matematica financeira 04

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04
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M O P E R A Ç Õ E S C O M E R C I A I S
Capitalização simples,
desconto simples e títulos de crédito
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Coordenadora de Revisão
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Adaptação para o Módulo Matemático
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EQUIPE SEDIS | UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
Projeto Gráfi co
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
Ministério da Educação
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1
Matemática fi nanceira A04
Nesta aula, apresentamos o que são juros simples e faremos um estudo sobre alguns procedimentos matemáticos, como o cálculo de juros e de outros elementos do regime de capitalização simples na resolução de algumas 
situações, como determinar o capital aplicado, a taxa de juros aplicada, ou o prazo de 
um investimento ou empréstimo, quando se têm os demais dados envolvidos.
Você verá, também, por aqui, o que é um título de crédito, quais são os títulos de 
créditos mais utilizados em operações fi nanceiras e os tipos de desconto que podem 
incidir sobre esses títulos no regime de capitalização simples, quando o resgate desse 
documento é antecipado.
O conteúdo, neste material, é apresentado com o apoio de vários exemplos para facilitar 
a sua compreensão e disponibilizamos, também, ao longo da aula, questões subjetivas 
e, ao fi nal da aula, questões objetivas em uma lista de exercícios.
Na seção Autoavaliação, ao fi nal desta aula, você encontrará mais uma oportunidade 
para verifi car e redirecionar sua aprendizagem.
Na seção Para consulta, disponibilizamos um resumo do assunto estudado nesta aula, 
que servirá de material de apoio para uma consulta rápida na resolução das questões 
da presente aula e de outras questões que envolvam os conteúdos aqui desenvolvidos.
Objetivos
  É o processo pelo 
qual os juros são 
formados.
Regime de 
capitalização
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Matemática fi nanceira A04
  Saber aplicar raciocínios adequados em operações fi nanceiras que levam 
em conta o valor do dinheiro no tempo, utilizando a capitalização simples. 
  Saber descrever o que é o regime de capitalização simples.
  Saber descrever o que são juros.
  Saber descrever o que é juro simples e saber resolver situações que 
envolvam o cálculo de juros simples ou nas quais seja necessário, no 
regime de capitalização simples, determinar a taxa de juros, o prazo da 
aplicação ou o valor do capital aplicado.
  Saber descrever o que é um título de crédito, identifi car os títulos de 
créditos mais comuns e calcular descontos em operações fi nanceiras.
Para começo
de conversa...
Quando é necessário pedir emprestado algum valor em dinheiro ou comprar algo 
utilizando um fi nanciamento, é comum haver o pagamento de um valor a mais, além 
do fi nanciado (ou emprestado), referente ao uso ou “aluguel” do valor envolvido. Esse 
valor que foi acrescido é o que chamamos de juro.
A forma como é calculado esse juro é que defi ne o regime de capitalização empregado. 
Existem dois tipos: o regime de juros simples e o regime de juros compostos.
Em nossa aula, estudaremos o regime de juros simples (ou de capitalização simples), 
fi cando o sistema de juros compostos para ser abordado na nossa próxima aula.
Vamos começar a nossa aula?
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Matemática fi nanceira A04
Estudando 
capitalização simples
O valor monetário aplicado em alguma operação fi nanceira é chamado de Capital (também 
chamado de Principal, Valor Aplicado, Valor Atual ou Valor Presente). Usa-se, em inglês, o 
termo PRESENT VALUE (daí as letras PV nas teclas das calculadoras fi nanceiras).
Juros é a remuneração que se recebe pela aplicação do Capital em alguma atividade 
produtiva. Como já comentamos, no regime de capitalização simples (ou de juros 
simples), em cada intervalo de tempo, o juro é sempre calculado sobre o capital inicial 
investido ou tomado por empréstimo. 
O uso do regime de juros simples é visto no processo de desconto simples de duplicatas 
e nas operações de curtíssimo prazo, porém seu uso é bem menos empregado que o 
do regime de juros compostos.
No regime de capitalização composta (ou de juros compostos), em cada intervalo de 
tempo, o juro sempre é calculado sobre o saldo acumulado até o início do presente 
intervalo. A maioria das operações que abrangem a aplicação ou o empréstimo de 
dinheiro emprega o regime dos juros compostos, que são geralmente usados no 
fi nanciamento de compras em médio prazo (ou em longo prazo), nas compras com cartão 
de crédito, nas aplicações fi nanceiras em Caderneta de Poupança, nos empréstimos 
bancários, entre outros exemplos. Porém não detalharemos aqui esse assunto já que 
o discutiremos na próxima aula. 
O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível para essas operações fi nanceiras 
são fatores para a defi nição de um elemento que indica qual deve ser a remuneração. 
Esse elemento é chamado de taxa de juros.
Juro e taxa de juros são coisas diferentes.
A taxa de juros é um valor (na forma percentual ou na forma unitária) que indica qual 
remuneração será paga ao dinheiro emprestado (ou investido) para um determinado período. 
Na forma percentual ou na forma unitária, uma taxa de juros sempre apresenta a indicação 
do período de tempo a que se refere. Observe esses formatos no exemplo a seguir.
Exemplo 1
Exemplo 2
4
Matemática fi nanceira A04
Observe, no quadro a seguir, alguns exemplos de taxas de juros 
apresentadas, cada uma, em dois formatos diferentes:
Forma percentual Forma unitária
0,3% ao dia ou 0,3% a.d. 0,003 ao dia ou 0,003 a.d.
