EB2 Cap 1 - VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO

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LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL 
ESTRUTURAS DE BETÃO 2 
Ano Lectivo 2002/03 
 
 
 
VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO 
 
 
 
 
Prof. Joaquim A. Figueiras 
 
 
 
 
Faculdade de Engenharia da U.P. 
DECivil Junho 1997 
 
Verificação aos Estados Limites de Utilização 
 
ÍNDICE 
 
1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................1 
1.1 ACÇÕES E EFEITOS DAS ACÇÕES .................................................................2 
1.1.1 Acções ...................................................................................................2 
1.1.2 Combinações de acções.........................................................................3 
1.1.3 Métodos de análise para os Estados Limites de Utilização...................4 
1.2 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS..................................................................5 
2. LIMITAÇÃO DE TENSÕES EM CONDIÇÕES DE SERVIÇO........................................12 
2.1 LIMITAÇÃO DE TENSÕES DE TRACÇÃO NO BETÃO ................................12 
2.2 LIMITAÇÃO DAS TENSÕES DE COMPRESSÃO NO BETÃO ......................13 
2.3 LIMITAÇÃO DAS TENSÕES NA ARMADURA ..............................................15 
2.4 MÉTODOS DE VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES ..............................................15 
2.4.1 Dispensa de verificação.........................................................................15 
2.4.2 Métodos para o cálculo das tensões ......................................................16 
3. ESTADOS LIMITES DE FENDILHAÇÃO........................................................................22 
3.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS...............................................................................22 
3.1.1 Limites de abertura de fendas................................................................22 
3.1.2 Causas da fendilhação ...........................................................................24 
3.1.3 Comportamento em estado fendilhado..................................................30 
3.1.4 Mecanismo de formação de fendas .......................................................32 
3.1.5 Cálculo da abertura de fendas ...............................................................35 
3.1.5 Limites a considerar ..............................................................................38 
3.2 ÁREAS MÍNIMAS DE ARMADURA.................................................................39 
3.2.1 Solicitações devidas a deformações impostas .......................................39 
3.2.2 Critério de não plastificação da armadura.............................................42 
 
3.2.3 Armaduras mínimas (de acordo com o EC2) ........................................44 
3.3 PROCESSO SIMPLIFICADO DE CONTROLO DA FENDILHAÇÃO .............49 
3.4 ARMADURA COMPLEMENTAR PARA CONTROLAR A FENDILHAÇÃO52 
3.5 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO............................................................................54 
3.5.1 Parede sujeita à restrição de deformações impostas .............................54 
3.5.2 Lajes com deformação impedida...........................................................56 
3.5.3 Laje duma varanda ................................................................................57 
3.5.4 Laje de piso de um edifício ...................................................................58 
3.5.5 Laje de cobertura em terraço.................................................................59 
4. ESTADOS LIMITES DE DEFORMAÇÃO........................................................................61 
4.1 INTRODUÇÃO.....................................................................................................61 
4.2 PRINCÍPIO DO CÁLCULO “EXACTO” ............................................................62 
4.2.1 Modelo idealizado para o cálculo de Deformações em Elementos 
 Fendilhados sujeitos ao Esforço Axial e/ou Momentos flectores.........63 
4.2.2 Curvatura média - flexão simples..........................................................68 
4.2.3 Cálculo das deformações por integração - princípios ...........................69 
3.2.4 Deformações reais .................................................................................70 
4.3 MÉTODO BILINEAR - CÁLCULO DE FLECHAS ...........................................71 
4.3.1 Flexão simples - simplificações utilizadas ............................................73 
4.3.2 Cálculo da flecha provável ....................................................................74 
4.3.3 Extensão do método ao cálculo de flechas em lajes..............................77 
4.4 MÉTODO DOS COEFICIENTES GLOBAIS - ESTIMATIVA DE FLECHAS .78 
4.5 EXEMPLO............................................................................................................81 
4.6 RAZÕES PARA O CONTROLO DAS DEFORMAÇÕES..................................83 
4.7 ESTIMATIVA DA FLECHA A LONGO PRAZO...............................................87 
4.7.1 Exemplo de aplicação............................................................................89 
4.8 VERIFICAÇÃO PRÁTICA DAS FLECHAS.......................................................90 
4.8.1 Limites da relação vão/altura útil ..........................................................90 
 
 
VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO 
 
Joaquim A. Figueiras 
1. INTRODUÇÃO 
O Eurocódigo 2 trata com algum detalhe os três estados limites de utilização mais comuns: 
- limitação de tensões em serviço (cláusula 4.4.1); 
- limitação da fendilhação (4.4.2); 
- limitação da deformação (cláusula 4.4.3 e Anexo 4). 
Outros estados limites particulares como sejam os que se referem às vibrações ou 
impermeabilidade das estruturas não são tratados no Eurocódigo 2. 
Os estados limites de utilização condicionam também o dimensionamento das estruturas de 
betão, podendo determinar as dimensões das secções de betão e a quantidade e disposição das 
armaduras. A sua maior ou menor influência no dimensionamento, depende do tipo de acções 
(forças, deformações impostas, pré-esforço) e dos requisitos exigidos para os elementos 
estruturais, particularmente no que se refere à aparência, condições de utilização e 
durabilidade. 
O Eurocódigo 2 trata conjuntamente as disposições a aplicar a elementos estruturais de betão 
armado e de betão pré-esforçado. Em geral as verificações em serviço são mais 
condicionantes para as estruturas pré-esforçadas. 
O dimensionamento para qualquer estado limite requer a definição de: 
a) as acções e combinações apropriadas e os métodos de análise estrutural de modo 
que os efeitos das acções (esforços, tensões, deformações) possam ser calculados; 
b) as propriedades dos materiais a serem consideradas na verificação; 
c) critérios que definam os limites de desempenho adequado; 
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d) os métodos de cálculo e de verificação dos parâmetros de desempenho. 
A secção 4.4 do Eurocódigo 2 trata apenas dos pontos c) e d), podendo o ponto a) ser 
encontrado no Capítulo 2 (cláusulas 2.3.4 e 2.5.3.1) e o ponto b) no Capítulo 3. Os dois 
primeiros pontos irão ser sumarizados nesta introdução. 
Em muitos casos não será necessário efectuar cálculos explícitos para os estados limites de 
utilização, pois o Eurocódigo 2 apresenta processos simples de verificação para os três estados 
limites tratados. 
1.1 ACÇÕES E EFEITOS DAS ACÇÕES 
1.1.1 Acções 
Na verificação aos estados limites de utilização todas as acções, quer directas (cargas 
aplicadas), quer indirectas (deformações impedidas) devem ser tomadas em conta. 
As acções indirectas provêm de deformações impostas à estrutura, devido por exemplo à 
variação de temperatura, à retracção do betão, a assentamento de apoios, à fluência diferencial 
do betão, etc. Trata-se geralmente de deformações impedidas, isto é, deformações impostas à 
estrutura que não se puderamilustra o ensaio de um tirante 
sujeito a deformação imposta, com armadura superior à mínima, em que a formação de 
sucessivas fendas com o incremento da solicitação não faz variar de forma sensível o esforço 
máximo aplicado. 
 
Fig. 3.23 - Comportamento de um tirante sujeito a deformação imposta. 
No caso de fendilhação provocada predominantemente por carregamento o seu controlo fica 
verificado se se satisfizer o especificado na figura 3.22 ou na figura 3.24. 
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Fig. 3.24 - Afastamento máximo dos varões de alta aderência. Controlo da fendilhação para cargas 
aplicadas. 
As tensões na armadura devem ser calculadas para o betão armado com base nas acções quase 
permanentes, e para o betão pré-esforçado com base nas acções frequentes. 
O Eurocódigo 2 extende este tipo de controlo simplificado para o caso de fendilhação devida 
ao esforço transverso e à torção, mas este controlo pode ser efectuado mais simplesmente 
cumprindo as disposições construtivas do Capítulo 5 do EC2. 
3.4 ARMADURA COMPLEMENTAR PARA CONTROLAR A FENDILHAÇÃO 
Casos práticos nos quais é necessário prever uma armadura complementar (construtiva) da 
armadura principal para controlar a fendilhação. 
.1 Secção com abas em zona traccionada 
 
Fig. 3.25 - Controlo da fendilhação em secções com abas à tracção. 
Tensão na 
armadura 
Espaçamento máximo dos varões (mm) 
(MPa) flexão 
simples 
tracção 
simples 
secções pré-
esforçadas 
(flexão) 
160 
200 
240 
280 
320 
360 
300 
250 
200 
150 
100 
50 
200 
150 
125 
75 
-- 
-- 
200 
150 
100 
50 
-- 
-- 
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.2 Armadura de pele - controla a abertura de fendas à superfície da secção 
 
 
Fig. 3.26 - Disposição duma armadura de pele para controlar a fendilhação. 
.3 Controlo da fendilhação na alma de vigas 
 
Fig. 3.27 - Controlo da fendilhação na alma de vigas de grande altura. 
 
Fig. 3.28 - Altura hw sobre a qual é necessário colocar armadura de alma. 
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3.5 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 
3.5.1 Parede sujeita à restrição de deformações impostas 
Consideremos uma parede de 20cm de espessura fazendo parte de um reservatório. A parede 
deve ser armada horizontalmente de tal maneira que a abertura característica das fendas seja 
inferior a 0.15mm afim de assegurar a estanqueidade desejada. 
 
 
 
Armadura insuficiente. Pequeno número de 
fendas largas. 
 
Armadura horizontal suficiente. Numerosas 
fendas com aberturas pequenas. 
Fig. 3.29 - Parede de reservatório. 
Aço A500 fsyk = 500 MPa c = 2.0cm 
Consideremos betão C25/30, fctm = 2 6. MPa . 
Vejamos primeiro qual a percentagem mínima de armadura, 
ρmin . . . . %= = =0 8 0 8 2 6
500
0 42f
f
ctm
yk
 
a área As,min
2. . cm / m= × × =0 0042 20 100 8 4 , em princípio não será suficiente para limitar a 
fendilhação ao desejado (wk = 0.15mm) mas poderá servir de ponto de partida. Varões de 
10mm de diâmetro afastados de 17.5cm em cada face correspondem ao valor de As,min. 
Da figura 3.22 (ou do quadro 4.11 do EC2) tiramos que a tensão na armadura no caso de se 
utilizar φ12 e abertura de fendas de 0.2mm (secções pré-esforçadas), não deve ultrapassar 
σs = 240MPa. 
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O esforço de tracção horizontal que provoca o início da fendilhação é dado por: 
N A fcr ct ctm≅ = × × =0 2 1 0 2 6 0 52. . . . MN/ m 
A Ns cr s≥ = ≅ ×
≅
−/ . / m / m
cm / m
2
2
σ 0 52 240 22 10
22
4
 
Seja φ12//0.10 em cada face. Calculemos a abertura característica das fendas pela expressão 
da secção 3.1.5. 
 As = × × =1 13 10 2 22 6. . cm / m2 
 ( ) %74.1
25.22/2.12
6.22/ =
×+
== ctsr AAρ 
 σ σsr s= =
× ×
=
2 6 20 100
22 6
230.
.
MPa 
 ( ) o%575.05.01
200000
230
=−=smε extensão média da armadura 
 srm = + × × = + =50 0 25 0 8 1 0 12
0 0174
50 138 188. . .
.
mm distância média entre fendas 
 w wk m= = × × =1 3 1 3 188 0 000575 0 14. . . . mm 
Não ultrapassa a abertura de fendas que foi estipulado para assegurar estanqueidade. 
3.5.2 Lajes com deformação impedida 
Considere o esquema estrutural indicado na figura correspondente a uma laje maciça de 
0.25m de espessura que se apoia em duas fiadas de pilares espaçados de 3.0m e encastrada nas 
extremidades (com impedimento à deformação longitudinal). Calcule a armadura adicional 
necessária para controlo da fendilhação. 
 
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3.0m
1.5m
6.0m
1.5m
A
A
C20/25
A400
CORTE A-A
h=0.25m
f =13.3MPacd
= 2.2MPactmf
= 2.8MPactk0.95f
= 400MPasykf
3.0m3.0m3.0m3.0m3.0m 
Fig. 3.30 - Laje de piso impedida de se deformar. 
Acções: 
 Gpp = 6 25. kN/ m2 
 Grev.
2. kN/ m= 1 5 
 Q = 6 0. kN/ m2 
Retracção + variação de temperatura 
 ∆T C= − 30º 
 εct = − × = − ×− −30 10 0 3 105 3. 
 
