Aulas Fenômenos de transporte I

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Fenómenos de 
Transporte I
Fluidos e suas Propriedades 
Fluidos 
 Estados da matéria
 Fluido: Substancia que não tem forma própria, adota a formato 
do recipiente. Não resiste a tensão de cisalhamento
Fluidos: Definição Formal
 Experiência de duas placas 
 Solido. Se a força não supera limite elástico solido...solido volta
 Fluido. Não resiste tensão de cisalhamento. Adquire a mesma velocidade do 
superfície em contato
Fluidos: Líquidos e gases
 Os líquidos formam uma superfície livre  em repouso 
superfície estacionária não determinada pelo recipiente que 
contém o líquido
 Os gases  se expandem livremente quando não confinados (ou 
contidos) por um recipiente, não formam uma superfície livre. 
 A superfície livre característica dos líquidos é uma propriedade da 
presença de tensão interna e atração/repulsão entre as moléculas 
do fluido, bem como da relação entre as tensões internas do 
líquido com o fluido ou sólido que o limita.
Fluidos: Líquidos e gases
 Líquidos  não se deixam comprimir, são incompressíveis (a sua densidade 
é constante e não varia ou varia muito pouco)
 Gases  se comprimem facilmente
 Em alguns casos não é tão obvia a fronteira entre fluido e solido, 
especialmente no caso de líquidos de altíssima viscosidade  vidro liquido 
extremadamente denso e viscoso
Fluidos
 Outra classificação importante dos fluidos:
 Aqueles nos que a sua viscosidade pode-se considerar constante 
Fluidos Newtonianos
 Ar
 Gasolina 
 E Aqueles nos que a sua viscosidade muda com a temperatura ou 
com a força de cisalhamento aplicada Fluidos não Newtonianos
 Tintas
 Sangue
 Masinha
Fluidos, nosso interesse no curso
 Mecânica dos fluidos : Ciência que tem por objetivo o 
estudo do comportamento físico dos fluidos e das leis que 
regem este comportamento
 Ação dos fluidos em superfícies submersas.
 Equilíbrio de corpos flutuantes.
 Movimento do petróleo em o seu transporte.
 Ação do vento em construções civis.
 Fluxo do ar nas asas de aeronaves.
Sistemas de Unidades
Unidades derivadas
Prefixos no SI
Conversão de Unidades
Conversão de Unidades
Aula 2: Propriedades 
dos Fluidos
Propriedades dos Fluidos 
 Propriedades fundamentais para a análise de um 
fluido 
 Propriedades específicas para cada tipo de 
substância 
 Dentre essas propriedades podem-se citar: 
 A massa específica
 O peso específico 
 O peso específico relativo
Massa Específica
 Representa a relação entre a massa de uma determinada 
substância e o volume ocupado por ela. A massa específica pode 
ser quantificada através da aplicação da equação a seguir.
 ρ é a massa específica, m representa a massa da substância e V 
o volume por ela ocupado.
 No Sistema Internacional de Unidades (SI), a massa é 
quantificada em kg e o volume em m³, assim, a unidade de 
massa específica é kg/m³.
Peso Específico
 É a relação entre o peso de um fluido e volume ocupado, seu valor pode ser obtido
pela aplicação da equação a seguir
 Como o peso é definido pelo princípio fundamental da dinâmica (2ª Lei de
Newton) por , a equação pode ser reescrita do seguintemodo:
 A partir da análise das equações é possível verificar que existe uma relação entre
a massa específica de um fluido e o seu peso específico, e assim, pode-se escrever
que:
 onde, γ é o peso específico do fluido, W é o peso do fluido e g representa a
aceleração da gravidade, em unidades do (SI), o peso é dado em N, a aceleração
da gravidade em m/s² e o peso específico em N/m³.
Peso Específico Relativo
 Representa a relação entre o peso específico do fluido em estudo e o 
peso específico da água. 
 Em condições de atmosfera padrão o peso específico da água é 
10000N/m³, e como o peso específico relativo é a relação entre dois 
pesos específicos, o mesmo é um número adimensional, ou seja não 
contempla unidades.
