Sequências e Progressões Matemáticas

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Notícias e Conteúdos para Concursos Públicos – Material de Estudo 
 
 
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x = −b ± √ b2 – 4ac ⇒ b = −(−1) ± √(−1)2 – 4. 2. −1 
 2a 2 . 2 
b = +3 ± √ 1 + 8 ⇒ b = 1 ± 3 ⇒ b’ = 1 
 4 4 b”= –1/2 
 b = 1 ⇒ a = 1 PA: (1, 1, 1) 
a = b2 PG:: (1, 1, 1) (PG constante) 
 b = –1/2 ⇒ a = 1/4 PA: (1, 1/4, –1/2) 
 (B) PG:: (1, –1/2, 1/4) 
 
46. Se a sequência (4x, 2x + 1, x − 1) é uma PG, então o valor 
de x é: 
a) −1/8 b) −8 c) −1 d) 8 
2x + 1 = √4x(x − 1) ⇒ (2x + 1)2 = 4x2 – 4x 
4x2 + 4x + 1 = 4x2 – 4x ⇒ 4x + 4x = –1 
8x = –1 ⇒ x = –1/8 (A) 
 
47. A soma do 2°, 4° e 7° termos de uma PG é 370; a soma do 
3°, 5° e 8° termos é 740. Podemos afirmar que o 1° termo e a 
razão da PG, são: 
a) 3 e 2 b) 4 e 2 c) 5 e 2 d) 6 e 1,5 
a2 + a4 + a7 = 370 
a3 + a5 + a8 = 740 ⇒ a2.q + a4.q + a7.q = 740 
q(a2+ a4 + a7) = 740⇒ q.370 = 740⇒ q = 740/370⇒ q = 2 
a2 + a4 + a7 = 370 ⇒ a1.q+ a1.q3 + a1 .q6 = 370 
a1.2+ a1.23 + a1 .26 = 370 ⇒ 2a1 + 8a1 + 64a1 = 370 
74a1 = 370 ⇒ a1 = 370/74 ⇒ a1 = 5 (C) 
 
48. O número de termos da PG 





729,...,1,
3
1
,
9
1
 é: 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 81 
q = 1/3 = 1 . 9 = 3 
 1/9 3 1 
an = a1 . qn – 1 ⇒ 729 = 1 . 3n – 1 ⇒ 729 . 9 = 3n – 1 
 9 
36 . 32 = 3n – 1 ⇒ 38 = 3n – 1 ⇒ n – 1 = 8 ⇒ n = 9 (B) 
 
49. O valor de x na equação 
4
27
5
1
5
3
5
9
x =




 +++⋅ L é: 
a) 1 b) 3/5 c) 4/3 d) 5/2 e) 45/8 
q = 3/5 = 3 . 5 = 3/9 = 1/3 
 9/5 5 9 
Sn = a1 = 9/5 = 9/5 = 9 . 3 ⇒ Sn = 27 
 1 – q 1 – 1/3 2/3 5 2 10 
x . 27 = 27 ⇒ x = 27 . 10 = 10 ⇒ x = 5/2 (D) 
 10 4 4 27 4 
 
50. (EEAR) A soma dos infinitos termos da PG , ,... é: 
 2 3 
a) 3/2 b) 2/3 c) 2 d) 3 
 3 2 
q = /3 = . 2 = 2/3 
 /2 3 
Sn = a1 = /2 = /2 = . 3 ⇒ Sn = 3 (D) 
 1 – q 1 – 2/3 1/3 2 1 2 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
1. PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO OU PRINCÍPIO 
 FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
 Se um evento é composto por duas etapas sucessivas 
independentes de tal maneira que o número de possibilidades na 
1ª etapa é m e o número de possibilidades na segunda etapa é 
n, então o número total de possibilidades de o evento ocorrer é 
dado pelo produto m . n. 
 
Ex 1: Uma pessoa quer viajar de Belém a Porto Alegre passando 
por São Paulo. Sabendo que há 5 vôos diferentes de Belém para 
São Paulo e 4 vôos diferentes de São Paulo para Porto Alegre, de 
quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Belém a 
Porto Alegre? 
 
 
 
 
 
 
 
Total de possibilidades: 5 . 4 = 20 maneiras diferentes. 
 
São elas: 1A, 1B, 1C, 1D , 2A, 2B, 2C, 2D, 3A, 3B,3C, 3D, 
 4A, 4B, 4C, 4D , 5A, 5B, 5C, 5D. 
Portanto, nas condições do problema, há 20 maneiras 
possíveis de viajar de Belém a Porto Alegre, passando por São 
Paulo. 
 
Ex 2: Ao lançarmos uma moeda e um dado, temos as seguintes 
possibilidades para o resultado (sendo Ca = cara e Co = coroa): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que o evento tem 2 etapas, com 2 
possibilidades em uma e 6 possibilidades em outra, totalizando 
2 . 6 = 12 possibilidades. 
 
Ex 3: Com os algarismos 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7: 
a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar? 
___7__ ___8__ ___8__ 
centena dezena unidade 
Há 7 possibilidades para a centena ( 0 não serve), 
8 possibilidades para a dezena e 8 possibilidades para a unidade. 
Portanto podemos formar 7 . 8 . 8 = 448 números. 
 
b) Quantos nºs de 3 algarismos distintos podemos formar? 
___7__ ___7__ ___6__ 
centena dezena unidade 
Se os algarismos são distintos, há 7 possibilidades para a 
centena ( 0 não serve), 7 possibilidades para a dezena e 6 
possibilidades para a unidade. Portanto podemos formar 7 . 
7 . 6 = 294 números com algarismos distintos. 
 
 
2. PERMUTAÇÃO SIMPLES E FATORIAL 
 Permutar é sinônimo de trocar, intuitivamente, nos 
problemas de contagem, devemos associar à permutação a 
noção de misturar. 
2 
possibilidades 
6 
possibilidades 
12 
possibilidades 
Ca 
Co 
Ca1 
Co1 
Ca2 
Co2 
Ca3 
Co3 
Ca4 
Co4 
Ca5 
Ca6 
Co5 
Co6 
1 
1 
2 
2 
3 
3 
4 
4 
5 
5 
6 
6 
5 possibilidades 4 possibilidades 
5 
Belém Porto 
Alegre 
São 
Paulo C 
D 
B
 
A 1 
2 
3 
4