Resolução Lista 04

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FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I 
 
RESOLUÇÃO DA LISTA IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS 
Departamento de Matemática e Física 
Disciplina: Física Geral e Experimental I (MAF 2201) 
RESOLUÇÃO DA LISTA IV 
 
 
1. 
 a) 1 1 2 2 3 3
1 2 3
0.3 1.8 2.4 1,1
3 8 4cm cm
x m x m x m
x x m
m m m
+ + + +
= = ⇒ =
+ + + +
 
 b) 1 1 2 2 3 3
1 2 3
0.3 2.8 1.4 1,3
3 8 4cm
y m y m y my m
m m m
+ + + +
= = =
+ + + +
 
 c) ele se desloca em direção a essa partícula 
 
2. 
 Podemos considerar as hastes como partícula colocadas no centro de massa de cada uma delas 
 
 a) 1 1 2 2 3 3
1 2 3
0. .3 .
2
3 2cm
LM M L M
x m x m x m L
x
m m m M M M
+ ++ +
= ⇒ =
+ + + +
 
 
 b) 1 1 2 2 3 3
1 2 3
. .3 42 2 0,8
5 5cm
L LM L M My m y m y m LMy L
m m m M M
+ ++ +
= ⇒ = =
+ +
 
 
3. 
Dividindo a placa em 3 partes, podemos considerar cada parte como partícula colocada em seu centro de 
massa 
 
 1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
0. 1. 0.
cm
x m x m x m m m m
x
m m m m m m
+ + + +
= ⇒
+ + + +
 
 
 temos que: 1 3m m m= = e 2
2
3
m
m = 
 
2 21. 2 3 23 3
. 0,252 8 3 8 8
3 3
cm
m m
m
x m
m m m
m m
−
−
− −
⇒ = = = = = −
+ +
 
y 
x 
3M 
L 
M M L 
6 m 
6 m 
1 m 
2 m 
2 m 
2 m 
2
 m
 
Cm1 
Cm3 3 
1 m 
Cm2 
3 
 
1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
2. 0. 2. 2 2
2
3
0
cm
cm
y m y m y m m m m m my
mm m m m m m
m m
y
+ + + + − −
= ⇒ =
+ + + + + +
⇒ =
 
 
4. 
 1 265 , 40m kg m kg= = 
0ex mF c= ⇒ ⇒∑ está em repouso 
'
1 1 2 2 1 2
1 2 1 2
' '
( ) 0.65 10.60 3,81
65 40
10 3,81 6,19
cm cmx x
x m x m d m m d m
m m m m
d d m
=
+ + +
⇒ = ⇒ = =
+ + +
= − ⇒ =
 
 
5. 
 2400 , 80 / , 1600 , 60 / , ?c c F F cmm kg v km h m kg v km h v= = = = = 
 . . .cm c c f fM V m v m v= +
r r r
, como as velocidades estão na mesma direção, temos que: 
 (2400 1600). 2400.80 1600.60 72 /cm cmv v km h⇒ + = + ⇒ = 
 
6. 
 01 02 01 02 1 20, 0, 300 0,3 200 0,2v v y y t ms s e t ms s= = = = = = = = 
 as pedras estão em queda livre 
 a) 
 
2 2 2
0 0
2
1
2
2
1 1 2 2
1 2
1 9,8 4,9.
2 2
4,9.(0,3) 0,441
4,9.(0,2) 0,196
. . 0,441. 0,196.2 0,28
2
28
cm
y y v t gt y t t
y m
y m
y m y m m my m
m m m m
d cm
= + − ⇒ = − = −
⇒ = − = −
= − = −
+ − −
= = = −
+ +
⇒ =
 
 b) 
 1 1 2 2. . .cmM v m v m v= +
r r r
 como o movimento é na vertical 
 
1 1 2 2
0 1 2
. . .
9,8.0,3 2,94 / 9,8.0,2 1,96 /
( 2 ) 2.94 1,96.2 2,29 /
cm
cm cm
M V m v m v
v v gt v gt v m s e v m s
m m v m m v m s
⇒ = +
= − ⇒ = − ⇒ = − = − = − = −
⇒ + = − − ⇒ = −
 
 
m1 m2 
10 m 
d d 
cm 
m2= 2 m 
Cm 
m1= m 
d 
4 
 
 
7. 
 0ext mF c= ⇒ →∑ Permanece em repouso 
 
'
' ' '
. .
0,4.80 3,4 1,9.30 3.80 0. 1,5.30
57,65
cm cm
r r c c b b r r c c b b
r c b r c b
c c
c
x x
x m x m x m x m x m x m
m m m m m m
m m
m kg
⇒ =
+ + + +
⇒ =
+ + + +
⇒ + + = + +
⇒ =
 
