PE-Apostila MAF1730- ZEZÉ e MARIA HELENA (1)

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 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS 
 ESCOLA DE CIÊNCIAS EXATAS E DA COMPUTAÇÃO 
 
 
 
 ELABORADA POR: MARIA JOSÉ PEREIRA DANTAS 
 MARIA HELENA RAMOS BITTENCOURT 
 
 
 
MAF1730 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
 
• NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
 
• VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
• CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR 
 
 
 
 
ALUNO(A): .................................................................................. MATRÍCULA: ............................... 
MAF1730 – TURMA: ........... SALA ............ ÁREA ............ BLOCO ............ 
 
PROFA. . MARIA HELENA RAMOS BITTENCOURT 
 
 
 
 
2019/2 
MAF1730 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - 2019/2 
 
MARIA JOSÉ PEREIRA DANTAS E MARIA HELENA RAMOS BITTENCOURT 
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MARIA JOSÉ PEREIRA DANTAS E MARIA HELENA RAMOS BITTENCOURT 
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NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
 
Assuntos: EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS, ESPAÇO AMOSTRAL, EVENTOS E 
CÁLCULOS DE PROBABILIDADES 
 
 
“Um engenheiro é alguém que resolve problemas de interesse da sociedade, pela aplicação 
eficiente de princípios científicos.” 
 
 
 Objetivos: Obtenção de conceitos para o desenvolvimento de raciocínio probabilístico útil 
na solução de problemas que envolvam variabilidade e incerteza, conhecimento e aplicação dos 
modelos probabilísticos que são adequados para modelar o comportamento de muitos sistemas do 
mundo real, e obtenção de fundamentos para os métodos estatísticos que serão estudados no curso. 
 
 De forma geral, os modelos probabilísticos e os métodos estatísticos auxiliam os projetistas 
na construção ou modificação de sistemas complexos, descritos por variáveis e parâmetros que 
envolvem alguma incerteza e variabilidade, de tal forma que seja possível se chegar em resultados 
implementáveis (analisando desempenho, confiabilidade e custo). 
 Cientistas e Engenheiros de Computação utilizam a Probabilidade e Estatística para 
fazerem análises de algoritmos e sistemas computacionais. Engenheiros de Rede para analisarem 
comportamento de protocolos, algoritmos de roteamentos, congestionamentos em redes. Por outro 
lado, sistemas de computadores e redes estão sujeitos às falhas, e os estudos de confiabilidade, 
também, têm suporte na teoria das probabilidades e em técnicas estatísticas. 
 Por exemplo, antes de se fazer a análise de um algoritmo (ou protocolo) ou um sistema, 
vários modelos de probabilidade devem ser especificados. Mas, a questão relevante aqui é: como 
identificar os modelos adequados? Para o estudo do sistema (ou algoritmo) é possível coletar dados 
durante a sua operação. As medidas podem ser coletadas por monitores de hardware, monitores de 
software, ou ambos. Os dados podem ser analisados para se investigar que modelos podem ser 
utilizados. A Estatística Matemática disponibiliza técnicas para se viabilizar a investigação dos 
modelos, tais como planejamento de experimentos, testes de hipótese, estimação, análise de 
regressão, entre outras. Com alguns poucos modelos é possível descrever muitas situações reais e os 
problemas ficam relativamente simples. 
 
 Exemplo: Quando se considera a análise de um servidor de web, disponível para um grande 
número de usuários, muitos fenômenos aleatórios devem ser considerados. Primeiro, o padrão de 
chegadas de requisições de serviço possui comportamento aleatório devido à quantidade e 
diversidade de usuários. Segundo, as requisições de serviço diferem quanto aos recursos que 
demandam e ao tempo de duração; apresentando, também, comportamento que envolve incerteza e 
variabilidade. Por último, os recursos do servidor de web estão sujeitos a falhas que ocorrem 
aleatoriamente devido à atuação conjunta de uma série de fatores. Cada vez mais, solicita-se o 
desenvolvimento de projetos e de produtos para satisfazer a necessidade dos usuários a um custo 
competitivo. A garantia de qualidade de serviço (congestionamentos, atrasos em chamadas, perdas 
de chamadas; dentro de limites aceitáveis) depende do uso de modelos capazes de descrever de 
forma realística toda essa variabilidade. 
 Além disso, os métodos estatísticos, que têm seus fundamentos na teoria das probabilidades, 
foram incorporados nos processos industriais, logo após a Revolução Industrial, para garantir a 
qualidade dos produtos. Atualmente, a avaliação de qualidade passou a ser feita ao longo de todo o 
processo produtivo, de forma preventiva. Em decorrência, os resultados mostram produtos com mais 
qualidade e com menor custo, pois se reduziram drasticamente as perdas por defeitos. Hoje, as 
indústrias controlam seus processos e obtêm dados através de pesquisas de levantamento e de 
experimentos, utilizando largamente a estatística como ferramenta. 
 Na verdade, os próprios métodos da Engenharia já incorporam intrinsecamente 
procedimentos probabilísticos ou estatísticos. 
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MODELOS 
 
 Um modelo é uma descrição ou uma representação simplificada de um sistema. Pode ser 
uma maquete, uma equação matemática ou mesmo um programa de computador. 
 Conforme J. Neymann, toda a vez que empregar Matemática com a finalidade de se estudar 
algum fenômeno deve-se começar por construir um modelo matemático, que pode ser 
determinístico ou probabilístico. 
 Durante a modelagem são feitas diversas hipóteses simplificadoras devido à impossibilidade 
de se considerar todos os detalhes do sistema no modelo. 
 Ao se construir um modelo uma das tarefas mais difíceis é a decisão sobre que elementos do 
sistema devem ser incluídos no modelo. A inclusão de um detalhe supérfluo pode causar um gasto de 
recursos desnecessários. Por outro lado, a exclusão de um elemento relevante pode conduzir a uma 
solução que não resolve o problema. 
 Assim, a modelagem de um sistema pode ser vista como uma “simplificação” que descarta 
as características julgadas irrelevantes, capturando o que é essencial no sistema a ser representado. 
 Os modelos matemáticos por sua vez podem ser reproduzidos por sistemas computacionais 
através de modelos de simulação por computador. Em geral, os modelos de simulação podem 
reproduzir os modelos matemáticos e, ainda, são capazes de representar os sistemas físicos mais 
complexos, com mais detalhes que os modelos matemáticos. E algumas vezes são preferidos. 
 
• Modelo determinístico: conhecendo-se as entradas x1, x2,..., xn é possível chegar 
a um resultado exato y, usando uma função y = f (x1, x2,..., xn). 
 
Exemplo: Lei de Ohm, dados x1 = tensão, x2 = resistência, y = fluxo de corrente, 
y = f(x1, x2), define-se . 
• Modelos probabilísticos: nesse caso, não é possível se chegar a um resultado 
exato, pois se associam às entradas algum tipo de incerteza ou variabilidade. Mas, pode-se 
determinar o conjunto de resultados possíveis e a chance (ou a probabilidade) de cada resultado em 
particular, devido ao que chamamos regularidade estatística, ou seja, os resultados, mesmo variáveis, 
apresentam um padrão de comportamento, que pode ser capturado por um modelo matemático. 
 
 Não existe um modelo determinístico para se determinar o número de pacotes que chegam 
em um servidor por segundo. As fontes possuem um comportamento variável e a demanda flutua ao 
longo do tempo. Neste caso, utiliza-se um modelo probabilístico. Sob certas condições e admitindo-
se uma taxa média de chegadas por segundo, é possível calcular a probabilidade de se chegar 
exatamente k pacotes num dado segundo, usando o modelo de Poisson (este modelo será estudado 
mais tarde). 
 
 Exemplos de situações que envolvem algum tipo de incerteza ou variabilidade. 
 
• Calcular a vazão, tempo de resposta, ociosidadede um servidor de comércio 
eletrônico de uma empresa em função da demanda 
• Calcular o número de caixas de um banco para atender a demanda dos clientes, 
considerando uma dada qualidade de serviço. 
• Projetar um sistema de comunicações que esteja livre de erros considerando 
que os canais estão sujeitos a interferências e ruídos. 
• Projetar um sistema de reconhecimento de voz que decodifique suas entradas 
com alta confiabilidade. 
• A operação de um sistema depende da operação de alguns ou todos os seus 
componentes. Não é possível predizer exatamente quando um componente irá falhar. A teoria 
das probabilidades permite a avaliação de medidas de confiabilidade tais como o tempo médio 
entre falhas e a probabilidade de todos os componentes estarem funcionando após certo 
período de tempo. É possível assim, avaliar um sistema do ponto de vista de confiabilidade, e 
então, projetar sistemas que sejam mais confiáveis. 
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 Terminologia 
 EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 
 Um experimento aleatório pode ser pensado como um teste para demonstrar uma afirmativa, 
examinar a validade de uma hipótese, ou para determinar a eficácia de alguma coisa nunca tentada 
previamente. Exemplos desse tipo de experimento são: jogar uma moeda, lançar um dado, ou ainda o 
sorteio cego de uma bola a partir de uma urna com múltiplas bolas coloridas. Um ingrediente 
fundamental na teoria da probabilidade é a noção de um experimento que, hipoteticamente, pode ser 
repetido sob condições essencialmente idênticas, mas com resultados diferentes. Quando se diz que é 
possível repetir um experimento sob condições essencialmente idênticas, naturalmente, está se 
pensando no controle de certo número de fatores. São justamente esses fatores não controlados 
(chamados de variáveis de confusão, variáveis estranhas ou variáveis espúrias) que irão construir a 
aleatoriedade do fenômeno. 
 
 Regularidade estatística: Suponha que um experimento aleatório 
seja repetido n vezes sob as mesmas condições. Se observarmos um particular conjunto de resultados 
A, a frequência relativa de A, tende a se estabilizar em torno de um valor constante à 
medida que n tende para o infinito, ou seja, quando se repete um experimento um número 
suficientemente grande de vezes (passagem ao limite), é possível, na equação acima, substituir a 
expressão “frequência relativa” por “probabilidade” com erro desprezível. 
 
