FUNDAMENTOS_DA_FISICA_MODERNA_E_CONTEMPORANEA_I

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FUNDAMENTOS DA FÍSICA
MODERNA E
CONTEMPORÂNEA I
Caro(a) aluno(a),
A Faculdade Anísio Teixeira (FAT), tem o interesse contínuo em proporcionar
um ensino de qualidade, com estratégias de acesso aos saberes que conduzem ao
conhecimento.
Todos os projetos são fortemente comprometidos com o progresso educacional
para o desempenho do aluno-profissional permissivo à busca do crescimento
intelectual. Através do conhecimento, homens e mulheres se comunicam, têm
acesso à informação, expressam opiniões, constroem visão de mundo, produzem
cultura, é desejo desta Instituição, garantir a todos os alunos, o direito às
informações necessárias para o exercício de suas variadas funções.
Expressamos nossa satisfação em apresentar o seu novo material de estudo,
totalmente reformulado e empenhado na facilitação de um construtor melhor para
os respaldos teóricos e práticos exigidos ao longo do curso.
Dispensem tempo específico para a leitura deste material, produzido com muita
dedicação pelos Doutores, Mestres e Especialistas que compõem a equipe docente
da Faculdade Anísio Teixeira (FAT).
Leia com atenção os conteúdos aqui abordados, pois eles nortearão o princípio de
suas ideias, que se iniciam com um intenso processo de reflexão, análise e síntese
dos saberes.
Desejamos sucesso nesta caminhada e esperamos, mais uma vez, alcançar o
equilíbrio e contribuição profícua no processo de conhecimento de todos!
Atenciosamente,
Setor Pedagógico
 
Este módulo deverá ser utilizado apenas como base para estudos. Os créditos da autoria dos conteúdos aqui apresentados são dados aos seus respectivos autores. 3 
SUMÁRIO 
 
APRESENTAÇÃO ........................................................................................................................ 4 
UNIDADE I – INTRODUÇÃO À FÍSICA MODERNA ............................................................ 5 
1. O MODELO ATÔMICO .......................................................................................................... 7 
2. A RELATIVIDADE .................................................................................................................. 8 
 
UNIDADE II - A MECÂNICA NEWTONIANA: TEMPO, ESPAÇO E REFERÊNCIAS ..... 11 
1. OS PRIMEIROS ESTUDOS SOBRE A DINÂMICA DOS MOVIMENTOS 
CIRCULARES ............................................................................................................................. 17 
2. TEMPO, ESPAÇO E REFERÊNCIAS ................................................................................. 23 
2.1 O TEMPO ........................................................................................................................... 23 
2.2 O DESENVOLVIMENTO DOS RELÓGIOS ................................................................... 24 
2.3 ESPAÇO E REFERENCIAIS............................................................................................. 29 
 
UNIDADE III – ALGUNS CONCEITOS DA FÍSICA MODERNA ...................................... 33 
1. O EFEITO FOTOELÉTRICO ............................................................................................... 35 
2. A FÍSICA NUCLEAR ............................................................................................................. 36 
3. A EQUIVALÊNCIA MASSA-ENERGIA ............................................................................. 37 
4. DIMENSÕES NUCLEARES .................................................................................................. 38 
5. ENERGIA DE LIGAÇÃO ...................................................................................................... 40 
 
UNIDADE IV - SUGESTÕES DE TEXTOS PARA LEITURA ............................................. 42 
 
REFERÊNCIAS UTILIZADAS E CONSULTADAS .............................................................. 74 
 
 
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APRESENTAÇÃO 
 
Esta apostila foi preparada com o intuito de oferecer subsídios à disciplina 
FUNDAMENTOS DA FÍSICA MODERNA E CONTEMPORÂNEA, cujo objetivo é fornecer 
um conjunto de elementos conceituais, teóricos e empíricos que permitam a você, aluno do 
Instituto PROSABER, desenvolver seus estudos e obter o conhecimento esperado, com sucesso. 
Em sendo, pretendemos demonstrar e discutir o Estado da Arte da contextualização e 
dos Fundamentos da Física, analisando as pesquisas realizadas, acerca destes temas, a partir dos 
grandes centros de pesquisas, nacionais e estrangeiros, bem como, utilizando- se dos maiores 
autores dos temas abordados. 
Em seguida falaremos da Mecânica de Newton, com ênfase no tempo, no espaço e nos 
referenciais da Física, numa perspectiva histórica. 
Isto, porque, muitos alunos e professores têm-nos relatado suas dificuldades em obter 
resultados satisfatórios, quando ensinam Física da forma convencional, abordada nas escolas. 
Eles, também, ainda apresentam dificuldades conceituais. 
Para tanto, inspiramo-nos na seguinte sugestão dos Parâmetros Curriculares Nacionais 
do MEC: para o Ensino Médio, meramente propedêutico atual, disciplinas científicas, como a 
Física, têm omitido os desenvolvimentos realizados durante o século XX e tratam de maneira 
enciclopédica e excessivamente dedutiva os conteúdos tradicionais. Trata-se, isso sim, de prover 
os alunos de condições para desenvolver uma visão de mundo atualizada, o que inclui uma 
compreensão mínima das técnicas e dos princípios científicos em que se baseiam. 
Ao final, disponibilizamos diversos resumos e um texto completo, contendo uma 
revisão da literatura sobre o tema, além de endereços de textos para leitura, análise e possíveis 
futuros estudos, bem como, fontes de referências para a feitura do seu Trabalho de Conclusão de 
Curso (TCC) e, ainda, o aprofundamento dos temas abordados. 
Por tudo isso, esperamos que esta seja uma excelente leitura e que tenha sucesso em seu 
curso. 
 
 
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UNIDADE I – INTRODUÇÃO À FÍSICA MODERNA 
 
É ponto pacífico entre os estudiosos que, a Física Moderna surge a partir da grande 
revolução que foi a teoria quântica, no final do século XIX, quando várias pesquisas sobre a 
estrutura do átomo, radioatividade e ondulatória, dão início a uma lógica nova e diferente das 
teorias já prontas. 
Através dessa teoria, surgiu uma concepção probabilística da natureza, deixando para 
trás aquela rígida e determinística visão da mesma. 
Isto porque, ela trata as subpartículas como um campo espalhado no espaço, com um 
“quantum” de energia proporcional à sua frequência, ou vibração, permitindo-nos, a noção de 
que toda a matéria vibra. 
Em sendo, podemos constatar que os sólidos são semelhantes à luz, mas de uma forma 
condensada, vibrando a baixíssimas frequências. Contudo, na medida em que aumenta essa 
frequência, esses sólidos vão ficando menos densos, transformando-se em líquidos e gases até 
chegar a um ponto em que se transformariam em som (16 a 32.768 vibrações/s) e, depois em 
eletricidade (1 bilhão de vibrações/s), calor (200 trilhões de vibrações/s), luz/cor (500 trilhões de 
vibrações/s), Raios-X (2 milhões de trilhões de vibrações/s), e etc. 
Assim, tem-se a questão do movimento que, enquanto a relatividade geral o percebe 
como algo contínuo, a teoria quântica o vê como descontínuo, resultado evidenciado nos estudos 
acerca dos elétrons que, ao receberem níveis crescentes de energia (os saltos quânticos, a 
Catástrofe dos matemáticos, os insights da psicologia), os mesmos saltavam, subitamente, de 
nível energético, configurando a existênciade “transições descontínuas instantâneas”. 
Assim, somou-se a noção de instantaneidade a essa noção de imprevisibilidade e 
indeterminação quânticas. 
Contudo, a instantaneidade ia contra a ideia de uma velocidade máxima no Universo. 
Em sendo, diversos autores farão estudos sobre o tema, na tentativa de invalidar as 
descobertas da Física Quântica, tendo início em 1935 com Albert Einstein (1879-1955), Nathan 
Rosen e Boris Podolsky, que imaginaram uma situação (efeito EPR) em que a velocidade 
máxima do universo seria ultrapassada. 
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Não obstante, experiências desenvolvidas nos idos de 1972, por John Clauser, e mais 
tarde corroboradas por outros cientistas, comprovaram as teses de John S. Bell (1964) de que a 
mudança de sinal no spin de um elétron, acarretava uma mudança instantânea no spin de sua 
antipartícula, independente da distância entre elas (efeito EPR), dando início à construção do 
conceito de sincronicidade: ocorrências que independem do tempo e do espaço. 
Daí, diversos estudiosos constatarem que, o Universo seria uma teia dinâmica de 
eventos inter-relacionados, com igual importância, parecido com uma rede interconexa de 
relações, na qual, partículas são dinamicamente compostas umas das outras, cada uma delas 
envolvendo todas as outras, cada uma sendo todas as outras. 
A essa abordagem dá-se o nome de bootstrap, e, a partir dela, questiona-se a existência 
de uma “ordem implicada” ou implícita no Universo, que, subjacente ao mundo “explicado” 
implica na existência de uma dimensão em que todas as dualidades coexistem como uma 
totalidade fundamental indivisível, ao contrário do “mundo explicado”, onde o sentimento de 
separatividade existe. Dessa forma matéria e consciência, saúde, doença etc., são uma só 
unidade, como no 4º Princípio Hermético, descrito pela religião egípcia. Nessa dimensão todas 
as coisas são vivas num fluxo contínuo. Por exemplo, vida e morte são movimentos e não têm 
existência por si mesmos, posto que, nada é estático. 
William A. Tiller, professor na Universidade de Stanford, foi mais além na teoria de 
Einstein. Além da velocidade da luz haveria um mundo de energias não mensuráveis, que não 
seguiriam as leis de conservação de energia. Einstein admitia a existência dessas “formas sutis de 
energia que não podem ser medidas, mas que existem, logo, são importantes”. Ele falava da dor da 
perda de um ente querido. Tiller postulou um outro espaço/tempo, negativo, ao qual chamou de 
espaço/tempo etérico, de vibrações mais altas que as do espaço/tempo físico, esse positivo. Esse 
espaço/tempo negativo seria composto de matéria etérica (sutil) onde repousariam todas as energias 
dos sentimentos. Acima desse nível haveria um mais sutil ainda, com vibrações ainda mais altas, o 
nível da mente e da espiritualidade. Todas essas energias interagiriam diretamente com o nível 
quântico subatômico, interferindo no aparente determinismo quântico do teorema de Bell. 
Teríamos então como mudar o Universo com a força sutil da espiritualidade, do 
pensamento e das emoções? Há realmente algo como o livre-arbítrio? As teorias budistas dizem 
que sim. 
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1. O MODELO ATÔMICO 
 
