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História da Matemática 
A Matemática, como a conhecemos hoje, surgiu no Antigo Egito e no Império 
Babilônico, por volta de 3500 a.C. 
Porém, na pré-história, os seres humanos já usavam os conceitos de contar e medir. 
Por isso, a matemática não teve nenhum inventor, mas foi criada a partir da 
necessidade das pessoas em medir e contar objetos. 
Como surgiu a matemática? 
A matemática surge a partir da relação do ser humano com a natureza. 
Na pré-história, o homem primitivo necessitava medir a distância entre fontes de água 
ou para saber se seria capaz de capturar um animal, etc. 
Posteriormente, a partir do momento em que se tornou sedentário, precisou saber a 
quantidade de alimentos que necessitaria para comer. Também deveria entender 
como e quando ocorriam as estações do ano, pois isso significava saber em que época 
deveriam plantar e colher. 
Desta forma percebemos que a matemática nasce com a própria humanidade. 
Origem da Matemática 
No mundo ocidental, a Matemática tem sua origem no Antigo Egito e no Império 
Babilônico, por volta de 3500 a.C. 
Ambos os impérios desenvolveram um sistema de contagem e medição a fim de poder 
cobrar impostos dos seus súditos, organizar o plantio e a colheita, construir 
edificações, entre outras funções. 
Outros povos americanos, como os incas e astecas, também criaram um sistema de 
contagem sofisticado com os mesmos objetivos. 
Matemática no Antigo Egito 
A história do Egito está intimamente ligada com o rio Nilo, pois o povo egípcio 
precisava aproveitar as vantagens das suas cheias. 
Assim, é ali que se desenvolveram modelos para determinar o tamanho das terras. 
Para isso, eles usaram partes do corpo humano para estabelecer medidas como os pés, 
o antebraço e o braço. 
 
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Igualmente, elaboraram uma escrita onde cada símbolo correspondia 10 ou a 
múltiplos de 10. Importante lembrar que este sistema corresponde aos dez dedos que 
temos nas mãos. 
Observe abaixo o sistema de numeração egípcia: 
 
Os egípcios empregaram a matemática para observar os astros e criar o calendário que 
usamos no mundo ocidental. 
 
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A partir do movimento do Sol e da Terra, eles distribuíram os dias em doze meses ou 
365 dias. Igualmente, estabeleceram que um dia tem duração aproximada de vinte e 
quatro horas. 
Matemática no Império Babilônico 
A formação da matemática na Babilônia está ligada à necessidade controlar os 
impostos arrecadados. 
Os babilônicos não utilizaram o sistema decimal, pois não usavam apenas os dedos das 
mãos para contar. Eles se serviam das falanges da mão direita e continuavam a 
contagem na mão esquerda, e assim contabilizavam até 60. 
Este sistema é chamado sexagenal e é a origem da divisão das horas e dos minutos em 
60 partes. Até hoje, dividimos um minuto por 60 segundos e uma hora, por 60 
minutos. 
Por sua vez, os babilônicos criaram um sistema de numeração cuneiforme e o 
escreviam os símbolos em tábuas de argila. 
Veja a tabela abaixo com números babilônicos: 
 
Matemática na Grécia Antiga 
A matemática na Grécia Antiga engloba o período do séc. VI a.C. até o séc. V d.C. 
 
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Os gregos usaram a matemática tanto para fins práticos como para fins filosóficos. 
Aliás, um dos requisitos do estudo da filosofia era o conhecimento da matemática, 
especialmente da geometria. 
Eles teorizaram a respeito da natureza dos números, classificando-os em pares e 
ímpares, primos e compostos, números amigos e números figurados. 
Desta maneira, os gregos conseguiram fazer da matemática uma ciência com teoria e 
princípios. Vários matemáticos gregos criaram conceitos que são ensinados até hoje 
como o Teorema de Pitágoras ou o Teorema de Tales. 
Matemática na Roma Antiga 
Os romanos continuaram a aplicar todas as descobertas dos gregos em suas 
construções, como os aquedutos, na enorme rede de estradas ou no sistema de 
cobrança de impostos. 
Os números romanos eram simbolizados por letras e seu método de multiplicação 
facilitou o cálculo de cabeça. Atualmente, os números romanos estão presentes nos 
capítulos de livros e para indicar os séculos. 
Veja abaixo os algarismos e sua equivalência escrita em números romanos: 
 
Matemática na Idade Média 
Durante o período conhecido como Alta Idade Média, a matemática foi confundida 
com superstição e não era um campo do saber valorizado pelos estudiosos. 
No entanto, isso se modifica a partir do séc. XI. Por isso, longe de ser uma "idade as 
trevas", neste período os seres humanos continuaram a produzir conhecimento. 
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-pitagoras/
 
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Um dos mais destacados matemáticos foi o uzbeque Al-Khowârizmî, que traduziu as 
obras de matemática dos hindus para a Casa da Sabedoria, em Bagdá. Suas obras 
popularizaram entre os árabes os números como os escrevemos hoje. 
Acredita-se que os comerciantes árabes os apresentaram aos europeus através de suas 
transações comerciais. 
Idade Moderna 
Na Idade Moderna, foram estabelecidos os sinais de adição e subtração, expostos no 
livro "Aritmética Comercial" de João Widman d'Eger, em 1489. 
Antes, as somas eram indicadas pela letra "p", da palavra latina "plus". Por outro lado, 
a subtração era sinalizada pela palavra "minus" e mais tarde, sua abreviação "mus" 
com um traço em cima. 
A matemática acompanhou as mudanças que as ciências passaram no período 
conhecido como Revolução Científica. 
Um dos grandes inventos será a calculadora, realizada pelo francês Blaise Pascal. Além 
disso, ele escreveu sobre geometria no seu "Tratado do Triângulo Aritmético" e sobre 
fenômenos físicos teorizados no "Princípio de Pascal", sobre a lei das pressões num 
líquido. 
Igualmente, o francês René Descartes contribuiu para o aprofundamento da geometria 
e do método científico. Suas reflexões ficaram expostas no livro "Discurso do Método", 
onde defendia o uso da razão e da comprovação matemática para chegar a conclusões 
sobre a causa dos fenômenos naturais. 
Por sua parte, o inglês Isaac Newton descreveu a lei da gravidade através dos números 
e da geometria. Suas ideias consagraram o modelo heliocêntrico e até hoje são 
estudadas como as Leis de Newton. 
Matemática da Idade Contemporânea 
Com a Revolução Industrial, a matemática se desenvolveu de forma extraordinária. 
As indústrias e as universidades se tornaram um vasto campo para o estudo de novos 
teoremas e invenções de todo tipo. 
Na álgebra, os matemáticos se debruçaram no desenvolvimento de resolução de 
equações, quatérnios, grupos de permutações e grupo abstrato. 
Já no século XX, as teorias de Albert Einstein reformularam o que se entendia como 
Física. Deste modo, os matemáticos viram-se diante de novos desafios para expressar 
em número as ideias do genial cientista. 
 
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A teoria da relatividade supôs uma nova perspectiva sobre a compreensão do espaço, 
do tempo e mesmo do ser humano. 
Princípio fundamental da contagem 
O princípio fundamental da contagem é o principal conceito ensinado na análise 
combinatória. É a partir dele que se desenvolveram os demais conceitos dessa área e as 
fórmulas de fatorial, combinação, arranjo, permutação. Entender esse princípio é 
essencial para compreender situações que envolvem contagem. 
Esse princípio afirma que, se eu preciso tomar mais de uma decisão e cada uma delas 
pode ser tomada de x, y, z maneiras, para sabermos a quantidade de formas que essas 
decisões podem ser tomadas simultaneamente, basta calcular o produto dessas 
possibilidades. 
O que é o princípio fundamental da contagem? 
O princípio fundamental da contagem é uma técnica para calcularmos de quantas 
maneiras decisões podem combinar-se. Se uma decisão pode ser tomada de n maneiras 
e outra decisão pode ser tomada de m maneiras, o número de maneiras que essas 
decisões podem ser tomadas simultaneamente é calculado pelo produto de n · m. 
Analisar todas as combinações possíveis sem utilizar o princípio fundamental da 
contagem pode ser bastante trabalhoso, o que faz com que a fórmulaque a curva 
corta o eixo y, ou seja, quando x = 0. 
A partir dos pares ordenados dados (x, y), podemos construir a parábola num plano 
cartesiano, por meio da ligação entre os pontos encontrados. 
Função Exponencial 
Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é sempre 
maior que zero e diferente de um. 
Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1. 
Assim, em vez de exponencial, estaríamos diante de uma função constante. 
Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns expoentes 
a função não estaria definida. 
Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos 
números reais não existe raiz quadrada de número negativo, não existiria imagem da 
função para esse valor. 
Exemplos: 
f(x) = 4x 
f(x) = (0,1)x 
f(x) = (⅔)x 
Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, enquanto x é o expoente. 
Gráfico da função exponencial 
O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo número elevado a zero é igual 
a 1. Além disso, a curva exponencial não toca no eixo x. 
Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto a função terá sempre 
imagem positiva. Assim sendo, não apresenta pontos nos quadrantes III e IV (imagem 
negativa). 
Abaixo representamos o gráfico da função exponencial. 
https://www.todamateria.com.br/plano-cartesiano/
https://www.todamateria.com.br/plano-cartesiano/
 
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Função Crescente ou Decrescente 
A função exponencial pode ser crescente ou decrescente. 
Será crescente quando a base for maior que 1. Por exemplo, a função y = 2x é uma 
função crescente. 
Para constatar que essa função é crescente, atribuímos valores para x no expoente da 
função e encontramos a sua imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo. 
 
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Observando a tabela, notamos que quando aumentamos o valor de x, a sua imagem 
também aumenta. Abaixo, representamos o gráfico desta função. 
 
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Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1, são 
decrescentes. Por exemplo, f(x) = (1/2)x é uma função decrescente. 
Calculamos a imagem de alguns valores de x e o resultado encontra-se na tabela 
abaixo. 
 
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Notamos que para esta função, enquanto os valores de x aumentam, os valores das 
respectivas imagens diminuem. Desta forma, constatamos que a função f(x) = (1/2)x é 
uma função decrescente. 
Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que 
quanto maior o x, mais perto do zero a curva exponencial fica. 
 
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Função Logarítmica 
A inversa da função exponencial é a função logarítmica. A função logarítmica é definida 
como f(x) = logax, com a real positivo e a ≠ 1. 
Sendo, o logaritmo de um número definido como o expoente ao qual se deve elevar a 
base a para obter o número x, ou seja, y = logax ⇔ ay = x. 
Uma relação importante é que o gráfico de duas funções inversas são simétricos em 
relação a bissetriz dos quadrantes I e III. 
Desta maneira, conhecendo o gráfico da função exponencial de mesma base, por 
simetria podemos construir o gráfico da função logarítmica. 
https://www.todamateria.com.br/funcao-logaritmica/
https://www.todamateria.com.br/logaritmo/
 
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No gráfico acima, observamos que enquanto a função exponencial cresce 
rapidamente, a função logarítmica cresce lentamente. 
Trigonometria 
A trigonometria é a parte da matemática que estuda as relações existentes entre os 
lados e os ângulos dos triângulos. 
Ela é utilizada também em outras áreas de estudo como física, química, biologia, 
geografia, astronomia, medicina, engenharia, etc. 
Funções Trigonométricas 
As funções trigonométricas são as funções relacionadas aos triângulos retângulos, que 
possuem um ângulo de 90°. São elas: seno, cosseno e tangente. 
 
As funções trigonométricas estão baseadas nas razões existentes entre dois lados do 
triângulo em função de um ângulo. 
 
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Ela é formada por dois catetos (oposto e adjacente) e a hipotenusa: 
 
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa. 
 
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa. 
 
Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente. 
Progressão geométrica 
"Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica onde cada 
termo é igual ao produto de seu antecessor com uma constante, chamada 
razão da PG. Em outras palavras, a diferença entre dois termos quaisquer 
e consecutivos de uma PG é uma constante. 
Exemplo de progressão geométrica: 
(1, 3, 9, 27, 81, …) 
Cada termo dessa PG, exceto o primeiro, é resultado de um produto de 
seu antecessor por 3, pois 3 = 3·1, 9 = 3·3 e assim por diante. 
A razão de uma PG é representada pela letra “q”. E seus elementos são 
representados por uma letra minúscula seguida de um número que indica 
a posição do número. Por exemplo, na PG acima, o termo a1 é o primeiro 
termo e é igual a 1. O termo a4 é o quarto termo e é igual a 27. Dessa 
forma, é costume indicar o enésimo termo de uma PG por an. 
Fazendo uso da definição de PG, podemos escrever o enésimo termo 
como um produto de seu antecessor an – 1 pela razão. Assim, a definição 
das progressões geométricas também pode ser dada da seguinte maneira: 
 
 
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Termo geral da PG 
O termo geral de uma PG é uma expressão que pode ser usada para 
encontrar um termo qualquer de uma progressão geométrica. Esse termo 
também é expresso por an e a expressão/fórmula utilizada para 
determiná-lo é: 
 
 
Se for necessário encontrar a soma dos termos de uma PG infinita, a 
fórmula a ser utilizada é: 
 
Por fim, é possível encontrar o produto dos termos de uma PG finita. A 
fórmula usada para esse cálculo é: 
 
Sistemas lineares 
Resolver sistemas lineares é uma tarefa bastante recorrente para estudos 
nas áreas das ciências da natureza e da matemática. A busca por valores 
desconhecidos fez com que fossem desenvolvidos métodos de resolução 
de sistemas lineares, como o método da adição, igualdade e substituição 
para sistemas que possuem duas equações e duas incógnitas, e a regra de 
Crammer e o escalonamento, que resolvem sistemas lineares de duas 
equações, mas que são mais convenientes para sistemas com mais 
equações. Um sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações 
com uma ou mais incógnitas. 
Equação linear 
O trabalho com equações existe devido à necessidade de encontrarmos 
valores desconhecidos de incógnitas. Chamamos de equação quando 
temos uma expressão algébrica com igualdade, e ela é classificada como 
 
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linear quando o maior expoente de suas incógnitas é 1, conforme os 
exemplos a seguir: 
2x + y = 7 → equação linear com duas incógnitas 
a + 4 = -3 → equação linear com uma incógnita 
De modo geral, uma equação linear pode ser descrita por: 
a1x1 + a2x2 + a3x3… + anxn = c 
Conhecemos como sistema de equação quando há mais de uma equação 
linear. Começaremos com sistemas lineares de duas incógnitas. 
Resolução de sistemas lineares 
Sistemas lineares com duas equações do 1º grau e duas incógnitas 
Para resolver um sistema de duas equações e duas incógnitas, existem 
vários métodos, os três mais conhecidos são: 
método da comparação 
método da adição 
método da substituição 
Qualquer um dos três pode resolver um sistema linear de duas equações e 
duas incógnitas. Esses métodos não são tão eficientes para sistemas com 
mais equações, já que existem outros métodos específicos para resolvê-
los. 
 
Método da substituição 
O método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma 
das equações e realizar a substituição na outra equação. 
 
Exemplo: 
 
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1º passo: isolar uma das incógnitas. 
Chamamos de I a primeira equação e de II a segunda equação. Analisando 
as duas, vamos escolher a incógnita que esteja mais fácil de ser isolada. 
Note que, na equaçãoI → x + 2y = 5, o x não possui coeficiente, o que faz 
com que seja mais fácil isolá-lo, logo, reescreveremos a equação I desta 
forma: 
I → x + 2y = 5 
I → x = 5 – 2y 
 
2º passo: substituir I em II. 
Agora que temos a equação I com o x isolado, na equação II, podemos 
substituir x por 5 – 2y. 
II → 3x – 5y = 4 
Substituindo x por 5 – 2y: 
3 (5 – 2y) – 5y = 4 
Agora que a equação tem só uma incógnita, é possível resolvê-la para 
encontrar o valor de y. 
 
Conhecendo o valor de y, encontraremos o valor de x realizando a 
substituição do valor de y na equação I. 
I → x = 5 – 2y 
 
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x = 5 – 2 · 1 
x = 5 – 2 
x = 3 
Então a solução do sistema é S = {3,1}. 
Método da comparação 
O método da comparação consiste em isolarmos uma incógnita nas duas 
equações e igualar esses valores. 
Exemplo: 
 
1º passo: seja I a primeira equação e II a segunda, vamos isolar uma das 
incógnitas em I e II. Escolhendo isolar a incógnita x, temos que: 
 
2º passo: igualar as duas novas equações, já que x = x. 
 
3º passo: substituir o valor de y por -2 em uma das equações. 
"x = -4 – 3y 
 
 
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x = -4 – 3 (-2) 
 
x = -4 + 6 
 
x = 2 
 
Então a solução desse sistema é o conjunto S = {2,-2}. 
Método da adição 
O método da adição consiste em realizar a multiplicação de todos os 
termos de uma das equações, de tal modo que, ao somar-se a equação I 
na equação II, uma de suas incógnitas fique igual a zero. 
Exemplo: 
 
1º passo: multiplicar uma das equações para que os coeficientes fiquem 
opostos. 
Note que, se multiplicarmos a equação II por 2, teremos 4y na equação II e 
-4y na equação I, e que, ao somarmos I + II, teremos 0y, logo, vamos 
multiplicar todos os termos da equação II por 2 para que isso aconteça. 
I → 5x – 4y = -5 
2 · II → 2x + 4y = 26 
2º passo: realizar a soma I + 2 · II. 
 
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3º passo: substituir o valor de x = 3 em uma das equações. 
 
"Sistemas lineares com três equações do 1º grau e três incógnitas 
Quando o sistema possui três incógnitas, adotamos outros métodos de 
resolução. Todos esses métodos relacionam os coeficientes com matrizes, 
e os métodos mais utilizados são a regra de Crammer ou o 
escalonamento. Para a resolução em ambos os métodos, é necessário a 
representação matricial do sistema, inclusive o sistema 2x2 pode ser 
representado por meio de uma matriz. Há duas possíveis representações, 
a matriz completa e a matriz incompleta: 
Exemplo: 
O sistema: 
Pode ser representado pela matriz completa 
 
 
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E pela matriz incompleta 
 
Regra de Crammer 
Para encontrarmos soluções de um sistema 3x3, com incógnitas x, y e z, 
utilizando a regra de Crammer, é necessário calcularmos o determinante 
da matriz incompleta e suas variações. Temos então que: 
 
D → determinante da matriz incompleta do sistema. 
Dx → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a 
coluna de x pela coluna dos termos independentes. 
Dy → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a 
coluna de y pela coluna dos termos independentes. 
Dz → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a 
coluna de z pela coluna dos termos independentes. 
Dessa forma, para encontrar o valor de suas incógnitas, primeiro 
precisamos calcular o determinante D, Dx, Dy associado ao sistema. 
 
1º passo: calcular D. 
 
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2º passo: calcular Dx. 
 
3º passo: então podemos encontrar o valor do x, pois: 
 
4º passo: calcular Dy. 
 
5º passo: então podemos calcular o valor de y: 
 
 
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Escalonamento 
Outro método de resolver sistemas lineares é o escalonamento, nele 
utilizamos somente a matriz completa e operações entre as linhas com o 
objetivo de isolar as suas incógnitas. Vamos escalonar o sistema a seguir. 
 
1º passo: escrever a matriz completa que represente o sistema. 
 
Seja L1, L2 e L3 respectivamente as linhas 1, 2 e 3 da matriz, vamos 
realizar operações entre L1 e L2 e L1 e L3, de modo que o resultado faça 
com que os termos que estão na primeira coluna da segunda e da terceira 
linhas fiquem iguais a zero. 
Analisando a segunda linha da matriz, vamos substituí-la pelo resultado de 
L2 → -2 · L1 + L2, com objetivo de zerar o termo a21. 
a21 = -2 · 1 + 2 = 0 
a22 = -2 · 2 + 1 = -3 
a23 = -2 · (-3) + 1 = 7 
a24 = -2 · 10 + 3 = -17 
Então a L2 será 0 -3 7 -17. 
Analisando a terceira linha da matriz, vamos substituí-la pelo resultado de 
L3 → 3L1 + L2, com o objetivo de zerar o termo a31. 
 
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a31 = 3 · 1 – 3 = 0 
a32 = 3 · 2 + 2 = 8 
a33 = 3 · (-3) +1 = -8 
a34 = 3 · 10 – 6 = 24 
Então a L3 será 0 8 -8 24. 
Note que todos são divisíveis por 8, logo, para que a linha L3 fique mais 
simplificada, vamos dividi-la por 8. 
L3 → L3 : 8 será: 0 1 -1 3. 
Assim a nova matriz da equação escalonada será: 
 
Agora o objetivo é zerar a coluna y na terceira linha, realizaremos 
operações entre a L2 e L3, com o objetivo de zerar a segunda coluna de 
uma delas. 
Substituiremos a L3 por L3 → L2 + 3L3. 
a31 = 0 + 3 · 0 = 0 
a32 = -3 + 3 · 1 = 0 
a33 = 7 + 3 · (-1) = 4 
a34 = -17 + 3 · 3 = -8 
Então L3 será: 0 0 4 -8. 
A nova matriz escalonada será: 
 
 
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Agora, ao representarmos essa matriz como um sistema novamente, 
adicionando x, y e z nas colunas, encontraremos o seguinte: 
 
Podemos então encontrar o valor de cada uma das incógnitas. Analisando 
a equação III, temos que: 
 
Se z = -2, vamos substituir o valor de z na segunda equação: 
 
Por fim, na primeira equação, vamos substituir o valor de y e z para 
encontrarmos o valor de x. 
 