 
Exercício: Simular o lançamento de uma moeda 1000 vezes e calcular a frequência relativa do 
resultado A = {cara}. 
Reguralidade estatística 
E = lançamento de uma moeda
P(cara) = 0,5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 200 400 600 800 1000
n (número de repetições)
fr
(A
)
 
 
 
Exemplos de experimentos aleatórios não-triviais: 
 
 (E1) Contar o número de mensagens que são transmitidas corretamente por dia em uma rede de 
computadores. 
(E2) Medir o tempo para carregar uma página da web. 
(E3) Contar o número de pacotes de voz contendo somente silêncio e produzidos por um grupo 
de N-usuários em um período de 10 ms. 
(E4) Contar o números de capacitores fora da especificação em uma amostra de 20 
componentes. 
(E5) Medir o tempo de vida do chip de memória de um dado computador em um ambiente 
específico. 
(E6) Um bloco de informações é repetido sobre um canal ruidoso até que seja recebido sem 
erro pelo receptor. Contar o número de transmissões requeridas. 
 
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(E7) Medir o tempo entre as chegadas de duas mensagens. 
(E8) Escolher um número aleatório X entre 0 e 1 e então escolher outro número aleatório Y 
entre 0 e X. 
(E9) Um componente é instalado em um sistema no tempo t = 0. Para t  0, X(t) = 1 se o 
componente está funcionando, e X(t) = 0 se o componente está fora de serviço. 
(E10) Numa linha de produção, em um período de 1 hora, 5 peças inspecionadas. As peças são 
etiquetadas com (D) se são defeituosas e com (P) se são perfeitas. 
 
 
 ESPAÇO AMOSTRAL 
 
 Um espaço amostral de um experimento é o conjunto formado por todos os resultados 
possíveis e depende do tipo de observação que é realizada quando da realização de experimento. 
Denota-se por S ou . 
 No experimento lança se uma moeda e: 
 (1) Registra-se a face voltada para cima, o espaço amostral é S = {C, K} 
 (2) Conta-se o número de caras, o espaço amostral é S = {0, 1} 
 
 Podemos observar que espaços amostrais podem ser numéricos (2) ou não-numéricos (1). No 
último caso, para se chegar a um modelo matemático é necessário transformar o espaço não-
numérico em um espaço numérico. 
 Além disso, os espaços podem ser: 
 Espaços discretos 
• Finitos. São os espaços contáveis. 
• Infinitos enumeráveis (seus elementos podem ser enumerados) 
 
 Espaços contínuos 
• Infinitos não-enumeráveis (ou não contáveis). 
 
 Na construção de modelos probabilísticos para espaços discretos usamos as técnicas de 
contagem provenientes da análise combinatória. No caso de espaços contínuos usamos resultados do 
cálculo diferencial e integral. 
 
 Veja a seguir os espaços amostrais associados aos exemplos dos diferentes experimentos 
aleatórios anteriores: (Pág. 04) 
 (E1), S1 = {0, 1, 2, ... }, infinito enumerável. 
 (E2), S2 = {t   / t  0}, infinito não-enumerável 
 (E3), S3 = {0, 1, 2, ..., N}, finito 
 (E4), S4 = {0, 1, 2, ..., 20} 
 (E5), S5 = {t   / t  0} 
 (E6), S6 = {1, 2, 3, ... } 
 (E7), S7 = {t   / t  0} 
 (E8), S8 = {(x, y) / 0  y  x  1} 
 (E9), S9 = { x / x = 1 para 0  t  to e x = 0 para t  to , onde to é o momento onde ocorre a 
falha} 
 (E10) = {DDDDD, ... (*), PPPPP}, neste caso o espaço possui 25 pontos e a árvore de 
possibilidades pode ser utilizada para obter os pontos em (*). 
 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
 Determinar o espaço amostra dos experimentos seguintes: 
(E1) Jogar uma moeda e observar a face voltada para cima. 
(E2) Lançar um dado e observar a face voltada para cima. 
 
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(E3) Jogar três moedas e observar as faces voltadas para cima. 
(E4) 6Jogar três moedas e observar o número de caras voltadas para cima. 
(E5) Jogar dois dados e observar a soma de pontos obtidos nas faces voltadas para cima. 
(E6) Observar o resultado de uma partida de futebol. 
(E7) Observar o resultado do concurso vestibular. 
(E8) Observar o resultado de um candidato que concorre a um cargo eletivo. 
(E9) Observar as possibilidades que o motorista tem quando chega a um cruzamento. 
(E10) Observar o número de filhos de uma pessoa. 
(E11) Uma lâmpada nova é ligada e observar o tempo gasto até queimar. 
(E12) Observar o número de peças defeituosas num intervalo de uma hora em determinada linha de 
produção. 
(E13) Numa entrevista telefônica com 200 assinantes, pergunta-se se o proprietário possui celular ou 
não. 
(E14) Um grupo com 4 pessoas: A, B, C e D sortear duas pessoas, uma após outra, com reposição. 
(E15) O mesmo enunciado anterior, mas sem reposição. 
(E16) Uma urna contém duas bolas brancas e três vermelhas. Retirar uma bola ao acaso da urna, se 
for branca, lançar uma moeda e se for vermelha ela é devolvida à urna e retirada outra bola. 
 
Respostas: 
(E1) → S1 = {c, k} 
(E2) → S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
(E3) → S3 = {CCC, CCK, CKC, KCC, CKK, KCK, KKC, KKK} 
(E4) → S4 = {0, 1, 2, 3} 
(E5) → S5 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 
(E6) → S6 = {Ganhou, Perdeu, Empatou} 
(E7) → S7 = {Aprovado, Reprovado} 
(E8) → S8 = {Ganhou, Perdeu} 
(E9) → S9 = {Direita, Esquerda, em Frente} 
(E10) → S10 = {0, 1, 2, ..., m} 
(E11) → S11 = {t Є !R | t ≥0} 
(E12) → S12 = {0, 1, 2, ..., m} 
(E13) →S13 = {Sim, Não} 
(E14) → S14 = {AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD} 
(E15) → S15 = {AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC} 
(E16) → S16 = {BC, BK, VB, VV} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EVENTOS 
 
 Para se tomar decisões estamos interessados em um conjunto de resultados (evento) do 
experimento aleatório. Por exemplo, no experimento E10 (pág. 5) a decisão pode ser: parar a linha de 
produção se mais de um defeito for registrado nas peças inspecionadas. 
 Um evento, então, é um subconjunto do espaço amostral, ou seja, é uma coleção de 
resultados. Todos os conceitos da teoria de conjuntos podem ser aplicados a eventos. São denotados 
pelas letras maiúsculas e iniciais do nosso alfabeto. 
 
 
 C 
 B K 
 
 B 
 
 V V 
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 São válidas, para os eventos, as operações com conjuntos. 
 
 DIAGRAMA DE VENN: é um diagrama que permite a representação geométrica dos 
conjuntos. O conjunto universal (neste caso o espaço amostral S) é representado por um retângulo, e 
os subconjuntos (neste caso os eventos) são representados por círculos. Na figura abaixo 
representam-se dois subconjuntos A e B sombreados, a área duplamente hachurada representa a 
interseção AB e a área sombreada total representa a união AB. 
 
 
 REUNIÃO OU UNIÃO 
 A união de dois conjuntos quaisquer A e B, denotada por A U B, é o conjunto dos elementos 
x tais que x pertence a pelo menos um dos dois conjuntos A e B, ou seja, x Є A U B se e somente se 
x Є A V x Є B. 
c 
 
 
INTERSECÇÃO 
A interseção de dois conjuntos quaisquer A e B, denotada por A∩B, é o conjunto dos 
elementos x tais que x pertence a ambos os conjuntos A e B. Em símbolos, A∩B = {x |(x Є A 
) /\ (x Є B)}, ou {x Є A | x Є B}. Se A∩B = ø, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. 
 
 
 COMPLEMENTAR DE A ( ) = S – A 
 
 _ 
DIFERENÇA (A – B) = (A∩B) = A – (A∩B) 
 Se A e B são conjuntos, o complemento relativo de B em A é o conjunto A – B, definido por: 
 
 A – B = {x Є A | x B} 
 
 
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 Dizemos que um evento ocorre quando um dos resultados que compõem ocorre. Veja os 
conceitos sobre tipos de eventos 
• Eventos mutuamente exclusivos , ou seja, quando um ocorre o outro 
não ocorre. 
• Eventos complementares tais que e 
• Eventos dependentes: quando a ocorrência de um influencia a probabilidade de 
ocorrência do outro. 
• Eventos independentes: quando a ocorrência de um em nada interfere na 
ocorrência do outro. 
 
 Alguns exemplos de eventos: 
 Para o E1 (pág. 5), podemos definir A1 = {nenhuma mensagem foi transmitida com erro} ou 
{todas sem erro}. Nesse caso, se são transmitidas N mensagens, A1 = {N}. 
 Para o E4 (pág. 5), podemos definir A4 = {no máximo 1 capacitor está fora das 
especificações}. Nesse caso os elementos de A4 são: A4 = {0,1}. 
 
 Propriedades: 
Seja S um conjunto e A, B e C subconjuntos de S, então, temos: 
 (a) Os elementos neutros: A U ø = A A ∩ S = A 
 (b) As leis de idempotência: A U A = A A ∩ A = A 
 (c) As leis comutativas: A U B = B U A A ∩ B = B ∩ A 
 (d) As leis associativas: A∩(B∩C) = (A∩B)∩C AU(BUC) = (AUB)UC 
 (e) As leis distributivas: AU(B∩C) = (AUB)∩(AUC) A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C) 
 
 TEOREMA DE MORGAN 
Para quaisquer dois conjuntos A e B: 
 ________ __ __ _______ __ __ 
a) A U B = A ∩ B b) A ∩ B = A U B 
 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
01) Desenhe um diagrama de Venn para: 
 _ _ _ _ _____ _ _ _ _ 
A  B, A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B , A U B, A U B, A U B e A U B. 
 
