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Tópico 06
Matemática
Noções de limites e continuidade
de funções
1. Introdução
Como já é sabido, conceitos matemáticos foram surgindo de
acordo com as necessidades da humanidade e tiveram sua
evolução atrelada à evolução de outras ciências.
O desenvolvimento teórico de grande parte do Cálculo foi feito
utilizando a noção de limite. Tome como exemplo as definições
de derivada e de integral definida independente de seu
significado geométrico ou físico. As definições são estabelecidas
usando limites.
Iniciaremos este tópico desenvolvendo uma noção intuitiva de
limite. Faremos isso estudando o comportamento de uma dada
função y = f(x) nas proximidades de um ponto que não
pertencem ao domínio da mesma.
Limites de funções.
Vamos construir uma tabela de valores de x aproximando-se de
1, pela esquerda (x 1) e os correspondentes
valores de f(x):
x 1 f(x)= x + 1
1,1 1,1 + 1=2,1
1,01 1,01 + 1=2,01
1,001 1,001 + 1=2,001
1,0001 1,0001+ 1=2,0001
Observando as tabelas, podemos verificar que “à medida que x
vai se aproximando de 1, os valores de f(x) vão aproximando-se
de 2”. A noção de proximidade pode ficar mais precisa utilizando
valor absoluto. De fato, a distância entre dois pontos quaisquer
x,y ∈ R é |x-y|.
Assim, o número 2 é chamado limite de f(x) quando x
está próximo de 1.
Neste tópico, vamos abordar problemas como este, envolvendo
limite de uma função.
2. Limite de uma função
Vimos que o Limite é uma ferramenta matemática que analisa
comportamento de uma função nas proximidades de um número
x=a e não necessariamente no valor exato x=a.
Temos a definição informal:
Definição: Suponha que f(x) seja definido quando está próximo
ao número a. (Isso significa que f é definido em algum intervalo
aberto que contenha a, exceto possivelmente no próprio a.).
Então, escrevemos:
e dizemos “o limite de f, quando x tende a a, é igual a L”.
Tornamos os valores de f arbitrariamente próximos de L (tão
próximos de L quanto quisermos), tornando x suficientemente
próximo de a (por ambos os lados de a), mas não igual a a.
Neste vídeo, apresentamos a definição de limites. Por
isso, sugerimos que o assista com bastante atenção.

https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-1-2/v/introduction-to-limits-hd
Lembre-se de analisar o comportamento da função dada,
quando ela “tende a 2” e não é exatamente 2. Desta forma, deve
ser feita a tabela com as aproximações a 2, tanto pela esquerda
(com números muito próximos a 2, porém menores que ele) e
pela direita (com números muito próximos a 2, porém maiores
que ele). Use a calculadora para fazer esta questão.
Solução:
Agora, vamos usar duas tabelas para analisar o que acontece
com o limite de f(x) quando x se aproxima de 2, isto é:
Para acrescentar ainda mais conteúdo de estudo sobre a
definição de limites, assista ao vídeo.

https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-limits-optional/v/limit-intuition-review
Observando as tabelas, podemos verificar que “à medida que x
vai se aproximando de 2, os valores de f(x) vão se
aproximando de 1”. Assim, concluímos que
Solução.
Propriedade dos Limites
Limites Laterais
Sejam f uma função definida em um domínio D (que pode ser
um intervalo ou uma reunião de intervalos).
Definição 1:
Limite à direita: Seja a ∈R tal que existem a ∈ R e (a;b) ⊂ Df. O
número real L é o limite à direita de f(x), quando x se aproxima
de a pela direita.
Definição 1- Limite à direita: Seja a ∈ R tal que existem a ∈ R e
(a;b) ⊂ Dom (f). O número real L é o limite à esquerda de f(x),
quando x se aproxima de a pela esquerda.
Notação
3. Limites no infinito e limites
infinitos
Neste item, estamos, particularmente, interessados em analisar
o comportamento de uma função, quando a variável x tende para
o infinito positivo (isto é, se x cresce indefinidamente x→∞) ou
quando ela se aproxima do infinito por valores negativo (isto é,
decresce indefinidamente, x→-∞). A experiência irá nos mostrar
que, em muitos exercícios, a função se aproximará de um valor
numérico e, em outros, poderá crescer ou decrescer
indefinidamente.
Infinito.
Para aprender um pouco mais sobre limites envolvendo
infinitos, acesse o link,

https://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites4.php
Limites Infinitos
Partindo do pressuposto de que f(x) está definida num domínio 
D, definimos as seguintes situações para limites infinitos:
Quando trabalhamos com limites infinitos, uma ou mais das
situações abaixo podem acontecer.
1)(+∞) (+∞) = +∞ ou (-∞)(-∞)= +∞
2)(-∞) (+∞) = -∞ ou (+∞)(-∞)= -∞
3)(+∞) + (+∞)= +∞ ou (-∞)+(-∞)= -∞
4)(+∞) – (+∞)=Indeterminação ou (-∞)-(-∞) = Indeterminação
5)(+∞) . k=+∞ ou (-∞).k=-∞,se k>0 e k ∈ R
6)(+∞) . k=-∞ ou (-∞).k=+∞,se khome/ap-calculus-bc/bc-limits-new/bc-1-12/v/functions-
continuous-on-all-numbers.
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https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-limits-optional/v/limit-intuition-review.
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-new/ab-limits-optional/v/limit-intuition-review.
https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/ap-calculus-bc/bc-limits-new/bc-1-12/v/functions-continuous-on-all-numbers
https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/ap-calculus-bc/bc-limits-new/bc-1-12/v/functions-continuous-on-all-numbers
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