Aula 05 - impressao

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TEORIA DAS 
ESTRUTURAS II 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Patricia Fontana 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
 Anteriormente, foram apresentados exemplos de estudo de estruturas 
hiperestáticas com uso do método das forças, que se trata de um dos primeiros 
métodos desenvolvidos para estudo desse tipo de estruturas. Apesar de o 
método permitir o estudo de estruturas indeterminadas estaticamente com 
resultados satisfatórios, é de difícil implementação computacional, uma vez que 
cada estrutura hiperestática pode ter vários sistemas principais. 
 Para as estruturas estudadas anteriormente, podiam ser observados 2, 3, 
4 ou mais sistemas principais possíveis de estudo. O que não é muito. Mas há 
estruturas maiores, como pórticos espaciais que representam edifícios. Podem 
existir dezenas de sistemas principais de estudo para uma mesma estrutura, o 
que dificulta o desenvolvimento de uma implementação computacional que 
permita fazer a melhor escolha do SP. 
 Em virtude desse cenário, surgiram novos métodos de análise de 
estruturas hiperestáticas, como é o caso do método dos deslocamentos, que 
será estudado em etapa posterior. 
TEMA 1 – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: CONCEITO 
O método dos deslocamentos consiste em uma metodologia de análise 
de estruturas hiperestáticas que permite uma programação computacional, por 
ter um único sistema modificado para estudo, diferentemente do caso do método 
das forças, em que pode haver diversos sistemas principais para estudo pelo 
método. 
No caso do método dos deslocamentos, a análise da estrutura se dá com 
a definição do chamado sistema hipergeométrico, que consiste em uma estrutura 
cinematicamente determinada obtida por meio da estrutura original pela adição 
de vínculos. 
Estrutura cinematicamente determinada é aquela que tem todas as suas 
deslocabilidades definidas (com valores conhecidos), ou seja, uma estrutura em 
que todos os nós possuem impedimentos de movimentos de translação e de 
rotação. 
Então, para permitir que um sistema hipergeométrico seja definido, é 
necessário primeiramente determinar a quantidade de deslocabilidades de uma 
estrutura. Deslocabilidades são as componentes de deslocamentos e rotações 
 
 
3 
nodais que estão livres, isto é, que devem ser conhecidas para determinar a 
configuração deformada de uma estrutura. São os parâmetros que definem 
completamente a configuração deformada de uma estrutura. 
As deslocabilidades são os deslocamentos de nós que não são 
conhecidos inicialmente e que são obtidos somente fazendo-se uma análise 
completa da estrutura. Estes deslocamentos são as incógnitas do método dos 
deslocamentos, as quais podem ser chamadas também de reduntantes 
cinemáticas. 
Para compreendermos melhor a aplicação do método dos deslocamentos, 
considere o exemplo do pórtico apresentado na Figura 1, onde atua uma carga 
concentrada de intensidade ‘P’ e uma carga distribuída linearmente de 
intensidade ‘q’. O pórtico apresentado possui dois apoios, sendo um engaste no 
ponto A e um apoio articulado fixo no ponto B. 
Figura 1 – Pórtico com 7 deslocabilidades 
 
Um nó de um sistema estrutural plano que não possui nenhum apoio 
possui 3 deslocabilidades: deslocamento horizontal livre, deslocamento vertical 
livre e rotação livre. Assim, para cada vínculo adicionado em um nó haverá uma 
deslocabilidade a menos. 
 
A B 
D C 
 
 
4 
Saiba mais 
 
Crédito: Dubrovina.an/Shutterstock. 
Para determinação das deslocabilidades de uma estrutura, é essencial 
que estejam muito claros os conceitos dos tipos de apoios em estruturas. Caso 
isso não esteja perfeitamente esclarecido, recomenda-se a consulta da Aula 1 
da disciplina de Teoria das Estruturas 1. 
No caso do pórtico apresentado na Figura 1 são observadas 7 
deslocabilidades, quais sejam: 
• Deslocamento horizontal livre, deslocamento vertical livre e rotação livre 
no nó C = 3 deslocabilidades. 
• Deslocamento horizontal livre, deslocamento vertical livre e rotação livre 
no nó D = 3 deslocabilidades. 
• Rotação livre no nó B (apoio articulado fixo) = 1 deslocabilidade. 
A situação pode ser melhor compreendida com a configuração deformada 
da estrutura devido às cargas atuantes, onde podem ser observados os 
deslocamentos e as rotações existentes no pórtico. 
 