σ εc ce c ef
ctm
E
f
=
= + × × ×
= >
−
,
.
MPa
0 3 10 20 10
6
3 3 
 
Laje 
 psk = 6.25 (p.p.) + 1.5 (rev.) + 6.0 (sob.) = 13.75 kN/m2 
 As
+ = 70/0.95×0.225×34.8 = 9.35 cm2/m (φ16+φ12 (alt.)/0.15) 
 As
− = 23/0.95×0.225×34.8 = 3.12 cm2/m (φ8//0.15) 
Viga 
-23
+70
-23
M = pl /122±
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 psd = 13.75×1.5×4.5 = 92.8kN/m 
 MSd =
×
≅
92 8 3 0
12
70
2. . kN.m 
 ( )165cm54.9 2 φ≅±
sA 
Total 
 
( )( )lajevigas
cm12.538
5
35.954.94 2
, =×+×=total
longsA
 
 As,min
fend. 2. . . . cm= × × × × =0 8 1 0 2 8
400
25 900 126 0 
 As,min
2. cm / m= 14 0 (longitudinal) φ12//0.15 em cada face. Armadura muito superior 
 à armadura de cálculo. 
3.5.3 Laje duma varanda 
 
Fig. 3.31 - Laje de varanda sujeita a variação de temperatura. 
Betão: B25 (C20/25) 
Aço: A500 (S500) 
 ε αi T T= ⋅ = × = ×− −∆ 10 30 0 3 105 3. 
 ( )ctmicc fE =>=×××=⋅= − 2.2MPa6103.01020 33εσ 
 
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 ρ
σmin
long ,min , . . . . . %= = = ×
×
=
A
A
k k
fs
ct
c
ct ef
s
0 8 1 0 1 3 2 2
500
0 46 
 As,min
2. cm / m= 9 15 
 φ10//0.15 em cada face 
3.5.4 Laje de piso de um edifício 
 - Deformação impedida por paredes 
 - Zona enfraquecida por abertura 
 
Fig. 3.32 - Laje de piso com zona enfraquecida. 
 ε i = − 0 3. %o 
 Ec eq, . GPa= 12 
(Exemplo a resolver) 
 
 
 
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3.5.5 Laje de cobertura em terraço 
Laje maciça armada numa só direcção: 
h = 0.24; d = 0.205m 
Acção de 0.50m de terra 
Betão C25/30 
Aço: A500 
( ) ( ) ( )[
( )] 2kN/m3.31sobrecarga0.25.1
terras0.10.rev5.0.p.p0.635.1
=×+
++=sdq
 
mSd
− ≅ 100 kN.m/ m; As
− ≅ 12 5. cm / m2 ; seja φ16//0.15 
armadura na face superior nos apoios de continuidade 
As = 13 4. cm / m2 . 
Verifiquemos se esta armadura é suficiente e com espaçamento adequado para satisfazer as 
exigências em relação à fendilhação. 
Os momentos actuantes para combinações quase permanentes de acções estão ilustradas na 
figura 3.33. 
 
 
Fig. 3.33 - Momentos na laje para combinações quase-permanentes de acções. 
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Calculemos a tensão instalada na armadura em serviço (combinações quase-permanentes) 
com auxílio do Quadro 2.1 e considerando α = 15. 
 ρ = =
×
=
A
bd
s 13 4
100 20 5
0 654.
.
. % 
 ρ ρ α
tab = = × =
10
0 654 15
10
0 98. . % 
 Cs tab, .= 115 8 C Cs s tab= =, .α
10
173 7 
resultando: 
 σs sC m
bd
= =
×
×
=
−
2
3
2173 7 62 10
1 0 0 205
256.
. .
MPa 
Da figura 3.22 verificamos que secções de betão armado com varões de 16mm de diâmetro 
satisfazem a fendilhação desde que a tensão na armadura não ulstrapasse σs = 280MPa. Logo 
a laje em análise verifica esta condição σs,cal = 256MPavaróes, s = 150mm. 
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4. ESTADOS LIMITES DE DEFORMAÇÃO 
4.1 INTRODUÇÃO 
A determinação das deformações em peças de betão armado fissurado tendo em conta as 
combinações de acções, a fluência e a retracção do betão leva a cálculos laboriosos e por 
vezes complexos. As flechas de peças flectidas podem ser calculadas, com generalidade, pela 
integração numérica das curvaturas de pequenos troços em que uma viga pode ser dividida 
(Fig. 4.1). Diagramas momento-curvatura e fórmulas simplificadas para obter as flechas em 
casos simples de vigas e lajes são dados no Manual do CEB "Fendilhação e Deformação". 
No que se segue pretende-se dar uma iniciação a alguns métodos simplificados de cálculo de 
flechas. Para um estudo mais completo indica-se o Manual do CEB sobre fendilhação e 
deformação (BI nº 158). 
 
 
Fig. 4.1 - Variação da rigidez e da curvatura ao longo de uma viga em função do diagrama de 
momentos e da rigidez à flexão EI. 
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4.2 PRINCÍPIO DO CÁLCULO “EXACTO” 
A deformada devido aos momentos flectores é obtida por dupla integração da curvatura ao 
longo do elemento, 
 ′′ = = −y
r
M
EI
1 (1) 
tendo em atenção as condições de bordo. A 
curvatura total no tempo t é a soma da curvatura elástica (1/r)ce e das curvaturas devidas à 
fluência (1/r)cc e à retracção (1/r)cs, 
1 1 1 1
r r r rt ce cc cs



 =



 +



 +



 (2) 
onde, em princípio, cada um dos termos do 2º membro se refere, dependendo do caso 
considerado, ao estado I, e ao estado II com fendilhação estabilizada, ou a um estado 
intermédio. 
Para o cálculo da curvatura elástica no estado I, a equação (1) é utilizada. Para todos os outros 
estados esta expressão é substituída com vantagem por: 
dr
smcm
c
εε −
=




 1 (3) 
com 
ε sm - deformação relativa média da armadura; 
εcm - deformação relativa média do betão na fibra externa; 
d - altura útil. 
A curvatura devida à fluência (1/r)cc deve ser calculada como múltiplo da curvatura inicial sob 
as combinações quase-permanentes de acções. 
A curvatura de fluência poderá ser considerada, nos casos correntes, utilizando um módulo 
efectivo para o betão dado por: 
 ( )ϕ+= 1/, cmeffc EE 
em que ϕ é o coeficiente de fluência (ver Quadro 1.4). 
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Sendo necessário obter valores mais precisos das flechas, como no caso de grandes vãos em 
consola (executados por avanços sucessivos), ou no caso de estruturas compósitas (betão/aço), 
a fluência diferencial entre as fibras extremas opostas do elemento deve ser tomada em 
consideração. 
A curvatura devida à retracção (1/r)cs pode ser avaliada de: 
IS
r ecs
cs
/1 αε=




 (4) 
onde 
εcs - é a extensão de retracção livre (ver Quadro 1.5); 
S - é o momento estático da área de armadura em relação ao baricentro da secção; 
I - é o momento de inércia da secção; 
αe - é o coeficiente de homogeneização efectivo = Es/Ec,ef 
 S e I deverão ser calculados para a condição não fendilhada e para a condição 
totalmente fendilhada, sendo a curvatura final avaliada por meio da expressão 
(17). 
4.2.1 Modelo idealizado para o cálculo de Deformações em Elementos Fendilhados 
sujeitos ao Esforço Axial e/ou Momentos flectores 
As estruturas de betão armado e pré-esforçado têm tendência a fendilhar e estão sujeitas aos 
efeitos diferidos (fluência retracção, relaxação). Resulta assim num comportamento 
descontínuo segundo se considera a secção fendilhada ou as secções vizinhas. É esta a razão 
porque necessitamos de definir: 
- o valor médio da extensão da armadura traccionada para estimar a fendilhação; 
- o valor médio da curvatura para calcular as deformações. 
Estes valores médios obtêm-se a partir dos valores extremos correspondentes 
respectivamente: 
- ao estado I : secções não fendilhadas, considerando o betão traccionado, o betão 
comprimido e a armadura; 
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- ao estado II0: secções fendilhadas, não considerando senão o betão comprimido e a 
armadura; 
e podem ser definidos com a ajuda de coeficientes de repartição indicando as contribuições 
respectivas do estado I e do estado II0. 
O modelo real pode ser representado por um modelo constituído por duas partes de 
comprimento l1 e l2 variáveis em função das solicitações: uma trabalhando em estado I e outra 
em estado II0. O modelo fica definido se conhecermos o comportamento nos estados I e IIo e 
os comprimentos l1 e l2; estes fixam a partição dos estados extremos ao valor médio. Esta 
partição é dada pelo coeficiente de repartição ζ que define os comprimentos: 
( ) ll ⋅−= ζ11 e 
l l2 = ⋅ζ 
 i) Elementos solicitados à tracção pura 
O elemento real de comprimento l, em que actua a força de tracção N constante, é substituído 
por um modelo composto de duas partes (Fig. 4.2): 
- uma trabalhando em estado I (secções não fendilhadas); 
- a outra trabalhando em estado II0 (secções fendilhadas, não considerando a 
contribuição do betao traccionado). 
A igualdade das extensões médias da armadura para o elemento real e para o modelo dá: 
ε
ε ε
sm
s sl
l
l l
l
l l
l
= =
+
=
⋅ + ⋅∆ ∆ ∆1 2 1 1 2 2 
 
 
Fig. 4.2 - Modelo de cálculo para a tracção pura. 
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Com a ajuda do coeficiente de repartição ζ: 
( ) 211 sssm εζεζε ⋅+⋅−= (5) 
com, 
( )
l
l11 =−ζ e ζ =
l
l
2 
A extensão média do betão será: 
( ) 11 ccm εζε ⋅−= (6) 
e o valor da extensão média relativa da armadura em relação à do betão vale: 
ε ζ εsm r s, = ⋅ 2 (7) 
O coeficiente de repartição ζ é obtido por: 
2
21
2
2
21 11 




⋅−=





⋅⋅−=
N
Nr
s
sr ββ
σ
σββζ (8) 
 = 0 para σ σs sr2de tracção fct na fibra inferior são: 
1
1
1
−






+=
w
e
A
fN
ci
ctr M eNr r= (11) 
sendo Aci e W1 a área e o módulo de flexão (fibra inferior) homogeneizados em betão. 
Quando N > Nr e M > Mr , a fendilhação ocorre e a deformação média pode ser calculada por: 
( )
( ) 21
21
1
1
cccm
sssm
ζεεζε
ζεεζε
+−=
+−=
 (12) 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 68 
onde 
2
2121
2
2
21 111 




−=




−=





−=
N
N
M
M rr
s
sr ββββ
σ
σββζ (13) 
O coeficiente de repartição ζ pode ser expresso em termos de tensões no betão: 
2
max1
211 





−=
σ
ββζ ctf (14) 
onde 
σ1max- é o valor da tensão de tracção na fibra extrema que ocorreria por aplicação de N e/ou 
M admitindo o estado I. 
4.2.2 Curvatura média - flexão simples 
A curvatura média é definida duma maneira geral pela expressão seguinte: 
1
r
M
EI dm m
sm cm= =
−ε ε (15) 
Em referência ao modelo de cálculo apresentado (secção 4.2.1) obtêm-se (ver Fig 4.5): 
( )
( ) 21
21
1
1
cccm
sssm
εζεζε
εζεζε
⋅+−=
⋅+−=
 (16) 
 
 
Fig. 4.5 - Curvatura média - flexão simples. 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 69 
Substituindo (16) em (15) teremos para a curvatura média: 
( )
21
1111
rrrm
⋅+⋅−= ζζ (17) 
 As curvaturas 1/r1 e 1/r2 correspondem aos estados I e II0 respectivamente. O 
coeficiente de repartição ζ é dado por: 
 
2
211 




⋅⋅−=
M
M rββζ 
 = 0 para M 0,5%) e provoca um aumento da 
rigidez e um deslocamento do centro de gravidade. 
Considerandoo efeito da armadura, obtemos uma flecha a ac1 
que evidentemente, pode ser considerada como o extremo superior da flecha provável a. 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 76 
Exprimindo a flecha aII0
 com a ajuda do valor de base ac e dum coeficiente de correcção kA
II , 
obtém-se para t = 0: 
Ta
b
b
d
hka
aka
c
iII
A
t
II
c
II
A
t
II
emSecção
rrectangulaSecção
3
0
0
0
0
⋅




⋅=
⋅=
=
=
 (21) 
Introduzindo o coeficiente k II
ψ (para a fluência) e os coeficientes α s s
IIk, (para a retracção), 
obtém-se para o tempo t, 
a a a k k l dII
t
II
t
II
t II
s s
II
csG0 0 0
0 0 2= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅= =
Ψ ψ α ε / (22) 
Para uma secção rectangular e considerando apenas cargas permanentes: 
 ( ) cG
IIII
A
t
II akka
G
ψψ ⋅+⋅= 1
0
 (23) 
com 
aII0
 - flecha no estado II0; 
aII G0
 - flecha aII0
 devida às cargas permanentes; 
kA
II - coeficientes de correcção dados graficamente nos anexos 4.3 - para secções 
 k II
ψ rectangulares; 
ks
II - (ver a obtenção destes coeficientes no anexo 4.3). 
 .4 Flecha provável a 
Com a aproximação bilinear, a relação que determina a flecha provável a, no domínio das 
cargas de utilização, é a seguinte: 
( ) rIII
rI
MMaaa
MMaa
>+−=
ct≅ ⋅ =
×
× × =
0 3 0 5
6
2 5 10 31 25
2
3. . . . kN.m 
O coeficiente de repartiçãoζ ζ β β= = − ⋅b rD DM M1 1 2 / 
 
t
t t
b
b
= = − × ⋅ =
= = − × ⋅ =
0 1 1 0 1 0 31 25
44 5
0 29
1 1 0 0 5 31 25
44 5
0 65
ζ
ζ
. . .
.
.
. . .
.
.
 
