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1 Marcar para revisão
A distância entre pontos é um conceito fundamental na geometria e na
matemática em geral, e tem amplas aplicações em diversos campos, desde
navegação e geografia até física e engenharia. Determine o valor de k,
positivo, para que a distância entre os pontos e seja
de 6.
A (2, −1, 2) B (k, 1, −2)
6
5
4
3
2
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
A resposta correta é: 6
A distância pode ser calculada por:
Questão 1
de
10
Corretas (4)
Incorretas (6)
Em branco (0)
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Retas e Planos Sair
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A
B
C
D
E
Portanto, os possíveis valores de k são 6 e -2, como estamos procurando
um valor positivo, a resposta é 6.
d = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
6 = √(k − 2)2 + (1 − (−1))2 + (−2 − 2)2
6 = √(k − 2)2 + 4 + 16
6 = √(k − 2)2 + 20
62 = (k − 2)2 + 20
36 = (k − 2)2 + 20
(k − 2)2 = 36 − 20
(k − 2)2 = 16
k − 2 = ±4
k′ = 2 + 4 = 6
k′′ = 2 − 4 = −2
2 Marcar para revisão
Determinar a distância entre um plano e um ponto no espaço tridimensional é
um problema comum na geometria analítica. Determine a distância entre o
plano 2x + 2y - 3z + 1 = 0 e o ponto P(1,1,1).
.
5√17
17
.
4√17
17
.
3√17
17
.
2√17
17
.
√17
17
Resposta incorreta
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A
B
C
D
E
Gabarito Comentado
A resposta correta é: 
A fórmula para calcular a distância entre um plano e um ponto:
.2√17
17
D =
|Ax0+By0+Cz0+D|
√A2+B2+C 2
D =
|2⋅1+2⋅1−3⋅1+1|
√22+22+(−3)2
D =
|2+2−3+1|
√4+4+9
D =
|2|
√17
D = ⋅
|2|
√17
√17
√17
D =
2√17
17
3 Marcar para revisão
Os planos podem apresentar diferentes posições relativas. Considerando os
planos e , assinale o
correto sobre a posiça relativa dos planos .
π1 : 2x − y + z− 1 = 0 π2 : x − y + z − 9 = 01
2
1
2
π1eπ2
Paralelos concorrentes
Paralelos coincidentes
Paralelos distintos
Paralelos reversos
Transversais
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Comparando os coeficientes:
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A
B
Como os três primeiros coeficientes säo proporcionais, os planos são
paralelos distintos.
π1 : (a1, b1, c1, d1) = (2, −1, 1, −1)
π2 : (a2, b2, c2, d2) = (1, − , , −9)
(2, −1, 1, −1) = α(1, − , , −9)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2 = 1 ∝→ α = 2
−1 = − α → ∞ = 2
1 = ∝→ α = 2
−1 = −9 ∝→ ∞ =
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
9
4 Marcar para revisão
No desenvolvimento de um novo software de modelagem 3D, uma equipe de
programadores se deparou com o desafio de implementar uma função que
permitisse a criação e edição dinâmica de planos e retas em três dimensões. O
foco era permitir que usuários manipulassem objetos 3D com precisão
matemática, integrando conceitos de geometria analítica. A solução
encontrada foi incorporar algoritmos que utilizavam equações de planos e
retas, permitindo representações exatas de objetos no espaço. Este avanço
possibilitou um controle sem precedentes sobre o design 3D, desde a
concepção arquitetônica até a criação de modelos para impressão 3D.
 Considerando o texto, analise as cinco afirmativas abaixo:
 I: O software permite a manipulação precisa de objetos 3D usando equações
de geometria analítica.
 II: A implementação de algoritmos baseados em geometria analítica limita a
criatividade do usuário.
 III: Usuários podem criar e editar planos e retas em três dimensões com
facilidade.
 IV: A precisão matemática é irrelevante no design 3D.
 V: O desenvolvimento do software facilita a transição do design conceitual
para a impressão 3D.
 Assinale a opção que apresenta somente as afirmativas corretas.
II e IV
I, III e V.
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C
D
E
A
B
C
I, II e IV.
III, IV e V.
II, III e V.
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
A opção correta é B (I, III e V). A precisão e a capacidade de manipulação
de objetos 3D através de equações de geometria analítica melhoram
significativamente as funcionalidades do software, permitindo aos
usuários um controle sem precedentes sobre o design 3D. Essa precisão é
fundamental não apenas para a concepção arquitetônica mas também
para a preparação de modelos para impressão 3D, facilitando a transição
do design conceitual para a produção física sem limitar a criatividade do
usuário.
5 Marcar para revisão
Na área da astronomia e comunicações por satélite, é essencial determinar a
distância entre um satélite em órbita e o plano que representa a superfície da
Terra. Essa medida é crucial para calcular a cobertura de sinal e garantir uma
comunicação eficiente. Um satélite está sob orbita no ponto P = (-4, 2, 5) e
precisa ajustar sua posição até o plano π: 2x + y - 2z + 8 = 0. Qual a distância
que o satélite precisa percorrer, em unidades de comprimento?
8
3
4
3
8
6
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D
E
A
B
C
D
E
10
3
11
9
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
d(P ,π) =
d(P ,π) = = u. c.
|ax0 + by0 + cz0 + d|
√a2 + b2 + c2
|2 × (−4) + 1 × 2 + (−2) × 5 + 8|
√22 + 12 + 22
8
3
6 Marcar para revisão
Sejam o plano  e o plano .