 Nos problemas de 02 a 10, desenhe diagramas de Venn e dê argumentos heurísticos 
(verdadeiros) de que cada uma das afirmações é plausível. 
 
02) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. 03) A U (B U C) = (A U B) U C. 
 _____ _ _ 
04) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C). 05) A U B = A ∩ B. 
 ________ __ __ 
06) A ∩ B = A U B. 07) A ∩ (B – A) = ø. 08) A U (B – A) = A U B. 
09) (A U B) – (A ∩ B) = (A – B) U (B – A). 
10) Se S = {1 a 10}, A = {1 a 5} e B = {4 a 7}, resolva os itens do ex. 01) exceto A  B. 
 
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DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADE: 
 
 Definição Clássica 
 
 Seja E um experimento aleatório e S um espaço amostral associado formado por “n” 
resultados igualmente prováveis. Seja A  S um evento com n(A) elementos. A probabilidade de A, 
denotada por P(A), lê-se “pê de A”, é definida como sendo: 
= 
 
 A definição clássica de probabilidade é bastante simples e intuitiva, sendo fácil de 
compreender e empregar. No entanto, possui severas limitações. 
 (i) A definição clássica é dúbia, já que a ideia de “igualmente provável” é a mesma de “com 
probabilidade igual”, isto é, a definição é circular, porque está definindo essencialmente a 
probabilidade com seus próprios termos. 
 (ii) A definição não pode ser aplicada quando o espaço amostral é infinito. 
 
 
 Definição Frequentista ou Frequencialista (Teorema de Bernoulli) 
 
 Em 1692, Jacob Bernoulli demonstrou um teorema segundo o qual, se a probabilidade de 
ocorrência de um evento num experimento aleatório é conhecida, é possível indicar qual é a 
expectativa da frequência da sua ocorrência, se o mesmo experimento for repetido um número 
considerável de vezes, sob condições semelhantes. Por outro lado, se a probabilidade de um evento é 
desconhecida, mas se o número de repetições do experimento aleatório é muito grande, a frequência 
relativa de ocorrência de tal evento pode ser utilizada como aproximação da probabilidade de 
ocorrência. 
 O teorema de Jacob Bernoulli para o cálculo das probabilidades é conhecido como “Lei dos 
Grandes Números”, que numa série imensa de experimentos, a frequência relativa de um evento se 
aproxima cada vez mais da sua probabilidade. 
 
onde n(A) é o número de vezes que A ocorreu e n é o número de vezes que o experimento aleatório 
foi repetido. 
 
 Quando se repete um experimento um número suficientemente grande de vezes (passagem 
ao limite), é possível, na equação acima, substituir a expressão “frequência relativa” por 
“probabilidade” com erro desprezível. 
 
 
 Em se tratando de Probabilidade e Estatística talvez o maior mérito da Lei dos Grandes 
Números seja o fato dela permitir, através da observação ou experimentação, a estimativa da 
probabilidade associada a fenômenos onde não há uma simetria que auxilie o uso da definição 
clássica. 
 
 Probabilidade subjetiva 
 
 É frequentemente a mais usada em sistemas baseados em conhecimento (para aplicação em 
inteligência artificial), representandoa crença de um determinado indivíduo na ocorrência de um 
evento. 
 
 DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE 
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 Em 1933 o matemático russo Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1982) lançou as bases 
axiomática da probabilidade e desenvolveu toda uma teoria que constitui um enorme avanço na área, 
estabelecendo um marco histórico. Independentemente de como são calculadas, as probabilidades 
devem satisfazer os axiomas (axiomas são proposições que são consideradas verdadeiras sem 
necessidade de demonstração). 
 Os Axiomas são: 
 Seja E um experimento aleatório com um espaço amostral associado S. A cada evento A  S 
associa-se um número real, representado por P(A) e denominado “probabilidade de A”, que satisfaz 
as seguintes propriedades (axiomas): 
 
 (1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 
 (2) P(S) = 1 
 (3) P(A U B) = P(A) + P(B), se A e B forem eventos mutuamente excludentes → A∩B = ø 
 (4) Se A1, A2, A3, ..., An , ... , forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então: 
 n n 
 P(U Ai) = ∑ P(Ai) 
 i=1 i=1 
 Dos axiomas têm-se os seguintes teoremas fundamentais da probabilidade: 
 
 TEOREMAS DE PROBABILIDADES: 
 
 Seja E um experimento aleatório, 
S o espaço amostral associado a E 
e A e B eventos, ou seja, A S e B S, então: 
 
(1) A probabilidade de um evento impossível é zero: 
 Demonstração: 
 Qualquer que seja o conjunto S, 
 
 
 , como S e são mutuamente excludentes, implica em: 
 
 
(2) Se A e são eventos complementares, então: 
Demonstração: 
 Qualquer que seja o evento A, 
 
 
 , onde A e são mutuamente excludentes e =1, axioma (2). 
 
 
 
 
(3) Se A  B, então P(A) ≤ P(B) 
Demonstração: 
 
, como A e são mutuamente excludentes, implica em: 
 
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 _ 
(4) Se A e B são dois eventos quaisquer, então: P(A – B) = P(A) – P(A ∩ B) = P(A ∩ B) 
 _ 
 OU P(B – A) = P(B) – P(A ∩ B) = P(A ∩ B) 
 
Demonstração: 
 
, como e são mutuamente excludentes, implica 
em: , então: 
 
 
 
 
 
 
(5) Se A e B são dois eventos quaisquer de S, então: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
 
Demonstração: 
 
 , como e B são mutuamente excludentes, implica em: 
, pelo teorema (4), temos: 
 
 ou 
 
 
 
 
Corolário do teorema (5) 
 
 P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P( AB) – P(BC) – P(AC) + P(ABC) 
 
 
 
 
 
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13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Extensão para n eventos: 
 
(6) Se A1, A2, A3, ..., An são eventos de um espaço amostra S, então: 
 n n n n 
 P(A1 U A2 U A3 U ... U An ) = P(U Ai) = ∑ P(Ai) + ∑ P(Ai ∩ Aj) + ∑ P(Ai ∩ Aj ∩ Ar) + ... + 
 i=1 i=1 i<j=2 i<j<r=3 
(– 1)k + 1P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An). 
 
 
 
 PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
 Na maioria das vezes, o fato de se saber que certo evento ocorreu faz com que se modifique 
a probabilidade que se atribui a outro evento. 
 Digamos que a probabilidade de ocorrer congestionamento em um sistema com três 
servidores de correio eletrônico seja p. Mas, se sabemos que um dos servidores está inoperante a 
probabilidade de congestionamento é maior que p. 
 Denota-se por P(A/B) e representa a probabilidade da ocorrência de A quando se sabe que o 
evento B já ocorreu, ou probabilidade de A condicionada a B. O cálculo é dado por: 
 
 , De outra forma: , 
 
 
PROBABILIDADE DA INTERSEÇÃO – EVENTOS DEPENDENTES 
 
 
 
 
 TEOREMA DO PRODUTO – EVENTOS INDEPENDENTES 
 
 Se A e B são eventos independentes, então a probabilidade de que ambos aconteçam ao 
mesmo tempo é necessariamente igual à probabilidade isolada de um deles ocorrer multiplicada pela 
probabilidade isolada do outro, ou seja, em notação matemática: 
 
 
 
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14 
 
 Se o evento A é estatisticamente independente do evento B. 
Isso implica ser B também estatisticamente independente de A. Para k eventos independentes, o 
teorema do produto fica. 
 
 
 
 TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
 
 Sejam eventos mutuamente exclusivos e exaustivos dois a dois, ou 
seja, (AiAj) = , para todo ij; tal que , com P(Ai) > 0. Agora 
considere que B seja um evento qualquer de S. 
 
 
 
 
 Então: 
 
 
 
 TEOREMA DE BAYES 
 
 É uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades condicionais. Em 
algumas análises de decisão, a informação probabilística pode ser obtida de uma ou mais 
fontes, sendo interessante combinar informações já conhecidas (as probabilidades a priori) 
com informações adicionais, calculando-se assim novas probabilidades (as probabilidades a 
posteriori). 
 Este teorema está intimamente relacionado com o teorema da probabilidade total. 
Supõem-se as mesmas condições. Neste caso, é possível determinar a probabilidade de que 
um dos Ai ocorra, sabendo que o evento B ocorreu. Veja a figura anterior. 
 
. 
 
 Desenvolvendo o denominador tem-se 
 
 ( j = 1, 2, ... , n) 
 
 
 Esta equação simples é a base de todos os sistemas modernos de Inteligência 
Artificial (IA) para inferência probabilística. Ela exige uma probabilidade condicional e duas 
incondicionais para calcular uma quarta probabilidade condicional. A regra de Bayes é útil 
na prática, pois, existem muitos casos em que fazemos boas estimativas de probabilidades 
para esses três números e precisamos calcular o quarto número. 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) Sejam “A” e “B” eventos de um mesmo espaço amostral, tais que P(B) = 0,5; P(A U B) 
= 0,6 e P(A) = 0,3, faça o diagrama de Venn e determine: 
a) b) P(A∩B) c) d) e) f) 
 
Resolução: 
 
a) = (T2) 1 –- 0,5 = 0,5 b) P(A∩B) = (T5) 0,3 + 0,5 – 0,6 = 0,2 
 
c) = (T4) 0,5 – 0,2 = 0,3 d) = (T2) 1 – 0,6 = 0,4 
 
 e) = (P.C.) 0,3/0,5 = 0,6 
 
f) = (Morgan) = (T2) 1 – 0,2 = 0,8 
 
 
 
2) P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5, qual a P(A U B) se “A” e “B” são: 
 a) mutuamente exclusivos? b) eventos independentes? 
 