1,3% ao mês ou 1,3% a.m. 0,013 ao mês ou 0,013 a.m.
17,5% ao trimestre ou 17,5% a.t. 0,175 ao trimestre ou 0,175 a.t.
129,8% ao ano ou 129,8% a.a. 1,298 ao ano ou 1,298 a.a.
Observe que, na apresentação da taxa de juros, na forma unitária, não se escreve o 
símbolo % (‘por cento’) e seu valor numérico é igual a um centésimo do valor expresso 
na taxa percentual. 
Devemos lembrar que uma taxa de juros de x%, signifi ca dizer que de cada 100 unidades 
monetárias (digamos, 100 reais, por exemplo) envolvidas na aplicação fi nanceira, serão 
pagos x reais de remuneração.
Já falamos que o regime será de juros simples, quando o percentual de juros for calculado 
apenas sobre o capital inicial. Nesse regime de capitalização, não há incidência de juros 
sobre juros, em cada período.
Para resolver as situações que apresentaremos a seguir, representaremos o capital 
inicial emprestado (ou aplicado) pela letra P, a taxa de juros por i e o número de períodos 
de tempo por n. 
A fórmula básica utilizada nos cálculos que envolvem juros simples é J = P · i · n, porém, 
nesses cálculos, também podemos utilizar uma regra de três composta, recurso de 
resolução de problemas que já aprendemos e utilizamos em aulas anteriores. Observe 
o exemplo a seguir:
Uma dívida de R$ 3.000,00 deve ser paga com juros de 2% a.m. pelo regime 
de juros simples e devemos pagá-la em 6 meses. Qual é o valor dos juros 
que serão pagos?
Lembre-se de que se a taxa de juros é de 2% a.m., signifi ca dizer que para 
cada R$ 100,00 da dívida serão pagosR$ 2,00 a cada mês. Assim, podemos 
escrever a seguinte regra de três:
Exemplo 3
5
Matemática fi nanceira A04
Capital (R$) Tempo (meses) Juros (R$)
100,00 1 2,00
3.000,00 6 x
Essa é uma regra de três composta, e as grandezas envolvidas são diretamente 
proporcionais, o que nos permite escrever a seguinte proporção:
100
3.000
=
1
6
=
2
x
⇒ 2
x
=
100
3.000
· 1
6
⇒ 2
x
=
100
3.000 · 6 ⇒ 100 · x = 3.000 · 6 · 2
⇒ x = 3.000 · 6 · 2
100
⇒ x = 3.000 · 6 · 2
100
⇒ x = 3.000 · 6 · 0, 02⇒ x = 360
Foram produzidos juros de R$ 360,00.
Vemos no cálculo do valor de x, que é o valor dos juros que se queria determinar, que 
os juros podem ser calculados pelo ‘produto do capital inicial pelo número de períodos 
de tempo e pela taxa de juros’, ou seja, J = P · n · i ou J = P · i · n.
Atenção!
Para utilizarmos a fórmula J = P · i · n, a taxa de juros i deve estar na sua 
forma unitária. Ou seja, se, no enunciado do problema, temos i = 5% a.m., 
devemos utilizar a taxa unitária i = 0,05 a.m. na fórmula.
Observe que nas situações anteriores, expressamos a taxa i e o período n, na mesma 
unidade de tempo, mas nem sempre isso ocorre. Quando a unidade de tempo da taxa e 
do prazo da aplicação diferem, podemos converter um desses valores para que ambos 
apresentem a mesma unidade de tempo.
Pelo empréstimo de R$ 1.200,00 a uma taxa de 15% a.t., no período de 2 
meses e 15 dias, que juros, no regime de capitalização simples, serão pagos?
Para converter a taxa de 15% a.t. (15% ao trimestre) para uma taxa diária, 
devemos considerar que o trimestre comercial tem 90 dias, assim:
i = 15% a.t. =
15%
90
a.d. ⇒ i = 0, 1667% a.d.
(aproximando para 4 casas decimais)
J = P · n · i
Exemplo 4
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Matemática fi nanceira A04
i = 0,001667 a.d.
n = 2 m 15 d = (2 · 60 + 15) d = (120 + 15) d = 135 d
Logo, J = P · i · n 
⇒ J = 1.200 · 0,001667 · 135 ⇒ J = 270,054 ⇒ J ≅ 270,05.
Os juros pagos pelo empréstimo serão de R$ 270,05.
Observe que é mais fácil transformar trimestre em dias do que o inverso.
Taxas proporcionais
Considere duas taxas i e i' (percentuais ou unitárias) correspondentes a dois 
períodos de tempo n e n' (em uma mesma unidade de tempo). Se i
i′
=
n
n′
, 
dizemos que i e i' são taxas proporcionais.
Calcule a taxa mensal proporcional a 48% ao ano.
Como 1 ano corresponde ao período de 12 meses, podemos escrever:
i
i′
=
n
n′
⇒ x
0, 48
=
1
12
⇒ 12 · x = 0, 48 · 1⇒ 12 · x = 0, 48
⇒ x = 0, 48÷ 12⇒ x = 0, 04
A taxa proporcional é igual a 0,04 a.m. (ou seja, 4% a.m.).