 
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Classificação de sistema linear 
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares, podendo ter várias 
incógnitas e várias equações. Existem vários métodos para resolvê-lo, 
independentemente da quantidade de equações. Existem três 
classificações para um sistema linear. 
Sistema possível determinado (SPD): quando possui uma única solução. 
Sistema possível indeterminado (SPI): quando possui infinitas soluções. 
Sistema impossível (SI): quando não existe nenhuma solução. 
Exercícios resolvidos 
Questão 1 (IFG 2019) Considere a soma das medidas de uma base e da 
altura relativa a essa base de um triângulo igual a 168 cm e a diferença 
igual a 24 cm. É correto afirmar que as medidas da base e da altura 
relativa a essa base medem, respectivamente: 
a) 72 cm e 96 cm 
b) 144 cm e 24 cm 
c) 96 cm e 72 cm 
d) 24 cm e 144 cm 
Resolução 
Alternativa C. 
Seja h → altura e b → base, então temos o seguinte sistema: 
 
Pelo método da adição, temos que: 
 
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Para encontrar o valor de h, vamos substituir b = 96 cm na primeira 
equação: 
b + h = 168 
96 + h = 168 
h = 168 – 96 
h = 72 cm 
Questão 2 A matriz incompleta que representa o sistema linear a seguir é: 
 
 
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Resolução 
Alternativa C. 
A matriz incompleta é aquela que possui os coeficientes de x, y e z, logo, 
ela será uma matriz 3x3. Analisando-se as alternativas, a que contém a 
matriz 3x3 com os sinais corretos é a de letra C. 
Análise Combinatória 
A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos 
e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem. 
Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz análise das possibilidades e 
das combinações possíveis entre um conjunto de elementos. 
Princípio Fundamental da Contagem 
Oprincípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, 
postula que: 
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo 
que as possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, 
resulta no número total de possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . 
(y)”. 
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções 
entre as escolhas que lhe são apresentadas. 
Exemplo 
Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão 
incluídos um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidas três opções de 
sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. 
Como opção de bebida, pode-se escolher 2 tipos: suco de maçã ou guaraná. Para a 
sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, cupcake 
de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de 
quantas maneiras um cliente pode escolher o seu lanche? 
Solução 
Podemos começar a resolução do problema apresentado construindo uma árvore de 
possibilidades, conforme ilustrado abaixo: 
 
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Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de 
lanches podemos escolher. Assim, identificamos que existem 24 combinações 
possíveis. 
Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para determinar 
as diferentes possibilidades de lanches, basta multiplicar o número de opções de 
sanduíches, bebidas e sobremesa. 
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24 
Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção. 
Tipos de Combinatória 
O princípio fundamental da contagem pode ser usado na maioria dos problemas 
relacionados com contagem. Entretanto, em algumas situações seu uso torna a 
resolução muito trabalhosa. 
Desta maneira, usamos algumas técnicas para resolver problemas com determinadas 
características. Basicamente há três tipos de agrupamentos: arranjos, combinações e 
permutações. 
Antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos definir 
uma ferramenta muito utilizada em problemas de contagem, o fatorial. 
O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos 
os seus antecessores. Utilizamos o símbolo para indicar o fatorial de um número. 
Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1. 
Exemplo 
https://www.todamateria.com.br/fatorial/
 
 90 
O! = 1 
1! = 1 
3! = 3.2.1 = 6 
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5 040 
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800 
Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então, 
frequentemente usamos simplificações para efetuar os cálculos de análise 
combinatória. 
Arranjos 
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos 
mesmos. 
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a 
seguinte expressão: 
Exemplo 
Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para escolher um 
representante e um vice representante de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o 
mais votado será o representante e o segundo mais votado o vice representante. 
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que 
nesse caso, a ordem é importante, visto que altera o resultado. 
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes. 
Permutações 
As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do 
agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis. 
Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de 
elementos é igual ao número de agrupamentos. Desta maneira, o denominador na 
fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação. 
Assim a permutação é expressa pela fórmula: 
Exemplo 
Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se 
sentar em um banco com 6 lugares. 
Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é igual ao 
número de pessoas, iremos usar a permutação: 
 
 91 
Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas sentarem neste banco. 
Combinações 
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, 
entretanto, são caracterizadas pela natureza dos mesmos. 
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), 
utiliza-se a seguinte expressão: 
Exemplo 
A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar uma 
comissão organizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram. 
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada? 
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é 
relevante. Isso quer dizer que escolher: Maria, João e José, é equivalente a escolher: 
João, José e Maria. 
Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial de 10 em produto, 
mas conservamos o fatorial de 7, pois, desta forma, foi possível simplificar com o 
fatorial de 7 do denominador. 
Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão. 
Probabilidade e Análise Combinatória 
A Probabilidade permite analisar ou calcular as chances de obter determinado 
resultado diante de um experimento aleatório. São exemplos as chances de um 
determinado número sair em um lançamento de dados, ou, a possibilidade de ganhar 
na loteria. 
A partir disso, a probabilidade é determinada pela razão entre o número de casos 
favoráveis e número de casos possíveis, apresentada pela seguinte expressão: 
Sendo: 
P (A): probabilidade de ocorrer um evento A; 
n (A): número de resultados favoráveis 
n (Ω): número total de resultados possíveis 
Para encontrar o número de casos possíveis e favoráveis, muitas vezes necessitamos 
recorrer às fórmulas estudadas em análise combinatória. 
Exemplo 
https://www.todamateria.com.br/probabilidade/
 
 92 
Qual a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio máximo da mega-sena, 
fazendo uma aposta mínima, ou seja, apostar exatamente nos seis números 
sorteados? 
Talão da mega-sena 
Solução 
Como vimos, a probabilidade é calculada pela razão entre os casos favoráveis e os 
casos possíveis. Nesta situação, temos apenas um caso favorável, ou seja, apostar 
exatamente nos seis números sorteados. 
Já o número de casos possíveis é calculado considerando que serão sorteados, ao 
acaso, 6 números, não importando a ordem, de um total de 60 números. 
Para fazer esse cálculo, usaremos a fórmula de combinação, conforme indicado abaixo: 
 
Assim, existem 50 063 860 modos distintos de sair o resultado. A probabilidade de 
acertarmos então será calculada como: 
Probabilidade 
Probabilidade é um ramo da Matemática em que as chances de ocorrência 
de experimentos são calculadas. É por meio de uma probabilidade, por 
exemplo, que podemos saber desde a chance de obter cara ou coroa no 
lançamento de uma moeda até a chance de erro em pesquisas. 
 
 93 
Para compreender esse ramo, é extremamente importante conhecer suas 
definições mais básicas, como a fórmula para o cálculo de probabilidades 
em espaços amostrais equiprováveis, probabilidade da união de dois 
eventos, probabilidade do evento complementar etc. 
Experimento aleatório 
É qualquer experiência cujo resultado não seja conhecido. Por exemplo: 
ao jogar uma moeda e observar a face superior, é impossível saber qual 
das faces da moeda ficará voltada para cima, exceto no caso em que a 
moeda seja viciada (modificada para ter um resultado mais 
frequentemente). 
Suponha que uma sacola de supermercado contenha maçãs verdes e 
vermelhas. Retirar uma maçã de dentro da sacola sem olhar também é um 
experimento aleatório. 
Ponto amostral 
Um ponto amostral é qualquer resultado possível em um experimento 
aleatório. Por exemplo: no lançamento de um dado, o resultado (o 
número que aparece na face superior) pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Então, 
cada um desses números é um ponto amostral desse experimento. 
Espaço amostral 
Oespaço amostral é o conjunto formado por todos os pontos amostrais 
de um experimento aleatório, ou seja, por todos os seus resultados 
possíveis. Dessa maneira, o resultado de um experimento aleatório, 
mesmo que não seja previsível, sempre pode ser encontrado dentro do 
espaço amostral referente a ele. 
Como os espaços amostrais são conjuntos de resultados possíveis, 
utilizamos as representações de conjuntos para esses espaços. Por 
exemplo: O espaço amostral referente ao experimento “lançamento de 
um dado” é o conjunto Ω, tal que: 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Esse conjunto também pode ser representado pelo diagrama de Venn ou, 
dependendo do experimento, por alguma lei de formação. 
 
 94 
O número de elementos dos espaços amostrais é representado por n(Ω). 
No caso do exemplo anterior, n(Ω) = 6. Lembre-se de que os elementos de 
um espaço amostral são pontos amostrais, ou seja, resultados possíveis de 
um experimento aleatório. 
 
Evento 
Os eventos são subconjuntos de um espaço amostral. Um evento pode 
conter desde zero a todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório, ou seja, o evento pode ser um conjunto vazio ou o próprio 
espaço amostral. No primeiro caso, ele é chamado de evento impossível. 
No segundo, é chamado de evento certo. 
Ainda no experimento aleatório do lançamento de um dado, observe os 
seguintes eventos: 
A = Obter um número par: 
A = {2, 4, 6} e n(A) = 3 
B = Sair um número primo: 
B = {2, 3, 5} e n(B) = 3 
C = Sair um número maior ou igual a 5: 
C = {5, 6} e n(C)= 2 
D = Sair um número natural: 
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(D) = 6 
Espaços equiprováveis 
Um espaço amostral é chamado equiprovável quando todos os pontos 
amostrais dentro dele têm a mesma chance de ocorrer. É o caso de 
lançamentos de dados ou de moedas não viciados, escolha de bolas 
numeradas de tamanho e peso idênticos etc. 
 
 95 
Um exemplo de espaço amostral que pode ser considerado não 
equiprovável é o formado pelo seguinte experimento: escolher entre 
tomar sorvete ou fazer caminhada. 
Cálculo de probabilidades 
As probabilidades são calculadas dividindo-se o número de resultados 
favoráveis pelo número de resultados possíveis, ou seja: 
P = n(E)/ n(Ω) 
Nesse caso, E é um evento que se quer conhecer a probabilidade, e Ω é o 
espaço amostral que o contém. 
Por exemplo, no lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o 
número um? 
Nesse exemplo, sair o número um é o evento E. Assim, n(E) = 1. O espaço 
amostral desse experimento contém seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Logo, 
n(Ω) = 6. Desse modo: 
P = n(E)/n(Ω) 
P = 1/6 
P = 0,1666… 
P = 16,6% 
Outro exemplo: qual a probabilidade de obtermos um número par no 
lançamento de um dado? 
Os números pares possíveis em um dado são 2, 4 e 6. Logo, n(E) = 3. 
P = n(E)/ n(Ω) 
P = 3/6 
P = 0,5 
P = 50% 
Observe que as probabilidades sempre resultarão em um número dentro 
do intervalo 0 ≤ x ≤ 1. Isso acontece porque E é um subconjunto de Ω. 
 
 96 
Dessa maneira, E pode conter desde zero até, no máximo, o mesmo 
número de elementos que Ω. 
Matemática Financeira 
A matemática financeira é a área da matemática que estuda a equivalência de capitais 
no tempo, ou seja, como se comporta o valor do dinheiro no decorrer do tempo. 
Sendo uma área aplicada da Matemática, estuda diversas operações ligadas ao dia a 
dia das pessoas. Por esse motivo, conhecer suas aplicações é fundamental. 
Como exemplos dessas operações podemos citar as aplicações financeiras, 
empréstimos, renegociação de dívidas, ou mesmo, tarefas simples, como calcular o 
valor de desconto num determinado produto. 
Conceitos Básicos da Matemática Financeira 
Capital (C) 
Representa o valor do dinheiro no momento atual. Este valor pode ser de um 
investimento, dívida ou empréstimo. 
Juros (J) 
Representam os valores obtidos pela remuneração de um capital. Os juros 
representam, por exemplo, o custo do dinheiro tomado emprestado. 
Ele pode também ser obtido pelo retorno de uma aplicação ou ainda pela diferença 
entre o valor à vista e a prazo em uma transação comercial. 
Montante (M) 
Corresponde ao valor futuro, ou seja, é o capital mais os juros acrescidos ao valor. 
Assim, M = C + J. 
Taxa de Juros (i) 
É o percentual do custo ou remuneração paga pelo uso do dinheiro. A taxa de juros 
está sempre associada a um certo prazo, que pode ser por exemplo ao dia, ao mês ou 
ao ano. 
 
 
 
 97 
Cálculos Básicos da Matemática Financeira 
Porcentagem 
A porcentagem (%) significa por cento, ou seja, uma determinada parte de cada 100 
partes. Como representa uma razão entre números, pode ser escrita na forma 
de fração ou como número decimal. 
Por exemplo: 
Muitas vezes utilizamos a porcentagem para indicar aumentos e descontos. Para 
exemplificar, vamos pensar que uma roupa que custava 120 reais está, nesse período 
do ano, com 50% de desconto. 
Como já estamos familiarizados com esse conceito, sabemos que esse número 
corresponde à metade do valor inicial. 
Então, essa roupa no momento está com custo final de 60 reais. Vejamos assim, como 
trabalhar a porcentagem: 
50% pode ser escrito 50/100 (ou seja, 50 por cem) 
Assim, podemos concluir que 50% equivale a ½ ou 0,5, em número decimal. Mas afinal 
o que isso significa? 
Bem, a roupa está com 50% de desconto e, portanto, ela custa metade (½ ou 0,5) de 
seu valor inicial. Logo, a metade de 120 é 60. 
Mas vamos pensar noutro caso, em que ela está com 23% de desconto. Para tanto, 
temos que calcular quanto é 23/100 de 120 reais. Lógico que por aproximação 
podemos fazer esse cálculo. Mas aqui a ideia não é essa. 
Logo, 
Transformamos o número percentual em número fracionário e multiplicamos pelo 
número total que queremos identificar o desconto: 
23/100 . 120/1 - Dividindo o 100 e 120 por 2, temos: 
23/50 . 60/1 = 1380/50 = 27,6 reais 
Portanto, o desconto de 23% numa roupa que custa 120 reais será de 27,6. Assim, o 
valor que você irá pagar é de 92,4 reais. 
Agora vamos pensar no conceito de aumento, ao invés de desconto. No exemplo 
acima, temos que a comida subiu 30%. Para isso, vamos exemplificar que o preço do 
feijão que custava 8 reais teve um aumento de 30%. 
https://www.todamateria.com.br/fracoes/
 
 98 
Aqui, temos que saber quanto é 30% de 8 reais. Da mesma forma que fizemos acima, 
vamos calcular a porcentagem e, por fim, agregar o valor no preço final. 
30/100 . 8/1 - Dividindo o 100 e 8 por 2, temos: 
30/50 . 4/1 = 120/50 = 2,4 
Assim, podemos concluir que o feijão nesse caso está custando mais 2,40 reais. Ou 
seja, de 8 reais seu valor foi para 10,40 reais. 
Variação Percentual 
Outro conceito associado ao de porcentagem é o de variação percentual, ou seja, a 
variação das taxas percentuais de acréscimo ou decréscimo. 
Exemplo: 
No início do mês, o preço do quilo da carne era de 25 reais. No final do mês a carne era 
vendida por 28 reais o quilo. 
Assim, podemos concluir que houve uma variação percentual relacionada com o 
aumento desse produto. Podemos constatar que o aumento foi de 3 reais. Pela razão 
dos valores temos: 
3/25 = 0,12 = 12% 
Sendo assim, podemos concluir que a variação percentual do preço da carne foi de 
12%. 
Juros 
O cálculo de juros pode ser simples ou composto. No regime de capitalização simples, 
a correção é feita sempre sobre o valor do capital inicial. 
Já nos juros compostos, a taxa de juros é aplicada sempre sobre o montante do 
período anterior. Note que esse último é muito utilizado nas transações comerciais e 
financeiras. 
Juros Simples 
Os juros simples são calculados levando em consideração um determinado período. 
Ele é calculado pela fórmula: 
J = C . i . n 
Onde: 
https://www.todamateria.com.br/juros-simples/
 
 99 
C: capital aplicado 
i: taxa de juros 
n: período que corresponde os juros 
Logo, o montante dessa aplicação será: 
M = C + J 
M = C + C . i . n 
M = C . (1 + i . n) 
Juros Compostos 
O sistema de juros compostos é chamado de capitalização acumulada, pois, ao finalde 
cada período os juros que incidem sobre o capital inicial são incorporados. 
Para calcular o montante em uma capitalização a juros compostos, usamos a seguinte 
fórmula: 
Mn = C (1+i)n 
Geometria Espacial 
A Geometria Espacial corresponde a área da matemática que se encarrega de estudar 
as figuras no espaço, ou seja, aquelas que possuem mais de duas dimensões. 
De modo geral, a Geometria Espacial pode ser definida como o estudo da geometria 
no espaço. 
Assim, tal qual a Geometria Plana, ela está pautada nos conceitos basilares e intuitivos 
que chamamos “conceitos primitivos” os quais possuem origem na Grécia Antiga e na 
Mesopotâmia (cerca de 1000 anos a.C.). 
Pitágoras e Platão associavam o estudo da Geometria Espacial ao estudo da Metafísica 
e da religião; contudo, foi Euclides a se consagrar com sua obra “Elementos”, onde 
sintetizou os conhecimentos acerca do tema até os seus dias. 
Entretanto, os estudos de Geometria Espacial permaneceram estanques até o fim da 
Idade Média, quando Leonardo Fibonacci (1170-1240) escreve a 
“Practica Geometriae”. 
Séculos depois, Joannes Kepler (1571-1630) rotula o “Steometria” (stereo: 
volume/metria: medida) o cálculo de volume, em 1615. 
Características da Geometria Espacial 
https://www.todamateria.com.br/juros-compostos/
 
 100 
A Geometria Espacial estuda os objetos que possuem mais de uma dimensão e 
ocupam lugar no espaço. Por sua vez, esses objetos são conhecidos como "sólidos 
geométricos" ou "figuras geométricas espaciais". Conheça melhor alguns deles: 
Dessa forma, a geometria espacial é capaz de determinar, por meio de cálculos 
matemáticos, o volume destes mesmos objetos, ou seja, o espaço ocupado por eles. 
Contudo, o estudo das estruturas das figuras espaciais e suas inter-relações é 
determinado por alguns conceitos básicos, a saber: 
• Ponto: conceito fundamental a todos os subsequentes, uma vez que todos sejam, em 
última análise, formados por inúmeros pontos. Por sua vez, os pontos são infinitos e 
não possuem dimensão mensurável (adimensional). Portanto, sua única propriedade 
garantida é sua localização. 
• Reta: composta por pontos, é infinita nos dois lados e determina a distância mais 
curta entre dois pontos determinados. 
• Linha: possui algumas semelhanças com a reta, pois é igualmente infinita para cada 
lado, contudo, têm a propriedade de formar curvas e nós sobre si mesma. 
• Plano: é outra estrutura infinita que se estende em todas as direções. 
Figuras Geométricas Espaciais 
Segue abaixo algumas das figuras geométricas espaciais mais conhecidas: 
Cubo 
 
O cubo é um hexaedro regular composto de 6 faces quadrangulares, 12 arestas e 8 
vértices sendo: 
Área lateral: 4a2 
Área total: 6a2 
Volume: a.a.a = a3 
Dodecaedro 
 
 101 
 
O Dodecaedro é um poliedro regular composto de 12 faces pentagonais, 30 arestas e 
20 vértices sendo: 
Área Total: 3√25+10√5a2 
Volume: 1/4 (15+7√5) a3 
Tetraedro 
 
O Tetraedro é um poliedro regular composto de 4 faces triangulares, 6 arestas e 4 
vértices sendo: 
Área total: 4a2√3/4 
Volume: 1/3 Ab.h 
Octaedro 
 
 
 102 
O Octaedro é um poliedro regular de 8 faces formada por triângulos equiláteros, 12 
arestas e 6 vértices sendo: 
Área total: 2a2√3 
Volume: 1/3 a3√2 
Icosaedro 
 
O Icosaedro é um poliedro convexo composto de 20 faces triangulares, 30 arestas e 12 
vértices sendo: 
Área total: 5√3a2 
Volume: 5/12 (3+√5) a3 
Prisma 
 
O Prisma é um poliedro composto de duas faces paralelas que formam a base, que por 
sua vez, podem ser triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal. 
Além das faces a prima é composto de altura, lados, vértices e arestas unidos por 
paralelogramos. De acordo com sua inclinação, os prismas podem ser retos, aqueles 
em que a aresta e a base fazem um ângulo de 90º ou os oblíquos compostos de 
ângulos diferentes de 90º. 
Área da Face: a.h 
Área Lateral: 6.a.h 
 
 103 
Área da base: 3.a3√3/2 
Volume: Ab.h 
Onde: 
Ab: Área da base 
h: altura 
Pirâmide 
 
A pirâmide é um poliedro composto por uma base (triangular, pentagonal, quadrada, 
retangular, paralelogramo), um vértice (vértice da pirâmide) que une todas as faces 
laterais triangulares. 
Sua altura corresponde a distância entre o vértice e sua base. Quanto à sua inclinação 
podem ser classificadas em retas (ângulo de 90º) ou oblíquas (ângulos diferentes de 
90º). 
Área total: Al + Ab 
Volume: 1/3 Ab.h 
Onde: 
Al: Área lateral 
Ab: Área da base 
h: altura 
Estatística 
A estatística é o campo da matemática que relaciona fatos e 
números em que há um conjunto de métodos que nos possibilita coletar 
dados e analisá-los, assim sendo possível realizar alguma interpretação 
deles. A estatística é dividida em duas partes: descritiva e inferencial. A 
estatística descritiva é caracterizada pela organização, análise e 
apresentação dos dados, enquanto a estatística inferencial tem como 
 
 104 
característica o estudo de uma amostra de determinada população e, com 
base nela, a realização de análises e a apresentação de dados. 
Circunferência trigonométrica 
A circunferência trigonométrica está representada no plano cartesiano 
com raio medindo uma unidade. Ela possui dois sentidos a partir de um 
ponto A qualquer, escolhido como a origem dos arcos. O ponto A será 
localizado na abscissa do eixo de coordenadas cartesianas, dessa forma, 
esse ponto terá abscissa 1 e ordenada, 0. Os eixos do plano cartesiano 
dividem o círculo trigonométrico em quatro partes, chamadas de 
quadrantes, onde serão localizados os números reais α relacionados a um 
único ponto P. Os sentidos dos arcos trigonométricos estão de acordo com 
as seguintes definições: 
Se α = 0, P coincide com A. 
Se α > 0, o sentido do círculo trigonométrico será anti-horário. 
Se αorçamento e autoconhecimento financeiro, para terminar no 
investimento e enriquecimento pessoal. 
No fim, o objetivo é ter a movimentação do seu dinheiro mais organizada e uma 
situação financeira mais estável para lidar com crises, imprevistos e emergências. 
 
Quais os benefícios de cuidar bem das suas finanças 
Seja do lado empresarial ou pessoal, o principal benefício de quem cuida bem de suas 
economias está na maior segurança e tranquilidade com o próprio dinheiro. 
Quem se organiza bem consegue identificar facilmente os desperdícios e apontar 
gastos que podem ser cortados. 
Isso tudo para garantir uma sobra na hora de fechar as contas do mês e, 
posteriormente, poupar e investir. 
Além disso, você se livra de acabar caindo em fontes de crédito caro, que dificultam a 
sua vida com juros abusivos. 
No fim das contas, quem cuida bem de suas finanças vive uma vida mais tranquila 
e com menos pressão, já que está muito mais preparado para lidar com os imprevistos. 
 
 
 108 
9 dicas sobre finanças 
Agora que já sabe do que se trata, a importância e benefícios das finanças, vamos às 
dicas para aprender, de fato, a como organizar as suas finanças. 
Para isso, acompanhe abaixo a série de dicas práticas e fáceis de aplicar na sua vida 
que a Xpeed separou para você. 
 