Propriedades dos Fluidos
Aula 3 : fluidos, conclusão 
de propriedades
Viscosidade e aplicações das propriedades dos fluidos
Tensão de Cisalhamento 
 Tensão de Cisalhamento : O modulo da Componente Tangencial da 
Força aplicada e a área sobre a qual se aplica : Força Tangencial por 
unidade de Área 
𝜏 =
𝐹𝑇
𝐴
Tensão de Cisalhamento 
 Fluido: Substancia que se deforma com velocidade constante devido à 
tensão de Cisalhamento
 Inicialmente as placas e o fluido em repouso
Tensão de Cisalhamento 
 Aplica-se uma força Ft na direção tangencial à superfície da placa.
 A placa se acelera passa de Vo a V1 
Tensão de Cisalhamento 
 Segue aplicando-se a força até atingir uma velocidade da placa 
constante: Força de cisalhamento Ft
 Segunda lei de Newton: deve existir força que equilibre : Tensão de 
Cisalhamento
Tensão de Cisalhamento 
 Segundo o princípio de aderência :Junto à placa superior as partículas 
do fluido tem velocidade V1 e Junto à placa inferior a velocidade do 
fluido é nula.
Tensão de Cisalhamento 
 Entre as partículas de cima e de baixo existe atrito que forma tensões 
de cisalhamento contrarias ao movimento (tangenciais)
 Estas tensões agem em todas as camadas 
Viscosidade 
 Newton – a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de 
velocidade (variação da velocidade com a altura)
𝜏 ∝
𝑑𝑣
𝑑𝑦
, 𝜏 = 𝜇
𝑑𝑣
𝑑𝑦
 : Viscosidade dinâmica ou absoluta
Viscosidade Absoluta ou Dinâmica 
 E própria de cada fluido
 Depende de caraterísticas como a temperatura e a pressão
 Não é observável num fluido estático 
 Permite equilibrar as forças tangenciais nos fluidos 
 É a constante de proporcionalidade da lei de Newton para os fluidos
 É a propriedade que indica maior o menor dificuldade de um fluido a 
escoar 
𝜇 =
𝑁𝑠
𝑚2
= 𝑃𝑎 ∙ 𝑠
Viscosidade Absoluta ou Dinâmica 
 ∆ 𝐴𝐵𝐶 ≈ ∆𝑀𝑁𝑃

𝑀𝑃
𝑀𝑁
=
𝐴𝐶
𝐴𝐵

𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
𝑣0
𝜀
= 𝑐𝑡𝑒
 𝜏 = 𝜇
𝑑𝑣
𝑑𝑦
→
 𝜏 = 𝜇
𝑣0
𝜀
Viscosidade Cinemática 
 Por comodidade existe uma relação entre a Viscosidade e a massa 
especifica de um fluido 
𝜈 =
𝜇
𝜌
=
𝑚2
𝑠
 Exemplos: 
1. A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 
𝑚2
𝑠
, e o seu peso 
especifico é 0,9. Determinar a Viscosidade Dinâmica em unidades 
do S.I. (aceleração da gravidade = 9,8 𝑚 𝑠2)
 R/ 25,71 𝑁𝑠 𝑚2
Viscosidade 
2. São dadas duas placas paralelas de 2 𝑚𝑚 . A placa superior move-se 
com velocidade de 4 𝑚 𝑠, enquanto que a inferior está fixa. Se o 
espaço entre as duas placas for preenchido com óleo ( 𝜐 = 0,1𝑐𝑚2/𝑠, 
𝜌 = 9 𝐾𝑔 𝑚3).
a) Qual a tensão de cisalhamento no óleo ?
b) Qual a força necessária para rebocar a placa superior de área 𝐴 =
0,5 𝑚2?
 R/ 𝜏 = 0,18 𝐾𝑔 𝑠2𝑚, F = 0,09 
𝐾𝑔𝑚
𝑠2
Viscosidade 
3. Uma placa quadrada de 1𝑚 de lado e 20 𝑁 de peso desliza sobre um 
plano inclinado de 30𝑜, sobre uma película de óleo. A velocidade da 
placa é 2 𝑚 𝑠 constante. Qual é a viscosidade dinâmica do óleo, se a 
espessura da película é 2𝑚𝑚 ?
 R/ μ = 0,001 𝑁𝑠 𝑚2
Conceitos 
 Fluido Ideal : Aquele cuja viscosidade é nula, então conclui-se que 
escoa sem perda de energia por atrito. Nenhum fluido tem esta 
propriedade, mas, algumas vezes será necessário admitir essa 
hipótese.