Sabe que os planos são paralelos e que o plano π passa na origem do sistema
cartesiano. Determine o valor de
( a + b + c + d), com a , b, c e d reais.
π : ax + by + cz + d = 0 μ : 2x + y − z + 2 = 0
0
1
2
3
4
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A
B
C
D
E
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
A resposta correta é: 2
7 Marcar para revisão
Determine a distância entre a reta  e o ponto P(0, 2, 0)= =x
2
y
2
z−1
1
4
3
2
1
0
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para encontrar a distância entre o ponto e a reta, primeiro temos que
encontrar o vetor diretor, que é:
Aora, precisamos determinar seu módulo:
Agora precisamos escolher um ponto R que pertença à reta. Olhando para
a equação da reta, podemos perceber facilmente o ponto:
→v = (2, 2, 1)
|→v| = √22 + 22 + 12 = 3
R = (0, 0, 1)
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A
B
C
D
E
Agora precisamos fazer a diferença entre o ponto R e o ponto P, logo:
Agora, precisamos determinar o produto vetorial  :
Encontrando o vetor, após o produto vetorial, precisamos determinar o seu
módulo, logo:
Agora que sabemos o módulo do produto vetorial, e sabemos o módulo do
vetor diretor, a distância pode ser determinarada como:
→PR = R − P = (0 − 0, 0− 2, 1 − 0) = (0, −2, 1)
→PR × →v
→PR × →v =
⎛
⎜
⎝
→i →j →k
0 −2 1
2 2 1
⎞
⎟
⎠
= 4→i + 2→j + 4→k = (4, 2, 4)
| →PR × →v| = √42 + 42 + 22 = 6
dPR = = = 2
→PR×→v
→v
6
3
8 Marcar para revisão
Quando a reta e o plano não são paralelos nem perpendiculares, a distância
entre eles é medida ao longo de uma linha perpendicular ao plano e que passa
pelo ponto da reta mais próximo do plano. Considerando a reta r = {t(-1, 1, 2)|t
∈ R} e o plano α: x + y + z = 1, determine r ∩ α.
.r ∩ α = { , , −1}1
2
1
2
.r ∩ α = { , , 1}1
2
1
2
.r ∩ α = {− , , −1}1
2
1
2
.r ∩ α = {− , − , −1}1
2
1
2
.r ∩ α = {− , , 1}1
2
1
2
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A
B
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Igualando as equaçōes para determinar a interseçăo entre a reta e o plano:
Onde: .
Substituindo:
Voltando
Logo,
x = −t, y = t, z = 2t
(−t, t, 2t)
−t + t + 2t = 1
t = 1/2
(−t, t, 2t)
(− , , 1)1
2
1
2
r ∩ α = {− , , 1}
1
2
1
2
9 Marcar para revisão
O ângulo entre duas ruas que se cruzam pode afetar a visibilidade dos
motoristas, a capacidade de manobra e até mesmo a estética urbana.
Considere as retas e como as
equaçöes de reta de duas ruas que se cruzam. O ângulo formado entre as
duas ruas é de:
r1 :
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = 3 + t
y = t
z = −1 − 2t
r1 : = y − 3 = 2x+2
−2
30º.
45°
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C
D
E
60°
90°
120°
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Sabemos que:
Do enunciado, tiramos:
Calculando o produto escalar:
Calculando os módulos:
Voltando, temos:
 anngulo cujo cosseno é 
cos θ =
∣
∣
→
r1 +
→
r2
∣
∣
∣
∣
→
r1
∣
∣
∣
∣
→
r2
∣
∣
→
r1 = (1, 1, −2)
→
r2 = (−2, 1, 1)
→
r1 ⋅
→
τ2 = (1, 1, −2) ⋅ (−2, 1, 1) = 1 × (−2) + 1 × 1 + (−2) × 1 = −3
∣
∣
→
r1
∣
∣ = √12 + 12 + (−2)2 = √6
∣
∣
→
r2
∣
∣ = √(−2)2 + 12 + 12 = √6
cos θ = = = =
∣
∣
→
r1 ⋅
→
r2
∣
∣
∣
∣
→
r1
∣
∣
∣
∣
→
r2
∣
∣
| − 3|
√6 × √6
3
6
1
2
O  é 60∘1
2
logo, θ = 60∘
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A
B
C
D
E
Em um sistema de coordenadas tridimensional, considere a reta r, definida
pelos pontos A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6), e o plano a, dado pela equação 2x - y + 3z
= 7. Determine qual das seguintes alternativas representa a relação correta
entre a reta r e o plano a:
A reta r é paralela ao plano a
A reta r é perpendicular ao plano a
A reta r está contida no plano a
A reta r intercepta o plano a em um único ponto
A reta r e o plano a são coincidentes
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
Para determinar a telaçăo entre a reta r e o plano , podemos vetisicar se a
reta intercepta o plano em aigum ponte. Substituindo as coordenadas dos
pontos e na equaçzo do plano , abtemos duas
equaçües:
Simplificando, temos:
Como nenhuma das equaçēes è verdadeira, canclaimos que a reta não
está contida no plano . Portanto, a reta r intercepta o plano a em um inico
ponto.
c
A(1, 2, 3) B(4, 5, 6) a
2x − y + 3z = 7
2(1) − z + 3(3) = 7
2(4) − 5 + 3(6) = 7
3 = 7(fatso)
19 = 7(falso)
r
α
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