 
 
 
 
 
5 
Figura 2 – Configuração deformada do pórtico 
 
O sistema hipergeométrico é, assim, definido com base na determinação 
das deslocabilidades, buscando encontrar a estrutura cinematicamente 
determinada, ou seja, uma estrutura sem nenhum movimento nodal permitido. 
Para isso, são inseridos apoios nos nós, como indicado na figura que segue. 
Figura 3 – Configuração deformada do pórtico 
 
 
 
6 
Saiba mais 
 
Como o método dos deslocamentos consiste em um método que pode ser 
programável, recomenda-se a padronização da numeração das 
deslocabilidades. 
Iniciar a numeração pela deslocabilidade horizontal, seguindo para a 
vertical e para a rotação, como pode ser observado no exemplo apresentado na 
Figura 3. 
Quando da montagem do sistema principal, é recomendado que sejam 
adotados os sentidos positivos para as deslocabilidades segundo a tabela de 
convenção de sinais adotada para o método, apresentada a seguir. 
Tabela 1 – Convenção de sinais adotada para quadros planos no método dos 
deslocamentos 
 
 
 
7 
A representação apresentada na Figura 3 é equivalente a representar 
uma estrutura com engaste em todos os nós, como indicado na Figura 4. O 
importante é compreender que um sistema hipergeométrico é aquele em que 
todos os nós possuem impedimentos de movimentos de translação e de rotação, 
ou seja, todas as deslocabilidades são conhecidas. 
Figura 4 – Pórtico com impedimento de movimentos em todos os nós 
 
Fonte: Fontana, com uso do software Ftool. 
Assim, o método dos deslocamentos resolve uma estrutura hiperestática 
na ordem inversa do que é feito pelo método das forças: 
1. Condições de compatibilidade: somar uma série de soluções básicas 
(chamadas de casos básicos) que satisfaçam as condições de 
compatibilidade, mas que não satisfaçam as condições de equilíbrio da 
estrutura original; 
2. Leis constitutivas dos materiais: aplicação das Leis para determinação das 
reações de apoio nos vínculos introduzidos; 
3. Condições de equilíbrio: restabelecimento das condições de equilíbrio 
somando-se as reações de apoio nos vínculos introduzidos e igualando a 
zero, uma vez que esses vínculos não existem na estrutura original de 
estudo. 
 
 
8 
Observa-se, então, que esse procedimento é o inverso do que é feito na 
solução pelo método das forças mostrada em etapa anterior. 
Em resumo, cada caso básico satisfaz isoladamente as condições de 
compatibilidade (continuidade interna e compatibilidade com respeito aos 
vínculos externos da estrutura) por meio da inserção de deslocamentos no 
sistema hipergeométrico, mas não satisfaz as condições de equilíbrio da 
estrutura original, pois são necessários forças e momentos adicionais para 
manter o equilíbrio. 
Assim, as equações finais do método dos deslocamentos consistem em 
equações do equilíbrio, com as quais ficam reestabelecidas as condições de 
equilíbrio de forças quando se superpõem todas as soluções básicas. 
TEMA 2 – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: PROCEDIMENTO DE ANÁLISE 
Para facilitar o entendimento da aplicação do método dos deslocamentos, 
a seguir é apresentado o passo a passo de estudo considerando o pórtico 
apresentado na Figura 5, que consiste em uma estrutura biengastada composta 
por um pilar e uma viga. 
Figura 5 – Pórtico biengastado 
 
Fonte: UFPR, S.d. 
 
 
9 
2.1 Grau de indeterminação cinemática (gc) 
O grau de indeterminação cinemática da estrutura representa o número 
de graus de liberdade para os deslocamentos dos nós, ou seja, quais são os 
deslocamentos nodais necessários para descrição da deformada da estrutura. 
Ou seja,gc = número de deslocabilidades 
 
Observe que o pórtico da Figura 5 possui apenas um nó com liberdade de 
movimento, então, tem-se: 
gc = 3 
→ Liberdade de movimento vertical, horizontal e rotação no ponto C. 
2.2 Sistema hipergeométrico (SH) 
Para montagem do sistema hipergeométrico deve ser inserida uma 
quantidade gc de vínculos na estrutura original. 
Ou seja, no pórtico de exemplo devem ser inseridos vínculos de 
impedimento do movimento horizontal, vertical e rotação no ponto C, chegando 
ao seguinte sistema hipergeométrico. 
Figura 6 – Sistema hipergeométrico 
 
Fonte: UFPR, S.d. 
 