 Fluido ou escoamento Incompresivel : seu volume não varia com a 
pressão, por tanto sua massa especifica não varia com a pressão. Não 
existem na pratica mas os líquidos têm comportamento muito próximo 
ou gases a baixas variações de pressão podem ser considerados 
incompressíveis. Se a variação de massa for desprezível pode-se 
considerar estahipótese.
Equação de Estado dos Gases 
 Se um fluido não pode-se considerar incompressível + efeitos térmicos 
 A massa especifica se relaciona à pressão e temperatura 
 De forma geral para os gases essa relação tem a forma 
𝑓 𝜌, 𝑝, 𝑇 = 0
 Que são do tipo denominado equações de estado 
 O gás envolvido será considerado gás perfeito, que cumpre as 
condições :
𝑝
𝜌
= 𝑅𝑇 𝑜𝑢 𝜌 =
𝑝
𝑅𝑇
Equação de Estado dos Gases 
𝑝
𝜌
= 𝑅𝑇 𝑜𝑢 𝜌 =
𝑝
𝑅𝑇
 𝑝 = pressão absoluta 
 𝑅= constante do gás ideal, depende do gás 
 𝑇 = temperatura absoluta (Kelvin)
 Exemplo: para o ar 𝑅 = 287 𝑚
2
𝑠2𝐾
Equação de Estado dos Gases 
 Numa mudança do estado de um gás
𝑝1
𝑝2
𝜌1
𝜌2
=
𝑇1
𝑇2
 Processo Isotérmico: temperatura constante 
 Processo Isobárico: pressão constante
 Processo Isométrico: volume constante
 Processo adiabático : sem troca de calor
Aula 4: Estática dos 
Fluidos 
Pressão
 Estática dos Fluidos: ramo da mecânica dos fluidos que estuda os fluidos em condição 
de equilíbrio estático, uma das caraterísticas importantes de estudo é a sua pressão em 
equilíbrio estático.
 Pressão: lembrando a decomposição de forças sobre uma superfície de um fluido em 
repouso:
 𝐹𝑡Tangencial : tenção de cisalhamento 
 𝐹𝑛 Normal : Da origem às pressões
Estática dos Fluidos
Pressão 
 A pressão é a relação entre a força aplicada em direção normal 𝐹𝑛 à superfície e a 
área da superfície sendo atingida pela força.
 Num espaço infinitesimal de área 𝑑𝐴 a pressão sobre um ponto pode-se definir 
como:
𝑝 =
𝑑𝐹𝑛
𝑑𝐴
 Se a pressão fosse uniforme sobre toda a área A ou se o interesse está com a 
pressão média, então a pressão se define :
𝑝 =
𝐹𝑛
𝐴
 Unidades : 
𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛
𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜2
≡ 𝑝𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 (𝑝𝑎)
Pressão 
 outras unidades comuns são : atm, mmHg, bar, psi, etc.
 A mais comum é a atmosfera que representa a pressão necessária para elevar 
760 mm de Hg 
Pressão atmosférica 
 O ar atmosférico exerce pressão sobre todos os corpos na superfície a terra, a 
medida desta pressão foi feita por Evangelista Torricelli (1643)
 Para isso encheu um tubo longo com mercúrio com um dos extremos fechado, 
colocou uma tampa no extremo aberto e invertendo o tubo o submergiu numa 
bacia de mercúrio:
 Ao retirar o tampo observou o descenso do mercúrio sempre até a mesma 
altura (760 mm), definindo assim a pressão atmosférica padrão 
Escalas de Pressão 
 Se a pressão é medida em relação ao vácuo ou zero absoluto (todas as 
medições em esta escala são positivos )
 Pressão Absoluta 
 Se medida adotando a atmosfera como referência: (quase todos os aparelhos 
de medição de pressão registram zero quando abertos à atmosfera) a pressão 
efetiva pode ser maio ou menor que zero 
 Pressão efetiva 
 Si a pressão é menor que a atmosférica, costuma ser chamada de vácuo mas é 
melhor chamar de depressão 
Escalas de Pressão 
 Verifica-se que 
𝑃𝑎𝑏𝑠 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝑃𝑒𝑓
Exercícios 
1. Uma placa circular com diâmetro de 0,5m possui um peso de 200 N, determine a pressão 
exercida por essa placa em Pa, quando ela estiver apoiada sobre o solo.
2. Determine o peso em N de uma placa retangular com área de 2m2 de forma a produzir uma 
pressão de 5000 Pa.