A flecha provável é então ( ) 211 aaa bb ⋅+−= ζζ 
 
( )
( ) mm6.150.2065.04.765.01
mm0.63.1529.03.229.010
=×+×−==
=×+×−==
att
at
 
b) Cálculo da flecha pelo método dos coeficientes globais 
 ac = 2 35. mm Md = 44 2. kN.m MrD = 31 25. kN.m 
 M MrD D/ .= 0 71 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 83 
para ψ = 2.5; d/h = 0.9; αρ = 0.022; ρ'/ρ = 0 e MrD/MD = 0.71 do anexo 4.4 obtém-se os 
coeficientes globais, 
 k0 2 6= . kt = 7 0. η = 1.0 
donde os valores das flechas prováveis serão: 
 
t a k a
t t a k a
c
t t c
= = ⋅ = × =
= = ⋅ ⋅ = × × =
0 2 6 2 35 6 1
1 0 7 0 2 35 16 4
0 0 . . . mm
. . . . mmη
 
c) O valor encontrado para a flecha utilizando o método “exacto” da integração é de a = 12,2 
mm. 
4.6 RAZÕES PARA O CONTROLO DAS DEFORMAÇÕES 
O projectista deve decidir, em cada caso, quais as verificações que são necessárias para 
controlar as deformações das estruturas em serviço normal. Estas deformações podem ser 
flechas, rotações, deslocamentos, etc.. 
O objectivo será: 
- satisfazer às condições de serviço estabelecidas; não prejudicar o funcionamento da 
estrutura e do equipamento instalado; 
- evitar estragos ou destruição de elementos não estruturais (divisórias, acabamentos, 
etc.); 
- usar contra-flechas quando aconselhável. 
É geralmente considerado que flechas maiores que l (vão)/250 devem ser evitadas sob o ponto 
de vista da aparência. A manifestação mais típica de flechas excessivas é no entanto a 
fissuração de paredes não estruturais ou problemas com janelas. Há dois possíveis caminhos 
para tratar este problema: ou as flechas são limitadas a um nível que não cause fissuração nos 
panos de enchimento ou, os elementos não estruturais devem ser projectados para acomodar 
os movimentos da estrutura. Casos típicos de fendilhação em paredes (alvenaria, tijolo) 
podem ser observados nas figuras 4.14 e 4.15. Os valores usualmente especificados para as 
flechas de forma a atenuar estes problemas são de l/500 ou 1 cm (o menor dos dois) para as 
flechas que ocorrem depois da construção dos panos de enchimento. 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 84 
 Limites de deformação 
- analisar limites com o dono da obra; 
- consultar ISO4356 - limites de flechas em edifícios. 
a l≤ / 250 - para não afectar o aspecto e as condições de utilização (possibilidade de usar 
contraflechas) - combinações quase-permanentes de acções; 
∆a l≤ / 500- para não danificar elementos não estruturais. A variação de flecha após a 
instalação destes elementos deve ser limitada. 
Um outro factor a ter em conta é a possível diminuição de utilidade da estrutura por efeito do 
aparecimento de deformações excessivas. Alguns casos podem ser mencionados: 
- poças de água- se a flecha duma laje de cobertura é excessiva pode conduzir à 
acumulação de água nos pontos baixos com a formação de poças, crescendo os riscos 
de infiltração; 
- interferência com o funcionamento de portas e janelas; 
- interferência com o alinhamento de máquinas e de aparelhos - a conservação dos 
alinhamentos pode ser dificultada com o desenvolvimento de flechas no tempo; 
- problemas de vibração. 
 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 85 
 
 
Fig. 4.14 - Avarias em elementos não estruturais devidas a deformação excessiva. 
 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 86 
 
 
 
 
 
Fig. 4.15 - Avarias em paredes divisórias. Fendas inclinadas na parede devido a excessivas tensões de 
corte. 
É de salientar que critérios absolutos para limitar as flechas e outros estados limites de 
utilização são difíceis (senão impossíveis) de serem especificados. O mesmo não acontece 
com os estados limites últimos onde o objectivo do cálculo é bastante claro. O projectista 
deve escolher o sistema estrutural mais adequado e pode então decidir por limites apertados 
que encarecem a estrutura ou então adoptar valores menos severos que podem levar mais tarde 
a gastos com a conservação. 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 87 
Entre os meios para limitar as flechas, particularmente sob acções de longa duração, os 
seguintes pontos devem ser tidos em conta: 
- uso de valores baixos da relação vão/altura, l/h (ver Quadro 4.2); 
- uso de sistemas estruturais que forneçam restrição às rotações nos suportes, por 
exemplo, por meio de continuidade; 
- betões de alta resistência, tendo baixa relação água/cimento, - boa cura e 
endurecimento adequado antes da aplicação da carga, evitar carga excessiva durante 
a construção; 
- reduzir as zonas fendilhadas pré-esforçando; 
- adicionar armadura de compressão, se as tensões de compressão para acções de longa 
duração são altas; 
- reduzir as tensões sobre-dimensionando a armadura de tracção longitudinal; 
- aplicar as cargas à estrutura o mais tarde possível. 
4.7 ESTIMATIVA DA FLECHA A LONGO PRAZO 
Para aplicações práticas no caso de vigas e lajes de edifícios e de estruturas solicitadas de 
maneira análoga, a flecha a longo prazo pode ser estimada por um método simplificado 
estabelecido a partir do método dos coeficientes globais. Este método, adoptado pelo CEB-
FIP Código Modelo 1990, é apenas aplicável a elementos de betão armado e baseia-se nas 
seguintes relações: 
 ( ) caa ϕ+= 1 para M Md r =44 2 31 25. kN.m . kN.m 
Secção determinante está fendilhada 
 ρtm = × + × + × =0 67 1
4
0 33 1
2
0 67 1
4
0 5. . . . % 
 η = 4 (ver Quadro 4.1) 
 ρcm = × + × + × = =0 33 1
4
0 0 1
2
0 33 1
4
0 165 0 00165. . . . % . 
 ( ) mm5.1235.297.0437.135.200165.02014
45.0
50.0 3
=×××=××−××




=a 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 90 
A estimativa obtida para a flecha a longo prazo resulta muito próxima da flecha obtida pelo 
método exactoque é de 12.2mm. 
4.8 VERIFICAÇÃO PRÁTICA DAS FLECHAS 
No caso de vigas ou lajes de betão armado de edifícios não é, em geral, necessário calcular 
explicitamente as flechas se forem respeitados os limites da relação vão/altura a seguir 
especificados. 
Fazendo uso da expressão para a estimativa de flechas a longo prazo definida na secção 
anterior: 
 ( ) ccm a
d
ha ρη 201
3
−×




= 
que pode ser explicitada em relação a l/d 
 ( )[ ] 3/1
lim//1 al
d
l δη≤ 
onde δ é um coeficiente que caracteriza o sistema estrutural; 
( )lim/ al é a relação vão/flecha 
= 1/250 - funcionamento adequado; 
= 1/500 - danos em elementos não estruturais. 
É a partir destas expressões e critérios que podem ser derivados os valores limites da relação 
vão/altura. 
4.8.1 Limites da relação vão/altura útil 
Em geral, as vigas e lajes de edifícios que satisfaçam a seguinte relação, l/d, não excederão os 
limites de deformação: 
 l
d
K K KT l s
≤ =λ λ σ0 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 91 
λ0 - valor base da relação l/d tirado do Quadro 4.2. 
KT = 1.0 vigas rectangulares ou em T com b/bw 3 
 
K
ll
eff
=
7 - vigas e lajes suportando divisórias com leff > 7 0. 
Kl = 1 0. se leff ≤ 7 0. 
K
ll
eff
=
8 5. - lajes fungiformes com leff > 8 5. 
















=
cals
effs
yk A
A
f
K
s
,
,400
σ - correcção de armadura 
Quadro 4.2 - Relações de base vão/altura útil para elementos de betão armado sem compressão axial 
Sistema estrutural Betão altamente esforçado 
vigas (ρ = 1.5%)(a) 
Betão ligeiramente esforçado 
lajes (ρ = 0.5%)(a) 
1. Viga simplesmente apoiada, laje 
simplesmente apoiada armada 
numa ou em duas direcções 
18 25 
2. Vão extremo de uma viga contínua; 
laje contínua armada numa 
direcção ou laje armada em duas 
direcções, contínuas sobre o lado 
maior 
23 32 
3. Vão interior de viga ou de laje 
armada numa ou em duas direcções 
25 35 
4. Laje apoiada em pilares sem vigas 
(laje fungiforme) (referência ao 
maior vão) 
21 30 
5. Consola 7 10 
(a) Sendo conhecida a percentagem de armadura interpolar os valores da tabela. 
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ANEXOS À SECÇÃO 4 - ESTADOS LIMITES DE DEFORMAÇÃO 
[CÓPIA DO MANUAL DO CEB DE FENDILHAÇÃO E DEFORMAÇÃO] 
 
 
 
A4.1 - CARACTERÍSTICAS DE VIGAS EM T 
A4.2 - DETERMINAÇÃO DA FLECHA DE BASE ac EM VIGAS E LAJES 
A4.3 - COEFICIENTES DE CORRECÇÃO PARA A APLICAÇÃO DO MÉTODO 
BILINEAR 
A4.4 - COEFICIENTES DE CORRECÇÃO PARA A APLICAÇÃO DO MÉTODO DE 
COEFICIENTES GLOBAIS 
 
 
 
 
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Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 113 
 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 114 
 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 115desenvolver livremente devido às ligações super-abundantes 
(figura 1.1). As solicitações geradas pelas acções indirectas não resultam de considerações de 
equilíbrio mas sim de compatibilidade de deformações. Quanto mais deformável for a 
estrutura (EI, GIT, EA baixos) menores são as solicitações. No limite, se a estrutura for muito 
deformável como é o caso na vizinhança de um mecanismo de rotura dúctil, estas solicitações 
poderão ser totalmente desprezadas. 
 
