1-Tensões-2018-09-05

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1 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
TENSÕES 
PROF. PAULO CETLIN 
DEPT. ENGA. MECÂNICA DA UFMG 
pcetlin@gmail.com – 3409.3504 
mailto:pcetlin@gmail.com
 2 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
TENSÕES MÉDIAS 
𝑻 = 
𝑭
𝑨
 
Sob a mesma força de tração pura 
F, o comportamento das duas 
barras será diferente, pois suas 
seções transversais diferem 
Para eliminar o efeito da seção, 
define-se tensão média como: 
MPa, GPa, kgf/mm2, psi, ksi 
 3 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
Para calcular tensões numa situação mais 
complexa, como a mostrada abaixo, fica a 
dúvida: qual força dividir por qual área? 
 4 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
𝑭𝟏 
𝑭𝟑 𝑭𝟐 
P 
TENSÕES EM UM PONTO 
Adota-se o seguinte 
procedimento: 
• Os esforços sobre a peça 
passam a ser descritos por 
forças; 
• As tensões serão calculadas 
para cada ponto da peça 
(Ponto P, por exemplo). 
 5 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
𝑭𝟏 
𝑭𝟐 
P 
𝑭𝟏 
𝑭𝟐 𝑭𝟑 
P 
Plano de corte 
• Passa-se um plano de corte pelo ponto P; 
• Retira-se uma parte da peça, com as forças aí 
aplicadas, separada pelo plano de corte. 
TENSÕES EM UM PONTO 
 6 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
𝑭𝟏 
𝑭𝟐 
P 
• Aplicam-se forças em todos os pontos da peça, no 
plano de corte passando por P; 
• Essa distribuição de forças mantém a peça em situação 
idêntica àquela antes da retirada de parte da peça. 
TENSÕES EM UM PONTO 
Plano de corte 
 7 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
• É difícil obter essas forças em todos os pontos 
do corte da peça; 
• Um exemplo onde isso é possível é na tração 
pura, onde as forças são iguais e 
homogeneamente distribuídas: 
TENSÕES EM UM PONTO 
𝑭 
𝑭 
P 
𝑭 
P 
𝑭 
P 
Plano de corte 
 8 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
• Modernamente, a determinação das forças nos pontos é 
possível através de métodos numéricos, tais como o 
método dos elementos finitos; 
• Para definir a tensão no ponto P procede-se da seguinte 
forma: 
 
 Toma-se uma pequena área ΔA em torno do ponto P; 
 
 Obtém-se as forças agindo em todos os pontos da 
área ΔA, somam-se essas forças vetorialmente e 
obtém-se ∆𝑭; 
 𝑻𝑷 = lim
∆𝑨→𝟎
∆𝑭
∆𝑨
 
TENSÕES EM UM PONTO 
 9 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
TENSÕES EM UM PONTO 
𝑭𝟏 
𝑭𝟐 
𝜟𝑨 
 𝑷 
∆𝑭 
𝑻𝑷 = lim
∆𝑨→𝟎
∆𝑭
∆𝑨
 
Plano de corte 
 10 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
𝒏 
𝜶 
𝜟𝑭 𝜟𝑨 
 𝑷 
𝒕 
TENSÕES NORMAIS E DE 
CISALHAMENTO EM UM PONTO 
Plano de corte 
• 𝒏: normal ao plano de corte 
em P 
• ∝: ângulo entre 𝒏 𝒆 ∆𝑭 
• Tensão normal: 𝝈 = 
∆𝑭 cos𝜶
∆𝑨
 
 
• 𝒕 : interseção do plano 
formado por 𝒏 e por ∆𝑭 com 
o plano de corte 
• Tensão de cisalhamento: 
𝝉 = 
∆𝑭 sen𝜶
∆𝑨
 
