpolação, pois 40[5, 55] E.2) X = 12 km 
14)  x = 15 ∑ y = 160  x.y = 596 ∑ x2 = 55  y2 = 6.520 
 A) 0,980 C.M.I. B) 96,04% e 3,96% C) (3,00; 32,00) D) Y = 11,60X – 2,80 
 E.1) Y = R$ 66.800,00 Extrapolação, pois 2005 [2000, 2004]. E.2) X = ano de 2007. 
15)  x = 30 ∑ y = 23,6  x.y = – 52 ∑ x2 = 1.900  y2 = 110,00 
 A) – 0,981 C.M.I. B) 96,24% e 3,76% C) (5,00; 3,93) D) Y = – 0,10X + 4,43 
 E.1) Y = 3,9 filhos. Interpolação, 1985[1960, 2010] 
 E.2) Y = 0,9 filho E.3) X = ano 2004. 
16)  x = 45 ∑ y = 86,22  x.y = 538,6 ∑ x2 = 285  y2 = 1.029,2804 
 A) – 0,981 C.M.I. B) 96,24% e 3,76% C) (4,50; 8,62) D) Y = 1,83X + 0,38 
 E.1) Y = 18,68 mil t Extrapolação, 2015[2005, 2014] E.2) X = ano de 2016. 
17)  x = 45 ∑ y = 85,2  x.y = 548,7 ∑ x2 = 285  y2 = 1.093,64 
 A) 0,949 C.M.I. B) 90,06% e 9,94% C) (4,50; 8,52) D) Y = 2,00X – 0,48 
 E.1) Y = US$ 19,52 bilhões. Extrapolação, pois 2012  [2002, 2011] 
 E.2)X = ano de 2015. 
18)  x = 45 ∑ y = 44,1  x.y = 240,7 ∑ x2 = 285  y2 = 216,83 
 A) 0,984 C.M.I. B) 96,83% e 3,17% C) (4,50; 4,41) D) Y = 0,51X + 2,12 
 E.1) Y = U$$ 7,22 bilhões. Extrapolação, pois 2012[2002, 2011] E.2) X = ano de 2015. 
19)  x = 6 ∑ y = 59,5  x.y = 171,0 ∑ x2 = 146  y2 = 454,97 
 A) 0,934 C.M.I. B) 87,24% e 12,76% C) (0,50; 4,96) D) Y = 0,99X + 4,46 
 E.1) Y = 11.390 unidades vendidas Extrapolação, pois 2012[2000, 2011]. 
 E.2) X = ano 2015. 
20)  x = 0 ∑ y = 17  x.y = 513 ∑ x2 = 10  y2 = 27.227 
 A) 0,984 C.M.I. B) 96,83% e 3,17% C) (0,00; 3,40) D) Y = 51,30X + 3,40 
 E.1) Y = 317 mortes Extrapolação, pois 2018[2013, 2017] E.2) X = ano de 2019. 
21)  x = 50 ∑ y = 43  x.y = 570 ∑ x2 = 750  y2 = 451 
 A) 0,983 C.M.I. B) 96,63% e 3,37% C) (10,00; 8,60) D) Y = 0,56X + 3,00 
 E.1) Y = 1.002mm Extrapolação, pois 8[10, 30] 
 E.2) y = 1.012mm E.3) X = 37◦C E.4) X = 42◦C. 
22)  x = 10 ∑ y = 4  x.y = 19.760 ∑ x2 = 30  y2 = 39.198.908 
 A) 0,998 C.M.I. B) 99,60% e 0,40% C) (2,00; 0,80) D) Y = 1.975,20X – 3.949,60 
 E.1) Y = 14.573 un. vend. Extrapolação, pois 2012[2007, 2011] E.2) X = ano de 2013. 
23)  x = 10 ∑ y = 1.252  x.y = 3.917 ∑ x2 = 30  y2 = 521.094 
 A) 0,981 C.M.I. B) 96,24% e 3,76% C) (2,00; 250,40) D) Y = 141,30X – 32,20 
 E.1) Y = 836 diplomas Extrapolação, pois 6[0, 4] E.2) X = mês de novembro. 
24)  x = 100 ∑ y = 124  x.y = 3.830 ∑ x2 = 3.000  y2 = 4.914 
 A) 0,996 C.M.I. B) 99,20% e 0,80% C) (20,00; 24,80) D) Y = 1,35X – 2,20 
MAF1730 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - 2019/2 
 
