Aula 2 Gabarito

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UNOPAR VIRTUAL 
Engenharia da Produção / Engenharia da Computação 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
Prof.(a): Jenai Oliveira Cazetta 
Aula: Aula 2 – 25/02/2016 
Semestre: 2º/3º Semestre/2016 
 
 
Aula Atividade 
 
 
Objetivo da Atividade: 
 
 
A aula atividade de hoje tem o objetivo a resolução de exercícios sobre o tema: 
Integrais Indefinidas Imediatas. 
 
 
Orientações: 
 
 
Caro Tutor, 
 
 
A atividade poderá ser realizada individualmente ou em grupo de no Máximo 03 
alunos. 
 
 
Observações: 
 
 
Caro Tutor, 
 
 
Aproveite para enviar as dúvidas dos alunos pelo Chat Atividade para que o 
professor possa esclarecê-las. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tenham um ótimo trabalho! 
 
 Profa. Jenai O. Cazetta 
 
 
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Engenharia da Produção / Engenharia da Computação 
1) Calcule as integrais indefinidas: 
(a)   dxx 23 
(b)   dt)t( 454 1 
(c)   dx)x(x 229 
(d)    dttt t 32 )34( 2 
(e)  dxxsen 44 
(f)  dvvsenv 2 
(g)  dxx2cos 
(h)   dxe x 
(i)  dxxex2 
2) Calcule as integrais: 
(a)  dxex x2 
(b)   dxex x2 
(c)  dxsenxx 
(d)   dxxsene x 2 
 
 
 
 
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Engenharia da Produção / Engenharia da Computação 
GABARITO 
1) Calcule as integrais indefinidas: 
(a)   dxx 23 
ݑ = 3ݔ − 2 
݀ݑ
݀ݔ
= 3 
݀ݑ
3
= ݀ݔ 
න √3ݔ − 2 ݀ݔ = න(3ݔ − 2)ଵ/ଶ ݀ݔ = න ݑଵ/ଶ 
݀ݑ
3
=
1
3
 
ݑଷ/ଶ
3/2
=
2ඥ(3ݔ − 2)ଷ
9
 
න √3ݔ − 2 ݀ݔ =
2ඥ(3ݔ − 2)ଷ
9
+ ܿ 
(b)   dt)t( 454 1 
ݑ = 4 − 5t 
݀ݑ
݀ݐ
= −5 
−݀ݑ
5
= ݀ݐ 
න
1
(4 − 5ݐ)ସ
 ݀ݐ = න(4 − 5ݐ)ିସ ݀ݐ = න ݑିସ ൬
−݀ݑ
5
൰ =
−1
5
 
ݑିଷ
−3
=
1
15 ݑଷ
 
න
1
(4 − 5ݐ)ସ
 ݀ݐ =
1
15 (4 − 5ݐ)ଷ
+ ܿ 
(c)   dx)x(x 229 
ݑ = 9 − ݔଶ 
݀ݑ
݀ݔ
= −2ݔ 
݀ݑ
−2
= ݔ݀ݔ 
න ݔ (9 − ݔଶ)ଶ ݀ݔ = න ݑଶ ൬
−݀ݑ
2
൰ =
−1
2
 
ݑଷ
3
=
−ݑଷ
6
 
න ݔ (9 − ݔଶ)ଶ ݀ݔ =
−(9 − ݔଶ)ଷ
6
+ ܿ 
(d)    dttt t 32 )34( 2 
ݑ = ݐଶ − 4ݐ + 3 
݀ݑ
݀ݐ
= 2ݐ − 4 = 2(ݐ − 2) 
݀ݑ
2
= (ݐ − 2)݀ݐ 
න
ݐ − 2
(ݐଶ − 4ݐ + 3)ଷ
 ݀ݐ = න ݑିଷ 
݀ݑ
2
=
1
2
 
ݑିଶ
−2
=
−1
4 ݑଶ
 
න
ݐ − 2
(ݐଶ − 4ݐ + 3)ଷ
 ݀ݐ =
−1
4 (ݐଶ − 4ݐ + 3)ଶ
+ ܿ 
(e)  dxxsen 44 
ݑ = 4ݔ 
݀ݑ
݀ݔ
= 4 
݀ݑ
4
= ݀ݔ 
 