 
 𝝈 
 𝝉 
 11 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
P 
Planos de corte 
VARIAÇÃO DA TENSÃO EM UM PONTO COM O 
PLANO DE CORTE 
• Infinitos planos de 
corte passam pelo 
ponto P; 
• Para cada plano de 
corte haveria que 
repetir o 
procedimento 
exposto. 
 12 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
𝑭𝟏 
P 
VARIAÇÃO DA TENSÃO EM UM PONTO COM O 
PLANO DE CORTE 
• Retira-se uma 
parte da peça 
separada pelo 
plano de corte. 
 13 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
𝑭𝟏 
P 
VARIAÇÃO DA TENSÃO EM UM PONTO COM O 
PLANO DE CORTE 
• Aplicam-se forças 
em todos os 
pontos da peça no 
plano de corte até 
que a peça fique 
idêntica à situação 
antes do corte 
 14 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
𝑭𝟏 
𝜟𝑭 
𝜟𝑨 
 𝑷 
VARIAÇÃO DA TENSÃO EM UM PONTO COM O 
PLANO DE CORTE 
 Toma-se uma 
pequena área ΔA em 
torno do ponto P; 
 
 Obtém-se as forças 
agindo em todos os 
pontos da área ΔA, 
somam-se essas 
forças vetorialmente 
e obtém-se ∆𝑭; 
𝑻𝑷 = lim
∆𝑨→𝟎
∆𝑭
∆𝑨
 