Um ponto de partida para a compreensão do modelo atômico é o caráter fundamental de 
todo sistema quântico. Considera-se que tal noção surge em 1900, a partir do estudo realizado 
por Max Planck, acerca do espectro da radiação emitida por corpos aquecidos, conhecido como 
problema da radiação do corpo negro. Na dedução da expressão, que pretende descrever os 
dados experimentais do espectro, as energias individuais das partículas que compõem o corpo 
aquecido são somadas. Essa soma só conduz à expressão correta se os valores de energia, de 
cada partícula forem, apenas, múltiplos inteiros de um valor mínimo, que é a energia do estado 
fundamental. Ou seja: a energia de cada partícula só pode ter valores discretos (STUDART, 
2000). O quantum de energia nasce da interpretação desse fato: para que uma partícula mude o 
valor de energia é preciso que adquira ou perca uma quantidade definida de energia, denominada 
quantum de energia. 
Max Planck é quem define o conceito fundamental da nova teoria - o quanta. Mas a 
teoria geral é de autoria de um grupo internacional de físicos, entre os quais: Niels Bohr 
(Dinamarca), Louis De Broglie (França), Erwin, Shrödinger e Wolfgang, Pauli (Áustria), Werner 
Heisenberg (Alemanha) e Paul Dirac (Inglaterra). 
Quanta - Em 1900 o físico alemão Max Planck afirma que as trocas de energia não 
acontecem de forma contínua e sim em doses, ou pacotes de energia, que ele chama de quanta. A 
introdução do conceito de descontinuidade subverte o princípio do filósofo alemão Wilhelm 
Leibniz (1646-1716), "natura non facit saltus" (a natureza não dá saltos), que dominava todos os 
ramos da ciência na época. 
Modelo quântico do átomo - Surge em 1913, elaborado por Niels Bohr (1885-1962). 
Segundo ele, os elétrons estão distribuídos em níveis de energia, característicos de cada átomo. 
Ao absorver um quanta de energia, um elétron pode pular para outro nível e depois voltar a seu 
nível original, emitindo um quanta idêntico. 
A grande marca da mecânica quântica é a introdução do conceito de dualidade quântica 
e depois, com Werner Heisenberg, do princípio de incerteza. Para a mecânica quântica, o 
universo é essencialmente não-determinístico. O que a teoria oferece é um conjunto de prováveis 
respostas. No lugar do modelo planetário de átomo, com elétrons orbitando em volta de um 
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núcleo, a quântica propõe um gráfico que indica zonas onde eles têm maior ou menor 
probabilidade de existir. Toda matéria passa a ser entendida segundo uma ótica dual: pode-se 
comportar como onda ou como partícula. É o rompimento definitivo com a mecânica clássica, 
que prévia um universo determinístico. 
Princípio da incerteza - Em 1927, Werner Heisenberg formula um método para 
interpretar a dualidade da quântica, o princípio da incerteza. Segundo ele, pares de variáveis 
interdependentes, como tempo e energia, velocidade e posição, não podem ser medidos com 
precisão absoluta. Quanto mais precisa for a medida de uma variável, mais imprecisa será a 
segunda. 
A forma mais óbvia, de conseguir medir com precisão a posição e velocidade de uma 
partícula, seria fazer incidir luz sobre a mesma - algumas das ondas luminosas seriam dispersas 
pela partícula, o que indicaria a sua posição. Contudo, não seria possível determinar a posição da 
partícula com maior precisão do que a amplitude das cristas das ondas luminosas, pelo que, é 
necessário utilizar uma onda muito curta para medir a posição da partícula. Ora, segundo a 
hipótese do quantum de Planck, não é possível utilizar uma quantidade, arbitrariamente, pequena 
de luz - tem de ser utilizado pelo menos um quantum. Este quantum irá, necessariamente, 
perturbar a partícula e alterar a sua velocidade de uma forma que não poderá ser prevista. Por 
outro lado, quanto maior for a precisão com que se mede a posição da partícula, menor será o 
comprimento de onda necessário e, portanto, maior a energia de um único quantum e, 
consequentemente, maior será o grau de perturbação da partícula. Tal fatosignifica que, quanto 
maior o rigor da medida da posição da partícula, menos rigorosa é a medida da sua velocidade e 
vice-versa. 
 
2. A RELATIVIDADE 
 
Albert Einstein1 é considerado um dos maiores cientistas de todos os tempos. Três 
artigos seus publicados em 1905 foram transcendentais para o desenvolvimento da física e 
 
1 Albert Einstein, (1879-1955), físico alemão naturalizado americano. Premiado com o Nobel de Física em 1921, é 
famoso por ser autor das teorias especial e geral da relatividade e por suas idéias sobre a natureza corpuscular da luz. 
É provavelmente o físico mais conhecido do século XX. 
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influíram no pensamento ocidental em geral. Os artigos tratavam da natureza da luz, descreviam 
o movimento molecular e apresentavam a teoria da relatividade restrita. 
Einstein é famoso por refletir, continuamente, nas hipóteses científicas tradicionais e 
tirar conclusões singelas, às quais ninguém havia chegado antes. Não se conhece tanto seu 
compromisso social, embora fosse um ardente pacifista e sionista. 
Nasceu em Ulm em 14 de março de 1879 e passou sua juventude em Munique, onde sua 
família possuía uma pequena oficina de máquinas elétricas. Desde muito jovem, demonstrava 
excepcional curiosidade pela natureza e notável capacidade de entender os conceitos 
matemáticos mais complexos. Aos 12 anos já conhecia a geometria de Euclides. 
A teoria da relatividade surge em duas etapas e altera, profundamente, as noções de 
espaço e tempo. Enquanto a mecânica quântica é resultado do trabalho de vários físicos e 
matemáticos, a relatividade é fruto, exclusivo, das pesquisas de Albert Einstein. 
Relatividade Restrita - Em 1905 ele formula a Teoria da Relatividade Restrita, segundo 
a qual, a distância e o tempo podem ter diferentes medidas, segundo diferentes observadores. 
Não existe, portanto, tempo e espaço absolutos, como afirmara Newton no Principia, mas, 
grandezas relativas ao sistema de referência, segundo o qual elas são descritas. Este tema será 
também posteriormente abordado de forma mais explícita em “Tópicos Especiais”. 
Dez anos depois, Einstein estende a noção de tempo-espaço à força da gravidade. A 
Teoria Geral da Relatividade (1916), classificada pelo próprio Einstein como "bonita 
esteticamente", é também uma teoria da gravidade capaz de explicar a força de atração pela 
geometria tempo-espaço. 
A fórmula relativa - A "revolução" de Einstein torna popular a fórmula Física E= mc² 
(energia é igual a massa vezes o quadrado da velocidade da luz). A equivalência entre massa e 
energia (uma pequena quantidade de massa pode ser transformada em uma grande quantidade de 
energia) permite explicar a combustão das estrelas e dar ao homem, maior conhecimento sobre a 
matéria. É a expressão teórica das enormes reservas de energia, armazenadas no átomo, na qual 
se baseiam os artefatos nucleares. 
Velocidade relativa - A relatividade também revoluciona a noção de velocidade. Ao 
demonstrar que todas as velocidades são relativas, explica que, apesar do movimento, nenhuma 
partícula poderia se deslocar a uma velocidade superior à da luz (299.792.458 metros por 
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segundo). À medida que se aproximasse dessa velocidade, a energia e a massa da partícula 
também aumentariam, tomando cada vez mais difícil a aceleração. 
Geometria espaço-tempo - Enquanto Newton descrevera a gravitação como uma queda, 
para Einstein essa é uma questão espacial. Quando um corpo está livre, isto é, sem influência de 
qualquer força, seus movimentos apenas exprimem a qualidade de espaço-tempo. A presença de 
um corpo, em determinado local, causa uma distorção no espaço próximo. 
Uma das mais importantes consequências da Teoria da Relatividade foi ter mostrado, 
claramente, a inadequação do conceito de espaço e tempo usados na Física Clássica. O “espaço 
físico" tridimensional, da nossa percepção imediata, não possui uma existência objetiva 
independente de cada um de nós. Segundo a Teoria da Relatividade, o espaço onde os eventos 
ocorrem é um espaço quadridimensional chamado espaço-tempo, composto não apenas pelas 
direções espaciais usuais, mas também, por uma direção de caráter temporal. Mais ainda, este 
espaço-tempo não possui uma estrutura euclideana (como a do “espaço físico" tridimensional) 
mas sim, uma estrutura pseudo-euclideana. 
 