Observe que a taxa de juros foi convertida para ter a mesma unidade de 
tempo do prazo da aplicação.
Exemplo 5
Exemplo 6
Agora, que tal fazer algumas 
atividades sobre o que 
acabou de estudar?
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Matemática fi nanceira A04
Determine a taxa de juros mensal proporcional à taxa de 1,8% ao dia.
O mês comercial é composto de 30 dias, portanto podemos escrever:
1
i′
=
n
n′
⇒ x
1, 8
=
30
1
⇒ 1 · x = 1, 8 · 30⇒ x = 54
Que tal ver mais um exemplo?
Determine os juros a serem recebidos pela aplicação, a uma taxa de 
36% a.a., de um capital de R$ 2.500,00, durante 10 meses.
Temos:
P = R$ 2.500,00; n = 10 m
i = 36% a.a. = 0,36 a.a. = (0,36 ÷ 12) a.m. = 0,03 ao mês.
J = P · i · n ⇒ J = 2.500 · 0,03 · 10 ⇒ J = 750
Os juros a serem recebidos são iguais a R$ 750,00.
1Praticando...
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Matemática fi nanceira A04
1. Qual é o valor dos juros a serem pagos pelo empréstimo, a uma taxa 
de juros simples de 30% a.a., de R$ 1.200,00, pelo período de 2 anos?
Lembre-se:
30% a.a. = 0,3 a.a. e
3% a.m. = 0,03 a.m.
2. Em um investimento de R$ 3.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 
3% a.m., no sistema de capitalização simples, qual é o valor dos juros 
a serem recebidos?
3. Calcule: (a) a taxa anual proporcional a 12% ao trimestre; (b) a taxa diária 
proporcional a 15% ao mês.
4. Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 10.000,00, à taxa de 
3% a.m., durante 180 dias.
5. Calcule o juro devido pelo empréstimo de um capital de R$ 5.000,00, a 
uma taxa de 18% a.t., por um período de 2 meses.
Juro simples comercial e juro simples exato
Nos cálculos de juros, em nossa aula, consideramos 1 ano = 360 dias, 1 semestre = 180 
dias, 1 trimestre = 90 dias ou 1 mês = 30 dias. Nesse caso, obtemos o que chamamos 
de juro simples comercial. 
A técnica de cálculos que considera os períodos de tempo iguais aos do calendário 
(1 ano = 365 ou 366 dias, 1 mês = 28, 29, 30 ou 31 dias,...) calcula o que chamamos de 
juro simples exato. Porém, mesmo nos juros simples comerciais ou nos juros simples 
exatos, o cálculo do tempo pode ser exato ou aproximado.
Para que o cálculo do tempo seja exato, podemos utilizar uma técnica que utiliza a 
consulta à Tabela de Cálculo de Tempo (TCT), na seção Para consulta.
Exemplo 7
9
Matemática fi nanceira A04
Determinação de número exato de dias
Esse cálculo do número exato de dias pode ser feita de duas maneiras diferentes:
  pela contagem direta no calendário, observando o número exato de dias de cada mês;
  pelo uso da Tabela de Cálculo de Tempo, para a contagem exata de dias.
Para entender melhor, observe os exemplos a seguir:
Um empréstimo de R$ 5.400,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do 
mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 48% a.a., qual o juro total a ser pago?
Temos que
P = R$ 5.400,00
i = 0,3% a.d. = 0,0003 a.d.
n = valor desconhecido (em dias).
Exemplo 8
2Praticando...
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Matemática fi nanceira A04
Em um investimento foi aplicado um capital de R$ 3.200,00, à taxa de 0,5% 
ao dia, de 14/02 a 20/12 do mesmo ano. Qual foi o valor do juro produzido 
no investimento?
P = R$ 3.200,00 e i = 0,5% a.d. = 0,005 a.d.
Pela TCT, o valor correspondente a 20/12 é 354 e a 14/02 é 45, logo:
n = 354 – 45 ⇒ n = 309 dias
J = P · i · n ⇒ J = 3.200 · 0,005 · 309 ⇒ J = 4.944
Nessas condições, são produzidos R$ 4.944,00 de juros.
Agora, você pode exercitar o que aprendeu na atividade a seguir.
1. Quanto foi pago de juro pelo empréstimo de R$ 4.000,00, do dia 25/01/08 
a 14/02/08, à taxa de 0,6% ao dia?
2. Calcule o juro a ser pago pelo empréstimo de R$ 5.000,00, do dia 19 de 
agosto ao dia 18 de outubro do mesmo ano, à taxa de 0,48% ao dia.
Consultando a TCT, temos:
  para o dia 25/11 temos o valor 329;
  para o dia 20/07 temos o valor 201. 
O número exato de dias entre 20 de julho e 25 de novembro de um mesmo 
ano é a diferença entre esses dois valores, ou seja: 
n = 329 – 201 ⇒ n = 128 dias.
Assim:
J = 5.400 · 0,0003 · 128 ⇒ J = 207,36
São produzidos R$ 207,36 de juros.
Exemplo 9
Exemplo 10
11
Matemática fi nanceira A04
Em algumas situações é necessário calcular mais do que apenas os juros. Observe o 
exemplo a seguir.
Para pagar um empréstimo de R$ 2.500,00, por 3 meses, a uma taxa de 
juros de 5% ao mês pelo regime de juros simples, deve ser paga que quantia 
total, em reais? 
