Lista de Exercício - Integrais Duplas

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A
B
C
D
E
1 Marcar para revisão
Determine o valor de 
1
∫
0
2
∫
0
(2yx + 3yx2) dxdy
1
3
4
6
8
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para resolver essa integral dupla, primeiro integramos a função em relação a x, mantendo y
constante. A integral de em relação a x é e a integral de em relação a x é .
Após a integração, substituímos x por 2 e depois por 0 e subtraímos os resultados. Isso nos
dá . Em seguida, integramos essa função em relação a y, de 0 a 1. A integral de
 em relação a y é e a integral de em relação a y é . Substituímos y por 1 e
depois por 0 e subtraímos os resultados. Isso nos dá . Portanto, o valor
da integral dupla é 6.
2yx yx2 3yx2 yx3
2y2 + 2y3
2y2 y32
3
2y3 y41
2
+ = + = 12
3
1
2
4
6
3
6
Questão
Correta
Incorre
Em bra
1 2
6 7
Lista de exercícios Integrais Duplas Sair
18/10/2025, 18:55 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f407aa579fbf5848366f80/gabarito/
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A
B
C
D
E
A
B
2 Marcar para revisão
Determine o valor da integral  , sendo S a área definida pelas retas x +y - 4 =
0, x = y e 0 ≤ x≤ 3. 
∬
S
 (x + 2y)dx dy


46
3


56
3


76
3


86
3


96
3
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A questão pede para determinar o valor da integral dupla , onde S é a
área definida pelas retas x + y - 4 = 0, x = y e 0 ≤ x ≤ 3. Para resolver essa questão, é
necessário aplicar o conceito de integração dupla, que é uma extensão da integral definida
para funções de duas variáveis. Ao realizar os cálculos, chegamos ao valor de , que
corresponde à alternativa C.
∬
S
 (x + 2y)dx dy
76
3
3 Marcar para revisão
A integração dupla é uma das ferramentas fundamentais para a análise de funções de duas
variáveis e, portanto, para o estudo da geometria analítica. Determine a área dada pela integral 
, em unidade de valores, (u.v.).∫ 4
1
∫ 2
−1
(2x + 6x2y) dydx
234.
134.
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C
D
E
321.
423.
243.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Do enunciado temos que:
4 Marcar para revisão
A integração dupla não iterada é usada quando a função integranda é expressa em coordenadas
polares ou outras coordenadas curvilíneas. Utilizando coordenadas polares o valor da área dada
pela integral dupla 
é:
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A
B
C
D
E


.a2π
5


.a3π
5


.a4π
5


.a5π
5


.a6π
5
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Substituindo por coordenadas polares :
E
Resolvendo por integral:
r, θ
0 ≤ θ ≤ πe0 ≤ r ≤ a
y = √a2 − x2
y2 + x2 = a2
5 Marcar para revisão
A integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes
mínimos e máximos. Determine o valor do volume formado pelo parabolóide  ez = 4 − x2 − y2
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A
B
C
D
E
pelo plano , em unidades de valor, (u.v.).xy
8π.


.2π
3
π.