 
 
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UNIDADE II 
A MECÂNICA NEWTONIANA: TEMPO, ESPAÇO E REFERÊNCIAS 
 
Nas palavras de Garcia2 (2009), os primeiros estudos que Newton realizou sobre 
mecânica na década de 1660 estavam ligados à filosofia natural de Descartes, principalmente à 
sua “doutrina do movimento”. Ao longo da segunda metade dessa década, Newton redigiu uma 
série de estudos, que foram todos anotados num único caderno de notas, hoje conhecido entre os 
comentadores pelo título de Waste Book. Nesse manuscrito encontra-se uma série de estudos 
sobre as colisões (dos corpos) e o movimento circular, onde é possível constatar a influência do 
Principia Philosophiae (1644) de Descartes. No início da quarta parte do WasteBook (IId) 
Newton enuncia seus primeiros axiomas e proposições, afirmando que: 
1. Se uma quantidade antes movia-se, ela nunca cessará de se mover, a menos que seja 
impedida por alguma causa externa. 
2. Uma quantidade mover-se-á sempre em uma linha reta (não mudando a determinação 
nem a velocidade de seu movimento), a menos que uma causa externa a desvie. 
(HERIVEL, 1965, p. 141). 
 
Um pouco mais à frente, Newton inicia novos estudos antecedidos por uma série de 
novos axiomas, com destaque para o primeiro: 
Ax: 100: Todas as coisas devem preservar-se naturalmente naquele estado em que se 
encontram, a menos que sejam interrompidas por alguma causa externa, por isso os 
axiomas 1 e 2. Uma vez que um corpo é movido, ele manterá sempre a mesma 
velocidade, quantidade e determinação do seu movimento. (Idem, p. 153). 
 
Ainda que os três axiomas acima possuam uma grande semelhança com as Leis do 
Movimento de Descartes, Newton promove uma mudança fundamental ao tratar 
quantitativamente as “causas externas” responsáveis pelas mudanças no estado de movimento ou 
de repouso dos corpos. O essencial para ele foi, a partir dos princípios e noções físicas de 
Descartes, ter desenvolvido nesse período um “modelo geométrico” que lhe possibilitou analisar 
as forças do movimento dos corpos nas colisões e calcular de modo mais preciso as ações das 
“causas externas”. Além do mais, esse “modelo de análise” permitiu-lhe tratar de um outro tipo 
de movimento essencial em suas futuras investigações: o movimento circular (dos corpos). 
 
2 Valdinei Gomes Garcia. A gravitação universal na filosofia da natureza de Isaac Newton. Dissertação de Mestrado. 
2010. Disponível em: 
<http://dspace.c3sl.ufpr.br/dspace/bitstream/handle/1884/24235/Dissertacao_Nei.pdf;jsessionid=1E0E7E62561F05
DAFA477EA2C5C83F2D?sequence=1>. Acesso em: 20 nov. 2011. 
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Naquele período de investigação, Newton empregou o termo “força” pela primeira vez, 
associando-o as “causas externas”. Ele a definiu como sendo “a pressão ou a compressão de um 
corpo sobre outro” e adiante, no Axioma 3, estabelece a proporcionalidade entre forca e a 
mudança de movimento produzido por ela: “Se o corpo bacd adquire o movimento q pela força 
d, e o corpo f o movimento p pela força g, então d:q::g:p” (HERIVEL, 1965, pp. 138 e 150). 
A razão acima reúne do mesmo lado movimento (q e p) e força (d e g), denotando que 
Newton, como um bom geômetra euclidiano (que respeita o princípio da homogeneidade das 
grandezas dispostas em relação de proporcionalidade) e um bom cartesiano, não faz ainda 
nenhuma diferenciação entre tais propriedades da matéria: “força” é apenas uma maneira de 
falar, sendo ontologicamente idêntica ao movimento. 
No entanto, os termos irão mudar drasticamente depois do De Gravitatione. 
A presença desse modelo de análise no Waste Book tornar-se-á importante nas 
investigações que Newton realizará a respeito dos movimentos circulares e da atuação de uma 
forca, uma vez que nesse manuscrito ele explica as mudanças de movimento geradas pelas 
colisões dos corpos com base no pressuposto conceitual de que “causa externa” dessas mudanças 
deve ser chamada de “força ou poder capaz de impedir ou mudar a continuação dos corpos em 
seus estados” (HERIVEL, 1965, p. 156). 
O problema de determinar a medida do “conatus [tendência, esforço] dos corpos que 
giram para afastarem-se do centro de seus movimentos”, que Descartes tratou de investigar na 
Terceira Parte do Principia Philosophiae, tornou-se objeto de interesse de Newton entre os anos 
de 1665 a 1670. Em seu tratado, Descartes postula que os corpos tendem a afastarem-se dos 
centros, em torno dos quais são movidos circularmente, em decorrência da “segunda lei da 
natureza”, que estabelece a determinação retilínea de todos os movimentos realizados sem 
nenhum impedimento externo. 
Descartes introduz essa noção em virtude do que ele mesmo afirma um pouco mais a 
frente: “Pois, esta é uma lei da natureza, que todos os corpos que se movem numa órbita, na 
medida em que dependem de si mesmos, afastam-se do centro de seus movimentos” (Art. 55, 
vers. latina-1982-p.108). Tal disposição dos corpos que giram para afastarem-se de seus 
respectivos centros, Descartes denominou de conatus recendendi a centro (esforço para afastar-se 
do centro). Segundo ele, esse esforço que surge nos corpos está intimamente ligado ao 
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movimento ao qual foram submetidos e que produz seu efeito apenas se o corpo não for 
impedido de mover-se em linha reta por alguma outra causa. 
O objetivo de Descartes era identificar esse “esforço” que um corpo realiza para se 
afastar do centro com a “força de seu movimento”. O aspecto mais significativo dessa discussão 
promovida por Descartes, que impulsionará Newton poucos anos depois em suas pesquisas, é o 
problema de determinar quantitativamente a tendência dessa “força” presente nos corpos. O texto 
cartesiano sugere uma maneira pela qual se pode determinar a quantidade dessa “força” ao 
mencionar que quanto mais veloz uma pedra é girada por uma funda, mais retesada ficará a 
corda que a prende. A tensão originada apenas da força pela qual a pedra se esforça para se 
afastar do centro de seu movimento evidencia a quantidade dessa força (Art. 59, versão latina, 
1982, p. 112). 
 