Calculando os juros a serem pagos:
J = P · i · n ⇒ J = 2.500 · 0,05 · 3 = 375.
Calculando a quantia total a ser paga:
P + J = 2.500 + 375 = 2875.
O valor total a ser pago pela dívida é de R$ 2.875,00.
Em algumas situações, é necessário calcular a soma do valor principal com os juros 
produzidos. Quando somamos os juros (J) ao valor principal (P), temos um valor chamado 
de montante, que representaremos por M.
Assim,
Montante = Principal + Juros
⇒ M = P + J ⇒ M = P + (P · i · n)
⇒ M = P · (1 + i · n)
Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 8.000,00 à taxa de 
10,5% a.m. durante 270 dias.
Observe que a taxa i = 10,5% a.m. (ou i = 0,105 a.m.) indica uma unidade 
de tempo diferente da que está indicada em n = 270 dias.
A primeira providência é converter um desses valores para que possamos 
trabalhar, em i e n,com a mesma unidade de tempo.
Exemplo 11
Exemplo 12
12
Matemática fi nanceira A04
Determine os juros simples e o valor total de uma dívida que se referem ao 
empréstimo de R$ 4.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 142 dias.
No sistema de capitalização simples, temos: J = P · i · n.
Considerando o ano comercial igual a 360 dias e convertendo a taxa anual 
de 36% em uma taxa diária, temos:
i = 36% a.a. =
36%
360
a.d. = 0, 1% a.d. ⇒ i = 0, 001 a.d.
Considerando 1 mês comercial como 30 dias, temos que:
n = 270 ÷ 30 ⇒ n = 9 meses.
Assim:
M = P · (1 + i · n) ⇒ M = 8.000 · (1 + 0,105 · 9) ⇒ M = 8.000 · (1 + 0,945)
⇒ M = 8.000 · (1,945) ⇒ M = 15.560
O montante é igual a R$ 15.560,00.
Qual é o capital que, por empréstimo, por um período de 6 meses, a uma 
taxa de juro simples de 3,5% a.m. gera uma dívida total de R$ 3.206,50?
Como M = P + J ⇒ 3.206,50 = P · (0,035 · 6 + 1)
⇒ 3.206,50 = P · (0,21 + 1) ⇒ P · 1,21 = 3.206,50
⇒ P = (3.206,50) ÷ 1,21 ⇒ P = 2650
O capital que gera esse montante é de R$ 2.650,00.
Agora, observe o exemplo a seguir:
Exemplo 13
Exemplo 14
13
Matemática fi nanceira A04
Com a taxa e o prazo do empréstimo se referindo à mesma unidade de 
tempo, ou seja, dias, podemos escrever:
J = 4.000 · 0,001 · 142 = R$ 568,00
Para o cálculo do total da dívida (ou montante da dívida), temos:
M = P + J ⇒ M = 4.000 + 568 ⇒ M = 4.568
Os juros simples produzidos no empréstimo foram de R$ 568,00, somando 
um montante a ser pago de R$ 4.568,00.
Em algumas situações precisamos calcular o valor do capital, em um sistema de 
capitalização simples. Veja o exemplo a seguir:
Calcule o capital que, aplicado a uma taxa de juros simples de 12% a.m., 
rende R$ 300,00 de juros em 75 dias.
Temos que: J = 300, n = 75 dias e i = 0,12 a.m. = 0,004 a.d.
Como J = P · i · n, temos:
300 = P · 0,004 · 75 ⇒ 300 = 0,3 · P ⇒ P = 300 ÷ 0,03 ⇒ P = 1.000
O capital aplicado foi de R$ 1.000,00.
Que capital devo aplicar, à taxa diária de 0,12%, para obter juros simples de 
R$ 151,20, em 35 dias?
Temos: i = 0,12% a.d. = 0,0012 a.d. e n = 35 dias
J = R$ 151,20 ⇒ P · 0,0012 · 35 = 151,20 ⇒ P · 0,042 = 151,20
⇒ P = 151,20 ÷ 0,042 ⇒ P = 3.600
O capital que deve ser aplicado é de R$ 3.600,00.
3Praticando...
Exemplo 15
14
Matemática fi nanceira A04
Agora você pode praticar um pouco o que aprendeu.
1. Determine o valor do total da dívida contraída pelo empréstimo de 
R$ 5.000,00, à taxa de 5% a.m., através do regime de juros simples, pelo 
prazo de 5 meses.
2. Em quantos meses o capital de R$ 3.000,00, à taxa de 45% a.a. produzirá 
um montante de 3.562,50?
3. Calcule o capital que, colocado à taxa de 4% a.m., durante 5 meses, 
rende R$ 600,00 de juros.
4. Que importância devo aplicar à taxa de 1,5% a.d., para render, em 
10 meses, juros de R$ 750,00?
5. Determine em quantos dias o capital de R$ 5.700,00, aplicado à taxa de 
2,5% a.m., produz juros de R$ 14,25.
Nas situações em que é preciso calcular a taxa de juros aplicada, substitua os valores 
conhecidos, efetue as operações indicadas e isole o valor de i, lembrando sempre que 
a taxa e o prazo devem estar em uma mesma unidade de tempo. Observe os exemplos.