.3π
2
4π.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
O volume é dado por:
Do enunciado temos:
  e  
O volume será dado por:
Substituindo por coordenadas polares: 
z = 4 − x2 − y2 = 0
x2 + y2 = 4
0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ √4 − x2
r, θ
0 ≤ θ ≤ π/2 e 0 ≤ r ≤ 2
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A
B
C
D
E
6 Marcar para revisão
Determine o volume do sólido que fica abaixo da paraboloide e acima do disco
.
z  = 9 − x2 − y2
x2 + y2 =  4
28π
54π
38π
14π
18π
Resposta correta
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Gabarito Comentado
O volume do sólido que fica abaixo da paraboloide e acima do disco
 é dado pela integral tripla da função no domínio do disco. Ao resolver essa
integral, obtemos o valor de , que corresponde à alternativa A.
z  = 9 − x2 − y2
x2 + y2 =  4 z
28π
7 Marcar para revisão
Determine , usando a integral dupla na forma polar, onde S é a região
definida por .
∬
S
sen (x2 + y2)dx dx
x2 + y2 ≤ π e x ≥ 0
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A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
π
2π
3π
4π
5π
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A questão pede para determinar a integral dupla de na forma polar,
onde a região S é definida por . A integral dupla na forma polar é uma
técnica utilizada para simplificar a resolução de integrais duplas quando a região de
integração é mais facilmente descrita em coordenadas polares. Neste caso, a resposta
correta é , que é a alternativa B.
∬
S
sen (x2 + y2)dx dx
x2 + y2 ≤ π e x ≥ 0
2π
8 Marcar para revisão
As integrais duplas podem ser usadas para calcular a massa total de um objeto em três
dimensões. Determine a massa, em u.m., da lâmina que ocupa a região  e tem densidade 
 onde .
D ρ
D = {(x, y) ∣ 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 1}, ρ(x, y) = xy2
4/3.
4.
3.
3/4.
1.
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A
B
C
D
E
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Lembrando que:
Região definida:
Montando a integral:
m = ∬
D
ρ(x, y)dA
0 ≤ x ≤ 2
−1 ≤ y ≤ 1
ρ(x, y) = xy2
m = ∬
D
ρ(x, y)dA = ∫
2
0
∫
1
−1
xy2dydx = ∫
2
0
x
∣
∣
∣
1
−1
dx = ∫
2
0
x( − (− )) dx
m = ∫
2
0
xdx = ( )
∣
∣
∣
2
0
= ( ) =  u.m. 
y3
3
1
3
1
3
2
3
2
3
x2
2
2
3
4
2
4
3
9 Marcar para revisão
A integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes
mínimos e máximos. Seja  determine o volume do sólido  limitado pelo plano  e
pelo paraboloide .
a > 0 S z = 0
z = a − x2 − y2


.πa2
3


.3πa2
2


.πa2
2


.πa
2


.a2
2
Resposta correta
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Gabarito Comentado
O volume o que fica embaixo dessa função até o plano  vai ser:xy
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A
B
C
D
E
Onde  é aquela região da função onde :
Isso é uma circunferência, de centro na origem e raio .
Como temos uma circunferência, vamos mudar para coordenadas polares.
O intervalo de integração, para um círculo de raio  será:
Integrando:
D z = 0
z = a − x2 − y2
0 = a − x2 − y2
x2 + y2 = a
√a
x = r cos θ
y = r sen θ
J = r
√a
D = {(r, θ) ∣ 0 ≤ r ≤ √a; 0 ≤ θ ≤ 2π}
V = ∫ 2π
0 ∫ √a
0 [a − (r cos θ)2 − (r sen θ)2] rdrdθ = ∫ 2π
0 ∫ √a
0 [ar − r3] drdθ
V = ∫
2π
0
−
∣
∣
∣
r=√a
r=0
dθ = ∫
2π
0
[( − )] dθ = ∫
2π
0
( − ) dθV = ∫
2π
0
dθ =
∣
∣
∣
2π
0
= (2π − 0) =
ar2
2
r4
4
a√a
2
2
√a
4
4
a2
2
a2
4
a2
4
a2θ
4
a2
4
a2π
2
10 Marcar para revisão
Determine a massa de uma lâmina que ocupa a região definida por S e tem uma densidade de
massa superficial . Sabe-se que δ(x, y)  = 2x + 4y S  = {(x, y)/ 0 ≤ y ≤ 4 e 0 ≤ x ≤ 2y}
128
256
512
1024
2049
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
18/10/2025, 18:55 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f407aa579fbf5848366f80/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f407aa579fbf5848366f80/gabarito/ 9/10
A questão pede para determinar a massa de uma lâmina que ocupa uma região definida e
possui uma densidade de massa superficial dada pela função . A região é
definida pelas condições e . Ao resolver a integral dupla que
representa a massa da lâmina, considerando a densidade de massa superficial e a região
definida, obtemos o valor de 256, que é a alternativa correta.
δ(x, y)  = 2x + 4y
0 ≤ y ≤ 4 0 ≤ x ≤ 2y
18/10/2025, 18:55 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f407aa579fbf5848366f80/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f407aa579fbf5848366f80/gabarito/ 10/10