1. Faça um planejamento financeiro 
Para realizar um bom planejamento financeiro, o grande segredo é ser simples e 
funcional. 
Dessa forma, comece a ver o quanto de dinheiro possui, sai e recebe para definir 
prazos e metas, baseado no que deseja realizar e em quanto tempo acha viável. 
Ou seja, em resumo, é saber o que se quer, quando se quer, para poder planejar 
como vai chegar lá. 
 
2. Monte uma planilha de gastos mensais 
Quando se começa um planejamento para suas finanças, é ótimo ter e usar uma 
ferramenta para tal. 
Isso porque finanças são nada sem controle. 
Então, que tal começar a fazer sua planilha de gastos mensais? 
Pegue agora mesmo uma folha de papel ou o Excel no seu computador para iniciar a 
cuidar bem das suas finanças. 
 
3. Renegocie suas dívidas 
Quem tem dívidas, a segunda tarefa a se fazer para cuidar das finanças é se livrar das 
dívidas que possui, se, claro, as possui. 
 
 109 
Para isso, é preciso começar renegociando os valores devidos. 
Esse momento é uma ótima oportunidade para você compreender o montante que 
precisa pagar e trabalhar para sair dessas dívidas. 
 
4. Junte uma reserva de emergência 
Outro ponto importante para evitar dívidas de maneira geral é montar a sua reserva 
de emergência. 
Assim, estipule um valor baseado no quanto gasta, em média, mensalmente, 
multiplique por 6, 8 ou 12 – que é a quantidade de meses que precisa para sobreviver 
caso perca o emprego, por exemplo – e vá guardando aos poucos até atingir um valor 
substancial. 
Aliás, para proteger a sua reserva de emergência da desvalorização, é importante 
procurar alternativas de investimento que apresentem uma rentabilidade acima da 
inflação. 
Isso porque você protege seu patrimônio e garante que terá um capital guardado para 
te auxiliar em momentos de crise. 
 
5. Aprenda contabilidade com os ricos 
É bom que se saiba que ricos não são ricos à toa – pelo menos, grande parte deles. 
E um dos principais pontos que os diferencia das demais pessoas do mundo é a grande 
atenção que dão às suas finanças. 
Para isso, é preciso entender os fundamentos contábeis ou contratar um bom 
contador e evitar, assim, perder dinheiro. 
As pessoas ricas, geralmente, conhecem a contabilidade de forma a evitar tributos e 
impostos desnecessários. 
 
 
 110 
6. Aprenda a como economizar dinheiro 
Pode parecer óbvio, mas economizar vem de identificar e cortar desperdícios. 
Para que compreenda melhor, desperdício de dinheiro é tudo aquilo que você paga, 
mas não usa. 
Alguns exemplos simples: 
• Videogame: se você não usa e nem tem tempo para isso, venda; 
• Telefonia: gaste proporcionalmente com o que consome; 
• Assinaturas em geral: seja um serviço de streaming ou uma revista que 
nunca lê, cancele e só pague aquilo que efetivamente usa. 
 
7. Poupe parte do seu dinheiro e invista (mesmo 
ganhando pouco) 
Ganhar pouco costuma não ser desculpa para não poupar. 
O segredo das finanças é buscar adaptar sua vida aos seus ganhos. 
Dessa forma, esforce-se para conseguir separar, ao menos, 15% do que ganha para 
poupar e, em seguida, investir. 
Com os 85% restantes, use para as maiores necessidades suas e uma pequena parte 
desse total para bancar seu estilo de vida. 
Isso junto à disciplina e paciência, você tem a oportunidade de ver seu patrimônio 
crescer. 
Para ajudar nesse sentido, não perca dinheiro com a poupança 
O rendimento costuma ser tão baixo que, muitas vezes, sequer cobre as 
perdas promovidas pela inflação acumulada. 
Ou seja, ao manter dinheiro na poupança, você o vê perder valor em vez de aumentar 
seu patrimônio. 
 
 
 111 
8. Aprenda e ensine sua família sobre finanças 
Quando vivemos em família, se torna muito importante envolvê-los nessa jornada de 
aprendizagem e planejamento sobre finanças. 
Isso, principalmente, porque se todos estiverem em sintonia, os resultados serão 
muito melhores. 
Por exemplo: defina um dia do mês, crie um ritual e assuma esse compromisso. 
É importante que seja um momento sério, mas gostoso, e que, ao longo do tempo, 
todos possam comemorar juntos as conquistas e encarar os desafios. 
Sempre haverá algo a ensinar e aprender. 
Estimule todos a fazer pesquisas e levar assuntos novos para cada encontro sobre 
finanças. 
 
9. Aposente o cartão de crédito 
Não se pode negar que o cartão de crédito é uma ferramenta que pode levar a 
problemas financeiros. 
Por quê? 
Porque existe uma “armadilha psicológica” no uso do cartão que é o fato de você “não 
ver” o dinheiro sendo gasto de fato. 
Isso causa uma falsa sensação de “não ter gastado”. 
Por outro lado, quando você passa a usar “dinheiro vivo” ou mesmo cartão de débito, 
está se valendo de uma ferramenta poderosa das finanças. 
Dessa forma, inibe o seu consumo por impulso e, pela dificuldade de ver o dinheiro 
indo embora, fará com que você gaste menos. 
O que é salário? 
 
 
 112 
De acordo com o artigo 72 da Consolidação das Leis do Trabalho (CLT), o 
salário é definido como a contraprestação que o empregador deve pagar, e é 
pago diretamente pelo empregador a cada trabalhador nos dias normais de 
trabalho. 
No Brasil, existe o chamado salário mínimo, que é um valor definido e 
reajustado pelo governo que indica o valor mínimo que deve ser pago a um 
empregado que trabalha 44 horas semanais. 
No entanto, alguns estados estabeleceram um padrão regional de salário 
mínimo, que é superior ao padrão de salário mínimo definido pelo país. 
Santa Catarina, Rio Grande do Sul, Paraná e São Paulo são alguns dos estados 
que estabeleceram essa diferença. 
Normalmente, esse valor extra é pago aos trabalhadores do setor privado, 
uma vez que os servidores públicos seguem regras salariais diferenciadas 
conforme a instância — municipal, estadual ou federal. 
Basicamente, para atender à demanda, a organização contrata pessoas que 
podem desempenhar determinadas funções. 
Nesse caso, o funcionário compartilha seu conhecimento e exerce essas 
atividades, oferecendo também ao seu empregador seu tempo. Do outro 
lado, a empresa tem que pagar pelas tarefas, ou seja, o funcionário é pago 
pelos serviços prestados. 
O que é remuneração? 
Todos os rendimentos que um funcionário recebe são denominados de 
remunerações. 
Geralmente, dentro de uma remuneração estão todos os benefícios 
combinados no contrato de trabalho como ganhos extras e o próprio salário. 
A remuneração não é especificamente um tipo de salário, mas o próprio 
salário pode ser considerado um tipo de remuneração. 
Parece confuso, não é mesmo? 
Para que você entenda melhor, a remuneração pode ser estipulada de 
acordo com a forma de trabalho exigida pela empresa, podendo ser mensal,horária, por tarefa, entre outras, sendo caracterizada por: 
 
 113 
• Adicional noturno; 
• Pagamento de horas extras; 
• Adicional de periculosidade; 
• Participação nos lucros (PL); 
• Participação acionária; 
• Insalubridade; 
• Gorjetas e gratificações; 
• Gastos de viagens e hospedagens a serviço; 
• Comissões e percentagens; 
• Incentivos da corporação. 
Esses recursos fazem parte da base de cálculo do décimo terceiro 
salário, férias, rescisões, etc. Além disso, qualquer receita externa, como 
gorjetas, por exemplo, é definida como remuneração, uma vez que o salário 
é pago diretamente pelo empregador. 
 
 
Salário e remuneração: qual a diferença dos termos? 
Cada um desses termos representa um item completamente diferente na 
folha de pagamento do funcionário. É por isso que é extremamente 
importante que funcionários e empresas entendam a diferença entre eles. 
Vamos começar com o salário. Esse, nada mais é do que um benefício pago 
pelo tempo que os funcionários contribuem para a empresa. Em outras 
palavras, foi concedido em troca de serviços prestados ao contratante. Seu 
valor total, que também é chamado de ‘in natura’, varia de acordo com a 
vaga em questão. 
Por outro lado, a remuneração é o somatório do salário contratualmente 
estipulado (mensal, por hora, por tarefa, etc.). 
Em vista disso, possui outras vantagens que podem ser percebidas durante a 
vigência do contrato de trabalho, como horas extras, adicional noturno, 
prêmios de seguro de risco, trabalho insalubre, comissões, porcentagens, 
bônus, verbas de viagem, etc. 
 
 
https://www.pontotel.com.br/adicional-noturno/
https://www.pontotel.com.br/como-calcular-hora-extra/
https://www.pontotel.com.br/periculosidade/
https://www.pontotel.com.br/adicional-de-insalubridade/
https://www.pontotel.com.br/como-calcular-decimo-terceiro/
https://www.pontotel.com.br/como-calcular-decimo-terceiro/
https://www.pontotel.com.br/ferias-tudo-sobre/
 
 114 
Salário e remuneração CLT: o que diz a lei? 
O salário é estabelecido pelo art. 458 da CLT, que diz o seguinte: 
“Art. 458 – Além do pagamento em dinheiro, compreende-se no salário, para 
todos os efeitos legais, a alimentação, habitação, vestuário ou outras 
prestações “in natura” que a empresa, por força do contrato ou do costume, 
fornecer habitualmente ao empregado. Em caso algum será permitido o 
pagamento com bebidas alcoólicas ou drogas nocivas.” 
Já o artigo 457 da CLT, menciona que estão incluídos na remuneração do 
empregado, para todos os efeitos legais, além do salário devido e pago 
diretamente pelo empregador, a título de contraprestação pelo serviço, as 
gorjetas recebidas, os bônus legais e as comissões, além ao adicional devido 
decorrente da prestação de serviços como horas extras, adicional noturno, 
insalubridade, periculosidade, entre outros. 
A palavra remuneração passou a indicar a totalidade dos rendimentos do 
empregado decorrentes da relação de trabalho, pagos diretamente ou não 
pelo empregador. E, a palavra salário, para indicar os rendimentos recebidos 
diretamente pelo empregador pela contrapartida do trabalho. 
Assim, podemos dizer que a remuneração é gênero e o salário é a espécie 
desse gênero. 
Conforme já mencionado, os valores considerados como remuneração e que 
constituem a base de cálculo do 13º salário, férias e dispensas incluem: horas 
extras, noturnas, jornada de trabalho insegura e insalubre, DSR, comissões, 
gratificações, descontos e gorjetas. 
 A Lei 13.467 / 2017 estabeleceu, com a nova redação, o § 2º do art. 457 da 
CLT, que a partir de 11.11.2017, embora usual, não contempla a 
remuneração do empregado nas seguintes parcelas: 
• Abonos; 
• Prêmios (assiduidade, triênio, anuênio, biênios, quinquênios); 
• Ajuda de custos (qualquer valor); 
• Abonos habituais – fornecimento habitual de qualquer vantagem 
concedida ao empregado (aluguel de casa, carros, escola de filhos, etc.). 
https://www.pontotel.com.br/dsr-sobre-comissao/
https://www.pontotel.com.br/adicional-de-assiduidade/
 
 115 
• Diárias para viagem, ainda que excedam a 50% (cinquenta por cento) do 
salário recebido pelo empregado. 
 
 
Quais os tipos de salários existentes? 
Confira abaixo quais são os tipos de salário existentes: 
Salário base 
O salário base é estabelecido no contrato de trabalho celebrado entre a 
empresa e o empregado. Isso significa ser uma remuneração fixa, sem contar 
adicionais e variáveis. 
Salário bruto 
O salário bruto é o mesmo que o salário base, que já abordamos aqui. Ou 
seja, é o valor recebido pelo empregado antes dos descontos de impostos 
(INSS, IRRF, etc.). 
Salário mínimo 
O salário mínimo é o salário estabelecido por lei que define o menor valor 
que uma empresa pode pagar para uma jornada de trabalho de 220 horas. 
Existem também salários mínimos nacionais e estaduais, conhecidos como 
salários regionais. 
Salário líquido 
O salário líquido é o valor final recebido pelo empregado após os desconto 
previstos em folha de pagamento, como INSS, vale transporte, entre outros. 
Este é o restante do seu salário bruto após a dedução de todos os impostos 
obrigatórios e outros descontos salariais. 
Piso Salarial 
O piso salarial tem a mesma definição de salário profissional. É proporcional 
ao escopo e à complexidade do trabalho de cada cargo. Para algumas 
categorias, isso é estipulado por lei ou acordo coletivo. Portanto, se um 
funcionário pertence a uma categoria, ele deve receber de acordo com o 
estipulado. 
 
 
https://www.pontotel.com.br/calculo-inss/
https://www.pontotel.com.br/calcular-irrf/
https://www.pontotel.com.br/guia-definitivo-da-folha-de-pagamento/
https://www.pontotel.com.br/vale-transporte-empresa/
https://www.pontotel.com.br/acordo-coletivo/
 
 116 
E os tipos de remuneração? 
Agora saiba quais são os tipos de remuneração: 
Remuneração variável 
A remuneração variável, como o próprio nome sugere, é um tipo de 
remuneração que não é fixa e varia em função dos aspectos especificados 
pela empresa ou gestor. 
Geralmente, isso está relacionado ao desempenho e à capacidade de 
obtenção de resultados do funcionário, podendo receber valores diferentes 
no final do mês. 
Este valor pode ser maior ou menor dependendo dos resultados oferecidos. 
No entanto, deve-se lembrar que a remuneração não pode ser inferior ao 
salário mínimo legal. 
Remuneração funcional 
Esse modelo de remuneração é um dos mais tradicionais nas empresas e está 
relacionado ao plano de cargos e salários. Ocorre em todos os cargos 
existentes na organização e é baseado em descrições de cargos e 
responsabilidades. 
Afinal, muitas vezes cargos gerenciais e alta especialização técnica exigem 
maior responsabilidade do funcionário. Portanto, este modelo define uma 
hierarquia e promove o equilíbrio dos funcionários e um senso de justiça. 
Remuneração por habilidade 
Essa remuneração considera o conhecimento e a habilidade dos 
profissionais. Isso acontece quando a empresa recompensa o funcionário 
com base no que ele pode fazer, não no cargo que vai ocupar. 
É uma forma de estimular a qualificação e o aprimoramento dos 
colaboradores, vinculando os benefícios ao nível de especialização. 
Remuneração por competência 
 
 117 
Quando se trata de pagar por competências, uma empresa pode oferecer 
maior valor para um profissional e menor valor para outro, dependendo do 
que sua função exige. 
Por exemplo, se uma posição exige fluência em inglês, mas outra posição 
não, o primeiro pode receber um salário mais alto. 
Participação acionária 
Essa modalidade de remuneração não é muito utilizada nas empresas 
brasileiras, pois atua em organizações de capital aberto. 
Elas funcionam fornecendo aos funcionários parte da empresa, mesmo em 
pequena escala. Portanto, o profissional pode obter dividendos ou lucros 
com a venda de títulos financeiros no futuro. Essa estratégia pode motivar os 
funcionários a se comprometerem mais com os resultados do trabalho e 
torná-los um verdadeiro membro da empresaComissão e premiação 
As comissões e premiações também são uma forma de remuneração 
variável. Estão muito presentes nas empresas e desempenham um papel 
fundamental na motivação dos colaboradores. 
Na maioria dos casos, as comissões são o percentual oferecido a um 
funcionário para cumprir metas ou realizar alguma atividade, como fechar 
contratos, vender, etc. 
A premiação também está vinculada ao cumprimento de metas individuais e 
coletivas. No desempenho dessas funções, a empresa proporcionará 
profissionais com funções pré-determinadas: um benefício financeiro, algum 
prêmio físico ou uma experiência de vida. 
Salário indireto 
Os salários indiretos são benefícios que complementam a remuneração dos 
empregados da empresa, como: auxílio alimentação, auxílio saúde, auxílio 
creche, plano odontológico, etc. Essa é uma ótima forma de satisfazer 
profissionais e atrair talentos do mercado. 
 
 
 
 118 
Medidas de Volume 
 
As medidas de volume possuem grande importância nas situações 
envolvendo capacidades de sólidos. Podemos definir volume como o 
espaço ocupado por um corpo ou a capacidade que ele tem de comportar 
alguma substância. Da mesma forma que trabalhamos com o metro linear 
(comprimento) e com o metro quadrado (comprimento x largura), 
associamos o metro cúbico a três dimensões: altura x comprimento x 
largura. 
As unidades de metro cúbico são: quilômetros cúbicos (km³), hectômetros 
cúbicos (hm³), decâmetros cúbicos (dam³), metros cúbicos (m³), 
decímetros cúbicos (dm³), centímetros cúbicos (cm³), milímetros cúbicos 
(mm³). Observe a tabela e os métodos de transformação de unidades de 
volume: 
 
 
1 – Transformando 12km³ em m³ = 12 x 1000 x 1000 x 1000 = 12 000 000 
000 m³ 
2 – Transformando 2m³ em cm³ = 2 x 1000 x 1000 = 2 000 000 cm³ 
3 – Transformando 1000cm³ em m³ = 1000: 1000 : 1000 = 0,001 m³ 
4 – Transformando 5000dm³ em m³ = 5000 : 1000 = 5 m³ 
5 – Transformando 50 000 000m³ em km³ = 50 000 000 : 1000 : 1000 : 
1000 = 0,05 km³ 
De acordo como Sistema Internacional de medidas (SI), o metro cúbico é a 
unidade padrão das medidas de volume. Um metro cúbico (1m³) 
corresponde a uma capacidade de 1000 litros. Essa relação pode ser 
 
 119 
exemplificada em conjunto com a Geometria, através de um cubo com 
arestas medindo 1 metro. 
 
 
Para que serve um modelo matemático? 
Modelos matemáticos são usados para analisar a relação entre duas ou mais variáveis. 
Eles podem ser usados para entender fenômenos naturais, sociais, físicos, etc. 
Dependendo do objetivo pretendido e do desenho do mesmo modelo, podem ser 
utilizadas para prever o valor das variáveis no futuro, fazer hipóteses, avaliar os efeitos 
de uma determinada política ou atividade, entre outros objetivos. 
Embora pareça um conceito teórico, na realidade existem muitos aspectos da vida 
cotidiana regidos por modelos matemáticos. O que acontece é que não são modelos 
matemáticos voltados para a teorização. Em vez disso, são modelos matemáticos 
formulados para fazer algo funcionar. Por exemplo, um carro. 
 
Elementos básicos de um modelo matemático 
Os modelos matemáticos podem variar em sua complexidade, mas todos eles têm um 
conjunto de características básicas: 
o Variáveis: São os conceitos ou objetos que se busca compreender ou analisar. 
Principalmente no que diz respeito à sua relação com outras variáveis. Assim, 
por exemplo, uma variável pode ser o salário dos trabalhadores e o que 
queremos analisar são os seus principais determinantes (por exemplo: anos de 
estudo, escolaridade dos pais, naturalidade, etc.). 
o Parâmetros: Esses são valores conhecidos ou controláveis do modelo. 
o Restrições: São certos limites que indicam que os resultados da análise são 
razoáveis. Por exemplo, se uma das variáveis for o número de filhos de uma 
família, uma restrição natural é que esse valor não possa ser negativo. 
o Relações entre variáveis: O modelo estabelece uma certa relação entre as 
variáveis com base em teorias econômicas, físicas, químicas, etc. 
o Representações simplificadas: Uma das características essenciais de um 
modelo matemático é a representação das relações entre as variáveis 
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 120 
estudadas através de elementos da matemática como: funções, equações, 
fórmulas, etc. 
 
Propriedades desejadas de um modelo matemático 
Quando um modelo matemático é desenhado, pretende-se que tenha um conjunto de 
propriedades que ajudem a garantir a sua robustez e eficácia. Entre essas 
propriedades estão: 
o Simplicidade: Um dos principais objetivos de um modelo matemático é 
simplificar a realidade para melhor compreendê-la. 
o Objetividade: Que não haja vieses nem teóricos nem dos preconceitos ou 
ideias de seus designers. 
o Sensibilidade: Que é capaz de refletir os efeitos de pequenas variações. 
o Estabilidade: Que o modelo matemático não é alterado de forma significativa 
quando há pequenas mudanças nas variáveis. 
o Universalidade: Que é aplicável a vários contextos e não apenas a um caso 
particular. 
Obviamente, existem muitos mais, mas os acima são os mais intuitivos. 
Processos para fazer um modelo matemático 
 
Em termos gerais, o processo de desenvolvimento de um modelo matemático é o 
seguinte: 
1. Encontre um fenômeno ou problema. 
2. Formule um modelo com elementos matemáticos que representam o 
problema escolhido, identificando as variáveis relevantes (dependentes e 
independentes). 
3. Estabeleça hipóteses e um método de teste para sua veracidade. 
4. Aplicar conhecimentos matemáticos para resolver o modelo e fazer previsões, 
se necessário. 
5. Faça comparações dos dados obtidos com dados reais. 
6. Se os resultados não atenderem às expectativas, ajuste o modelo matemático. 
Tipos de modelos matemáticos 
Existem vários tipos de modelos matemáticos. Aqui estão alguns dos tipos de modelos 
mais relevantes: 
De acordo com as informações utilizadas 
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https://en.optad360.com/?utm_source=branding&utm_medium=display&utm_campaign=pt.economy-pedia.com
 
 121 
o Heurística: Com base em possíveis explicações sobre as causas dos fenômenos 
observados. 
o Empírico: Usa informações de experimentação real. 
 