 
10 
Assim como comentado anteriormente, para cada estrutura existe um 
único sistema hipergeométrico (SH), o que permite que o método dos 
deslocamentos seja um método com facilidade de implementação 
computacional. 
2.3 Reestabelecimento das condições de compatibilidade de 
deslocamentos 
Sabe-se que o sistema geométrico não é equivalente à estrutura original 
do ponto de vista de deslocamentos, uma vez que na estrutura original existente 
deslocamentos no nó C e no SH não. 
Então, para que sejam reestabelecidas as condições de compatibilidade 
devem ser inseridos os deslocamentos que existem no ponto C. 
 
Figura 7 – Sistema hipergeométrico e deslocabilidades 
 
 
Fonte: UFPR, S.d. 
Assim, no sistema hipergeométrico são impostos 3 deslocamentos: 
• D1 = deslocamento horizontal no ponto C. 
• D2 = deslocamento vertical no ponto C. 
• D3 = rotação no ponto C. 
 
 
11 
Aqui começamos a perceber o motivo pelo qual o método dos 
deslocamentos (MD) surgiu depois do método das forças: os casos básicos do 
MD são resolvidos com a obtenção das reações de apoio de barras 
biengastadas, ou seja, obtenção das reações de apoio em uma estrutura 
hiperestática. Ainda, uma das ações no SH é a atuação dos deslocamentos, ou 
seja, o equivalente ao efeito de deslocamentos prescrito que vimos 
anteriormente. 
2.4 Discretização (análise dos casos básicos) 
Pelo princípio da superposição de efeitos a estrutura pode ser analisada 
por meio da soma dos casos básicos, mostrados na Figura 8, que consiste na 
análise isolada de cada ação. 
O caso 0 sempre irá se referir ao estudo do SH quando da atuação das 
ações existentes na estrutura original. 
Os demais casos (caso 1 a caso i) se referem ao estudo do SH quando 
da atuação de um deslocamento, que pode ser um deslocamento de translação 
(horizontal ou vertical) ou de rotação. 
Figura 8 – Discretização do SH 
 
Fonte: UFPR, S.d. 
Observe que o SH consiste em uma estrutura composta apenas por 
barras biengastadas, para as quais existem tabelas que sintetizam resultados 
 
 
12 
obtidos pelo método das forças. Essas tabelas compilam os valores de reações 
de apoio para uma viga bi engastada quando da atuação de diferentes ações, 
sejam elas forças ou deslocamentos impostos (recalques). 
Com o uso das tabelas, para cada caso básico devem ser encontradas as 
reações nos apoios fictícios adicionados quando da criação do SH. 
Essas reações de apoio serão nomeadas da seguinte maneira: 
• βij é a reação de apoio fictício associado à deslocabilidade Di causada 
pela solicitação externa (caso 0). É conhecido como termo de carga. 
• Kij é a reação de apoio fictício que deve atuar na direção Di para manter 
a estrutura (SH) em equilíbrio quando é imposta uma configuração 
deformada onde Dj = 1 e as demais deslocabilidades são nulas (caso j). 
É conhecido como coeficiente de rigidez global da estrutura. 
Uma vez que as deslocabilidades são justamente as incógnitas do 
método, as reações de apoio devido aos deslocamentos impostos serão 
calculadas para um deslocamento unitário e na construção da equação do 
equilíbrio essa reação de apoio para um valor de deslocamento unitário será 
multiplicado pelo valor da deslocabilidade. 
2.5 Equações do equilíbrio 
Sabe-se que os apoios inseridos para montagem do SH são fictícios, 
apenas impostos para permitir a análise da estrutura hiperestática pelo método. 
Então, para garantir o equilíbrio do SH, é necessário que as reações de apoio 
nos vínculos fictícios sejam todas nulas, pois esses vínculos não existiam na 
estrutura original. 
Das condições de equilíbrio do nó C do pórtico de exemplo, tem-se: 
 
Como já demonstrado nas etapas anteriores, do teorema de Maxwell 
sabe-se que Kij = Kji, então, a matriz de rigidez [K] é quadrada e simétrica, além 
de ser independente da solicitação externa e é única para cada estrutura. 
 