 
Figura 01 
 
Ainda que Newton tenha se ocupado dessa discussão, ao ponto de considerar quase 
todas as possibilidades abertas por Descartes, ele não cuidará de seguir de modo rigoroso a 
sugestão referida acima; ao contrário disso, fará uma interessante adaptação do modelo das 
interações dos corpos nas colisões para o tratamento quantitativo do conatus a centro. É no 
próprio manuscrito, citado há pouco, que Newton faz as primeiras referências ao conatus 
recendendi a centro analisado por Descartes. No Axioma 20, ele afirma: “Se uma esfera oc [fig. 
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01] move-se circularmente sobre a superfície côncava de um corpo cilíndrico edf em torno do 
centro m, ela deverá pressionar def (...)” (HERIVEL, 1965, 147/8). Pois, quando a esfera oc está 
em c “a determinação do seu movimento é na direção de g” e, se o corpo edf cessasse de detê-la, 
“ela mover-se-ia continuamente na linha cg (pelos Axiomas 1 2) obliquamente a partir do centro 
m”. Deste modo, o corpo edf mantém a esfera oc eqüidistante do centro m em virtude de “um 
impedimento ou reflexão contínua dela a partir da linha tangente em todos os pontos do círculo 
cbh”. Portanto, segue-se aquilo que foi afirmado acima, pois “o corpo edf não pode impedir e 
encurvar a determinação do corpo oc, a menos que eles continuamente pressionem-se entre si” 
(Idem, p. 148). 
A demonstração do Axioma 20 torna-se ainda mais importante por se referir às noções 
utilizadas no tratamento das colisões: reflexão, impedimento e pressão; além dos próprios 
princípios que regulam os movimentos dos corpos nas colisões (Axiomas 1 e 2). O interessante é 
notar que Newton irá derivar desse modelo das colisões dos corpos o sentido físico das noções e 
princípios que emprega na análise dos movimentos circulares. É, pois, nesse sentido que ele 
apresenta o Axioma 21: “Portanto, isto mostra que todos os corpos movidos circularmente 
realizam um esforço (endeavour) a partir do centro em torno do qual são movidos; caso 
contrário, o corpo oc não pressionaria continuamente edf” (Idem). A “pressão” que o corpo oc 
exerce sobre o corpo edf, cuja resistência a esse conatus de oc impede seu movimento através da 
tangente cg, é a única e principal evidência para o conatus a centro que Descartes havia 
postulado. 
Após ter definido o significado físico desse “esforço”, o próximo passo será a tentativa 
de avaliá-lo quantitativamente. O Axioma 22 procura cumprir tal exigência: “a força total através 
da qual o corpo oc esforça-se a partir do centro m, na metade de uma revolução, é de mais que o 
dobro da força capaz de gerar ou destruir seu movimento, isto é, mais que o dobro da força com 
a qual é movido” (Idem). 
O argumento acima tem sua importância dentro do contexto mencionado; no entanto, a 
medida “mais que o dobro” revela, de certo modo, a imprecisão nas análises que Newton realiza. 
O que ele apenas se limita a dizer é que a “metade” de uma revolução sendo a trajetória do corpo 
oc do ponto c até o ponto b passando pelo ponto h, e a “força capaz de gerar ou destruir seu 
movimento” (pelo Axioma 4) sendo a resistência do corpo edf, essa ao mesmo tempo em que 
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destrói a força do corpo oc para afastar-se do centro m, gera nele uma tal quantidade de 
movimento capaz de movê-lo no sentido inverso de b para h. Contudo, o significado mais 
importante nessa primeira tentativa de Newton é o uso do princípio da proporcionalidade entre 
forca e mudança da quantidade de movimento, que está implícito no Axioma 23 e servirá para a 
realização das futuras análises do conatus a centro. 
Passado algum tempo desde os primeiros estudos, Newton introduziu novas proposições 
no Waste Book, que forammarcadas pela superação do “modelo” cartesiano de uma pedra 
girando ao ser impulsionada por uma funda (adaptado para uma esfera movendo-se no interior de 
uma superfície côncava) que influenciou as suas primeiras investigações. Nessa nova série de 
estudos, Newton concebeu uma esfera que percorre os lados de um quadrado inscrito num 
círculo, em torno do qual existe um outro quadrado circunscrito (figura 02). 
 
Figura 02 
 
A colocação de Herivel (1965), demonstra a relação em questão: 
(...) a força pela qual ela [a esfera] esforça-se a partir do centro n gerará tanto 
movimento em um corpo quanto existe em b no tempo em que o corpo b percorre a 
distancia do semidiâmetro bn (como b é movido com um grau de movimento através de 
bn em um segundo de uma hora, então a força a partir do centro n sendo continuamente 
(como a força da gravidade) imprimida sobre um corpo durante um segundo, gerará um 
grau de movimento nesse corpo). Ou, a força a partir de n está para a força dos 
movimentos dos corpos :: periferia : raio.” (HERIVEL, 1965, p. 129). 
 
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Pois, se a esfera b move-se de a para b. 
Então 2fa:ab::ab:fa:: força ou pressão de b sobre fg para sua reflexão : força do 
movimento de b. 
Logo, “em uma revolução completa”, 4ab:fa:: força das reflexões em b, c, d, a: força do 
movimento de b. 
Ou seja, 
 
soma total das colisões nos 4 lados soma dos lados do quadrado 
_____________________________ = _______________________ 
 força do movimento da esfera raio do círculo 
 
Mas, se aumentarmos o número de lados do polígono circunscrito e, conseqüentemente, 
os lados de reflexão, até quando exista “um número infinitos de lados” iguais, podendo então ser 
tomado pelo próprio círculo, segue-se que “a força de todas as reflexões está para a força do 
movimento dos corpos assim como todos os lados (id est, o perímetro) estão para o raio”. 
(HERIVEL, 1965, p. 130). Dito de outro modo, se aplicarmos o resultado acima a qualquer 
polígono regular de “infinitos lados”, teremos: 
 
soma total das colisões em todos os lados soma de todos os lados do polígono 
________________________________ = ____________________________ 
 força do movimento da esfera raio do círculo 
 
O raciocínio utilizado até aqui revela que, na passagem ao limite, a soma das forças das 
reflexões no polígono inscrito tende a zero e muda continuamente, tornando-se muito difícil 
atribuir-lhe qualquer sentido físico (Idem, p. 09). Newton adverte então que as “forças de todas 
as reflexões” realizadas no mesmo tempo em que a esfera b percorre no círculo uma distância 
igual ao raio do círculo, devem ser tomadas como aplicadas continuamente sobre um corpo, 
sendo capaz de gerar nele, no mesmo tempo, a mesma quantidade de movimento que a esfera b 
possui. 
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Certamente Newton operou de modo intuitivo nessa altura dos seus estudos mecânicos, 
tratando de proceder das forças instantâneas pelas quais os corpos interagem nas colisões para as 
forças contínuas, ou seja, aquelas forças cujos efeitos devem ser avaliados com respeito ao 
tempo em que agem sobre os corpos. Tudo isso indica que Newton ainda não tinha a mesma 
consciência das implicações desse procedimento analítico que demonstra ter alcançado nos seus 
trabalhos posteriores, tal como acontecerá ao desenvolver um método para passar das forças 
impulsivas para as forças continuas que obviamente constituiu a base da sua teoria dinâmica no 
Principia Mathematica (1687). Mas um dos aspectos de singular importância é o fato de que a 
partir do Waste Book o “modelo” dessas forças contínuas é, para Newton, a forca da gravidade 
(que aparecerá mais tarde no Principia), cujos efeitos sobre os corpos na superfície da Terra 
certamente ele aprendeu a medir na mesma época em que desenvolvia seus estudos sobre o 
conatus a centro. 
 
1. OS PRIMEIROS ESTUDOS SOBRE A DINÂMICA DOS MOVIMENTOS CIRCULARES 
 
Enquanto trabalhava com os principais problemas mecânicos apresentados por 
Descartes, Newton tomou contato com as teorias astronômicas mais importantes de sua época, 
nas quais figuravam autores como Copérnico, Kepler e Galileu. Observando as notas 
manuscritas de um período pouco anterior ao dos seus estudos mecânicos, intitulados Questiones 
Quaedam Philosophicae, vê-se que ele se introduziu nos problemas astronômicos de sua época a 
partir das leituras que fez da Astronomia Carolina (1661) de Thomas Street. Na Astronomia, 
Street apresenta as hypotheses copernicanaea (termo usado no século XVII para referir ao 
sistema copernicano modificado no qual se aplicavam a Primeira e a Terceira Leis de Kepler) 
que Newton tomou conhecimento e pode, a partir dos dados da astronomia kepleriana, aplicar 
corretamente a “proporção sesquilátera” (2/3) entre os respectivos períodos de revolução e as 
distâncias médias dos planetas até o Sol, a ponto de afirmar, após o enunciado dessa proporção, 
que: 
Por exemplo, o período de revolução da Terra transformados em minutos de tempo 
sendo 525968½ e o de Marte, 989247½. Então, como o quadrado de 525968½ está para 
o quadrado de 989247½, assim também o cubo de 100000, a distância média da Terra, 
está para o cubo de 152369, a distancia média de Marte a partir do Sol. (McGUIERE 
eTAMNY, 1985, p. 362). 
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Todavia, por mais que a passagem acima se refira à Terceira lei de Kepler, ela deve ser 
considerada apenas dentro de um contexto astronômico e não conduzindo às conclusões sobre os 
movimentos circulares, algo que Newton realizará algum tempo depois quando derivar a lei do 
inverso do quadrado das distancias para o conatus a centro dos planetas. 
No Vellum Manuscript, texto produzido nos anos de 1665/6, Newton relaciona a forca 
da gravidade terrestre com os conatus a centro que surgem dos movimentos diurno e anual da 
Terra. Os resultados obtidos nesse período não são tão precisos, mas revelam o problema a partir 
do qual ele desenvolveu os primeiros cálculos astronômicos. A conclusão apresentada no Vellum 
é que a “força da gravidade” terrestre é 300 vezes maior que a “força centrífuga” originada pelo 
movimento diurno da Terra “como 1:300::vis a centro terrae: vim gravitatis.” (HERIVEL, 1965, 
p. 185). Tudo indica que esta foi uma tentativa de responder a um dos argumentos difundidos 
contra o sistema copernicano, mostrando que a rotação da Terra não lança os corpos no ar porque 
a força da gravidade, medida pela aceleração da queda dos corpos, é maior que a força que surge 
a partir da rotação (cf. WESTFALL, 1980, p. 150). 
Pouco tempo depois do Waste Book, Newton substitui o “tratamento poligonal” pelo 
“tratamento desviacional”, que resultou em um retorno ao sentido original do conatus a centro de 
Descartes, desvinculando, assim, suas investigações dos movimentos circulares das noções 
derivadas das colisões entre os corpos. Essa última conduta de Newton liga-se ao fato de que ele 
passou a considerar com maior freqüência as analogias entre o caráter continuo da “força da 
gravidade” e a ação do conatus a centro nos movimentos circulares uniformes (cf. HERIVEL, 
1965, p. 12). Em um manuscrito (U.CL.MSAdd. 3958.5) composto algum tempo depois do 
Vellum Manuscript, o conatus a centro será medido pela distância DB [figura 03] entre a 
trajetória circular AD e a trajetória inercial pela qual o corpo se desviará do círculo ADEA, se se 
movesse livremente na tangente AB no mesmo tempo em que percorre AD. 
Esse conatus, pela extensão da lei do quadrado do tempo de Galileu para qualquer força 
que produz uma aceleração contínua, “se somente impelisse continuamente uma linha reta à 
maneira da gravidade, impeliria os corpos através de espaços que são como o quadrado dos 
tempos”. (Idem, p. 193). Então, para que possa ser determinado o conatus a centro em uma 
revolução completa, deve-se procurar a linha que esteja para o tempo de uma revolução completa 
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ADEA na mesma proporção em que a distância BD está para o tempo representado pelo arco 
AD, isto é, a distância x que satisfaz a seguinte proporção: 
 