 15 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
• As tensões podem variar para cada ponto P da 
peça submetida a esforços; 
• Para cada ponto P da peça, as tensões variam 
para cada plano de corte adotado; 
• Trata-se assim de uma situação complexa; 
• Interessa descobrir qual o ponto P e qual plano 
de corte neste ponto que exibe as máximas 
tensões; 
• Será discutido um caso muito simples, que é a 
tração pura, e de onde podem se obter muitas 
conclusões interessantes. 
TENSÕES EM UM PONTO 
 16 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
• É difícil obter as forças em todos os pontos do 
corte da peça; 
• Isso é possível na tração pura: 
TENSÕES EM UM PONTO NA TRAÇÃO PURA 
𝑭 
𝑭 
P 
Plano 
de corte 
𝑭 
P 
𝜟𝑨 
𝜟𝑭 
𝑭 
P 
𝜟𝑨 
 17 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
Como a distribuição de forças em qualquer seção de corte 
na tração é sempre homogênea, pode-se utilizar a área 
inteira da seção (A) para o cálculo da tensão no ponto: 
TENSÕES EM UM PONTO NA TRAÇÃO PURA 
𝜟𝑭 
𝑭 
P 
𝜟𝑨 
𝑨 
 18 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
A SITUAÇÃO SE REPETE PARA UM OUTRO 
PLANO DE CORTE PASSANDO POR P: 
TENSÕES EM UM PONTO NA TRAÇÃO PURA 
𝑭 
𝑭 
P 
𝑭 
P 
Plano de corte 
𝑭 
P 
𝑨𝟏 
𝑭 𝑨 
 19 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
VARIAÇÃO DAS TENSÕES COM O PLANO DE CORTE NA 
TRAÇÃO PURA 
𝑭 
P 𝑨𝟏 
𝑭 
𝒏 
𝜶 
 𝝈 
𝜶 
Para qualquer ponto “P” do corpo sob tração pura, pode-se 
calcular a tensão normal (σ) para um plano de corte fazendo 
o ângulo α com o plano da seção transversal. 
 20 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
VARIAÇÃO DAS TENSÕES COM O PLANO DE CORTE NA 
TRAÇÃO PURA 
𝑭 
P 𝑨𝟏 
𝑭 
𝒏 
𝜶 
𝜶 
Para qualquer ponto “P” do corpo sob tração pura, pode-se 
calcular a tensão de cisalhamento ( ) para um plano de 
corte fazendo o ângulo α com o plano da seção transversal. 
 𝝉 
𝒕 
 21 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
VARIAÇÃO DAS TENSÕES COM O PLANO DE CORTE NA 
TRAÇÃO PURA 
𝑭 
P 𝑨𝟏 
𝑭 
𝒏 
𝜶 
𝜶 PARA QUALQUER PONTO P DO CORPO 
SOB TRAÇÃO PURA PODE-SE 
CALCULAR: 
• A TENSÃO NORMAL ( ) 
• A TENSÃO DE CISALHAMENTO ( ) 
• PARA UM PLANO DE CORTE FAZENDO 
O ÂNGULO α COM O PLANO DA SEÇÃO 
TRANSVERSAL 
 𝝉 
𝒕 
 𝝈 
 22 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
EXERCÍCIO 
𝑭 
P 𝑨𝟏 
𝑭 
𝒏 
𝜶 
𝜶 • Tomando = 1 GPa, variar o ângulo α 
de 10 em 10º desde α = 0º até α = 360º e 
calcular os valores de e de para 
todos esses ângulos. 
• Tomando um gráfico com nas 
abscissa e na ordenada (na mesma 
escala), locar os pontos encontrados em 
seus cálculos. 
 𝝉 
𝒕 
 𝝈 
 23 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
VARIAÇÃO DAS TENSÕES NORMAIS COM O PLANO DE 
CORTE NA TRAÇÃO PURA 
𝑭 
P 𝑨𝟏 
𝑭 
𝒏 
𝜶 
𝜶 
 é máximo, e máx = 1, para α = 0 
 𝝈 
𝑭 
𝑭 
P 
𝑨 
 24 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
VARIAÇÃO DAS TENSÕES NORMAIS COM O PLANO DE 
CORTE NA TRAÇÃO PURA 
𝑭 
P 𝑨𝟏 
𝑭 
𝒏 
𝜶 
𝜶 
 é mínimo, e min = 0, 
para α = 90º 
 𝝈 
𝑭 
𝑭 
𝑨 
P 
Os planos onde agem 
máx min são 
ortogonais entre si. 
é mínimo para qualquer 
plano de corte que 
contenha o eixo de tração. 
 25 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
VARIAÇÃO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO COM O 
PLANO DE CORTE NA TRAÇÃO PURA 
 é mínimo, e min = 0, para α = 0 e 
para α = 90º 
𝑭 
𝑭 
P 
𝑨 
𝑭 
P 𝑨𝟏 
𝑭 
𝒏 
𝜶 
𝜶 
 𝝉 
𝒕 
𝑭 
𝑭 
𝑨 
P = 0 nos 
planos 
onde agem 
máx e min 
 26 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
EXERCÍCIO 
 é mínimo Para α = 90º 
𝑭 
P 𝑨𝟏 
𝑭 
𝒏 
𝜶 
𝜶 
 𝝉 
𝒕 
𝑭 
𝑭 
𝑨 
P 
= 0 e age min . 
• Os planos onde age min são 
ortogonais entre si? 
 27 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
VARIAÇÃO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO COM O 
PLANO DE CORTE NA TRAÇÃO PURA 
 é máximo, e máx = /2, para α = 45º 
𝑭 
𝑭 
P 
𝑨 𝑭 
P 𝑨𝟏 
𝑭 
𝒏 
𝜶 
𝜶 
 𝝉 
𝒕 
𝑭 
𝑭 
𝑨 
P 
máx age nos 
planos fazendo 
45º com os 
planos onde 
agem máx e 
min 
qual é o valor de no 
plano onde age máx ? 
 28 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
EXERCÍCIO 
 é máximo, e máx = /2, para α = 45º 
𝑭 
P 𝑨𝟏 
𝑭 
𝒏 
𝜶 
𝜶 
 𝝉 
𝒕 
= máx 
 29 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
VARIAÇÃO DAS TENSÕES NORMAIS E DE CISALHAMENTO 
COM O PLANO DE CORTE NA TRAÇÃO PURA 
Os planos de corte onde agem máx min são ortogonaisentre si. 
= 0 nos planos de corte onde agem máx e min 
máx age nos planos de corte fazendo 45º com os planos de corte onde 
agem máx e min 
Pode-se demonstrar que para cada ponto de uma peça sob 
carregamento complexo em 3 dimensões, as afirmativas 
acima são sempre válidas e que, além disso: 
Para cada ponto de uma peça sob esforços, é sempre possível achar 
três planos de corte, ortogonais entre si, onde agem, em cada um 
deles, máx , min e um valor intermediário ( int ) entre máx e min. 
máx 
≥ int 
≥ min máx= ( máx - min)/2 
 30 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
VARIAÇÃO DAS TENSÕES NORMAIS E DE CISALHAMENTO 
COM O PLANO DE CORTE NA TRAÇÃO PURA 
Para cada ponto de uma peça sob esforços, é sempre 
possível achar três planos de corte, ortogonais entre si, 
onde agem, em cada um deles, máx , min e um valor 
intermediário ( int ) entre máx e min. 
máx 
≥ int 
≥ min 
𝑭 
𝑭 
P 
Planos de corte 
passando por P, 
ortogonais entre 
si e onde = 0 
máx= 1 
min= 0 
int= 0 
P 
 31 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
VARIAÇÃO DAS TENSÕES NORMAIS E DE CISALHAMENTO 
COM O PLANO DE CORTE NA TRAÇÃO PURA 
𝑭 
𝑭 
P 
Plano de corte passando 
por P, fazendo 45º com os 
planos onde agem máx e 
min onde = máx 
máx= 1 
min= 0 
P 
int= 0 
máx age nos planos de corte fazendo 45º com os planos de 
corte onde agem máx e min 
máx= ( máx - min)/2 
 32 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
máx= 1 
min= 3 
 