MARIA JOSÉ PEREIRA DANTAS E MARIA HELENA RAMOS BITTENCOURT 
111 
 
 E.1) Y = 362 part./milhão. Interpolação, pois 1995[1960, 2000] E.2) X = ano de 1985. 
25)  x = 10 ∑ y = 0,3  x.y = 54,5 ∑ x2 = 30  y2 = 345,15 
 A) 0,917 C.M.I. B) 84,09% e 15,91% C) (2,00; 0,06) D) Y = 5,39X – 10,72 
 E.1) Y = R$ 46,23 bilhões. Extrapolação, pois 2012[2007, 2011] E.2) X = 2013. 
26)  x = 10 ∑ y = 4,6  x.y = 14,3 ∑ x2 = 30  y2 = 6,90 
 A) 0,987 C.M.I. B) 97,42% e 2,58% C) (2,00; 0,92) D) Y = 0,51X – 0,10 
 E.1) Y = 10,86 milhões (MW/h). Extrapolação, pois 2013[2007, 2011] E.2) X = 2012. 
27)  x = 10 ∑ y = 1,11  x.y = 3,12 ∑ x2 = 30  y2 = 0,327.7 
 A) 0,998 C.M.I. B) 99,60% e 0,40% C) (2,00; 0,22) D) Y = 0,09X + 0,04 
 E.1) Y = 2,58 milhões de consumidores. Extrapolação, pois 2013[2007, 2011] 
 E.2) X = 2005. 
28)  x = 1,11 ∑ y = 4,6  x.y = 1,484 ∑ x2 = 0,327.7  y2 = 6,90 
 A) 0,994 C.M.I. B) 98,80% e 1,20% C) (0,22; 0,92) D) Y = 5,69X – 0,33 
 E.1) Y = 10,4 milhões (MW/h). Extrapolação, pois 2,50[2,05, 2,41] 
 E.2) X = 2,60 milhões de consumidores. 
29)  x = 10 ∑ y = 387  x.y = 1.825 ∑ x2 = 30  y2 = 155.351 
 A) 0,939 C.M.I. B) 88,17% e 11,83% C) (2,00; 77,40) D) Y = 105,10X – 132,80 
 E.1) Y = R$ 1.292,7 milhões. Extrapolação, pois 2012[2007, 2011] 
 E.2) X = ano de 2013. 
30)  x = 0 ∑ y = 178  x.y = 10.506 ∑ x2 = 10  y2 = 11.074.778 
 A) 0,999 C.M.I. B) 99,80% e 0,20% C) (0,00; 35,60) D) Y = 1.050,60X + 35,60 
 E.1) Y = 26.838 alunos Extrapolação, pois 2015[2009, 2013] E.2) X = ano de 2014. 
31)  x = 0 ∑ y = 41  x.y = 850 ∑ x2 = 10  y2 = 74.053 
 A) 0,990 C.M.I. B) 98,01% e 1,99% C) (0,00; 8,20) D) Y = 85,00X + 8,20 
 E.1) Y = 1.423 aeronaves Extrapolação, pois 2015[2010, 2014] E.2) X = ano de 2016. 
32)  x = 0 ∑ y = – 1  x.y = 107 ∑ x2 = 10  y2 = 1.155 
 A) 0,996 C.M.I. B) 99,20% e 0,80% C) (0,00; – 0,20) D) Y = 10,70X – 0,20 
 E.1) Y = 82. Extrapolação, pois 2015[2010, 2014] E.2) X = ano de 2016. 
33)  x = 0 ∑ y = 1  x.y = 545 ∑ x2 = 10  y2 = 32.273 
 A) 0,959 C.M.I. B) 91,97% e 8,03% C) (0,00; 0,20) D) Y = 54,50X + 0,20 
 E.1) Y = 301 mil pessoas. Extrapolação, pois 2017[2012, 2016] E.2) X = ano de 2018. 
34)  x = 150 ∑ y = 23,6  x.y = 420 ∑ x2 = 5.500  y2 = 110,00 
 A) – 0,981 C.M.I. B) 96,24% e 3,76% C) (25,00; 3,93) D) Y = – 0,10 X + 6,43 
 E.1) Y = 3,9 filhos. Interpolação, pois 1985[1960, 2010] 
 E.2) Y = 0,9 filho E.3) X = Ano 2004. 
35)  x = 3 ∑ y = 411  x.y = 1.398 ∑ x2 = 19  y2 = 112.965 
 A) 0,979 C.M.I. B) 95,84% e 4,16% C) (0,50; 68,50) D) y = 68,14X + 34,43 
 E.1) Y = 807 mulheres Extrapolação, pois 2012[2006, 2011] E.2) X = ano de 2013. 
36)  x = 3 ∑ y = 2.268  x.y = 10.257 ∑ x2 = 19  y2 = 6.013.380 
 A) 0,960 C.M.I. B) 92,16% e 7,84% C) (0,50; 378,00) D) Y = 521,31X + 117,34 
 E.1) Y = 12.203 homens Extrapolação, pois 2012[2006, 2011] E.2) X = ano de 2013. 
37)  x = 3 ∑ y = – 456  x.y = 5.246 ∑ x2 = 19  y2 = 2.025.470 
 A) 0,927 C.M.I B) 85,93% e 14,07% C) (0,50; –76,00) D) Y = 312,80X – 232,40 
 E.1) Y = 3.019 homens Extrapolação, pois 2012[2006, 2011] E.2) X = ano de 2005. 
38)  x = 3 ∑ y = 1  x.y = 941 ∑ x2 = 19  y2 = 63.195 
 A) 0,894 C.A. B) 79,92% e 20,08% C) (0,50; 0,17) D) Y = 53,74X – 26,70 
 E.1) Y = 448 mulheres Extrapolação, pois 2012[2006, 2011] E.2) X = ano de 2013. 
39)  x = 3 ∑ y = 7  x.y = 204 ∑ x2 = 19  y2 = 2.343 
 A) 0,992 C.M.I. B) 98,41% e 1,59% C) (0,50; 1,67) D) Y = 11,46X – 4,56 
MAF1730 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - 2019/2 
 