De acordo com o tipo de representação 
o Qualitativo ou conceitual: Eles se referem a uma análise da qualidade ou 
tendência de um fenômeno sem calcular um valor exato. 
o Quantitativo ou numérico: Os resultados obtidos têm um valor específico com 
um determinado significado (pode ser exato ou relativo). 
De acordo com a aleatoriedade 
o Determinístico: Não tem incerteza, os valores são conhecidos. 
o Estocástico: O valor das variáveis não é conhecido exatamente o tempo todo. 
Existe incerteza e, portanto, uma distribuição de probabilidade dos resultados. 
De acordo com sua aplicação ou objetivo 
o Simulação ou descritivo: Simula ou descreve um fenômeno. Os resultados 
estão focados em prever o que acontecerá em uma determinada situação. 
o Otimização: Eles são usados para encontrar uma solução ótima para um 
problema. 
o De controle: Manter o controle de uma organização ou sistema e determinar as 
variáveis que devem ser ajustadas para obter os resultados desejados. 
Taxa de Variação da Função do 2º Grau 
Uma importante aplicação da Matemática na Física é dada pela taxa de 
variação da função do 2º grau, que está ligada ao movimento 
uniformemente variado, isto é, as situações nas quais a velocidade varia 
de acordo com a aceleração. A função do 2º grau é dada pela expressão 
ax² + bx + c = 0 e a sua taxa de variação num intervalo (x, x+h), com x e x+h 
Є R e h ≠ 0, é dada pela expressão: 
No caso da função do 2º grau temos: 
f(x+h) = a(x+h)² + b(x+h) + c = a(x² + 2xh + h²) + bx + bh + c = ax² + 2axh + 
ah² + bx + bh + c 
Então: 
https://en.optad360.com/?utm_source=branding&utm_medium=display&utm_campaign=pt.economy-pedia.com122 
f(x+h) – f(x) = ax² + 2axh + ah² + bx + bh + c – (ax² + bx + c) = ax² + 2axh + 
ah² + bx + bh + c – ax² – bx – c = 2axh + ah² + bh 
Assim, temos: 
De acordo com a expressão acima, quando h se aproximar de zero, a taxa 
de variação se aproximará de 2ax + b. Dessa forma, podemos expressar 
essa situação através de um gráfico, que demonstra com clareza que a 
taxa de variação da função quadrática, quando h se aproxima de zero, é a 
inclinação da reta tangente à parábola y = ax² + bx + c no ponto (x0, y0). 
A inclinação da reta tangente t no ponto (x0,y0) é dada por 2ax0 + b. 
Exemplo: 
Um movimento uniformemente variado é dado pala expressão f(t) = at² + 
bt + c, que fornece a posição de um objeto num certo tempo t. Na 
expressão, a é a aceleração, t é o tempo, b é a velocidade inicial e c é a 
posição inicial do objeto. 
Para f(t) = at² + bt + c: 
f(t+h) = a(t+h)² + b(t+h) + c = a(t² + 2th + h²) + bt + bh + c = at² + 2ath + ah² 
+ bt + bh + c 
f(t+h) – f(t) = at² + 2ath + ah² + bt + bh + c – at² – bt – c = 2ath + ah² + bh 
Quando h se aproximar de zero, o valor da velocidade média se 
aproximará de 2at + b. Portanto, a expressão que determina a velocidade 
desse objeto a partir da expressão do espaço em função do tempo é: 
v(t) = 2at + b 
Notação científica 
A notação científica é uma forma simplificada de escrever números muito grandes ou 
muito pequenos. Ela é muito utilizada na astronomia, na física e na química pois 
podemos representar números de moléculas, de átomos, distância entre corpos no 
espaço, entre outras medidas. Vejamos por exemplo, como seria o número 1 trilhão em 
notação científica. 
1.000.000.000.000=1⋅1012 
 
 123 
A notação científica é sempre baseada em potências de 10. Então, podemos generalizar 
a forma com que um número é escrito nesta notação: 
a⋅10b 
A constante a é chamada de mantissa e b é a ordem de grandeza. A mantissa de um 
número em notação científica deve estar sempre no intervalo: 
1≤a≤10 
Já a ordem de grandeza pode ser qualquer número inteiro. Vamos à alguns exemplos: 
1. A distância da terra até o sol é de aproximadamente 149.597.870,691 km. O que nos 
dá em notação científica: 
1,49597870691⋅108km 
ou, por um arredondamento: 
1,5⋅108km 
2. A constante de Avogadro, muito utilizada na química, é da ordem de sextilhões. Este 
número é representado por notação científica, onde o seu valor aproximado é de: 
6,022⋅1023 
Note que nos exemplos acima, as ordens de grandeza são expoentes positivos. 
Praticamente, se movermos a virgula do número decimal 8 vezes (no primeiro exemplo) 
ou 23 vezes (no segundo exemplo), obteremos a forma original da escrita deste número. 
O contrário ocorre quando temos números muito pequenos onde a ordem de grandeza 
será um inteiro negativo, o que representa um número decimal muito pequeno: 
3. Uma unidade de massa atômica é da ordem de: 
1,66054⋅10−24 
Ou seja, o número é muito pequeno: 0,00000000000000000000000166054. 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) 
O SI especificou um conjunto de prefixos de unidades de medida, baseados em notação 
científica. Quando usamos as palavras miligrama, mililitro, quilômetro, centímetro entre 
https://www.infoescola.com/fisica/sistema-internacional-de-unidades/
 
 124 
muitas outras, estamos intrinsecamente falando em potências de 10. Veja a tabela 
abaixo: 
Prefixo 
Escala Equivalente Numérico 
Nome Símbolo 
iota Y 1024 1 000 000 000 000 000 000 000 000 
zeta Z 1021 1 000 000 000 000 000 000 000 
exa E 1018 1 000 000 000 000 000 000 
peta P 1015 1 000 000 000 000 000 
tera T 1012 1 000 000 000 000 
giga G 109 1 000 000 000 
mega M 106 1 000 000 
quilo k 103 1 000 
hecto h 102 100 
deca da 101 10 
Unidade 100 1 
deci d 10−1 0,1 
centi c 10−2 0,01 
mili m 10−3 0,001 
micro µ 10−6 0,000 001 
nano n 10−9 0,000 000 001 
pico p 10−12 0,000 000 000 001 
femto f 10−15 0,000 000 000 000 001 
atto a 10−18 0,000 000 000 000 000 001 
zepto z 10−21 0,000 000 000 000 000 000 001 
iocto y 10−24 0,000 000 000 000 000 000 000 001 
 
Teoria dos conjuntos 
 
 125 
Chamamos de conjunto toda e qualquer coleção de elementos. Estes 
elementos podem ser números, objetos, figuras, pessoas, animais e tudo o 
que podemos ordenar, catalogar ou reunir em grupos de seus elementos. Por 
exemplo: Se quisermos construir o conjunto de crianças de uma escola que 
possuam exatos 10 anos de idade, podemos dizer que o conjunto é composto 
pelos alunos Pedrinho, Joãozinho, Mariazinha, ..., e todos os alunos que 
tenham 10 anos de idade na escola. Matematicamente, quase sempre os 
conjuntos serão compostos por números e que dependam de algumas 
condições. Por exemplo: O conjunto dos números Reais, o conjunto dos 
números Inteiros, o conjunto dos números maiores do que 2 e menores do 
que 7, e muito mais. 
A relação básica entre um conjunto e o elemento que o compõe é chamada 
de relação de pertinência, ou seja, definimos um conjunto quando existe uma 
regra que permite decidir se um elemento pertence ou não a ele. Se um 
elemento x pertence a um conjunto (ou coleção) A, dizemos que x pertence 
a A. Formalmente escrevemos: 
x∈A 
E quando x não é um elemento deste conjunto, dizemos que x não pertence 
a A: 
x∉A 
A maioria dos conjuntos em matemática não possuem uma definição para 
todos os seus elementos, logo a forma mais fácil de definir um conjunto é 
utilizando uma propriedade comum para todos os seus elementos, ou seja, 
uma lei que consiga ser associada a todos os elementos que o compõe. 
Vejamos abaixo alguns conjuntos numéricos usuais: 
• Números Naturais: N={0,1,2,3,4,5,...} 
• Números Inteiros: Z={...,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,...} 
• Números Racionais: Q={pq:p∈Z;q∈Z∗} 
Exemplo 1: Vamos definir um conjunto A que seja construído a partir dos 
números Naturais e que qualquer elemento de A seja maior ou igual a 5 e 
menor ou igual a 10. Então o conjunto será: 
A={5,6,7,8,9,10} 
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-reais/
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-inteiros/
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-racionais/
 
 126 
Como sabemos que qualquer elemento x que pertence a A é um número 
Natural neste exemplo, podemos representar o conjunto da seguinte maneira: 
A={x∈N:5≤x≤10} 
Lê-se: O conjunto A é igual a x (elemento qualquer de A) que pertence aos 
naturais, tal que 5 é menor ou igual a x e x é menor ou igual a 10 (ou x está 
entre 5 e 10). 
Conjunto vazio 
Existem alguns conjuntos que são representados por uma propriedade onde 
não é possível gerar elementos. Vejamos um caso: 
A={x∈N:1A⊂C. 
Operações entre conjuntos 
União de conjuntos: A união (ou reunião) de conjuntos é a junção dos 
elementos de um conjunto A mais ou elementos de um conjunto B. Podemos 
afirmar então que se um elemento x pertencer a união de A com B, então x 
pertence a A ou pertence a B. Formalmente definimos: 
A∪B={x:x∈A ou x∈B} 
Veja abaixo uma representação no chamado diagrama de Venn. A região cinza 
simboliza a união dos seus respectivos elementos. 
 
https://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/
 
 128 
Interseção de conjuntos: A interseção de conjuntos é formada pelos 
elementos que são comuns entre A e B. Então: 
A∩B={x:x∈A e x∈B} 
 
Propriedades: 
União 
A∪∅=A 
A∪A=A 
A∪B=B∪A 
(A∪B)∪C=A∪(B∪C) 
A∪B=A↔B⊂A 
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 
. 
Interseção 
A∩∅=A 
A∩A=A 
A∩B=B∩A 
(A∩B)∩C=A∩(B∩C) 
A∩B=A↔A⊂B 
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 
 
 129 
Conjuntos complementares 
A diferença entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos 
de A que não pertencem a B, formalmente dado por: 
A−B={x:x∈A e x∉B} 
E representado no diagrama de Venn por: 
 
Não necessariamente B precisa estar contido em A para que exista A – B. 
Sendo assim, quando A ≠ B, nenhum elemento de A pertence a B, então A – B 
= A. Quando A−B=A−(A∪B) . Quando B⊂A a diferença A – B se chama 
complementar de B em relação a A. Em notação formal dizemos: 
A−B=CBA 
Relações binárias 
Vamos supor que o conjunto A = {1,2} e o conjunto B = {3,4,5} com A,B⊂N. O 
produto cartesiano A x B será dado por: 
AxB={(1,3);(1,4);(1,5);(2,3);(2,4);(2,5)} 
Se representarmos cada ponto de A x B geometricamente no plano 
cartesiano (ou também chamado de plano (x,y)) veremos que esta definição 
fica mais clara, pois todos os pontos do nosso exemplo serão indicados da 
seguinte forma: 
https://www.infoescola.com/matematica/plano-cartesiano/
https://www.infoescola.com/matematica/plano-cartesiano/
 
 130 
 
Outro exemplo, um produto cartesiano dos números reais pelos reais, ou 
seja, R×R é o conjunto R2. 
Leia também: 
• Operações com conjuntos 
• Conjuntos numéricos 
Referências Bibliográficas: 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contextos & Aplicações - Volume 1. São 
Paulo: Editora Ática, 2011. 
MIRAGLIA, F. Teoria dos Conjuntos: Um Mínimo. São Paulo: EDUSP, 1992. 
Polinômios 
Conhecemos como polinômio uma expressão que indica a soma algébrica 
de monômios que não sejam semelhantes, ou seja, polinômio é uma 
expressão algébrica entre monômios. Monômio é um termo algébrico que 
possui coeficiente e parte literal. 
https://www.infoescola.com/matematica/operacoes-com-conjuntos/
https://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/
 
 131 
Quando existem termos semelhantes entre os polinômios, é possível 
realizar-se a redução de seus termos na adição e ou subtração de dois 
polinômios. É possível também multiplicar dois polinômios por meio da 
propriedade distributiva. Já a divisão é realizada pelo método de chaves. 
O que são monômios? 
Para compreender-se o que é um polinômio, é importante que se 
compreenda antes o significado de um monômio. Uma expressão 
algébrica é conhecida como monômio quando ela possui números e letras 
e seus expoentes separados apenas por multiplicação. O número é 
conhecido como coeficiente, e as letras e seus expoentes são conhecidos 
como parte literal. 
Exemplos: 
2x² → 2 é o coeficiente; x² é a parte literal. 
√5ax → √5 é o coeficiente; ax é a parte literal. 
b³yz² → 1 é o coeficiente; b³yz² é a parte literal. 
O que é um polinômio? 
Um polinômio nada mais é que a soma algébrica de monômios, ou seja, 
são mais monômios separados por adição ou subtração entre si. 
Exemplos: 
ax² + by + 3 
5c³d – 4ab + 3c² 
-2ab + b – 3xa 
De forma geral, um polinômio pode ter vários termos, ele é representado 
algebricamente por: 
anxn + a(n-1) x(n-1) + … + a2x² + a1x + a 
Grau de um polinômio 
 
 132 
Para encontrar o grau do polinômio, vamos separar em dois casos, quando 
ele possui uma única variável e quando ele possui mais variáveis. O grau 
do polinômio é dado pelo grau do maior de seus monômios nos dois 
casos. 
É bastante comum o trabalho com o polinômio que possui somente uma 
variável. Quando isso ocorre, o monômio de maior grau que indica o grau 
do polinômio é igual ao maior expoente da variável: 
Exemplos: 
Polinômios de única variável 
a) 2x² – 3x³ + 5x – 4 → note que a variável é x, e o maior expoente que ela 
tem é 3, então, esse é um polinômio de grau 3. 
b) 2y5 + 4y² – 2y + 8 → a variável é y, e o maior expoente é 5, então, esse 
é um polinômio de grau 5. 
Quando o polinômio possui mais de uma variável em um monômio, para 
encontrar-se o grau desse termo, é necessário somar-se o grau os 
expoentes de cada uma das variáveis. Sendo assim, o grau do polinômio, 
nesse caso, continua sendo igual ao grau do maior monômio, mas é 
necessário ter-se o cuidado de realizar a soma dos expoentes das variáveis 
de cada monômio. 
Exemplos: 
a) 2xy + 4x²y³ – 5y4 
Analisando a parte literal de cada termo, temos que: 
xy → grau 2 (1 + 1) 
x²y³ → grau 5 (2 + 3) 
y³ → grau 3 
Note que o maior termo tem grau 5, então esse é um polinômio de grau 5. 
b) 8a²b – ab + 2a²b² 
Analisando-se a parte literal de cada monômio: 
 
 133 
a²b → grau 3 (2 + 1) 
ab² → grau 2 (1 + 1) 
a²b² → grau 4 (2 + 2) 
Dessa forma, o polinômio possui grau 4. 
Adição de polinômios 
Para a adição entre dois polinômios, vamos realizar a redução dos 
monômios semelhantes. Dois monômios são semelhantes se eles possuem 
partes literais iguais. Quando isso acontece, é possível simplificar o 
polinômio. 
Exemplo: 
Seja P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² – 2x + 4. Calcule o valor de P(x) + Q(x). 
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4 
Encontrando termos semelhantes (que possuem partes literais iguais): 
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4 
Agora vamos somar os monômios semelhantes: 
(2+4)x² + (4-2)x + 3 + 4 
6x² + 2x +7 
Subtração de polinômios 
A subtração não é muito diferente da adição. O detalhe importante é que 
primeiro precisamos escrever o polinômio oposto antes de realizarmos a 
simplificação dos termos semelhantes. 
Exemplo: 
Dados: P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² – 2x + 4. Calcule P(x) – Q(x). 
O polinômio -Q(x) é o oposto de Q(x), para encontrar o oposto de Q(x), 
basta inverter o sinal de cada um dos seus termos, então temos que: 
 
 134 
-Q(x) = -4x² +2x – 4 
Então calcularemos: 
P(x) + (-Q(x)) 
2x² + 4x + 3 – 4x² + 2x – 4 
Simplificando os termos semelhantes, temos: 
(2 – 4)x² + (4 + 2)x + (3 – 4) 
-2x² + 6x + (-1) 
-2x² + 6x – 1 
Multiplicação de polinômios 
Para realizar a multiplicação de dois polinômios, utilizamos a conhecida 
propriedade distributiva entre os dois polinômios, operando a 
multiplicação dos monômios do primeiro polinômio pelos do segundo. 
Exemplo: 
Seja P(x) = 2a² + b e Q(x) = a³ + 3ab + 4b². Calcule P(x) · Q(x). 
P(x) · Q(x) 
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²) 
Aplicando a propriedade distributiva, teremos: 
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b² 
2a5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² +4b³ 
Agora, caso existam, podemos simplificar os termos semelhantes: 
2a5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³ 
Note que os únicos monômios semelhantes estão destacados em laranja, 
realizando a simplificação entre eles, teremos o seguinte polinômio como 
resposta: 
 
 135 
2a5 + (6+1)a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³ 
2a5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³ 
Acesse também: Como fazer a multiplicação de fração algébrica? 
Divisão de polinômios 
Realizar a divisão de polinômios pode ser bastante trabalhoso, utilizamos 
o que se chama de método de chaves, mas existem vários métodos para 
tanto. A divisão de dois polinômios só é possível se o grau do divisor for 
menor. Ao dividir o polinômio P(x) pelo polinômio D(x), estamos buscando 
um polinômio Q(x), tal que: 
Assim, pelo algoritmo da divisão, temos que: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x). 
P(x) → dividendo 
D(x) → divisor 
Q(x) → quociente 
R(x) → resto 
Ao operar-se a divisão, o polinômio P(x) éseja muito 
eficiente. 
Exemplo 
Em um restaurante, é oferecido o famoso prato feito. Todos os pratos possuem arroz, e 
o cliente pode escolher uma combinação entre 3 possibilidades de carne (bovina, de 
frango e vegetariana), 2 tipos de feijão (caldo ou tropeiro) e 2 tipos de bebida (suco ou 
refrigerante). De quantas maneiras distintas um cliente pode fazer o pedido? 
Note que há 12 possibilidades de escolha, mas era possível chegar a esse número 
realizando a simples multiplicação das possibilidades por meio do princípio fundamental 
da contagem, logo o número de combinações de pratos possíveis poderia ser calculado 
por: 
2 · 3 · 2 = 12. 
Perceba que, quando meu interesse é saber somente o total de possibilidades, realizar 
a multiplicação é muito mais rápido do que construir qualquer esquema para analisar, o 
que pode ser bastante trabalhoso, caso haja mais e mais possibilidades. 
 
 
 
 7 
Quando utilizar o princípio fundamental da contagem? 
Existem várias aplicações do princípio fundamental da contagem. Ele pode ser aplicado, 
por exemplo, em várias decisões da informática. Um exemplo são as senhas que exigem 
o uso de pelo menos um símbolo, o que faz com que o número de combinações possíveis 
seja muito maior, deixando o sistema mais seguro. 
Outra aplicação é no estudo das probabilidades. Para calculá-las, precisamos saber a 
quantidade de casos possíveis e a quantidade de casos favoráveis. A contagem dessa 
quantidade de casos possíveis e favoráveis pode ser feita por meio do princípio 
fundamental da contagem. Esse princípio gera também as fórmulas de permutação, 
combinação e arranjo. 
Exercícios resolvidos 
1) (Enem) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem 
de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 
cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. 
O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e 
em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. 
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua 
resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno 
não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é 
declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno 
acertará a resposta porque há: 
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
Resolução 
Pelo princípio fundamental da contagem, o número de possíveis respostas será igual ao 
produto das quantidades de personagens, objetos e cômodos. 
5 · 6 · 9 = 270. 
Como o número de alunos é 280, então a diferença entre a quantidade de número de 
alunos e a quantidade de possibilidades é 10. 
Resposta: alternativa A. 
 
 8 
2) (Enem) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos, distribuídas 
conforme a tabela abaixo. 
Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três espécies de mamíferos – uma do 
grupo dos Cetáceos, outra do grupo dos Primatas e a terceira dos grupos dos Roedores. 
O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse 
estudo é igual a: 
a) 1320 
b) 2090 
c) 5840 
d) 6600 
e) 7245. 
Resolução: 
Sabemos que há 2 cetáceos, 20 primatas e 33 roedores. Então, pelo princípio 
fundamental da contagem, o número de conjuntos distintos possíveis será: 
2 ·20 ·33 = 1320 
Tabuada: multiplicação, divisão, adição e subtração 
Tabuada é a organização em uma tabela das 4 operações da 
aritmética: adição, subtração, multiplicação e divisão. 
Dessa forma, para cada operação existe uma tabuada: tabuada de 
adição, subtração, multiplicação e divisão. As operações são realizadas em 
relação aos dez algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. 
 
Na literatura antiga, elas eram chamadas tabuada de Pitágoras — filósofo grego — para 
homenageá-lo. A tabuada de multiplicação, por exemplo, reúne em uma tabela os 
múltiplos de um número de forma organizada. 
Numeração 
A primeira noção de número é fruto da observação de um ou mais fenômenos da 
natureza, ou da comparação de um, ou mais objetos da mesma espécie. Desse modo, a 
ideia era satisfazer as necessidades da sociedade e facilitar as operações no cotidiano. 
A numeração foi desenvolvida para representar todos os números através de símbolos 
escritos. Nesse sentido, diversas questões poderiam ser solucionadas através dos 
números e dos conhecimentos da Aritmética. 
 