Resolução: 
 
a) Para serem ME a , então pelo axioma 3 temos: P(AUB) = P(A) + P(B) 
P(AUB) = 0,3 + 0,5 P(AUB) = 0,8 
 
b) Para serem E.I. a , então pelo teorema 5 temos: 
 P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
 P(AUB) = 0,3 + 0,5 – 0,3.0,5 = 08 – 0,15 
P(AUB) = 0,65 
 
 
3) Dos 500 alunos matriculados, 155 mulheres cursam Cálculo (C), 150 mulheres cursam 
Estatística (E), 10 Física (F) e 35 Química (Q). 45 homens (H) cursam Cálculo e 70 
Estatística. Os alunos matriculados em Física são 30 e 50 em Química. Um aluno é sorteado 
ao acaso. 
 a) Apresente esses dados em uma tabela. 
 Encontre a probabilidade de: 
 b) não ser mulher. c) ser do curso de Estatística. 
d) ser mulher do curso de Química. e) ser mulher, se é de Física. 
f) ser do curso de Cálculo, dado que é homem. g) ser homem ou do curso de Química. 
Resolução:MAF1730 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - 2019/2 
 
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16 
 
a) b) P(M’) = 150 / 500 = 0,3 
 C E F Q Total 
Mulher (M) 155 150 10 35 350 c) P(E) = 220 / 500 = 0,44 
Homem (H) 45 70 20 15 150 
Total 200 220 30 50 500 d) P(M∩Q) = 35 / 500 = 0,07 
 
e) P(M/F) = 10/30 = 0,3333 f) P(C/H) = 45/150 = 0,3 g) P(HUQ)= (150+50-15)/500=0,37 
 
4) O sistema mostrado aqui opera somente se houver um caminho de componentes 
funcionais da esquerda para a direita. A probabilidade de cada componente funcionar é 
mostrada a seguir. Considere que os componentes funcionem ou falhem independentemente. 
Qual a probabilidade de que o sistema opere (O)? 
 
 Bloco A = A Bloco B = B Bloco C = C 
 
 
 0,9 
 C1 0,9 
 C4 
 0,8 0,99 
 C2 C6 
 0,95 
 0,9 C5 
 C3 
 
OBS.: O sistema pode ser dividido em blocos (A e B) que sejam exclusivamente 
subsistemas em paralelo. O resultado para um sistema em paralelo pode ser aplicado a cada 
bloco e os resultados dos blocos podem ser combinados pela análise para um sistema em 
série. Para o bloco A = A, a confiabilidade é obtida a partir do resultado para um sistema em 
paralelo como P(A) = P(C1UC2UC3) = 1 – = 1 – = 1 
– 0,1 . 0,2 . 0,1 = 1 – 0,002 = 0,998. 
 Similarmente, para o bloco B = B, a confiabilidade é P(B) = P(C4UC5) = 1 – 
 = 1 – = 1 – 0,1 . 0,05 = 1 – 0,005 = 0,995. 
 
 A confiabilidade do sistema é determinada a partir do resultado para um sistema em 
série. O sistema em série só opera(O) se: 
 
 P(O) = P(A∩B∩C) = P(A).P(B).P(C) P(O) = 0,998 . 0,995 . 0,99 P(O) = 0,9831. 
 
5) Um supermercado com o intuito de controlar a validade de seus produtos, toma 
diariamente e de forma aleatória, 3 embalagens de cada produto. O lote é todo vistoriado se 
for encontrado pelo menos 1 com data vencida. Na seção de frios tem 10 hamburguês, dos 
quais 2 estão vencidos. Ache a probabilidade deste lote ser totalmente vistoriado. R. 0,5333 
 
Resolução: 2 vencidos (V) + 8 não vencidos = 10 hamburguês 
 
P(≥1V) = 1 – = 
 
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6) Três máquinas “A”, “B” e “C” produzem respectivamente 40%, 50% e 10% da produção 
da empresa X. Historicamente as porcentagens de peças defeituosas (F = fora das 
especificações) produzidas em cada máquina são de: 5%, 3% e 3%. A empresa contratou um 
Engenheiro para fazer uma revisão das máquinas e no processo de produção. O Engenheiro 
pretende utilizar conhecimentos de Estatística para formalizar, calcular probabilidades e 
tomar decisões. 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Qual é a probabilidade de que um item da produção, selecionado ao acaso, esteja 
dentro das especificações? 
 c) Se um dos engenheiros pretende escolher uma máquina para manutenção durante 
o período de férias coletivas, qual deve ser escolhida? Justifique sua resposta. 
 
Resolução: 
 F = fora das especificações F’ = dentro das especificações 
a) 
b) P(F’) = P(A).P(F’/A) + P(B).P(F’/B) + 
 P(C).P(F’/C) 
 P(F/A) = 0,05 P(F’) = 0,4.0,95 + 0,5.0,97 + 0,1.0,97 
 P(F’/A) = 0,95 P(F’) =0,38 + 0,485 + 0,097 
 P(A) = 0,4 P(F’) = 0,962 
 P(F/B) = 0,03 
 P(B) = 0,5 P(F’/B) = 0,97 c) P(A/F) = P(A).P(F/A) : P(F) 
 P(A/F) = (0,4.0,05) : (1 - 0,962) 
 P(C) = 0,1 P(F/C) = 0,03 P(A/F) = 0,02 : 0,038 
 P(F’/C) = 0,97 P(A/F) = 0,5263 → P(A/F) = 0,5264 
 P(B/F) = P(B).P(F/B) : P(F) P(C/F) = P(C).P(F/C) : P(F) 
 
 P(B/F) = (0,5.0,03) : 0,038 P(C/F) = (0,1.0,03) : 0,038 
 
 P(B/F) = 0,015 : 0,038 P(B/F) = 0,3947 P(C/F) = 0,003 : 0,038 P(C/F) = 0,0789 
 
R. Escolher a máquina "A" para manutenção, pois a probabilidade de fora das 
especificações é maior. 
 
 Exercício para fixação: 
 __ 
Se P(A) = 0,55 e P(B) = 0,40, ache as probabilidades seguintes para que “A” e “B” 
sejam E.I. Responda todos os itens do exercício nº 12, da pág. 19, exceto m, n, o. 
 
 R. a) (T2) 0,45 b) (T2) 0,6 c) (EI) 0,33 d) (T4) 0,27 e) (T4) 0,22 
 f) (T5) 0,82 g) (T2) 0,18 h) (T2) 0,67 i) (T5 ou M) 0,67 j) (T5 ou M) 0,18 
 
 
 
 
 
 
 Neste texto discutimos os resultados introdutórios da teoria das probabilidades. 
Em seguida vamos estudar as variáveis aleatórias e alguns modelos de probabilidade 
discretos e contínuos. Para o estudo dos modelos discretos vamos usar resultados da 
análise combinatória e para o estudo dos modelos contínuos resultado do cálculo 
integral e diferencial. 
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 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
01) Dos seguintes valores, qual é probabilidade? Justifique cada item. 
a) 0,00001 b) – 0,2 c) 3/2 d) 3/4 e) √ 2 f) √ 0,2 R. Sim: a – d – f Não: b – c – e 
 
02) Dois eventos são complementares se, e somente se, a intersecção entre eles for vazia e a união 
der o espaço amostral. Considere o espaço amostral: S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
a) Sejam os eventos: A = {4, 6, 7} e B = {2, 3, 5, 8, 9}. Os eventos A e B são complementares? Faça 
os cálculos. R. Sim, ... 
b) Sejam os eventos: A = {4, 6} e B = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}. Os eventos A e B são complementares? 
Faça os cálculos. R. Não, pois A∩B = {6} ≠ { } 
 
03) Seja o seguinte espaço amostral: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. A probabilidade de sair um 
número ímpar(I) ou superior(S) a 6 é de 6/10 ou 0,6 ou 60%. Formalize, calcule e conclua. 
R. P(I U > 6) Sim, ... 
 
04) Se A, B e C forem eventos mutuamente excludentes, será possível obter: 
a) P(A) = 0,1, P(B) = 0,3 e P(C) = 0,5? Justifique. R. Sim 
b) P(A) = 0,3, P(B) = 0,4 e P(C) = 0,5? Justifique. R. Não, U > 1 
 
05) Se A, B e C forem eventos mutuamente excludentes, com P(A) = 0,2, P(B) = 0,3 e P(C) = 0,4, 
determine as seguintes probabilidades: 
a) P(AUB) R. 0,5 b) P(AUC) R. 0,6 c) P(BUC) R. 0,7 d) P(AUBUC) R. 0,9 
e) P(A∩B) R. φ f) P(A∩C) R. φ g) P(A∩B∩C) R. φ h) P[(AUB)∩C)] R. φ 
 
06) Qual a P(AUB), se P(A) = 0,33 e P(B) = 0,52, para que “A” e “B” sejam eventos: 
a) mutuamente exclusivos? R. 0,85 b) independentes? R. 0,6784 
 
07) P(A) = 0,6 e P(AUB) = 0,9 qual a P(B) se “A” e “B” são eventos: 
a) mutuamente exclusivos? R. 0,3 b) independentes? R. 0,75 
 
08) P(B) = 0,5 e P(A U B) = 0,6, qual a P(A) se “A” e “B” são: 
a) mutuamente exclusivos? R. 0,1 b) eventos independentes? R. 0,2 
 
09) Classifique os eventos em dependente e independente cada par de eventos: 
a) Assistir a aula de estatística. – Passar em um curso de estatística. R. D 
b) Furar um pneu no trajeto para a aula. – Acordar tarde demais para as aulas. R. I 
c) Eventos A e B, com P(A) = 0,40, P(B) = 0,60 e P(A∩B) = 0,20. R. D 
d) Eventos A e B, com P(A) = 0,90, P(B) = 0,80 e P(A∩B) = 0,72. R. I 
 
10) Se P(A) = 0,30, P(B) = 0,25, P(C) = 0,60, P(AUB) = 0,55 e P(BUC) = 0,70, determineas 
seguintes probabilidades: 
a) P( ) R. 0,70 b) P( ) R. 0,75 c) P( ) R. 0,40 
d) P(AUC), sendo eventos independentes. R. 0,72 
e) Os conjuntos A e B são mutuamente excludentes? R. Sim, ... 
f) Os conjuntos B e C são mutuamente excludentes? R. Não, ... 
 