MARIA JOSÉ PEREIRA DANTAS E MARIA HELENA RAMOS BITTENCOURT 
112 
 
 E.1) Y = 231 mil motos Extrapolação, pois 2014[2008, 2013] E.2) X = ano de 2015. 
40)  x = 15 ∑ y = 6.279  x.y = 26.013 ∑ x2 = 55  y2 = 13.073.639 
 A) 0,967 C.M.I. B) 93,51% e 6,49% C) (2,50; 1.046,50) D) Y = 589,46X – 427,15 
 E.1) Y = 13.010 pessoas Extrapolação, pois 2012[2006, 2011] E.2) X = ano de 2012. 
41)  x = 3 ∑ y = 1  x.y = 7.794 ∑ x2 = 19  y2 = 3.612.155 
 A) 0,980 C.M.I. B) 96,04% e 3,96% C) (0,50; 0,17) D) Y = 445,34X – 222,49 
 E.1) Y = 4.469 máquinas. Extrapolação, pois 4  [– 2, 3] E.2) X = mês de agosto. 
42)  x = 8 ∑ y = 54  x.y = 11.337 ∑ x2 = 8.070  y2 = 16.804 
 A) 0,981 C.M.I. B) 96,24% e 3,76% C) (1,14; 7,71) D) Y = 1,40X + 6,11 
 E.1) Y = 49 Interpolação, pois 50[18,120] E.2) X = 56 
43)  x = 0 ∑ y = 9  x.y = – 8.681 ∑ x2 = 28  y2 = 2.973.887 
 A) – 0,951 C.M.I. B) 90,44% e 9,56% C) (0,00; 1,29) D) Y = – 310,04X + 1,29 
 E.1) Y = 9.566 leitos. Extrapolação, pois 2018  [2010, 2016] E.2) X = ano de 2017. 
44)  x = 0 ∑ y = – 5  x.y = – 7.699 ∑ x2 = 28  y2 = 2.351.349 
 A) – 0,949 C.M.I. B) 90,06% e 9,94% C) (0,00; – 0,71) D) Y = – 274,96X – 0,71 
 E.1) Y = 10.334 leitos. Extrapolação, pois 2018  [2010, 2016] E.2) X = ano de 2017. 
45)  x = 4 ∑ y = 0,7  x.y = 15,1 ∑ x2 = 44  y2 = 5,89 
 A) 0,943 C.M.I. B) 88,92% e 11,08% C) (0,50; 0,09) D) Y = 0,35X – 0,09 
 E.1) Y = 7,7% Extrapolação, pois 5[– 3, 4] E.2) X = setembro de 2015. 
46)  x = 4 ∑ y = 15  x.y = 5.394 ∑ x2 = 44  y2 = 823.621 
 A) 0,916 C.M.I. B) 83,91% e 16,09% C) (0,50; 1,88) D) Y = 128,25X – 62,24 
 E.1) Y = 1.427 alunos Extrapolação, pois 2015[2006, 2013] E.2) X = ano de 2016. 
47)  x = 259 ∑ y = 93  x.y = 180.132 ∑ x2 = 668.631  y2 = 50.039 
 A) 0,985 C.M.I. B) 97,02% e 2,98% C) (32,38; 11,63) D) Y = 0,27X + 2,89 