 9 
Aritmética 
A aritmética é a área da matemática que trata dos números e as operações entre eles. 
De fato, todos nós a utilizamos no dia a dia para resolver problemas simples e 
complexos, independentemente se você é um matemático ou apenas um aluno. 
A aritmética está presente em nossa vida, diariamente utilizamos ela para resolver 
problemas, seja para contar dinheiro, fazer contas simples, contar a quantidade de 
frutas que você compra na feira, tudo isso é a aritmética na sua vida. 
As 4 operações da aritmética, a saber, são: adição, subtração, multiplicação e divisão. 
Adição 
A adição tem a finalidade de obter um número através de outros dois ou mais números. 
Por isso, quando somamos dois números, na verdade, estamos procurando um terceiro. 
Para saber mais sobre esse assunto veja o artigo sobre adição. 
Subtração 
A finalidade da subtração é encontrar o inverso da adição, ou seja, ao contrário de 
adicionar algo com outra, o que fazemos é tirar, subtrair. 
Veja o artigo sobre subtração para entender melhor. 
Multiplicação 
Multiplicar é somar sucessivas vezes um mesmo número. A multiplicação tem por 
finalidade simplificar esse processo. Então, ao invés de escrevermos: 2 + 2 + 2 + 2 = 8. 
Escrevemos 4 x 2 = 8. Isto deve ser lido assim: 4 vezes 2 é igual a 8. Ou seja, quantas 
vezes repetimos a soma do número 2, neste caso, 4. 
Para saber mais veja o artigo sobre multiplicação. 
Divisão 
A divisão é o ato de dividir algo com outra. É também bastante utilizada no dia a dia. 
Como, por exemplo, ao dividirmos uma pizza, por exemplo. 
Assim como a subtração é o inverso da adição, a divisão é o inverso da multiplicação. 
O ato de dividir causa desarmonia em muitos casos. As pessoas não gostam de dividir, 
sempre multiplicar. Da mesma forma, subtrair não é bom e, sim, sempre somar, na 
maioria das vezes. Assim, veja o artigo sobre divisão para entender melhor. 
Tabuadas 
https://matematicabasica.net/adicao/
https://matematicabasica.net/subtracao/
https://matematicabasica.net/multiplicacao/
https://matematicabasica.net/divisao/
 
 10 
Agora que já conhecemos um pouco sobre as operações básicas da aritmética, podemos 
introduzir nosso estudo sobre as tabuadas. 
As tabuadas foram criadas para definir as operações de adição, subtração, multiplicação 
e divisão em uma tabela. Com a finalidade de ajudar no estudo e memorização das 
operações básicas da Aritmética. 
Elas são utilizadas, principalmente, por alunos e crianças do Ensino Fundamental no 
aprendizado das 4 operações que servem de base para continuar os estudos da 
matemática nos anos posteriores e, também, no dia a dia. 
Tabuada de multiplicação 
A tabuada de multiplicação é a mais importante das tabuadas. Nela encontraremos o 
produto entre dois números. 
Definição 
É definida como o produto em um sistema algébrico que corresponde ao par ordenado 
entre dois números no conjunto dos números naturais. Veja: 
 
Cada par (a, b) de números naturais multiplicados um pelo outro tem como resultado 
um terceiro número (c), o resultado do produto do par anterior. 
A imagem abaixa mostra a tabuada completa de multiplicação para os números de 1 a 
10. 
 
https://matematicabasica.net/ensino-fundamental/divisível pelo polinômio D(x) se 
o resto for zero. 
Exemplo: 
Vamos operar a divisão do polinômio P(x) = 15x² +11x + 2 pelo polinômio 
D(x) = 3x + 1. 
Queremos dividir: 
(15x² + 11x + 2) : (3x + 1) 
1 º passo: dividimos o primeiro monômio do dividendo com o primeiro do 
divisor: 
15x² : 3x = 5x 
2º passo: multiplicamos 5x · (3x+1) = 15x² + 5x, e subtraímos o resultado 
de P(x). Para realizar a subtração, é necessário invertermos os sinais do 
resultado da multiplicação, encontrando o polinômio: 
 
 136 
3º passo: realizamos a divisão do primeiro termo do resultado da 
subtração pelo primeiro termo do divisor: 
6x : 3x = 2 
4º passo: então, temos que (15x² + 11x + 2) : (3x + 1) = 5x + 2. 
Sendo assim, temos que: 
Q(x) = 5x + 2 
R(x) = 0 
Binômio de Newton 
Binômio de Newton é qualquer binômio elevado a um número n em que n 
é um número natural. Graças aos estudos do físico Isaac Newton sobre as 
potências de binômios, foi possível verificar regularidades que facilitam a 
representação do polinômio gerado a partir da potência de um binômio. 
Observadas essas regularidades, tornou-se possível também encontrar 
somente um dos termos do polinômio, sem ter que calculá-lo todo, 
utilizando a fórmula do termo geral de um binômio. Além disso, Newton 
percebeu uma relação entre a análise combinatória e os binômios de 
Newton, o que fez do triângulo de Pascal uma ótima ferramenta para o 
desenvolvimento mais prático de um binômio de Newton. 
Definição de binômio de Newton 
Definimos como binômio o polinômio que possui dois termos. Em algumas 
aplicações na Matemática e na Física, é necessário calcular potências de 
um binômio. Para facilitar o processo, Isaac Newton percebeu 
regularidades importantes que nos permitem encontrar o polinômio que 
resulta da potência de um binômio. 
Isaac Newton foi físico e matemático e fez grandes contribuições para as 
duas áreas. 
Para alguns casos, o cálculo é bastante simples: basta realizar a 
multiplicação do binômio por ele mesmo utilizando a propriedade 
distributiva. Até uma potência de ordem 3, desenvolvemos sem muito 
esforço, pois são os conhecidos produtos notáveis, mas, para potências 
 
 137 
maiores, calcular a partir da multiplicação do termo por ele mesmo n 
vezes é bastante trabalhoso. 
Exemplos 
Vale lembrar que todo número elevado a zero é igual a 1 e que todo 
número elevado a 1 é ele mesmo, o que vale também para os binômios. 
Newton percebeu uma relação entre os coeficientes de cada um dos 
termos e a combinação, o que permitiu o cálculo de uma potência de um 
binômio de forma mais direta a partir da seguinte fórmula: 
Entendendo a fórmula: 
Primeiro vamos analisar a parte literal de cada termo, que é a letra com o 
seu expoente. Note que, para cada termo, o expoente de “a” foi 
diminuindo, começando em n, depois foi para n – 1, e assim 
sucessivamente até ser 1 no penúltimo termo e 0 no último termo (o que 
faz com que a letra “a” nem apareça no último termo). 
Identificando a e seus expoentes: 
Agora vamos analisar os expoentes de “b”, que vão sempre aumentando, 
começando com 0 no primeiro termo (o que faz a letra b nem aparecer no 
primeiro termo), 1 no segundo termo, e assim sucessivamente até ser 
igual a n no último termo. 
Identificando b e seus expoentes: 
Entendendo a parte literal, vamos analisar os coeficientes, que são todas 
as combinações de n elementos tomados de 0 em 0, 1 em 1, 2 em 2, e 
assim sucessivamente até o último termo, que é a combinação de n 
elementos tomados de n em n. 
Vale ressaltar que é importante o domínio do cálculo das combinações 
para conseguir encontrar os coeficientes. Lembre-se de que, para calcular 
combinações, temos que: 
A resposta da combinação é sempre um número natural. 
Exemplo: Calcule o binômio de Newton (a+b) elevado à quarta potência. 
1º passo: escrever o polinômio utilizando a fórmula. 
 
 138 
2º passo: calcular as combinações. 
Substituindo as combinações, o polinômio encontrado será: 
É possível perceber que a resolução de casos assim ainda é trabalhosa, 
dependendo do expoente, mas mesmo assim é mais rápida do que 
calcular por meio da propriedade distributiva. Uma ferramenta que pode 
ajudar nesse cálculo é o triângulo de Pascal. 
Triângulo de Pascal 
O triângulo de Pascal foi desenvolvido por Blaise Pascal durante o estudo 
das combinações. Ele é um caminho que torna os cálculos das 
combinações mais fácil. A utilização do triângulo de Pascal faz com que 
seja mais rápido e mais fácil encontrar os coeficientes das partes literais 
de um binômio de Newton sem ter que calcular todas as combinações. 
Para construir o triângulo de Pascal de forma direta, vamos lembrar duas 
situações em que o cálculo da combinação é igual a 1. 
Assim, o primeiro e o último termo de todas as linhas são sempre iguais a 
1. Já os termos centrais são construídos a partir da soma do termo que 
está acima dele mais o seu vizinho da coluna anterior, como na 
representação abaixo: 
Para construir as próximas linhas, basta lembrar que o primeiro termo é 1 
e o último também. Depois basta realizar as somas para descobrir os 
termos centrais. 
Acesse também: Teorema da decomposição de um polinômio 
Exemplo: Calcule (a+b) elevado à sexta potência. 
1º passo: aplicar a fórmula do binômio. 
2º passo: construir o triângulo de Pascal até a 6ª linha. 
3º passo: substituir as combinações pelos valores da linha 6, que são os 
coeficientes de cada um dos termos do binômio. 
O que determina a quantidade de linhas que vamos construir do binômio 
é o valor de n. É importante lembrar que a primeira linha é a zero. 
 
 139 
Construção do triângulo de Pascal até a quinta linha. 
Termo geral do binômio de Newton 
O termo geral do binômio de Newton é uma fórmula que nos permite 
calcular um termo do binômio sem precisar desenvolver todo o polinômio, 
ou seja, podemos identificar qualquer um dos termos do primeiro ao 
último. Com a fórmula, calculamos diretamente o termo que estamos 
procurando. 
a: primeiro termo 
b: segundo termo 
n: expoente 
p + 1: termo procurado 
Demografia 
"Resumo sobre demografia 
A demografia é a área do conhecimento que se dedica ao estudo das 
populações humanas. 
Para a caracterização de uma população e análise da sua evolução no 
tempo, no espaço e a compreensão da sua composição, a demografia se 
utiliza de um conjunto de conceitos e indicadores, estes são dados 
estatísticos coletados periodicamente. 
No Brasil, a coleta e divulgação de estatísticas demográficas é realizada 
pelo IBGE. 
Em escala mundial, são bastante utilizados os dados da ONU e do Banco 
Mundial. 
A primeira menção ao termo demografia aconteceu, no século XIX, com a 
publicação do livro Elementos de estatística humana ou demografia 
comparada, de Achille Guillard. 
O que é demografia? 
 
 140 
A demografia é a área do conhecimento responsável pelo estudo das 
populações humanas. Esse estudo abrange a formação e evolução dos 
grupos populacionais em seus mais variados aspectos, que são o seu 
tamanho, distribuição espacial e composição (por idade, sexo, cor ou raça 
etc.), os quais são analisados dentro de um intervalo de tempo. 
A análise das populações realizada no âmbito da demografia se apoia 
principalmente em dados quantitativos (ou seja, dados estatísticos), 
coletados de tempos em tempos para o acompanhamento da evolução de 
uma determinada população. 
No Brasil, por exemplo, temos o Censo Demográfico feito pelo Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a cada 10 anos, e, em um 
intervalo menor variável (mensal, trimestral, anual), a Pesquisa Nacional 
por Amostra de Domicílio (PNAD) Contínua, realizada pela mesma 
instituição. Ambas possuem abrangência nacional, compreendendo, 
assim, a população de todo o território brasileiro. 
Confira em nosso podcast: O que é preciso saber sobre teorias 
demográficas 
Conceitos e indicadores demográficos 
Para a caracterização das populações e compreensão da sua evolução 
temporal, a demografiafaz uso de um conjunto de conceitos e indicadores 
demográficos. Descrevemos os principais deles abaixo. 
População absoluta: número total de habitantes em um determinado local 
(país, cidade, estado, continente). 
População relativa ou densidade demográfica: distribuição da população 
sobre o espaço. É calculada com base na divisão da população total pela 
área do local considerado. 
Crescimento populacional: aumento do número total de indivíduos em 
uma população em um determinado intervalo de tempo. Pode se dar 
somente pelo maior número de nascimentos com relação às mortes 
(crescimento vegetativo) ou pela diferença entre nascimentos e mortes 
somada ao saldo migratório (crescimento absoluto). 
Taxa de fecundidade: número médio de filhos que uma mulher teria em 
todo o seu período de vida. 
 
 141 
Taxa de natalidade: número de nascidos vivos em uma população 
expresso por mil habitantes. 
Taxa de mortalidade: número de óbitos que ocorrem a cada mil 
habitantes. 
Taxa de mortalidade infantil: expressa o número de indivíduos que 
morrem antes de completarem um ano de idade a cada mil nascidos vivos. 
Expectativa de vida ou esperança de vida ao nascer: diz respeito à 
quantidade total de anos que se espera que um indivíduo viva a partir do 
seu nascimento, levando em consideração alguns fatores relacionados à 
condição de vida local, como os serviços de saúde, saneamento, 
assistência social, acesso à educação, indicadores de violência, entre 
outros. 
Migração: deslocamento de pessoas pelo espaço de forma temporária ou 
permanente. O processo de chegada a um lugar é denominado imigração, 
enquanto a saída caracteriza a emigração. 
Saldo migratório: diferença entre o número de pessoas que chega a um 
território (imigrantes) e que deixam aquele mesmo local (emigrantes). 
Êxodo rural: migração da zona rural para a zona urbana. 
Importância da demografia 
A demografia nos auxilia na compreensão das dinâmicas populacionais, da 
sua composição e da forma como um determinado conjunto de indivíduos 
evolui tanto no tempo quanto no espaço. Com isso, a sua importância 
reside, entre outros, no fato de os indicadores demográficos servirem 
como elementos fundamentais para a política e gestão de territórios. 
Somente com o conhecimento do perfil de uma população e a 
interpretação dos dados estatísticos a ela relacionados é possível 
entender as suas necessidades e atuar de forma a atendê-las, elaborando 
políticas voltadas a diversos setores, como de educação, saúde, 
saneamento e até mesmo de infraestrutura urbana. 
 
 
 142 
Por meio da demografia, aliada a outras ciências, como a própria 
geografia, é possível compreender ainda as relações entre a população e o 
espaço, e de que forma a evolução dessa população pode interferir no uso 
de recursos naturais, por exemplo, e como decorrerão as transformações 
no meio ambiente com base em determinados padrões observados, 
possibilitando assim a elaboração de planos de ação e medidas adequadas 
para um melhor manejo ambiental. 
Demografia do Brasil 
Os principais dados demográficos do Brasil são levantados e divulgados 
pelo IBGE. O instituto contabiliza uma população absoluta de 213.317.639 
habitantes (2021), os quais se distribuem por uma área de 8.510.345,538 
km². Assim, sabe-se que a densidade demográfica do território brasileiro é 
de 22,43 hab./km². Diante desses dados, podemos concluir que o Brasil é 
um país populoso, ficando entre os maiores do mundo, mas pouco 
povoado, visto que a sua população relativa é consideravelmente baixa. 
A população brasileira se encontra distribuída de forma irregular pelo 
território. O Sudeste é a região mais populosa, com 89.632.912 habitantes 
e cerca de metade deles vivendo no estado de São Paulo. A menos 
populosa é a região Centro-Oeste, que reúne 16.707.336 habitantes. Em 
nível de unidade federativa, temos que Roraima é a menos populosa. De 
acordo com dados de 2021, o estado tem uma população estimada de 
652.713 habitantes. 
Nos últimos anos, o crescimento da população do país tem passado por 
um processo de desaceleração, o que se deve à redução gradual das taxas 
de fecundidade e natalidade e, consequentemente, à diminuição do 
crescimento vegetativo. A fecundidade já foi de mais de dois filhos por 
mulher na metade do século XX, mas esse valor foi caindo, e, desde pelo 
menos 2000, ela vem se mantendo estável em valores próximos de 1,76. A 
mortalidade infantil também decresceu nas últimas décadas, chegando ao 
atual patamar de 11,56 por mil nascidos vivos. 
Outro fenômeno em curso e mais recente é o de envelhecimento da 
população brasileira. Isso decorre de diversos fatores, como a diminuição 
do número de nascimentos, a melhoria na saúde, os melhores índices de 
desenvolvimento econômico e outros aspectos da vida cotidiana que 
aumentam a expectativa de vida. A esperança de vida ao nascer 
atualmente no Brasil é de 76,6 anos (IBGE, 2020). 
 
 143 
Demografia do mundo 
Existem diversas fontes que podem ser consultadas a fim de se conhecer 
um pouco melhor o perfil da população mundial. Entre as principais estão 
a Divisão de População da Organização das Nações Unidas (ONU) e o 
Banco Mundial. 
A população mundial chegou a 7.794.799 pessoas no ano de 2020, 
conforme as informações da ONU. A taxa anual de crescimento da 
população decresceu consideravelmente nos últimos anos, chegando a 
1,1%, que é o valor atual. Isso significa que a população mundial cresce 
em um ritmo mais lento e vem diminuindo com o passar do tempo. 
O que explica essa variação é a queda da fertilidade, e, consequentemente 
da natalidade, e também da mortalidade. A taxa de fecundidade mundial 
é de 2,47, enquanto os nascimentos ficam na casa de 18,2 por mil 
habitantes. A mortalidade hoje é de 7,6 a cada mil habitantes, mas a ONU 
indica uma tendência de crescimento desse indicador nas próximas 
décadas. Outro indicador que variou positivamente foi a expectativa de 
vida, que chega hoje a 72,6 anos. 
Diante desse cenário, temos que a população mundial vive um processo 
de envelhecimento. Nas últimas duas décadas, a idade mediana saltou de 
26,3 anos para 30,9 anos. Estima-se que esse valor chegará a 41,9 anos 
até 2100. 
Entretanto, da mesma forma como a população se encontra distribuída de 
forma irregular pelo planeta, sendo maior a concentração na Ásia e na 
África principalmente, esses indicadores se comportam de forma distinta, 
sobretudo quando a comparação ocorre entre as nações desenvolvidas e 
subdesenvolvidas. 
Origem da demografia 
O processo de contabilização da população é bastante antigo e estava 
presente em diversas épocas de nossa história. A sistematização do que 
viria a ser conhecido como a demografia, no entanto, apareceu entre os 
séculos XVII e XVIII na Europa, por meio de diversas publicações, de 
profissionais das mais variadas áreas e nacionalidades, versando a 
respeito das dinâmicas das populações humanas com base em estatísticas 
aliadas a questões políticas. 
 
 144 
A nomeação dessa área do conhecimento que estava se desenvolvendo e, 
portanto, a primeira menção ao termo demografia de fato ocorreram 
somente no século XIX, mais especificamente em 1855. Foi nesse ano que 
o estatístico e botânico francês Achille Guillard (1799-1876) lançou a sua 
obra Elementos de estatística humana ou demografia comparada, 
inaugurando assim uma nova fase nos estudos de população. 
Poliedros 
São aqueles cujas superfícies são formadas apenas por polígonos planos. 
 
Corpos redondos 
São aqueles cujas superfícies têm ao menos uma parte que é arredondada 
(não plana). 
 
Resumindo, poliedro é um sólido geométrico que possui apenas faces planas. 
Exemplos e seus nomes: 
 
Elementos de um poliedro: vértice, face e aresta. 
 
 145 
• Vértices: pontas. 
• Faces: polígonos planos. 
• Arestas: quinas. 
 
A palavra poliedro vem do grego antigo, poli significa várias e edros significa 
faces. 
 
Classificação dos poliedros 
Poliedros podem ser classificados emconvexos e côncavos: 
Convexo: um poliedro é convexo se qualquer segmento com extremidades 
dentro do poliedro estiver totalmente contido no poliedro. 
Exemplo: O cubo é um poliedro convexo. 
 
Côncavo: um poliedro é côncavo se algum segmento com extremidades 
dentro do poliedro possuir pontos fora do poliedro. 
https://www.infoescola.com/matematica/poliedros-concavos-e-convexos/
 
 146 
Exemplo: o poliedro abaixo é côncavo, pois o segmento com extremidades A 
e B tem pontos fora do poliedro. 
 
Relação de Euler 
Se, em um poliedro convexo, V é o número de vértices, F é o número de faces 
e A é o número de arestas, então vale a relação: 
V+F=A+2 
Observação: todo poliedro convexo obedece à relação de Euler, já os poliedros 
côncavos podem obedecê-la ou não. 
Poliedros regulares 
Um polígono regular é aquele em que todos os seus lados possuem a mesma 
medida e todos os ângulos internos são congruentes entre si. 
Considerando tal definição, observe a definição de poliedro regular. Um 
poliedro é chamado regular se, e somente se: 
• É convexo. 
• Todas as suas faces são formadas por polígonos regulares e congruentes 
entre si. 
• Todos os vértices formam ângulos congruentes. 
Existem 5, e somente 5, tipos de poliedros regulares. São eles: 
https://www.infoescola.com/matematica/area-de-poligonos-regulares/
https://www.infoescola.com/matematica/angulos/
 
 147 
 
Prisma - Figura Geométrica 
O prisma é um sólido geométrico que faz parte dos estudos de geometria espacial. 
É caracterizado por ser um poliedro convexo com duas bases (polígonos iguais) 
congruentes e paralelas, além das faces planas laterais (paralelogramos). 
Composição do Prisma 
 
Ilustração de um prisma e seus elementos 
 
 
 148 
Os elementos que compõem o prisma são: base, altura, arestas, vértices e faces 
laterais. 
Assim, as arestas das bases do prisma são os lados das bases do polígono, enquanto 
as arestas laterais correspondem aos lados das faces que não pertencem às bases. 
Os vértices do prisma são os pontos de encontro das arestas e a altura é calculada pela 
distância entre os planos das bases. 
Classificação dos Prismas 
Os prismas são classificados em Retos e Oblíquos: 
• Prisma Reto: possui arestas laterais perpendiculares à base, cujas faces laterais são 
retângulos. 
• Prisma Oblíquo: possui arestas laterais oblíquas à base, cujas faces laterais são 
paralelogramos. 
 
Prisma reto (A) e prisma oblíquo (B) 
. 
Bases do Prisma 
De acordo com o formato das bases, os prismas são classificados em: 
• Prisma Triangular: base formada por triângulo. 
• Prisma Quadrangular: base formada por quadrado. 
• Prisma Pentagonal: base formada por pentágono. 
• Prisma Hexagonal: base formada por hexágono. 
• Prisma Heptagonal: base formada por heptágono. 
• Prisma Octogonal: base formada por octógono. 
 
 149 
 
Figuras de prisma segundo suas bases 
 
Os chamados “prismas regulares” são aqueles cujas bases são polígonos regulares e, 
portanto, formados por prismas retos. 
Note que se todas as faces do prisma forem quadradas, trata-se de um cubo; se todas 
as faces forem paralelogramos, o prisma é um paralelepípedo. 
Fórmulas do Prisma 
Áreas do Prisma 
Área Lateral: para calcular a área lateral do prisma, basta somar as áreas das faces 
laterais. Num prisma reto, que possui todas as áreas das faces laterais congruentes, a 
fórmula da área lateral é: 
Al = n . a 
n: número de lados 
a: face lateral 
Área Total: para calcular a área total de um prisma, basta somar as áreas das faces 
laterais e as áreas das bases: 
At = Sl+ 2Sb 
Sl: Soma das áreas das faces laterais 
Sb: soma das áreas das bases 
Volume do Prisma 
O volume do prisma é calculado pela seguinte fórmula: 
V = Ab.h 
Ab: área da base 
h: altura 
https://www.todamateria.com.br/volume-do-prisma/
 
 150 
Pirâmides 
Pirâmides são figuras geométricas que aparecem com frequência, 
principalmente na arquitetura. As pirâmides são sólidas geométricos 
construídos no espaço com base em um polígono no plano e um ponto 
fora desse plano. Por tratar-se de uma figura tridimensional, é possível 
calcular o seu volume, além disso, podemos planificá-la e assim encontrar 
sua área. 
O que é pirâmide? 
Considere um polígono convexo contido em um plano e um ponto H que 
não pertence ao plano. Definimos a pirâmide como sendo a união de 
todos os vértices do polígono convexo no ponto H. 
Elementos de uma pirâmide 
Considere a pirâmide a seguir. 
• Base da pirâmide: polígono ABCDEF. 
• Vértice da pirâmide: ponto H. 
• Faces laterais: AHB, BHC, CHD, DHE, EHF e FHA, que são os triângulos 
formados pela união do vértice da pirâmide com os vértices do polígono. 
• Arestas da base: AB, BC, CD, DE, EF e FA, que são os lados da base. 
• Arestas laterais: AH, BH, CH, DH, EH e FH, que são os segmentos das 
faces laterais. 
• Altura da pirâmide: h, que é a distância entre o vértice da pirâmide e a 
base. 
Vamos estabelecer as notações para alguns elementos: 
• A área da base será denotada por Ab. 
• A área de uma face lateral será representa por AF. 
• O somatório das áreas das faces é chamado de área lateral, e essa é 
denotada por AL. 
 