 
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න 4 ݏ݁݊4ݔ ݀ݔ = 4 න ݏ݁݊ݑ 
݀ݑ
4
= න ݏ݁݊ݑ ݀ݑ = −ܿ݋ݏݑ 
න 4 ݏ݁݊4ݔ ݀ݔ = −ܿ݋ݏ4ݔ + ܿ 
ܦ݅ܿܽݏ ݌ܽݎܽ ݈ܽ݃ݑ݉ܽݏ ݅݊ݐ݁݃ݎܽ݅ݏ: 
 න ݏ݁݊݇ݔ ݀ݔ =
−ܿ݋ݏ݇ݔ
݇
+ ܿ 4 න ݏ݁݊4ݔ ݀ݔ = 4
−ܿ݋ݏ4ݔ
4
= −ܿ݋ݏ4ݔ + ܿ 
(f)  dvvsenv 2 
ݑ = ݒଶ 
݀ݑ
݀ݒ
= 2ݒ 
݀ݑ
2
= ݒ݀ݒ 
න ݒ ݏ݁݊ݒଶ ݀ݒ = න ݏ݁݊ݑ 
݀ݑ
2
=
−1
2
 ܿ݋ݏݑ 
න ݒ ݏ݁݊ݒଶ ݀ݒ =
−1
2
 ܿ݋ݏݒଶ + ܿ 
(g)  dxx2cos 
ܫ݀݁݊ݐ݅݀ܽ݀݁ ݐݎ݅݃݋݊݋݉éݐݎ݅ܿܽ: ܿ݋ݏଶݔ = (1 + ܿ݋ݏ2ݔ) 2⁄ 
ܦ݅ܿܽݏ ݌ܽݎܽ ݈ܽ݃ݑ݉ܽݏ ݅݊ݐ݁݃ݎܽ݅ݏ: න ܿ݋ݏ݇ݔ ݀ݔ =
ݏ݁݊݇ݔ
݇
+ ܿ 
න(ܿ݋ݏݔ)ଶ ݀ݔ = න
1 + ܿ݋ݏ2ݔ
2
 ݀ݔ =
1
2
න ݀ݔ +
1
2
න ܿ݋ݏ2ݔ ݀ݔ =
1
2
ݔ +
1
2
 
ݏ݁݊2ݔ
2
 
න(ܿ݋ݏݔ)ଶ ݀ݔ =
1
2
ݔ +
1
2
 
ݏ݁݊2ݔ
2
+ ܿ 
(h)   dxe x 
ܦ݅ܿܽݏ ݌ܽݎܽ ݈ܽ݃ݑ݉ܽݏ ݅݊ݐ݁݃ݎܽ݅ݏ: න ݁௞௫ ݀ݔ =
݁௞௫
݇
+ ܿ 
න ݁ି௫ ݀ݔ =
݁ି௫
−1
 
න ݁ି௫ ݀ݔ = −݁ି௫ + ܿ 
(i)  dxxex2 
ݑ = ݔଶ 
݀ݑ
݀ݔ
= 2ݔ 
݀ݑ
2
= ݔ݀ݔ 
න ݔ ݁௫
మ
 ݀ݔ = න ݁௨ 
݀ݑ
2
=
݁௨
2
 
න ݔ ݁௫
మ
 ݀ݔ =
݁௫
మ
2
+ ܿ 
 
 
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2) Calcule as integrais: 
(a)  dxex x2 
ݑ = ݔ 
݀ݑ
݀ݔ
= 1 ݀ݑ = ݀ݔ 
݀ݒ = ݁ଶ௫݀ݔ ݒ = න ݁ଶ௫ ݀ݔ =
݁ଶ௫
2
 