int= 2 
 
P 
Planos de corte 
passando por P, 
ortogonais entre 
si e onde = 0 
NOMENCLATURA CONVENCIONAL PARA AS TENSÕES 
𝝈máx ,𝝈int e 𝝈min 
 
 = 3 
1, 2 
e 3 
1, 2 
e 3 
 
 33 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
𝑭𝟏 
𝑭𝟑 𝑭𝟐 
P 
P 
Planos de corte 
passando por P 
Q 
Q 
1 
3 
 
2 
 
1 
2 
 
3 
 
“RETORNO À SITUAÇÃO ORIGINAL” 
 
 34 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
Na torção de um cilindro, num plano de corte perpendicular 
ao seu eixo, passando por um ponto P em sua superfície: 
 Em todos os pontos dessa seção agem 
forças paralelas ao plano de corte 
 As forças em todas as outras direções são 
nulas 
𝑴 
P 
𝜟𝑨 
APLICAÇÃO: ESTADO DE TENSÕES NA TORÇÃO 
DE UM CILINDRO 
𝑴 
𝑴 
P 
Plano 
de corte 
𝑴 
P 
𝜟𝑨 
 35 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
Na torção de um cilindro e em todos os pontos de um plano 
de corte perpendicular ao seu eixo: 
 Agem somente tensões de cisalhamento e 
as tensões normais são nulas 
 As tensões de cisalhamento são as maiores 
que em qualquer plano de corte passando 
por qualquer ponto. 
𝑴 
P 
APLICAÇÃO: ESTADO DE TENSÕES NA TORÇÃO 
DE UM CILINDRO 
𝑴 
𝑴 
P 
Plano 
de corte 
P 
 = máx 
 36 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
Consideremos um plano de corte passando por P e 
tangente ao cilindro: 
 Neste plano todas as tensões são nulas 
 Este é então um dos planos principais 
passando por P, e nele 
= = 0 
 
𝑴 
P 
APLICAÇÃO: ESTADO DE TENSÕES NA TORÇÃO 
DE UM CILINDRO 
𝑴 
𝑴 
P Plano tangente 
ao cilindro no 
ponto P. 
 