 Exercícios propostos 
1. Uma caixa retangular d’agua com medidas: 1,2 m x 0,5m e 1m de altura, tem um peso de 
1000 N, que pressão exerce sobre o solo:
a) Quando estiver vazia
b) Quando estiver cheia de agua 
𝛾𝐻2𝑜 = 10000
𝑁
𝑚3
2. Uma placa circular com diâmetro igual a 1m possui um peso de 500 N, determine em Pa a 
pressão exercida por essa placa quando estiver apoiada no solo.
Teorema de Stevin
 É também conhecido como teorema fundamental da Hidrostática: chave para 
a determinação da pressão em qualquer posição de uma coluna de fluido.
 O teorema diz que: A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em 
repouso é igual ao produto do peso especifico do fluido pela diferença de cota 
entre esses dois pontos 
∆𝑝 = 𝛾 ∙ ∆ℎ
 Importante notar:
 Só importa a diferença de cotas, não a distância entre os pontos 
 A pressão nos pontos num mesmo plano horizontal é igual 
 O formato do recipiente não é importante para o calculo
 Se a pressão da superfície livre de um fluido contido for nula p=0, então a pressão 
em qualquer ponto de profundidade h será:
𝑝 = 𝛾ℎ
 Nos gases como o peso especifico é pequeno, se a diferencia de cotas não for 
muito grande, pode-se desprezar a diferença de pressão entre pontos 
Exercícios 
1. Um reservatório aberto em sua superfície possui 8m de profundidade e 
contém agua, determine a pressão hidrostática no fundo do mesmo.
2. Achar a pressão no fundo dos seguintes recipientes enchidos de agua?
Aula 5: Principio de 
Pascal 
Princípio de Pascal
 Pressão em torno de um ponto de um fluido em repouso: a pressão num 
ponto em repouso de um fluido é a mesma em todas as direções. Se um 
fluido está em repouso, todos os seus pontos também deverão estar.
 Lei de Pascal
 a pressão aplicada a um fluido incompressível em repouso transmite-se 
integralmente a todos os pontos do fluido
 p1=1N/cm2
 p2=2N/cm2
 p3=3N/cm2
 p4=4N/cm2
Princípio de Pascal
 Ao aplicar força de 100 N sobre o êmbolo temos um incremento de pressão :
𝑝 =
𝐹
𝐴
=
100𝑁
5 𝑐𝑚2
= 20𝑁/𝑐𝑚2
 Este incremento se produz em todos os pontos do fluido, obtendo:
 p1=21N/cm2
 p2=22N/cm2
 p3=23N/cm2
 p4=24N/cm2
Exemplos (Brunetti)
Exemplos
Exemplo
 Na figura apresentada, os êmbolos A e B possuem áreas de 80 𝑐𝑚2 𝑒 20 𝑐𝑚2
respetivamente, despreze os pesos dos êmbolos e considere o sistema em 
equilíbrio estático. Sabendo-se que a massa do corpo colocado em A é igual a 
100 kg, determine a massa do corpo colocado em B
Exercícios 
 Qual a pressão no fundo de um reservatório que contem agua, com 3m de 
profundidade ?
 Faça o mesmo cálculo para um reservatório que contem gasolina (peso 
especifico : 0,72 N/m^3) 
Exercícios 
 As áreas dos pistões do dispositivo hidráulico da figura mantem relação de 
50:2. Verifica-se que um peso P colocado sobre o pistão maior é equilibrado 
por uma força de 30 N no pistão menor sem que o nível nas duas colunas se 
altere. Aplicando o princípio de Pascal determine o valor do peso P
Exercícios 
 A prensa hidráulica da figura está em equilíbrio. Sabendo-se que os êmbolos 
possuem uma relação de áreas de 5:2 determine a intensidade da Força F 
Exercícios
Aplicações 
 Prensa Hidráulica
Aplicações 
 Cilindro
 Cilindro de Ação simples 
Aplicações 
 Cilindro
 Cilindro de dupla ação ou regenerativo 
Aula 6: Manômetros e 
Manometria 
Manômetro 
 Instrumento utilizado na mecânica dos fluidos para efetuar a medição de
pressão. Existem diferentes tipos de manômetros e medidores de pressão
 BARÔMETRO
 MANÔMETRO METÁLICO
 COLUNA PIEZOMÉTRICA OU PIEZÔMETRO
 MANÔMETRO COM TUBO EM U
 MANÔMETROS DIFERENCIAIS
BARÔMETRO
 Utiliza-se para a medição da pressão atmosférica 
 Pressão atmosférica padrão:
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 760 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 101303 𝑁/𝑚
2
Manômetro metálico ou de Bourdon
 O tubo metálico internamente é submetido a uma pressão (a pressão da 
tomada) e o arco metálico se deforma dependendo dessa pressão. O medidor 
indica a pressão.