න ݑ ݀ݒ = ݑݒ − න ݒ ݀ݑ 
න ݔ ݁ଶ௫ ݀ݔ = ݔ
݁ଶ௫
2
− න
݁ଶ௫
2
݀ݔ =
ݔ݁ଶ௫
2
−
1
2
݁ଶ௫
2
 
න ݔ ݁ଶ௫ ݀ݔ =
݁ଶ௫
2
൬ݔ −
1
2
൰ + ܿ 
(b)   dxex x2 
ݑ = ݔଶ 
݀ݑ
݀ݔ
= 2ݔ ݀ݑ = 2ݔ݀ݔ 
݀ݒ = ݁ି௫݀ݔ ݒ = න ݁ି௫ ݀ݔ = −݁ି௫ 
න ݑ ݀ݒ = ݑݒ − න ݒ ݀ݑ 
න ݔଶ ݁ି௫ ݀ݔ = ݔଶ(−݁ି௫) − න(−݁ି௫)2ݔ݀ݔ = −ݔଶ݁ି௫ + 2 න ݔ ݁ି௫ ݀ݔ 
ݑ = ݔ 
݀ݑ
݀ݔ
= 1 ݀ݑ = ݀ݔ 
݀ݒ = ݁ି௫݀ݔ ݒ = න ݁ି௫ ݀ݔ = −݁ି௫ 
න ݔଶ ݁ି௫ ݀ݔ = −ݔଶ݁ି௫ + 2 න ݔ ݁ି௫ ݀ݔ = −ݔଶ݁ି௫ + 2 ൤−ݔ݁ି௫ − න(−݁ି௫) ݀ݔ൨ 
න ݔଶ ݁ି௫ ݀ݔ = −ݔଶ݁ି௫ − 2ݔ݁ି௫ + 2(−݁ି௫) 
න ݔଶ ݁ି௫ ݀ݔ = −ݔଶ݁ି௫ − 2ݔ݁ି௫ − 2݁ି௫ + ܿ 
(c)  dxsenxx 
ݑ = ݔ 
݀ݑ
݀ݔ
= 1 ݀ݑ = ݀ݔ 
݀ݒ = ݏ݁݊ݔ ݀ݔ ݒ = න ݏ݁݊ݔ ݀ݔ = −ܿ݋ݏݔ 
න ݑ ݀ݒ = ݑݒ − න ݒ ݀ݑ 
 
 
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න ݔ ݏ݁݊ݔ ݀ݔ = ݔ(−ܿ݋ݏݔ) − න(−ܿ݋ݏݔ)݀ݔ = −ݔ ܿ݋ݏݔ + ݏ݁݊ݔ 
න ݔ ݏ݁݊ݔ ݀ݔ = −ݔ ܿ݋ݏݔ + ݏ݁݊ݔ + ܿ 
(d)   dxxsene x 2 
ݑ = ݏ݁݊2ݔ 
݀ݑ
݀ݔ
= 2 ܿ݋ݏ2ݔ ݀ݑ = 2 ܿ݋ݏ2ݔ ݀ݔ 
݀ݒ = ݁ି௫ ݀ݔ ݒ = න ݁ି௫݀ݔ = −݁ି௫ 
න ݁ି௫ ݏ݁݊2ݔ ݀ݔ = ݏ݁݊2ݔ (−݁ି௫) − න(−݁ି௫) 2 ܿ݋ݏ2ݔ ݀ݔ 
න ݁ି௫ ݏ݁݊2ݔ ݀ݔ = −ݏ݁݊2ݔ ݁ି௫ + 2 න ݁ି௫ܿ݋ݏ2ݔ ݀ݔ 
ݑ = ܿ݋ݏ2ݔ 
݀ݑ
݀ݔ
= −2ݏ݁݊2ݔ ݀ݑ = −2ݏ݁݊2ݔ݀ݔ 
݀ݒ = ݁ି௫ ݀ݔ ݒ = න ݁ି௫݀ݔ = −݁ି௫ 
න ݁ି௫ ݏ݁݊2ݔ ݀ݔ = −ݏ݁݊2ݔ ݁ି௫ + 2 ൤ܿ݋ݏ2ݔ(− ݁ି௫) − න(−݁ି௫) (−2)ݏ݁݊2ݔ ݀ݔ൨ 
න ݁ି௫ ݏ݁݊2ݔ ݀ݔ = −݁ି௫൫ݏ݁݊2ݔ + 2 ܿ݋ݏ2ݔ൯ − 4 න ݁ି௫ݏ݁݊2ݔ ݀ݔ 
න ݁ି௫ ݏ݁݊2ݔ ݀ݔ + 4 න ݁ି௫ ݏ݁݊2ݔ ݀ݔ = −݁ି௫൫ݏ݁݊2ݔ + 2 ܿ݋ݏ2ݔ൯ 
5 න ݁ି௫ ݏ݁݊2ݔ ݀ݔ = −݁ି௫൫ݏ݁݊2ݔ + 2 ܿ݋ݏ2ݔ൯ 
න ݁ି௫ ݏ݁݊2ݔ ݀ݔ =
−1
5
݁ି௫൫ݏ݁݊2ݔ + 2 ܿ݋ݏ2ݔ൯ + ܿ