x: ADEA2::BD:AD2 
 
Pela Proposição 36 do Livro III dos Elementos de Euclides, temos que 
 
BE:BA::BA:BD 
 
E como a diferença entre BE e DE e entre BA e DA é suposta “ser infinitamente 
pequena”, então, 
 
DE:DA::DA:DB 
 
Logo, 
 
DA2 (ou DExDB): ADEA2::DB:ADEA2/DE 
 
A linha procurada é, portanto, “a terceira proporcional na razão da circunferência para o 
diâmetro”, isto é, (2πR)2/2R, ou, 2π2R. 
 
 
Figura 03. 
 
 
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A essa demonstração segue o Corolário que possibilitou as tentativas mais bem 
sucedidas de Newton de aplicar os resultados alcançados aos movimentos circulares da Terra e 
da Lua: 
Daí os conatus a centris nos diversos círculos são como os diâmetros divididos pelos 
quadrados dos tempos de revolução, ou como os diâmetros multiplicados pelo [quadrado] 
número de revoluções feitas no mesmo tempo qualquer que seja este. (HERIVEL, 1965, p. 194). 
Newton deriva a regra do conatus a centro “D/T2” (onde D é a distância, e T o tempo) 
pela aplicação da lei do quadrado do tempo de Galileu para a distância que o corpo se move sob 
a ação de uma força constante; pois, se no tempo T de uma revolução completa, o conatus move 
um corpo à distância 2π2R, ele moverá o corpo à distância 2π2R/T2 numa unidade de tempo 
(Idem: 12, 198 nota 6). 
Inicialmente, nesse novo passo, Newton utilizará o resultado acima exposto numa 
tentativa de solucionar o problema que encontrou no Dialogo de Galileu3, calculando a distância 
que o conatus a centro no equador terrestre, provocado pelo movimento diurno da Terra, 
impeliria um corpo se fosse tanto quanto é o “esforço para aproximar-se do centro [da Terra] em 
virtude da gravidade” (conatus accedendi ad centrun virtute gravitates). 
Considerando que a unidade de tempo é um “dia periódico”, ou uma revolução 
completa da Terra, pela proposição provada anteriormente, o conatus a centro no equador 
terrestre impeliria um corpo por 2π2R, ou “19¾ semidiâmetros terrestre ou 69.087 milhas. Em 
uma hora, por 120 milhas; em um minuto, por 500/3 pés (1/30 milhas); em um segundo, 5/108 
pés.” (HERIVEL, 1965, p. 194). Logo à frente, Newton comparará esse resultado com a medida 
da distância (16 pés por segundo) que realmente a “força da gravidade” (vis gravitatis) impele os 
corpos para baixo: “em torno de 350 vezes mais longe no mesmo tempo que o esforço a partir do 
centro”, e conclui que “a força da gravidade é muitas vezes maior, de tal modo que não permite 
que a Terra girando faça os corpos afastarem-se e lançarem-se no ar.” (Idem). 
 
3 Newton tomou conhecimento de vários problemas apresentados por Galileu ao ler sua obra através da edição de 
Thomas Salusbury (The Systeme of the World in four Dialogues. By Galileus Galileus, 1661). Provavelmente essa 
foi a única obra de Galileu que ele conheceu antes de escrever o Principia (Cf. COHEN, 1980, p. 133 e p. 319 nota 
11; WESTFALL, 1971, p. 47 nota 3). 
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O passo seguinte será comparar a forca da gravidade com o conatus da Lua para afastar-
se a partir do centro da Terra. Tal relação é introduzida logo em seguida ao Corolário I onde 
enuncia a regra “D/T²”. Como o tempo de revolução completa da Lua é de “27 dias, 7 horas e 43 
minutos, ou 27, 3216 dias (cujo quadrado será 746½)” e “está distante da Terra 59 a 60 
semidiâmetros da Terra”, então, pela segunda parte do Corolário exposto há pouco (“os 
conatus... são... como os diâmetros multiplicados pelo [quadrado do] número de revoluções...”), 
a proporção entre “os conatus da Lua e da superfície da Terra para afastarem-se do centro da 
Terra” é: 
60 x 1² 
___________, 
1 x 27, 3216² 
 
ou “60 para 746½”. Logo, considerando que o conatus no equador da Terra é 12½ (isto 
é, 746/60) vezes maior que o conatus da Lua e 350 vezes menor que a força da gravidade, a força 
da gravidade “é mais de 4000 vezes maior que o conatus da Lua para afastar-se do centro da 
Terra.” (HERIVEL, 1965, p. 194). Em seguida, Newton estabelece as proporções entre o conatus 
da Terra para afastar-se do Sol (devido ao seu movimento anual) e o conatus na superfície da 
Terra no equador (devido ao seu movimento diurno), e entre aquele e a gravidade na superfície 
da Terra. Ao calcular essas proporções, ele conclui: “Por fim, como nos Planetas primários os 
cubos das distâncias do Sol estão reciprocamente como o quadrado do número de revoluções 
num dado tempo: os esforcos [conatus] para afastarem-se do Sol estarão reciprocamente como o 
quadrado da distância a partir do Sol.” (HERIVEL,1965, p. 195). 
O raciocínio empregado acima considera que a Terceira Lei de Kepler implica a lei do 
inverso do quadrado da distância para os “esforços [dos Planetas] para afastarem-se do Sol”. 
Analisada a partir de um ponto de vista matemático, a implicação torna-se evidente, pois sendo C 
o conatus recedendi a centro, D a distância e T o período de revolução, então, se C D/T2 e T2 
D3, logo C 1/D2. Comparado com o Principia Mathematica, os resultados alcançados por 
Newton aqui são bem significativos. 
O manuscrito citado há pouco (U.C.L.MS Add. 3958.5, folios 87, 89), que contém a 
regra “1/D2” para o conatus centrífugo, não traz qualquer referência a este respeito, mas 
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indiretamente nos leva a pensar que tais acontecimentos teriam ocorrido tão logo Newton 
encontrou essa regra. Como vimos, Newton inferiu através da regra “D/T2” que a “força da 
gravidade é mais de 4000 vezes [precisamente, 350 x 12 12 = 4375 vezes] maior que o conatus 
da Lua para afastar-se do centro da Terra”. Por outro lado, esse resultado é um tanto diferente do 
valor teórico fornecido pela regra “1/D2”, ou seja, que a razão entre o conatus da Lua e a força 
da gravidade na superfície da terra é a razão inversa do quadrado da distância da ua ao centro da 
Terra para o quadrado do raio da Terra. Assumindo que a distância entre a Lua e o centro da 
Terra é igual a 60 raios da Terra, a força da gravidade é 3600 vezes maior que o conatus 
centrífugo da Lua. Portanto,uma diferença de aproximadamente 25% em relação ao resultado 
anterior. Essa diferença deveu-se ao fato de Newton ter assumido o valor de 3500 milhas 
italianas para o raio da Terra. Mas, se tomarmos essa medida como sendo de 4000 milhas 
(inglesas), pela regra “2π2R” teremos que o conatus centrífugo na superfície da Terra será 
286,72 vezes maior que a força da gravidade. Então, a força da gravidade será 3584 vezes maior 
que o conatus centrífugo da Lua. Algo que se aproxima bastante do valor teórico de 3600 vezes. 
No entanto, Newton não percebeu imediatamente o erro que cometera nem há qualquer 
evidência no manuscrito supracitado de que ele tenha feito essa “comparação” dos resultados 
obtidos pelas duas regras e, portanto, constatado a diferença entre eles. 
Todos esses fatos fornecem indícios de que Newton, nessa época, não poderia jamais ter 
cogitado a idéia de uma “força” (centrípeta, atrativa) agindo sobre a Lua e continuamente 
equilibrando com sua tendência centrífuga. É somente após suas correspondências com Robert 
Hooke (1679/80) que surgem em seus escritos as primeiras referências a forças centrais atrativas, 
mas, antes disso, qualquer referência sobre as forças centrais não ultrapassam os limites 
conceituais do conatus recedendi a centro de Descartes. Nesse sentido, a “comparação” feita no 
manuscrito analisado acima não é exatamente entre “a força necessária para manter a Lua em sua 
órbita” e a forca da gravidade na superfície da Terra, mas entre esta e o conatus da Lua para 
afastar-se do centro da Terra. A própria derivação da regra “1/D2” indica que ela se aplicava 
apenas aos efeitos dos conatus a centro nos movimentos circulares dos planetas. E mesmo 
considerando que Newton, ao estendê-la para o conatus centrífugo da Lua, constatou a diferença 
com o cálculo feito anteriormente, nada indicaria que ele passou a considerar que outra causa 
além da gravidade seria a responsável pela manutenção da Lua em sua órbita, mesmo porque tal 
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questão nem tinha sido colocada em suas investigações astronômicas dessa época. A simples 
referência aos vortices de Descartes fornece dados importantes para deixarmos de acreditar em 
qualquer possibilidade de Newton ter em mente uma noção próxima do conceito de gravitação 
universal que postulará no Principia Mathematica. 
 