 
13 
O sistema de equações pode ser representando da seguinte maneira 
matricial: 
 
Onde 
• {β} é o vetor de termos de carga. 
• [K] é a matriz de rigidez global da estrutura. 
• {D} é o vetor das deslocabilidades. 
TEMA 3 – EXEMPLO 5.1: ESTUDO DE UMA VIGA CONTÍNUA COM USO DO 
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
Iniciaremos os estudos de estruturas pelo método dos deslocamentos 
analisando a viga contínua apresentada Figura 9. Para essa estrutura, o valor da 
rigidez à flexão é de EI = 1,2 x 104 kN.m2 para todas as barras. 
Na estrutura atua uma única carga uniformemente distribuída no valor de 12 
kN/m. 
Figura 9 – Viga contínua para estudo no Exemplo 5.1 
 
3.1 Grau de indeterminação cinemática (gh) 
 A viga em estudo é composta por 4 apoios, sendo 2 engastes, em que 
todos os movimentos são impedidos, e 2 apoios articulados, nos quais apenas o 
movimento de rotação é livre. Então: 
gh = 2 
 
 
14 
→ Liberdade de movimento de rotação nos pontos B e C. 
Figura 10 – Deslocamentos existentes na viga contínua 
 
3.2 Sistema hipergeométrico (SH) 
 O SH consiste em uma estrutura composta apenas por vínculos de 
engaste, obtidos por meio da inserção de vínculos nos pontos onde existem 
deslocabilidades na estrutura original. 
 Na viga contínua em estudo devem ser inseridos vínculos nos pontos B e 
C que impedem o movimento de rotação. No método, a inserção desse vínculo 
será representada por um quadrado, como visto na imagem a seguir. 
Figura 11 – Sistema hipergeométrico do Exemplo 5.1 
 
 
 A representação da Figura 11 é equivalente a representar a estrutura 
apenas com engastes, como na Figura 12. 
Figura 12 – Outra forma de representação do sistema hipergeométrico do 
Exemplo 5.1 
 
Fonte: Fontana, com uso do software Ftool. 
 
 
15 
3.3 Reestabelecimento das condições de compatibilidade de 
deslocamentos 
 Sabemos que na estrutura original existem deslocamentos de rotação nos 
pontos B e C, então, para reestabelecer as condições de compatibilidade dos 
deslocamentos das estruturas são inseridos deslocamentos atuantes nos pontos 
B e C do SH. 
Figura 13 – Sistema hipergeométrico do Exemplo 5.1 
 
Fonte: Fontana, com uso do software Ftool. 
 Para melhor compreensão, observe a configuração deformada da 
estrutura com um fator de amplificação de 500 vezes. Na Figura 14 (a) é visto o 
SH, podendo se ver que nos pontos B e C não há rotações. Já na Figura 14 (b), 
que representa a estrutura original há rotação nos pontos B e C. Justamente 
essas rotações que são reestabelecidas quando inseridos os valores D1 e D2, 
que são as incógnitas do método. 
Figura 14 – Configuração deformada do SH e da estrutura original 
 
 
(a) 
 
 
 
 
(b) 
 
 
Fonte: Fontana, com uso do software Ftool. 
 
 
16 
 Para solução da estrutura pelo MD, devem ser avaliados os efeitos da 
carga distribuída linear separadamente dos efeitos de D1 e D2. Para isso, é feita 
a montagem dos casos básicos. 
3.4 Montagem dos casos básicos 
3.4.1 Caso (0) 
 De maneira similar ao que vimos com a aplicação do MF, o caso (0) 
consiste na análise dos efeitos das ações atuantes isoladamente. No estudo da 
estrutura pelo MD, significa analisar o sistema hipergeométrico apenas com a 
atuação das cargas atuantes a fim de se obter o valor das reações de apoio nos 
apoios fictícios. No caso da viga em estudo: 
• β10 = termo de carga → reação de apoio do tipo momento no apoio fictícioinserido no ponto B, devido a atuação da carga de 12 kN/m; 
• β20 = termo de carga → reação de apoio do tipo momento no apoio fictício 
inserido no ponto C, devido a atuação da carga de 12 kN/m. 
Figura 15 – Termos de carga do SH 
 