11) Se P( ) = 0,8 e P(B) = 0,7, ache as probabilidades seguintes para que “A” e “B” sejam E.I.: 
 
a) P(A) = (......) b) P( )= (......) c) P(A∩B) = (.....) d) P(( ) = (.....) e) P( ) = (.....) 
 
f) P(AUB) = (......) g) P( ) = (......) h) P( ) = (.....) i) P(AUB) = (.....) j) P(A∩B) =(......) 
 
k) Montar uma tabela. l) Fazer o diagrama de Venn. 
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19 
 
“P” S 
 
 
 1,00 
 
 Se os eventos “A” e “B” são mutuamente exclusivos, então: 
 ____ 
m) P(AUB) = (......) n) P(AUB) = (.......) o) Faça o diagrama de Venn. 
 
 
R. a) (T2) 0,2 b) (T2) 0,3 c) (E.I.) 0,14 d) (T4) 0,56 e) (T4) 0,06 f) (T5) 0,76 g) 
(T2) 0,24 h) (T2) 0,86 i) (T5 ou M) 0,86 j) (T5 ou M) 0,24 m) (A3) 0,9 n) (T2) 0,1 
 
 
12) Se P(A) = 0,37 e P( ) = 0,58, ache as probabilidades seguintes para que “A” e “B” sejam E.I.: 
 _ 
a) P(A) = (......) b) P(B) = (......) c) P(A∩B) = (.....) d) P(( ) = (.....) e) P( ) = (.....) 
 _ _ _ _ 
f) P(AUB) = (.....) g) P( ) = (.....) h) P( ) = (.....) i) P(AUB) = (.....) j) P(A∩B) = (......) 
 
k) Montar uma tabela. l) Fazer o diagrama de Venn. 
 
“P” S 
 
 
 1,0000 
 
 Se os eventos “A” e “B” são mutuamente exclusivos, então: 
 ____ 
m) P(AUB) = (.......) n) P(AUB) = (.......) o) Faça o diagrama de Venn. 
 
 R. a) 0,63 b) 0,42 c) 0,1554 d) 0,2646 e) 0,2146 f) 0,6346 
 g) 0,3654 h) 0,8446 i) 0,8446 j) 0,3654 m) 0,79 n) 0,21 
 
13) Sejam P(A) = 0,50, P(B) = 0,40 e P(AUB) = 0,70. 
a) A e B são eventos mutuamente exclusivos? Por que? R. Não, ... 
b) A e B são eventos independentes? Por que? R. Sim, ... 
Calcule: b.1) P(A/B) R. 0,5 b.2) P(B/A) R. 0,4 
 
14) Os eventos A e B são independentes? Justifique. 
a) Se P(A/B) = 0,6, P(B) = 0,5 e P(A) = 0,6. R. Sim, ... 
b) Se P(A/B) = 0,4, P(B) = 0,8 e P(A) = 0,6. R. Não, ... 
 _____ 
15) Sejam “A” e “B” eventos de um mesmo espaço amostral tais que P(A U B) = 0,1; P(A) = 0,5 e 
P(B) = 0,7, faça o diagrama de Venn, monte uma tabela e determine: 
a) P(A U B) R. 0,9 b) P(A ∩ B) R. 0,3 c) P(B – A) R. 0,4 
 _ _ _ _ _ 
d) P(A ∩ B) R. 0,2 e) P(A ∩ B) R. 0,1 f) P(A/B) R. 0,3333 
 
16) Se P(A) = 0,3, P(B) = 0,2 e P(A∩B) = 0,1, determine as seguintes probabilidades: (Faça o 
diagrama de Venn e elabore uma tabela.) 
a) P( ) b) P c) P ) d) P(AUB) e) P( ) 
 
 S 
 
 
 
 S 
 
 
 
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20 
 
f) P( ) g) P( ) h) P(A/B) i) P( ) j) P( 
 
 R. a) 0,7 b) 0,8 c) 0,9 d) 0,4 e) 0,6 f) 0,1 g) 0,2 h) 0,5 i) 0,8 j) 0,5 
 
17) Se P(A) = 0,45, P(B) = 0,35 e P(A∩B) = 0,15, determine as seguintes probabilidades: (Faça o 
diagrama de Venn e elabore uma tabela.) 
a) P( ) R. 0,55 b) P R. 0,65 c) P ) R. 0,85 d) P(AUB) R. 0,65 
e) P( ) R. 0,35 f) P( ) R. 0,2 g) P( ) R. 0,3 h) P(A/B) R. 0,4286 
i) P( ) R. 0,7 j) P(B/A) R. 0,3333 k) P( ) R. 0,4615 
 
18) Se P(A) = 0,55, P = 0,4 e P(AUB) = 0,77, determine as seguintes probabilidades: (Faça o 
diagrama de Venn e elabore uma tabela.) 
a) P( ) R. 0,45 b) P(B) R. 0,6 c) P( ) R. 0,23 d) P(A∩B) R. 0,38 
e) P(B/A) R. 0,6909 f) P ) R. 0,62 g) P( R. 0,17 h) P( R. 0,22 
i) P( R. 0,83 j) P R. 0,3667 k) P( R. 0,425 l) P R. 0,4889 
 __ 
19) Sabendo-se que “A” e “B” eventos de um mesmo espaço amostral e que P(A ∩ B) = 1/2; P(B) 
= 1/3 e P(A) = 3/5, determine: 
a) P(A ∩ B) R. 0,1 b) P(A U B) R. 0,8333 c) P(A – B) R. 0,5 
 _ _ _ _ _ 
d) P(A/B) R. 0,75 e) P(B/A) R. 0,4167 f) P(A U B) R. 0,9 
 
20) Suponha que P(A/B) = 0,4, P(A) = 0,4 e P(B) = 0,5. Determine: (Faça o diagrama de Venn e 
elabore uma tabela.) 
a) P(A∩B) R. 0,2 b) P(B/A) R. 0,5 c) P(AUB) R. 0,7 
d) P( R. 0,3 e) P( R. 0,2 f) P( ) R. 0,3 
 
21) Suponha que P(A/B) = 0,8, P(A) = 0,5 e P(B) = 0,2. Determine: (Faça o diagrama de Venn e 
elabore uma tabela.) 
a) P(A∩B) R. 0,16 b) P(AUB) R. 0,54 c) P(B/A) R. 0,32 
d) P( R. 0,04 e) P( R. 0,34 f) P R. 0,425 
 
22) Uma montagem eletrônica é formada de 2 subsistemas A e B. De procedimentos de ensaio 
anteriores, as seguintes probabilidades se admitem conhecidas: _ 
P(A falhe) = 0,20 P(A e B falhem) = 0,15 P(B falhe sozinho) = 0,15 = P(A e B). 
Calcule as seguintes probabilidades: 
a) P(B falhe) b) P(AUB) c) P(A falhe sozinho) d) P(A falhe/ B tenha falhado) e) P(B/A) 
 R. a) 0,3 b) 0,35 c) 0,05 d) 0,5 e) 0,75 
 
23) Suponha que P(A/B) = 0,2, P = 0,3 e P(B) = 0,8. Qual é P(A)? R. 0,22 
 
24) Uma fábrica produz quatro tipos de pneus. A tabela seguinte mostra a produção de um dia. 
 
Tipo W X Y Z Total 
 Bom(B) 90 180 270 360 900 
 Ruim(R) 10 20 30 40 100 
Total 100 200 300 400 1.000 
 
 O fabricante escolhe ao acaso um pneu para testar. Ache a probabilidade de ser: 
a) ruim. R. 0,1 b) do tipo Z. R. 0,4 
 c) ruim do tipo Y. R. 0,03 d) do tipo W, sabendo que é bom. R. 0,1 
 e) bom, dado que é do tipo X.R. 0,9 f) não ser bom e do tipo Z. R. 0,04 
 
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25) A tabela seguinte lista a história de 940 pedidos de opcionais de computadores. 
 
Processador opcional de 
alta velocidade 
Memória extra Total 
Não Sim (B) 
Não 514 68 582 
Sim (A) 112 246 358 
Total 626 314 940 
 
 Faça A denotar o evento em que um pedido requer o opcional de processador de alta 
velocidade e faça B denotar o evento em que um pedido requer o opcional de memória extra. 
Determine as seguintes probabilidades: 
a) P(A∩B) R. 0,2617 b) P(AUB) R. 0,4532 
c) R. 0,8809 d) R. 0,5468 
e) Qual é a probabilidade de que um pedido requeira um processador de alta velocidade, dado que o 
pedido requer memória extra? R. 0,7834 
f) Qual é a probabilidade de que um pedido requeira memória extra, dado que o pedido requer um 
processador de alta velocidade? R. 0,6872 
 
26) A análise de eixos para compressor está resumida de acordo com as especificações: 
 
Obedece ao 
acabamento da 
superfície 
Obedece ao aspecto arredondado Total 
Sim (C) Não (D) 
Sim (A) 345 5 350 
Não (B) 12 8 20 
Total 357 13 370 
 
a) Se o eixo for selecionado ao acaso, qual será a probabilidade de que o eixo atenda aos requisitos 
de acabamento da superfície? R. 0,9459 
b) Qual é a probabilidade de que o eixo selecionado atenda aos requisitos de acabamento da 
superfície ou aos do aspecto arredondado? R. 0,9784 
c) Qual é a probabilidade de que o eixo selecionado atenda aos requisitos de acabamento da 
superfície ou não atenda ao aspecto arredondado? R. 0,9676 
d) Qual é a probabilidade de que o eixo relacionado atenda tanto aos requisitos de acabamento de 
superfície como aos de aspecto arredondado? R. 0,9324 
e) Se soubermos que um eixo satisfaz o requerimento de aspecto arredondado, qual será a 
probabilidade de que o eixo atenda aos requerimentos de acabamento na superfície? R. 0,9664 
f) Se soubermos que um eixo não satisfaz o requerimento de aspecto arredondado, qual será a 
probabilidade de que o eixo selecionado atenda aos requerimentos de acabamento na superfície? R. 
0,3846 
 