 151 
Assim, a área total da pirâmide é dada pela soma da área da base (Ab) 
com a área lateral (AL) e é denotada por AT, ou seja: 
AT = Ab + AL 
Saiba mais: Tronco da pirâmide: saiba o que é e como calcular sua área 
Tipos de pirâmides 
Do mesmo modo como nomeamos os prismas de acordo com o polígono 
da base, nomeamos também as pirâmides seguindo essa ideia. Por 
exemplo, se uma pirâmide possui na base um triângulo, ela é chamada de 
pirâmide de base triangular, agora, se uma pirâmide possui como base um 
quadrilátero, é chamada de pirâmide de base quadrangular, e assim 
sucessivamente. 
As pirâmides também se dividem em dois grupos: retas e oblíquas. As 
pirâmides retas são assim chamadas quando a projeção do vértice 
coincide com o centro da base, caso contrário elas são ditas oblíquas. Veja 
os exemplos a seguir: 
Se em uma pirâmide reta a base for um polígono regular, então a pirâmide 
será regular. Nesse tipo, a distância do vértice até o centro da base é a 
altura da pirâmide. 
O segmento que une o vértice da pirâmide com o ponto médio de uma 
aresta da base é chamado de apótema da pirâmide, nesse caso GI. Já o 
segmento que une o centro da base ao ponto médio de uma aresta da 
base é chamado de apótema da base, nesse caso HI. 
Observe os triângulos GHI e GHF e note que eles são triângulos retângulos, 
logo, nele o teorema de Pitágoras é valido. Assim: 
(GI)2 = (GH)2 + (HI)2 
(GF)2 = (GH)2 + (HF)2 
As pirâmides do Egito são as construções mais conhecidas que possuem o 
formato piramidal. 
Área da pirâmide 
 
 152 
A área da pirâmide é dada pela soma das áreas laterais e a área da base, 
isto é: 
AT = Ab + AL 
A não existência de uma fórmula específica dá-se pelo fato de pirâmides 
terem bases diferentes. Na expressão anterior, perceba que a área total 
AT depende do valor da área da base. Veja alguns exemplos. 
• Exemplo 
Calcule a área total de uma pirâmide reta, cuja base é um quadrado de 
lado 10 m e a altura de uma face lateral é igual a 13 m. 
Solução 
Inicialmente desenharemos a pirâmide de acordo com os dados do 
exercício. 
Note que podemos calcular a área da face com os dados fornecidos 
utilizando a fórmula da área do triângulo. 
Como temos quatro faces, a área lateral é igual a 65 · 4 = 260 m2. 
Agora, devemos calcular a área da base que é um quadrado, logo: 
Portanto, a área da pirâmide é a soma da área lateral com a área da base. 
AT = Ab + AL 
AT = 100 + 260 
AT = 360 m2 
Leia também: Área de figuras planas: saiba como calcular diversos tipos 
Volume da pirâmide 
Considere uma pirâmide de altura h. 
O volume da pirâmide é dado pela terça parte do produto da área da base 
(Ab) e altura (h): 
• Exemplo 
 
 153 
(Enem) Artur e Bernardo foram acampar e cada um levou uma barraca. 
Ambas têm a forma de uma pirâmide de base quadrada,com as arestas 
laterais congruentes. A barraca de Bernardo tem a altura e as arestas 
laterais 10% maiores em relação à de Artur. Assim, a razão entre os 
volumes das barracas de Bernardo e Artur, nessa ordem, é: 
a) 1,1 
b) 1,21 
c) 1,331 
d) 1,4641 
e) 1,5 
Solução 
Inicialmente, calcularemos o volume da barraca de Artur, aqui denotada 
por VA. Como a base da pirâmide é um quadrado, sua área é a medida do 
lado ao quadrado, vamos representá-la por L2. 
Agora vamos determinar o volume da barraca de Bernardo, representada 
por VB. Antes note que a altura e as arestas são 10% maiores em relação à 
barraca de Artur, logo, temos que: 
hB = h + 10% de h 
hB = h + 0,1 · h 
hB = 1,1 · h 
Do mesmo modo para a área da base: 
AB = (1,1)2 · L2 
Logo, a área da barraca de Bernardo é: 
Como o objetivo do exercício é encontrar a razão entre os volumes das 
barracas de Bernardo e de Artur, temos que: 
Perceba que podemos “cortar” a fração L2 · h sobre 3, pois representa o 
mesmo número. 
 
 154 
Alternativa C 
Cilindro 
O cilindro é um sólido geométrico, estudado na Geometria Espacial, que 
está presente em vários objetos do nosso dia a dia, como canos, alguns 
copos, latas de refrigerante, entre outros. Por ser construído por meio da 
rotação de figuras planas, o cilindro é um sólido geométrico que possui 
duas bases circulares, classificado como um corpo redondo. Existem 
cálculos importantes envolvendo o cilindro, como o da área total, da área 
da base, da área lateral e do volume. Para calcular cada um desses 
valores, existem fórmulas específicas. Ter as fórmulas em mente facilita os 
cálculos. 
Geometria analítica 
Geometria analítica é um campo da matemática em que é possível 
representar elementos geométricos, como pontos, retas, triângulos, 
quadriláteros e circunferências, utilizando expressões algébricas. As 
expressões algébricas são derivadas da ideia de união de pontos que 
seguem determinado padrão. Pontos esses que são dispostos em um 
sistema de coordenadas proposto por René Descartes. 
O que a geometria analítica estuda? 
A geometria analítica tem como principal objetivo descrever objetos 
geométricos utilizando um sistema de coordenadas, o plano cartesiano. 
Este consiste em dois eixos reais perpendiculares entre si. O eixo 
horizontal é chamado de eixo das abscissas, e o eixo vertical é chamado de 
eixo das ordenadas. 
 
 155 
 
Conceitos importantes da geometria analítica 
Distância entre dois pontos 
A distância entre os pontos A (xa, ya) e B (xb, yb) é definida pelo segmento 
de reta AB, que vamos denotar dAB. Veja como obter o tamanho desse 
segmento, ou seja, a distância. 
 
 
 156 
Note que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do triângulo, 
logo, para determiná-la, vamos utilizar o teorema de Pitágoras. 
 
Exemplo 
Calcule a distância entre os pontos A (0, 0) e B (4, 2). 
Substituindo os valores das coordenadas na fórmula, temos: 
 
Para aprofundar-se ainda mais nesse conceito da geometria analítica, leia 
nosso texto: Distância entre dois pontos. 
Coordenadas do ponto médio 
Na geometria plana, o ponto médio é o ponto que divide o segmento de 
reta AB ao meio, ou seja, em duas partes iguais. Na geometria analítica, as 
coordenadas do ponto médio são dadas por: 
 
 157 
 
 
A coordenada do ponto médio, ou seja, do ponto M, é dada por: 
 
Exemplo 
Determine o ponto médio do segmento AB, sabendo que A (2, 1) e B (6, 
5). 
Substituindo os valores das coordenadas na fórmula, temos: 
 
Condição de alinhamento de três pontos 
 
 158 
Considere três pontos — A (xa, ya), B (xb, yb) e C (xc, yc) — distintos no 
plano. Diremos que os pontos são colineares se o determinante abaixo for 
igual a zero. Podemos dizer também que eles são colineares se existir uma 
reta que os contenha.11 
 
 
A multiplicação nada mais é do que uma soma de parcelas iguais. Por exemplo, 5 + 5 + 
5 + 5 + 5 + 5 = 30. Isto pode ser escrito como 6 x 5 = 30 (Leia-se: 6 vezes 5 igual a 30). É 
a mesma coisa de dizer quanto é o 5 somado 6 vezes. 
Dessa forma, ao invés de escrevermos a soma de números repetidos, usamos a 
multiplicação para simplificar. 
Você encontra no final os arquivos para imprimir as tabuadas. 
Dicas para estudar e memorizar a tabuada de multiplicação# 
Uma boa ideia é começar pelas mais simples. De tal forma que o estudo tem que ser 
tranquilo. Praticando diariamente, o processo de memorização acontece naturalmente. 
Padrões nas tabuadas de multiplicação# 
Qualquer número real multiplicado por 0 (zero) será sempre 0. 
Todo número na tabuada multiplicado por 1 (um) será é ele mesmo. 
https://matematicabasica.net/tabuada/#dicas-para-estudar-e-memorizar-a-tabuada-de-multiplicacao
https://matematicabasica.net/tabuada/#padroes-nas-tabuadas-de-multiplicacao
 
 12 
Todos os resultados das operações de 1 a 10, será sempre a soma do resultado 
anterior mais o valor da tabuada. Com exceção do zero que é o início da 
tabuada. 
Exemplo: 
 
Na tabuada do 3, por exemplo — com exceção da primeira linha (0 x 3 = 0) — o 
resultado das operações é o resultado anterior mais o valor da tabuada, que 
neste caso é 3. Veja: 
• 1 x 3 = 0 + 3; 
• 2 x 3 = 3 + 3 = 6; 
• 9 x 3 = 24 + 3 = 27. 
Tabuada do 9 
 
 13 
 
 
Veja que vale para todas as tabuadas da multiplicação. Na tabuada do 9, por exemplo, 
também temos o mesmo resultado: 
• 1 x 9 = 0 + 9 = 9; 
• 5 x 9 = 36 + 9 = 45; 
• 10 x 9 = 81 + 9 = 90. 
Assim, você caro leitor, pode fazer o teste para as outras e veja que esse padrão 
se repete. 
Na tabuada do 9, o resultado de cada operação é sempre o número anterior 
que está sendo multiplicado por 9, mais o quanto esse número falta para ser 
igual a 9. 
Exemplo: 
5 x 9 = 45, 
Pois, 4 é o número anterior a 5, e 4 para 9 temos que somar 5, logo 45. Ficou 
confuso? Veja na imagem para esclarecer: 
 
 14 
 
Outro método é multiplicar o número da tabuada por 10, dividir o resultado do 
produto por 2 e, por fim, somá-lo pelo número que está sendo multiplicado. 
Exemplo: 
Pegamos, por exemplo, a tabuada do 6. Temos: 
5 x 6 = 30. 
Assim, para sabermos o resultado, poderíamos fazer: (10 x 5) / 2 + 5 = 25 + 5 = 
30 (Leia-se: 10 vezes 5 dividido por 2, mais 5 é igual a 25, mais 5 é igual a 30). 
Esse processo obedece a seguinte fórmula: 
 
Onde x é o valor que está sendo multiplicado na tabuada, e 6 é o valor da 
tabuada, que neste caso é a do 6. Se fosse a tabuada do 5, por exemplo, deveria 
ser 5x. Ficou confuso? Veja a imagem: 
 
 15 
 
Tabuada Cartesiana 
A tabuada cartesiana é outra forma de apresentar a tabuada da multiplicação. 
Assim, nela os números de 1 a 10 são organizados em linhas e colunas, sendo 11 
linhas e 11 colunas. 
Como construir uma tabuada cartesiana? 
O símbolo da multiplicação é colocado na primeira linha e primeira coluna. 
Na primeira linha, após o símbolo da multiplicação, deve ser colocado os 
números de 1 a 10, assim como na primeira coluna, também de 1 a 10. Veja a 
organização na imagem abaixo: 
 
 16 
 
Em seguida devemos preencher a segunda coluna com o resultado da tabuada 
do 1. 
Lembrando que, como o número 1 é o elemento neutro da multiplicação, então 
basta repetirmos os valores da primeira coluna. 
A terceira coluna será a soma a primeira coluna com a segunda. Veja: 
 
 
 17 
 
A quarta coluna é a coluna da tabuada do 3, podemos fazer da mesma forma 
que a tabuada do 2. Ou seja, soma os valores da mesma linha da coluna 
anterior. 
Para as demais colunas — e esse método funciona para todas as tabuadas — é 
só multiplicar o valor de cada linha pelo valor de cada coluna, conforme a 
imagem abaixo: 
 
 
 18 
 
Conforme a figura, se quisermos saber quanto é 9 x 7, basta procurarmos o 9 — 
tanto faz ser na coluna ou linha — e depois o 7. A intersecção da linha com a 
coluna é o valor referente a multiplicação dos dois números. 
Por fim, veja abaixo a tabuada cartesiana completamente preenchida. Nela, a 
diagonal em destaque significa o quadrado perfeito dos números. Por 
exemplo, 7 x 7 = 49; a mesma coisa que 7² = 49. Da mesma forma 2 x 2 = 4 ou 2² 
= 4. 
 
 19 
 
Legal, não é? No final da página você encontra os arquivos das tabuadas, caso 
queira imprimi-los. A próxima é a da divisão. 
 
 
Tabuada de divisão 
A tabuada da divisão é o inverso da tabuada de multiplicação. Ou seja, na 
multiplicação fazemos uma soma sucessiva de um mesmo número. Na divisão 
encontramos os divisores de um número. 
Definição 
Vamos definir a tabuada de divisão como a divisão no sistema algébrico de um 
par ordenando entre dois números naturais no conjunto dos números naturais. 
Veja: 
 
 
 20 
Portanto, cada par (a, b) de números naturais divididos entre si, resulta em um 
terceiro número (c), sendo a divisão do par anterior. 
Enquanto na multiplicação utilizamos o processo de somar sucessivamente um 
número. Na divisão informamos em quantas partes iguais um número será 
dividido. 
Essa relação é o que chamamos múltiplos e divisores. Portanto, é através da 
divisão que podemos encontrar a multiplicação. 
Exemplo: 
• 9 x 2 = 18 
• 18 ÷ 9 = 2 
Podemos entender esse exemplo assim: sabemos que 9 vezes 2 é igual 
a 18 porque 18 dividido por 9 é igual a 2. 
Só para exemplificar melhor, também podemos 
dizer: 9 vezes 2 é 18 porque 9 e 2 são divisores de 18. Ou 18 é divisor 
de 9 e 2 porque 9 vezes 2 é igual a 18. 
Veja abaixo a figura completa da tabuada da divisão. 
https://matematicabasica.net/multiplos-e-divisores/
 
 21 
 
Tabuada de adição 
Outra tabuada não menos importante é a da adição. Nela aprendemos a somar. 
Ela importante principalmente no nosso primeiro contato com a aritmética. 
Definição 
É definida como a adição no sistema algébrico de um par ordenando entre dois 
números naturais no conjunto dos números naturais. Veja: 
 
Assim, temos que cada par (a, b) de números naturais somados um com o 
outro, tem como resultado um terceiro número (c), sendo a soma do par 
anterior. 
 
 22 
Confira a tabuada da adição abaixo: 
 
Sempre dizemos no nosso dia a dia que é melhor que algo venha para somar do 
que para subtrair ou dividir, não é mesmo? 
Então, uma boa ideia para quem está ensinando a tabuada de adição, ou seja, 
ensinando a somar números, é utilizar grãos ou qualquer outro objeto. 
Por exemplo, ao ensinar uma criança a somar podemos utilizar bolas de gude, 
toda criança adora. 
Exemplo na figura abaixo: 4 + 2 = 6 
 
Temos 4 bolas de gude vermelhas e compramos mais 2 azuis, vamos 
ter 4 vermelhas e 2 azuis, totalizando 6 bolas de gude. 
 
 23 
 
Tabuada de subtração 
Por fim, a última é a da subtração. Subtrair é o oposto de somar. Ou seja, ao 
invés de adicionarmos algo, tiramos. 
Definição 
Podemos defini-la como a diferença no sistema algébrico de um par ordenando 
entre dois números naturais no conjunto dos números naturais. Veja: 
 
 
O par (a, b) de números naturais subtraídos um pelo outro tem como resultado 
um terceiro número (c), sendo a diferença do par anterior. 
Confira a tabuada de subtração na figura abaixo: 
https://matematicabasica.net/numeros-naturais/
 
 24 
 
Da mesma forma, como na tabuada da adição, podemos ensinar uma criança a 
subtrair utilizando grãos ou o exemplo das bolas de gude. Veja: 
Exemplo: 6 – 2 = 2 
 
Então, se tivermos 6 bolas de gude, 4 vermelhas e 2 azuis, e vendemos ou 
emprestamos 2 azuis, vamos ficar apenas com as 4 vermelhas. 
Certamente, utilizando estas formas de aprendizado, a memorização acontece 
naturalmente, sem forçar a barra. 
 
 
 
 25 
Fração 
A fração é a representação de uma divisão ou de partes de um todo. O número que fica 
em cima é conhecido como numerador da fração e representa quantas partes temos em 
relação ao todo. O número que fica embaixo é o denominador da fraçãoe representa 
em quantas partes o todo foi dividido. 
As classificações das frações são: própria, imprópria, aparente, equivalente, irredutível 
e mista. Ao comparar duas frações, dizemos que elas são equivalentes quando 
representam a mesma quantidade. Podemos realizar operações envolvendo fração — é 
possível calcular a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão entre frações. 
Potenciação 
A potenciação ou exponenciação é a operação matemática que representa a 
multiplicação de fatores iguais. Ou seja, usamos a potenciação quando um número é 
multiplicado por ele mesmo várias vezes. 
Para escrever um número na forma de potenciação usamos a seguinte notação: 
 
Sendo a ≠ 0, temos: 
a: Base (número que está sendo multiplicado por ele mesmo) 
n: Expoente (número de vezes que o número é multiplicado) 
Para melhor entender a potenciação, no caso do número 23 (dois elevados a terceira 
potência ou dois elevado ao cubo), tem-se: 
23 = 2 x 2 x 2 = 4 x 2 = 8 
Sendo, 
2: Base 
3: Expoente 
8: Potência (resultado do produto) 
Exemplos de Potenciação 
52: lê-se 5 elevados à segunda potência ou 5 ao quadrado, donde: 
 
 26 
5 x 5 = 25 
Logo, 
A expressão 52 equivale a 25. 
33: lê-se 3 elevados à terceira potência ou 3 ao cubo, donde: 
3 x 3 x 3 = 27 
Logo, 
A expressão 33 equivale a 27. 
Propriedades da Potenciação 
• Toda potência com expoente igual a zero, o resultado será 1, por exemplo: 50=1 
• Toda potência com expoente igual 1, o resultado será a própria base, por exemplo: 
81 = 8 
• Quando a base for negativa e o expoente um número ímpar, o resultado será 
negativo, por exemplo: (- 3)3 = (- 3) x (- 3) x (- 3) = - 27. 
• Quando a base for negativa e o expoente um número par, o resultado será positivo, 
por exemplo: (- 2)2 = (- 2) x (- 2) = +4 
• Quando o expoente for negativo, inverte-se a base e muda-se o sinal do expoente 
para positivo, por exemplo: (2)- 4 = (1/2)4 = 1/16 
• Nas frações, tanto o numerador quanto o denominador ficam elevados ao expoente, 
por exemplo: (2/3)3 = (23 / 33) = 8/27 
Multiplicação e Divisão de Potências 
Na multiplicação das potências de bases iguais, mantém-se a base e soma-se os 
expoentes: 
ax . ay = ax+y 
52.53= 52+3= 55 
Na Divisão das potências de bases iguais, mantém-se a base e subtrai-se os expoentes: 
(ax) / (ay) = ax-y 
(53) / (52) = 53-2 = 51 
Quando a base está entre parênteses e há outro expoente fora (potência de potência), 
mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes: 
(ax)y = ax.y 
(32)5= 32.5 = 310 
 
 27 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
Aprenda como resolvê-las 
 
As expressões numéricas são grupos numéricos calculados por operações 
matemáticas (adição, subtração, multiplicação, divisão, etc.) que seguem determinadas 
ordens. 
 
Esses conjuntos com números são separados por símbolos gráficos – representações 
que determinam a sequência em que as expressões devem ser efetuadas. Os principais 
sinais são: chaves { }, parênteses () e colchetes [ ]. 
 
Sequência dos símbolos gráficos 
 
As expressões numéricas geralmente são escritas dentro de parênteses, chaves ou 
colchetes. Por isso, é indispensável entender quais os sinais gráficos que orientam os 
procedimentos a serem feitos. 
 
Vejamos então a ordem de preferência: 
 
• 1°: solucionar todas as operações dentro dos parênteses. 
• 2°: solucionar todas as operações dentro dos colchetes. 
• 3°: solucionar todas as operações dentro das chaves. 
 
O exemplo a seguir mostra a sequência correta: 
 
[(24) ÷ 8 + 5 . 3] ÷ 6 = 
 
[24 ÷ 8 + 5 . 3] ÷ 6 = 
 
[3 + 15] ÷ 6 = 
 
[18] ÷ 6 = 
 
18 ÷ 6 = 3 
 
Vale destacar que na ausência de um dos símbolos, inicia-se a operação com os que 
estão, ou seja, quando uma expressão não apresenta parênteses, por exemplo, deve-se 
efetuar os cálculos dentro dos colchetes, e assim por diante. O fundamental é cumprir 
a sequência de prioridades. 
 
Além disso, caso sobre apenas um número dentro dos parênteses, chaves e colchetes, 
estes podem ser excluídos. 
 
Preste atenção! 
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/operacoes-matematicas
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/operacoes-matematicas
 
 28 
 
• Caso o sinal de soma anteceder os símbolos gráficos (parênteses, colchetes ou chaves), 
deve-se acompanhar a ordem de prioridades e reescrever os valores com 
os mesmos sinais (+ ou -). 
• Caso o sinal de subtração anteceder os símbolos gráficos (parênteses, colchetes ou 
chaves), deve-se acompanhar a ordem de prioridades e reescrever os valores com 
os sinais trocados. 
 
Sequência das operações 
 
Assim com os símbolos gráficos, que são separados de acordo com o grau de 
preferência, também existem ordens para os cálculos das expressões numéricas. Por 
isso, as operações matemáticas são efetuadas de acordo com o seguinte esquema: 
 
Potenciação ou radiciação 
 
O primeiro passo para a resolução de expressões numéricas é determinar os valores das 
potências e raízes. Essa regra apenas muda quando os números estão em parênteses, 
colchetes ou chaves, ou seja, passa a valer a sequência dos símbolos gráficos. 
 