 E.1) Y = 284 domicílios Interpolação, pois 1.000[341, 1.219] E.2) X = 986 pessoas. 
48)  x = 0 ∑ y = 2  x.y = 6.282 ∑ x2 = 60  y2 = 674.230 
 A) 0,988 C.M.I. B) 97,61% e 2,39% C) (0,00; 0,22) D) Y = 104,70X + 0,22 
 E.1) Y = 2.519 Extrapolação, pois 2014[2005, 2013] E.2) X = ano de 2016. 
49)  x = 0 ∑ y = 7  x.y = 7.486 ∑ x2 = 60  y2 = 941.787 
 A) 0,996 C.M.I. B) 99,20% e 0,80% C) (0,00; 0,78) D) Y = 124,77X + 0,78 
 E.1) Y = 2.992 mortes Extrapolação, pois 2014[2005, 2013] E.2) X = ano de 2015. 
50)  x = 0 ∑ y = 0,4  x.y = 302,5 ∑ x2 = 60  y2 = 1.555,26 
 A) 0,990 C.M.I. B) 98,01% e 1,99% C) (0,00; 0,04) D) Y = 5,04X + 0,04 
 E.1) Y = 351,1%. Extrapolação, pois 5[– 4, 4] E.2) X = julho de 2015. 
51)  x = 0 ∑ y = 0  x.y = 90 ∑ x2 = 60  y2 = 138 
 A) 0,989 C.M.I. B) 97,81% e 2,19% C) (0,00; 0,00) D) Y = 1,50X 
 E.1) Y = 47,5 t Extrapolação, pois 2009[2000, 2008] E.2) X = ano de2007. 
52)  x = 0 ∑ y = – 4  x.y = 262 ∑ x2 = 60  y2 = 1.214 
 A) 0,971 C.M.I. B) 94,28% e 5,72 % C) (0,00; – 0,44) D) Y = 4,37X – 0,44 
 E.1) Y = R$ 153,41 (R$ 1,00) Extrapolação, pois 5[– 4, 4] E.2) X = junho de 2015. 
53)  x = 0 ∑ y = 16,7  x.y = 343,0 ∑ x2 = 60  y2 = 2.050,87 
 A) – 0,985 C.M.I. B) 97,02% e 2,98% C) (0,00; 1,86) D) Y = 5,72X + 1,86 
 E.1) Y = R$ 80,461 milhões. Extrapolação, pois 2018  [2009, 2017] E.2) X = ano de 2019. 
54)  x = 225 ∑ y = 281  x.y = 9.275 ∑ x2 = 7.125  y2 = 12.169 
 A) 0,995 C.M.I. B) 99,00% e 1,00% C) (22,50; 28,10) D) Y = 1,43X – 4,08 
 E.1) Y = 373 part./milhão. Interpolação, pois 2002[1960, 2005] E.2) X = ano de 1985. 
55)  x = 283 ∑ y = 548  x.y = 6.599 ∑ x2 = 12.771  y2 = 50.540 
 A) – 0,902 C.M.I. B) 81,36% e 18,64% C) (28,30; 54,80) D) Y = – 1,87X + 107,72 
 E.1) Y = 275 unidades. Interpolação, pois 60[38, 110] E.2) Y = 162 unidades 
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113 
 