Manômetro metálico ou de Bourdon
 Quando externamente está submetido a uma pressão diferente da 
atmosférica :
 A pressão medida será :
Manômetro metálico ou de Bourdon
 Exemplo:
 A pressãomedida será :
Coluna Piezométrica ou piezômetro
 Tubo de Vidro que ligado ao reservatório permite medir diretamente a carga 
de pressão 
 Tem três limitações importantes :
Manômetro com tubo em U
 Resolve o problema de pressões negativas
 Incluindo fluido manométrico se resolve o problema de medição de gases 
Manômetros diferenciais
 Manômetros em U ligados a dois reservatórios simultaneamente 
Equação Manométrica 
 Expressão que permite, a partir da inclusão de um manômetro, determinar a 
pressão em um sistema ou a pressão diferencial em vários sistemas 
Equação Manométrica 
 Determinar a pressão em PM e a força no topo
Aula 7: Flutuação e 
Empuxo
FLUTUAÇÃO E EMPUXO
 Empuxo: Para entender este conceito imagine o que acontece quando um 
corpo mergulha em um liquido: o peso aparente do corpo é menor (chegando 
até ser anulado completamente em algumas circunstancias quando flutua) 
 A causa deste fenômeno é a existência de uma força vertical, de baixo para 
cima exercida no corpo pelo liquido : Empuxo
 O empuxo se deve à diferencia das pressões exercidas pelo fluido nas 
superfícies superior e inferior do corpo. Sendo as forças inferiores maiores 
dando como resultante uma força vertical de baixo para cima que é o 
empuxo
FLUTUAÇÃO E EMPUXO
 A magnitude de esta força de empuxo está relacionada com o princípio de 
Arquimedes 
“ Num corpo total ou parcialmente imerso num fluido, age uma força vertical de 
baixo para cima, chamada empuxo, cuja intensidade é igual ao peso do volume 
de fluido deslocado”
𝐸 = 𝛾 𝑉
Exemplos
FLUTUAÇÃO E EMPUXO
 Considerações com relação ao empuxo:
 Se a massa especifica de uma fluido for menor que a massa especifica de um 
corpo: o corpo afundara no liquido
 Se as densidades (massa especifica) são iguais o corpo ficará em equilíbrio quando 
estiver totalmente mergulhado no liquido
 Se a densidade do fluido e maior que a do corpo, o corpo permanecerá boiando na 
superfície do liquido
FLUTUAÇÃO E EMPUXO
 Exercício: Um objeto com massa de 10 kg e volume de 0,002𝑚3 está 
totalmente imerso dentro de um reservatório de água, determine
 R: 100 N, 20 N, 80 N
FLUTUAÇÃO E EMPUXO
Aula 8:Cinemática dos 
Fluidos
Introdução
Cinemática dos Fluidos
 Ramo da Mecânica dos Fluidos que estuda o 
comportamento de um fluido em uma condição de 
movimento.
 Estados : Regimes ou Movimentos Variado e Permanente: 
Os fluidos podem-se encontrar em diferentes estados 
dependendo de se mudam ou não as propriedades de cada 
ponto do sistema no transcorrer do tempo
Cinemática dos Fluidos
 Regime Permanente: Ou movimento Permanente, é quando fixado um 
ponto no sistema de referência, neste ponto, com o decorrer do 
tempo não mudam suas propriedades : Pressão, massa especifica, 
velocidade, etc. (as propriedades entre os pontos podem variar)
Cinemática dos Fluidos: Regime 
Permanente
 Exemplo: No ponto 1 entra a mesma quantidade de fluido que sai no 
ponto 2
Cinemática dos Fluidos
 Regime Variado : Ou movimento Variado, é quando as propriedades 
de um mesmo ponto num sistema podem variar com o decorrer do 
tempo
Cinemática dos Fluidos: Regime Variado
 Exemplo: no tanque não se tem fornecimento no ponto 1, só saída de 
fluido no ponto 2
Cinemática dos Fluidos
 Reservatório de Grandes Dimensões: Reservatório no qual se admite 
fluido ou se extra fluido, mas devido a suas grandes dimensões o nível 
não varia sensivelmente com o tempo, assim pode-se considerar como 
regime permanente.
