Lista de Exercício - Integrais Triplas

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A
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C
D
E
1 Marcar para revisão
A integração é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes mínimos e máximos.
Determine o valor do volume do sólido que está dentro tanto do cilindro , como da esfera
 .
x2 + y2 = 1
x2 + y2 + z2 = 4


(8 − 3 ) .4π
3
3
2


π(8 − 3 ) .
3
2


(8 − 3 ) .2π
3
3
2


(8 − 3 ) .π
2
3
2


(8 − 3 ) .5π
3
3
2
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A região de integração é dada por coordenadas cilíndricas:
Em coordenadas cilíndricas, temos a região sólida dentro do cilindro delimitada acima e abaixo pela esfera
 .
Calculando a integral:
E = {  (r,  θ,  z)|  0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1,   − √4 − r2 ≤ z ≤ √4 − r2 }
r2 + z2 = 4
18/10/2025, 19:19 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f40d37519b31f78298e222/gabarito/
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A
B
C
D
E
Logo,
2 Marcar para revisão
As integrais podem ser usadas para calcular a massa total de um objeto em três dimensões. Determine o
centro de massa de um sólido de densidade constante limitado abaixo pelo plano , acima pelo cone
  e dos pelo cilindro .  
z = 0
z = r,  r ≥ 0 r = 1


(0,  0, ) .3
8
(0,  0,  0) .


( ,   ,   ) .3
8
3
8
3
8


( ,  0, ) .3
8
3
8


(0,   , 0) .3
8
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Transformando em coordenadas cilíndricas:
Definindo os limites de integração a partir do enunciado:
A massa, considerando a densidade constante, é dada por:
Calculando os momentos:
(x, y, z) → (r, θ, z)
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
⎧⎪
⎨
⎪⎩
0 ≤ z ≤ r
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2π
m = ∫ 2π
0 ∫ 1
0 ∫ r
0 ρrdzdrdθ = ρ ∫ 2π
0 ∫ 1
0 r ⋅ rdrdθ = ρ ∫ 2π
0 ( )∣
∣
1
0
dθ = ρ ⋅ 2π ⋅ = ρr3
3
1
3
2π
3
18/10/2025, 19:19 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f40d37519b31f78298e222/gabarito/
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A
B
C
D
E
Como o sólido é simétrico em relação ao eixo z, temos que:
Logo,
Mxy = ρ ∫ 2π
0 ∫ 1
0 ∫ r
0 z ⋅ rdzdrdθ = ρ ∫ 2π
0 ∫ 1
0 ( )∣
∣
r
0
rdrdθ = ρ ∫ 2π
0 ∫ 1
0 drdθ = ρ ⋅ 2π ⋅ ( )∣
∣
1
0
= ρ
z2
2
r3
2
r4
8
π
4
x̄ = ȳ = 0
z̄ = = =
Mxy
m
ρ π
4
ρ 2π
3
3
8
(x̄, ȳ , z̄) = (0, 0, )3
8
3 Marcar para revisão
Determine o valor de 
1
∫
3
1
∫
−1
2
∫
0
 (x + 2y − 3z)dxdydz
30
40
50
60
70
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A integral tripla dada é uma operação matemática que envolve a integração de uma função de três
variáveis, neste caso, a função (x + 2y - 3z), sobre um intervalo específico para cada variável. Ao resolver
a integral tripla, obtemos o valor de 40. Portanto, a alternativa correta é a letra B, que corresponde ao
valor 40.
4 Marcar para revisão
A integração tripla é uma das ferramentas fundamentais para o cálculo de volumes. Determine o volume de
 , sabendo que  compreende a região contida dentro do cilindro , acima do plano∭
 
E
x2dV E x2 + y2 = 1
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A
B
C
D
E
  e abaixo do cone .  z = 0 z2 = 4x2 + 4y2


.2π
5


.2
5


.π
5


.5π
2
π.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Transformando em coordenadas cilíndricas:
Definindo os limites de integração:
Sabemos que  e que , e que a região está dentro do cilindro , logo:
Como a região está entre o plano  e abaixo do cone , temos:
Como não temos restrição para o ângulo :
Montando a integral,
Calculando a integral, temos:
(x, y, z) → (r, θ, z)
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
x = r cos θ y = r sen  θ  x2 + y2 = 1
x2 + y2 ≤ 1
(r cos θ)2 + (r sen θ)2 ≤ 1
r2(cos2 θ + sen2 θ)

1
≤ 1
0 ≤ r ≤ 1
z = 0 z2 = 4x2 + 4y2
0 ≤ z2 ≤ 4x2 + 4y2
0 ≤ z2 ≤ 4(r cos θ)2 + 4(r sen θ)2
0 ≤ z2 ≤ 4r2(cos2 θ + sen2 θ)

