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M étodos Determińısticos II Gabarito da AP2 2a/2019
Fundaç ão Centro de Cîencias e Educaç ão Superior a Dist ância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educaç ão Superior a Dist ância do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 – Méto dos Determiń ısticos I I – 2a /2019
Questão 1 [3,0 p ontos]: Calcule: a) a derivada de h(x) = x2 + 3
x
+ 10
3x2 + 1
2
√
x
; b) a integral de
(1 − t)(2 + t2).
Solu ção: a) Calculando a derivada temos
h′ (x) = − 20
3x3
− 3
x2
+ 2x +
1
4
√
x
.
b) Antes de integrar veja que , dáı(1 − t)(2 + t2) = 2 − 2t + t2 + t3
 
(1 − t t)(2 + 2) dt =

t3 + t2 − 2t + 2

dt =
t4
4
+
t3
3
− t2 + 2t + K.
Questão 2 [1,5 p ontos]: Considere a fun ç ão f (x) = x2+1
1−x2 . Calcule: (a) o doḿınio de f (x); (b)
f ′ (x) e (c) As assintotas.
Solu ção: a) Basta excluir os valores de tais que . Logo o doḿınio de x 1 − x2 = 0 ⇒ x = ±1 f (x)
é
{ ̸ ± }x ∈ R : x = 1
b) Derivando temos
f ′ (x) =
2x x x(1 − 2) − ( 2− )(x2 + 1)
( 1)x2 − 2
=
4x
( 1)x2 − 2
c) Precisamos calcular 6 limites
lim
x→±∞
x2 + 1
1 − x2
= lim
x→±∞ 

x2
x2
 
1 + 1/x2
1/x2 − 1

= −1−
lim
x→−1−
x2 + 1
1 − x2
= −∞, lim
x→−1+
x2 + 1
1 − x2
= +∞
lim
x→1−
x2 + 1
1 − x2
= +∞, lim
x→1+
x2 + 1
1 − x2
= −∞
Portanto, y = −1 é uma assintota horizontal e x = −1 e x = 1 s ão assintotas verticais.
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Questão 3 [1,5 p ontos]: Considere f (x) a mesma fun ç ão da quest ão 2. Fa ça a an álise do sinal
de f ′ (x) e calcule f ′′ (x) dep ois fa ça a an álise do seu sinal.
Solu ção: Como o denominador de f ′
é (x2 − 1)
2
, ele ser á sempre p ositivo. Logo quem controla
o sinal de é o seu numerador. Logo se e se f ′ x ≥ 0, f ′ (x) ≥ 0 x 0.
Questão 4 [1,0 p ontos]: Considere f (x) a mesma fun ç ão da quest ão 2. Explique o comp ortamento
de f (x) e fa ça um esb oço do gr áfico.
Solu ção: Marque as três asśıntotas. Observe que quando comx → −∞ e x → +∞ a f (x) → −1
valores inferiores a e p or fim quando e−1. Quando x → −1−
e x → 1+
a f (x) → −∞ x → −1+
x → 1−
a f (x) → +∞.
Observando o gr áfico da esquerda para a direita vemos que até x = −1 a funç ão é decrescente com
a concavidade para baixo. Entre a concavidade esta voltada para cima e −1 1 f
e o calculo de é p osśıvel fazer um esb o ço do gr áfico de .f (0) = 1 f
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Questão 5 [3,0 p ontos]: Fa ça o esb o ço da regi ão compreendida pelas curvas ,y = x2 + 1
y = 3 − x2
, no intervalo −2 ≤ x ≤ 2. Calcule a área compreendida entre as curvas neste intervalo.
Solu ção: Inicialmente veja que ambas as curvas s ão parb́olas. Mas y = x2 + 1 n ão tem ráızes e
tem b oca voltada para cima e passa em . J á a par ábola tem b o ca voltada para(0 1), y = 3 − x3
baixo e ráızes e passa p or . Igualdando as duas temos .x = ±√
3 (0 3), x2 + 1 = 3 − x2 ⇒ x = ±1
Mas a área solicitada é a área entre as curvas no intervalo .−2 ≤ x ≤ 2
Pelo gr áfico queremos a área “da balinha”, logo ser á dado por
A =
 −1
−2
(x2 + 1) − (3 − x2) dx +

1
−1
(3 − x2) − (x2 + 1) dx +

2
1
(x2 + 1) − (3 − x2) dx
=

2

x3
3
− x
−1
−2
+

2x − 2x3
3
1
−1
+

2

x3
3
− x
2
1
=
8
3
+
8
3
+
8
3
= 8
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