56)  x = 66 ∑ y = 143  x.y = 1.261 ∑ x2 = 506  y2 = 3.739 
 A) 0,886 C.Alta B) 78,50% e 21,50% C) (6,00; 13,00) D) Y = 3,66X – 8,96 
 E.1) Y = R$ 51,62 bilhões Extrapolação, pois 2006[1994, 2004] E.2) X = ano de 2008. 
57)  x = 45 ∑ y = – 4,9  x.y = 461,2 ∑ x2 = 285  y2 = 2.910,83 
 A) 0,987 C.M.I. B) 97,42% e 2,58% C) (4,50; – 0,49) D) Y = 5,86X – 26,86 
 E.1) Y = 224,7%. Extrapolação, pois 2018[2013, 2017] E.2) X = maio de 2015. 
58)  x = 5 ∑ y = 13  x.y = 836 ∑ x2 = 85  y2 = 9.671 
 A) 0,929 C.M.I. B) 86,30% e 13,70% C) (0,50; 1,30) D) Y = 10,05X – 3,72 
 E.1) Y = 227 mil atentados. Extrapolação. pois, 2016[2004, 2013] E.2) X = ano de 2017. 
59)  x = 0 ∑ y = 2,7  x.y = 86,4 ∑ x2 = 110  y2 = 74,07 
 A) 0,961 C.M.I. B) 92,35% e 7,65% C) (0,00; 0,25) D) Y = 0,79X + 0,25 
 E.1) Y = 40,8 mil t. Extrapolação, pois 2016[2004, 2014] E.2) X = ano de 2018. 
60)  x = 0 ∑ y = 0,96  x.y = 35,94 ∑ x2 = 110  y2 = 12,2860 
 A) 0,981 C.M.I. B) 96,24% e 3,76% C) (0,00; 0,09) D) Y = 0,33X + 0,09 
 E.1) Y = R$ 4,07 bilhões. Extrapolação, pois 2015[2004, 2014] E.2) X = ano de 2016. 
61)  x = 0 ∑ y = – 1  x.y = 1.044 ∑ x2 = 110  y2 = 10.723 
 A) 0,961 C.M.I. B) 92,35% e 7,65% C) (0,00; – 0,09) D) Y = 9,49X – 0,09 
 E.1) Y = 489,34 t. Extrapolação, pois 2016[2004, 2014] E.2) X = ano de 2017. 
62)  x = 0 ∑ y = 2  x.y = 7.335 ∑ x2 = 110  y2 = 515.110 
 A) 0,974 C.M.I. B) 94,87% e 5,13% C) (0,00; 0,18) D) Y = 66,68X + 0,18 
 E.1) Y = 1.340 mil carros. Extrapolação, pois 2018  [2007, 2017] E.2) X = ano de 2019. 
63)  x = 0 ∑ y = – 7  x.y = 2.584 ∑ x2 = 110  y2 = 61.851 
 A) 0,991 C.M.I. B) 98,21% e 1,79% C) (0,00; – 0,64) D) Y = 23,49X – 0,64 
 E.1) Y = 1.495,3 mil pessoas. Extrapolação, pois 2018  [2009, 2017] E.2) X = ano de 2018. 
64)  x = – 7 ∑ y = 2  x.y = 173.160 ∑ x2 = 61.851  y2 = 515.110 
 A) 0,970 C.M.I. B) 94,09% e 5,91% C) (– 0,64; 0,18) D) Y = 2,80X + 1,97 
 E.1) Y = 1.348 mil carros. Extrapolação, pois 1.500 [1.245, 1.466] 
 E.2) X = 1.482,87 mil pessoas. 
65)  x = 2 ∑ y = – 7  x.y = 173.160 ∑ x2 = 515.110  y2 = 61.851 
 3 A) 0,970 C.M.I. B) 94,09% e 5,91% C) (0,18; – 0,64) D) Y = 0,34X – 0,70 
 E.1) Y = 1.494 mil pessoas. Extrapolação, pois 1.348  [571, 1.185] 
 E.2) X = 1.369 mil carros. 
66)  x = 66 ∑ y = 2  x.y = 587 ∑ x2 = 506  y2 = 2.476 
 A) 0,968 C.M.I. B) 93,70% e 6,30% C) (5,50; 0,17) D) Y = 4,03X – 22,00 
 E.1) Y = 347%. Extrapolação, pois 12[0, 11] E.2) X = maio de 2015. 
67)  x = 6 ∑ y = 0  x.y = 754 ∑ x2 = 146  y2 = 4.116 
 A) 0,983 C.M.I. B) 96,63% e 3,37% C) (0,50; 0,00) D) Y = 5,27X – 2,64 
 E.1) Y = 154%. Extrapolação, pois – 6 [– 5, 6] E.2) X = abril de 2015. 
68)  x = 6 ∑ y = 54,3  x.y = 158,7 ∑ x2 = 146  y2 = 372,73 
 A) 0,976 C.M.I. B) 95,26%e 4,74% C) (0,50; 4,52) D) Y = 0,92X + 4,06 
 E.1) Y = R$ 13,5 bilhões. Extrapolação, pois 2015[2003, 2014] E.2) X = ano de 2022. 
69)  x = 6 ∑ y = 3  x.y = 364 ∑ x2 = 146  y2 = 1.153 
 A) 0,893 C.M.I. B) 79,74% e 20,26% C) (0,50; 0,25) D) Y = 2,53X – 1,02 
 E.1) Y = R$ 102,80. Extrapolação, pois – 6[– 5, 6] E.2) X = março de 2015. 
70)  x = 0 ∑ y = –223  x.y = 8.361 ∑ x2 = 182  y2 = 392.363 
 A) 0,994 C.M.I. B) 98,80% e 1,20% C) (0,00; –17,15) D) Y = 45,94X – 17,15 
 E.1) Y = R$ 804,43. Extrapolação, pois 2016[2003, 2015] E.2) X = ano de 2017. 
 . . . . . . . . 
 