2. TEMPO, ESPAÇO E REFERÊNCIAS 
 
Conforme Isaac Newton afirma em seu livro Princípios Matemáticos da Filosofia 
Natural: "tempo, espaço, lugar e movimento são palavras conhecidas de todos. Há de se observar 
contudo que o leigo só concebe estas quantidades partindo da relação que guardam com as coisas 
observáveis". 
Espaço é uma região tridimensional estacionária, na qual os objetos existem e se 
movem com respeito uns aos outros, de maneira que não existe nenhuma interação entre o 
espaço e os objetos. Cada objeto existe como um "ponto" particular no espaço e no tempo. Um 
objeto em movimento no espaço, experimenta uma mudança contínua da sua posição com o 
tempo. 
 
2.1 O TEMPO 
 
A Terra gira em torno de seu próprio eixo. Esse movimento é chamado de ROTAÇÃO e 
dura aproximadamente 24 horas. 
Portanto, durante mais ou menos 12 horas, o hemisfério ocidental, onde está o Brasil, 
fica virado para o lado do Sol; e, durante as outras 12 horas, volta-se para o lado escuro. A partir 
deste movimento é que surge o DIA e a NOITE. 
 
 Meridianos e paralelos 
Meridianos são linhas imaginárias que cortam o globo terrestre, longitudinalmente, ou 
seja, de cima para baixo. O ponto inicial para contagem da longitude fica em Greenwich, na 
Inglaterra. Um meridiano tem a longitude fixa e varia em latitude. 
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Paralelos são linhas imaginárias que cortam o globo terrestre, transversalmente, ou seja, 
de lado. Um paralelo tem a latitude fixa e varia em longitude. 
O ponto inicial para contagem da latitude é a linha do Equador, que divide a Terra ao 
meio em hemisférios sul e norte. 
O cruzamento entre latitude e longitude pode determinar a localização de qualquer 
objeto no planeta. 
Considerando-se que uma volta completa da Terra equivale a 24 horas e 360 graus, 
podemos dizer que cada 15 graus equivalem à passagem de 1 hora. 
Assim, as variações horárias no globo podem ajudar a determinar a longitude de 
determinado lugar no globo, medida importantíssima, por exemplo, para a navegação marítima. 
 
 
 
2.2 O DESENVOLVIMENTO DOS RELÓGIOS 
 
 Relógio de sol 
Desde remotos tempos, o homem percebeu que o Sol criava as sombras dos objetos e 
que, ao longo do dia, o tamanho destas variava. 
Em um primeiro momento, o homem primitivo usou sua própria sombra para estimar as 
horas (sombras moventes). Logo depois, percebeu que podia fazer essa estimativa através de 
uma vareta fincada no chão na posição vertical. Estava criado o pai de todos os relógios de sol, o 
famoso gnômon. 
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Relógio de sol em Tangarog, Rússia. - Foto: Alexandre Mirgorodski. 
 
 
Relógio de sol em Saint Rémy, França. 
 
Através da sombra projetada pelo gnômon, pode-se observar seu movimento durante o 
dia: ao amanhecer, a sombra está bem longa, ao meio-dia atinge seu tamanho mínimo e, ao 
entardecer, volta a alongar-se. 
 
Associando-se o movimento da sombra 
com o passar do tempo durante o dia, podia-se 
saber quanto tempo de luz ainda restava antes de 
chegar o anoitecer. Assim o homem primitivo deu 
origem ao relógio de sol e à contagem do tempo. 
 
Relógio de Sol convento em João Pessoa (PB). 
 
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 Clepsidra 
 
Junto com o relógio de sol, a clepsidra (do grego kleptein, roubar, e hydor, água) ou 
relógio de água foi um dos primeiros sistemas criados pelo homem para medir o tempo. Uma das 
vantagens em relação ao relógio de sol é que a clepsidra permite a medição do tempo à noite! 
Um relógio de água básico constitui-se de dois recipientes marcados com escalas 
convencionadas de tempo. O líquido escorre de um pote para outro, permitindo que se meça o 
tempo de forma mais ou menos preciso. 
As clepsidras eram usadas em tribunais, nos lares e em processos científicos. Alguns 
dos relógios de água mais antigos foram encontradas no Egito, na Grécia e na China. Há indícios 
de que os chineses já conheciam a clepsidra em 2679 a.c. 
 
 Ampulheta 
Também chamado de “relógio de areia”, acredita-se que a ampulheta foi inventada no 
século VIII, por um monge francês chamado Luipraud, para substituir a clepsidra (relógio de 
água) nos meses de inverno, quando a água congelava! 
As primeiras ampulhetas eram feitas de areia. 
Mas esta era muito abrasiva e acabava por aumentar o diâmetro do furo por onde 
passava, desregulando o instrumento. Resolveu-se então substituir a areia por pó de casca de 
ovo. 
 
 Relógios mecânicos 
No século XVII, Galileu Galilei estabeleceu as leis do pêndulo e viu nesse instrumento 
a possibilidade de utilizá-lo como medidor de tempo. Galileu observou que, mesmo que o 
movimento dopêndulo mudasse de amplitude, o tempo de oscilação permanecia sempre o 
mesmo. Descobriu, assim, uma maneira isocrônica (regular) inédita de se medir fenômenos com 
precisão de segundos. 
Em 1656, o holandês Christian Huygens construiu o primeiro relógio mecânico baseado 
no modelo pendular de Galileu. O primeiro relógio de Huygens tinha uma margem de erro de 1 
minuto por dia – uma insignificância para os padrões da época. 
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Reprodução de relógio projetado por Galileu em 1641 
 
 Relógios elétricos e outros 
Os relógios elétricos seguem o mesmo princípio pendular de Galileu, baseando-se nas 
vibrações de um diapasão e nas oscilações de um circuito elétrico. 
 
 
 
Um relógio elétrico atual tem precisão parecida com a do relógio mecânico inventado 
por um carpinteiro inglês chamado John Harrison. Ele venceu um concurso promovido pelo 
governo inglês, em 1714, com um cronômetro marítimo que tinha margem de erro de 1 segundo 
por mês! 
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Seu feito foi muito importante, já que, na época, um relógio à base de movimentos 
pendulares não conseguia ser muito preciso em alto-mar devido ao balanço dos navios. A 
precisão do relógio de Harrison significou um grande progresso para a navegação mundial. Com 
os instrumentos da época, era muito mais fácil medir a latitude do que a longitude de um lugar, o 
que dificultava a determinação da posição, por exemplo, de um navio no mar. 
Graças ao relógio de Harrison, tornou-se possível medir a longitude mais acuradamente. 
Funcionava assim: acertava-se o relógio segundo a hora de Greenwich (hora zero); a bordo, 
esperava-se o meio-dia, quando o cálculo horário do relógio de sol é muito preciso, e comparava-
se a hora marcada por este com a hora padrão de Greenwich. Cada hora a mais ou a menos em 
relação ao horário de Greenwich significava uma diferença de 15 graus de longitude. 
Além dos relógios mecânicos e elétricos, outro tipo bastante comum atualmente é o relógio 
de quartzo, que se baseia na oscilação de um cristal do minério submetido a uma corrente elétrica. 
Os mais precisos mecanismos existentes, no entanto, são os relógios atômicos, cuja 
margem de erro é de 1 segundo a cada 30 mil anos! 
 
 
O primeiro relógio atômico, construído em 1949 pelo Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia 
(NIST, na sigla em inglês), nos EUA. 13. 
 