Escoamentos : Laminar e Turbulento 
 Experimento de Reynolds: (1883)
Escoamento Laminar
Escoamento Turbulento
Escoamentos : Laminar e Turbulento 
 O experimento permitiu descobrir que existem dois tipos de 
escoamento separados por um escoamento de transição .
1. Quando o filete é observável, reto e continuo : as partículas viajam 
sem agitação transversal mantendo laminas em lâminas concêntricas 
sem troca de partículas : Escoamento Laminar
2. Quando o filete se dilui no fluido as partículas apresentam velocidades 
transversais importantes ou movimento aleatório : Escoamento 
Turbulento.
 Reynolds verificou a relação deste comportamento :
Escoamento Laminar
 Quando as partículas de um fluido movem-se ao longo de trajetórias bem
definidas, apresentando camadas ou lâminas, cada uma de elas preservando
suas caraterísticas. No escoamento laminar a viscosidade age no fluido no
sentido de amortecer a tendência de surgimento da turbulência, este tipo de
escoamento ocorre geralmente a baixas velocidade e em fluidos com alta
viscosidade.
Escoamento Turbulento
 Quando as partículas de um fluido descrevem trajetórias irregulares com
movimento aleatório, produzindo uma transferência de quantidade de
movimento entre regiões de massa. Este tipo de escoamento é comum na
água, cuja viscosidade é relativamente baixa.
Número de Reynolds
 Também conhecido Re é um número adimensional que permite determinar o
regime de escoamento de um fluido determinado dentro de um tubo ou em
uma superfície. Seu cálculo resulta da relação entre forças de inercia e as
forças de viscosidade do fluido
 Este número permite avaliar a estabilidade do fluxo (laminar ou turbulento).
Um exemplo comum de sua utilização é nos tuneis aerodinâmicos que medem
forças nas asas das aeronaves.
Aplicação do Número de Reynolds Re
 Perfis aerodinâmicos: O Re expressa-se em função da corda media
aerodinâmica do perfil da seguinte forma
 Neste caso particular o número de Reynolds permite calcular corretamente o
perfil aerodinâmico para a geração de sustentação e arrasto numa aeronave.
Os valores de Re estão na ordem de 1 × 107, sendo que abaixo desse valor
geralmente o fluxo é laminar
Exercícios
 Calcular o número de Reynolds e identificar se o escoamento é laminar ou 
turbulento, sabendo-se que em uma tubulação com diâmetro de 4cm escoa 
agua com uma velocidade de 0,05 m/s. Viscosidade dinâmica da água 𝜇 =
1,0030 × 10−3𝑁𝑠/𝑚2
Rta: 𝑅𝑒 = 1994, laminar
 Determine o número de Reynolds para uma aeronave em escala reduzida 
sabendo-se que a velocidade de deslocamento é 𝑣 = 16𝑚/𝑠 para um vôo
realizado em condições atmosféricas padrão (𝜌𝑎𝑟 = 1,225 𝑘𝑔/𝑚
3). Considere 
 𝑐 = 0,35 e 𝜇 = 1,7894 × 10−5
𝑘𝑔
𝑚𝑠
.
Rta: 𝑅𝑒 = 3,833 × 105
Aula 9: Vazão e Equação 
de continuidade em 
regime permanente
Trajetória e linha de corrente 
 Trajetória: lugar ocupado por uma partícula em instantes sucessivos. 
 Linha de corrente: Linha tangente aos vetores de velocidade das partículas em um 
instante (não depende do tempo: é instantânea).
 No regime permanente as linhas de corrente e a trajetória coincidem 
Trajetória e linha de corrente 
 Tubo de Corrente: superfície de forma tubular que formam as linhas de corrente 
que se apoiam em qualquer linha geométrica fechada.
 Propriedades dos tubos de corrente:
1. São fixos quando o regime é permanente
2. São impermeáveis à passagem de massa, não passam partícula através do tubo de 
corrente.