 
Fig. 1.1 - Exemplos de deformações impostas. 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 3 
Nas estruturas de betão, o papel desempenhado pelas acções indirectas é primordial. No 
passado foram muitas vezes desprezadas, mas a experiência tem mostrado que uma parte 
importante dos danos, insuficiências e mau desempenho em serviço resulta não do efeito das 
cargas, mas do efeito das deformações impostas. O estado de serviço deve pois ser verificado, 
tendo em conta cuidadosamente os efeitos das deformações impostas. Não se diz o mesmo do 
estado de rotura onde as deformações impostas podem geralmente ser desprezadas. 
1.1.2 Combinações de acções 
Para verificação da segurança aos E.L. de Utilização, são três as combinações de acções a 
considerar, as quais dependem da duração do estado limite em causa. 
Combinações raras - correspondem a estados limites de muito curta duração. São 
combinações de acções que solicitarão a estrutura durante apenas algumas horas 
do seu período de vida (em geral 50 anos). 
Combinações frequentes - correspondem a estados limites de curta duração. 
Combinações de acções com duração da ordem dos 5% do período de vida da 
estrutura. 
Combinações quase-permanentes - correspondem a estados limites de longa duração. 
Combinações de acções que poderão actuar na estrutura durante metade do seu 
período de vida. 
As expressões seguintes definem as três combinações de acções para os estados limites de 
utilização: 
 Combinação rara (ou característica) 
( )∑ ∑
>
Ψ+++
1
,,01,,
i
ikikjk QQPG 
 Combinação frequente 
( )∑ ∑
>
Ψ+Ψ++
1
,,21,1,1,
i
ikikjk QQPG 
 Combinação quase permanente 
( )∑ ∑
≥
Ψ++
1
,,2,
i
ikijk QPG 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 4 
Para as estruturas de edifícios, a combinação rara pode ser simplificada de acordo com as 
expressões seguintes, que também podem ser utilizadas para a combinação frequente. 
 - situações de projecto com uma única acção variável, Qk,1 
( )∑ ++ 1,, kjk QPG 
 - situações de projecto com duas ou mais acções variáveis, Qk,i 
( )∑ ∑
≥
++
1
,, 9.0
i
ikjk QPG 
A expressão a utilizar é a que conduzir ao valor mais elevado. 
No quadro 1.1 apresentam-se os factores de combinação para algumas acções variáveis de 
acordo com o RSAEP. 
Quadro 1.1 - Factores de combinação para algumas acções. 
Acção Ψ0 Ψ1 Ψ2 
Variações de temperatura 0.6 0.5 0.3 
Vento 0.4 
(0.6) 0.2 0.0 
Neve 0.6 0.3 0.0 
Sismos 0.0 0.0 0.0 
Sobrecargas em pavimentos 
 - carácter privado 0.4 0.3 0.2 
 - escritórios 0.7 0.6 0.4 
 - garagens 0.8 0.7 0.6 
1.1.3 Métodos de análise para os Estados Limites de Utilização 
A análise da estrutura em condições de serviço é normalmente baseada na teoria linear 
elástica, determinando a rigidez do elemento na hipótese de secção não fendilhada e com o 
módulo de elasticidade do betão, Ecm, definido em 3.1.2.5.2 do EC2. 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 5 
Nos casos em que a fendilhação do betão tenha um efeito desfavorável significativo sobre o 
desempenho da estrutura, esta deve ser tomada em consideração na análise. 
Para acções de longa duração, os efeitos da fluência do betão podem ser tidos em conta 
introduzindo o módulo efectivo do betão definido no Anexo 4 do EC2 (A..4.3): 
E E
c eff
cm
, =
+1 ϕ
 
onde: 
Ecm - é o módulo de elasticidade secante; 
ϕ - é o coeficiente de fluência. 
Os métodos de análise não linear podem ser utilizados em qualquer situação, mas os métodos 
de análise plástica não devem ser usados em condições de serviço. 
1.2 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 
As propriedades dos materiais que geralmente tem mais importância na verificação são, a 
resistência do betão à tracção, o módulo de elasticidade do aço e do betão, o coeficiente de 
fluência e a extensão de retracção do betão. Esta informação é dada no Capítulo 3 do EC2 e é 
aqui apenas sumarizada. Recorde-se que os coeficientes de segurança parciais a aplicar às 
propriedades dos materias, γM, são tomados iguais a 1.0 nas verificações em serviço. 
.1 Resistência do betão à tracção 
Os valores médio e característico da resistência à tracção do betão poderão ser obtidos a partir 
do valor característico da tensão de rotura à compressão em cilindros, fck, de acordo com as 
seguintes expressões: 
f fctm ck= 0 30 2 3. / 
f fctk ctm0 05 0 7. .= 
f fctk ctm0 95 1 3. .= 
em que (ver figura 1.2): 
fctm - valor médio da resistência à tracção; 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 6 
fctk0 05. - valor característico inferior da tensão de rotura à tracção (quantilho de 5%); 
fctk0 95. - valor característico superior da tensão de rotura à tracção (quantilho de 95%). 
 
 
Fig. 1.2 - Distribuição da resistência do betão à tracção. 
No quadro 1.2 apresentam-se estes valores para as diferentes classes de resistência do betão. 
Quadro 1.2 - Valores característicos da resistência à compressão em cilindros e valores médios e 
característicos da resistência à tracção do betão. 
Classe de 
resistência do 
betão 
C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 
fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50 
fctm 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1 
fctk 0.05 1.1 1.3 1.5 1.8 2.0 2.2 2.5 2.7 2.9 
fctk 0.95 2.0 2.5 2.9 3.3 3.8 4.2 4.6 4.9 5.3 
 
 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 7 
 
Fig. 1.3 - Valores da resistência do betão à tracção. 
A resistência do betão à tracção apresenta para uma dada classe de betão uma grande 
variabilidade (figura 1.3). Os valores extremos podem diferir de mais de 30% em relação ao 
valor médio. 
A resistência efectiva ou aparente do betão à tracção numa obra, fct,ef, pode diferir 
sensivelmente do seu valor convencional, seja fctm, definido nos regulamentos e válido para 
pequenos provetes. As razões desta diferença são numerosas e complexas. Provem por um 
lado das condições de colocação em obra e cura do betão e por outro lado, das condições do 
ambiente que são muito diferentes. Por estas razões, a resistência à tracção de um elemento 
em obra é geralmente inferior à dos correspondentes provetes confeccionados do mesmo 
betão, devido a micro-fissuras superficiais. Estas micro-fendas provém da heterogeneidade do 
material (inertes, pasta de cimento, armadura) e de estados de tensão auto-equilibrados 
devidos a gradientes térmicos e à retracção de secagem (figura 1.4). Esta redução de 
resistência será tanto mais significativa quanto maiores forem as dimensões da secção do 
elemento. Uma outra razão desta diferença é devida ao efeito do tempo. A resistência do betão 
à tracção depende, como a sua resistência à compressão, da duração e da idade de aplicação da 
carga. Estes dois efeitos sobre a resistência à tracção em obra podem eventualmente 
neutralizarem-se para idades superiores aos 28 dias. 
 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 8 
 
Fig. 1.4 - Influência dos estados auto-equilibrados de tensão na sua resistência à tracção. 
A resistência efectiva do betão à tracção em termos médios, pode ser definida por: 
f fct ef t h ctm, = ⋅ ⋅η η 
em que: 
ηt - é um coeficiente de minoração permitindo ter em conta a evolução da resistência à 
tracção nas idades jovens. 
t (dias) 3 7 ≥ 28 
ηt 0.5 0.75 1.0 
ηh - é um coeficiente de minoração função da espessura h do elemento em obra, que tem 
em conta a micro-fendilhação e as fendas superficiais que resultam dos estados 
auto-equilibradosde tensão. Este coeficiente está definido na figura 1.4. 
.2 Módulos de Elasticidade 
Para o aço da armadura ordinária é tomado o valor Es = 200GPa (ou kN/mm2). Para o aço de 
pré-esforço o valor Ep = 200GPa é em geral admitido para fios e varões, e um valor 
Ep = 190GPa é tomado para cordões de pré-esforço. 
O valor médio do módulo secante (σc = 0.4 fc) do betão Ecm é função da resistência em 
cilindros para a idade considerada. Este módulo varia com outros factores para além da 
resistência (por exemplo, com o tipo de inertes) e se a avaliação das condições de serviço 
exigirem maior rigor o valor de Ecm deve ser determinado por testes. 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 9 
O módulo de elasticidade do betão é dado por: 
E fcm cm= 9 5 1 3. / com Ecm em kN/mm2 
 ( ) 3/185.9 += ckf fcm, fck em N/mm2 
O quadro 1.3 especifica os valores de Ecm para as várias classes de resistência do betão. 
Quadro 1.3 - Valores do módulo de elasticidade secante Ecm (em GPa). 
Classe de 
resistência C 
C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 
Ecm 26 27.5 29 30.5 32 33.5 35 36 37 
 
.3 Coeficiente de dilatação térmica 
O coeficiente de dilatação térmica do betão pode variar entre 6×10-6 a 15×10-6 dependendo do 
tipo de inertes e da humidade. 
Para efeitos de cálculo, nos casos correntes, o coeficiente de dilatação térmica do betão e do 
aço poderá considerar-se igual a α = 10×10-6/ºC. 
.4 Coeficiente de fluência e extensão de retracção 
A fluência e retracção do betão dependem principalmente da humidade ambiente, das 
dimensões do elemento e da composição do betão. A fluência também é afectada pela 
maturidade do betão quando do primeiro carregamento e pela duração e intensidade da carga. 
Qualquer estimativa do coeficiente de fluência, φ(t,t0), e da extensão de retracção, εcs, deverá 
ter em conta estes parâmetros. 
Nos casos em que não seja necessária grande precisão, os valores apresentados nos quadros 
1.4 e 1.5 poderão ser considerados , respectivamente, como o coeficiente final de fluência 
φ(∞,t0) e a extensão de retracção final εcs∞ de um betão de peso normal submetido a uma tensão 
de compressão não superior a 0.45 fck na idade t0 do primeiro carregamento. No quadro 1.4 o 
coeficiente de fluência φ(∞,t0) é função de Ecm, determinado de acordo com o quadro 1.3. 
Quando for necessária uma maior precisão, deverá consultar-se o Anexo 1 do EC2. 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 10 
Os dados apresentados nos quadros 1.4 e 1.5 aplicam-se a uma gama de temperaturas médias 
do betão entre 10ºC e 20ºC. Por conseguinte, poderão aceitar-se variações sazonais da 
temperatura entre -20ºC e +40ºC. Do mesmo modo, são aceitáveis variações da humidade 
relativa em torno dos valores médios apresentados, que se situem entre RH = 20% e 
RH = 100%. 
Quadro 1.4 - Coeficiente final de fluência φ(∞,t0) para betão de peso normal. 
Idade de Espessura equivalente 2Ac/u (em mm) 
carregamento 50 150 600 50 150 600 
t0 (dias) Atmosfera seca (interior) (RH = 50%) Atmosfera húmida (exterior) (RH = 80%) 
1 5.5 4.6 3.7 3.6 3.2 2.9 
7 3.9 3.1 2.6 2.6 2.3 2.0 
28 3.0 2.5 2.0 1.9 1.7 1.5 
90 2.4 2.0 1.6 1.5 1.5 1.4 
365 1.8 1.5 1.2 1.1 1.0 1.0 
Quadro 1.5 - Extensões finais de retracção εcs∞ (em %o) para betão de peso normal. 
Localização do Humidade relativa 
Espessura equivalente 2Ac/u (mm) 
elemento (%) 
≤ 150 600 
Interior 50 -0.60 -0.50 
Exterior 80 -0.33 -0.28 
em que: 
 Ac - é a área da secção transversal do betão; 
 u - é o perímetro dessa área em contacto com a atmosfera. 
O desenvolvimento da fluência e da retracção com o tempo estão ilustrados na figura 1.5. 
 
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a) 
 
b) 
Fig. 1.5 - Desenvolvimento do coeficiente de fluência e da extensão da retracção com o tempo. 
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2. LIMITAÇÃO DE TENSÕES EM CONDIÇÕES DE SERVIÇO 
As regras de dimensionamento do Eurocódigo 2 para os estados limites últimos podem, em 
certos casos, conduzir a tensões excessivas no betão, na armadura ordinária e armadura de 
pré-esforço. Estas tensões podem, em consequência, afectar negativamente a aparência e 
desempenho em serviço e a durabilidade das estruturas de betão. 
Pode, assim, ser necessário verificar em condições de serviço as seguintes limitações de 
tensões: 
 - tensões de tracção no betão; 
 - tensões de compressão no betão; 
 - tensões de tracção na armadura. 
2.1 LIMITAÇÃO DE TENSÕES DE TRACÇÃO NO BETÃO 
A limitação de tensões de tracção no betão é muitas vezes uma medida adequada para reduzir 
o risco de fendilhação. 
Estado de Limite de Formação de Fendas 
Uma forma expedita de verificar o estado limite de abertura de fendas em elementos 
pré-esforçados (ex: lajes de elementos pré-esforçadas), ou de atribuir a espessura a um 
reservatório cilíndrico de betão armado que deve garantir certa estanqueidade, consiste em 
limitar as tensões de tracção no betão em condições de serviço a: 
σc ctkf≤ 0 05. (ou fctm) 
Isto é, as tensões na fibra mais traccionada da secção não devem ultrapassar a resistência 
característica inferior do betão à tracção, ou em certos casos, a sua tensão média. 
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Estado Limite de Descompressão 
O estado limite de descompressão corresponde a exigir que a secção deva estar livre de 
tensões de tracção, isto é, toda a secção deve estar comprimida. Este estado limite é em geral 
aplicado às estruturas com armadura de pré-esforço que é muito sensível à corrosão: 
σc ≤ 0 
em toda a secção ou em zonas localizadas. 
Segundo o EC2 o limite de descompressão requer que, sob a combinação frequente de acções, 
todas as partes dos cabos ou da baínha fiquem pelo menos 25mm dentro do betão em 
compressão (ver figura 2.1). 
 
