Teoria da Relatividade Geral

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Teoria da Relatividade Geral
A Teoria da Relatividade Geral (TRG) é o arcabouço físico-matemático que descreve a gravitação como manifestação da geometria do espaço-tempo. Em vez de tratar a gravidade como uma força atuando à distância, como na teoria de Newton, a TRG estabelece que a presença de energia e momento curva a métrica do espaço-tempo, e corpos livres seguem geodésicas nessa geometria curva. Para um tratamento técnico, comece definindo o espaço-tempo como uma variedade pseudo-Riemanniana (M, gμν) de dimensão quatro, com assinatura convencional (-,+,+,+). A métrica gμν contém a informação sobre distâncias e intervalos temporais; a curvatura é capturada pelo tensor de Riemann Rαβγδ, obtido a partir das derivadas das conexões de Levi-Civita Γαβγ.
A formulação central é a equação de campo de Einstein:
Gμν + Λ gμν = (8πG/c^4) Tμν,
onde Gμν = Rμν − (1/2)R gμν é o tensor de Einstein, Rμν o tensor de Ricci, R a curvatura escalar, Λ a constante cosmológica, G a constante gravitacional e Tμν o tensor energia-impulso que representa o conteúdo material. Interprete cada termo: Gμν resume a curvatura local; Tμν dita a distribuição energética; Λ atua como densidade de energia do vácuo. Para problemas práticos, realize as seguintes etapas: (1) especifique simetrias físicas e escolha coordenadas compatíveis; (2) proponha uma forma ansatz para a métrica gμν respeitando as simetrias; (3) calcule as conexões Γαβγ; (4) determine Rαβγδ, Rμν e R; (5) imponha as equações de Einstein com o Tμν adequado e resolva para as funções métricas.
No regime fraco e de velocidades pequenas, a TRG reduz-se à gravitação newtoniana. Para conduzir essa aproximação, escreva gμν = ημν + hμν com |hμν|