A que taxa mensal o capital de R$ 560,00 rende juros de R$ 67,20, em
4 meses?
Temos:
P = R$ 560,00; n = 4 meses e J = R$ 67,20
Como J = P · i · n ⇒ 67,20 = 560 · i · 4 ) 67,20 = 2240 · i
⇒ 2240 · i = 67,20 ⇒ i = 67,20 ÷ 2240 
⇒ i = 0,03 a.m. (ou seja, i = 3% a.m.).
A taxa de juros aplicada é igual a 3% ao mês.
Exemplo 16
4Praticando...
15
Matemática fi nanceira A04
A que taxa anual a importância de R$ 5.200,00 rende, em 9 meses, juros 
de R$ 624,00?
Convertendo o tempo de 8 meses em ano, temos que:
n = (9 ÷ 12) = 0,75 ano.
Os demais dados conhecidos são:
P = R$ 5.200,00
J = R$ 624,00
J = P · i · n ⇒ 624 = 5.200 · i · 0,75 ⇒ 624 = 3900 · i ⇒ 3900 · i = 624
⇒ i = 624 ÷ 5.200 ⇒ i = 0,12 a.m. ou i = 12 % a.m.
A taxa aplicada foi de 12% ao mês.
1. Qual é a taxa mensal proporcional a 6% ao ano?
2. Qual é a taxa anual proporcional a 0,025 ao dia? (Sendo 1a = 360d ).
3. Calcule a taxa diária proporcional a 3,6% ao bimestre.
4. A que taxa foi colocada a importância de R$ 1.300,00 para que, durante 
1 ano e 3 meses, rendesse um juro de R$ 260,00?
Cálculo do prazo da operação
Em alguma situação podemos ter a necessidade de calcular o prazo da operação (seja 
essa de empréstimo, fi nanciamento ou aplicação fi nanceira). Que tal ver alguns exemplos?
Exemplo 17
Exemplo 18
16
Matemática fi nanceira A04
Em quantos dias o capital de R$ 400,00, aplicado à taxa mensal de 3,6%, 
renderá juros de R$ 21,60?
Temos:
P = R$ 400,00
i = 3,6% a.m. = 0,036 ao mês = (0,036 ÷ 30) a.d. = 0,0012 ao dia
J = R$ 21,60, ou seja, 400 · 0,0012 · n = 21,60 ⇒ 0,48 · n = 21,60
⇒ n = 21,60 ÷ 0,48 ⇒ n = 45 dias
O prazo da aplicação é de 45 dias.
Se a taxa de uma aplicação é de 120% ao ano, quantos meses serão 
necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
Dobrar o capital aplicado signifi ca ter um montante igual ao dobro do capital 
inicial, ou seja, é M = 2 · P
Para desenvolver os cálculos temos i = 120% a.a. = 1,2 a.a. e a expressão 
do montante que é M = P (1 + i · n)
Substituindo os valores conhecidos, temos: 2 · P = P · (1 + 1,2 · n)
Dividindo ambos os lados da igualdade por P e resolvendo a equação 
resultante, temos: 2 = 1 + 1,2 · n ⇒ 2 – 1 = 1,2 · n ⇒ 1 = 1,2 · n ⇒ n = 1 ÷ 1,2
⇒ n = 0,8333 ano ⇒ n = 10 meses
O tempo de aplicação necessário para duplicar o capital, nas condições 
acima, é de 10 meses.
5Praticando...
17
Matemática fi nanceira A04
1. Por quantos meses o capital de R$ 4.000,00 deverá ser aplicado para 
render R$ 1.200,00 à taxa de 3% ao mês?
2. Por quantos dias devemos aplicar o capital de R$ 5.000,00 para render 
R$ 875,00, à taxa de 0,5% ao dia?
3. Qual é o prazo de aplicação de um capital de R$ 460,00 para que este 
renda R$ 49,60 de juros simples, com uma taxa diária de 0,15%?
4. Determine a taxa trimestral que foi aplicada ao capital de R$ 5.000,00, 
em 36 dias, para produzir R$ 360,00 de juros.
Desconto simples, títulos de 
crédito e equivalência de capitais
Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro a ser paga em uma data futura, é normal 
que entregue ao credor um comprovante dessa dívida, ou seja, um título de crédito.
Todo o título de crédito tem uma data de vencimento, porém se o devedor for resgatá-lo 
antecipadamente, deve obter, com essa antecipação, um abatimento que recebe o nome 
de desconto, que é uma das mais comuns aplicações da regra de juros.
No que se refere aos títulos de crédito, o desconto pode ocorrer em qualquer uma das 
situações a seguir:
I – O devedor decide fazer o pagamento antes da data predeterminada. Por isso, ele se 
benefi cia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro 
durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento.
II – A necessidade, por parte do credor, do dinheiro antes da data predeterminada. 
Nesse caso, ele pode vender o título de crédito a terceiros que podem querer um lucro 
sobre essa operação, correspondente ao valor em dinheiro que antecipa, no tempo que 
falta para o devedor quitar a dívida, por isso paga um valor menor que a quantia fi xada 
no título de crédito.
Nas duas situações há uma diferença entre dois valores. Essa diferença é chamada de 
desconto. Nas duas situações anteriormente citadas, veremos como descontar um título.