Trajetória e linha de corrente 
 Propriedade Fundamental :
Em regime permanente as partículas que
entram de um lado do tubo de corrente
deverão sair do outro, não havendo adição nem
subtração de partículas através do tubo
Escoamento Unidimensional 
 Unidimensional: quando uma coordenada é suficiente para definir as propriedades 
do fluido:
 Neste casso temos um escoamento uniforme em todas as seções 
𝑣 = 𝑓(𝑥)
Escoamento em mais de uma dimensão 
 Na medida que aumentam as coordenadas aumenta a complexidade das equaçõespara as propriedades.
 É conveniente descrever o escoamento em uma dimensão 
Escoamento Bidimensional Escoamento Tridimensional
Vazão Volumétrica 
 Vazão: relação entre o volume e o tempo.
 Suponha que com a torneira aberta o 
recipiente é empurrado debaixo de ela. No 
mesmo instante se aciona o cronómetro. Se 
em 10 s o volume de fluido é 20 L.
 Vazão da torneira: 
𝑄 =
20𝐿
10𝑠
Vazão Volumétrica ou vazão em volume
 Vazão em volume (Q) : Volume de fluido que atravessa 
uma certa seção de escoamento por unidade de tempo:
𝑄 =
𝑉
𝑡
;
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑚3
𝑠
,
𝐿
𝑠
:
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜3
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜
Relação entre Vazão e velocidade 
 Suponha um fluido escoando pela secção da figura:
O volume de fluido que se desloca através da seção de 
área A, no tempo t, é:
𝑉 = 𝑠𝐴
𝑄 =
𝑉
𝑡
=
𝑠𝐴
𝑡
Mas, 𝑣 =
𝑠
𝑡
, então:
𝑄 = 𝑣𝐴
Vazão em massa e vazão em Peso
 Analogamente à vazão em volume, define-se a vazão em massa e a 
vazão em peso.
 Vazão em massa: quantidade de massa que escoa em um fluido em 
um intervalo de tempo.
 Unidades, usualmente: kg/s 
Vazão em massa e vazão em Peso
 Vazão em Peso: Peso do fluido que se escoa em um intervalo de 
tempo.
Como 𝑊 =𝑚𝑔, e 𝑚𝑔 = 𝛾𝑉
 Unidades, usualmente: N/s 
Exemplos 
Rta: 16,8’
Exemplos
Rta: D= 25,4mm
Equação de continuidade para Regime 
Permanente 
 Seja o escoamento de um fluido por um tubo de corrente como na figura
 Num tubo de corrente não pode haver fluxo lateral de massa, então se Qm1 é 
a vazão em massa de entrada e Qm2 a vazão em massa da saída 
𝑄𝑚1 = 𝑄𝑚2
Equação de continuidade para Regime 
Permanente 
 Se o fluido for incompressível:
Logo, a vazão em volume de um fluido incompressível é a 
mesma em qualquer seção do escoamento
Equação de continuidade de um fluido incompressível 
Exemplo 
Rta. 𝑣 = 20𝑚/𝑠
Exemplo
Rta: 𝑣𝐺 = 8𝑚/𝑠
Exemplo Múltiplas entradas e saídas
 Um tubo despeja agua em um reservatório como uma vazão de 20𝐿/𝑠 e outro
tubo despeja um liquido de 𝜌𝑓 = 800𝑘𝑔/𝑚
3 com uma vazão de 10𝐿/𝑠. A
mistura formada é descarregada por um tubo de área igual a 30𝑐𝑚2 .
Determinar a massa especifica da mistura no tubo de descarga e calcule
também a velocidade de saída
Exemplo Múltiplas entradas e saídas
Velocidade de Saída
𝑄𝑣 = 𝑣 ∙ 𝐴
𝑣 =
𝑄𝑣
𝐴
→ 𝑣3 =
𝑄𝑣3
𝐴3
𝑣3 =
0,03𝑚3/𝑠
0,003𝑚2
𝑣3 = 10𝑚/𝑠
Exercícios
1. Água é descarregada de um tanque cúbico com 3𝑚 de lado por um tubo de
3 𝑐𝑚 de diâmetro. A vazão no tubo é de 7𝐿/𝑠. Determine a velocidade de
descida da superfície livre de agua do tanque e calcule quanto tempo o nível
de agua levara para descer 15 𝑐𝑚. Calcule também a velocidade de descida de
agua na tubulação.