Construindo um relógio de sol 
Você vai precisar de: 
• Um pedaço de madeira de 2 cm de espessura e 1m de lado 
• Uma haste de ferro ou de madeira de cerca de 15 cm de altura e 1,5 cm de espessura 
• Um esquadro 
• Uma régua 
• Um lápis 
• Um caderno 
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Em um lugar onde haja boa incidência de sol, posicione a base de madeira. Encaixe ou 
cole a haste (gnômon) no centro do apoio de madeira. Com a ajuda do esquadro, verifique se a 
haste está perpendicular à base. 
De hora em hora, marque, na base, o ponto onde está a sombra formada pela haste e a 
hora equivalente àquele instante. 
Depois de 12 horas, use uma régua para traçar retas que interliguem o centro (haste) e 
os pontos demarcados. 
Você pode ainda observar as variações das sombras no decorrer do ano. Para isso, 
escolha um dia de cada mês e anote as diferenças que você perceber, mantendo um relatório em 
um caderno. 
 
2.3 ESPAÇO E REFERENCIAIS 
 
Na Física Clássica o espaço imutável e estático, é chamado euclidiano, porque pode ser 
mapeado através de três números ou coordenadas: latitude, longitude e altitude (ou cota), ou 
mais matematicamente, coordenadas ( x, y, z ). 
 
 
 
O movimento de um objeto é analisado no espaço relativo, porque medimos as posições 
em instantes de tempo conhecidos. Como já concluía Newton: "... as partes do espaço não podem 
ser vistas ou distinguidas entre si, por nossos sentidos, por isto em seu lugar usamos medidas 
observáveis dele... Assim, em lugar de posições e movimentos absolutos, usamos relativos... Por 
isso pode ser que não existam corpos realmente em repouso, em relação aos quais possamos 
referir as posições e os movimentos dos outros corpos". 
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Outro conceito que se faz necessário é aquele de sistema de referência. Em geral quando 
observamos o movimento dos corpos, este é relacionado a algum "ponto" ou algum "outro 
objeto". É o sistema de referência, em relação ao qual determinamos se um corpo está em 
movimento ou está em repouso (entendido aqui como ausência de movimento). 
A propósito, entenderemos o movimento como a mudança de posição de um objeto 
(móvel) no tempo, com respeito ao referencial. Este ainda pode ser entendido como uniforme ou 
constante, e variado ou acelerado. Estas conceituações se farão com mais propriedade 
posteriormente. 
Definimos um referencial inercial como aquele que é fixo, no tempo e no espaço, por 
exemplo, as estrelas duplas, distantes da Terra. Também se o movimento de um móvel é 
uniforme (constante), ele pode ser considerado um referencial inercial. Podem existir referenciais 
não-inerciais, quando estes estão em movimento acelerado. Lembre-se: a Terra não é um 
referencial inercial! 
Como espaço e tempo são trabalhados de modo relativo, nós medimos para um objeto 
apenas o intervalo de tempo entre duas posições sucessivas no tempo, chamando a sua diferença 
de deslocamento, que também é uma grandeza física vetorial. O símbolo grego "Δ" representa 
matematicamente "diferença”, "variação", e quando associado ao símbolo representativo de uma 
grandeza física qualquer, significará a variação desta mesma grandeza física. 
Ao observarmos o movimento dos corpos, sendo o espaço euclidiano, podemos associar 
ao mesmo uma trajetória, que seria o conjunto de pontos do espaço sucessivamente ocupados 
pelo móvel, no tempo. A trajetória pode ter várias formas, sendo linear quando descrita ao longo 
de uma reta; curva quando tem-se pelo menos duas dimensões, e qualquer (tridimensional). 
Os corpos em interação no tempo e no espaço têm as suas dimensões e formas próprias, 
e estas são comparadas entre si, quando nas suas interações. Um corpo ou objeto será 
considerado "partícula" quando suas dimensões são pequenas comparadas com as dimensões do 
referencial ou do outro objeto com o qual esteja interagindo. 
Geralmente um corpo de massa m será considerado uma partícula quando comparado 
com outro de dimensões muito maiores, e massa M. A Terra e o Sol, em função das distâncias 
entre eles, são ambos considerados partículas. O comprimento de um automóvel, quando 
comparado com comprimento de um trem, pode torná-lo uma partícula. 
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 Características do movimento 
A caracterização de um movimento se dá pela sua continuidade, uniformidade ou 
variação. Em consequência, definimos algumasgrandezas físicas, qualquer quantidade 
mensurável ou medida, para caracterizar o movimento. 
A primeira grandeza física que caracteriza um movimento uniforme é a velocidade 
média de um móvel, definida como a razão entre a deslocamento realizado num determinado 
intervalo de tempo, e este intervalo de tempo. Dizemos que um movimento é retilíneo uniforme, 
quando em trajetória retilínea, o móvel percorre espaços iguais em intervalos de tempos iguais, 
sendo a sua velocidade média, constante. 
 
 Do ponto de vista da análise dimensional, a velocidade é dada em unidades de [m/s] no 
SI. Sendo o movimento uniforme, com velocidade constante, isto significa que a cada instante a 
sua velocidade média é a mesma. Portanto, a partir de condições iniciais de tempo e espaço, 
podemos encontrar a posição do móvel em qualquer instante, pela expressão: 
 X = X0 + vt (relação linear), 
onde, X0 é a posição com respeito ao referencial, no instante inicial t0 = 0. Lembre-se, 
sempre começamos a contar o tempo a partir do "zero". Além disso, a expressão acima leva em 
consideração apenas uma única dimensão, ou direção, o movimento sendo unidimensional. 
Entretanto, o conceito pode ser expresso do ponto de vista tridimensional, caracterizando-se mais 
propriamente a propriedade vetorial das grandezas físicas velocidade e posição. 
A segunda grandeza física, que caracteriza um movimento variado, ou acelerado, 
uniformemente ou não, é a aceleração média, definida como a razão entre a variação de 
velocidade do móvel em um intervalo de tempo, e este intervalo de tempo. Dizemos que um 
movimento é uniformemente acelerado quando a sua aceleração é constante. 
Do ponto de vista da análise dimensional, a aceleração é dada em unidades de [m/s2] no 
SI. Sendo o movimento uniformemente acelerado aquele no qual a aceleração é constante, isto 
significa que a cada instante, a aceleração média é a mesma. Então, a partir de condições iniciais 
de tempo e espaço, podemos encontrar a velocidade da partícula ou do corpo, em qualquer 
instante, pela expressão: 
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V = V0 + a t (relação linear), 
onde, V0 é a velocidade no instante inicial, ou seja, no instante em que começamos a 
contar os tempos, visto que o mesmo sempre é contado a partir do "zero". Aqui consideramos o 
movimento sendo unidimensional, apenas uma dimensão ou direção. Entretanto o conceito não 
perde a sua característica de propriedade vetorial, com respeito as grandezas físicas aceleração e 
velocidade. 
Há que se considerar a direção da velocidade e da aceleração. Se as duas tem o mesmo 
sentido e direção, estaremos tratando de um movimento uniformemente acelerado, ou seja, a 
velocidade cresce uniformemente com o tempo t. Se as duas tem sentidos contrários, dizemos ter 
um movimento uniformemente retardado, neste caso, a velocidade decresce uniformemente com 
o tempo t. 
Uma terceira grandeza física caracterizando o movimento é a força, representativa da 
interação entre os corpos, ou agindo sobre os corpos, visto que as forças externas atuantes são as 
causas em si do movimento. Entretanto, a sua definição formal deixaremos para quando do 
estabelecimento das leis do movimento de Newton. 
O campo da Física que trata do movimento dos corpos, sem identificar as causas dos 
mesmos, é a Cinemática. Já a Dinâmica tenta estabelecer as leis do movimento, conforme as 
forças atuantes entre os corpos. 
Desde já indicamos diferenças entre a Física clássica ou newtoniana, e a Física 
relativista ou einsteniana, com respeito ao espaço e ao tempo. 
As distâncias medidas no espaço e no tempo, na Física clássica, não estão 
correlacionadas, são independentes entre si. Estejamos parados, ou andando, ou dentro de um 
móvel, o tempo registrado pelo relógio é sempre o mesmo. Na Física relativista, tem-se a 
contração do espaço e a dilatação do tempo. 
Na Mecânica newtoniana, o espaço é euclidiano, sendo o tempo independente; o espaço 
é plano, independentemente dos objetos e interações. Na Relatividade Geral, o espaço é 
deformável, é curvo, com configurações complexas, de acordo com os objetos e as interações 
presentes. 
 
 
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UNIDADE III – ALGUNS CONCEITOS DA FÍSICA MODERNA 
 
Até o início do século XX, a luz e seus fenômenos eram explicados de acordo com a 
teoria ondulatória. Ou seja, luz era uma onda. Mas alguns fenômenos que foram aparecendo não 
podiam ser explicados por essa teoria. Algo estava errado... 
 