Para obtenção das reações de apoio nos apoios fictícios devem ser 
utilizadas as tabelas que apresentam os valores das reações de apoio de barras 
bi engastadas, apresentadas no Anexo A desse material. 
 No caso (0) em estudo: 
 
 
 
17 
 
Os valores das reações de apoio devem ser calculados para cada uma 
das barras que compõem a estrutura. Como a modificação da estrutura para 
montagem do SH consistiu na inserção de apoios que impedem rotações, as 
reações que se buscam são as reações de apoio momento nos pontos B e C. 
 A seguir são apresentados os cálculos dos momentos de extremidade 
para cada uma das barras, considerando a convenção de sinais apresentada na 
Tabela 1 e transposta parcialmente a seguir: 
 
 
 
Barra 1 (AB) 
 
𝑀𝑀𝐵𝐵
1 = −
𝑞𝑞𝐿𝐿2
12
= −
12 × 4²
12
= −16 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚 
 
Barra 2 (BC) 
 
𝑀𝑀𝐵𝐵
2 =
𝑞𝑞𝐿𝐿²
12
=
12 × 6²
12
= +36 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚 
𝑀𝑀𝐶𝐶
2 = −
𝑞𝑞𝐿𝐿2
12
= −
12 × 62
12
= −36 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚 
 
Barra 3 (CD) 
 
𝑀𝑀𝐶𝐶
3 =
𝑞𝑞𝐿𝐿2
12
=
12 × 2²
12
= +4 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚 
 
 
 
18 
Então, podem ser calculados os valores dos termos de carga (reações de 
apoio nos apoios fictícios), os quais são representados na imagem da Figura 16: 
β10 = -16 + 36 = 20 kN.m 
β20 = -36 + 4 = -32 kN.m 
Figura 16 – Termos de carga da viga do Exemplo 5.1 
 
3.4.2 Caso (1) 
 O caso (1) consiste na análise do SH quando da atuação isolada da 
deslocabilidade D1. Como essa é justamente uma das incógnitas, o caso básico 
será resolvido para um valor D1 = 1 obtendo o valor de uma reação de apoio Kij 
(coeficiente de rigidez) e, posteriormente, na montagem da equação do equilíbrio 
essa reação será multiplicada pelo valor de D1 que é a incógnita do método. 
 Na viga em estudo, D1 consiste em um deslocamento de rotação atuante 
no ponto B. Novamente será utilizada a tabela de solução de reações de apoio 
de vigas bi engastadas, sendo transposta parcialmente abaixo a parte da tabela 
que mostra os valores de reações de apoio de uma barra bi engastada quando 
da atuação de uma rotação. 
Figura 17 – Rotação D1 = 1 atuando no SH 
 
 
 
 
 
19 
 
Saiba mais 
 
Ficou curioso para saber como os valores dos momentos de 
engastamento apresentados nas tabelas foram obtidos? 
Dá uma olhada no material de apoio 1 desta nova aula 5, onde há a 
aplicação do método das forças na determinação dessas reações de apoio. 
Serve como uma revisão do MF e uma forma de apresentar como o 
desenvolvimento desse método foi importante na história de estudo de estruturas 
hiperestáticas. 
Barra 1 (AB) 
 
𝑀𝑀𝐵𝐵
1 =
4𝐸𝐸𝐸𝐸
𝐿𝐿
=
4𝐸𝐸𝐸𝐸
4
= 𝐸𝐸𝐸𝐸 = +12.000 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚/𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 
 
Barra 2 (BC) 
 
𝑀𝑀𝐵𝐵
2 =
4𝐸𝐸𝐸𝐸
𝐿𝐿
=
4𝐸𝐸𝐸𝐸
6
= +8.000 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚/𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 
𝑀𝑀𝐶𝐶
2 =
2𝐸𝐸𝐸𝐸
𝐿𝐿
=
2𝐸𝐸𝐸𝐸
6
= +4.000 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚/𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 
 