1
0 ≤ z ≤ 2r
θ
0 ≤ θ ≤ 2π
Lista de exercícios Integrais Triplas Sair
18/10/2025, 19:19 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f40d37519b31f78298e222/gabarito/
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A
B
C
D
E
Logo,
5 Marcar para revisão
Determine o valor da integral onde é o sólido que ocupa a região formada por um plano de
equações e os planos coordenados.
∫ ∫
V
∫  y dxdydz V
x + y + z = 4
4
8
16
32
64
Resposta correta
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Gabarito Comentado
O volume do sólido é dado por . Portanto, a
resposta correta é 32.
V = ∫ ∫
V
∫  1 dxdydz = ∫ 2
0 ∫ 2−x
0 ∫ 4−x−y
0 1 dydzdx = 8
6 Marcar para revisão
As integrais são poderosas ferramentas da matemática, e são usadas em uma variedade de campos, desde a
física e a engenharia até a economia e a biologia. Determine a massa do sólido contido no primeiro octante
limitada pelos planos coordenados e pelo plano , sabendo que a densidade do sólido é 
 .
x + y + z = 2
ρ(x,  y, z) = 2x
18/10/2025, 19:19 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f40d37519b31f78298e222/gabarito/
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A
B
C
D
E
1.


.1
3


.5
3


.2
3


.4
3
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Desenhando os limites de integração:
Onde
Ao fixar , temos que  vai variar:
Para entender isso, vamos olhar o plano , que é limitado pelos eixos coordenados e pela reta  
.Para um ponto  determinado, a variável , varia:
A massa é dada por:
Logo,
0 ≤ x ≤ 2
x y
0 ≤ y ≤ 2 − x
xy
y = 2 − x (x, y) z
0 ≤ z ≤ 2 − x − y
m = 4
3
18/10/2025, 19:19 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f40d37519b31f78298e222/gabarito/
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A
B
C
D
E
7 Marcar para revisão
Seja o sólido limitado pelos planos  e pelo paraboloide . Sabe-se que sua densidade
volumétrica de massa é dada pela equação . Marque a alternativa que apresenta a integral
tripla que determina o momento de inércia em relação ao eixo z. 
z  = 9 z  = 25 − x2 − y2
δ (x, y, z)  = x2y2
4
∫
0
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
0
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
4
∫
−4
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
9
 x2y2dxdydz
5
∫
−5
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
9
 (x2 + y2)x2y2dxdydz
4
∫
−4
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
9
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
4
∫
0
√16−x2
∫
0
25−x2−y2
∫
0
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A integral tripla correta para determinar o momento de inércia em relação ao eixo z é dada por
. Esta integral considera os limites do sólido, que é limitado
pelos planos e pelo paraboloide , e a densidade volumétrica de massa, que é
dada pela equação . A integral também leva em conta o momento de inércia, que é
proporcional ao quadrado da distância ao eixo de rotação, representado por na integral.
4
∫
−4
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
9
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
z  = 9 z  = 25 − x2 − y2
δ (x, y, z)  = x2y2
x2 + y2
8 Marcar para revisão
Determine o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico e pelos planos x = 4, z = 6 e z = 0.x = y2
18/10/2025, 19:19 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f40d37519b31f78298e222/gabarito/
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A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
16
32
64
128
256
Resposta correta
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Gabarito Comentado
O volume do sólido é determinado pela integração tripla da função 1 no domínio definido pelo cilindro
parabólico e pelos planos. O cilindro parabólico é definido pela equação , que nos dá os limites de
y em termos de x. Os planos x = 4, z = 6 e z = 0 definem os limites de x e z. Ao realizar a integração tripla
com esses limites, obtemos o volume do sólido, que é 64.
x = y2
9 Marcar para revisão


Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies
bidimensionais. Dessa forma, calcule a integral .∫ π
0 ∫ π
0 ∫ π
0 cos (u + v + w) dudvdw


.π
2
π.
2π.


.3π
2
0.
18/10/2025, 19:19 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f40d37519b31f78298e222/gabarito/
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A
B
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Integrando de dentro para fora.
Primeiro, integrando em relação ao :
Como a derivada de   pela regra da cadeia é:
Voltado a integral:
Segundo, integrando em relação ao :
Terceiro, integrando em relação ao :
Sabendo que  para qualquer 
Logo:
Portanto,
Logo,
u
sen  (u + v + w)
(sen  (u + v + w))′ = cos  (u + v + w) ∙ (u + v + w) ′ = cos  (u + v + w) ∙ (1 + 0 + 0) =
= cos  (u + v + w)
v
sen (kπ) = 0 k ∈ Z
sen (3π) = sen (2π) = sen (π) = sen (0) = 0
= [−sen (3π) + 2sen (2π) − sen (π) − (−sen (2π) + 2sen (π) − sen (0))] = 0
10 Marcar para revisão


Determine o valor da integral , onde V está contido na região definida por 
.  
∭
V
 64z dxdydz
{(r,φ, θ) ∈ R3/ 1 ≤ r ≤ 2,  0 ≤ θ ≤  e 0 ≤ φ ≤ }π
4
π
4
10π
15π
18/10/2025, 19:19 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f40d37519b31f78298e222/gabarito/
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C
D
E
20π
25π
30π
Resposta correta
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Gabarito Comentado
O valor da integral tríplice, dada a região definida, é calculado utilizando as coordenadas esféricas. Ao
realizar a integral, considerando os limites de integração dados, chegamos ao valor de , que
corresponde à alternativa B.
15π
18/10/2025, 19:19 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f40d37519b31f78298e222/gabarito/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/68f40d37519b31f78298e222/gabarito/ 10/10