AD2 2025 2 - Métodos Determinísticos II

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determińısticos II
Profª. Fernanda Mendonça e Profª. Cecilia Saraiva
2o Semestre de 2025
AD2
GABARITO
Questão 1:[3,0 pts] Considere a função f(x) =
1− x2
x− 2
e faça o que se pede abaixo.
a) [1,0 pto] Descreva o domı́nio de f ′(x), justificando sua resposta.
b) [2,0 pts] Determine, se existirem, pontos de máximo ou mı́nimo da função f , e o valor
de f nestes pontos, justificando.
Solução:
a) Usando a Regra do Quociente, constrúımos a função f ′(x):
f ′(x) =
(x− 2)(1− x2)′ − (x− 2)′(1− x2)
(x− 2)2
=
=
(x− 2)(−2x)− 1 · (1− x2)
(x− 2)2
=
−2x2 + 4x− 1 + x2
(x− 2)2
=
−x2 + 4x− 1
(x− 2)2
.
É uma função racional, e portanto seu denominador deve ser diferente de 0. Logo, o
domı́nio da derivada f ′(x) é
Dom(f ′(x)) = {x ∈ R : x ̸= 2}.
2
b) Pelo item anterior, temos que
f ′(x) =
−x2 + 4x− 1
(x− 2)2
.
Caso existam pontos cŕıticos onde existe a derivada, sabemos que nestes pontos temos
f ′(x) = 0. Logo,
f ′(x) =
−x2 + 4x− 1
(x− 2)2
= 0,
o que implica
−x2 + 4x− 1 = 0.
Usando a fórmula para encontrar ráızes de segundo grau, temos x1 = 2−
√
3 e x2 = 2+
√
3.
Notemos que x1 ≈ 0, 27 e x2 ≈ 3, 73. Vamos então fazer um estudo de sinal, observando
que x ̸= 2.
Para facilitar a visualização, montamos uma tabela.
x x2
−x2 + 4x− 1 −−− +++ +++ −−−−
(x− 2)2 +++ +++ +++ +++
f ′(x) = (−x2+4x−1)
(x−2)2
−−− +++ +++ −−−
Conclúımos que:
1. f é decrescente antes de x1 e crescente após x1: então x1 é um ponto de mı́nimo
local de f ;
2. f é crescente antes de x2 e decrescente após x2: então x2 é um ponto de máximo
local de f .
Para encontrar os valores, basta substituir x1 e x2 em f(x) =
1− x2
x− 2
. Temos
f(2−
√
3) =
1− (2−
√
3)2
(2−
√
3)− 2
= 2
√
3− 4 ≈ −0, 53,
e
f(2 +
√
3) =
1− (2 +
√
3)2
(2 +
√
3)− 2
= −2
√
3− 4 ≈ −7, 46.
3
Questão 2: [3,0 pts] Considere f e g duas funções deriváveis. Se f(1) = −1, f ′(1) = −3,
g(1) = 2 e g′(1) = −5, calcule as derivadas abaixo, exibindo todos os cálculos efetuados.
a) [1,0 pto] (f · g)′(1) b) [1,0 pto] [(f · g)2]′(1) c) [1,0 pto] (f 2 · g)′(1)
Solução:
a) Para calcular (f · g)′(1), utilizaremos a Regra do Produto. Assim,
(f · g)′(1) = f ′(1)g(1) + f(1)g′(1) = −3 · 2 + (−1) · (−5) = −6 + 5 = −1.
Portanto, (f · g)′(1) = −1.
b) Para calcular [(f · g)2]′(1), utilizaremos a Regra da Cadeia e o item anterior: temos um
produto ao quadrado. Assim,
[(f · g)2]′(1) =
(
2.(f · g) · (f · g)′
)
(1) = 2f(1)g(1) · (−1) = 2 · (−1) · (2) · (−1) = 4.
c) Para calcular (f 2 · g)′(1), utilizaremos a Regra do Produto, mas notemos que existe um
f 2 no produto, então no meio do caminho, precisaremos novamente da Regra da Cadeia.
Assim,
(f 2 · g)′(1) =
(
(f 2)′ · g + (f 2) · g′
)
(1) =
(
2f · f ′ · g + (f 2) · g′
)
(1) =
= 2f(1)f ′(1)g(1) + (f(1))2g′(1) = 2(−1)(−3)2 + (−1)2(−5) = 12− 5 = 7.
Questão 3: [1,0 pto] Calcule a derivada da função h(x) = ln
(
5
2x− 1
)
, exibindo todos os
cálculos efetuados.
Solução: Lembremos que, para a função f(x) = ln(x) (logaritmo natural), sua função derivada
é dada por f ′(x) =
1
x
. Usando a Regra da Cadeia, temos
h′(x) =
(
2x− 1
5
)
·
(
5
2x− 1
)′
,
4
onde, no segundo fator, precisamos da Regra do Quociente (ou, caso prefira, escrever a
fração como 5 · (2x− 1)−1 e usar a Regra da Cadeia novamente). Dáı, obtemos
h′(x) =
(
2x− 1
5
)
· 5
(
(−1)2(2x− 1)−2
)
= −2
2x− 1
(2x− 1)2
=
−2
2x− 1
.
Questão 4:[3,0 pts] A função custo para a produção de x bens é dada por c(x). O custo
médio é a função CM(x) =
c(x)
x
.
Suponha que, para a construção de um determinado prédio de x andares, o custo seja dado
pela soma dos seguintes componentes:
• 10 milhões de reais pelo terreno;
• 250000 reais por andar;
• 10000 · x reais de custos especializados por andar (isto é, o custo especializado fica mais
elevado quanto mais alto for o prédio).
Responda os itens a seguir.
a) [1,0 pto] Encontre a função custo c(x) e a função custo médio CM(x).
b) [2,0 pts] Qual é o número de andares que minimiza o custo médio, e em quanto fica o
valor deste custo médio mı́nimo?
Solução:
a) O custo para esta construção é a soma dos valores a seguir:
(i) 10000000 fixo;
(ii) 250000x (por andar);
(iii) 10000x · x = 10000x2 de custos especializados por andar.
Logo, c(x) = 10000000 + 250000x+ 10000x2.
A função custo médio é CM(x) =
c(x)
x
=
10000000
x
+ 250000 + 10000x.
5
b) Temos que calcular a derivada de CM(x) e igualá-la a 0. Temos
(CM)′(x) = −10000000
x2
+ 10000.
Igualando esta expressão a 0, obtemos
10000 =
10000000
x2
, donde
1000 = x2. Conclúımos que o valor procurado é x = 10
√
10 (deve ser positivo pois
representa o número de andares). Para verificar se este ponto é de máximo ou mı́nimo
local, calculamos a derivada de segunda ordem (podeŕıamos também fazer um estudo de
sinal) de CM(x):
(CM)′′(x) =
2 · 10000000
x3
.
Como x0 = 10
√
10 é nosso ponto cŕıtico, substituindo isto na derivada segunda, obtemos
CM > 0. Logo, a concavidade da curva que seria o gráfico da função é para cima, e assim
x0 é um ponto de mı́nimo local.
O valor que minimiza o custo médio é x = 10
√
10, e este custo médio mı́nimo é CM(10) =
1000000 + 250000 + 100000 ≈ 882455, 5 reais, por andar.