Alguns termos são comuns em operações de desconto:
  A nota promissória, 
a duplicata e a letra 
de câmbio são os 
títulos de crédito 
mais utilizados 
em operações 
fi nanceiras.
Título de 
crédito
Exemplo 19
18
Matemática fi nanceira A04
  Dia do vencimento: data fixada no título para a realizaçãodo pagamento ou 
recebimento da aplicação.
  Valor nominal: é o valor a ser pago, indicado no título.
  Valor atual: é o valor pago pela antecipação, já com a aplicação do desconto.
  Prazo ou tempo: é o número de dias entre a data na qual se negocia o título e a data 
de seu vencimento.
No desconto pode ser considerado como capital o valor nominal ou o valor atual. 
Quando é considerado o valor nominal, dizemos que o desconto é denominado de 
desconto comercial. Quando é considerado o valor atual, o desconto é denominado 
de desconto racional.
Desconto comercial, desconto bancário ou desconto por fora é o desconto que utiliza 
cálculo semelhante ao aplicado no cálculo de juro simples e produzido pelo valor nominal 
do título no período de tempo correspondente, à certa taxa fi xada.
O valor do desconto comercial é dado pela expressão: d = N · i · n, sendo d o valor do 
desconto, N o valor nominal do título, i a taxa de desconto e n o tempo de antecipação.
Valor atual comercial ou valor descontado comercial é o valor dado pela expressão 
A = N – d ou A = N · (1 – i · n), em que A é o valor atual do título após a aplicação do 
desconto comercial.
O desconto comercial só deve ser empregado por períodos de tempos curtos, pois em 
prazos muito longos o valor do desconto pode ultrapassar o valor nominal do título.
Um título de R$ 5.000,00 vai ser descontado à taxa de 2% ao mês. Faltando 60 
dias para o vencimento do título, calcule: (a) O valor do desconto comercial; 
(b) O valor atual comercial.
Temos N = 5 000, i = 0,02 a.m. e n = 60 d = 2 me.
O desconto comercial é calculado através da expressão d = N · i · n, logo: 
d = 5 000 · 0,02 · 2 ⇒ d = 200.
O valor atual comercial é calculado através da expressão: A = N – d, logo: 
A = 5 000 – 200 ⇒ A = 4 800.
O desconto comercial é de R$ 200,00, e o valor atual comercial (valor a ser pago com a 
antecipação do resgate do título) é R$ 4.800,00.
Exemplo 20
19
Matemática fi nanceira A04
Taxa de juro efetiva
A taxa de juro que torna o valor principal A, no período n, igual ao montante N é a taxa 
que realmente está sendo aplicada na operação de desconto. Essa taxa recebe o nome 
de taxa de juro efetiva.
A expressão que representa a taxa efetiva em uma operação é:
i
f
=
d
A · n , em que a taxa if está com a mesma unidade de tempo que o prazo n, d é o 
valor do desconto e A é o valor do capital e N o valor do montante. 
Veja o exemplo a seguir.
Um título de R$ 6.000,00 foi descontado, faltando 45 dias para o seu 
vencimento. Sabendo que o desconto comercial foi de R$ 405,00, calcule 
a taxa de juros efetiva.
i
f
=
d
A · n
, onde A = 6000 – 405 ⇒ A = 5595.
Assim: i
f
=
405
5595 · 45 ⇒ if = 0,0016086 a.d. ou if = 0,16% a.d.
Desconto Racional
É chamado de desconto racional ou por dentro o desconto que equivale ao juro produzido 
na aplicação do valor atual do título a uma taxa fi xada e durante o tempo correspondente. 
A expressão que utilizamos no cálculo do desconto racional é: dr = Ar · i · n
Valor do desconto racional em função do valor nominal
Como A = N – d ⇒ Ar = N – dr (eq. 1) e dr = Ar · i · n (eq. 2). 
Quando substituímos a eq. 1 na eq. 2, temos: dr = (N – dr ) · i · n. (eq. 3)
Isolando o valor de dr, temos: dr =
N · i · n
1 + i · n (eq. 4) que é o valor do desconto racional 
descrito em função do valor nominal do título.
Exemplo 21
20
Matemática fi nanceira A04
Valor atual racional
O valor atual racional é dado por Ar = N – dr. Quando substituímos o valor de dr 
apresentado na eq. 4, temos Ar = N – 
N · i · n
1 + i · n . (eq. 5)
Transformando o segundo termo da eq. 5 em uma só fração, temos:
Ar =
N · (1 + i · n)−N · i · n
1 + i · n ⇒ Ar =
N + N · i · n−N · i · n
1 + i · n ⇒ Ar =
N
1− i · n
Equivalência de capitais
Quando é necessário substituir um título por outro (ou outros) com vencimentos 
diferentes, pode ser de interesse de alguma das partes envolvidas na operação saber 
se as duas formas de pagamento são equivalentes.
Problemas desse tipo se referem à equivalência de capitais diferidos.
Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando 
seus valores atuais, nessa época, são iguais.
Para resolver esse tipo de problema, devemos estabelecer uma data que servirá de 
referência para a comparação dos valores atuais dos títulos em questão. Cada um dos 
valores atuais deverá ser calculado como sendo a diferença entre o valor nominal do 
documento (N) e o valor do desconto aplicado (N · i · n), ou seja: A = N – N · i · n , ou 
ainda A = N · (1 – i · n)
No regime de capitalização simples, essa data de comparação deve ser considerada 
como a data na qual a dívida foi contraída (ou data zero).