1
1 cabo de pré-esforço y0
P
SECÇÃO 1-1
-
σc=0
tracções
comp.
y0 25mm≥ 
Fig. 2.1 - Condições de verificação ao E.L. de Descompressão segundo o EC2. 
O cálculo das tensões é baseado nas características das secções não fendilhadas, devendo 
considerar-se a área e o momento de inércia das secções homogeneizadas. 
2.2 LIMITAÇÃO DAS TENSÕES DE COMPRESSÃO NO BETÃO 
Para limitar o risco de fendilhação longitudinal 
Nas estruturas de betão, podem ocorrer fendas longitudinais paralelas aos varões da armadura, 
se o nível das tensões no betão sob combinações raras de acções exceder um valor crítico. 
Esta fendilhação, ou micro-fendilhação na vizinhança da armadura aumenta a permeabilidade 
da superfície de betão reduzindo a durabilidade das estruturas. 
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Na ausência de outras medidas, tais como o aumento do recobrimento da armadura na zona 
comprimida ou o confinamento pela armadura transversal (ex: cintas, varões transversais) é 
conveniente considerar a tensão máxima de compressão limitada a: 
σc ckf≤ 0 6. combinações raras 
em áreas expostas a ambientes de classe de exposição 3 ou 4 (ver quadro 2.3, pg. 27 do texto 
“Bases para o Dimensionamento”). Note-se que o REBAP no Artº 71 condiciona o valor da 
tensão máxima de compressão a σc cdf≤ ( )ckck ff 67.05.1/ ≅= . 
 
M
N
σc
Fs 
Fig. 2.2 - Limitação da tensão de compressão no betão para evitar a fendilhação longitudinal. 
É de referir que este critério da tensão máxima de compressão pode condicionar o 
dimensionamento de vigas à flexão simples em particular para percentagens elevadas de 
armadura longitudinal, ρl. É um critério que pode condicionar o dimensionamento de secções 
sujeitas à flexão composta especialmente no caso de secções pré-esforçadas. 
Para controlar a fluência 
As deformações de fluência podem exceder os valores dados pelos métodos indicados no 
Eurocódigo 2 se as tensões no betão, sob combinações quase permanentes de acções, 
excederem 0.45 fck. 
σc ckf≤ 0 45. 
comb.quase permanentes 
σc
Esα =
cE
= 15
 
Este limite deve, em geral, ser considerado na verificação em serviço de estruturas 
pré-esforçadas e no caso de elementos flectidos de betão armado quando a relação vão/altura 
útil exceder 85% dos valores indicados para satisfazer o estado limite de deformação (quadro 
4.__). 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 15 
Para situações de projecto transitórias (fase de construção) a tensão, σc poderá ser limitada a 
um valor entre 0.45fck e 0.60fck, dependendo da sua duração. 
2.3 LIMITAÇÃO DAS TENSÕES NA ARMADURA 
As tensões na armadura que, em condições de serviço, possam levar a deformações não 
elásticas do aço (εs > εsy, εsy é a deformação de cedência) devem ser evitadas pois resultam em 
fendas largas e permanentemente abertas no betão com consequências para a durabilidade. 
Este requisito será cumprido desde que sob combinações raras de acções as tensões de tracção 
na armadura não excedam: 
σ s ykf≤ 0 8. , combinações raras. 
Deste modo as deformações impostas ou outros efeitos das acções que não posssam ser 
considerados nos cálculos não levarão à cedência da armadura. 
Nos casos em que a tensão seja devida apenas a deformações impostas, um limite de 
σ s ykf≤ 1 0. será aceitável. 
Por razões idênticas, nas estruturas pré-esforçadas, a tensão nos cordões de pré-esforço, σp, 
não devem exceder, 
σ p pkf≤ 0 75. 
depois da transferência do pré-esforço para o betão, onde fpk é a resistência característica do 
aço de pré-esforço. 
2.4 MÉTODOS DE VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES 
2.4.1 Dispensa de verificação 
Segundo o Eurocódigo 2 (cláusula 4.4.1.2(2)), em geral, pode considerar-se que as limitações 
das tensões indicadas atrás são satisfeitas (excepto para a armadura de pré-esforço), sem 
necessidade de outros cálculos desde que: 
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a) o dimensionamento em relação aos estados limites últimos tenha sido efectuado de 
acordo com a cláusula 4.3 do EC2; 
b) as exigências relativas à armadura mínima estipuladas em 4.4.2.2 (EC2) tenham 
sido cumpridas; 
c) as disposições construtivas respeitem o estipulado no Capítulo 5 (EC2); 
d) não tenha sido considerada uma redistribuição superior a 30% na análise relativa ao 
estado limite último, isto é, 0.7 ≤ δ ≤ 1.0 (ver figura 2.3). 
 
comb. raras
diagrama
redistribuído
Msd,el (=400kN.m)
diagrama elástico
As,el
s(=300kN.m)Msd,r A fctm - comb. raras), considera-se que o betão é 
elástico em compressão mas que é incapaz de suportar qualquer tracção. 
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Não sendo a secção totalmente activa, a posição do eixo neutro na secção terá de ser 
encontrada por condições de equilíbrio estático, resultando numa equação do 2º grau para uma 
secção rectangular sujeita apenas a um momento flector (ver figura 2.4). 
 
M
σc
e n d
b
h
cε = Ec cε
=x ξd
Esσ
= sα α
sε
esforço extensões tensões
ζz = d = d - 1
3
x
Fst
forças internas
1/3 x
Sε
FC
 
Fig. 2.4 - Análise de uma secção fendilhada sujeita a um momento flector. 
Com referência à figura 2.4, a equação que permite determinar a posição do eixo neutro para 
uma secção rectangular sem armadura de compressão: 
ξ αρξ αρ2 2 2 0+ − = 
a tensão máxima no betão é dada por, 
( ) 223/1
2
bd
MC
bd
M
cc ⋅=
−
=
ξξ
σ 
e na armadura, 
( ) 223/1
1
bd
MC
bd
M
ss ⋅=⋅
−
=
ζρ
σ 
sendo: 
 ξ = x/d; α = Es/Ec; ρ = As/bd; ζ = z/d 
No quadro 2.1 estão especificados os valores de ξ, Cs, Cc e ζ para a gama mais corrente de 
percentagens de armadura e admitindo α = 10. Para valores de α diferentes de 10 deve 
entrar-se na tabela com ρ ρ α
=
10
 e tomar no cálculo de σs o valor de C Cs s=
α
10
. 
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Quadro 2.1 - Coeficientes Cc e Cs para o cálculo das tensões em secções rectangulares à flexão 
simples sem armadura de compressão (α = 10). 
ρ 
(%) ξ Cc Cs ζ 
 ρ 
(%) ξ Cc Cs ζ 
0.10 
0.12 
0.14 
0.16 
0.18 
0.132 
0.143 
0.154 
0.164 
0.173 
15.87 
14.65 
13.70 
12.93 
12.30 
1045.9 
875.2 
752.9 
661.1 
589.5 
0.956 
0.952 
0.949 
0.946 
0.943 
 0.80 
0.82 
0.84 
0.86 
0.88 
0.328 
0.331 
0.334 
0.338 
0.341 
6.85 
6.78 
6.73 
6.68 
6.62 
140.3 
137.1 
134.0 
131.0 
128.2 
0.891 
0.890 
0.889 
0.887 
0.886 
0.20 
0.22 
0.24 
0.26 
0.28 
0.181 
0.189 
0.197 
0.204 
0.210 
11.76 
11.30 
10.90 
10.54 
10.23 
532.1 
485.1 
445.9 
412.6 
384.1 
0.940 
0.937 
0.935 
0.932 
0.930 
 0.90 
0.92 
0.94 
0.96 
0.98 
0.344 
0.347 
0.350 
0.352 
0.355 
6.57 
6.52 
6.47 
6.43 
6.38 
125.5 
122.9 
120.4 
118.0 
115.8 
0.885 
0.884 
0.883 
0.882 
0.881 
0.30 
0.32 
0.34 
0.36 
0.38 
0.217 
0.223 
0.229 
0.235 
0.240 
9.94 
9.69 
9.46 
9.25 
9.05 
359.3 
337.6 
318.4 
301.4 
286.1 
0.928 
0.926 
0.924 
0.922 
0.920 
 1.00 
1.02 
1.04 
1.06 
1.08 
0.358 
0.361 
0.364 
0.366 
0.369 
6.34 
6.30 
6.26 
6.22 
6.18 
113.6 
111.5 
109.4 
107.5 
105.6 
0.881 
0.880 
0.879 
0.878 
0.877 
0.40 
0.42 
0.44 
0.46 
0.48 
0.246 
0.251 
0.256 
0.261 
0.266 
8.87 
8.70 
8.54 
8.40 
8.26 
272.3 
259.8 
248.5 
238.1 
228.6 
0.918 
0.916 
0.915 
0.913 
0.912 
 1.10 
1.12 
1.14 
1.16 
1.18 
0.372 
0.374 
0.377 
0.379 
0.382 
6.14 
6.10 
6.07 
6.03 
6.00 
103.8 
102.0 
100.3 
98.7 
97.1 
0.876 
0.875 
0.874 
0.874 
0.873 
0.50 
0.52 
0.54 
0.56 
0.58 
0.270 
0.275 
0.279 
0.283 
0.288 
8.14 
8.02 
7.90 
7.80 
7.69 
219.8 
211.7 
204.2 
197.2 
190.7 
0.910 
0.909 
0.907 
0.906 
0.904 
 1.20 
1.22 
1.24 
1.26 
1.28 
0.384 
0.387 
0.389 
0.392 
0.394 
5.97 
5.94 
5.90 
5.87 
5.84 
95.6 
94.1 
92.7 
91.3 
89.90.872 
0.871 
0.870 
0.869 
0.869 
0.60 
0.62 
0.64 
0.66 
0.68 
0.292 
0.296 
0.300 
0.303 
0.307 
7.60 
7.51 
7.42 
7.34 
7.26 
184.6 
178.9 
173.6 
168.6 
163.9 
0.903 
0.902 
0.900 
0.899 
0.898 
 1.30 
1.32 
1.34 
1.36 
1.38 
0.396 
0.399 
0.401 
0.403 
0.405 
5.82 
5.79 
5.76 
5.73 
5.71 
88.6 
87.4 
86.1 
84.9 
83.8 
0.868 
0.867 
0.866 
0.866 
0.865 
0.70 
0.72 
0.74 
0.76 
0.78 
0.311 
0.314 
0.318 
0.321 
0.325 
7.18 
7.11 
7.04 
6.97 
6.91 
159.4 
155.1 
151.1 
147.4 
143.8 
0.897 
0.895 
0.894 
0.893 
0.892 
 1.40 
1.50 
1.60 
1.80 
2.00 
0.407 
0.418 
0.428 
0.446 
0.463 
5.68 
5.56 
5.45 
5.26 
5.11 
82.7 
77.5 
72.9 
65.3 
59.1 
0.864 
0.861 
0.857 
0.851 
0.846 
 
A análise das tensões em secções rectangulares fendilhadas sujeitas à flexão composta é um 
pouco mais laboriosa, sendo necessário a elaboração de ábacos e tabelas (equivalentes às de 
cálculo à rotura) para facilitar a análise. Na figura 2.5 apresenta-se um ábaco auxiliar para a 
análise de secções rectangulares com armadura de flexão ordinária e de pré-esforço (sem 
armadura de compressão). Com o auxílio do ábaco a relação ξ = x/dr da profundidade do eixo 
neutro e a relação ζ = z/dr do braço das forças internas (de compressão no betão e de tração no 
aço) pode ser determinada. 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 20 
Estes valores são dependentes do parâmetro N d MSd r Sdr
* */⋅ em que NSd
* e MSdr
* são os esforços 
na secção definidos em relação ao centro de gravidade das armaduras de tracção: 
 N NSdr Sd
* = 
 ( )rSdSdSdr zNMM ⋅−=* 
 d
A d A d
A Ar
p p s s
p s
=
+
+
1 1
1 1
 