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ATIVIDADES EXTERNAS À DISCIPLINA1 (AED1) PARA N1 
(Valerá até 1,0 ponto e 4 frequências.) 
 
TURMA: ........ – MAF1730 – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA N0. ............ 
 
NOME: ..................................................................................... MATRÍCULA: ...................................... 
 
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR – 2019/2 
 
Preencha o quadro abaixo para resolver as questões seguintes. Apresente todas as 
substituições nas fórmulas, todos os cálculos e passos necessários à resolução. Atenda a precisão 
pedida em cada item. Use caneta de tinta preta ou azul e em folhas de papel pautado. 
 
 Para as variáveis (X, Y) do seu exercício: 
A) Ache o coeficiente de correlação linear (r). (Precisão de 0,001) Dê sua intensidade. 
B) Encontre o coeficiente de determinação. (Precisão de 0,01) O que significa? 
C) O ponto centróide ( X , Y ) com precisão de 0,01. 
D) Ache a equação da reta. (Y = a . X + b Regressão Linear Simples). Para os parâmetros a 
e b usar a precisão de 0,01. 
E) Calcule as estimativas pedidas em cada exercício. Para E.1) Houve uma interpolação ou 
extrapolação? Justifique. 
F) Construa o gráfico diagrama de dispersão. Trace a reta. (Use o EXCEL, R ou outro.) 
 
 Entregar até dia ........ / ........ / ........ GOIÂNIA, ........ / ........ / ........ 
 
Recebi em ........ / ........ / ........ , .......... 
 
EXERCÍCIO: PÁGINA ............ No. ............ . 
 
 N X = Y = X.Y X2 Y2 
01 
02 
03 
04 
05 
06 
07 
08 
09 
10 
11 
12 
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∑ 
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EXERCÍCIO: PÁGINA ............ , NO. ............ . 
 
 
N X = Y = X.Y X2 Y2 
01 
02 
03 
04 
05 
06 
07 
08 
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10 
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13 
∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografia 
 