Barra 3 (CD) 
A rotação D1 = 1 imposta no ponto B não gera nenhum efeito na barra CD. 
A seguir são apresentados os cálculos dos coeficientes de rigidez 
(reações de apoio nos apoios fictícios devido à atuação isolada do deslocamento 
D1 = 1 imposto), os quais são representados na imagem da Figura 18: 
 
 
20 
K11 = +12.000 + 8.000 = 20.000 kN.m/rad 
K21 = +4.000 kN.m/rad 
Figura 18 – Coeficientes de rigidez da viga do Exemplo 5.1 devido à 
deslocabilidade D1 
 
3.4.3 Caso (2) 
 O caso (2) consiste na análise do SH quando da atuação isolada da 
deslocabilidade D2. Como essa é justamente uma das incógnitas, o caso básico 
será resolvido para um valor D2 = 1 obtendo o valor de uma reação de apoio Kij 
(coeficiente de rigidez) e, posteriormente, na montagem da equação do equilíbrio 
essa reação será multiplicada pelo valor de D2 que é a incógnita do método. 
 Na viga em estudo D2 consiste em um deslocamento de rotação atuante 
no ponto C. Serão utilizadas as mesmas soluções obtidas pela tabela de reações 
de vigas bi engastadas que do caso (1). 
Figura 19 – Rotação D2 = 1 atuando no SH 
 
 
Barra 1 (AB) 
A rotação D2 = 1 imposta no ponto C não gera nenhum efeito na barra AB. 
 
 
21 
Barra 2 (BC) 
𝑀𝑀𝐵𝐵
2 =
2𝐸𝐸𝐸𝐸
𝐿𝐿
=
2𝐸𝐸𝐸𝐸
6
= +4.000 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚/𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 
𝑀𝑀𝐶𝐶
2 =
4𝐸𝐸𝐸𝐸
𝐿𝐿
=
4𝐸𝐸𝐸𝐸
6
= +8.000 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚/𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 
Barra 3 (CD) 
𝑀𝑀𝐶𝐶
3 =
4𝐸𝐸𝐸𝐸
𝐿𝐿
=
4𝐸𝐸𝐸𝐸
2
= +24.000 𝑘𝑘𝑘𝑘.𝑚𝑚/𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 
 
A seguir, são apresentados os cálculos dos coeficientes de rigidez 
(reações de apoio nos apoios fictícios devido à atuação isolada do deslocamento 
D2 = 1 imposto), os quais são representados na imagem da Figura 18: 
• K12 = +4.000 kN.m/rad 
• K22 = +8.000 + 24.000 = +32.000 kN.m/rad. 
Figura 20 – Coeficientes de rigidez da viga do Exemplo 5.1 devido à 
deslocabilidade D2 
 
 
3.5 Equações de equilíbrio 
Quando da montagem do sistema hipergeométrico as condições de 
compatibilidade e de equilíbrio foram modificadas após terem sido inseridos 
vínculos nos pontos B e C. 
 Quando da montagem dos casos básicos, as condições de 
compatibilidade foram reestabelecidas por meio da imposição dos 
deslocamentos de rotação D1 e D2 nos pontos B e C, respectivamente. 
 Para garantir que o sistema estudado seja equivalente à estrutura original, 
devem ser reestabelecidas, ainda, as condições do equilíbrio de forças. Ou seja, 
é necessário considerar que, nos pontos B e C, na verdade não existem apoios 
 
