Biofisica_P_IM_aula 3

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Biofísica - P
2022 / 2023
Aula 3 | 9 e 10 Outubro 2023
Sumário
o Análise e resolução de questões sobre sons, 
cordas vibrantes, efeito Doppler
Isabel Malaquias
imalaquias@ua.pt
Gab. 13.03.16
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A lembrar:
Movimento Harmónico Simples 
(MHS)
w = 2p f
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A lembrar:
Geram-se ondas estacionárias numa 
corda esticada, com uma extremidade 
ligada a uma lâmina virante, quando as 
frequências naturais da corda são 
quase iguais às da lâmina vibratória.
A velocidade de propagação da onda 
numa corda, v, é dada por 
𝝁 = massa por unidade de 
comprimento
v = √
𝐹
μ
F = tensão na corda
𝑓𝑛 =
𝑛
2 𝐿
√
𝐹
μ
L = comprimento da corda
ondas estacionárias
n = 1 _ estado fundamental
n = 1, 2, 3...
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• A corda média C da escala de dó maior num piano tem uma frequência fundamental de 264 Hz, e a 
nota A tem uma frequência fundamental de 440 Hz.
a) Calcule as frequências dos dois harmónicos seguintes da corda C.
b) Se as duas cordas de piano para as notas A e C forem assumidas como tendo a mesma massa por 
unidade de comprimento e o mesmo comprimento, determine a proporção de tensões nas duas 
cordas
Sendo f1 = 264 Hz, tem-se: 
a)
f2 = 2 f1 = 528 Hz f3 = 3 f1 = 792 Hz
b)
Se as duas cordas de piano têm a mesma massa por unidade de 
comprimento e o mesmo comprimento, teremos:
𝑓𝑛 =
𝑛
2 𝐿
√
𝐹
μ
𝑓1𝐴 =
1
2 𝐿
√
𝐹𝐴
μ
𝑓1𝐶 =
1
2 𝐿
√
𝐹𝐶
μ
𝑓1𝐴
𝑓1𝐶
= 
𝐹𝐴
𝐹𝐶
𝐹𝐴
𝐹𝐶
= (
440
264
)2 = 2,78
c) Embora as densidades das cordas sejam, de fato, iguais, a corda A tem 64% do comprimento da corda C. 
Qual é a proporção de suas tensões?
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• A corda média C da escala de dó maior num piano tem uma frequência fundamental de 264 Hz, e a 
nota A tem uma frequência fundamental de 440 Hz.
a) Calcule as frequências dos dois harmónicos seguintes da corda C.
b) Se as duas cordas de piano para as notas A e C forem assumidas como tendo a mesma massa por 
unidade de comprimento e o mesmo comprimento, determine a proporção de tensões nas duas 
cordas
c)
𝑓1𝐴
𝑓1𝐶
= 
𝐹𝐴
𝐹𝐶
𝐹𝐴
𝐹𝐶
= (0,64)2 (440/264)2 = 1,14
c) Embora as densidades das cordas sejam, de fato, iguais, a corda A tem 64% do comprimento da corda C. 
Qual é a proporção de suas tensões?
𝑓1𝐴
𝑓1𝐶
= (
𝐿𝐶
𝐿𝐴
)
𝐹𝐴
𝐹𝐶
= (100/64) 
𝐹𝐴
𝐹𝐶
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f = v/λ
• Uma corda de violão de 0,75 m de comprimento tem uma frequência fundamental 
de 440 Hz.
a) Qual é a velocidade de uma onda que se propaga pela corda?
b) Para produzir outras frequências, o comprimento efectivo da corda é encurtado, 
pressionando-a num ponto abaixo do extremo da corda. Que comprimento é 
necessário para produzir uma frequência fundamental de 660 Hz?
λn = 
2L
n
v = fn λ n = fn
2L
n
Para a frequência fundamental, 
tem-se 
v = 2L f0 = 2. 0,75. 440 = 660 m/s
Se f1 = 660 Hz, e a velocidade da onda 
não muda, então o novo comprimento 
da corda é 
L’ = 
660
2.660
= 0,5 m
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Ondas sonoras em tubos 
semiabertos
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Primeiros harmónicos da onda 
sonora no ar
λn = 
4L
n
• Para que valor de frequência é o ouvido humano mais sensível, se, em média. o 
ouvido externo tem um canal auditivo cujo comprimento é da ordem de 2,7 cm?
Este caso, corresponde a uma 
situação de tubo de ar, semiaberto, 
com L = 2,7 cm.