 
8. 
 4,5 , 18c bm kg m kg= = 
 0ext cmF x= ⇒ →∑
r
 permanece em repouso 
'
' '
.6,1 . (6,1 2,4 ) ( )
.6,1 . .6,1 .2,4 . . .
0 .2,4 ( ). 0 4,5.2,4 (4,5 18). 0,48
6,1 2,4 0,48 4,18
cm cm
c b c b b b
c b c b
c b c c c b b b b
c c b b b b
c c
x x
m m d m d m d d
m m m m
m m d m m m d m d m d
m m m d d d m
x x m
⇒ =
+ − + + +
⇒ =
+ +
⇒ + = − + + +
⇒ = − + + ⇒ = − + + ⇒ =
= − + ⇒ =
 
 
9. 
816 , 2650 , 16 /f c cm kg m kg v km h= = = 
a) . . 816. 2650.16 51,96 /f c f f c c f fP P m v m v v v km h= ⇒ = ⇒ = ⇒ = 
b) 
2 2 2 21 1
. . 816. 2650.16 28,83 /
2 2kf kc f f c c f f
E E m v m v v v km h= ⇒ = ⇒ = ⇒ = 
 
10. 
 
80 , 1600 , 1,2 /
. . 80. 1600.1,2 24 /
c c
c c c
m kg m kg v km h
P P m v m v v v km h
= = =
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
 
 
11. 
 Considerando: 
 
ˆ ˆ0,70 , 5 / , 2 /
ˆ ˆ ˆ0,7.2 0,7.5 (4,9 / )
4,9 . /
f
f i
m kg v m si v m s i
P P P i i kg m s i
P kg m s
= = = −
∆ = − − − = −
⇒ ∆ =
r r
r r r
 
 
6,1 m 
db 
bP
r
bP
r
db 
iV
r
fV
r
5 
 
 
12. 
 ˆˆ ˆ(3500 160 ) 2700 300 , 250r t i j k m kg= − + + =r 
 a) 
4
ˆ ˆ(160 / ) 250.( 160 ) 4.10 . /
P mv
dr
v m s i P i P kg m s
dt
=
= = − → = − ⇒ = −
r r
r
r rr 
b) na direção x− → oeste 
c) 
.
0 0
R
R
F m a
dv
a F
dt
=
= = ⇒ =
r r
r
rr 
 
13. 
 
391 , 68 68.10 , 4 / , 0h p FP ih iPm kg m g kg v m s V V
−
= = = = = = 
 com o movimento é um uma dimensão, 
 
3
. . 0 91. 68.10 .4 0i F h Fh p Fp hFP P m v m v V
−
= ⇒ + = ⇒ + =∑ ∑
r r
 
 
33.10 /FhV m s
−⇒ = − (sentido contrário ao da pedra) 
 
14. 
 
1 2 1
1 2
1 1 2 2 2 2
1 3 , 1,7 /
0
0 1.1,7 3. 0 0,57 /
i i
i F
m kg e m kg V m s
v v
P P m v m v v v m s
= = =
= =
= ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = −∑ ∑
r r
 
 
15. 
 
ˆ ˆ( 0,4 / ) , 0,5 , ?, 0,6 , (0,2 / )
ˆ0,2 , (0,3 / ) , 1,3
. . .
ˆ ˆ ˆ ˆ1,3.(0,4 ) 0,5. 0,6.0,2 0,2.0,3 (1,4 / )
i A FA B FB
c FC A B C
i F i A FA B FB c FC
FA FA
v m s i m kg v m kg v m s i
m kg v m s i m m m m kg
P P m v m v m v m v
i v i i v m s i
= − = = = =
= = = + + =
= ⇒ = + +
⇒ = + + ⇒ = −
∑ ∑
r r r
r
r r r r r r
r r
 
 
16. 
 a) Supondo: 
6 
 
22 23
22 23
22 23
22 2
ˆ ˆ(1,2.10 . / ) (6,4.10 . / ) , ?
ˆ ˆ0 (1,2.10 / ) (6,4.10 . / ) 0
ˆ ˆ(1,2.10 . / ) (6,4.10 . / )
(1,2.10 ) (6,4.10
FC FN FN
i F FN Fn Fe iN
FN
fN
P kg m s i e P kg m s j P
P P P P P P kg m s i kg m s j
P kg m s i kg m s j
P
− −
− −
− −
− −
= = =
= ⇒ + + = ⇒ + + =
⇒ = − −
⇒ = +
∑ ∑
r r r
r r r r r r
r
23 2 22) 1,36.10 . /kg m s−=
 
 b) 
 