= 0 
 = máx 
 
= = 0 
 37 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
• O plano onde age máx é o plano ACFD e faz 45º com os planos onde 
agem e ; 
• Os planos principais são ortogonais entre si; 
• O plano onde age é o plano ABED é o plano 
CBEF 
• O plano tangente ao cilindro é o plano ABC, onde = máx = 0 
 
𝑴 
P 
APLICAÇÃO: ESTADO DE TENSÕES NA TORÇÃO 
DE UM CILINDRO 
P = 0 
 = máx 
A 
45º 
F 
E 
D 
C 
B 3 
 
45º 
1 
 38 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
EXERCÍCIO 
1. Na figura anterior, o triângulo ABC é isósceles e AB = BC. 
Considerando o equilíbrio de forças na direção vertical na 
Figura anterior, demonstrar que = - 3 
. 
 
2. Considerando o equilíbrio de forças na direção horizontal 
na figura anterior, demonstrar que a direção das tensões 
e 3 são as mostradas na figura, e que = - 3 
= máx. 
 
3. Demonstrar que no plano de corte passando por P, e 
paralelo ao eixo do cilindro, a situação é idêntica à do plano 
ACFD, onde = 0 e = máx 
 39 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
O estado de tensões em todos os pontos da superfície de 
um cilindro sob torção é então aquele mostrado na figura 
abaixo: 
APLICAÇÃO: ESTADO DE TENSÕES NA TORÇÃO 
DE UM CILINDRO 
𝑴 
𝑴 
P 
Plano 
de corte 
3 
𝟏 
 
2 = 0 
3 
𝟏 
 
45º 45º 
 = 3 
= máx. 
 40 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
EXERCÍCIO 
1. Considerando um cilindro, comparar as posições dos 
planos onde age na tração e na torção. 
 
2. Considerando um cilindro, comparar as posições dos 
planos onde age máx na tração e na torção. 
 
3. Comparar os valores de máx na tração e na torção, em 
termos das tensões , e 3 . 
 41 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
ESTADO DE TENSÕES EM DUAS DIMENSÕES 
3 
𝟏 
 
2 = 0 
3 
𝟏 
 
45º 45º = 3= máx. 
Torção pura 𝑴 
𝑴 
1 
3= 0 
2= 0 
Tração pura 𝑭 
𝑭 
Na tração pura, a situação é uniaxial, com duas tensões 
principais nulas; 
Na torção, a situação é diversa, pois só uma das tensões 
principais é nula. 
 42 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
ESTADO DE TENSÕES EM DUAS DIMENSÕES 
3 
𝟏 
 
2 = 0 
3 
𝟏 
 
45
º 
45
º 
= 3= máx 
Torção pura 𝑴 
𝑴 
A situação da torção é encontrada comumente no carregamento de 
chapas finas, que ocorre basicamente no plano da chapa; 
Nessa situação, é comum desconsiderar a tensão principal normal ao 
plano da chapa nula, e tomar o estado de tensões somente em duas 
dimensões; 
Tomam-se as tensões principais sempre como 𝛔𝟏 e 𝛔𝟐, mesmo se uma 
delas for negativa e, assim, menor que 𝛔𝟑 = 𝟎 
𝟏 
 
𝟏 
 
2 
2 
3 = 0 
 43 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
ESTADO DE TENSÕES EM DUAS DIMENSÕES 
• Todos os planos de corte são ortogonais ao plano da chapa; 
• A análise da variação das tensões e com a posição do plano de 
corte pode assim ser executada a partir da situação descrita no 
desenho abaixo; 
• O ângulo 𝜶 será positivo na direção mostrada. 
𝟏 
 
𝟏 
 
2 
2 
3 = 0 
Plano 
de corte 
2 
𝟏 
 
 
 
 
𝜶 
 44 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
2 
𝟏 
 
 
 