 
22 
que impeçam os movimentos de rotação, uma vez que nesses nós existem 
apoios articulados fixos. 
 Assim, devem ser impostas as seguintes condições: 
Reação de apoio momento no ponto B = 0 
 Assim, somam-se todas as reações de apoio fictícias obtidas com o 
estudo dos casos básicos: 
k11.D1 + k12.D2 + β10 = 0 20000 . D1 + 4000 . D2 + 20 = 0 
Reação de apoio momento no ponto C = 0 
k21.D1 + k22.D2 + β20 = 0 4000 . D1 + 32000 . D2 – 32 = 0 
As equações podem ser apresentadas, também, em seu formato matricial, 
que é mais utilizado em implementações computacionais ou no estudo de 
estruturas com maior quantidade de incógnitas. 
�20.000 4.000
4.000 32.000� . �𝐷𝐷1𝐷𝐷2
� + �+20
−32� = �00� 
A solução desse sistema fornece, portanto, os valores das 
deslocabilidades, que representam os valores dos deslocamentos de rotação 
nos pontos B e C, respectivamente, da estrutura original. 
• D1 = - 1,23 x 10-3 rad. 
• D2 = + 1,15 x 10-3 rad. 
O valor negativo de D1 indica que a rotação da seção do apoio interno da 
esquerda se dá no sentido horário, e o valor positivo de D2 indica que a rotação 
na seção do outro nó interno tem o sentido anti-horário, seguindo as convenções 
de sinais apresentadas na Tabela 1. 
A configuração deformada da estrutura que é mostrada (ampliada 
exageradamente) na Figura 21. 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
Figura 21 – Configuração deformada da viga em estudo 
 
TEMA 4 – EXEMPLO 5.1: REAÇÕES DE APOIO 
Após a determinação dos valores das deslocabilidades, devem ser 
obtidas as reações de apoio e os esforços internos da estrutura. 
Para isso pode ser realizada a superposição de casos básicos, sendo que 
agora os casos (1) e (2) são ponderados com os valores encontrados para D1 e 
D2. Essa superposição de casos básicos pode ser realizada para qualquer força 
da estrutura: reações de apoio, esforço cortante, normal ou momentos. 
Por exemplo, os momentos fletores finais na estrutura podem ser obtidos 
pela seguinte expressão: 
M = M0 + M1 D1 + M2 D2 ⇒ M = M0 − 1,23 x 10-3 x M1 + 1,15 x 10-3 x M2 
onde M0, M1 e M2 são os momentos de extremidade encontrados no estudo de 
cada caso básico. 
 Aplicando na expressão os momentos de extremidade dos casos básicos 
para cada ponto de interesse da estrutura, tem-se: 
MA = 16 − 1,23 x 10-3 x 6000 + 1,15 x 10-3x 0 = +8,6 kN.m 
MB1 = -6 − 1,23 x 10-3 x 12000 + 1,15 x 10-3 x 0 = -30,76 kN.m 
MB2 = 36 − 1,23 x 10-3 x 8000 + 1,15 x 10-3 x 4000 = +30,76 kN.m 
MC2 = -36 − 1,23 x 10-3 x 4000 + 1,15 x 10-3 x 8000 = -31,7 kN.m 
MC3 = 4 − 1,23 x 10-3 x 0 + 1,15 x 10-3 x 24000 = +31,7 kN.m 
MD = -4 − 1,23 x 10-3 x 0 + 1,15 x 10-3 x 12000 = +9,8 kN.m 
Observe que os momentos fletores no B para a barra AB e para a barra 
BC possuem os mesmos valores em módulo. Isso sempre deve ocorrer, uma vez 
que essa situação representa o equilíbrio de seção: cada barra possui em sua 
extremidade um valor de momento fletor que se equilibra com a outra porção (ou 
 
 
24 
outra barra) que compõe a estrutura. É justamente essa a característica dos 
corpos rígidos que permite que uma estrutura se mantenha em equilíbrio e 
íntegra. 
 Os valores podem ser representados na viga da seguinte maneira: 
Figura 22 – Configuração deformada da viga em estudo. 
 
Esse valores representam justamente os valores dos momentos fletores 
que atuam na viga estudada e serão utilizados na construção do diagrama de 
esforço interno a ser apresentado no Tópico 5. 
 Esses resultados podem ser utilizados, também, para a determinação das 
reações de apoio da viga, ao se representar cada porção isolada da estrutura 
com seus respectivos momentos de extremidade (momentos fletores internos), 
como na Figura 21. 
 Observe que o sentido dos momentos representados segue a convenção 
do Método, ou seja, momentos positivos no sentido anti-horário e momentos 
negativos no sentido horário. 
Figura 23 – Momentos de extremidade da viga 
 
Fonte: Fontana, com uso do software ftool. 
Aplicando as equações do equilíbrio em cada porção (barra) isolada da 
viga é possível obter os valores das reações de apoio. 
Barra 1 (AB) 
∑MA = 0 
VB1 x 4 – 30,76 + 8,6 – 12 x 4 x 2 = 0 VB1 = 29,54 kN 
 