33
22
1
6,4.10 28º
1,2.10
180º 180º 28 152º
tgθ θ
α θ
−
−
= ⇒ =
= − = − =
 
c) 2 90º 90º 28º 118α θ= + = + = º 
d) 
26 22 26
2 26 2 19
5,8.10 . 1,36.10 5,8.10 2345 /
1 1
.5,8.10 (2345) 1,6.10
2 2
FN N FN FN FN
k N N k
m kg P m v v v m s
E m v E J
− − −
− −
= = ⇒ = ⇒ =
= = ⇒ =
 
 
17. 
 
1 1
2 2
ˆ ˆ20 , (200 / ) , 10 , (100 / )
ˆ4 , (500 / )
i fm kg v m s i m kg v m s j
m kg v m s i
= = = =
= = −
r r
r 
 a) 
 
3 3
1 1 2 2 3 3
3 3
3
6 ?
0
ˆ ˆ(20.200 4.500) 1000
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ20.200 10.100 4.500 6. 1000 166,67
6
1013,79 /
F
ext i F i F F F
F F
F
m kg v
F P P Mv m v m v m v
i ji j i v v i j
v m s
= =
= ⇒ = ⇒ = + +
+ −
⇒ = − + ⇒ = = −
=
∑ ∑ ∑
r
r r r r r r r
r r
 
 
166,67 9,46º
1000
tgθ θ= ⇒ = 
 
 b) 
 
2 2 5
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3
6
6 5 6
1 1 20.200 4.10
2 2
1 1 1 1 (10.100 4.500 6.1013,79 )
2 2 2 2
3,63.10
3,63.10 4.10 3,23.10
ki i
kf
kf
k kf ki
E Mv J
E m v m v m v
E J
E E E J
= = =
= + + = + +
⇒ =
∆ = − = − =
 
 
 
fNP
r
feP
r
fnP
r
1α
2α
θ
x
y
θ
7 
 
18. 
 0iv = 
 1 2 3, 3 ,m m m m m= = = supondo: 
1 2
1 1 2 2 3 3
3 3
2 2
3
ˆ ˆ(30 / ) , (30 / )
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
.30 .30 3 0 ( 10 10 ) /
1010 10 14,14 / 45º
10
f f
ext i f f f f
f f
f
v m s i v m s j
F P P m v m v m v
m i m j m v v i j m s
v m s tgθ θ
= =
= ⇒ = ⇒ + + =
⇒ + + = ⇒ = − +
= + = = ⇒ =
∑ ∑ ∑
r r
r r r r r r
r r 
 
19. 
 
6090, 105 / , 6090 80 6010
253 /
6090ln 105 253 ln 108,34 /
6010
i i f
rel
i
f i rel f f
f
M kg v m s M kg
v m s
M
v v v v v m s
M
= = = − =
=
   
− = ⇒ = + → =       
 
 
20. 
 
3 3 4 26.10 / , 3.10 / , 4.10 , 2 /i relv m s v m s M kg a m s= = = = 
 a) 
4 4
. 4.10 .2 8.10E M a N= = = 
 b) 
3 4? . . 3.10 4.10 .2 26,67 /
relR v R M a R R kg s= = ⇒ = ⇒ = 
 
21. 
 
5 52,55.10 , 1,81.10 , 250 , 0
480 / , 3,27 /
i c i
rel
M kg M kg t s v
dm kg s v km s
dt
= = ∆ = =
= =
 
 a) 
3 6
. . 3,27.10 .480 1,57.10
rel rel
dmE v R V N
dt
= = = = 
 b) 
' 5480.250 1,2.10cm kg= = (combustível consumido) 
 
5 5 52,55.10 1,2.10 1,35.10fM kg⇒ = − = 
 c) 
5
5
2,55.10ln 3,27 ln 2,08 /
1,35.10
i
f i rel f
f
M
v v v v km s
M
   
− = ⇒ = =       
 
 
22. 
 50 0,2mF N m kg= = → movimento em uma dimensão. 
y
x
1fv
r
3fv
r
2fv
r
θ
8 
 
2
2
10 10
. .
50.10 0,2. 2,5 /
m f i
f f
t ms s
j P F t m v mv
v v m s
−
−
∆ = =
= ∆ → ∆ = −
→ = → =
 