2². 3/ 2 = 4.3/ 2 = 12/2 = 6 ou 2². 3/ 2 = 2². 1,5 = 4. 1,5 = 6 
 
Entre a radiciação e potenciação não há prioridades. Sendo assim, as duas podem ser 
efetuadas ao mesmo tempo 
 
Multiplicação ou divisão 
 
Se não houver a composição de raízes ou potências, a orientação é resolver as 
multiplicações e divisões. Como também não existe preferência entre ambas, calcula-se 
a que surgir primeiro na expressão. 
 
5.8 / 2 = 40/2 = 20 ou 5.8/2 = 5. 4 = 50 
 
Adição ou subtração 
 
A última etapa fica por conta da soma e subtração. Assim como as outras operações, 
não há prioridades na resolução. Então, desenvolva-as na ordem que aparecer. 
 
30 – 5 + 12 = 25 + 12 = 37 ou 30 – 5 + 12 = 30 + 7 = 37 
 
 
 
 
 
 
 
 29 
Expressões numéricas: como resolver 
 
Agora que sabemos a ordem dos sinais e operações, vamos solucionar as expressões 
numéricas abaixo: 
 
{[(8 . 4 + 3) ÷ 7 + (3 + 15 ÷ 5) . 3] . 2 – (19 – 7) ÷ 6} . 2 + 12 = ? 
 
Resolve-se, primeiramente, todas as operações com parênteses, pois não há 
potenciação ou radiação: 
 
{[(32 + 3) ÷ 7 + (3 + 3) . 3] . 2 – 12 ÷ 6} . 2 + 12 = 
 
Repete-se as operações dentro dos parênteses: 
 
{[35 ÷ 7 + 6 . 3] . 2 – 2} . 2 + 12 = 
 
Efetua-se as operações dentro dos colchetes: 
 
{[5 + 18] . 2 – 2} . 2 + 12 = 
 
Elimina-se os colchetes e, em seguida, desenvolve-se as operações dentro das chaves: 
 
 {23 . 2 – 2} . 2 + 12 = 
 
{46 – 2} . 2 + 12 = 
 
Elimina-se as chaves e, em seguida, resolve-se a multiplicação e soma: 
 
44 . 2 + 12 = 
 
88 + 12 = 
 
Portanto, o resultado final é 100. 
 
Dado a expressão [(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5, teremos: 
 
Primeiro resolve-se as potências e as operações dentro dos parênteses: 
 
 [(25 – 6.4).3 + 6²: 3]: 5 = 
 
Efetua-se a multiplicação dentro dos parênteses: 
 
[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 = 
 
Elimina-se os parênteses e realiza-se a divisão dentro dos colchetes: 
 
 
 30 
[1.3 + 12] : 5 = 
 
Resolve-se a multiplicação dentro dos colchetes: 
 
 
[3 + 12 ] : 5 = 
 
 
Elimina-se os colchetes e, em seguida, efetua-se a divisão: 
 
 
15 : 5 = 3 
 
O que é Geometria? 
Geometria é a área da Matemática que estuda as formas dos objetos, analisa 
suas dimensões e suas posições. A palavra é formada por “geo” (terra) + “metria” 
(medida), então significa medida da terra. 
Acredita-se que a Geometria nasceu em diferentes lugares a partir do século VII a.C. 
Na Antiguidade, o estudo foi muito útil para resolver problemas de Astronomia. Por 
exemplo: saber a posição das estrelas pode ser utilizado para identificar a 
sua localização na Terra. 
Tipos de Geometria 
1. Geometria plana 
É a área da matemática que estuda as formas que não possuem volume. Triângulos, 
quadriláteros, retângulos, circunferências são alguns exemplos de figuras de geometria 
plana (polígonos). 
Para começar, veja a aula de geometria sobre ângulos. Aprenda sobre bissetriz, ângulos 
complementares, suplementares,ângulos opostos pelo vértice e operações com 
ângulos. 
Para geometria plana, é importante saber calcular a área, o perímetro e o(s) lado(s) de 
uma figura a partir das relações entre os ângulos e as outras medidas da forma 
geométrica. Veja as principais fórmulas para o cálculo de área e perímetro no final do 
post. 
Algumas fórmulas de geometria plana: 
1. Teorema de Pitágoras 
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 31 
Uma das fórmulas mais importantes para esta frente matemática é o Teorema de 
Pitágoras. 
 
Em um triângulo retângulo (com um ângulo de 90º), a soma dos quadrados dos catetos 
(os “lados” que formam o ângulo reto) é igual ao quadrado da hipotenusa (a aresta 
maior da figura). 
Teorema de Pitágoras: a² + b² = c² 
2. Lei dos Senos 
Lembre-se que o Teorema de Pitágoras é válido apenas para triângulos retângulos. 
A lei dos senos e lei dos cossenos existe para facilitar os cálculos para todos os tipos de 
triângulos. 
Veja a fórmula abaixo. Onde a, b e c são lados do triângulo. 
 
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 32 
Lei dos senos 
3. Lei dos Cossenos 
A lei dos cossenos pode ser utilizada para qualquer tipo de triângulo, mesmo que ele 
não tenha um ângulo de 90º. Basta conhecer o cosseno de um dos ângulos e o valor de 
dois lados (arestas) do triângulo. 
Veja a fórmula abaixo. Onde a, b e c são lados do triângulo. 
 
Lei dos cossenos 
4. Relações métricas do triângulo retângulo 
As relações trigonométricas no triângulo retângulo são fórmulas simplificadas. Elas 
podem facilitar a resolução das questões em que o Teorema de Pitágoras é aplicável. 
Para um triângulo retângulo, sua altura relativa à hipotenusa e as projeções ortogonais 
dos catetos, temos o seguinte: 
Onde a é hipotenusa 
b e c são catetos 
m e n são projeções ortogonais 
h é altura 
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https://geekiegames.geekie.com.br/signup?redirectPath=%2FagpzfmdlZWtpZWlkchkLEgxPcmdhbml6YXRpb24YooCE_qbe4REM%2Fcontent-group%2Fall%2Flearning_object%2F5522c1c3db2519001504b909&utm_source=blog&utm_medium=post&utm_content=geometria-relacoes-metricas
 
 33 
 
2. Geometria espacial 
É a frente matemática que estuda a geometria no espaço. Ou seja, é o estudo das 
formas que possuem três dimensões: comprimento, largura e altura. 
Apenas as figuras de geometria espacial têm volume. 
Uma das primeiras figuras geométricas que você estuda em geometria espacial é o 
prisma. Ele é uma figura formada por retângulos, e duas bases. Outros exemplos de 
figuras de geometria espacial são cubos, 
paralelepípedos, pirâmides, cones, cilindros e esferas. Veja a aula de Geometria 
espacial sobre prisma e esfera 
3. Geometria analítica 
 
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https://geekiegames.geekie.com.br/signup?redirectPath=%2FagpzfmdlZWtpZWlkchkLEgxPcmdhbml6YXRpb24YooCE_qbe4REM%2Fcontent-group%2Fall%2Flearning_object%2F54e5d5680c34f5001af2da95&utm_source=blog&utm_medium=post&utm_content=geometria-cone
https://geekiegames.geekie.com.br/signup?redirectPath=%2FagpzfmdlZWtpZWlkchkLEgxPcmdhbml6YXRpb24YooCE_qbe4REM%2Fcontent-group%2Fall%2Flearning_object%2F55132a755716210017866e49&utm_source=blog&utm_medium=post&utm_content=geometria-cilindro
https://geekiegames.geekie.com.br/signup?redirectPath=%2FagpzfmdlZWtpZWlkchkLEgxPcmdhbml6YXRpb24YooCE_qbe4REM%2Fcontent-group%2Fall%2Flearning_object%2F552eb6aa046712002184e2a9&utm_source=blog&utm_medium=post&utm_content=geometria-esfera
https://geekiegames.geekie.com.br/signup?redirectPath=%2FagpzfmdlZWtpZWlkchkLEgxPcmdhbml6YXRpb24YooCE_qbe4REM%2Fcontent-group%2Fall%2Flearning_object%2F551328f15716210017866d0a&utm_source=blog&utm_medium=post&utm_content=geometria-prisma
https://geekiegames.geekie.com.br/signup?redirectPath=%2FagpzfmdlZWtpZWlkchkLEgxPcmdhbml6YXRpb24YooCE_qbe4REM%2Fcontent-group%2Fall%2Flearning_object%2F552eb6aa046712002184e2a9&utm_source=blog&utm_medium=post&utm_content=geometria-esfera
https://geekiegames.geekie.com.br/signup?redirectPath=%2FagpzfmdlZWtpZWlkchkLEgxPcmdhbml6YXRpb24YooCE_qbe4REM%2Fcontent-group%2Fall%2Flearning_object%2F54de49dc7e179b0017bf86d6&utm_source=blog&utm_content=geometria
 
 34 
A geometria analítica utiliza coordenadas e funções do plano cartesiano para 
solucionar perguntas matemáticas. É a área da matemática que relaciona 
a álgebra com a geometria. A álgebra utiliza variáveis para representar os números e u 
utiliza fórmulas matemáticas. 
Conhecer essa frente da matemática também é importante para resolver questões de 
Física. Por exemplo, o cálculo da área em um plano cartesiano pode informar o 
deslocamento (ΔS) se o eixo x e o eixo y informarem a velocidade e o tempo. 
O primeiro passo para estudar essa matéria é aprender o conceito de ponto e reta. 
Um ponto determina uma posição no espaço. 
Uma reta é um conjunto de pontos. 
Um plano é um conjunto infinito com duas dimensões. 
Entender a relação entre ponto, reta e plano é importante para resolver questões com 
coordenadas no plano cartesiano, mas também para responder perguntas sobre a 
definição de ponto, reta e plano, e a posição relativa entre retas, reta e plano e 
planos. 
Para representar um ponto (A, por exemplo) em um plano cartesiano, primeiro você 
deve indicar a posição no eixo x (horizontal) e depois no eixo y (vertical). Assim, segue 
as coordenadas seguem o modelo A (xa,ya). 
E a Geometria no Enem? 
Segundo a Matriz de Referência do Enem, existem sete grandes áreas de Matemática 
e Suas Tecnologias que são avaliadas na prova. A competência avaliada na área 2 
(referente à Geometria) é: 
“Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da 
realidade e agir sobre ela” 
O Enem 2018 espera que os seus conhecimentos geométricos sejam aplicados em 
questões que medem as seguintes habilidades: 
• Interpretar a localização e a movimentação de objetos no espaço tridimensional e sua 
representação no plano bidimensional. 
• Reconhecer as características de figuras planas ou espaciais. 
• Resolver situação-problema que requer conhecimentos de geometria de espaço e 
forma. 
https://geekiegames.geekie.com.br/arquivos/Artigos-blog/matriz_referencia_enem.pdf
https://geekiegames.geekie.com.br/blog/interpretacao-de-texto/
 
 35 
• Aplicar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos 
propostos para a solução de problemas do dia-a-dia. 
Fórmulas de Geometria para o Enem 
Teorema de Tales 
O Teorema de Tales é uma propriedade para retas paralelas. 
 
Fórmulas para cada figura de geometria: 
Fórmulas básicas de geometria plana – Polígonos 
O perímetro é a soma de todos os lados da figura, ou seja, o comprimento do 
polígono. 
Onde A é a área da figura, veja as principais fórmulas: 
 
 36 
 
Fórmulas dos principais polígonos 
Fórmulas da circunferência 
 
 37 
 
Conversão para radiano, comprimento e área do círculo 
Conversão de unidades: π rad corresponde a 180°. 
Comprimento de uma circunferência:C = 2 · π · R. 
Área de uma circunferência: A = π · R2 
Fórmulas de geometria espacial 
Fórmula do Poliedro: Relação de Euler 
Para saber a quantidade de vértices e arestas de uma figura espacial, utilize a Relação 
de Euler: 
Onde V é o número de vértices, F é a quantidade de faces e A é a quantidade 
de arestas, temos: 
V+F=A+2 
Fórmulas da Esfera 
 
 38 
 
Fórmulas do cone 
Onde r é o raio da base, g é a geratriz e H é a altura 
Área lateral do cone: Š = π · R . g 
Área da base do cone: A = π · R2 
Área da superfície total do cone: S = Š + A 
Volume do cone: V = 1/3 . A . H 
 
 Partes do cone 
Fórmulas do cilindro 
 
 39 
 
Área da base de um cilindro: Ab = π · r2 
Área da superfície lateral de um cilindro: Al = 2 · π · r · h 
Volume de um cilindro: V = Ab · h = π · r2 · h 
Secção meridiana: corte feito na “vertical”; a área desse corte será 2r · h 
Veja a aula sobre cilindros 
Fórmulas do prisma 
O prisma é um sólido formado por laterais retangulares e duas bases. Na imagem a 
seguir, o prisma tem base retangular, sendo um paralelepípedo. O cubo é um 
paralelepípedo e um prisma. 
 
Fórmulas do prisma 
Fórmulas da pirâmide regular 
https://geekiegames.geekie.com.br/signup?redirectPath=%2FagpzfmdlZWtpZWlkchkLEgxPcmdhbml6YXRpb24YooCE_qbe4REM%2Fcontent-group%2Fall%2Flearning_object%2F55132a755716210017866e49&utm_source=blog&utm_medium=post&utm_content=geometria-cilindros
 
 40 
 
Pirâmide regular 
Fórmulas do tetraedro regular 
 
 
 41 
Fórmulas do tetraedro regular 
Fórmulas de geometria analítica básica 
Equação fundamental da reta 
A equação fundamental da reta que passa pelo ponto P (x0, y0) e tem coeficiente 
angular m é: 
y – y0 = m(x – x0) 
Equação reduzida e equação geral da reta 
Distância entre dois pontos 
 
Razão e Proporção 
Na matemática, a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o 
coeficiente entre dois números. 
Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando 
duas razões possuem o mesmo resultado. 
 
 42 
Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale lembrar que duas 
grandezas são proporcionais quando formam uma proporção. 
Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente os conceitos de 
razão e proporção. Para preparar uma receita, por exemplo, utilizamos certas medidas 
proporcionais entre os ingredientes. 
Atenção! 
Para você encontrar a razão entre duas grandezas, as unidades de medida terão de ser 
as mesmas. 
Exemplos 
A partir das grandezas A e B temos: 
Razão: ou A : B, onde b≠0 
Proporção: , onde todos os coeficientes são ≠0 
Exemplo 1 
Qual a razão entre 40 e 20? 
Lembre-se que numa fração, o numerador é o número acima e o denominador, o de 
baixo. 
 
Se o denominador for igual a 100, temos uma razão do tipo porcentagem, também 
chamada de razão centesimal. 
 
Além disso, nas razões, o coeficiente que está localizado acima é chamado de 
antecedente (A), enquanto o de baixo é chamado de consequente (B). 
https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/
https://www.todamateria.com.br/fracoes/
https://www.todamateria.com.br/porcentagem/
 
 43 
 
Exemplo 2 
Qual o valor de x na proporção abaixo? 
 
3 . 12 = x 
x = 36 
Assim, quando temos três valores conhecidos, podemos descobrir o quarto, também 
chamado de “quarta proporcional”. 
Na proporção, os elementos são denominados de termos. A primeira fração é formada 
pelos primeiros termos (A/B), enquanto a segunda são os segundos termos (C/D). 
Nos problemas onde a resolução é feita através da regra de três, utilizamos o cálculo 
da proporção para encontrar o valor procurado. 
Propriedades da Proporção 
1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por exemplo: 
 
Logo: 
A·D = B·C 
Essa propriedade é denominada de multiplicação cruzada. 
2. É possível trocar os extremos e os meios de lugar, por exemplo: 
é equivalente 
Logo, 
https://www.todamateria.com.br/regra-de-tres-simples-e-composta/
 
 44 
D. A = C . B 
Regra de Três Simples e Composta 
A regra de três é um processo matemático para a resolução de muitos problemas que 
envolvem duas ou mais grandezas diretamente, ou inversamente proporcionais. 
Nesse sentido, na regra de três simples, é necessário que três valores sejam 
apresentados, para que assim, descubra o quarto valor. 
Com a regra de três composta podemos determinar um valor desconhecido quando 
relacionamos três ou mais grandezas. 
Em outras palavras, a regra de três permite descobrir um valor não identificado, por 
meio de outros três ou mais valores conhecidos. 
Regra de Três Simples 
A regra de três simples é uma proporção entre duas grandezas, por exemplo: 
velocidade e tempo, venda e lucro, mão de obra e produção… 
Para resolver uma regra de três simples, escrevemos a proporção entre as razões das 
grandezas, com uma letra para representar o valor desconhecido, desta forma: 
Se as grandezas forem diretas (aumentando uma, a outra também aumenta, e vive e 
versa) a proporção é mantida. Se as grandezas forem indiretas (aumentando uma, a 
outra diminui, e vive e versa) inverte-se uma razão. 
Multiplicam-se os meios pelos extremos (multiplicação cruzada), assim: 
Por último, isola-se o valor desconhecido para determinar seu valor. 
Regra de Três Composta 
A regra de três composta, permite descobrir um valor a partir de três ou mais valores 
conhecidos, analisando a proporção entre três, ou mais grandezas. 
Escrevem-se as razões de cada grandeza, com uma letra para o valor desconhecido. 
15 4 5 
x 3 2 
Fazemos a razão com o x igual ao produto das demais: 
 
 
 45 
Esta razão com o valor desconhecido deve ser comparada com as outras. Caso a 
grandeza seja inversamente proporcional, invertemos a razão. 
Multiplicam-se as razões, isolando o valor desconhecido e determinando seu valor. 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, o aumento de uma implica 
no aumento da outra na mesma proporção. 
Grandezas Inversamente Proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, o aumento de uma implica 
na redução da outra. 
Exemplos de Regra de Três Simples 
Exemplo 1 
Para fazer o bolo de aniversário utilizamos 300 gramas de chocolate. No entanto, 
faremos 5 bolos. Qual a quantidade de chocolate que necessitaremos? 
Inicialmente, é importante agrupar as grandezas da mesma espécie em duas colunas, a 
saber: 
1 bolo 300 g 
5 bolos x 
Nesse caso, x é a nossa incógnita, ou seja, o quarto valor a ser descoberto. Feito isso, 
os valores serão multiplicados de cima para baixo no sentido contrário: 
1x = 300 . 5 
1x = 1500 g 
Logo, para fazer os 5 bolos, precisaremos de 1500 g de chocolate ou 1,5 kg. 
Note que se trata de um problema com grandezas diretamente proporcionais, ou seja, 
fazer mais quatro bolos, ao invés de um, aumentará proporcionalmente a quantidade 
de chocolate acrescentado nas receitas. 
Exemplo 2 
Para chegar em São Paulo, Lisa demora 3 horas numa velocidade de 80 km/h. Assim, 
quanto tempo seria necessário para realizar o mesmo percurso numa velocidade de 
120 km/h? 
 
 46 
Da mesma maneira, agrupam-se os dados correspondentes em duas colunas: 
80 km/h 3 horas 
120 km/h x 
Observe que ao aumentar a velocidade, o tempo do percurso diminuirá e, tratando-se 
de grandezas inversamente proporcionais. 
Em outras palavras, o aumento de uma grandeza, implicará na diminuição da outra. 
Diante disso, invertemos os termos da coluna para realizar a equação: 
120 km/h 3 horas 
80 km/h x 
120x = 240 
x = 240/120 
x = 2 horas 
Logo, para fazer o mesmo trajeto aumentando a velocidade o tempo estimado será 
de 2 horas. 
Exemplo de Regra de Três Composta 
Para ler os 8 livros indicados pela professora para realizar o exame final, o estudante 
precisa estudar 6 horas durante 7 dias para atingir sua meta. 
Porém, a data do exame foi antecipada e, ao invés de7 dias para estudar, o estudante 
terá apenas 4 dias. Assim, quantas horas ele terá de estudar por dia, para se preparar 
para o exame? 
Primeiramente, agruparemos numa tabela, os valores fornecidos acima: 
Livros Horas Dias 
8 6 7 
8 x 4 
Observe que ao diminuir o número de dias, será necessário aumentar o número de 
horas de estudo para a leitura dos 8 livros. 
Portanto, trata-se de grandezas inversamente proporcionais e, por isso, inverte-se o 
valor dos dias para realizar a equação: 
Livros Horas Dias 
8 6 4 
8 x 7 
 
 47 
6/x = 8/8 . 4/7 
6/x = 32/56 = 4/7 
6/x = 4/7 
4 x = 42 
x = 42/4 
x = 10,5 horas 
Logo, o estudante precisará estudar 10,5 horas por dia, durante os 4 dias, a fim de 
realizar a leitura dos 8 livros indicados pela professora. 
Juros simples: fórmula, como calcular e exercícios 
Juros simples é um acréscimo calculado sobre o valor inicial de uma aplicação 
financeira ou de uma compra feita a crédito, por exemplo. 
O valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento é chamado de capital. A 
esse valor é aplicada uma correção, chamada de taxa de juros, que é expressa em 
porcentagem. 
Os juros são calculados considerando o período de tempo em que o capital ficou 
aplicado ou emprestado. 
Exemplo 
Um cliente de uma loja pretende comprar uma televisão, que custa 1000 reais à vista, 
em 5 parcelas iguais. Sabendo que a loja cobra uma taxa de juros de 6% ao mês nas 
compras a prazo, qual o valor de cada parcela e o valor total que o cliente irá pagar? 
Quando compramos algo parcelado, os juros determinam o valor final que iremos 
pagar. Assim, se compramos uma televisão a prazo iremos pagar um valor corrigido 
pela taxa cobrada. 
Ao parcelamos esse valor em cinco meses, se não houvesse juros, pagaríamos 200 
reais por mês (1000 divididos por 5). Mas foi acrescido 6 % a esse valor, então temos: 
 
 
Desta forma, teremos um acréscimo de R$ 12 ao mês, ou seja, cada prestação será de 
R$ 212,00. Isso significa que, no final, pagaremos R$ 60,00 a mais do valor inicial. 
Logo, o valor total da televisão a prazo é de R$1060,00. 
Fórmula: como calcular os juros simples? 
A fórmula para calcular os juros simples é expressa por: 
 
 48 
J = C . i . t 
Onde, 
J: juros 
C: capital 
i: taxa de juros. Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de 
número decimal. Para isso, basta dividir o valor dado por 100. 
t: tempo. A taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo. 
Podemos ainda calcular o montante, que é o valor total recebido ou devido, ao final do 
período de tempo. Esse valor é a soma dos juros com valor inicial (capital). 
Sua fórmula será: 
M = C + J → M = C + C . i . t 
Da equação acima, temos, portanto, a expressão: 
M = C . (1 + i . t) 
Exemplo 1 
Quanto rendeu a quantia de R$ 1200,00, aplicado a juros simples, com a taxa de 2% ao 
mês, no final de 1 ano e 3 meses? 
Sendo: 
C = 1200 
i = 2% ao mês = 0,02 
t = 1 ano e 3 meses = 15 meses (tem que transformar em meses para ficar na mesma 
unidade de tempo da taxa de juros. 
J = C . i . t = 1200 . 0,02 . 15 = 360 
Assim, o rendimento no final do período será de R$ 360,00. 
Exemplo 2 
Um capital de R$ 400,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 4% ao mês, 
resultou no montante de R$ 480,00 após um certo tempo. Qual foi o tempo da 
aplicação? 
Considerando, 
C = 400 
i = 4% ao mês = 0,04 
M = 480 
 
 49 
Equação do 1º grau 
"A equação do 1º grau é uma equação que possui incógnita com grau 1. 
Equações são sentenças matemáticas que possuem incógnitas, as quais 
são letras que representam valores desconhecidos, e igualdade. A 
sentença matemática da equação do 1º grau é ax + b = 0, em que a e b são 
números reais, e a é diferente de 0. O objetivo de escrever uma equação 
do 1º grau é encontrar qual é o valor da incógnita que satisfaz a equação. 
Esse valor é conhecido como solução ou raiz da equação. 
Equação do 2º grau 
"A equação do 2º grau é caracterizada por um polinômio de grau 2, ou 
seja, um polinômio do tipo ax2+bx+c, em que a, b e c são números reais. 
Ao resolvermos uma equação de grau 2, estamos interessados em 
encontrar valores para a incógnita x que torne o valor da expressão igual a 
0, que são chamadas de raízes, isto é, ax2 + bx +c = 0." 
Tipos de equações do 2º grau 
 
A equação de 2º grau pode ser representada por ax²+bx+c=0, em que os 
coeficientes a, b e c são números reais, com a ≠ 0. 
 