 α ρe
s
c
p s
r
E
E
A A
b d
≅
+1 1 
 
 
 
Fig. 2.5 - Ábaco para a avaliação das relações ξ = x/dr e ζ = z/dr em estado II no caso de secção 
rectangular sem armadura de compressão [__]. 
Após consulta de ξ e ζ = 1-ξ/3 no ábaco da figura 2.5 as tensões no estado II resultam 
directamente de: 
 
11
*
*
1
1
ps
Sds
r
Sds
s AA
N
d
M
+





+
⋅
=
ζ
σ 
 σ σ
α
ξ
ξc
s
e
r
s r
d
d d2
1= ⋅
⋅
− ⋅
 com αe = Es/Ec. 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 21 
Note-se, da expressão anterior, que a tensão instalada na armadura, σs, pode ser avaliada de 
forma simplificada arbitrando o valor z do braço das forças internas na secção: 





 +
+
=∆= N
z
M
AA
Sds
ps
ps
1σσ 
MSds - é o momento flector em relação ao centro de gravidade da armadura de tracção. 
O valor desta tensão é importante para efectuar um controlo simplificado da fendilhação. 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 22 
3. ESTADOS LIMITES DE FENDILHAÇÃO 
3.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS 
O objectivo da cláusula 4.4.2 do EC2 é o de fornecer regras práticas para o controlo da 
fendilhação em elementos de betão armado e pré-esforçado de forma a garantir a adequada 
durabilidade. Com esse propósito são tratados: 
a) o comportamento de elementos de betão fendilhado; 
b) informação acerca da abertura de fendas que pode ser crítica com relação à 
durabilidade; 
c) expressão adequada para calcular a abertura de fendas; 
d) regras simplificadas para controlo da fendilhação que consistem na definição da 
armadura mínima, a limitação dos diâmetros dos varões e a limitação do 
espaçamento dos varões. 
3.1.1 Limites de abertura de fendas 
O aparecimento de fendas é quase inevitável em estruturas de betão. Existem várias razões 
para limitar a abertura das fendas a valores relativamente pequenos. São as seguintes as razões 
mais citadas: 
• evitar a possível corrosão da armadura devido à penetração de agentes agressivos; 
• evitar ou limitar a permeabilidade através das fendas. A falta de estanqueidade pode 
ser crítica no caso de reservatórios; 
• evitar aparência desagradável. 
Corrosão das armaduras 
Trata-se da razão mais frequente invocada para controlar a fendilhação. A protecção contra a 
corrosão tem a ver fundamentalmente com requisitos de durabilidade; os limites a estabelecer 
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para a fendilhação terão a ver, quer com a agressividade do ambiente, quer com a 
sensibilidade das armaduras à corrosão. 
Um adequado recobrimento das armaduras e um betão de boa qualidade (não poroso) são 
muito importantes como meio para proteger a armadura para além dos limites de fendilhação 
a impor. 
Deve-se resistir à tentação de controlar a fendilhação pelo emprego de um número elevado de 
varões de pequeno diâmetro. O aumento de varões no seio do betão fendilhado aumenta o 
risco de aparição de corrosão importante. Para controlar as fendas com vista à corrosão será 
preferível se necessário recorrer a uma redução da tensão na armadura em vez do uso irrealista 
de varões e de espaçamentos muito pequenos. 
Impermeabilidade aos líquidos 
Para certas categorias de estruturas a possibilidade de fuga de água ou de outros líquidos ou 
gás armazenado através das fendas deverá ser considerada. A importância das fugas depende 
da natureza e da pressão do líquido ou gás, depende do tipo de fendas (atravessando toda a 
espessura ou não) e depende ainda da abertura das fendas. 
A experiência prática tem demonstrado que fendas com abertura inferior a 0.2mm 
atravessando a secção podem iunicialmente deixar verter, mas rapidamente conseguem 
auto-colmatar-se de modo a garantir estanqueidade à água. 
Aparência 
As fendas podem ser desagradáveis e incomodar os ocupantes ou os proprietários dos 
imóveis. Hoje em dia não pode ser adoptado o ponto de vista de que interessa apenas uma 
estrutura segura sem preocupação com o aspecto. Um dos principais elementos para analisar 
da qualidade da vida humana é a qualidade das habitações. Um dos factores mais importantes 
para estimar a qualidade é o aspecto. 
O valor da abertura de fendas aceitável do ponto de vista do aspecto depende de vários 
factores. Estudos efectuados sugerem que fendas sobre superfícies lisas com aberturas 
superiores a 0.3mm podem causar preocupação no público, sendo por isso de admitir 
aberturas máximas por volta deste valor. 
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3.1.2 Causas da fendilhação 
Nesta secção será dada uma breve descrição das diferentes causas da fendilhação em 
estruturas de betão assim como as características das fendas resultantes. 
.1 Fendilhação devida a acções directas 
Corresponde à fendilhação resultante dos esforços nas secções (flexão, esforço transverso, 
tracção, etc.) devidas às cargas aplicadas. Trata-se do tipo de fendilhação normalmente 
analisado pelas fórmulas de abertura de fendas e pela teoria da fendilhação que consta no 
REBAP. Quando se observam fendas com aberturas grandes sob a acção das cargas, isso 
constitui quase sempre uma indicação que os cálculos em relação ao estado limite último 
foram mal efectuados. Poderá resultar de erros, ou dos efeitos de um caso particular de carga 
que foi mal compreendido ou desprezado. A consequência será a ausência de armadura para 
resistir a uma solicitação particular, ou uma quantidade de armadura insuficiente para essa 
solicitação que acaba por plastificar sob cargas de serviço. 
Nas figuras 3.1 e 3.2 exemplificam-se alguns dos tipos de fendas que podem ocorrer por efeito 
de cargas aplicadas: 
- fendas de tracção que atravessam em geral toda a secção; 
- fendas de flexão que se desenvolvem do bordo mais traccionado para a linha 
neutra; 
- fendas de corte que se desenvolvem obliquamente ao eixo da viga; 
- fendas de torção inclinadas em relação ao eixo da viga e que se desenvolvem 
em hélice; 
- fendas de aderência fendas que se desenvolvem ao longo das armaduras, partindo 
frequentemente de fendas de flexão. São as mais críticas sob 
o aspecto da corrosão; 
- fendas por cargas que se desenvolvem na direcção da carga aplicada. 
 concentradas 
 
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V
 
Fig. 3.1 - Fendilhação produzidapor cargas aplicadas. 
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Fig. 3.2 - Fendilhação devida a cargas aplicadas. 
.2 Fendilhação resultante de deformações impostas 
Corresponde à fendilhação resultante de causas tais como o assentamento diferencial das 
fundações, a retracção ou a variação de temperatura. A característica de tais acções indirectas 
reside no facto de as tensões, por consequência das fendas, poderem aparecer quando a 
estrutura é hiperstática ou no interior das secções certas partes se opõe às deformações 
impostas. Quanto mais rígida for a estrutura ou as suas ligações para o deslocamento imposto, 
maiores serão as tensões e mais abertas serão as fendas. As juntas de dilatação nas pontes e 
nos edifícios constituem uma medida para minimizar os efeitos das acções indirectas. 
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Um caso típico de uma fendilhação precoce de origem térmica associada também à retracção é 
a que se pode desenvolver num muro de comprimento bastante superior à altura, encastrado 
na fundação ou ligado a uma etapa precedente de betonagem. Quando a parede arrefece e 
tende a encurtar é impedida pela fundação e a fendilhação pode desenvolver-se. A fendilhação 
típica dum muro sem juntas é a ilustrada na figura 3.3. Uma tal fendilhação pode ser 
controlada: i) limitando a elevação de temperatura devida à hidratação; ii) betonando etapas 
de pequeno comprimento; ou iii) por uma disposição adequada de armadura. 
 
 
Fig. 3.3 - Fendilhação de um muro devido principalmente às deformações térmicas precoces. 
.3 Fendilhação devida à retracção plástica e ao assentamento do betão fresco 
A fendilhação plástica aparece passadas algumas horas após a colocação em obra do betão, 
durante as quais este se encontra ainda num estado plástico. Fendas superficiais em rede 
(figura 3.4a)) originadas geralmente pelas condições iniciais de secagem e desenvolvendo-se 
na camada superficial com apenas alguns milímetros de profundidade são típicas de retracção 
plástica. 
 
 
 
a) fendas superficiais em rede b) fendas de assentamento ao longo dum varão 
Fig. 3.4 - Formas de fendilhação plástica. 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 28 
Na fendilhação devida ao assentamento do betão fresco é a migração da água que sob a acção 
das forças de gravidade, provoca uma redução do volume de betão fresco que tem tendência a 
descer na cofragem. Se este movimento é impedido, quer pela armadura quer pela cofragem, 
pode resultar em fendilhação. Em numerosos casos as fendas formam-se ao longo dos varões 
da armadura superior (ver figura 3.4b)). 
Torna-se claro que a armadura não pode ajudar a controlar a fendilhação plástica: com efeito, 
ela pode ser uma das causas. 
.4 Fendilhação devida à corrosão 
O desenvolvimento da ferrugem do aço é um processo expansivo: os produtos da corrosão 
ocupam em geral 2 a 3 vezes o volume do metal a partir do qual tiveram origem. Resultam 
assim forças que tendem a afastar o betão envolvente dos varões, podendo originar a 
fendilhação ou o descascamento da camada de recobrimento. Esta fendilhação é normalmente 
a primeira manifestação visível de um problema de corrosão no interior de um elemento. O 
aspecto geral da fendilhação devida à corrosão está ilustrada na figura 3.5. 
 
 
 
Fig. 3.5 - Fendilhação devida à corrosão. 
.5 Resumo 
Na figura 3.6 é indicada a idade para a qual as várias formas de fendilhação se pode esperar 
que ocorram. No quadro 3.1 estão resumidos alguns tipos de fendilhação com indicação do 
momento de aparição e a respectiva forma de manifestação. As seis primeiras categorias de 
fendilhação deste quadro são provavelmente as que dão origem a problemas mais frequentes 
na prática. As fendas resultantes do uso da estrutura são raramente causa de reclamação, desde 
que as secções mínimas de armadura exigidas pelo cálculo tenham sido colocadas. O 
engenheiro deve estar ao corrente das diferentes maneiras possíveis segundo as quais o betão 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 29 
pode fendilhar e não deve crer que, por ter feito alguns cálculos para controlar as fendas de 
flexão, estará assegurado que a fendilhação não porá qualquer problema. 
Causa da fendilhação 
cargas nas condições de serviço 
Reacção alcalí-sílica 
Corrosão 
Retracção 
Contracção térmica precoce 
Rretracção plástica 
Assentamento plástico 
 
Fig. 3.6 - Indicação da idade para a qual podem ocorrer as várias formas de fendilhação. 
Quadro 3.1 - Resumo das diferentes formas de fendilhação. 
Causa Período de 
aparição 
Manifestação Notas 
Assentamento do 
betão fresco 
Algumas horas 
após a betonagem 
Fendas ao longo dos varões; fendas nas 
mudanças de secção (figura 3.4) 
As fendas podem ser largas; podem ser evitadas 
por medidas adequadas quando da execução 
Retracção plástica Algumas horas 
após a betonagem 
Fendilhação em rede ou fendas 
compridas na superfície de lajes 
betonadas em condições de secagem 
rápida (figura 3.4) 
As fendas compridas podem ser largas 2 a 4mm 
pode ser frequente 
Fendas precoces de 
origem térmica 
Alguns dias após 
a betonagem 
Fendas longas nas juntas de betonagem 
de muros; outras fendas dependendo da 
coacção (figura 3.3) 
Pode ser controlada por uma armadura, 
limitando a dimensão das etapas de betonagem, 
ou controlando a temperatura 
Retracção Geralmente alguns 
meses após a 
construção 
Semelhante às fendas de flexão ou de 
tracção (figura 3.1) 
Normalmente ligeira se existe armadura 
suficiente 
Corrosão Alguns anos após 
a betonagem 
Fendas ao longo dos varões provocando 
o descascamento (figura 3.5) 
Ligeira a princípio, aumenta com o tempo; 
aparição de indícios de ferrugem se o ambiente é 
húmido 
Reacção alcali-
agregados 
Alguns anos após 
a betonagem 
Aparece com certos tipos de agregados 
em ambientes húmidos, frequentemente 
como uma fendilhação em rede 
As fendas podem ser largas 
Cargas durante a 
utilização 
Depende do uso 
da estrutura 
ver figuras 3.1 e 3.2 As cargas permanentes são mais importantes que 
as de curta duração; fendas largas indicam 
geralmente uma má compreensão do 
comportamento da estrutura 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 30 
3.1.3 Comportamento em estado fendilhado 
O comportamento real em condições de serviço de uma estrutura de betão armado ou 
pré-esforçado pode diferir sensivelmente do modelo elástico linear. A diferença resulta 
essencialmente da fendilhação do betão, por um lado, e dos efeitos diferidos, ou seja da 
retracção e fluência do betão, por outro. Quando a solicitação aumenta, um elemento 
estrutural de betão passa por diferentes estados como ilustra a figura 3.7 no caso de um tirante 
de betão armado. 
 