 
23. 
3150 0 ,15 , 40 / , 60 / , 5.10 ,i fm g kg v m s v m s t s−= = = = − ∆ = 
 como o movimento é em uma dimensão 
 
3
. .5.10 0,15( 60 40) 3000
3000
m f i m m
m
j p F t mv mv F F M
F N
−
= ∆ ⇒ ∆ = − → = − − → = −
→ =
 
 
25. 
 Movimento em uma dimensão 
 1,2 , 25 / , 10 / , 0,02i fm kg v m s v m s t s= = − = ∆ = 
a) 1,2.10 1,2.( 25) 42 .f ij p mv mv N s= ∆ = − = − − = 
b) . 42 .0,02 2100m m mj F t F F N= ∆ ⇒ = ⇒ = 
 
26. 
 1 2
ˆ1400 , 5,3 / , 4,6 , 35 0,35im kg v m s j t s t ms s= = ∆ = ∆ = =
r
 
 a) 
2
1
1
ˆ5,3 /
ˆ ˆ1400.(5,3 5,3 )
ˆ ˆ ˆ(7420 7420 ) .
f i f i
v m si
j p P P mv mv i j
j i j N s
=
= ∆ = − = − = −
⇒ = −
r
r rr r r r
 
b) 2 2 2
ˆ ˆ1400.5,3 (7420 ) .f ij p p P mv i j i N s= ∆ = − = − = − ⇒ = −
rr rr r r
 
c) 
1 1 1
2 2 3
1 1. 7420 7420 .4,6 2,28.10m m mj F t F F N= ∆ = + = ⇒ = 
d) 
2 2 2
4
2 2. 7420 .0,35 2,12.10m m mj F t F F N= ∆ ⇒ = ⇒ = 
e) A direção de 
1m
F
r
é a mesma de 1j
r
 
 
27. 
 Movimento em uma dimensão 
y 
x 
45° 
1m
F
r
9 
 
4 4
0 0
42
0
2
10 , 0, 50 , 4 , 0
. , / 4 50 50 .4 12,5 / 12,5
12,5
12,5
2
412,5. 10. 10 /
2
i f i
f i f
f
f f
m kg F F N t s v
F A t p t F A A N s F t
j p Fdt mv mv t dt mv
t
mv
v v m s
= = = ∆ = =
= = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
= ∆ ⇒ = − ⇒ =
⇒ =
⇒ = ⇒ =
∫ ∫ 
 
28. 
 O movimento é em uma dimensão 
 
 
 
35,2 5,2.10 , 672 / , 700 0,7
0, 428 /
p ip b
ib Fp
m g kg v m s m g kg
v v m s
−
= = = = =
= =
 
 a) ?Fbv = 
 
0 0
3 3
0 . .
5,2.10 .672 5,2.10 .428 0,7. 1,81 /
ex i f p p b b p Fp b Fb
Fb Fb
F P P m v m v m v m v
v v m s− −
= ⇒ = ⇒ + = +
⇒ = + ⇒ =
∑ ∑ ∑
 
 b) 
 
3 3
. .
(5,2.10 0,7) 5,2.10 .672 4,9 /
cm p ip b ib
cm cm
M V m v m v
V V m s− −
= +
⇒ + = ⇒ =
 
 
29. 
 
6 , 9 / , 12 , 0
0 . . ( )
6.9 (6 12). 3 /
t it p ip
ex i f t it p ip t p f
f f
m kg v m s m kg v
F P P m v m v m m v
v v m s
= = = =
= ⇒ = ⇒ + = +
⇒ = + ⇒ =
∑ ∑ ∑
r r
 
 
30. 
 O movimento é em uma dimensão 
34,5 4,5.10 , 2,4 , 0, 0,2, 1,8p b ibm g kg m kg v d mµ−= = = = = = 
 a) 
 2
2
( ) . .
1 ( ) .( ). . 0,2.9,8.1,8
2 2
fat f kf i ki c
i
p b i c p b
E w u E E n d
v
m m v m m g d
µ µ
µ
∆ = ⇒ + − + = −
⇒ − + = − + ⇒ =
 
0 pv
r 0
0bv =
fPv
r
fbv
r
10 
 2,7 /iv m s⇒ = 
b) 
 