 50 
 
→ Exemplos 
a) 2x2 +4x – 6 = 0 → a = 2; b =4 e c = – 6 
 
b) x2 – 5x + 2 = 0 → a =1; b= – 5 e c = 2 
 
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 e c = –1 
 
A equação do 2º grau é classificada como completa quando todos os 
coeficientes são diferentes de 0, ou seja, a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0. 
 
A equação do 2º grau é classificada como incompleta quando o valor dos 
coeficientes b ou c são iguais a 0, isto é, b = 0 ou c = 0. 
 
→ Exemplos 
a) 2x2 – 4 = 0 → a = 2; b = 0 e c= – 4 
 
b) -x2 + 3x = 0 → a = – 1; b = 3 e c = 0 
 
c) x2 = 0 → a = 1; b =0 e c =0 
 
Atenção: o valor do coeficiente a nunca é igual a 0, caso isso ocorra, a 
equação deixa de ser do 2º grau. 
"Como resolver equações de 2º grau? 
 
 51 
A solução de uma equação do 2º grau ocorre, quando as raízes são 
encontradas, ou seja, os valores atribuídos a x . Esses valores de x devem 
tornar a igualdade verdadeira, isto é, ao substituir o valor de x na 
expressão, o resultado deve ser igual a 0. 
Operações matemáticas básicas 
As operações matemáticas básicas são adição, subtração, multiplicação e divisão. Além 
dessas, existem potenciação, radiciação e outras que só são estudadas adiante, no 
Ensino Superior. Essas operações possuem propriedades básicas que serão listadas 
neste artigo e são divididas em dois grupos: no primeiro, adição e subtração; no 
segundo, multiplicação e divisão. Isso acontece porque essas operações são 
consideradas inversas. 
 
Adição e subtração 
A adição é a operação matemática que reúne objetos que possuem a mesma natureza, 
mas que estão em dois grupos distintos. Por exemplo: João possuía uma caixa com 12 
lápis de cor. Quando chegou em casa, ganhou de seus pais uma nova caixa com outros 
12. Agora ele possui 24 lápis de cor. Nesse exemplo, os lápis foram somados. 
A subtração é a operação matemática que retira elementos de mesma natureza de um 
grupo. Por exemplo, se João resolvesse dar 4 de seus lápis a um amigo, ficaria apenas 
com 20. 
Quando a adição é definida no conjunto dos números inteiros, que possui números 
negativos, a subtração passa a ser considerada uma adição de inversos aditivos. Essa, 
na verdade, é uma das propriedades da adição, que será explicada a seguir. 
 
Propriedades da adição 
1 – A ordem em que dois números são somados não altera o resultado da soma. 
Matematicamente: 
a + b = b + a 
Essa propriedade é chamada de comutatividade. 
2 – Em uma soma de três números: a + b + c, somar a + b e depois c tem o mesmo 
resultado que somar b + c e depois a. Matematicamente: 
(a + b) + c = a + (b + c) 
https://www.preparaenem.com/matematica/operacoes-matematicas-basicas.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/operacoes-matematicas-basicas.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/conjunto-dos-numeros-inteiros-.htm
 
 52 
Essa propriedade é chamada de associatividade. 
3 – Existe um número, chamado de elemento neutro (nesse caso, zero), que não 
influencia o resultado da soma. Assim: 
a + 0 = 0 + a = a 
4 – Para todo número x existe um número – x em que a soma entre eles é igual a 0. 
x + (– x) = 0 
Essa última propriedade permite compreender a subtração como uma adição de 
inversos aditivos. Isso, de certa forma, permite incluir a operação 
subtração na operação adição, tornando-as uma só. Contudo, para melhor 
compreensão dos alunos, esse detalhe é pouco mencionado em sala de aula. 
Assim, a subtração 77 – 42 pode ser vista como a seguinte adição: 
77 + (– 42) 
Por isso, foram criadas regras de sinais para adição de números reais, que são as 
seguintes:a) Se os sinais dos números forem positivos, o resultado da soma será positivo; 
b) Se os sinais dos números forem negativos, o resultado da soma será negativo; 
c) Se os sinais dos números forem diferentes, deveremos diminuí-los e manter no 
resultado o sinal daquele que possui o maior módulo, ou seja, aquele que é maior, 
independentemente do sinal. 
Essas regras são muito substituídas em sala de aula pelo seguinte: 
Sinais iguais, soma e conserva. 
Sinais diferentes, subtrai e conserva o sinal do maior. 
 
Multiplicação e divisão 
Algo parecido acontece com a multiplicação e divisão. Todavia, antes de expor esse 
fato, é necessário compreender essas operações e conhecer suas propriedades. 
A multiplicação é entendida como uma sequência de somas em que as parcelas são 
números iguais. Veja uma soma que contém 8 parcelas: 
4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 
 
 53 
A multiplicação substitui a notação da soma pela seguinte: 
8·4 
8 é o número de parcelas e 4 é o número que está sendo somado. 
Observando que o resultado da multiplicação acima é 32, pois a soma de 8 parcelas do 
número 4 é igual a 32, podemos definir a divisão como operação inversa: 32 objetos 
divididos igualmente em 8 partes. Cada parte ficará com 4 desses 32 elementos. 
As operações multiplicação e divisão também são inversas, o que nos faz pensar se, 
assim como adição e subtração, também é possível compreender a divisão como 
uma multiplicação por inversos. A resposta é sim e isso depende de uma das 
propriedades da multiplicação. 
 
Propriedades da multiplicação 
1 – A ordem em que os fatores são multiplicados não altera o resultado do produto 
(sinônimo de multiplicação). Matematicamente: 
a·b = b·a 
Essa propriedade é chamada de comutatividade. 
2 – Em uma multiplicação que envolve 3 números, multiplicar os dois primeiros e depois 
o último tem o mesmo resultado que multiplicar os dois últimos e depois o primeiro. 
Observe: 
(a·b)·c = a·(b·c) 
Essa propriedade é chamada de associatividade. 
3 – Existe um elemento (nesse caso, o número 1), chamado de elemento neutro, que 
não influencia o resultado de uma multiplicação. Matematicamente: 
a·1 = 1·a = a 
4 – Para todo número, existe um elemento inverso, e a multiplicação de um número 
pelo seu inverso resulta no elemento neutro. Assim: 
a·(1/a) = 1 
O elemento inverso da multiplicação é representado por uma fração e dá precedentes 
para que qualquer divisão seja a multiplicação de um número por algum inverso. Por 
exemplo, a divisão 16:4 é o mesmo que a multiplicação a seguir: 
 
 54 
16·1/4 
O resultado dessa multiplicação é 4. 
Também existem regras de sinais para a multiplicação. Elas são as seguintes: 
Em uma multiplicação, sinais iguais têm como resultado um número positivo e sinais 
diferentes têm como resultado um número negativo. 
 
Propriedade distributiva 
Existe ainda uma propriedade que envolve multiplicação e adição ao mesmo tempo. 
Assim, conforme o discutido acima, também envolve divisão e subtração igualmente. 
Dados os números reais a, b e c, vale: 
a·(b + c) = a·b + a·c 
O que é gráfico? 
Gráfico é uma representação geométrica de um conjunto de dados usada 
para facilitar a compreensão das informações apresentadas nesse 
conjunto. Gráficos ajudam a identificar padrões, verificar resultados e 
comparar medidas de forma ágil. Além disso, eles podem ser usados de 
diversas formas e em diferentes áreas do conhecimento. 
Elementos dos gráficos 
1. Título: apresenta de forma clara e direta o que as informações 
presentes no gráfico representam e, algumas vezes, a unidade de medida 
usada para essas informações ou alguma transformação para ela; 
2. Legenda: é usada para identificar as informações apresentadas no 
gráfico, separadas por cor ou por hachura; 
3. Fonte de pesquisa: site, blog, página, pesquisa, jornal, revista ou 
qualquer outra fonte para a construção do gráfico. 
Veja agora os tipos de gráfico existentes: 
Tipos de Gráfico 
Gráfico de barras 
 
 55 
São feitos por meio de retângulos para representar a quantidade relativa a 
cada informação. Esses retângulos são alinhados por sua base, e sua altura 
varia de acordo com a variação da grandeza que eles representam. Além 
disso, cada barra (retângulo) está relacionada a uma informação, que 
pode ser um período, pessoa etc. Veja um exemplo: 
 
Esse gráfico também poderia ser apresentado por meio de barras 
horizontais. Note que a legenda é feita para que cada cor represente uma 
turma da escola. O contexto do gráfico fica evidente no título usado. Esse 
gráfico não possui fonte explícita porque foi criado apenas para esse 
exemplo. 
Gráfico de linhas 
Os gráficos de linhas mostram a trajetória da variação dos dados de 
acordo com a evolução da grandeza que está no eixo horizontal do gráfico. 
Transformando o gráfico do exemplo anterior em um gráfico de linhas, 
teremos: 
 
 56 
 
"Observe que, quando a linha é crescente, de um ano para o outro, 
significa que houve um crescimento no número de alunos daquela série 
naquela escola. Da mesma forma acontece quando a linha é contínua ou 
quando é decrescente: o número de alunos manteve-se ou diminuiu. 
Gráfico de setores 
Os gráficos de setores também são chamados de gráficos de pizza. Para 
construí-los, basta dividir um círculo em setores circulares – que se 
assemelham a fatias de pizza – proporcionalmente a cada informação. 
No exemplo anterior, seriam necessários três gráficos de pizza, um para 
cada série, pois cada gráfico de pizza corresponde a uma das colunas 
usadas na tabela. Cada gráfico de pizza também pode representar uma 
linha da tabela, mas no exemplo que estamos analisando, optamos pelo 
contrário. 
A imagem a seguir mostra apenas o número de alunos do sétimo ano dos 
anos de 2014 a 2018. 
 
 57 
 
Os setores desse gráfico são obtidos por regra de três. Soma-se o número 
de alunos existentes de 2014 a 2018. Esse total é igual ao ângulo central 
de todo o gráfico: 360°. Depois, basta descobrir o ângulo central relativo 
ao número de alunos de cada ano e construir o setor circular respectivo 
dentro do gráfico. 
Introdução à Função 
"Na Matemática, o conceito de função é inteiramente ligado às questões 
de dependência entre duas grandezas variáveis. Toda função possui uma 
lei de formação algébrica que relaciona dois ou mais conjuntos através de 
cálculos matemáticos. Dizemos que para toda função temos um conjunto 
denominado domínio e sua respectiva imagem. 
Por exemplo, podemos estabelecer uma relação de dependência entre o 
preço do litro do combustível e a quantidade de litros usados no 
abastecimento de um carro. Suponhamos que o preço do litro de gasolina 
seja R$ 2,50, dessa forma, podemos determinar a seguinte função y = 2,5 
* x, que determina o preço a pagar y em decorrência da quantidade de 
litros abastecidos x. 
A partir dessa função podemos construir a seguinte tabela de valores: 
Toda situação problema envolvendo relações entre grandezas, é 
determinada por uma lei de formação algébrica. Observe mais um 
problema relacionado a uma situação cotidiana. 
 
 58 
Numa viagem, um automóvel mantém uma velocidade constante de 60 
km/h. Com o passar do tempo, esse veículo irá percorrer uma 
determinada distância. De tal modo, podemos determinar a distância 
percorrida pelo veículo relacionando a velocidade média e o tempo do 
movimento utilizando a seguinte expressão matemática, D = V * t, onde D: 
distância, V: velocidade média e t: tempo. Observe a tabela de valores 
para essa função: 
Observe que nesse caso a variável dependente é a velocidade e a variável 
independente é o tempo. 
As funções possuem grande aplicabilidade nas situações em geral 
relacionadas ao ensino da Matemática. Utilizamos funções na 
Administração, na Economia, na Física, na Química, na Engenharia, nas 
Finanças, entre outras áreas do conhecimento. 
Observe o exemplo: 
Uma indústria de brinquedos possui um custo mensal de produção 
equivalente a R$ 5.000,00 mais R$ 3,00 reais porbrinquedo produzido. 
Determine a lei de formação dessa função e o valor do custo na produção 
de 2.000 peças. 
A lei de formação será formada por uma parte fixa e outra variável. 
Observe: 
C = 5000 + 3 * p, onde C: custo da produção e p: o número de brinquedos 
produzidos. Como serão produzidos 2.000 brinquedos temos: 
C = 5000 + 3 * 2000 
C = 5000 + 6000 
C = 11.000 
O custo na produção de 2.000 brinquedos será de R$ 11.000,00. 
Função Afim 
A função afim, também chamada de função do 1º grau, é uma função f : ℝ→ℝ, 
definida como f(x) = ax + b, sendo a e b números reais. As funções f(x) = x + 5, g(x) = 
3√3x - 8 e h(x) = 1/2 x são exemplos de funções afim. 
 
 59 
Neste tipo de função, o número a é chamado de coeficiente de x e representa a taxa 
de crescimento ou taxa de variação da função. Já o número b é chamado de termo 
constante. 
Gráfico de uma Função do 1º grau 
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. 
Desta forma, para construirmos seu gráfico basta encontrarmos pontos que satisfaçam 
a função. 
Exemplo 
Construa o gráfico da função f (x) = 2x + 3. 
Solução 
Para construir o gráfico desta função, vamos atribuir valores arbitrários para x, 
substituir na equação e calcular o valor correspondente para a f (x). 
Sendo assim, iremos calcular a função para os valores de x iguais a: - 2, - 1, 0, 1 e 2. 
Substituindo esses valores na função, temos: 
f (- 2) = 2. (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1 
f (- 1) = 2 . (- 1) + 3 = - 2 + 3 = 1 
f (0) = 2 . 0 + 3 = 3 
f (1) = 2 . 1 + 3 = 5 
f (2) = 2 . 2 + 3 = 7 
Os pontos escolhidos e o gráfico da f (x) são apresentados na imagem abaixo: 
 
 60 
 
No exemplo, utilizamos vários pontos para construir o gráfico, entretanto, para definir 
uma reta bastam dois pontos. 
Para facilitar os cálculos podemos, por exemplo, escolher os pontos (0,y) e (x,0). 
Nestes pontos, a reta da função corta o eixo Ox e Oy respectivamente. 
Coeficiente Linear e Angular 
Como o gráfico de uma função afim é uma reta, o coeficiente a de x é também 
chamado de coeficiente angular. Esse valor representa a inclinação da reta em relação 
ao eixo Ox. 
O termo constante b é chamado de coeficiente linear e representa o ponto onde a reta 
corta o eixo Oy. Pois sendo x = 0, temos: 
y = a.0 + b ⇒ y = b 
Quando uma função afim apresentar o coeficiente angular igual a zero (a = 0) a função 
será chamada de constante. Neste caso, o seu gráfico será uma reta paralela ao eixo 
Ox. 
Abaixo representamos o gráfico da função constante f (x) = 4: 
https://www.todamateria.com.br/calculo-do-coeficiente-angular/
 
 61 
 
Ao passo que, quando b = 0 e a = 1 a função é chamada de função identidade. O 
gráfico da função f (x) = x (função identidade) é uma reta que passa pela origem (0,0). 
Além disso, essa reta é bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou seja, divide os quadrantes 
em dois ângulos iguais, conforme indicado na imagem abaixo: 
 
 
 62 
Temos ainda que, quando o coeficiente linear é igual a zero (b = 0), a função afim é 
chamada de função linear. Por exemplo as funções f (x) = 2x e g (x) = - 3x são funções 
lineares. 
Os gráficos das funções lineares são retas inclinadas que passam pela origem (0,0). 
Representamos abaixo o gráfico da função linear f (x) = - 3x: 
 
Função Crescente e Decrescente 
Uma função é crescente quando ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o 
resultado da f (x) será também cada vez maior. 
Já a função decrescente é aquela que ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o 
resultado da f (x) será cada vez menor. 
Para identificar se uma função afim é crescente ou decrescente, basta verificar o valor 
do seu coeficiente angular. 
Se o coeficiente angular for positivo, ou seja, a é maior que zero, a função será 
crescente. Ao contrário, se a for negativo, a função será decrescente. 
Por exemplo, a função 2x - 4 é crescente, pois a = 2 (valor positivo). Entretanto, a 
função - 2x + - 4 é decrescente visto que a = - 2 (negativo). Essas funções estão 
representadas nos gráficos abaixo: 
https://www.todamateria.com.br/funcao-linear/
 
 63 
 
Função Quadrática 
A função quadrática, também chamada de função polinomial de 2º grau, é uma 
função representada pela seguinte expressão: 
f(x) = ax2 + bx + c 
Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. 
Exemplo: 
f(x) = 2x2 + 3x + 5, 
sendo, 
a = 2 
b = 3 
c = 5 
Nesse caso, o polinômio da função quadrática é de grau 2, pois é o maior expoente da 
variável. 
Como resolver uma função quadrática? 
Confira abaixo o passo-a-passo por meio um exemplo de resolução da função 
quadrática: 
 
 64 
Exemplo 
Determine a, b e c na função quadrática dada por: f(x) = ax2 + bx + c, sendo: 
f (-1) = 8 
f (0) = 4 
f (2) = 2 
Primeiramente, vamos substituir o x pelos valores de cada função e assim teremos: 
f (-1) = 8 
a (-1)2 + b (–1) + c = 8 
a - b + c = 8 (equação I) 
f (0) = 4 
a . 02 + b . 0 + c = 4 
c = 4 (equação II) 
f (2) = 2 
a . 22 + b . 2 + c = 2 
4a + 2b + c = 2 (equação III) 
Pela segunda função f (0) = 4, já temos o valor de c = 4. 
Assim, vamos substituir o valor obtido para c nas equações I e III para determinar as 
outras incógnitas (a e b): 
(Equação I) 
a - b + 4 = 8 
a - b = 4 
a = b + 4 
Já que temos a equação de a pela Equação I, vamos substituir na III para determinar o 
valor de b: 
(Equação III) 
4a + 2b + 4 = 2 
4a + 2b = - 2 
4 (b + 4) + 2b = - 2 
4b + 16 + 2b = - 2 
6b = - 18 
b = - 3 
Por fim, para encontrar o valor de a substituímos os valores de b e c que já foram 
encontrados. Logo: 
 
 65 
(Equação I) 
a - b + c = 8 
a - (- 3) + 4 = 8 
a = - 3 + 4 
a = 1 
Sendo assim, os coeficientes da função quadrática dada são: 
a = 1 
b = - 3 
c = 4 
Raízes da Função 
As raízes ou zeros da função do segundo grau representam aos valores de x tais que 
f(x) = 0. As raízes da função são determinadas pela resolução da equação de segundo 
grau: 
f(x) = ax2 +bx + c = 0 
Para resolver a equação do 2º grau podemos utilizar vários métodos, sendo um dos 
mais utilizados é aplicando a Fórmula de Bhaskara, ou seja: 
 
 
Exemplo 
Encontre os zeros da função f(x) = x2 – 5x + 6. 
Solução: 
Sendo 
a = 1 
b = – 5 
c = 6 
Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos: 
Portanto, as raízes são 2 e 3. 
Observe que a quantidade de raízes de uma função quadrática vai depender do valor 
obtido pela expressão: Δ = b2 – 4. ac, o qual é chamado de discriminante. 
https://www.todamateria.com.br/formula-de-bhaskara/
 
 66 
Assim, 
• Se Δ > 0, a função terá duas raízes reais e distintas (x1 ≠ x2); 
• Se Δ , a função não terá uma raiz real; 
• Se Δ = 0, a função terá duas raízes reais e iguais (x1 = x2). 
Gráfico da função quadrática 
O gráfico das funções do 2º grau são curvas que recebem o nome de parábolas. 
Diferente das funções do 1º grau, onde conhecendo dois pontos é possível traçar o 
gráfico, nas funções quadráticas são necessários conhecer vários pontos. 
A curva de uma função quadrática corta o eixo x nas raízes ou zeros da função, em no 
máximo dois pontos dependendo do valor do discriminante (Δ). Assim, temos: 
• Se Δ > 0, o gráfico cortará o eixo x em dois pontos; 
• Se Δ 
• Se Δ = 0, a parábola tocará o eixo x em apenas um ponto. 
Existe ainda um outro ponto, chamado de vértice da parábola, que é o valor máximo 
ou mínimo da função. Este ponto é encontrado usando-se a seguinte fórmula: 
O vértice irá representar o ponto de valor máximo da função quando a parábola 
estiver voltada para baixo e o valor mínimo quando estiver para cima. 
É possível identificar a posição da concavidade da curva analisando apenas o sinal do 
coeficiente a. Se o coeficiente for positivo, a concavidade ficará voltada para cima e se 
for negativo ficará para baixo, ou seja: 
 
https://www.todamateria.com.br/vertice-da-parabola/
 
 67 
Assim, para fazer o esboço do gráfico de uma função do 2º grau, podemos analisar o 
valor do a, calcular os zeros da função, seu vértice e também o ponto em