27) Amostras de uma peça de alumínio fundido são classificadas com base no acabamento (em 
micropolegadas) da superfície e nas medidas de comprimento. Os resultados se 100 peças são 
resumidas a seguir: 
 
Acabamento da 
superfície 
Comprimento Total 
Excelente (B) Bom (D) 
Excelente (A) 75 7 82 
Bom (C) 10 8 18 
Total 85 15 100 
 
 Determine as seguintes probabilidades: 
a) P(A) R. 0,82 b) P(B) R. 0,85 c) P(A/B) R. 0,8824 d) P(B/A) R. 0,9146 
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22 
 
e) Qual será a probabilidade de que o acabamento na superfície seja excelente e a probabilidade do 
comprimento ser excelente? R. 0,75 
f) Qual a probabilidade de a peça selecionada ter bom comprimento e ter bom acabamento na 
superfície? R. 0,08 
g) Se a peça selecionada tiver bom acabamento na superfície, qual será a probabilidade do 
comprimento ser excelente? R. 0,5556 
h) Se a peça selecionada tiver bom comprimento, qual será a probabilidade de que o acabamento na 
superfície seja excelente? R. 0,4667 
 
28) A Master Card Internacional efetuou um estudo de fraudes em cartões de crédito distribuídos 
entre as mulheres e homens. Os resultados estão consubstanciados na tabela a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Selecionado aleatoriamente um caso de fraude, qual a probabilidade de a fraude resultar de 
um cartão: (Formalize cada item.) 
a) falsificado? R. 0,1995 b) de um homem? R. 0,5962 
c) roubado ou de uma mulher? R. 0,7465 d) de um homem pedido por correio? R. 0,0117 
e) roubado, sabendo que é de um homem? R. 0,5748 
f) de uma mulher, se é um cartão falsificado? R. 0,2 
 
29) Suponha duas estações metereológicas A e B, em certa região. As observações mostraram que a 
probabilidade de chuva em A é 0,55 e em B é 0,4. A probabilidade de ocorrência de chuva 
simultânea nas duas regiões é 0,25. A partir destas informações, 
a) Monte uma tabela. b) Faça o diagrama de Venn. 
 Determine a probabilidade de: 
c) não ocorrer chuva em A. R. 0,45 
d) ocorrer chuva pelo menos em uma das duas regiões A ou B. R. 0,7 
 
30) A probabilidade de um aluno A resolver uma questão de prova é de 0,8, enquanto que a do outro 
B resolvê-la é 0,6. Qual é a probabilidade da questão ser resolvida se ambos tentam resolvê-la 
independentemente? R. 0,92 
 
31) Em uma pesquisa entre estudantes de uma faculdade, 1.162 afirmaram que “colavam” nos 
exames, enquanto 2.468 afirmaram não “colar”. Selecionado aleatoriamente um desses estudantes, 
determine de ele ou ela ter “colado” em um exame. R. 0,3201 
 
32) Em seu trajeto para a aula, um estudante deve passar por dois sinais de tráfego que operam 
independentemente. Para cada sinal, a probabilidade de “verde” é 0,4. Ele deve encontrar os dois 
sinais abertos para chegar a tempo na aula. 
a) Qual a probabilidade de não se atrasar? R. 0,16 b) Qual a probabilidade de se atrasar? R. 0,84 
 
33) Um estudante tem dificuldade com o mau funcionamento de despertadores. Em lugar de utilizar 
um despertador, ele decide utilizar 3. Cada despertador tem 96% de chance de funcionar. Qual a 
probabilidade de: 
a) todos funcionarem? R. 0,8847 b) somente o terceiro funcionar? R. 0,0015 
c) apenas 1 não funcionar? R. 0,1106 d) ao menos 1 despertador funcionar? R. 0,9999 
 
Tipo de fraude Mulher (M) Homem (H) Total 
Cartão roubado (R) 97 146 243 
Cartão falsificado (F) 17 68 85 
Pedido por correio (C) 47 5 52 
Outras (O) 11 35 46 
 Total 172 254 426 
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34) A probabilidade de que um pedido de um consumidor não seja despachado no tempo 
especificado é de 0,05. Um consumidor particular faz três pedidos, em longos intervalos de tempo, 
de modo que os eventos podem ser considerados independentes. Qual é a probabilidade de que: 
a) todos os pedidos sejam despachados no tempo especificado? R. 0,8574 
b) exatamente um pedido não seja despachado no tempo especificado? R. 0,1354 
 
35) Os problemas de assédio sexual têm recebido muita atenção nos últimos anos. Em uma 
pesquisa, 420 trabalhadores, dos quais 240 homens (H) consideram uma simples batida no ombro 
como uma forma de assédio (A) sexual, enquanto que 580 trabalhadores, dos quais 280 homens não 
consideram isso como assédio ( ). Monte uma tabela. Escolha aleatoriamente um dos trabalhadores 
pesquisados e determine a probabilidade de: (formalize cada item) 
a) obter alguém que não considere uma simples batida no ombro como uma forma de assédio sexual. 
R. 0,58 
b) ser mulher (M). R. 0,48 
c) ser um homem ou alguém que não considere uma simples batida no ombro como uma forma de 
assédio. R. 0,82 
d) ser um homem que considere uma simples batida no ombro como uma forma de assédio sexual. 
R. 0,24 
e) ser uma mulher, sabendo que ela não considera uma simples batida no ombro como uma forma de 
assédio sexual. R. 0,5172 
f) ser alguém que considere uma simples batida no ombro como uma forma de assédio sexual, dado 
que ela é mulher. R. 0,375 
 
36) Foi realizada uma pesquisa na indústria X, tendo sido feitas aos seus operários apenas duas 
perguntas. Dos operários, 92 responderam sim à primeira, 80 responderam sim à segunda, 35 
responderam sim a ambas e 33 responderam não a ambas as perguntas feitas. Monte uma tabela e o 
diagrama de Venn. Formalizee responda: 
a) Qual o número de operários da indústria? R. 170 
 Ache a probabilidade dos que responderam: 
b) sim à primeira pergunta. R. 0,5412 c) apenas uma sim. R. 0,6 
d) não à segunda pergunta. R. 0,5294 e) no máximo uma não. R. 0,8059 
f ) não à primeira e sim à segunda. R. 0,2647 g) pelo menos uma sim. R. 0,8059 
h) não à primeira, se responderam não à segunda. R. 0,3667 
i ) sim à primeira, dado que responderam não à segunda. R. 0,6333 
 
37) Há 80% de chance de uma máquina fabricar um prego sem defeitos. Se a fabricação de peças 
sucessivas constitui um processo independente, calcule a probabilidade de: (Formalize cada item.) 
a) duas peças numa sequência serem defeituosas. R. 0,04 
b) uma peça boa e uma peça defeituosa, nesta ordem. R. 0,16 
c) uma peça defeituosa e uma peça boa, em qualquer ordem. R. 0,32 
d) três peças boas em sequência. R. 0,512 
e) em três peças, pelo menos duas defeituosas. R. 0,104 
f) em cinco peças, apenas a segunda e a quarta não serem defeituosas. R. 0,0051 
 
38) As falhas de diferentes máquinas são independentes umas das outras. Se há quatro máquinas, e 
se suas respectivas probabilidades de falhas são 10%, 5%, 2% e 1% em determinado dia, formalize 
cada item e calcule as probabilidades de: 
a) nenhuma falhar. R. 0,8295 
b) nesta ordem, falhar a primeira, não falhar a segunda, falhar a terceira e não falhar a quarta. R. 
0,0019 
c) no máximo três não falharem. R. 0,1705 
 
39) Uma ferramenta de inserção robótica contém 10 componentes principais. A probabilidade de 
que qualquer componente falhe durante o período de garantia é 0,01. Considere que os componentes 
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falhem independentemente e que a ferramenta falhe se qualquer componente falhar. Qual é a 
probabilidade de que a ferramenta falhe durante o período de garantia? R. 0,0956 
 
40) Uma empresa produz 5% de peças defeituosas. O controle de qualidade da empresa é realizado 
em duas etapas independentes. A primeira etapa acusa uma peça defeituosa com 90% de acerto. A 
segunda etapa acusa uma peça defeituosa com 80% de acerto. Calcule a probabilidade de que: 
a) uma peça defeituosa passe pelo controle de qualidade. R. 0,02 
b) ao adquirir uma peça produzida por esta empresa, ela seja defeituosa. R. 0,001 
 
41) Um plano de amostragem consiste em se extrair uma amostra de tamanho n de um lote de 
tamanho N grande (neste caso supor que os itens da amostra foram retirados com reposição). Se 
nenhum dos itens verificados na amostra for defeituoso (D) aceitar o lote. Qual a probabilidade de se 
aceitar o lote se a: 
a) P(D) = 0,01 e n = 5. R. 0,9510 
b) P(D) = 0,10 e n = 5. R. 0,5905 
c) P(D) = 0,30 e n = 5. R. 0,1681 
d) Compare as probabilidades calculadas nos itens a, b e c e conclua. 
 