 
𝜶 
A 
C B 
CÁLCULO DE 𝝈 e 𝝉 NO ESTADO DE TENSÕES EM 
DUAS DIMENSÕES 
Para tração pura: 
No desenho abaixo: 
Demonstrar que, no estado de tensões em duas 
dimensões: 
Para = 0 as equações acima recaem no caso de 
tração pura. 
 45 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
EXERCÍCIO 
• Tomando = 1 GPa e = 0,2 GPa, variar o 
ângulo α de 10 em 10º desde α = 0º até α = 360º e 
calcular os valores de e de para todos esses 
ângulos. 
• Tomando um gráfico com na abcissa e na 
ordenada (na mesma escala), locar os pontos 
encontrados em seus cálculos. 
2 
𝟏 
 
 
 
 
𝜶 
A 
C B 
 46 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
CÁLCULO DE 𝝈 e 𝝉 NO ESTADO DE TENSÕES EM 
TRÊS DIMENSÕES 
Para o caso de três dimensões, e onde , e , a 
situação para a determinação de e de em qualquer plano 
de corte é feita da mesma forma que para duas dimensões; 
 
A situação é muito mais complexa matematicamente, e foi 
abordada por Cauchy, utilizando um desenho em 3D (o 
tetraedro de Cauchy); 
 
No nosso curso, não vale a pena cobrirmos todos os detalhes 
da demonstração, que pode ser vista em livros adequados 
(Apostila Prof. Jayme Ferreira) 
 47 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
𝑭𝟏 
𝑭𝟑 𝑭𝟐 
P 
P 
Planos de corte 
passando por P 
Q 
Q 
1 
3 
 
2 
 
1 
2 
 
3 
 
“RETORNO À SITUAÇÃO ORIGINAL” 
, e 
 
 
 48 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES 
 
 
 
d 
 
 
W 
 
W d 
 
 49 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
K
t 
d/w 
W d 
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES 
 
 50 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
1
1,4
1,8
2,2
2,6
3
0 0,06 0,12 0,18 0,24 0,3
K
t 
r/d 
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES 
 
 51 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
1
1,4
1,8
2,2
2,6
3
0 0,06 0,12 0,18 0,24 0,3
K
t 
r/d 
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES 
 52 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
CONCENTRAÇÃODE TENSÕES 
 
 53 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES 
 
 
 
W 2a 
 
2a 
 
 
 54 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
 
 
W 
 
W 
 
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NA REGIÃO DE 
APLICAÇÃO DE ESFORÇOS 
 55 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NA REGIÃO DE 
APLICAÇÃO DE ESFORÇOS 
 
W W 
 
 
 56 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
𝑭𝟏 
𝑭𝟑 𝑭𝟐 
P 
P 
Planos de corte 
passando por P 
Q 
Q 
1 
3 
 
2 
 
1 
2 
 
3 
 
“RETORNO À SITUAÇÃO ORIGINAL” 
, 
 e 
 
 57 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
CONSEQUÊNCIAS IMPORTANTES DO PRINCÍPIO 
DE ST. VENANT 
Na região de aplicação de tensões, ocorrem variações locais na 
distribuição de tensões. De acordo com St Venant, a uma certa 
distância desta região, a distribuição de tensões independe dessas 
alterações locais; 
 
Isto significa que, na região de aplicação de tensões, pode-se aplicar 
qualquer sistema estaticamente equivalente (mesmas resultantes de 
forças e momentos), sem alterar a distribuição de tensões longe da 
região de aplicação de tensões.; 
 