 
Fig. 3.7 - Diagrama força-deformação característica de um tirante de betão armado. 
Estado I - o elemento estrutural não está fendilhado e as tensões de tracção permanecem 
inferiores à resistência do betão à tracção. 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 31 
Estado II - quando a solicitação ultrapassa o esforço Nr1 correspondente ao valor mínimo da 
resistência do betão à tracção; a extensão média para a qual aparece a primeira 
fenda é da ordem de 0.1%o. O estado II pode ser dividido em duas fases: 
• fase de formação de fendas - caracterizada por uma diminuição progressiva de 
rigidez à medida que novas fendas se vão formando. Quando se forma a última 
fenda a extensão média é da ordem de 1%o. 
• fase de fendilhação estabilizada - depois de ultrapassar o valor Nrn, não se 
formam novas fendas nesta fase e o elemento apresenta um comportamento 
quase linear com uma rigidez semelhante ao estado II0 (estado fendilhado 
desprezando a influência do betão traccionado). 
Estado de rotura - o comportamento torna-se não linear quando a armadura ultrapassa o seu 
limite de elasticidade (cerca de 2.3%o para o aço A500).A rotura propriamente 
dita só se verifica quando a armadura atingir a sua deformação máxima, por volta 
de 6 a 8% para aços A500 correntes. 
A solicitação indicada na figura 3.7 pode resultar de uma força aplicada ou de uma 
deformação imposta. No caso de uma força aplicada (figura 3.7) observa-se que após a 
formação de cada nova fenda a deformação aumenta sob uma força N constante (ver figura 
3.8a)). No caso de ser imposta uma deformação ao tirante, observa-se pelo contrário, que após 
a formação de cada nova fenda surge uma diminuição brusca do esforço N sob deformação ∆l 
constante (ver figura 3.8b)). 
 
 
Fig. 3.8 - Comportamento diferente da fendilhação conforme a solicitação de tracção é provocada por: 
a) força aplicada; b) deformação imposta. 
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3.1.4 Mecanismo de formação de fendas 
Seja uma peça com áreas de secção transversal, Ac, de betão e, As, de aço isenta de tensões 
intrínsecas (figura 3.9). Antes da fendilhação o comportamento é linear elástico com: 
( ) cisc
ct A
N
AA
N
=
−+
=
1α
σ 
e 
σ α σ αs c
s
c
E
E
= = 
Aci - área equivalente de betão (Aci ≅ Ac) 
A primeira fenda ocorre na secção da barra em que o betão apresenta menor resistência à 
tracção, fct
1 , para um valor de N dado por: 
( )[ ] 1
1 1 ctscr fAAN −+= α 
Na secção da fenda a tensão no aço aumenta bruscamente de 
σ αs ctf1 1= 
para 
( )





−+== 11111 α
ρ
σ ct
s
r
sr f
A
N 
a variação de tensão no aço com a fendilhação é de: 
∆σ α
ρs
r
s
ct ct
N
A
f f= − = −






1 1 1 1
1 
∆σs aumenta com fct e com a diminuição da percentagem de armadura, ρ. 
 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 33 
 
 
Fig. 3.9 - Diagrama de tensões num elemento sujeito à tracção: a) antes e b) depois da abertura da 
primeira fenda [__]. 
A tensão na armadura aumenta, assim, consideravelmente na secção da fenda, dando lugar a 
um aumento de deformação axial dos varões. Esta deformação arrasta consigo as camadas de 
betão envolventes da armadura devido à aderência desenvolvida na superfície de contacto. 
A partir da secção da fenda são assim introduzidas gradualmente novas tensões de tracção no 
betão envolvente que por sua vez condiciona a deformação na armadura. A figura 3.10 ilustra 
o mecanismo descrito. 
 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 34 
 
Fig. 3.10 - Mecanismo de interacção aço-betão numa zona fendilhada. 
Fendilhação estabilizada 
Com o desenvolvimento de tensões de aderência, τ, entre o aço e o betão, o aço transmite ao 
betão tensões de tracção. 
A partir de uma dada distância, sr, da 1ª fenda as tensões tangenciais anulam-se e o betão 
adquire a tensão máxima, σct, como se a peça não estivesse fendilhada (ver figura 3.9b)). 
Com um acréscimo do esforço N, atinge-se a tensão de rotura do betão à tracção numa 2ª 
secção fct
2. 
Esta segunda fenda formar-se-á, em princípio, a uma distância da primeira maior ou igual a sr 
(s ≥ sr) ver figura 3.11. 
 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 35 
primeira fenda
 
Fig. 3.11 - Mecanismo de fendilhação [__]. 
Uma terceira fenda entre as duas primeiras pode aparecer somente se as tensões de aderência, 
τ, são suficientes para transmitir uma força de tracção do aço para o betão, tal que a resistência 
do betão à tracção, fct, seja de novo atingida. A distância média entre fendas na fendilhação 
estabilizada terá um valor entre sr e 2×sr. 
3.1.5 Cálculo da abertura de fendas 
A experiência tem demonstrado que uma avaliação precisa do valor da abertura característica 
das fendas, wk, que se formam não é possível. A dispersão entre os valores medidos e os 
valores calculados é sempre muito elevada. Sendo assim, qualquer modelo (ou expressão) 
para calcular a abertura de fendas, wk, deve ser encarado como indicativo. No Eurocódigo 2 
foi adoptada a expressão a seguir descrita e que se apoia nos resultados de numerosos testes. 
O valor de cálculo da largura das fendas pode ser obtido a partir da relação: 
w sk rm sm= β ε 
em que: 
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wk - valor de cálculo da largura das fendas; 
srm - distância média final entre fendas; 
ε sm - extensão média tendo em conta, para a combinação de acções apropriada, os 
efeitos da rigidez da zona traccionada; 
β - é um coeficiente relacionando a largura média das fendas com o valor de cálculo. 
Os valores de β podem ser considerados com os valores seguintes: 
β = 1.7 para fendilhação devida às acções aplicadas e para fendilhação devida a 
deformações impedidas em secções com uma dimensão mínima superior a 
800mm; 
β = 1.3 para fendilhação devida a deformações impedidas em secções com uma 
altura, largura ou espessura mínima (a que for menor) de 300mm ou menos; 
os valores para as dimensões intermédias das secções podem ser interpolados. 
ε sm pode ser calculado a partir da relação: 














−=
2
211
s
sr
s
s
sm E σ
σββσε 
em que: 
σs - tensão na armadura de tracção calculada com base na secção fendilhada; 
σsr - tensão na armadura de tracção calculada com base na secção fendilhada nas 
condições de carregamento que provocam o início da fendilhação; 
β1 - é um coeficiente que considera as propriedades de aderência dos varões: 
 = 1.0 para varões de alta aderência 
 = 0.5 para varões lisos 
β2 - é um coeficiente que considera a duração ou a repetição das cargas 
 = 1.0 para uma única carga de curta duração; 
 = 0.5 para cargas actuando com permanência ou para vários ciclos de cargas 
 repetidas 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 37 
Para elementos sujeitos apenas a deformações impostas intrínsecas, σs pode ser considerado 
igual a σsr. 
A distância média final entre fendas para elementos sujeitos predominantemente à flexão ou à 
tracção pode ser calculada a partir da expressão: 
s k krm r= +50 0 25 1 2. /φ ρ 
em que 
φ - diâmetro dos varões em mm. Nos casos em que se utilizem varões de diâmetros 
diferentes pode considerar-se um diâmetro médio; 
k1 - coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões; k1 = 0.8 
para varões de alta aderência e 1.6 para varões lisos. No caso de deformações 
impostas, k1 deve ser substituído por k1⋅k, sendo k definido na secção 3.2.3. 
k2 - coeficiente que tem em conta a forma da distribuição de extensões na secção 
 = 0.5 para flexão e 1.0 para tracção simples. 
 Para casos de tracção excêntrica ou para zonas localizadas, devem usar-se 
valores intermédios de k2 que podem ser calculados a partir da relação: 
k2
1 2
12
=
+ε ε
ε
 
 em que ε1 é a maior e ε2 a menor extensão de tracção nas fibras extremas da 
secção considerada, calculadas com base na secção fendilhada. 
ρr - é a percentagem efectiva de armadura, As/Ac,eff, em que As é a área de armadura 
contida na área de tracção efectiva, Ac,eff. 
 A área de tracção efectiva é geralmente a área de betão que rodeia a armadura de 
tracção, com uma altura igual a 2.5 vezes a distância desde a face de tracção da 
secção até ao baricentro da armadura (ver figura 3.12). Para lajes ou para 
elementos pré-esforçados em que a altura da zona de tracção possa ser pequena, 
a altura da área efectiva não deve ser considerada maior do que (h−x)/3. 
 O valor resultante de srm será expresso em mm. 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 38 
 
Fig. 3.12 - Área de tracção efectiva: (a) viga; (b) laje; (c) elemento traccionado. 
3.1.5 Limites a considerar 
Na ausência de requisitos específicos (por exemplo impermeabilidade), poderá admtir-se que, 
em geral, para as classes de exposição 2 a 4, será satisfatório limitar a cerca de 0.3mm o valor 
de cálculo máximo da largura das fendas sob a combinação quase permanente de acções para 
elementos de betão armado em edifícios, no que respeita ao aspecto e à durabilidade.Relativamente à classe de exposição 1, a largura das fendas não tem influência na 
durabilidade e o limite poderá ser aumentado, se tal for aceitável por outros motivos. 
Para as classes de exposição 2 a 4, a durabilidade de elementos pré-esforçados pode ser mais 
criticamente afectada pela fendilhação. Na ausência de requisitos mais pormenorizados, 
consideram-se em geral satisfatórias as limitações indicadas no quadro 3.2. O limite de 
descompressão requer que, sob a combinação frequente de acções, todas as partes dos cabos 
ou da baínha fiquem pelo menos 25mm dentro do betão em compressão. 
Quadro 3.2 - Critérios para elementos pré-esforçados. 
Classe de exposição Valor de cálculo da largura das fendas, wk, sob a combinação 
frequente de acções (mm) 
 Pós-tensionados Pré-tensionados 
1 |0.2| |0.2| 
2 |0.2| 
3 |descompressão| ou descompressão 
 
4 protecção da armadura e wk = |0.2| 
 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 39 
Relativamente aos elementos sujeitos à classe de exposição 5, podem ser necessárias medidas 
especiais para limitar a fendilhação. A escolha das medidas apropriadas dependerá da natureza 
da substância química agressiva envolvida. 
Consegue-se limitar as larguras das fendas a valores aceitáveis garantindo: 
• que, em todas as secções que possam estar sujeitas a tracção significativa devido ao 
impedimento das deformações impostas, quer esse impedimento esteja ou não 
combinado com acções directas, se disponha de uma percentagem mínima de 
armadura aderente, suficiente para assegurar que a cedência da armadura não 
ocorrerá para valores dos esforços inferiores aos que provocam a fendilhação, e 
• que o afastamento e o diâmetro dos varões sejam limitados de forma a limitar a 
largura das fendas. 
O exposto também se aplica às partes dos elementos pré-esforçados em que se possam 
desenvolver tracções no betão. 
3.2 ÁREAS MÍNIMAS DE ARMADURA 
3.2.1 Solicitações devidas a deformações impostas 
São esforços que não resultam de forças aplicadas mas sim de deformações impostas, tais 
como a retracção, variações de temperatura, assentamentos de apoio, que são impedidos de se 
processarem livremente. Este impedimento pode ser interno ao elemento da estrutura 
considerado, como por exemplo devido à presença de armadura, originando o aparecimento 
de estados de tensão auto-equilibrados na secção. 
Quando o impedimento se deve a ligações externas, aparecem esforços hiperstáticos para 
assegurar a compatibilidade de deformações. 
Para concretizar, examinemos as solicitações que aparecem numa peça de betão armado 
encastrada nas duas extremidades submetida a um encurtamento imposto εi (figura 3.13). 
 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 40 
 