1. DOUGLAS, C. Montgomery, Estatística Aplicada à Engenharia, 2. ed. Ed. LTC – 
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro, 2001. 
2. DOUGLAS C. Montgomery, Probabilidade Aplicada à Engenharia, 2. ed. LTC – 
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro, 2000. 
3. BARBETTA, Pedro Alberto, REIS, Marcelo Menezes . BORNIA, Antonio Cezar , 
Estatística para Cursos de Engenharia e Informática, São Paulo, Ed. Atlas. 2004. 
4. DEVORE, J. L. – Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. São Paulo: 
Thompson, 2006. 
5. BUSSAB, Wilton O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 5. ed. Atual. São Paulo, 
2002. 
6. MEYER, Paul L. Probabilidade: aplicações à estatística. Tradução de Ruy de C. B. 
Lourenço Filho. 2. ed. LTC. Rio de Janeiro, 1983. 
7. GARCIA-LEON, A., Probability and Random Processes for Electrical Engineering. 
Addison Wesley. 2ª. ed. 1994. 
8. TRIVEDI, K. S., Probability and Statistics with Reliability, Queuing, and 
Computer Science Applications. 2002 
9. MORETTIN, Luiz Gonzaga, Estatística Básica - Probabilidade, Vol. 1, Makron 
Books, 7ª. ed. São Paulo, 1999 
10. BARBETA, Pedro Alberto, Estatística Aplicada às Ciências Sociais. 
Florianópolis, Editora da UFSC, 3. ed., 1999 
11. BARBETA, Pedro Alberto; REIS, Marcelo Menezes; BORNIA, Antonio Cezar. 
Estatística para cursos de engenharia e informática. Editora Atlas S.A., São Paulo, 2. ed, 
2008 
12. STEVENSON, William J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo, 
Harbra, 1996. 
13. AZEVEDO, A. G. Estatística Básica. Rio de Janeiro, LTC. 1994 
14. SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; GONÇALVES, Valter; 
MUROLO, Afrânio Carlos. Estatística para os cursos de Economia, 
Administração e Ciências Contábeis. 2ª. edição. São Paulo. Ed. Atlas, 1997. 
 15. CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil. 19 ed. São Paulo: Saraiva 2011. 
 16. FARHAT, Cecília Aparecida Vaiano. Introdução à Estatística Aplicada. Editora FTD. 
 São Paulo. 1998. 
 17. HOFFMANN, Rodolfo; VIEIRA, Sônia. Análise de Regressão: uma introdução a 
 econometria. 2. ed. HUCITEC. São Paulo, 1977 
 18. TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística. LTC Editora, Rio de Janeiro, 7. ed, 1999. 
 19. MONTEIRO Filho, Gercino. Estatística Prática Geral. Gráfica e Editora Vieira Ltda. 
 Goiânia. 1. ed. 2003. 
 . . . . . . . . 
 
Você pode acessar www.saraivauni.com.br e fazer seu cadastro como aluno/leitor. Você terá 
acesso a um material de apoio, com exercícios resolvidos do livro. 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.submarino.com.br/books_bio.asp?Query=ProductPage&ProdTypeId=1&ArtistId=3015792&Type=1
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ÍNDICE 
NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
1 – Objetivo . . . . . . . . . . 3 
2 – Modelos: determinísticos ou probabilísticos . . . . . . 4 
3 – Experimento aleatório, exercício e exemplos. . . . . . 5 
4 – Espaço amostral: discreto e contínuos . . . . . . 6 
 Exercícios propostos . . . . . . . 6 
5 – Eventos . . . . . . . . . . 7 
 Diagrama de Venn. Operações com conjuntos: união, intersecção, diferença e 
complementar. Conceitos: eventos mutuamente exclusivos, complementares, 
dependentes e independentes . . . . . . . 8 
 Propriedades. Teoremas de Morgan. Exercícios de propostos . . . 9 
6 – Definições de probabilidade. Definição clássica e frequentista ou frequencialista. 
 Probabilidade subjetiva . . . . . . . . 10 
7 – Definição axiomática de probabilidade. Axiomas e teoremas . . . . 10 
8 – Probabilidade: condicional, da interseção ou teorema do produto – eventos 
 dependentes ou independentes. . . . . . . . 13 
9 – Teorema da probabilidade total. Teorema de Bayes . . . . . 14 
. Exercícios resolvidos . . . . . . . . 15 
 Exercício de fixação . . .. . . . . 17 
Exercícios propostos . . . . . . . 18 
Exercícios complementares . . . . . . 28 
10 – Formulário (Noções de Probabilidade). . . . . . . 34 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
2 – Variáveis aleatórias . . . . . . . 35 
2.1 – Modelos para variáveis aleatórias discretas (v.a.d.) . . . . 35 
2.1.1 – Modelo geral. Função de probabilidade. Função de distribuição acumulada] 
 ou função de repartição. . . . . . . 35 
 Exercício resolvido . . . . . . . 37 
 Exercícios propostos . . . . . . . 38 
 Características numéricas (valor esperado, variância e desvio padrão) . 38 
 Exercício resolvido. Exercícios propostos . . . . 39 
2.2 – Modelos para variáveis aleatórias contínuas (v.a.c.) . . . . 42 
2.2.1 – Modelogeral. Função densidade de probabilidade. Função de distribuição 
 acumulada. Características numéricas (valor esperado, variância e 
 desvio padrão). . . . . . . . 42 
 Exercícios resolvidos . . . . . . . 43 
 Exercícios propostos . . . . . . . 44 
 Propriedades da média e da variância de v.a. . . . . 46 
3 – Modelos probabilísticos . . . . . . . . 47 
3.1 – Modelos para variáveis aleatórias discretas . . . . . 47 
 A – Distribuição de Bernoulli. Função de probabilidade. Características 
numéricas (média, variância e desvio padrão). . . 47 
 B – Distribuição binomial. Função de probabilidade. Função de 
distribuição acumulada. . . . . . 48 
 Características numéricas (média, variância e desvio padrão).Exercício 
 resolvido . . . . . . . 49 
Exercícios propostos . . . . . 50 
Exercícios complementares. . . . . 55 
 C – Distribuição de Poisson. Características numéricas (média, 
variância e desvio padrão). Aproximação de Poisson 
para binomial . . . . . . . 56 
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118 
 