2. Um determinado líquido escoa por uma tubulação com uma vazão de 5𝐿/𝑠.
Calcule a vazão em massa e em peso sabendo-se que a massa especifica do
liquido 𝜌 = 1350 𝑘𝑔/𝑚3 e 𝑔 = 10𝑚/𝑠2
Exercícios
3. Os reservatórios (1) e (2) da figura são cúbicos. São enchidos pelos tubos em
100𝑠 𝑒 500 𝑠 respetivamente. Determinar a velocidade da água na seção A
indicada, sabendo-se que o diâmetro de essa seção é de 1𝑚.
Rta: 4.13 m/s
5m
10
m
Água
D=1m
(A)
VAQ
1
2
Exercícios
4. Água escoa na tubulação mostrada com velocidade de 2𝑚/𝑠 na seção (1).
Sabendo-se que a área da seção (2) é o dobro da área da seção (1), determine
a velocidade de escoamento da seção (2).
Exercícios
5. O motor a jato de um avião queima 1𝑘𝑔/𝑠 de combustível quando a aeronave
voa a 200𝑚/𝑠 de velocidade. Sabendo-se que a massa especifica do ar é
𝜌𝑎𝑟 = 1,2𝑘𝑔/𝑚
3e a massa especifica dos gases de saída é 𝜌𝑔 = 0,5 𝑘𝑔/𝑚
3 as
áreas das seções transversais da turbina são 𝐴1 = 0,3𝑚
2 e 𝐴2 = 0,2𝑚
2 ,
determine a velocidade dos gases na seção de saída.
Exercícios
6. Para a tubulação mostrada, calcular (assumir que o fluido é o mesmo):
a) A vazão e a velocidade no ponto (3)
b) A velocidade no ponto (4)
Dados: 𝑣1 = 1 𝑚 𝑠 ; 𝑣2 = 2 𝑚 𝑠 ; 𝑑1 = 0,2𝑚; 𝑑2= 0,1𝑚; 𝑑3 = 0,25𝑚 𝑒 𝑑4 = 0,15𝑚
Velocidade Média numa seção do 
escoamento
 As equações de continuidade da vazão em volume só são validas se a 
velocidade da toda a seção de escoamento fosse igual
 Mas na maioria dos casos a velocidade não é unidimensional, mas é possível 
obter uma expressão de vazão similar nestes casos definindo a velocidade 
média da seção de escoamento 
Velocidade Média numa seção do 
escoamento
 Aplicando a equação de vazão só numa seção de área 
𝑑𝐴, cuja velocidade é 𝑣 temos :
 A Vazão em toda a área será
 Se se define a velocidade média como uma velocidade uniforme que
substituída pela velocidade real produza a mesma vazão na seção:
 Desta expressão surge a equação para o cálculo da velocidade média em cada
seção
Velocidade Média numa seção do 
escoamento
 Velocidade média
 Geralmente precisa-se de uma expressão para a velocidade e outra para à
área, se não for indicado o diagrama de velocidades então assume-se a
velocidade constante na seção.
Velocidade Média numa seção do 
escoamento
 Exemplo : Determinar a velocidade média do seguinte diagrama de
velocidades (escoamento bidimensional).
Na informação gráfica observa-se que a velocidade traça uma linha reta, em
função da altura assim, a equação da linha é:
𝑣 = 𝐶1 𝑦 + 𝐶2
As condições de contorno são as seguintes:
Para 𝑦 = 0 → 𝑣 = 0 e para 𝑦 = ℎ → 𝑣 = 𝑣0
logo 𝐶2 = 0 e 𝐶1 = 𝑣0/ℎ
Exemplo
1. A água escoa por um conduto que possui dois ramais em derivação (figura). O 
diâmetro do conduto principal é 15𝑐𝑚 e os das derivações são 2,5𝑐𝑚 𝑒 5𝑐𝑚,
respectivamente. O perfil das velocidades no conduto principal é dado por:
𝑣 = 𝑣𝑚𝑎𝑥1 1 −
𝑟
𝑅1
2
e nas deri𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 ∶ 𝑣 = 𝑣𝑚𝑎𝑥2,3 1 −
𝑟
𝑅2,3
1/7
se 𝑣𝑚𝑎𝑥1 = 0,02𝑚/𝑠 e 𝑣𝑚𝑎𝑥2 = 0,13 𝑚/𝑠 , determine a velocidade média no tubo 
de 5𝑐𝑚 de diâmetro (𝑅𝑖 = 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑛𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 )