Fig. 3.13 - Solicitação num tirante bi-encastrado devido a uma deformação imposta. 
Teremos com referência ao tirante da figura 3.13: 
• deformação imposta: ∆l l i= ⋅ε 
• estabelecendo a compatibilidade de deformações aparece um esforço: 
N
l
l
E A E Ac ci i c ci= − ⋅ ⋅ = −
∆
ε 
( ) scci AAA 1−+= α - área homogeneizada da secção; 
Ec - módulo de elasticidade do betão, eventualmente o módulo efectivo para ter em 
conta o tempo de desenvolvimento da acção. 
• não haverá fendilhação se, 
N N A fr ci ct ef≤ = , 
 ou 
f
E
ct ef
c
i
, ≥ − ε 
• para valores correntes, fct ef, . MPa= 2 0 , 
 Ec = 20 GPa 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 41 
 2 0
20 10
0 13
. . % o
×
= ≥ −− ε i para não se verificar fendilhação; 
• note-se que seria suficiente a retracção do betão em geral εcs = -0.3%o para causar a 
fendilhação. 
Note-se que o esforço N que resulta da deformação impedida é aproximadamente 
independente do valor da deformação imposta (ver figura 3.8b)) e é aproximadamente igual ao 
valor que provoca a primeira fendilhação. 
O caso do tirante analisado na figura 3.13 não é apenas de um exemplo teórico, mas existem 
muitas situações práticas de deformações impostas que resultam num esforço axial de tracção 
na estrutura. 
É o caso de lintéis de travamento de paredes de alvenaria, é o caso de lajes de edifícios cujo 
encurtamento é impedido por paredes ou caixas, é o caso de muros ligados à fundação, como 
está ilustrado na figura 3.14. 
l/b 2
 
Fig. 3.14 - Tensões e fendilhação num muro cuja deformação longitudinal (encurtamento) é impedida [__]. 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 42 
3.2.2 Critério de não plastificação da armadura 
Para que o comportamento de uma obra de betão armado ou pré-esforçado seja satisfatório ao 
estado de fendilhação (que resulta de forças aplicadas e/ou de deformações impostas) é 
essencial que a armadura não plastifique sob o esforço de tracção, Nr, correspondente ao 
aparecimento das primeiras fendas. 
Com efeito se a armadura não plastificar, poderão formar-se várias fendas e o comportamento 
do elemento estrutural é dúctil. Se pelo contrário, a armadura plastifica, com a formação da 
primeira fenda, não é possível transmitir ao betão pelos mecanismos de aderência uma força 
capaz de gerar nova fendilhação, e a fenda formada aumentará de espessura com o aumento da 
solicitação. 
O critério de não plastificação é a primeira condição a satisfazer para definir uma área 
mínima de armadura. É uma condição necessária, mas por vezes não suficiente, para manter a 
fendilhação dentro de limites aceitáveis. Esta armadura mínima pode ser quantificada de 
forma aproximada conforme se indica (ver figura 3.15): 
 
 
Fig. 3.15 - Elemento de betão armado solicitado à tracção. 
• esforço instalado quando da primeira fenda: 
N A f A fr ci ct ef c ctm= ≅, 
• condição de não plastificação da armadura: 
A f N A fs syk r c ctm⋅ ≥ = 
• armadura mínima 
A A f
fs c
ctm
syk
,min = 
Prof. J.A. Figueiras Verificação aos Estados Limites de Utilização 43 
A figura 3.16 mostra resultados de ensaios efectuados sobre tirantes submetidos a uma 
deformação impedida εi = 0.5%o, com diferentes percentagens de armadura. Nota-se 
claramente que se a armadura é inferior à percentagem mínima (ρmin = fct,ef/fsyk) a abertura das 
fendas que se formam aumenta bruscamente. 
 
 
Fig. 3.16 - Resultados de ensaios realizados sobre tirantes de betão armado realizados com betão 
C25/30 e aço A500 [___]. 
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3.2.3 Armaduras mínimas (de acordo com o EC2) 
O Eurocódigo 2 exige que, em todas as secções que possam ser sujeitas a uma tracção 
significativa devida a deformações impostas combinadas ou não com forças aplicadas, seja 
colocada uma quantidade mínima de armadura que garanta que a sua plastificação não 
ocorrerá quando surgirem as primeiras fendas. Este é afinal o critério de não plastificação da 
armadura que vimos na secção precedente. 
Tracção 
Seja uma peça de betão armado sujeita à tracção centrada (figura 3.17), a condição de não 
plastificação exige como vimos que: 
A f A f A A
f
fc ct ef s syk s c
ct ef
syk
, ,min
,≤ → = 
A ssrNN sr
f ct,effenda cA (=Act )
 
Fig. 3.17 - Tirante solicitado pelo esforço que provoca a 1ª fenda. 
Exemplo 
Seja um lintel de 0.30×0.50m2 de secção de betão C20/25 ( )MPa9.2, =effctf e de aço A400 
( )MPa400=sykf que pode ser posto em tracção por efeito de acções directas e/ou variação de 
temperatura. A área mínima de armadura a utilizar deverá ser: 
 ( )%725.0cm9.10
400
9.25030 min
2
min, ==××= ρsA 
que poderá ser realizada por 6φ16 ou 4φ20. 
Flexão 
Consideremos agora um elemento de betão armado sujeito à flexão (figura 3.18): 
 
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h/2
b
h
McrcrM
ctN
cz
A ct
z s
fct,ef
N st
 
Fig. 3.18 - Viga solicitada pelo momento de fendilhação. 
A condição de não plastificação da armadura requer: 
 N z N zct c st s⋅ ≤ ⋅ admitindo zc ≅ 0.8 zs 
 0 8. N Nct st≤ 
 0 8 1
2
. ,A f A fct ct ef s syk≤ ⋅ 
 A A
f
f
k A
f
fs ct
ct ef
syk
c ct
ct efsyk
,min
, ,.= =0 4 
em que kc é um coeficiente que tem em conta a natureza da distribuição de tensão na secção: 
kc = 1.0 - tracção pura; kc = 0.4 - flexão (sem esforço normal). 
Exemplo 
Seja: 
 fct ef, . MPa= 3 0 
 fsyk = 400 MPa 
 ρmin
,min
.
. %≅ =
× ×
=
A
bh
bh
bh
s
0 4
2
3
400 0 15 
a percentagem mínima de armadura na viga armada com aço A400 é de 0.15% como já 
conhecemos. 
Efeito de tensões auto-equilibradas 
As tensões auto-equilibradas que podem existir na secção antes da aplicação da solicitação 
tem um efeito de antecipar a fendilhação, isto é, o esforço que provoca o início da fendilhação 
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é mais baixo. Este efeito tem consequências benéficas para a quantificação da armadura 
mínima (figura 3.19). 
 
+ ACÇÃO =
fendas de retracção
superficial
h
+
+
−
f ct,ef
ct,medioσ
AUTO-EQUILIBRADAS
TENSÕES
NA SECÇÃO
TENSÕES INSTALADAS
k = ct,mσ
ct,eff
 
Fig. 3.19 - Efeito das tensões auto-equilibradas. 
A expressão para quantificar a armadura mínima fica então: 
A k k A
f
fs c ct
ct ef
syk
,min
,= 
em que k é um coeficiente que tem em conta o efeito de tensões auto-equilibradas na secção. 
Os valores a atribuir a k dependem de duas situações distintas a considerar: 
a) k = 1.0 quando as tensões de tracção são devidas a impedimentos a 
deformações impostas exteriormente ao elemento (deformações 
extrínsecas); 
b) k = 0.8 quando as tensões de tracção são devidas a impedimentos a 
deformações intrínsecas. No caso de secções rectangulares, os valores 
de k variam entre 0.5 e 0.8 dependendo da altura da secção (ver figura 
3.20). 
 
0.3 0.8
0.5
0.8
k
h(m)
h
 
Fig. 3.20 - Valores o coeficiente de k no caso de secções rectangulares sujeitas a deformações 
intrínsecas. 
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A figura 3.21 ilustra alguns dos casos mais correntes de deformação impostas distinguindo 
entre deformações intrínsecas e extrínsecas. 
 
 
 Natureza do 
impedimento 
Esforço 
dominante 
1 
 
Extrínseca flexão 
2 
 
Extrínseca flexão 
3 
 
Intrínseca tracção 
4 
 
Intrínseca flexão 
5 
 
Intrínseca tracção 
6 
 
Intrínseca flexão 
Fig. 3.21 - Deformações impostas intrínsecas e extrínsecas [___]. 
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Expressão do Eurocódigo 2 
A não ser que se possa justificar, através de um cálculo mais rigoroso, a utilização de uma 
área menor de armadura, as áreas mínimas de armadura que são necessárias podem ser 
calculadas a partir da relação: 
A k k f As c ct ef ct s= , / σ 
em que: 
As - área da armadura na zona traccionada; 
Act - área de betão na zona traccionada. A zona traccionada é a parte da secção que é 
calculada como estando em tracção imediatamente antes da formação da primeira 
fenda. 
σs - tensão máxima permitida na armadura imediatamente depois da formação da 
fenda. Poderá ser considerada como 100% da tensão de cedência da armadura, fyk. 
No entanto, poderá ser necessário um valor mais baixo para satisfazer as 
exigências relativas à largura máxima das fendas (ver o Quadro 4.11, EC2 ou 
figura 3.22); 
fct ef, - resistência do betão à tracção, efectiva na altura em que se prevê que, pela 
primeira vez, se possam formar fendas. Em muitos casos, como por exemplo 
quando a deformação imposta predominante resulta de dissipação do calor de 
hidratação, esta situação pode ocorrer 3-5 dias depois da betonagem dependendo 
das condições ambientais, da forma do elemento e da natureza da cofragem. 
Poderão obter-se valores de fct,ef no quadro 3.1 do EC2, sendo a classe considerada 
definida pela resistência na altura em que se prevê o aparecimento de fendilhação. 
Se a fendilhação puder ocorrer numa data posterior aos 28 dias, sugere-se a 
adopção de uma resistência mínima à tracção de 3 N/mm2. 
kc - coeficiente que tem em conta a natureza da distribuição de tensões na secção, 
imediatamente antes da fendilhação. A distribuição apropriada de tensões é a que 
resulta da combinação de efeitos de cargas e de deformações impostas impedidas. 
 = 1.0 para tracção simples 
 = 0.4 para flexão sem esforço normal de compressão 
 
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 Para secções sujeitas a esforço normal ou a pré-esforço, ver EC2 4.4.2.2(7). 
k - coeficiente que considera o efeito de tensões auto-equilibradas não uniformes. 
Indicam-se a seguir valores de k para diversas situações: 
- tensões de tracção devidas a impedimentos a 
 deformações intrínsecas em geral k = 0.8 
 h ≤ 30cm k = 0.8 
 para secções rectangulares 
 h ≤ 80cm k = 0.5 
- tensões de tracção devidas a impedimentos a 
 deformações extrínsecas k = 1.0 
Algumas partes de secções distantes da armadura de tracção principal, como por exemplo as 
partes salientes de uma secção ou as almas de secções de grande altura, podem ser 
consideradas como estando sujeitas a deformações impostas pelo banzo traccionado do 
elemento. Nestes casos, será apropriado um valor da ordem de: 0.5 40cm o 
diâmetro máximo (limite) pode ser aumentado, multiplicando o diâmetro indicado na figura 
por um factor f1, no caso de cargas aplicadas, dado por: 
( ) ( ) 0.11.0
5.2
45.2
401 ≥
−
=
−
×
=
dh
h
dh
hf 
Tensão na 
armadura 
Diâmetros máximos dos varões 
(mm) 
(MPa) secções 
armadas 
secções pré-
esforçadas 
160 
200 
240 
280 
320 
360 
400 
450 
32 
25 
20 
16 
12 
10 
8 
6 
25 
16 
12 
8 
6 
5 
4 
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No caso de fendilhação devida a deformações impostas o diâmetro máximo (limite) indicado 
na figura 3.22 deve ainda ser corrigido de um coeficiente, f2, para ter em conta uma resistência 
à tracção do betão diferente de 2.5N/mm2 que foi considerada nas expressões da figura. 
Assim, 
f fctm
2 2 5
=
.
 
e o diâmetro máximo corrigido será 
φ φcor quadro f f= ⋅ ⋅1 2 (deformações impostas) 
Note-se que no caso de deformações impedidas a tensão, σs, a considerar na figura 3.22 é a 
tensão instalada aquando da primeira fendilhação. A figura 3.23