 Exercícios revolvidos . . . . . 57 
 Exercícios propostos . . . . . 59 
Exercícios complementares. . . . . 61 
3.2 – Modelo para variáveis aleatórias contínuas . . . . . 62 
 A – Distribuição uniforme. Função densidade de probabilidade. 
 Função de distribuição acumulada. Características 
numéricas (média, variância e desvio padrão). . . 62 
 Exercício resolvido . . . . . 62 
 Exercícios propostos . . . . . 63 
 B – Distribuição exponencial . Função densidade de probabilidade . Função 
de distribuição acumulada. Características numéricas 
(média, variância e desvio padrão). Propriedade da falta de 
Memória. . . .. . . . . 65 
 Exercício resolvido . . . . . 66 
 Exercícios propostos . . . . . 66 
Exercícios complementares. . . . . 68 
 C – Distribuição normal. Função densidade de probabilidade da normal. 
Função de densidade de probabilidade de Z . . . 69 
Cálculo de probabilidade de Z. . . . . 70 
 Exemplo usando a tabela da normal (Caso A e B) . . 72 
 Exercícios resolvidos . . . . . 74 
 C.1 – Aproximação da binomial para normal . . . 75 
 C.2 – Teorema de combinação linear. . . . . 76 
 Correção de continuidade . . . . . . 76 
 Exercícios resolvidos . . . . . 77 
 Exercícios propostos sobre aproximação da binomial pela 
 normal. . . . . . . 78 
 Exercícios propostos . . . . . . 78 
 Exercícios complementares . . . . . 85 
Anexo: Tabela 1 – Valores da distribuição normal padrão . . . . 87 
Formulário – (V.A.) . . . . . . . . . 88 
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR 
1 – Introdução . . . . . . . . . . 89 
2 – Correlação . . . . . . . . . . 89 
2.1 – Relação fundamental e relação estatística . . . . . 89 
2.2 – Diagrama de dispersão . . . . . . . . 89 
2.3 – Correlação Linear . . . . . . . . 90 
2.4 – Coeficiente de correlação linear . . . . . . 91 
 Notação e características para o coeficiente de correlação linear “r” . 91 
 Intensidade de “r” . . . . . . . . 92 
 Interpretação de “r” . . . . . . . . 93 
3 – Regressão . . . . . . . . . . 93 
3.1 – Ajustamento da reta . . . . . . . . 93 
3.2. – Interpolação e Extrapolação . . . . . . . 94 
 Exercício – Resolução usando a calculadora Casio fx–82 MS . . 95 
 Exercício resolvido usando uma variável auxiliar ou origem (Xo) e (Y0). 96 
 Exercícios propostos . . . . . . . . 97 
Respostas . . . . . . . . 107 
Atividades Externas à Disciplina para AED1. . . . . . 112 
Bibliografia . . . . . . . . . . 114