Os dois pontos acima são muito utilizados na análise de tensões, 
especialmente em situações complexas. 
 58 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
APLICAÇÃO: TENSÕES DE ATRITO 
𝑭 
𝑭 
A 
H 
G 
F E 
D C 
B 
𝑮 
𝑭 𝑮
𝝉
De acordo com Coulomb: 
Dividindo ambos os lados pela área de 
contato EFGH, e tomando o módulo 
das forças, pode-se escrever: 
 59 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
APLICAÇÃO: TENSÕES DE ATRITO 
 é o “coeficiente de atrito” de Coulomb e depende dos 
materiais em contato, da velocidade de deslocamento entre 
os corpos em contato, da rugosidade das superfícies, 
lubrificantes, etc.. 
Para atritos muito baixos, com boa lubrificação, etc, é da 
ordem de 0,005 a 0,01; para situações onde o atrito é alto, 
 pode chegar a valores bem mais altos (0,4 a 0,7). 
Tensões de atrito agem nas superfícies dos materiais e 
assim alteram os estados de tensão próximos a essas 
superfícies, em relação à situação “longe” desta superfície 
(Proncípio de St. Venant). 
 60 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
𝑭 
P 𝑨𝟏 
𝑭 
𝒏 
𝜶 
𝜶 
 𝝉 
𝒕 
 𝝈 
APLICAÇÃO: CÍRCULO DE MOHR PARA TRAÇÃO 
Já foi feito um exercício variando o ângulo 
α de 10 em 10º, desde α = 0º até α = 360º, 
calculando os valores de e de para 
todos esses ângulos. A seguir, foi feito um 
gráfico com nas ordenada e na 
ordenada (na mesma escala), para todos 
pares de pontos encontrados nos cálculos. 
 61 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
APLICAÇÃO: CÍRCULO DE MOHR PARA TRAÇÃO 
𝜶 = 𝟎º, 𝝈 = 𝝈𝟏, 𝝉 = 𝟎 
𝜶 = 𝟗𝟎º, 𝝈 = 𝝈𝟐 = 𝝈𝟑 = 𝟎, 𝝉 = 𝟎 
𝜶 = 𝟒𝟓º, 𝝈 = 𝝈𝟏 𝟐 , 𝝉 = 𝝉𝒎á𝒙 = 𝝈𝟏 𝟐 
𝝉 
𝝈 
𝜶 = −𝟒𝟓º, 𝝈 = 𝝈𝟏 𝟐 , 𝝉 = 𝝉𝒎á𝒙 = −𝝈𝟏 𝟐 Exercício: desenhar, no corpo 
de prova de tração, os 4 planos 
de corte correspondentes aos 
pontos mostrados no desenho. 
 62 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
APLICAÇÃO: CÍRCULO DE MOHR PARA TRAÇÃO 
𝒕𝒈𝜶 = 𝝉 𝝈 
Exercício: Mostrar o ângulo α 
para os 4 pontos destacados na 
figura anterior, no desenho do 
círculo de Mohr. 
𝝉 
𝝈 
𝝉 
𝝈 
𝜶 
𝒕𝒈𝜶 = 𝝉 𝝈 
𝒕𝒈𝜶 = ( ) ( ) 
O ângulo α do desenho no 
corpo de prova corresponde ao 
ângulo α mostrado no desenho 
acima. 
 63 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
Já foi feito o exercício variando o ângulo α de 10 
em 10º desde α = 0º até α = 360º, calculando os 
valores de e de para todos esses ângulos, e 
locando esses valores num gráfico com na 
abcissa e na ordenada (na mesma escala). 
2 
𝟏 
 
 
 
 
𝜶 
A 
C B 
APLICAÇÃO: CÍRCULO DE MOHR PARA 2D 
 64 TENSÕES - Prof. Paulo Cetlin 
APLICAÇÃO: CÍRCULO DE MOHR PARA 2D 
𝜶 = 𝟎º, 𝝈 = 𝝈𝟏, 𝝉 = 𝟎 
𝜶 = 𝟗𝟎º, 𝝈 = 𝝈𝟐, 𝝉 = 𝟎 
𝜶 = 𝟒𝟓º, 𝝈 = (𝝈𝟏+𝝈𝟐) 𝟐 , 
𝝉 = 𝝉𝒎á𝒙 = (𝝈𝟏−𝝈𝟐) 𝟐 
𝝉 
𝝈 
Exercícios: 
1. desenhar, na chapa submetida às 
tensões 𝝈𝟏𝒆 𝝈𝟐 os 4 planos de corte 
correspondentes aos pontos 
mostrados no desenho; 
2. desenhar o círculo de Mohr para 2 
D, quando 𝝈𝟏 > 𝟎 𝒆 𝝈𝟐