42) Suponha um sistema de produção onde se tenha duas etapas conectadas em série (suponha 
independência entre as etapas), para a fabricação de um alimento. A probabilidade de falha de cada 
etapa é, P(F1) = 0,02 e P(F2) = 0,05. Qual é a probabilidade de que o sistema de produção funcione? 
R. 0,931 
 
 
 
43) O sistema opera somente se houver um caminho de componentes funcionais da esquerda para 
direita. A probabilidade de cada componente funcionar é mostrada no diagrama. Considere que os 
componentes funcionem ou falhem independentemente. Encontre a probabilidade de que: 
a) o sistema opere. b) o sistema não opere. 
 A) B) 
 
 
 
R: A) a) 0,8928 b) 0,1072 B) a) 0,8862 b) 0,1138 
 
44) Suponha um sistema em série que tem três componentes C1, C2 e C3, cada um com uma 
probabilidade de funcionamento independente igual a 0,90, 0,99 e 0,96, respectivamente. Ache a 
probabilidade de: 
a) o sistema operar. R. 0,8554 b) o sistema não operar. R. 0,1446 
 
45) (Confiabilidade de sistemas) O Sistema de purificação de uma usina de tratamento de água tem 
três componentes em série (R1, R2, R3). As confiabilidades dos componentes são 0,9; 0,7 e 0,9, 
respectivamente. Qual é a probabilidade de falha no sistema de purificação se os componentes 
falham de forma independente? R. 0,433 
 
46) Num circuito elétrico, 3 componentes são ligados em série e trabalham independentemente um 
do outro. As probabilidades de falharem são 0,1; 0,1 e 0,2 respectivamente. Qual a probabilidade de 
que não passe corrente pelo circuito? R. 0,352 
 
47) (Confiabilidade de sistemas) A chance de falha mecânica num sistema de prevenção contra 
vazamento em uma usina nuclear é de 0,003. Um sistema sensorial adicional instalado para detectar 
qualquer falha no sistema mecânico e acionar um dispositivo para interromper qualquer vazamento 
tem 0,045 de probabilidade de falha. Qual a probabilidade de ocorrer um vazamento da usina? R. 
0,0001 
 
 0,02 0,05 
 E1 E2 
 0,93 0,96 
 C1 C2 
 0,955 0,928 
 C1 C2 
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48) O sistema opera somente se houver um caminho de componentes funcionais da esquerda para a 
direita. A probabilidade de cada componente funcionar é mostrada a seguir. (em paralelo) Considere 
que os componentes funcionem ou falhem independentemente. Encontre a probabilidade de: 
a) o componente C1 falhar. b) o componente C2 falhar. 
c) o sistema não operar. d) o sistema opere. 
 A) B) C) 
 
 
R. A) a) 0,1 b) 0,05 c) 0,005 d) 0,995 
 
 B) a) 0,075 b) 0,085 c) 0,0064 d) 0,9936 
 
 C) a) 0,15 b) 0,08 c) 0,012 d) 0,988 
 
49) (Confiabilidade/eventos independentes) O circuito abaixo opera somente se houver um 
caminho de equipamentos funcionais, da esquerda para direita. A probabilidade de que cada aparelho 
funcione é mostrada na figura. Suponha que os equipamentos funcionem ou falhem 
independentemente. Qual será a probabilidade de que o circuito opere (O)? R. 0,9865 
 
 Bloco A = A Bloco B = B Bloco C = C 
 
 
 0,9 
 C1 0,95 
 C4 
 0,9 0,99 
 C2 C6 
 0,95 
 0,9 C5 
 C3 
 
 
50) Suponham que um sistema em paralelo tenha três componentes C1, C2 e C3, cada um com uma 
probabilidade de funcionamento igual a 0,90, 0,99 e 0,93, respectivamente. Qual a probabilidade de 
o sistema operar? R. 0,9999. 
 
51) Um gerente de controle de qualidade utiliza equipamento de teste para detectar modems de 
computador defeituosos. Retiram-se aleatoriamente 3 modems diferentes de um grupo onde há 12 
defeituosos e 18 sem defeito. Qual a probabilidade de, sem reposição: 
a) todos os 3 serem defeituosos? R. 0,0542 
b) ao menos um dos modems escolhidos ser defeituoso? R. 0,7990 
c) somente 1 defeituoso? R. 0,4522 
d) apenas o primeiro modem sem defeito? R. 0,0975 
 
52) Uma arcada dentária é formada por 32 dentes, sendo superior direito e esquerdo e inferior 
direito e esquerdo com oito dentes cada. Três dentes têm manchas brancas, encontre a probabilidade 
de serem: 
 
 0,9 
 C1 
 
 
 0,95 
 C2 
 0,925 
 C1 
 
 
 0,915 
 C2 
 0,85 
 C10,92 
 C2 
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a) todas no superior direito. R. 0,0113 
b) nenhum inferior. R. 0,1129 
c) os três no mesmo local. R. 0,0452 
d) os dois no inferior direito e um superior esquerdo. R. 0,0151 
 
53) Uma indústria farmacêutica produz o creme dental “A”, que são distribuídos em embalagens de 
12 unidades. Para fazer o controle de qualidade um inspetor seleciona uma embalagem e dela extrai 
3 pastas que são testadas. No dia em que a embalagem selecionada houver 4 pastas danificadas, ache 
a probabilidade de serem testadas: 
a) nenhuma danificada. R. 0,2545 
b) exatamente uma danificada. R. 0,5091 
c) no máximo uma danificada. R. 0,7636 
 
54) Um pacote contém 4 sementes de flores vermelhas, 3 de flores amarelas, 2 de flores brancas e 
uma de flores cor de laranja. 
a) Escolhida ao acaso uma semente do pacote, qual a probabilidade de ser de flor vermelhas ou cor 
de laranja? R. 0,5 
b) Escolhida duas sementes: 
 b.1) Qual a probabilidade de serem ambas de flor amarela? R. 0,0667 
 b.2) E vermelhas? R. 0,1333 
c) Escolhidas 3 sementes, qual a probabilidade de 1 ser de flor laranja e 2 de amarela? R. 0,025 
 
55) (Probabilidade condicional) Em um lote de 100 chips semicondutores, 20 são defeituosos. Dois 
deles são selecionados ao acaso, sem reposição. 
a) Qual é a probabilidade de que o primeiro chip seja defeituoso? R. 0,2 
b) Qual é a probabilidade de que o segundo Chip seja defeituoso, dado que o primeiro deles foi 
defeituoso? R. 0,1919 
c) Como a resposta do item b mudaria se os chips selecionados fossem repostos antes da próxima 
seleção? R. 0,2 
 
56) Considere uma urna contendo 3 bolas pretas e 5 vermelhas. Retire duas bolas da urna, sem 
reposição. 
a) Obtenha o espaço amostral e atribua probabilidades. 
b) Mesmo problema para extrações com reposição. 
c) Calcule as probabilidades dos seguintes eventos, nos dois casos: com e sem reposição: 
 A: bola preta na primeira e segunda extração. R. 0,1406 e 0,1071 
 B: bola preta na segunda extração. R. 0,375 e 0,375 
 C: bola vermelha na primeira extração. R. 0,625 e 0,625 
 
57) Em uma pesquisa foram encontrados os seguintes resultados: 60% das pessoas entrevistadas 
bebem leite do tipo A; 50% do tipo B; 45% do tipo C; 20% bebem A e B; 30% bebem A e C; 15% 
bebem B e C e 8% bebem dos três tipos. Foram pesquisadas 5.000 pessoas. Faça o diagrama de 
Venn com o número de pessoas. Formalize e responda: a probabilidade dos que: 
a) não bebem nenhum dos três tipos de leite. b) bebem somente um tipo de leite. 
c) bebem exatamente dois tipos. d) bebem pelo menos um dos tipos de leite. 
e) bebem apenas o leite do tipo B. f ) bebem leite do tipo A. 
 R. a) 0,02 b) 0,49 c) 0,41 d) 0,98 e) 0,23 f) 0,6 
 
58) Num grupo com 80 jovens, 11 jovens gostam somente de esporte(E), 12 gostam somente de 
leitura(L), 13 gostam apenas de música(M), 20 jovens gostam de esporte, leitura e música, 25 gostam 
de esporte e leitura, 27 de leitura e música e 29 de esporte e música. 
a) Apresente os dados em diagrama de Venn com o número de pessoas. 
 Formalize e responda: a probabilidade de que um desses jovens, selecionado ao acaso, goste: 
 
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b) de música. R. 0,6125 c) de música e não goste de leitura. R. 0,275 
d) apenas de leitura. R. 0,15 e) de esporte e leitura e não goste de música. R. 0,0625 
f) de esporte e música. R. 0,3625 g) de música, se também gosta de esporte. R. 0,6444 
h) de esporte, sabendo que gosta de música. R. 0,5918 
 
59) Uma firma de consertos tem 3 empregados, “A”, “B” e “C”. As probabilidades de fazerem um 
conserto mal(M) feito são respectivamente de 1%, 2% e 3%. “A” e “B” repartem entre si 80% dos 
consertos e o restante de “C”. 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Qual a probabilidade de um conserto mal feito? R. 0,018 
c) Dado que o conserto foi mal feito, qual a probabilidade de ter sido consertado pelo empregado 
“B”? R. 0,4444 
d) Qual a probabilidade de ter sido consertado pelo empregado “C”, sabendo que o conserto não foi 
mal feito? R. 0,1976 
 
60) Uma loja possui 74% dos clientes do sexo feminino (F), destas 36% preferem efetuar pagamento 
de suas compras a prazo (P), enquanto que esta forma de pagamento é a preferida por 31% dos 
homens(H). 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Calcular a probabilidade de que o pagamento das compras seja efetuado a prazo. R. 0,347 
c) Se o cliente prefere o pagamento a prazo, qual a probabilidade de ser homem? R. 0,2323 
d) Qual a probabilidade de ser mulher, sabendo que o cliente prefere o pagamento à vista? R. 
0,7253 
e) Qual a probabilidade de ser homem, se ele prefere o pagamento à vista? R. 0,2747 
f) Com base nos resultados dos itens d e e, que conclusão tirar? R. 1 
 
61) Uma empresa de consultoria, especialista em resolver problemas relativos à lançamentos de 
novos produtos, classifica os problemas apresentados em três categorias A, B e C. 50% dos 
problemas são classificados na categoria A, 40% na categoria B e o restante na categoria C. A 
capacidade histórica de resolver (R) problemas das diversas categorias são de: 80% se o problema é 
da categoria A, 90% se for da categoria B e 10% da categoria C. 
a) Faça a árvore de possibilidades. 
b) Chegou um problema, qual a probabilidade de ser resolvido? R. 0,77 
c) Se foi resolvido, qual é a probabilidade de ser da categoria C? R. 0,0130 
d) Qual é a probabilidade de ser da categoria A, se não foi resolvido? R. 0,4348 
 