Para você compreender melhor esse assunto, observe o exemplo a seguir.
Querendo substituir um título de R$ 5.000,00, com vencimento em 90 dias, 
por outro com vencimento para daqui a 5 meses, ambos descontados à taxa 
de 3,5% ao mês, qual deve ser o valor nominal comercial do novo título?
Escolhendo o dia de hoje como data zero, com N1 = 5000, i1 = 3,5% a.m. 
ou 0,035 a.m. e n1 = 90 d = 3 me, como informações sobre o primeiro título 
e n2 = 5 me, como informação do novo título temos que substituir esses 
valores na igualdade A2 = A1, na qual A = N · (1 – i · n) é a expressão para 
calcular o valor atual de cada título.
6Praticando...
21
Matemática fi nanceira A04
Logo:
N
2
 · (1 – i
2
 · n
2
) = N1 · (1 – i1 · n1)
⇒ N
2
 · (1 – 0,035 · 5) = 5000 · (1 – 0,035 · 3)
⇒ N
2
 · (1 – 0,175) = 5000 · (1 – 0,105)
⇒ N
2
 · 0,825 = 5000 · 0,895
⇒ N
2
 · 0,825 = 4475
⇒ N2 =
4475
0, 825
⇒ N2 = 5424, 24
O valor nominal do novo título deve ser de R$ 5.424,24.
1. Uma duplicata com valor nominal de R$ 3.000,00 foi resgatada 1 mês 
antes da data do vencimento, à taxa de juros simples de 5% ao mês. 
Qual é o valor do desconto comercial?
2. Uma duplicata cujo valor nominal é de R$ 3.000,00 foi resgatada 
2 meses antes do vencimento, à taxa de 48% ao ano. Qual o desconto 
comercial aplicado?
Se você já resolveu todas as atividades e não resta nenhuma dúvida, resolva 
agora essa lista de exercícios a seguir.
Ex
er
cí
ci
os
22
Matemática fi nanceira A04
1. O juro gerado pela aplicação de R$ 500,00, à taxa de 15% ao ano, durante 
2,5 anos é de 
a) R$ 187,50.
b) R$ 178,50.
c) R$ 185,70.
d) R$ 158,70.
2. O juro a ser pago pelo empréstimo de R$ 6.250,00, durante 2 trimestres, 
à taxa de 5% ao semestre, é de
a) R$ 351,20.
b) R$ 321,50.
c) R$ 312,50.
d) R$ 302,51.
3. O prazo da aplicação do capital de R$ 5.000,00, à taxa de 36% a.a., para 
obtermos R$ 3.600,00 de juros comerciais aproximados (1a = 360 dias) é de
a) 3 semestres.
b) 60 meses.
c) 680 dias.
d) 2 anos.
4. Pelo empréstimo de R$ 1.200,00, à taxa trimestral de 1,5%, foram pagos 
R$ 240,00 de juros. O prazo do empréstimo foi de
a) 40 meses.
b) 42 meses.
c) 43 meses.
d) 48 meses.
5. A taxa mensal proporcional a 60% ao ano, nos juros comerciais 
aproximados, é
a) 0,005.
b) 0,05.
23
Matemática fi nanceira A04
c) 0,5.
d) 5.
6. Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado em 30/05 de um determinado 
ano, à taxa diária de 0,5%, e resgatado em 12/08 do mesmo ano. Esse 
investimento rendeu juros de 
a) R$ 180,00.
b) R$ 1.800,00.
c) R$ 18.000,00.
d) R$ 118.000,00.
7. O capital que, aplicado em um investimento à taxa mensal de 1,2%, por 
um semestre, gerou um juro de R$ 144,00, é igual a
a) R$ 120,00.
b) R$ 1.200,00.
c) R$ 1.800,00.
d) R$ 2.000,00.
8. O montante resultante da aplicação de um capital de R$ 4.800,00 à taxa 
diária de 2%, por um período de 75 dias, é igual a
a) R$ 12.000,00.
b) R$ 10.200,00.
c) R$ 9.800,00.
d) R$ 9.600,00.
9. Considere uma promissória de R$ 3.000,00,à taxa de 40% ao ano, 
resgatada 75 dias antes do vencimento. O valor do desconto é
a) R$ 249,75.
b) R$ 247,95.
c) R$ 274,59.
d) R$ 295,74.
24
Matemática fi nanceira A04
Em nossa aula, você aprendeu a descrever o que é o regime de capitalização 
simples, o que são juros e o que são juros simples. Aprendeu, também, 
a resolver situações, no regime de capitalização simples, que envolvam o 
cálculo dos juros simples, da taxa de juros, o prazo da aplicação ou o valor 
do capital aplicado.
Agora que você já resolveu todas as atividades e exercícios, verifi que sua 
aprendizagem com a Autoavaliação que se encontra a seguir.
1. Com suas palavras, descreva o que são juros simples.
2. O que é uma taxa de juros?
3. Associe a coluna da direita com a coluna da esquerda para que 
sejam feitas correspondências entre as taxas percentuais e unitárias 
correspondentes.
a) 12,5 % ao mês ( ) 1,25 ao semestre
b) 12,5% ao dia ( ) 0,0125 ao dia
c) 1,25% ao dia ( ) 0,125 ao trimestre
d) 125% ao ano ( ) 0,125 ao dia
e) 125% ao semestre ( ) 1,25 ao ano
f) 12,5% ao trimestre ( ) 0,125 ao mês
4. Calcule o juro resultante de uma aplicação de R$ 35.000,00, a uma taxa 
de 20% ao trimestre, durante 2 anos.