Como a onda sonora se propaga no 
ar a 340 m/s, à pressão normal, a 
frequência fundamental é dada porf = v/λ
f1 = v / 4L
f1 = 340/4. 2,7.10-2 Hz
f1 = 3148 Hz ≈ 3 kHz 
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Ondas sonoras em tubos abertos 
nas duas extremidades
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• Uma onda sonora de nível de intensidade igual a 80 dB incide sobre um tímpano 
de área 0,6 cm2. Quanta energia absorve o tímpano em 3 minutos?
1º Calcular a intensidade da onda
β = 10 log (
I
Io
)
80 = 10 log (I / Io)
Io = 10-12 W/m2 é uma intensidade sonora de referência
80 = 10 log (1012. I ) 
80 = 10 (12 + log (I) 
8,0 = 12+ log (I) 
I = 1.10-4 W/m2
A intensidade da onda I é definida como a taxa média mediante a qual a 
onda transmite energia através da unidade de área A, perpendicular à 
direcção de propagação
I = 
1
𝐴
. 
 = 10-4. 0,6. 10-4 .180 = 1,08. 10-6 J 
A energia absorvida pelo tímpano em 3 min é dada por
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• Um tubo aberto, comprido e vertical está parcialmente submerso num copo de água. Coloca-se um 
diapasão a vibrar, com uma frequência desconhecida, no cimo do mesmo. O comprimento da coluna 
de ar, L, é ajustado, movimentando o tubo na vertical. 
As ondas sonoras geradas pelo diapasão são reforçadas quando o comprimento da coluna corresponde 
a uma das frequências de vibração do tubo. O valor mais baixo de L, para o qual ocorre um pico na 
intensidade do som, é 9 cm. A partir desta medida, determine a frequência do diapasão e o valor de L
para os dois modos de ressonância que se seguem. Considere a velocidade do som igual a 344 m/s.
Sendo esta montagem a representação de um tubo aberto numa 
das extremidades, o modo fundamental tem uma frequência 
igual a 
f1 = v/4L vsom = 344 m/sL = 0,09 m
f1 = v/4L = 956 Hz
A partir desta informação, tem-se λ = 4 L = 0,36 m
Sendo a frequência da fonte constante, os 2 modos de 
ressonância que se seguem correspondem a: 
L1 =3λ/4 = 0,27 m e L2 = 5λ/4 = 0,45 m
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a) a velocidade do morcego, vO = 10 m/s
f’’ = 106 kHz
• Um morcego que está a voar com uma velocidade de 10 m/s, em direcção a uma parede fixa, 
emite um som ultrassónico de 100 kHz. Considere a velocidade do som igual a 343 m/s.
a) Calcule a frequência com que a onda incide na parede e o comprimento de onda na 
região frontal ao morcego.
b) Uma vez que o som é reflectido pela parede, esta actua como uma fonte de ondas, 
cuja frequência é a calculada em a). Com que frequência ouve o morcego o som reflectido pela 
parede?
vF = vparede = 0
λ′
observado= λ - Δλ
Sinal superior: se O e F se 
aproximam um do outro
f’ = 
𝑣
λ′
f ’’ = 103 
343
343 − 10
f’ = 103 kHz 𝑓′ = 𝑓 (
𝑣 ± 𝑣𝑂
𝑣 ∓ 𝑣𝐹
)
f’ = 
𝑣
λ′ = 
𝑣
λ −
vF
𝑓
= 𝑓
𝑣
𝑣 − 𝑣𝐹
b)
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A baleia emite um som de 9,74 kHz. Determine:
a) Com que frequência ouvirá o golfinho esse som?
𝑓′ = 𝑓 (
𝑣 ± 𝑣𝑂
𝑣 ∓ 𝑣𝐹
)
Baleia 
vB = 10 m/s
vcorrente = 2 m/s
fB = 9,74 kHZ
golfinho vG = 30 m/s
𝑓𝐺
′ = 9,74 (
1500+(30 −2)
1500 −(10+2)
) 𝑓𝐺
′ = 10,0 kHz
a)
b)
𝑓𝐵
′′ = 𝑓𝐺
′(
1500+(30 −2)
1500 −(10+2)
) 𝑓𝐵
′′ = 10, 27 kHz
• Uma baleia movimenta-se a uma velocidade de 10 m/s, no 
mesmo sentido que uma corrente de 2 m/s. 
Simultaneamente, um golfinho movimenta-se a 30 m/s em 
direcção à baleia e sentido oposto à corrente. 
b) O golfinho responde com um som de frequência igual à que ouviu. Com que 
frequência ouvirá a baleia esse som? Considere que a velocidade do som na água do mar 
é 1500 m/s.
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