62) Em uma grande fabrica antiga, as verificações in loco determinaram que a probabilidade de 
fiação defeituosa é de 0,20. Dado que uma fábrica tenha fiação defeituosa, a probabilidade de 
ocorrer um incêndio é de 0,7 e, se a fiação não for defeituosa, a probabilidade de um incêndio fica 
reduzida para 0,1. Um incêndio recente queimou gravemente um operário e causou prejuízos. 
Embora não haja provas, o gerente de operações foi solicitado por uma companhia de seguros para 
calcular a probabilidade do incêndio ter sido provocado por fiação defeituosa. Qual é então, esta 
probabilidade? R. 0,6364 
 
63) Uma companhia petrolífera obteve a concessão para explorar certa região. Estudos anteriores 
estimam que a probabilidade de existir (E) petróleo nessa região em 0,20. A companhia pode optar 
por um teste, sendo que, se realmente existir petróleo, esse teste dirá com probabilidade de 0,80 que 
existe (foi favorável F), e, se realmente não existe, dirá com probabilidade de 0,70 que não existe 
(teste foi desfavorável). 
a) Faça a árvore de possibilidades 
b) Ache a probabilidade do teste ser favorável R. 0,4 
c) Se o teste for desfavorável, qual é a probabilidade de realmente existir petróleo na região? R. 
0,0667 
 
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64) Um programa computacional para detectar fraudes em cartões telefônicos dos consumidores 
rastreia, todo dia, os números de áreas metropolitanas de onde as chamadas originam. Sabe-se que 
1% dos usuários legítimos faz suas chamadas de duas ou mais (≥ 2) áreas metropolitanas em um 
único dia. Entretanto, 30% dos usuários fraudulentos fazem suas chamadas de duas ou mais áreas 
metropolitanas em um único dia. A proporção de usuários fraudulentos (F) é de 0,01%. Se o mesmo 
usuário fizer suas chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um único dia,qual será a 
probabilidade de que seja um usuário fraudulento? R. 0,0030 
 
 
 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
01) O departamento de engenharia industrial da Companhia XYZ está realizando um estudo amostral 
do trabalho de oito técnicos. O engenheiro deseja aleatorizar a ordem de visita às áreas de trabalho 
dos técnicos. De quantas maneiras ele pode organizar essas visitas? R. 40.320 
 
02) Numa batelada de 15 peças moldadas por injeção, 5 delas sofreram excessivo (E) encolhimento. 
Se três peças forem escolhidas, ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de que somente a 
terceira tenha sofrido excessivo encolhimento? R. 0,1648 
 
03) Um lote de 15 calculadoras contém 5 delas com defeitos(D). Suponha que duas calculadoras 
sejam selecionadas, ao acaso, sem reposição no lote. Qual a probabilidade de que todas as duas 
sejam defeituosas? R. 0,0952 
 
04) Uma batelada de 50 reservatórios para suco congelado de laranja contém 9 defeituosos (D). Da 
batelada, quatro são selecionados ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de que apenas o 
primeiro seja defeituoso? R. 0,1041 
 
05) Numa batelada de 25 peças moldadas por injeção, 4 delas sofreram excessivo encolhimento (E). 
Encontre a probabilidade e sem reposição; 
a) se duas peças foram selecionadas ao acaso, a primeira peça não tenha sofrido excessivo 
encolhimento e segunda peça tenha sofrido excessivo encolhimento. R. 0,14 
b) se três peças foram escolhidas ao acaso, a primeira e a segunda não tenham sofrido excessivo 
encolhimento e a terceira peça tenha sofrido excessivo encolhimento. R. 0,1217 
 
06) Sob a hipótese de que certo programa de treinamento melhora o rendimento de 80% das pessoas 
a ele submetidas, qual a probabilidade de, numa amostra de quatro pessoas submetidas a este 
programa de treinamento, apenas a primeira não apresentar melhora(M) no rendimento? R. 0,1024 
 
07) A probabilidade de que um pedido de um consumidor seja despachado(D) no tempo especificado 
é de 0,95. Um consumidor particular faz três pedidos, em longos intervalos de tempo, de modo que 
os eventos podem ser considerados independentes. Qual a probabilidade de que todos os pedidos 
sejam despachados no tempo especificado? R. 0,8574 
 
08) Os problemas de assédio sexual têm recebido muita atenção nos últimos anos. Foram 
pesquisadas 20 mulheres das quais 5 já sofreram algum tipo de assédio(A) sexual. 
 A) Eventos dependentes B) Eventos independentes 
a) Suponha que 3 mulheres sejam selecionadas ao acaso, ache a probabilidade de que todas não 
tenham sofrido assédio sexual. R. 0,3991 0,4219 
 
MAF1730 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - 2019/2 
 
MARIA JOSÉ PEREIRA DANTAS E MARIA HELENA RAMOS BITTENCOURT 
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b) Escolhida 4 mulheres, encontre a probabilidade de que apenas a 3ª. tenha sofrido assédio sexual. 
R. 0,1174 0,1055 
 
09) Uma placa de aço contém 30 parafusos. Considere que 25 parafusos estejam apertados (A) até o 
limite apropriado. Quatro parafusos são selecionados ao acaso, para verificação do torque. Qual é a 
probabilidade de que apenas o primeiro parafuso selecionado esteja apertado até o limite apropriado? 
a) sem reposição. b) com reposição. R. a) 0,0023 b) 0,0039 
 
10) Das 50 peças fabricadas em um dia contém 45 peças que encontram (E) os requisitos esperados 
pelos consumidores. São selecionadas 3 peças, ao acaso. A probabilidade de serem encontradas: 
 A) com reposição. B) sem reposição, 
a) todas as peças com os requisitos esperados pelos consumidores. R. 0,729 0,724 
b) a primeira encontra os requisitos e as outras não, nesta ordem. R. 0,009 0,0077 
 
11) Uma ferramenta de inserção robótica contém 4 componentes (C1, C2, C3 e C4) principais que 
funcionam em série. As probabilidades de funcionamento dos componentes são: 0,90, 0,92, 0,93 e 
0,99 respectivamente. Considerando que os componentes falhem independentemente, qual é a 
probabilidade de que a ferramenta falhe(F) durante o período de garantia? R. 0,2377 
 
12) Um sistema de frenagem é composto por um subsistema eletrônico (E), com uma confiabilidade 
de 0,97, um subsistema hidráulico (H), com uma confiabilidade de 0,96, um subsistema mecânico 
(M), com uma confiabilidade de 0,95. O subsistema é em paralelo. Falham ou funcionam 
independentemente. Qual a probabilidade do sistema de frenagem funcionar (F)? R. 0,9999 
 
13) Suponha que o diagrama seguinte é de um sistema elétrico e que cada componente falhe ou 
funcione independentemente. A probabilidade de funcionamento de cada componente consta no 
diagrama. Qual a probabilidade de que o sistema funcione? a) R. 0,7776 b) R. 0,8037 c) 0,7511 
 
a) 
 0,8 
 C 
 0,9 0,9 
 A B 
 0,8 
 D 
 
b) 
 0,7 
 B 
 0,95 0,9 
 A D 
 0,8 
 C 
 
c) 
 0,7 0,7 
 A B 
 
 
 0,8 0,8 0,8 
 C D E 
 
 
 
MAF1730 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - 2019/2 
 
MARIA JOSÉ PEREIRA DANTAS E MARIA HELENA RAMOS BITTENCOURT 
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14) Os dados de 200 peças usinadas estão resumidos a seguir: 
 
Condição da 
extremidade 
Profundidade do orifício Total 
Acima do desejado (C) Abaixo do desejado (B) 
 Grosseira (G) 15 10 25 
 Moderada (M) 30 20 50 
 Lisa (L) 55 70 125 
 Total 100 100 200 
 
a) Qual é a probabilidade de que uma peça selecionada tenha uma extremidade em condição 
grosseira e uma profundidade do orifício abaixo do valor alvo? R. 0,05 
b) Qual é a probabilidade de que uma peça selecionada tenha uma extremidade em condição 
moderada ou uma profundidade do orifício acima do valor alvo? R. 0,6 
c) Qual é a probabilidade de que uma peça selecionada tenha uma extremidade em condição lisa, se 
tem uma profundidade do orifício abaixo do valor alvo? R. 0,7 
 
15) Os dados de 600 teclados de terminais de computador que são produzidos pelas máquinas estão 
resumidos a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o cliente recebe os teclados, eles são escolhidos ao acaso para a instalação. Encontre 
a probabilidade de um teclado escolhido: 
a) tenha sido produzido pela máquina Z e seja ruim. R. 0,05 
b) seja bom ou tenha sido produzido pela máquina X. R. 0,9083 
c) seja ruim, sabendo-se que foi produzido pela máquina Y. R. 0,1 
 
16) Uma pesquisadora está estudando os rendimentos de pessoas que trabalharam em 2007. Veja a 
tabela abaixo. Formalize cada item. 
 
 
 
 
 
 
 
 Ache a probabilidade de um indivíduo sorteado se encontrar: 
a) com trabalho formal. R. 0,6136 
b) com renda alta. R. 0,4527 
c) com trabalho informal. R. 0,3864 
d) com renda média e trabalho formal. R. 0,2019 
e) com renda alta e trabalho formal. R. 0,3549 
f) o trabalho informal e com renda alta. R. 0,0978 
g) com renda alta, sabendo que é do trabalho formal. R. 0,5784 
h) com renda alta, sabendo que é do trabalho informal. R. 0,2531 
i) desenvolve trabalho formal, se possui renda baixa. R. 0,2769 
j) desenvolve trabalho informal, sabendo que possui renda alta. R. 0,2160 
k) dado que possui renda média, desenvolve trabalho informal. R. 0,4101 
l) dado que é informal, possui renda média. R. 0,3633 
 
 
 Variável Máquina Total 
X Y Z 
 Bom (B) 45 225 270 540 
 Ruim (R) 5 25 30 60 
 Total 50 250 300 600 
TRABALHO Renda Total 
 Baixa (B) Média (M) Alta (A) 
Formal (F) 36 128 225 389 
Informal (I) 94 89 62 245 
 Total 130 217 287 634 
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