Matematica-1400-Questoes-Resolvidas-e-Gabaritadas-163

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA BÁSICA, FINANCEIRA & RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROFESSOR: PAULO DELGADO 
 
163 
negativa. Temos, portanto, quatro proposições categóricas 
possíveis. 
 As quatro proposições categóricas possíveis, em suas 
formas típicas, são dadas no quadro seguinte: 
 Proposições 
Afirmativas 
Proposições 
Negativas 
Proposições 
Universais 
Todo A é B 
(A) 
Nenhum A é B 
(E) 
Proposições 
Particulares 
Algum A é B 
(I) 
Algum A não é B 
(O) 
 
2. DIAGRAMAS DAS PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
 Geralmente os problemas com proposições categóricas 
do tipo “todo”, ”algum” (ou pelo menos um), “nenhum”, são 
resolvidos mais facilmente com base na Teoria dos Conjuntos e 
utilizando-se os Diagramas de Venn. 
 
 Vejamos a análise de cada proposição categórica: 
 
2.1. TODO A É B 
 Uma proposição do tipo “Todo A é B”, significa que, se 
um elemento pertence ao conjunto A, então pertence 
(necessariamente) ao conjunto B. 
 Ora, se todos os elementos que pertencem ao conjunto 
A também pertencem ao conjunto B, representando através do 
Diagrama de Venn, isto corresponde à inclusão do conjunto A no 
conjunto B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2. ALGUM A É B (ou Pelo menos um A é B) 
 Uma proposição do tipo “Algum A é B”, significa que, 
existe pelo menos um elemento comum aos conjuntos A e B. 
Representando através do Diagrama de Venn, corresponderá à 
interseção do conjunto A com o conjunto B. (parte sombreada 
do diagrama). 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3. NENHUM A É B 
 Uma proposição do tipo “Nenhum A é B”, significa 
que, não existe nenhum elemento comum aos conjuntos A e B, 
isto é, se um elemento pertence ao conjunto A, então não 
pertence ao conjunto B e vice-versa. Representando através do 
Diagrama de Venn, o conjunto A e o conjunto B, serão dois 
conjuntos disjuntos. 
 
 
 
 
 
 
2.4. ALGUM A NÃO É B(ou Pelo menos um A é não é B) 
 Uma proposição do tipo “Algum A não é B”, significa 
que, existe pelo menos um elemento que pertence ao conjunto A 
e não pertence ao conjunto B. Representando através do 
Diagrama de Venn, corresponde à diferença entre os conjuntos 
A e B. (A – B). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
É muito comum encontrarmos em provas de concursos 
coisas como “Dizer que não é verdade que todos os atores são 
charmosos é logicamente equivalente a...” 
Bem, dizer que não é verdade, é a mesma coisa que 
“negar”. Assim negar que todos os atores são charmosos, implica 
afirmar alguma coisa que prove que isso não é verdade. 
Vamos estudar caso a caso, ou seja, a negação para 
todo, algum e nenhum: 
 
 
3.1. Negação de “Todo A é B” 
 Se alguém lhe afirmasse que “todos os atores são 
charmosos” e você quisesse negar essa afirmação, bastaria você 
dizer “olha aqui, isso não é verdade, porque eu conheço um ator 
que não é charmoso”. Desta forma, quando alguma afirmação é 
feita sobre “todo A é B”, sua negação implica simplesmente 
encontrar “pelo menos um A que não seja B”; em outras 
palavras, negar que “Todo A é B” é a mesma 
coisa que falar “Pelo menos um A não é B” ou 
ainda, “Algum A não é B”. 
 Note-se, aqui, que nossa tendência natural 
é negar “Todo ator é charmoso”, dizendo “Nenhum 
ator é charmoso”. Mas esta não é a negação correta, pois, para 
que a primeira posição seja falsa, não é necessário que nenhum 
ator seja charmoso, mas que somente algum não seja charmoso. 
 
3.2. Negação de “Nenhum A é B” 
Da mesma forma, se alguém afirma que “Nenhum Ator 
é charmoso” e queremos negar essa sentença, precisamos 
apenas mostrar que conhecemos pelo menos um ator charmoso, 
ou seja, bastaria afirmarmos que “algum ator é charmoso”. 
Esta negação traz o mesmo tipo de provocação que a 
anterior: temos o ímpeto de negar “nenhum ator é charmoso”, 
dizendo “todo ator é charmoso”. Isso também não está 
logicamente correto, porque para que “nenhum ator é charmoso” 
não seja verdade, não é necessário que todos o sejam, mas 
basta apenas que “pelo menos um ator seja charmoso”. 
Portanto, negar que “Nenhum A é B”, é a mesma coisa que 
falar “Pelo menos um A é B” ou ainda, “Algum A é B”. 
 
 
3.3. Negação de “Algum A é B” e “Algum A não é B” 
 Nesta última situação, imagine que você escute a 
sentença “Algum ator é charmoso”. O que seria necessário para 
negá-la? Aqui, você precisaria afirmar que “nenhum 
ator é charmoso”, já que a primeira sentença 
simplesmente afirmou que “algum é”. 
 De forma análoga, se a primeira proposição 
fosse “Algum ator não é charmoso”, você negaria com 
“Todo ator é charmoso. 
Concluindo, negar que “Algum A é B” é a mesma 
coisa que afirmar que “Nenhum A é B” e negar que “Algum 
A não é B”, é a mesma coisa que afirmar que “Todo A é B”. 
 
Veja a tabela resumo a seguir: 
 
PROPOSIÇÃO NEGAÇÃO 
Todo A é B: 
“Todo ator é charmoso” 
Algum A não é B: 
“Algum Ator não é charmoso” 
Nenhum A é B: 
“Nenhum ator é charmoso” 
Algum A é B: 
“Algum ator é charmoso” 
 
A
 
B
 
NENHUM 
A É B ⇔ 
CONJUNTOS 
DISJUNTOS 
A
 
B
 
ALGUM A 
NÃO É B 
 ⇔ A – B 
A – B 
A
 
B
 
A ∩∩∩∩ B 
ALGUM A 
É B 
 ⇔A ∩∩∩∩ B 
B
 
 
A ⊂⊂⊂⊂ B 
TODO A É B 
 ⇔ 
A ⊂⊂⊂⊂ B 
A