25
Matemática fi nanceira A04
5. Considere 1 ano correspondente a 360 dias e complete o quadro 
abaixo, escrevendo as taxas trimestrais proporcionais a cada uma das 
taxas citadas.
Taxas unitárias Taxas trimestrais proporcionais
0,0545 a.m.
0,36 a.a.
0,1 a.m.
0,006 a.m.
1,2 a.a.
0,0024 a.d.
6. Assinale V (se verdadeira) ou F (se falsa) em cada uma das afi rmativas 
abaixo.
a) ( ) O juro produzido pelo capital de R$ 8.000,00, durante 10 meses, 
à taxa mensal de 1,2% é de R$ 96,00.
b) ( ) O montante produzido pelo investimento de R$ 8.000,00, durante 
10 meses, à taxa diária de 0,0004 é de R$ 8.960,00.
c) ( ) O número exato de dias que transcorre entre 20 de janeiro e 25 
de junho de um mesmo ano que é bissexto é de 155 dias.
d) ( ) Em um ano bissexto, entre 23 de fevereiro e 15 de maio, 
transcorrem 82 dias.
7. A que taxa anual a importância de R$ 2.000,00 produzirá um montante 
de R$ 2.600,00, em 6 meses?
8. Um empresário tem dois títulos (um de R$ 12.000,00 e outro de R$ 
10.000,00), com vencimentos, respectivamente, para 120 e 150 dias. 
Sabendo que o banco credor aplica uma taxa de desconto de 42% ao 
ano, o devedor deseja substituir esses documentos por um único título 
com vencimento para 90 dias. Calcule o valor nominal desse novo título.
Para consulta
Fórmulas úteis
Considere para as fórmulas a seguir que P é o capital, i é a taxa de juros (na forma unitária) 
e n o número de períodos (com unidade de temo igual à da taxa de juros).
Juros simples: J = P · i · n
26
Matemática fi nanceira A04
Montante: M = P · (1 + i · n)
Capital: P = J ÷ (i · n) ou P = M ÷ (1 + i · n)
Tabela para contagem de dias (tct)(*)
MESES
DIAS Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.
01
02
03
04
05
1
2
3
4
5
32
33
34
35
36
60
61
62
63
64
91
92
93
94
95
121
122
123
124
125
152
153
154
155
156
182
183
184
185
186
213
214
215
216
217
244
245
246
247
248
274
275
276
277
278
305
306
307
308
309
335
336
337
338
339
06
07
08
09
10
6
7
8
9
10
37
38
39
40
41
65
66
67
68
69
96
97
98
99
100
126
127
128
129
130
157
158
159
160
161
187
188
189
190
191
218
219
220
221
222
249
250
251
252
253
279
280
281
282
283
310
311
312
313
314
340
341
342
343
344
11
12
13
14
15
11
12
13
14
15
42
43
44
45
46
70
71
72
73
74
101
102
103
104
105
131
132
133
134
135
162
163
164
165
166
192
193
194
195
196
223
224
225
226
227
254
255
256
257
258
284
285
286
287
288
315
316
317
318
319
345
346
347
348
349
16
17
18
19
20
16
17
18
19
20
47
48
49
50
51
75
76
77
78
79
106
107
108
109
110
136
137
138
139
140
167
168
169
170
171
197
198
199
200
201
228
229
230
231
232
259
260
261
262
263
289
290
291
292
293
320
321
322
323
324
350
351
352
353
354
21
22
23
24
25
21
22
23
24
25
52
53
54
55
56
80
81
82
83
84
111
112
113
114
115
141
142
143
144
145
172
173
174
175
176
202
203
204
205
206
233
234
235
236
237
264
265
266
267
268
294
295
296
297
298
325
326
327
328
329
355
356
357
358
359
26
27
28
29
30
26
27
28
29
30
57
58
59
85
86
87
88
89
116
117
118
119
120
146
147
148
149
150
177
178
179
180
181
207
208
209
210
211
238
239
240
241
242
269
270
271
272
273
299
300
301
302
303
330
331
332
333
332
360
361
362
263
364
31 31 90 151 212 243 304 365
NOTA: (*) Se o ano é bissexto, deve-se aumentar uma unidade ao resultado, caso o mês de 
fevereiro esteja incluído na contagem.
Fonte: Crespo (1996, p. 202).
Anotações
27
Matemática fi nanceira A04
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática fi nanceira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo: 
Atlas, 2002.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e fi nanceira fácil. 11. ed. São Paulo: 
Saraiva, 1996. 
JUROS simples. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio/fi nan2.
php>. Acesso em: 9 mar. 2009.
MATEMÁTICA fi nanceira: conceitos básicos. Disponível em: <http://www.somatematica.
com.br/emedio/fi nan.php>. Acesso em: 9 mar. 2009.
MERCHEDE, Alberto. Matemática fi nanceira para concursos: mais de 1.500 aplicações. 
São Paulo: Atlas, 2003.
Anotações
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Matemática fi nanceira A04