 
Um desses fenômenos era a radiação que os corpos aquecidos emitem naturalmente. 
Isso preocupava os físicos da época. Mas em 1900, o físico alemão Max Planck sugeriu que a 
energia emitida pelos corpos vinha em “pacotes”, com valores discretos, ou seja, não poderia ser 
qualquer valor. Isso revolucionou a física. As leis de Newton e do eletromagnetismo já não 
explicavam tudo, principalmente o mundo do muito pequeno. Era necessária outra teoria. Nascia, 
então, a Física Quântica. 
A ideia básica é a da quantização da energia: A energia emitida pelos corpos (ondas 
eletromagnéticas) não pode ter qualquer valor. Apenas algumas energias são permitidas. 
Veremos o átomo de Bohr para entendermos isso: 
 
 
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Nessa explicação do átomo de hidrogênio (postulados de Bohr): 
• Os elétrons podem ocupar apenas posições definidas (órbitas), com energias definidas 
para cada órbita; 
• Em cada órbita, o elétron não emite radiação, apesar de estar acelerado; 
• Quando chega uma radiação no elétron, ele poderá passar para uma órbita mais 
energética (afastada), se a energia da radiação for exatamente a diferença das energias das 
órbitas; 
• Quando o elétron decai para uma órbita menos energética, ele emite uma radiação com 
energia equivalente à diferença das energias das órbitas. 
 
 
 
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1. O EFEITO FOTOELÉTRICO 
 
 
 
Albert Einstein, físico alemão, em 1905 divulgou cinco artigos que revolucionaram o 
mundo. Dois eram sobre a Teoria da Relatividade Restrita, um era sobre moléculas e sólidos, um 
sobre Movimento Browniano e o outro era sobre o Efeito Fotoelétrico. 
 
 
 
O efeito consiste no seguinte: radiação com uma certa frequência incide numa placa 
metálica e consegue arrancar alguns elétrons livres, que são ejetados instantaneamente da placa. 
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Esse fenômeno só pode ser explicado pela teoria corpuscular da luz, sugerida por Einstein, na 
qual a luz (e todas as o.e.m.) são constituídas de “partículas” sem massa, chamadas de FÓTONS. 
São os quanta de luz. A energia de um fóton é definida e vale: 
E=hf 
 
 
2. A FÍSICA NUCLEAR 
 
Z = número de prótons 
A = número de massa 
N = númerode nêutrons 
A = Z + N 
Isótopos = mesmo Z 
Isóbaros = mesmo A 
Isótonos = mesmo N 
 
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3. A EQUIVALÊNCIA MASSA-ENERGIA 
 
Pela teoria da relatividade de Einstein, massa pode se transformar em energia. Nas 
reações nucleares, o número de massa e a carga se conservam, mas a massa dos reagentes é 
maior do que as massas dos produtos. Essa massa perdida se transforma em energia liberada. 
E = mc² 
Entidades emitidas em reações nucleares e em átomos radioativos: 
Partícula Alfa: núcleo de hélio 
Partícula Beta: elétron de alta energia 
Radiação gama: onda eletromagnética de alta frequência. 
 
 
De acordo com publicações da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, disponível 
em: <http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/radioatividade/nuclearconc.html>, acesso em: 11 nov. 
2011, o modelo atômico operacionalmente mais simples é aquele em que o núcleo, constituído 
por prótons e nêutrons, é envolvido por camadas de elétrons. O que vamos discutir aqui se refere 
apenas ao núcleo e aos fenômenos pertinentes a ele. 
Dada a complexidade do assunto, vários conceitos serão introduzidos arbitrariamente, 
sem uma explicação mais detalhada. 
O número de prótons é sempre igual ao de elétrons, e define o número atômico, Z, do 
elemento em questão. Assim, o hidrogênio, cujo número atômico é Z=1, possui um próton no 
núcleo. O próximo elemento na tabela periódica é o hélio, com Z=2. Para satisfazer condições de 
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equilíbrio, este núcleo possui 2 nêutrons. A propósito, a existência de nêutrons no núcleo sempre 
se justifica pela satisfação de uma ou outra condição de equilíbrio. Quando alguma dessas 
condições é violada, ocorrem fenômenos conhecidos como decaimento nuclear. 
Usualmente o número de nêutrons é representado por N, e a soma N+Z (prótons + 
nêutrons) conhecida como número de massa, é representada por A. 
Um fato muito comum é a existência de núcleos com mesmo número atômico, Z, e 
diferentes números de massa. Tais núcleos são conhecidos pela denominação isótopo. A 
descoberta dos isótopos permitiu a compreensão de um resultado muito curioso, isto é, a massa 
nuclear não corresponde à soma das massas dos nucleons (prótons e nêutrons). A verdade é que, 
aquilo que conhecemos como elemento químico é constituído de diversos isótopos. Por exemplo, 
75% do cloro natural é constituído de 17 prótons e 18 nêutrons, e 25% contém 17 prótons e 20 
nêutrons. Esta composição resulta numa massa igual 35.45. 
Uma notação frequentemente adotada para designar determinado núcleo, é a seguinte: 
ZXA. 
Nessa notação, o cloro 37 é designado como 17Cl37. 
Qualquer elemento químico apresenta mais de um isótopo, mas muitos desses são muito 
instáveis, dificultando sua observação, ou produção. Existem duas formas básicas de se identicar 
um isótopo: (a) pela sua massa; (b) pelas características das suas radiações. 
 
4. DIMENSÕES NUCLEARES 
 
A experiência de Rutherford originou o modelo atômico mencionado no início deste 
capítulo, e que foi sistematizado por Bohr. O modelo anterior, proposto por Thomson, consistia 
numa mistura homogênea de prótons e elétrons. Esse modelo passou a ser conhecido como 
modelo do pudim de ameixa. Os prótons representavam o pudim, e os elétrons eram as ameixas. 
Em diversas pesquisas encontramos um ponto pacífico entre os autores, no que diz 
respeito ao tema, onde, afirma-se que, a contração de comprimento dada pela equação IV pode 
ser percebida por meio de medidas. No entanto, o aspecto visual é outra coisa. A imagem 
formada na retina de um observador (ou no filme de uma máquina fotográfica) é constituída de 
raios de luz que chegam praticamente ao mesmo tempo na retina (ou no filme), mas partiram do 
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objeto em momentos diferentes. A consequência disso é que a imagem vista (ou fotografada) é 
levemente distorcida. 
Na figura a mostramos um cubo em repouso. Quando esse cubo se move para a direita 
com velocidade próxima de c, a imagem observada tem o aspecto da figura b, como mostra uma 
simulação feita em computador. 
 
 
 
Entre 1908 e 1911, Rutherford4 fez os experimentos que hoje conhecemos como 
espalhamento de Rutherford. Ele lançou partículas alfa contra folhas finíssimas de vários metais 
pesados, incluindo ouro, e observou alguns resultados muito estranhos. 
Várias partículas eram espalhadas em ângulos enormes, e algumas eram até espalhadas 
para trás. Por tudo que se sabia da teoria eletromagnética, e se o modelo de Thomson fosse 
verdadeiro, os desvios das partículas a deveriam ser bem menores, como na animação abaixo. 
A partir do espalhamento dessas partículas, Rutherford estimou o raio nuclear, 
considerando que este é aproximadamente igual à distância mais próxima ao núcleo, atingida 
pela partícula a. Vejamos como se faz este cálculo. 
A partícula tem energia cinética Ec=7.7 Mev. Quando esta partícula é lançada 
frontalmente contra o núcleo, a interação Coulombiana faz com que sua energia cinética seja 
transformada em energia potencial eletrostática. Quando toda a energia cinética é transformada 
em energia potencial, a partícula chega à distância mais próxima, e para. Nesse momento: 
Ec=(1/4pe0) (2Ze2/r0). 
 
4 Disponível em:<www.cefetrn.br/~zanoni/arquivos_medio/moderna/Teoria_da_Relatividade_apostila_atomico.doc>. 
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Utilizando os valores numéricos conhecidos (1/4pe0 =9x109 Nm/C2; e=1.6x10-19 C), 
obtém-se: 
r0=3x10-14 m. 
 
Portanto, o raio do núcleo de ouro deve ser menor do que 3x10-14 m, isto é, menos do 
que 1/10000 do raio atômico. É razoável esperar que o volume nuclear seja proporcional ao 
número de massa. Assim, considerando o núcleo como uma esfera de raio R, tem-se: 
R=R0A1/3, 
Onde: 
R0=1.2x10-15 m. 
 
Para o ouro, A=197, tem-se R=7x10-15m. Com esta dimensão, resulta que a densidade 
da matéria nuclear é da ordem de 2x1017 kg/m3. 
As dimensões nucleares são mais convenientemente descritas através de uma nova 
unidade, denominada fermi ou fentômetro (fm), definida por 1 fm = 10-15 m. 
 
5. ENERGIA DE LIGAÇÃO 
 
 A tabela abaixo apresenta as massas de 5 núcleosos leves e do nêutron: 
 
nome símbolo massa (amu) 
Próton 1H1 1.007825 
Nêutron 0n1 1.008665 
Dêuteron 1H2 2.014102 
Trítio 1H3 3.016049 
Hélio 3 2He3 3.016030 
Partícula alfa 2He4 4.002604 
 
 
A abreviatura amu vem do inglês atomic mass units, unidades de massa atômica, que é 
definida como 1/12 da massa do isótopo 6C12, i.e., 1 amu = 1.66x10-27 kg . 
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Se o dêuteron contém 1 próton e 1