' '
3 ' 3
'
. . ( )
4,5.10 . (4,5.10 2,4).2,7
1442,7 /
i f p ip b ib p b i
ip
ip
P P m v m v m m v
v
v m s
− −
= ⇒ + = +
⇒ = +
⇒ =
∑ ∑
r r
 
 
31. 
 1100 , 1400 , 0,13, 8,2 , 6,1A g k A Bm kg m kg d m d mµ= = = = = 
 a) 
 
2
?
1( ) . .
2
2. . 2.0,13.9,8.8,2 4,6 /
iA
fat f kf i ki c i c
i c iA iA
v
E w u E u E mgd mv mgd
v gd v v m s
µ µ
µ
=
∆ = ⇒ + − + = − ⇒ =
⇒ = ⇒ = ⇒ =
 
 b) 2. . . 2.0,13.9,8.6,1 3,9 /iB c B iBv g d v m sµ= = ⇒ = 
 c) 
imediatamente antes e após a colisão, temos que: 
 
' '
' '
. .
1400. 1100.4,6 1400.3,9 7,5 /
i f A iA B iB A iA B iB
iB iB
P P m v m v m v m v
v v m s
= ⇒ + = +
⇒ = + ⇒ =
∑ ∑
r r
 
 
32. 
 
1 1 2 2
1 1 2 2 1 2
2 , 10 / , 5 , 3 / , 1120 /
. ( )
2.10 5.3 (2 5) 5 /
i i
i f i i f
f f
m kg v m s m kg v m s k N m
P P m v m v m m v
v v m s
= = = = =
= ⇒ + = +
⇒ + = + ⇒ =
∑ ∑
r r
 
 a energia mecânica do sistema se conserva 
 
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2
2 2 2 2
1 1 1 1( )
2 2 2 2
2.10 5,3 (2 5).5 1120. 0,25
i f ki i kf f
i i f
E E E u E u
m v m v m m v kx
x x m
= ⇒ + = +
⇒ + = + +
⇒ + = + + ⇒ =
 
 
33. 
 1 1 2 1340 0,34 , 1,2 / , 0, 0,66 /i i fm g kg v m s v v m s= = = = = 
a) e b) 
11 
1 1 2 2 2 2 1 1
2 2
2 2
.
0,34.1,2 0,34.0,66 .
0,184
i f i i f f
f
f
P P m v m v m v m v
m v
m v
= ⇒ + = +
⇒ = +
⇒ =
∑ ∑
r r
 
na colisão elástica a energia cinética do sistema se conserva 
1 2 1 2
2 2 2
1 1 1 1 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
1 1 1
2 2 2
0,34.(1,2) 0,34.(0,66) 0,341
0,341 . . 0,341 0,184. 1,86 /
0,184 0,099
1,86
i i f fk k k k i f f
f f
f f f f
E E E E m v m v m v
m v m v
m v v v v m s
m kg
+ = + ⇒ = +
⇒ = + ⇒ =
⇒ = ⇒ = ⇒ =
⇒ = =
 
c) 1 1 2 2
1 2
0,34.1,2 0,93 /
0,34 0,099
i i
cm
v m v m
v m s
m m
+
= = =
+ +
 
 
34. 
 1 1 2 20,5 , 70 0,7 , 2,5 , 0im kg L cm m m kg v= = = = = 
 Cálculo da velocidade da bola imediatamente antes da colisão. Considerando apenas a bola, temos que: 
 
2 2 21 1 1
2 2 2
2 2.9,8.0,7 3,7 /
i f i i F F F
F
E E u mv u mv mgh mv
v gL m s
= ⇒ + = + ⇒ =
⇒ = = =
 
 Considerando a bola e o bloco, imediatamente antes e depois da colisão, temos que: 
 
' ' ' '
1 1 2 2 1 1 2 2
' ' ' ' ' '
1 2 1 2 1 20,5.3,7 0,5. 2,5. 3,7 5 3,7 5
i F i i f f
f f f f f f
P P m v m v m v m v
v v v v v v
= ⇒ + = +
⇒ = + ⇒ = + ⇒ = −
∑ ∑
r r
 
 Na colisão elástica a energia cinética se conserva 
 
' 2 ' 2 ' 2 ' 2
1 1 2 2 1 1 2 2
2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2
1 2 1 2
' 2 ' 2 ' ' '
2 2 2 1 2
1 1 1 1
2 2 2 2
0,5.(3,7) 0,5. 2,5 13,69 5
13,69 (3,7 5 ) 5 1,23 / 3,7 5 2,45 /
i i f f
f f f f
f f f f f
m v m v m v m v
v v v v
v v v m s e v v m s
⇒ + = +
⇒ = + ⇒ = +
⇒ = − + ⇒ = = − = −
 
 
35. 
 
ˆ ˆ ˆ ˆ2 , 15 30 , 10 5
ˆ ˆ5 20
A B iA iB
FA
m m kg v i j v i j
v i j
= = = + = − +
= − +
r r
r 
 a) 
12 
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ15 30 10 5 5 20 .
ˆ ˆ(10 15 ) /
i f A iA B iB A fA B fB
fB
fB
P P m v m v m v m v
i j i j i j v
v i j m s
= ⇒ + = +
⇒ + − + = − +
⇒ = +
∑ ∑
r r r r r r
r
r
 
 b) 
 
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
2 2
15 30 33,54 / , 10 5 11,18 / , 5 20 20,61 /
10 15 18,03 /
1 1
.2(33,54) .2.(11,18) 1249,92
2 2
1 1
.2.(20,61) .2.(18,03) 749,85
2 2
749,85 1
ki A Ai B Bi
Ai Bi Af
Bf
ki
kf
k kf ki
E m v m v
v m s v m s v m s
v m s
E J
E J
E E E
= +
= + = = + = = + =
= + =
⇒ = + =
= + =
∆ = − = − 249,92 500,07J= −
 
 
 
 
36. 
 
54 , 16 , 0, 1,2.10 /N iN fNm u m u v v m sα = = = = 
 
 
 
a) 
 
5 5
5 5
5 5
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4. 4( cos64º sen 64º ) 16(1,2.10 cos51º 1,2.10 51º )
ˆ ˆ ˆ( cos64º 3,02.10 ) ( sen 64º-3,73.10 )
sen 64º 3,73.10 0 4,15.10 /
i f i N Ni F N FNi F F
i F F
F F
P P m v m v m v m v
v i v i v j i sen j
v i v i V j
V v m s
α α α α
α α α
α α α
α α
= ⇒ + = +
⇒ = + + −
= + +
⇒ − = ⇒ =
∑ ∑
r r r r r r
 
 b) 
 
5 5 5 5cos 64º 3,02.10 4,15.10 .cos64º 3,02.10 4,84.10 /i F iv v v m sα α α= + = + ⇒ = 
 
37. 
 1 2 2 1 2, 0, 3,5 / , 2 /i f fm m m v v m s v m s= = = = = 
 a) 
x 
y 
iv α
r
fv α
r
f Nv
r
51º 
64º 
N 
13 
 
1 1 2 2 1 1 2 2
1
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3,5 cos 22º 3,5sen 22º 2cos 2sen
ˆ ˆ ˆ(3,5cos22º 2cos ) (3,5sen 22º 2sen )
3,5sen 22º 2sen 0 40,96º
i f i i f f
i
i
P P m v m v m v m v
v i i j i j
v i i j
θ θ
θ θ
θ θ
= ⇒ + = +
⇒ = + + −
⇒ = + + −
⇒ − = ⇒ =
∑ ∑
r r r r r r
 
 b) 1 13,5cosº 22 2cos(40,96º ) 4,75 /i iv v m s= + ⇒ = 
 c) 
 
2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1
. (4,75) 11,28
2 2 2
1 1 1 1(3,5) .2 8,125
2 2 2 2
ki i i
kf f f
E m v m v m m
E m v m v m m m
= + = =
= + = + =
 
 ki kfE E≠ ⇒ não 
 
38. 
 
1 2 1 2
1 1 2 2
1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
, ,
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( cos sen ) ( cos .sen ) 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(cos sen ) (cos sen ) 2
2
ˆ ˆ ˆ(cos cos ) ( sen sen ) 1
0 sen sen
i
i i i f
i f
i i i i f
i
i i i
v
m m m v v v v
P P
m v i v j m v i v j mv i
v
v i j v i j i
i j i
sen sen
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
= = = = =
=
⇒ − + + =
⇒ − + + =
⇒ + + − + =
⇒ − + = ⇒ = ⇒
∑ ∑
r r
1 2
1 2 1 1 1 1
1
cos cos 1 cos cos 1 2cos 1 60º
2 2.60 120º
θ θ
θ θ θ θ θ θ
α θ α
=
+ = ⇒ + = ⇒ = = =
⇒ = = ⇒ =
 
x 
y 
1i
v
r
1fv
r
2fv
r
220º 
θ
x 
y 
α
fv
r
2iv
r
1iv
r
1θ
2θ