 
 
25 
∑FV = 0 
VA + 29,54 – 12 x 4 = 0 VA = 18,46 kN 
 
Barra 2 (BC) 
∑MB = 0 
VC2 x 6 – 31,7 + 30,76 – 12 x 6 x 3 = 0 VC2 = 36,1 kN 
 
∑FV = 0 
VB2 + 36,1 – 12 x 6 = 0 VB2 = 35,9 kN 
 
Barra 3 (CD) 
∑MC = 0 
VD x 2 + 9,8 + 31,7 – 12 x 2 x 1 = 0 VD = -8,75 kN 
 
∑FV = 0 
VC3 – 8,75 – 12 x 2 = 0 VC3 = 32,75 kN 
 
 As reações de apoio dos pontos B e C são obtidas se somando os 
resultados das duas barras concorrentes do mesmo ponto: 
VB = 29,54 + 35,9 = 65,4 kN 
VC = 36,1 + 32,75 = 68,85 kN 
Então, é possível montar o esquema estático da viga com as cargas 
atuantes (carga distribuída linear de 12 kN/m) e as reações de apoio, como 
indicado na Figura 24. 
Figura 24 – Esquema estático de análise da viga com a indicação das reações 
de apoio 
 
Fonte: Fontana, com uso do software ftool. 
 
 
26 
TEMA 5 – EXEMPLO 5.1: ESFORÇOS INTERNOS 
Após determinação das reações de apoio, podem ser obtidos os valores 
dos esforços internos e montados os diagramas, os quais são indicados nas 
figuras que seguem. 
Figura 25 – Diagrama de esforço cortante da viga de estudo no exemplo 5.1 
 
Fonte: Fontana, com uso do software ftool. 
Figura 26 – Diagrama de momento fletor da viga de estudo no exemplo 5.1 
 
Fonte: Fontana, com uso do software ftool. 
Observe que os momentos nos pontos A, B, C e D são justamente os 
momentos obtidos com os cálculos apresentados no Tópico 4, com a 
superposição dos casos básicos. 
Saiba mais 
 
Em barras biapoiadas submetidas a carregamentos distribuídos lineares 
o momento fletor máximo é dado por qL²/8, como visto na disciplina de Teoria 
das Estruturas II. 
 
 
27 
Em barras com momentos de extremidade os momentos no meio do vão 
podem ser obtidos ao se traçar uma linha entre os momentos de extremidade e 
desenhando o valor qL²/8 no ponto médio da viga, como indicado na imagem da 
Figura 21. 
Figura 27 – Configuração deformada da viga em estudo 
 
FINALIZANDO 
 Nesta etapa, foi demonstrada a aplicação do método dos deslocamentos 
no estudo de uma viga contínua composta por 4 apoios, sendo dois engastes e 
dois apoios articulados fixos. Foi possível observar que, para qualquer estrutura 
hiperestática estudada com o método, sempre haverá apenas um sistema 
hipergeométrico, que consiste em uma estrutura com impedimento de 
movimentos em todos os nós, ou seja, uma estrutura com todas as 
deslocabilidades nodais conhecidas. 
 O método dos deslocamentos pode ser utilizado também para o estudo 
de pórticos, como será visto posteriormente. 
 
 
 
 
28 
REFERÊNCIAS 
APOSTILA da disciplina TC 036 – Mecânica das Estruturas II, Curitiba: UFPR, 
S.d. 
MARTHA, L. F. Métodos básicos da análise de estruturas. Rio de Janeiro: 
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, S.d. 
 
	Conversa inicial
	2.1 Grau de indeterminação cinemática (gc)
	2.2 Sistema hipergeométrico (SH)
	2.3 Reestabelecimento das condições de compatibilidade de deslocamentos
	2.4 Discretização (análise dos casos básicos)
	2.5 Equações do equilíbrio
	3.1 Grau de indeterminação cinemática (gh)
	3.2 Sistema hipergeométrico (SH)
	3.3 Reestabelecimento das condições de compatibilidade de deslocamentos
	3.4 Montagem dos casos básicos
	3.4.1 Caso (0)
	3.4.2 Caso (1)
	3.4.3 Caso (2)
	3.5 Equações de equilíbrio
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS