Álgebra Linear I: Vetores

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Álgebra Linear I: Vetores – Prof. Disney 
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Vetores, Norma e Produto Interno 
1.1 Introdução 
Em nosso quotidiano estamos acostumados a usar 
grandezas chamadas escalares, que são caracterizadas por 
um número (e sua respectiva unidade de medida): 5kg de 
massa, 1m2 de área, 10cm de comprimento, 4l de volume e 
etc. 
No entanto, existem outras grandezas que precisam de 
mais informações. Um exemplo disso são grandezas como 
força e velocidade, que precisam que sejam fornecidas uma 
direção, intensidade e um sentido. Essas grandezas são 
denominadas vetoriais. 
 
 
 
 
 Na Figura acima, as flechas dão idéia da direção do 
comprimento e sentido das grandezas mencionados. No 
entanto, cada flecha é apenas um representante de um 
vetor. A seguir, definiremos de forma mais precisa o que 
vem a ser um vetor. 
1.2 Segmento Orientado 
Um segmento orientado é determinado por um par 
ordenado de pontos, o primeiro chamado origem do 
segmento, o segundo chamado extremidade. 
O segmento orientado de origem A e extremidade B 
será representado por AB e, geometricamente, indicado 
por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do 
segmento (conforme Figura abaixo). 
 
 
 
1.2.1 Segmento Nulo 
 Segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide 
com a origem. 
1.2.2 Segmentos Opostos 
 Se AB é um segmento orientado, o segmento 
orientado BA é oposto de AB. 
1.2.3 Medida de um Segmento 
Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento 
orientado pode-se associar um número real, não negativo, 
que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A 
medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu 
módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por |AB| 
Assim, o comprimento do segmento AB representado 
na Figura abaixo é de 3 unidades de comprimento: 
 
 
 
 
|AB| = 3 u.c. 
 
 
 
 
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Mesmo sentido Sentidos contrários 
Observações 
a) Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero. 
b) |AB| = |BA| 
1.2.4 Direção e Sentido 
 Segmentos orientados não nulos AB e CD têm a 
mesma direção se as retas suportes desses segmentos são 
paralelas ou coincidentes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
a) Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos 
orientados se eles têm mesma direção. 
b) Dois segmentos orientados opostos têm sentidos 
contrários. 
 
1.2.5 Segmentos Equipolentes 
Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes 
quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o 
mesmo comprimento (ver Figura a seguir). 
 
 
 
 
 
Se os segmentos orientados AB e CD não pertencem 
à mesma reta como na figura anterior, para que AB seja 
equipolente a CD é necessário que AB//CD e AC//BD, isto 
é, ABCD deve ser um paralelogramo. 
 
Observações 
a) Dois segmentos nulos são sempre equipolentes. 
b) Representaremos a equipolência entre os segmentos AB 
e CD por AB ~ CD 
 
1.2.6 Propriedades da equipolência 
i) AB ~ AB (reflexiva) 
ii) AB ~ CD ⇒ CD ~ AB (simétrica) 
iii) AB ~ CD e CD ~ EF ⇒ AB ~ EF (Transitiva) 
 
Observação: Uma relação que goza das propriedades i) ii) e 
iii) se chama relação de equivalência. 
 
1.3 Vetor 
 Dado um segmento de reta orientado, definimos 
como sendo um vetor ao conjunto de todos os segmentos 
orientados equipolentes ao segmento orientado dado. 
Um vetor poder ser representado por vários 
segmentos orientados. Este fato é análogo ao que ocorre 
Retas suportes paralelas 
Retas suportes coincidentes 
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com os números racionais e as frações. Duas frações 
representam o mesmo número racional se o numerador e o 
denominador de cada uma delas estiverem na mesma 
proporção. Por exemplo, as frações 
1 2 3, e 
3 6 9
 representam 
o mesmo número racional. De forma análoga, dizemos que 
dois segmentos orientados representam o mesmo vetor se 
possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o 
mesmo sentido. A definição de igualdade de vetores também 
é análoga a igualdade de números racionais. Dois números 
racionais 
a c
b d
= são iguais, quando ad cb= . 
Analogamente, dizemos que dois vetores são iguais se eles 
possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o 
mesmo sentido. 
O comprimento de um vetor vG também é chamado de 
módulo ou norma de vG será indicado por vG . 
1.3.1 Vetores Iguais 
Na Figura abaixo temos 6 segmentos orientados, com 
origens em pontos diferentes, que representam o mesmo 
vetor, ou seja, são considerados como vetores iguais, pois 
possuem a mesma direção, mesmo sentido e o mesmo 
comprimento. Portanto tanto os segmento orientado AB 
quanto o segmento orientado CD representam o mesmo 
vetor vG . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se o ponto inicial de um representante de um vetor vG 
é A e o ponto final é B, então escrevemos v = AB
JJJGG
. 
Portanto dois vetores e AB CD
JJJG JJJG
 são iguais se, e somente 
se, 
AB ~ CD. 
 
1.3.2 Vetor Nulo 
 
Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, 
determinam um único vetor, chamando vetor nulo ou vetor 
zero, e que é indicado por 0
G
. 
 
1.3.3 Vetores Opostos 
Dado um vetor v = AB
JJJGG
, o vetor BA
JJJG
 é o oposto de 
AB
JJJG
 e indicamos por AB−JJJG ou por v −G . 
 
1.3.4 Vetor Unitário 
Um vetor é unitário se v 1=G . 
1.3.5 Versor 
Versor de um vetor vG é o vetor unitário de mesma 
direção e mesmo sentido de vG . 
 
 
 
 
 
Na figura acima 1 2u e u
G G
 são vetores unitários, visto 
que ambos têm norma igual a 1. Por outro lado apenas o 
vetor 1u
G
 tem a mesma direção e sentido do vetor vG . 
Portanto 1u
G
 é um versor de vG . 
 
1.4 Operações com vetores 
1.4.1 Soma de vetores 
A soma, uG + vG , de dois vetores uG e vG é determinada 
da seguinte forma: 
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• tome um segmento orientado que representa uG ; 
• tome um segmento orientado que representa vG , com 
origem na extremidade de uG ; 
• o vetor uG + vG é representado pelo segmento 
orientado que vai da origem de uG até a extremidade 
de vG . 
 
 
 
1.4.1.1 Propriedades da Soma 
i) u v v u+ = +G G G G (Comutativa) 
ii) ( ) ( )u v w u v w+ + = + +G G G G G G (Associativa) 
iii) Existe um único vetor nulo 0
G
 tal que pata todo vetor vG se 
tem v 0 0 v 0+ = + =G G GG G (Elemento neutro). 
iv) Qualquer que seja o vetor vG , existe um único vetor 
v−G (vetor oposto de vG ) tal que v ( v) v v 0+ − = − + = GG G G G 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.2 Diferença de vetores 
Definimos a diferença vG menos wG , por v ( w)+ −G G . 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.3 Multiplicação por um Número Real 
A multiplicação de um vetor vG por um escalar α , 
α vG , é determinada pelo vetor que possui 
as seguintes características: 
i) é o vetor nulo, se 0α = = 0 ou v 0= GG . 
ii) caso contrário: 
 a) tem comprimento | |α vezes o comprimento de 
vG ; 
 b) a direção é a mesma de vG (neste caso, dizemos 
que eles são paralelos), 
 c) tem o mesmo sentido de vG , se α > 0 e 
tem o sentido contrário ao de vG , se α < 0. 
 
Observações: 
 Se wG = α vG , dizemos que wG é um múltiplo escalar 
de vG . 
 Dois vetores não nulos são paralelos (ou colineares) 
se, e somente se, um é um múltiplo escalar do outro. 
 
 O versor de um vetor não nulo vG é o vetor unitário 
1 vu v ou u
v v
= =
GG G GG G . Note que vvu 1v v= = =
GGG G G , 
logo vv u=G G G , ou seja, vG é produto de sua norma pelo 
vetor unitário de mesma direção e sentido de vG . 
 
 
 
Comutatividade da soma 
Associatividade da soma 
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1.4.4 Propriedades do produto por escalar 
 Sejam uG e vG vetores quaisquer e e a b números 
reais. Então temos: 
i) ( v) ( )va b ab=G G (Associativa) 
ii) ( )v v va b a b+ = +G G G (distributiva na adição por escalares) 
iii) (u v) u va a a+ = +G G G G ( distributiva na adição por vetores) 
iv) 1v v=G G (identidade) 
 
1.5 Dependência e Independência Linear 
 
Dois vetores uG e vG são colineares se tiverem a 
mesma direção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Isso acontece se, e somente se, existe um número 
real k tal que u kv=G G ou v ku=G G . Diremos, então, que um 
vetor é escrito como combinação linear do outro, e neste 
caso, os vetores uG e vG são ditos linearmente dependentes 
(veja a Figura acima). 
 Quando tomamos dois vetores nos quais não é 
possível escrever um vetor como combinação linear do outro, 
dizemos que os vetores são linearmente independentes. 
Neste caso os dois vetores não são colineares, mas são 
coplanares, isto é, possuem representantes pertencentes a 
um mesmo plano α . 
 
 
 
 
 
 
 
Se uG e vG são linearmente independentes, então, 
todos os vetores da forma ku tv+G G podem ser representados 
sobre um mesmo plano α . 
Reciprocamente, todo vetor wG que possua 
representante no plano α pode ser escrito como uma 
combinação linear dos vetores uG e vG , e, além disso, toda 
combinação linear dos vetores uG e vG pode ser representada 
sobre o plano α . Por essa razão, se os vetores uG e vG são 
linearmente independentes, diremos que eles geram um 
plano. 
 Agora, se um vetor wG se escreve como uma 
combinação linear ku tv+G G , diremos que os vetores kuG e tvG 
são componentes do vetor wG na direção dos vetores uG e vG , 
respectivamente. Os escalares k e t são as coordenadas 
de wG em termos dos vetores uG e vG . Observe que, se uG e 
vG são linearmente independentes, então cada vetor wG que 
possua representante em α se escreve de maneira única 
como uma combinação linear dos vetores uG e vG . 
 
 
Se os vetores uG , vG e wG possuem representantes 
pertencentes em um mesmo plano α , dizemos que eles 
são coplanares. 
 
 
 
 
 
Observações: 
Dois vetores quaisquer uG e vG são sempre 
coplanares, pois sempre podemos tomar um ponto do 
espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes 
de uG e vG pertencendo a um plano α que passa por esse 
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ponto. 
Três vetores podem ser ou não coplanares (ver 
figuras a seguir) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se três vetores uG , vG e wG são colineares ou 
coplanares, ou seja, possuem representante em uma mesma 
reta ou em um mesmo plano respectivamente, dizemos que 
os vetores são linearmente dependentes. 
 Se os vetores uG , vG e wG são colineares, com 
representantes em uma reta r, então os vetores geram a reta 
r. Na verdade qualquer vetor com representante nesta reta 
pode ser escrito como combinação linear de um desees 
vetores, uG , vG ou wG . Da mesma forma, se uG , vG e wG não 
colineares que possuem representantes em um mesmo 
plano α , então dois eles não colineares geram o plano α , 
isto é, qualquer vetor que possua um representante no plano 
α pode ser escrito como combinação linear dois destes 
vetores (não colineares é claro) . 
Também pode ser mostrado que, se uG , vG e wG são 
linearmente independentes, então eles geram o espaço, isto 
é, se xG é um vetor qualquer do espaço tridimensional, então 
existe um (único) temo ordenado ( , , )a b c de escalares tais 
que x au bv cw= + +G G G G . 
 Chamaremos os vetores ,au bvG G e cwG de 
componentes do vetor xG na direção dos vetores uG , vG e wG 
(os números a, b e c são as coordenadas de xG em termos 
dos vetores uG , vG e wG . Um conjunto de três vetores 
linearmente independentes chama-se uma base para o 
espaço dos vetores. A base que consiste dos vetores uG , vG 
e w
G
, nessa ordem, será indicada por { uG , vG ·, wG }. Se 
escolhermos uma base { uG , vG ·, wG }, então a cada vetor xG 
corresponde um único terno ordenado ( , , )a b c de escalares, 
a saber, as coordenadas de xG em termos dessa base. 
Reciprocamente, a cada terno ordenado ( , , )a b c de 
números reais corresponde o vetor x au bv cw= + +G G G G . 
 
1.6 Exemplos 
1) Sejam ABC um triângulo e sejam M e N os pontos médios 
de AC e BC , respectivamente. Prove que MN é paralelo 
a AB e que MN é a metade de AB . 
 
Solução: 
 Devemos mostrar que =JJJG JJJG1
2
MN AB . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando a figura acima verificamos que 
uG , vG e wG são coplanares 
uG , vG e wG não são coplanares 
A
B
C
M
N
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 = +JJJG JJJG JJJGMN MC CN
( )= + = + =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG1 1 1 12 2 2 2MN AC CB AC CB AB 
Como M é ponto médio de AC e N é ponto médio de 
BC , temos: 
 
 =JJJG JJJG1
2
MC AC e =JJJG JJJG1
2
CN CB 
Portanto, temos que: 
 
 ( )= + = + =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG1 1 1 12 2 2 2MN AC CB AC CB AB 
como queríamos mostrar. 
 
 
2) Mostre que as diagonais de um paralelogramo se cortam 
ao meio. 
Solução: 
 
 Considere o paralelogramo ABCD da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha AM MC AC1
2
= =JJJG JJJG JJJG . Queremos mostrar 
que BM MD BD1
2
= =JJJG JJJG JJJG . 
Temos que BM BC=JJJG JJJG CD DA+ +JJJG JJJG AM+ JJJG . Como 
BC DA= −JJJG JJJG e AM MC=JJJG JJJG temos 
BM CD MC MC CD MD= + = + =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG , ou seja, BM MD=JJJG JJJG . 
Agora BD BM MD BM BM BM2= + = + =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG . 
Portanto, 
1BM BD
2
=JJJG JJJG como queríamos mostrar. 
 
1.7 Vetores em Sistemas de 
Coordenadas 
 
A introdução de um sistema de coordenadas 
retangulares muitas vezes simplifica problemas envolvendo 
vetores. Por enquanto vamos restringir nossa discussão a 
vetores no espaço bidimensional (o plano). Seja v
G
 qualquer 
vetor no plano e suponha, como na Figura abaixo, que v
G
 
tenha sido posicionado com seu ponto inicial na origem de 
um sistema de coordenadas retangulares. As coordenadas 
(v1, v2) do ponto final de v
G
 são chamadas componentes de 
vG e escrevemos vG = (v1, v2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se vetores equivalentes vG e wG são colocados com 
seus pontos iniciais na origem, então é óbvio que seus 
pontos finais coincidem (pois os vetores têm o mesmo 
comprimento, direção e sentido); logo os vetores possuem 
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os mesmos componentes. Reciprocamente, vetores com os 
mesmos componentes são equivalentes, pois têm o mesmo 
comprimento, direção e sentido. Em resumo, dois vetores 
vG = (v1, v2) e wG = (w1, w2) são equivalentes se e 
somente se v1 = w1 e v2 = w2. 
As operações vetoriais de adição e multiplicação por 
escalar são facilmente executáveis em termos de 
componentes. Como é ilustrado na Figura abaixo se 
vG = (v1, v2) e wG = (w1, w2) então 
 
v w+ =G G (v1 + w1, v2 + w2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se vG = (v1, v2) e k é um escalar qualquer então pode ser 
mostrado, usando um argumento geométrico envolvendo 
triângulos semelhantes, que k vG = (kv1, kv2) (conforme 
Figura a seguir).Se tomarmos, por exemplo, vG = (3, -2) e 
w
G
 = (-1, 7), temos que 
v w+ =G G (3 +(-1), -2 + 7) = (2, 5) e 
3 vG = (3.3, 3.(-2)) = (9, -6). 
 
Note que, como ( )v w v w− = + −G G G G 
concluímos que 
 v w− =G G (v1 - w1, v2 - w2). 
 
1.8 Vetores no Espaço 
Tridimensional 
 
 Assim como os vetores no plano podem ser descritos 
por pares de números reais, os vetores no espaço podem 
ser descritos por ternos de números reais utilizando um 
sistema de coordenadas retangulares. Para construir tal 
sistema de coordenadas, selecionamos um ponto O, 
denominado a origem e escolhemos três retas mutuamente 
perpendiculares passando pela origem, denominadas eixos 
coordenados. Designando estes eixos x, y e z e 
selecionando um sentido positivo para cada eixo 
coordenado, podemos estabelecer uma unidade de 
comprimento para medir tamanhos ( veja Figuras abaixo ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se um vetor vG no espaço tridimensional for 
posicionado com seu ponto inicial na origem de um sistema 
de coordenadas retangulares, como na Figura abaixo então 
as coordenadas do ponto final são chamadas os 
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componentes de vG e escrevemos vG = (v1, v2, v3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se vG = (v1, v2, v3) e wG = (w1, w2, w3) são dois vetores 
no espaço tridimensional, então os seguintes resultados 
podem ser estabelecidos usados argumentos similares aos 
utilizados para vetores no plano. 
i) vG e wG são equivalentes se, e somente se, v1 =w1, v2 = w2 
e v3 = w3. 
ii) k vG = (kv1, kv2, kv3) onde k é um escalar qualquer. 
iii) vG + wG = (v1+ w1, v2+ w2, v3+ w3) . 
 
 Se tomamos por exemplo vG = (2, 5, 3) e 
w
G
 = (-5, 0, -1) então vG + wG = (-3, 5, 2), 4 wG =(-20, 0, -4), vG -
w
G
 = (7, 5, 4) e - w
G
 = (5, 0, 1). 
 
Geralmente um vetor não está posicionado com seu 
ponto inicial na origem. Se o vetor 
JJJJG
0 1P P tem o ponto inicial 
P0(x0, y0, z0) e ponto final P1(x1, y1, z1), então 
 
0 1P P
JJJJG
 = (x1 - x0, y1 - y0 , z1 - z0), 
 
ou seja, os componentes do vetor 0 1P P
JJJJG
 são obtidos 
subtraindo as coordenadas do ponto final (origem) das 
coordenadas do ponto inicial (extremidade). A Figura abaixo 
ilustra o vetor 0 1P P
JJJJG
 obtido a partir de P0(x0, y0, z0) e P1(x1, y1, 
z1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se tomarmos por exemplo P0(3, -2, 1) e P1(1,-1, 3) 
então o vetor 0 1P P
JJJJG
 = (3 - 1, - 2 – ( - 1), 1 – 3 ) = (2, - 1, 2). 
 
O mesmo ocorre no espaço bidimensional, isto é, se 
o vetor 0 1P P
JJJJG
tem o ponto inicial P0(x0, y0) e ponto final P1(x1, 
y1), então 
 
0 1P P
JJJJG
 = (x1 - x0, y1 - y0 ). 
 
 
1.9 Exercícios propostos 
1) Mostre usando vetores, que o ponto médio de um 
segmento que une os pontos P0 = (x0,y0, z0) e 
P1 = (x1, y1, z1) é o ponto M = ,0 1 0 1 0 1
x + x y + y z + z,
2 2 2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
 
2) Mostre que o segmento que une os pontos médios dos 
lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e 
sua medida é a média aritmética das medidas das bases. 
(Sugestão: mostre que ( )12MN AB DC= +JJJG JJJG JJJG e conclua queMNJJJG 
é um múltiplo escalar de AB
JJJG ). 
 
3) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem: 
 
a) v
G
1= (3, 6) f) v
G
6 = (0, -7) 
 
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 10
b) v
G
2 = (-4, -8) g) v
G
7 = (3,4,5) 
 
c) v
G
3 = (-4, -3) h) v
G
8 = (3, 3, 0) 
 
d) v
G
4 = (5, -4) i) v
G
9 = (0, 0, -3) 
 
(e) v
G
5 = (3, 0) j) v
G
10 = (-3, 5, 2) 
 
 
4) Encontre um vetor não-nulo u
G
 com ponto inicial 
P ( -1, 3, - 5) tal que: 
a) u
G
 tem a mesma direção e sentido que vG = (6, 7, -3) 
(b) u
G
 tem a mesma direção mas sentido oposto ao de 
v
G
 = (6, 7, -3) . 
 Resp. a) uma resposta possível é Q(5, 10, -8) 
 b) uma resposta possível é Q(-7, -4, -2) 
 
5) Sejam u
G
 = ( -3, 1, 2), v
G
 = (4, 0, -8) e w
JJG
 = (6, -1, --4). 
Encontre os componentes de: 
a) v
G
 - w
JJG
 b) 6 u
G
 + 2 v
G
 c) - v
G
 + u
G
 d) 5( v
G
 - 4 u
G
) 
 Resp. a) (-2, 1, -4) b) (-10, 6, 4) 
 c) (-7, 1, 10) d) (80, -20, -80) 
 
6) Seja ABC um triângulo qualquer com medianas 
AD, BE e CF . Mostre que o vetor 0+ + =JJJG JJJG JJJG GAD BE CF . 
 
 
 
1.10 Produto Interno 
 
Motivados pela expressão do trabalho em mecânica 
vamos definir o produto interno de dois vetores. Essa 
operação associa a cada par aG , bG de vetores um número 
real que será indicado por a b⋅ GG . 
1.10.1 Ângulo entre Vetores 
 
A fim de definirmos o produto interno necessitamos 
do conceito de ângulo entre dois vetores. O ângulo entre os 
vetores não nulos aG e bG que indicaremos por ( aG , bG ), é 
definido como sendo o ângulo entre seus representantes. 
Mais precisamente, se aG = ABJJJG e bG = CDJJJG , então o ângulo 
entre aG e bG é, por definição, o ângulo entre os segmentos 
orientados AB e AC. Para que essa definição faça sentido, 
devemos mostrar que ( aG , bG ) não depende da colha dos 
representantes AB e AC. Mais precisamente, se A’B’ e A’C’ 
são também representantes dos vetores aG e bG , 
respectivamente, então (veja a Figura abaixo) o ângulo entre 
os segmentos orientados AB e AC é igual ao ângulo entre 
os segmentos orientados A’B’ e A’C’. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observemos que o ângulo (AB, AC) é o menor ângulo 
segundo o qual AB deve girar para se tornar colinear com 
AC. Esse ângulo é positivo se a rotação for no sentido 
contrário ao dos ponteiros de um relógio e negativo em 
caso contrário. Isso nos permite associar a cada ângulo 
( aG , bG ) seu ângulo negativo ou oposto (bG , aG ). 
Sejam aG e bG vetores não-nulos. O produto interno 
do vetor aG pelo vetor bG , indicado por a b⋅ GG , é definido por 
 
 || || || || cos( , )a b a b a b⋅ =G G GG G G 
 
Se um dos vetores aG ou bG for o vetor nulo 
definimos: a b⋅ GG = 0. 
 
 
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1.10.2 Propriedades do Produto Interno 
 
Sejam ,a b
GG
e cG vetores quaisquer e k um escalar. O 
produto interno satisfaz às seguintes propriedades: 
 
i) a b⋅ GG =b a⋅G G (Simetria) 
ii) k( a b⋅ GG ) = (k aG ) b⋅ G (homogeneidade) 
iii) ( )c a b c a c b⋅ + = ⋅ + ⋅G GG G G G G (distributividade) 
 
Note que essas propriedades são verificadas trivialmente se 
um dos vetores for o vetor nulo. Na verdade, 
0 0 0a a⋅ = ⋅ =G G GG G é a única definição com elas, pois, pela 
segunda propriedade acima, temos 
 
0 0( ) (0 ) (0 )a b a b a b= ⋅ = ⋅ = ⋅G G GG G G 
 
portanto, 
 0 0 0b a⋅ = ⋅ =GG GG 
visto que 0 0 0a b= =GG . 
 
Passemos agora à demonstração das propriedades do 
produto interno. 
 
i) Se aG e bG são vetores não nulos, temos: 
 || || || || cos( , )a b a b a b⋅ =G G GG G G 
 || || || || cos( , )b a b a= G GG G 
 b a= ⋅G G 
 
ii) Se aG e bG são vetores não nulos e k 0≠ temos : 
 
 k ( )a b⋅ GG = k || || || || cos( , )a b a bG GG G 
 = || || || || cos( , )a b a b
G GG Gk k 
 )a b= ⋅ GG(k 
 
iii) Consideraremos primeiro o caso em que c u=G G é unitário. 
Escolhamos um representante PQ para o vetor uG e seja a 
reta r a reta que contém o segmento PQ conforme figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escolhamos representantes AB e BC paraos vetores 
aG e bG , respectivamente. Consideremos as projeções 
ortogonais A’ ,B' e C’ dos pontos A, B e C, respectivamente, 
sobre a reta r. Sejam , x y e z os escalares tais que 
' , 'PA xu PB yu= =JJJG JJJJGG G e 'PC zu=JJJJG G . 
 
Observemos agora que || || cos( )u a a u a y x⋅ = ⋅ = −G G G G G e 
analogamente , ( )u b z y u a b z x⋅ = − ⋅ + = −G GG G G . Portanto, 
( )u a b u a u b⋅ + = ⋅ + ⋅G GG G G G G . 
O caso geral se reduz ao anterior. Se cG é um vetor 
qualquer, não nulo, usando a homogeneidade do produto 
interno e a distributividade para vetores unitário, obtemos: 
 
( ) || || ( )
|| ||
cc a b c a b
c
⎛ ⎞⋅ + = ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠
GG GG G G GG 
 || ||
|| || || ||
c cc a b
c c
⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
G G GG GG G 
 c a c b= ⋅ + ⋅ GG G G . 
 
Note que 2|| ||a a a⋅ =G G G , pois, cos( , ) 1a a =G G e que, se aG e 
b
G
 são vetores não nulos, então 
Álgebra Linear I: Vetores – Prof. Disney 
 12
0a b⋅ =GG se, e somente se, ( , )
2
a b kπ π= +GG ,, onde k é um 
número inteiro qualquer. Por essa razão, diremos que o vetor 
aG é perpendicular (ou ortogonal) ao vetor bG quando 
0a b⋅ =GG . Portanto, de acordo com essa definição, o vetor 0G é 
perpendicular a todos os vetores do espaço. Na verdade, 0
G
 
é o único vetor que possui essa propriedade, isto é, se aG é 
um vetor tal que 0a b⋅ =GG qualquer que seja o vetor bG , então 
aG = 0G . Para provar isso, basta tomar, em particular, aG = bG , 
donde 2|| ||a a a⋅ =G G G = 0 que implica 
aG = 0G . 
 
 
1.10.3 Exemplo 
 
Mostre que as diagonais de um losango são perpendiculares. 
 
 
 
 
 
 
 
Queremos mostrar que 0.AC BD⋅ =JJJG JJJG Note que 
 
 ( ) ( )AC BD AB BC BA AD⋅ = + ⋅ +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 AB BA AB AD BC BA BC AD= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 2 2|| || || ||AB AB AD AB AD AD= − + ⋅ − ⋅ +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 
 0= 
 
visto que || || || ||AD BC=JJJG JJJG e BA AB= −JJJG JJJG . 
 
1.11 Bases Ortonormais 
 
 Uma base { , , }a b c
GG G chama-se ortogonal se os seus 
vetores são mutuamente ortogonais, isto é, se 
0a b a c b c⋅ = ⋅ = ⋅ =G GG G G G . Se, além disso, os vetores são unitários, 
a base { , , }a b c
GG G chama-se ortonormal. 
 
O uso de bases ortonormais é bastante conveniente 
pois simplificam bastante os cálculos como veremos nos 
exemplos a seguir. 
 
1.11.1 Exemplos 
 
1) Se { , , }a b c
GG G é uma base ortonormal e uG é um vetor 
qualquer, então ( ) ( ) ( )u a u a b u b c u c= ⋅ + ⋅ + ⋅G GG G G G G G G G . 
 De fato, sabemos é que uG pode ser escrito de 
maneira única como uma combinação linear 
u a b cα β γ= + +GG G G . Calculando, então, o produto interno a u⋅G G , 
obtemos ( ) ( ) ( )a u a a a b a cα β γ α⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =GG G G G G G G , pois 
2|| || 1a a a⋅ = =G G G e 0a b a c⋅ = ⋅ =GG G G . Analogamente 
demonstramos que b uβ = ⋅G G e c uγ = ⋅G G . 
 
 Observemos que, se { , , }a b c
GG G fosse uma base 
qualquer, não necessariamente ortonormal, então as 
coordenadas ,α β e γ do vetor uG seriam a solução do 
sistema 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a a a b a c a u
b a b b b c b u
c a c b c c c u
α β γ
α β γ
α β γ
⎧ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅⎪ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅⎪⎨ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅⎪⎪⎩
GG G G G G G G
G G G G GG G G
GG G G G G G G 
 
2) Se { , , }a b c
GG G é uma base ortonormal e 1 1 1u a b cα β γ= + +
GG G G , 
2 2 2v a b cα β γ= + +
GG G G são vetores quaisquer, então 
 
 1 2 1 2 1 2u v α α β β γ γ⋅ = + +G G 
 
 De fato, 
 
 1 1 1 2 2 2( ) ( )u v a b c a b cα β γ α β γ⋅ = + + ⋅ + +
G GG G G G G G 
 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )a a a b a cα α α β α γ= ⋅ + ⋅ + ⋅
GG G G G G 
 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) )b a b b b cβ α β β β γ+ ⋅ + ⋅ + ⋅
G G G GG G 
 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )c a c b c cγ α γ β γ γ+ ⋅ + ⋅ + ⋅
GG G G G G 
 
 
Como { , , }a b c
GG G é uma base ortonormal, seus vetores 
satisfazem às relações 
 
0; 1a b a c b c a a b b c c⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =G G G GG G G G G G G G 
 
o que reduz a expressão acima a 
 
 1 2 1 2 1 2u v α α β β γ γ⋅ = + +G G 
 
Álgebra Linear I: Vetores – Prof. Disney 
 13
1.12 Orientação do Espaço 
 
. 
Veremos agora que, após escolhida uma orientação 
para o espaço, será possível distinguir duas classes de 
bases ortonormais: as positivas e as negativas. Para a 
adição de vetores, a multiplicação de vetores por escalares e 
o produto interno, a orientação do espaço não tem 
importância alguma, podendo ser dispensada. A escolha de 
uma orientação para o espaço é, entretanto, indispensável 
para a introdução do produto vetorial, que faremos na 
próxima seção. 
Escolhamos um ponto, O, do espaço que chamaremos 
origem. Um triedro é um terno ordenado (OA, OE, OC) de 
segmentos orientados OA, OE e OC não coplanares. Esses 
três segmentos dão origem, permutando a ordem dos 
segmentos, a seis ternos ordenados distintos. Consideremos 
qualquer desses ternos e o observemos de uma posição tal 
que o terceiro segmento orientado esteja dirigido para os 
nossos olhos. A seguir, consideremos a rotação (de menor 
ângulo) do primeiro segmento até que ele fique colinear com 
o segundo segmento (veja a Figura abaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Diremos que o triedro é positivo se a rotação for no 
sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio e negativo , 
caso contrário. 
Por exemplo, o triedro (OA, OE, OC) da Figura anterior é 
positivo, enquanto (OE, OA, OC), é negativo. 
 
Consideremos três vetores ,a OA b OB= =JJJG JJJGGG e c OC= JJJGG . 
Diremos que o terno ordenado ( , , )a b c
GG G é positivo (ou 
negativo) se o triedro (OA, OE, OC) for positivo (ou 
negativo). 
Uma base { , , }a b c
GG G diz-se positiva (ou negativa) se o 
terno ( , , )a b c
GG G é positiva (ou negativa). 
 
 Fixemos um triedro positivo (OA, OE, OC) de 
segmentos orientados unitários e mutuamente ortogonais 
(veja a Figura abaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sejam ,i OA j OB= =JJJG JJJGG G e k OC= JJJGG . Assim a base 
{ i
G
 , j
G
 , k
G
} é ortonormal e positiva. Portanto, os vetores 
i
G
 , j
G
 , k
G
, satisfazem às seguintes relações: 
 
 0i j i k j k⋅ = ⋅ = ⋅ =G GG G G G 
 
 2 2 2 1i j k= = =GG G 
onde 2i i i= ⋅G G G etc. Além disso, o Exemplo 1 da seção 1.11.1 
nos diz que, se aG é um vetor qualquer, então aG pode ser 
decomposto de maneira única como combinação linear 
 
 1 2 3a a i a j a k= + +
GG GG , 
 onde as coordenadas 1 2,a a e 3a são dadas por 
 
 
1
2
3
|| || cos( , )
|| || cos( , )
|| || cos( , )
a a i a a i
a a j a a j
a a k a a k
= ⋅ =
= ⋅ =
= ⋅ =
G GG G G
G GG G G
G GG G G
 
 
 Além disso o Exemplo 2da seção 1.11.1 nos diz 
que, se 
 
 1 2 3b b i b j b k= + +
G GG G
 
então 
 
 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b⋅ = + +
GG 
e 
 2 2 21 2 3|| ||a a a a= + +G 
 
 
 
 
 
 
Álgebra Linear I: Vetores – Prof. Disney 
 14
1.13 Projeção Ortogonal 
 
Sejam os vetores uG e vG , com 0u ≠ GG e 0v ≠ GG . Pretendemos 
calcular o vetor 1w
G que representa a projeção de uG sobre vG . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Figura anterior ilustra as duas situações possíveis. O vetor 
uG foi decomposto em duas componentes normais 1w
G e 2wG . 
Como 1w
G e vG têm a mesma direção, temos que: 
 1 ,w kv k= ∈G G R . 
Temos que: 
 1 2 2u w w kv w= + = +G G G G G 
Tomando o produto escalar de vG em ambos os membros da 
equação acima temos: 
 22 2( ) || ||u v kv w v k v w v⋅ = + ⋅ = + ⋅G G G G G G G G 
Mas 2 0w v⋅ =G G , pois 2wG é ortogonal a vG ; portanto a equação 
acima nos fornece: 
 2
| |
|| ||
u vk
v⋅=
G G
G 
Logo, 
 1 2
| |
|| ||
u vw v
v
⋅=
G GG GG 
 
Portanto, a projeção de uG sobre vG , que denotaremos por 
vproj uG
G é: 
 vproj uG
G
2|| ||
u v v
v
⋅=
G G GG 
ou 
 vproj uG
G u v v
v v
⋅= ⋅
G G GG G . 
 
 
 
1.14 Exemplo 
 Dados (1,2, 2)u = −G e 6 2 3v i j k= − + GG GG determine: 
a) || ||uG 
b) || ||vG 
c) u v⋅G G 
d) O ângulo formado por uG e vG 
e) vproj uG
G 
 
Solução 
a) 2 2 2|| || 1 2 ( 2) 1 4 4 9 3u = + + − = + + = =G 
b) 2 2 2|| || 6 ( 2) 3 36 4 9 49 7v = + − + = + + = =G 
c) u v⋅G G =(1, 2, - 2).(6, - 2, 3) = 6 – 4 – 6 = -4 
d) 4 4cos( , )
|| || || || 3 7 21
u vu v
u v
⋅ −= = = −×
G GG G G G 
logo 4( , ) arccos 100,98º
21
u v ⎛ ⎞= − ≅⎜ ⎟⎝ ⎠
G G 
e) 2 2
4 24 8 12(6, 2,3) , ,
49 49 49|| || 7v
u vproj u v
v
⋅ − − −⎛ ⎞= = − = ⎜ ⎟⎝ ⎠G
G GG GG 
 
1.15 Exercícios 
 
1) Calcule as seguintes somas e diferenças: 
a) ( 2 3 ) (2 5 )i j k i j k+ − + − +G GG G G G 
b) ( 5 6 ) (2 ) ( 2 6 )i j k i j k i j k− + − + + − + − +G G GG G G G G G 
c) (2 3 ) (6 2 )i j k i j k+ − − + +G GG G G G 
d) ( 2 4 ) (2 5 6 ) (3 5 7 )i j k i j k i j k+ − − + + + − +G G GG G G G G G 
 
 Resp. a) (3, 2, 2) b) (2, 4, -1) 
 c) (-4, -1, -4) d) (2, -8, -3) 
 
3) Calcule a norma de cada um dos seguintes vetores 
a) 2 3a i j k= − + GG GG 
b) cosb i sen jθ θ= +G G G 
c) 2 3c i j k= − + GG GG 
 Resp. a) 14 b) 1 c) 14 
 
4) Calcule os seguintes produtos internos: 
a) ( 2 3 ) (2 2 5 )i j k i j k− + ⋅ + −G GG G G G 
b) (3 3 4 ) ( 2 6 )i j k i j k+ − ⋅ − − +G GG G G G 
Álgebra Linear I: Vetores – Prof. Disney 
 15
c) ( 2 3 ) (3 2 7 )i j k i j k− + − ⋅ − +G GG G G G 
Resp. a) -17 b) -33 c) -19 
 
 
5) Mostre que os vetores ,a b
GH e cG são linearmente 
independentes se, e somente se, a equação 0a b cα β γ+ + =G GG G 
só possui a solução nula 0α β γ= = = . 
 
6) Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são os 
pontos A(3, 2, 1), B(3, 2, 2) e C(3, 3, 2). 
Resp. a) l l l45º 90ºe A C B= = = 
 
7) Verifique se os seguintes pontos são coplanares 
 
a) A(2, 2, 1), B(3, 1, 2) e C(2, 3, 0) e D(2, 3, 2) 
 
b) A(2, 0, 2), B(3, 2, 0) e C(0, 2, 1) e D(1, 2, 0) 
 
Resp. a) Não b) Não 
 
 
8) Encontre um vetor unitário ortogonal simultaneamente a 
uG = (1, 0, 1) e vG = (0, 1, 1). 
 
Resp. uma resposta possível é 3 3 3, ,
3 3 3
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
9) Sejam uG = (1, 1, 2) e vG = (a, 1, 2). Para quais valores de 
a, uG e vG são ortogonais? 
Resp. a = -5 
10) Sejam uG = (1/ 2 , 0, 1/ 2 ) e vG = (a, 1/ 2 , -b). Para 
quais valores de a e b, o conjunto { uG , vG } forma uma base 
ortonormal do plano gerado por eles? 
 
Resp. a = ½ b = -½ ou a = -½ b= ½ 
 
11) Determine a projeção de uG = (1, 2, -3) na direção de e vG 
= (2, 1, -2). 
Resp. 10 (2, 1, 1)
9
− 
12) Qual a projeção de uG = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x ? 
Resp. 3 
 
13) Sejam uG , vG e wG vetores do �3. Prove que se u v = u w⋅ ⋅G G G G 
então vG - wG é ortogonal a uG . 
 
14) Sejam uG e vG vetores quaisquer. Mostre que 
 
 2 2 2( ) 2u v u u v v± = ± ⋅ +G G G G G G 
 
e 
 2 2( )( )u v u v u v+ − = −G G G G G G 
 
15) Use o resultado da questão 4) para mostrar a lei dos 
cossenos num triângulo ABC: 
 
 2 2 2 2 cosa b c bc Â= + − 
onde 
 
 || ||, || ||, || ||a BC b AC c AB= = =JJJG JJJG JJJG 
e 
 
 ( , )Â AB AC= 
 
16) Sejam aG e bG vetores quaisquer. Mostre que 
 
 a) 2 21 || || || ||
4
a b a b a b⎡ ⎤⋅ = + − −⎣ ⎦
G G GG G G 
 
 b) ( )2 2 2 2|| || || || 2 || || || ||a b a b a b+ + − = +G G GG G G 
 
 c) | | || || || ||a b a b⋅ ≤ +G GG G (Desigualdade de Schwarz) 
 
 d) || || || || || ||a b a b+ ≤ +G GG G (Desigualdade Triangular) 
 
 e) || || || || || ||a b a b− ≤ −G GG G 
 
 O item a) mostra que é possível definir o produto 
interno apenas em termos da norma, sem usar ângulos. O 
item b) corresponde à lei do paralelogramo, isto é, a soma 
dos quadrados dos comprimentos dos lados de um 
paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos 
comprimentos das diagonais. A desigualdade de Schwarz 
tem muitas aplicações em matemática. A desigualdade 
triangular corresponde ao seguinte fato geométrico: o 
comprimento de um dos lados de um triângulo é menor que 
ou igual à soma dos comprimentos dos outros lados. 
 
 
1.16 Produto Vetorial 
 
Na Seção 1.10 vimos que o produto escalar de dois 
vetores produz um escalar. Nós iremos definir agora um tipo 
de multiplicação vetorial que produz um vetor como produto, 
mas que é aplicável somente ao espaço tridimensional. 
 
1.16.1 Definição 
 
Se 1 2 3( , , )u u u u=G e 1 2 3( , , )v v v v=G são vetores no 
espaço tridimensional, então o produto vetorial u v×G G é o 
Álgebra Linear I: Vetores – Prof. Disney 
 16
vetor definido por 
 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( , , )u v u v u v u v u v u v u v× = − − −G G 
ou em notação de determinante, 
 2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
, , (1)
u u u u u u
u v
v v v v v v
⎛ ⎞× = −⎜ ⎟⎝ ⎠
G G 
Observação: 
 Em vez de memorizar as fórmulas acima, você pode 
obter os componentes de u v×G G como segue: 
• Forme a matriz 2 x 3 dada por 2 31
2 31
u uu
v vv
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
cuja 
primeira linha contém os componentes de uG e cuja 
segunda linha contém os componentes de vG . 
• Para obter o primeiro componente de u v×G G , descarte 
a primeira coluna e tome o determinante; para obter o 
segundo componente, descarte a segunda coluna e tome o 
negativo do determinante; e para obter o terceiro 
componente, descarte a terceira coluna e tome o 
determinante. 
 
1.16.2 Exemplo 
 
Se (2, 1, 1)u = −G e v i j k= + − GG GG calcule u v×G G e v u×G G . 
 
 
1 1 2 1 2 1
, , (0,3,3) 3 3
1 1 1 1 1 1
u v j k
⎛ − − ⎞× = − = = +⎜ ⎟− −⎝ ⎠
GGG G 
1 1 1 1 1 1
, , (0, 3, 3) 3 3
1 1 2 1 2 1
v u j k
⎛ − − ⎞× = − = − − = − −⎜ ⎟− −⎝ ⎠
GGG G 
Note que neste caso temos que u v×G G = - ( v u×G G ), fato que 
ocorre para quaisquer vetores uG e vG como mostraremos a 
seguir. 
 
1.16.2 Propriedades do Produto Vetorial 
 
Sejam uG e vG vetores do espaço tridimensional e k um 
escalar qualquer, então: 
 
i) u v×G G = - ( v u×G G ) 
ii) ( )u v w u v u w× + = × + ×G G G G G G G 
iii) ( ) ( ) ) ( )k u v ku v u kv× = × = ×G G G G G G 
iv) 0 0 0u u× = × =G G GG G 
v) 0u u× = GG G 
 
Para provar i) basta notar que quando se troca a 
ordem entre uG e vG , trocam as linhas dos três determinantes 
da Equação (1) e portanto troca o sinal de cada componente 
do produto vetorial. Portanto, concluímos que 
 u v×G G = - ( v u×G G ). 
As provas das demais partes são deixadas como 
exercício. 
 
1.16.3 Relações entre Produtos Escalar e 
Vetorial 
 
Sejam uG e vG vetores do espaço tridimensional, então: 
 
i) ( ) 0u u v⋅ × =G G G 
ii) ( ) 0v u v⋅ × =G G G 
iii) 2 2 2 2|| || || || || || ( )u v u v u v× = − ⋅G G G G G G (Identidade de Lagrange) 
iv) ( ) ( ) ( )u v w u w v u v w× × = ⋅ − ⋅G G G G G G G G G 
v) ( ) ( ) ( )u v w u w v v w u× × = ⋅ − ⋅G G G G G G G G G 
 
Para provar i) sejam 1 2 3( , , )u u u u=G e 1 2 3( , , )v v v v=G . 
Então 
( )u u v⋅ × =G G G 1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( , , ) ( , , )u u u u v u v u v u v u v u v⋅ − − − 
 1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1( ) ( ) ( ) 0u u v u v u u v u v u u v u v= − + − + − = 
 
A prova de ii) é análoga a de i) 
 
Prova iii). Como 
2 2 2 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1|| || ( ) ( ) ( ) (2)u v u v u v u v u v u v u v× = − + − + −G G 
e 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
2
1 1 2 2 3 3
|| || || || ( ) ( )( )
( )
u v u v u u u v v v
u v u v u v
− ⋅ = + + + + −
− + +
G G G G
 
a prova pode ser obtida desenvolvendo-se os lados 
direitos de (2) e (3) e verificando sua igualdade.As provas de iv) e v) ficam como exercício. 
 
Observações: 
(3)
Álgebra Linear I: Vetores – Prof. Disney 
 17
 
• i ) e ii) mostram que o vetor u v×G G é ortogonal 
simultaneamente a uG e a vG . 
• De iii) obtemos 
2 2 2 2 2 2|| || || || || || || || || || cos ( , )u v u v u v u v× = −G G G G G G G G 
 2 2 2|| || || || (1 cos ( , ))u v u v= −G G G G 
 2 2 2|| || || || sen ( , )u v u v= G G G G 
Como 0 ( , )u v π≤ ≤G G , segue que sen( , ) 0u v ≥G G , e 
portanto isso pode ser reescrito como 
|| || || || || || sen( , )u v u v u v× =G G G G G G . 
• É fácil ver que : 
0 0 0i i j j k k
i j k j k i k i j
j i k k j i i k j
× = × = × =
× = × = × =
× = − × = − × = −
G GG G GG G G G
G G GG G G G G G
G G GG G G G G G 
• O produto vetorial de 1 2 3( , , )u u u u=G e 1 2 3( , , )v v v v=G 
pode ser representado simbolicamente como um 
determinante 3x3: 
1 2 3
1 2 3
i j k
u v u u u
v v v
× = =
GG G
G G 2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
u u u u u u
i j k
v v v v v v
− + GG G 
 Note que o determinante é um número e o 
produto vetorial é um vetor. Usa-se este abuso de 
notação apenas como um mecanismo facilitador para 
o cálculo do produto vetorial. 
• Não é verdade, em geral que 
( )u v w× × =G G G ( )u v w× ×G G G . Por exemplo, 
( ) 0 0i j j i× × = × =G GG G G G 
e 
( )i j j k j i× × = × = −GG G G G G 
o que mostra que 
( )i j j× × ≠G G G ( )i j j× ×G G G . 
Se uG e vG são vetores não-nulos, pode ser mostrado 
que o sentido de u v×G G pode ser determinado usando a 
"regra da mão direita"! (ver Figura a seguir): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja ( , )u vG G o ângulo entre uG e vG e suponha que uG é 
girado pelo ângulo ( , )u vG G até coincidir com vG . Se os dedos 
da mão direita se fecharem apontando no sentido desta 
rotação, então o polegar indica (aproximadamente) o sentido 
de u v×G G . 
 
1.16.4 Interpretação Geométrica do Produto 
Vetorial. 
 
Se uG e vG são vetores no espaço tridimensional, 
então a norma de uG e vG tem uma interpretação geométrica 
útil. Como já vimos || || || || || || sen( , )u v u v u v× =G G G G G G . Mas 
|| || sen( , )v u vG G G é a altura do paralelogramo determinado por uG 
e vG como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Denotando por uvAGG a área do paralelogramo determinado 
por uG e vG , temos : 
 ( )( ) || || || || sen( , ) || ||uvA base altura u v u v u v= = = ×GG G G G G G G . 
Portanto, se uG e vG são vetores no espaço 
Álgebra Linear I: Vetores – Prof. Disney 
 18
tridimensional, então || ||u v×G G é igual à área do paralelogramo 
determinado por uG e vG . 
Note que este resultado também é válido quando uG e 
vG são colineares, pois neste caso, temos um paralelogramo 
degenerado que tem área zero, e || ||u v×G G = 0. 
 
1.16.5 Exemplo 
 
Calcule a área do triângulo de vértices A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) 
e C(0, 1, 3). 
 
Solução: 
 
A área do triângulo ABC é dada por 
 
1
2
A AB AC= ×JJJG JJJG ¨. 
( 3,1, 1)AB = − −JJJG e ( 1,1,1)AC = −JJJG . 
3 1 1 2 4 2
1 1 1
i j k
AB AC i j k× = − − = − −
−
GG G
JJJG JJJG GG G
 
 
2 2 22 ( 4) ( 2) 24 2 6AB AC× = + − + − = =JJJG JJJG 
 
Portanto, 
 
1 2 6 6 . .
2
A u a= = 
 
 
1.17 Produto Misto 
 
 
Se uG , vG e wG são vetores no espaço tridimensional, 
então 
( )u v w⋅ ×G G G 
é chamado produto misto de uG , vG e wG . Denotaremos o 
produto misto de uG , vG e wG por [ uG , vG , wG ]. 
O produto misto de 1 2 3( , , )u u u u=G , 1 2 3( , , )v v v v=G e 
1 2 3( , , )w w w w=G pode ser calculado a partir da fórmula 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
[ , , ] (4)
u u u
u v w v v v
w w w
=G G G . 
De fato, temos que: 
( )u v w⋅ ×G G G = 2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
v v v v v v
u i j k
w w w w w w
⎛ ⎞⋅ − +⎜ ⎟⎝ ⎠
GG GG 
 2 3 1 3 1 21 2 3
2 3 1 3 1 2
v v v v v v
u i u u
w w w w w w
= − + 
 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
u u u
v v v
w w w
= 
 
Segue de (4) que 
 
 [ , , ] [ , , ] [ , , ]u v w w u v v w u= =G G G G G G G G G , 
pois os determinantes que representam estes produtos 
podem ser obtidos um do outro por duas trocas de linhas. 
 
 
1.17.1 Interpretação Geométrica de 
Determinantes 
 
i) O valor absoluto do determinante 1 2
1 2
u u
v v
 é igual à área do 
paralelogramo no espaço bidimensional determinado pelos 
vetores 1 2( , )u u u=G e 1 2( , )v v v=G (veja Figura 1.15.1a. abaixo) 
 
ii) O valor absoluto do determinante 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
u u u
v v v
w w w
 é igual à 
volume do paralelepípedo no espaço tridimensional 
determinado pelos vetores 1 2 3( , , )u u u u=G , 1 2 3( , , )v v v v=G e 
1 2 3( , , )w w w w=G (veja Figura 1.15.1b. a seguir). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prova de i) 
Sabemos que a área do paralelogramo determinado 
por uG e vG é dada por || ||u v×G G . Contudo, o produto vetorial 
está definido para vetores tridimensionais, enquanto 
Álgebra Linear I: Vetores – Prof. Disney 
 19
1 2( , )u u u=G e 1 2( , )v v v=G são vetores bidimensionais. Para 
superar este “problema de dimensão” , veremos uG e vG como 
vetores do plano xy de um sistema de coordenadas xyz , no 
qual estes vetores são escritos como 1 2( , ,0)u u u=G e 
1 2( , ,0)v v v=G conforme ilustra a Figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2
1 2
0
0
i j k
u v u u
v v
× = =
GG G
G G 
 
Como || || 1k =G temos que a área do paralelogramo 
determinado por uG e vG é 
 
u v× =G G 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
.
u u u u u u
k k
v v v v v v
= =G G 
 
Prova ii) Conforme mostra a Figura abaixo, tomamos o 
paralelogramo determinado por vG e wG como base do 
paralelepípedo determinado por uG , vG e wG . Temos que a 
área da base é v w×G G , e como mostra a Figura abaixo, a 
altura do paralelepípedo é a projeção ortogonal de uG sobre 
v w×G G . Portanto ( )v w u v wh proj u v w×
⋅ ×= = ×G G
G G GG G G . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, o volume V do paralelepípedo é 
( ) ( )V área dabase altura= ⋅ = v w×G G ( ) ( )u v w u v w
v w
⋅ × = ⋅ ××
G G G G G GG G 
que é o módulo do produto misto entre uG , vG e wG . Portanto, 
 [ , , ]V u v w= G G G
1 2 3
1 2 3
1 2 3
u u u
v v v
w w w
= 
que completa a prova. 
 
 
1.18 Exercícios 
 
1) Dados os vetores aG = (1, 2,1) e bG = (2,1, 0), calcular: 
a) 2 aG × ( aG + bG ) 
b) ( aG + 2 bG ) × ( aG - 2 bG ) 
 Resp. a) (-2, 4, -6) b) (1, -4, -6) 
2) Dados os pontos A(2, -1, 2), B(1, 2, -1) e C(3, 2,1), determinar o 
vetor ( )2CB BC CA× −JJJG JJJG JJJG . 
 Resp. (12, -8, -12) 
3) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos 
vetores 2 aG + bG e b
G
 - aG , sendo aG = (3, -1, -2) e 
b
G
 =(1, 0, -3). 
 Resp. k(3, 7, 1), k escalar 
 
4) Dados os vetores aG = (1,-1,2), bG = (3,4,-2) e 
cG =(-5,1,-4), mostrar que ( ) ( )a b c a b c⋅ × = × ⋅G GG G G G 
 Resp. ( ) 10 ( )a b c a b c⋅ × = = × ⋅G GG G G G 
5) Determinar o valor de m para que o vetor aG = (1, 2, m) 
seja simultaneamente ortogonal aos vetores b
G =(2, -1, 0) e 
cG = (1, -3, -1) . 
 Resp. – 5 
 
 
 
6) Dados os vetores ( ,5 , )
2
cv a b= −G e 
wG = (-3a, x, y), determinar x e y para que 0v w× = GG G . 
 Resp. x = 15b, y = 3
2
c 
7) Verificar se são coplanares os seguintes vetores: 
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a) uG = (3,-1,2), vG = (1,2,1) e wG = (-2,3,4) 
b) uG = (2, -1, 0), vG = (3, 1, 2) e wG = (7, -1, 2) 
 Resp. a) Não b) Sim 
8) Verificar se são coplanares os pontos: 
a) A(1, 1, 1), B(-2, -1, -3), C(0, 2, -2) e D(-1, O, -2)b) A(1,0,2), B(-1,0,3), C(2,4,1) e D(-1,-2,2) 
c) A(2, 1,3), B(3, 2, 4), C(-1, -1, -1) e D(0, 1, -1) 
 Resp. a) Sim b) Não c) Sim 
9) Para que valor de m os pontos A(m, 1, 2), B(2, -2, -3), 
 C(5, -1, 1) e D(3, -2 -2) são coplanares? 
 Resp. m = 4 
 
10) Determinar o valor de k para que os seguintes vetores 
sejam coplanares: 
a) aG = (2,-1,k), bG = (1, 0, 2) e cG = (k,3,k) 
b) aG = (2,1, 0), bG = (1, 1, -3) e cG = (k, 1, -k) 
c) aG = (2,k, 1), bG = (1,2,k) e cG = (3,0,-3) 
 Resp. a) 6 b) 3
2
 c) 2 ou -3 
 
11) Sejam os vetores uG = (1, 1, 0), vG = (2, 0, 1), 
1 3 2w u v= −G G G , 2 3w u v= +G G G e 3 2w i j k= + −
GG GG .Determinar o 
volume do paralelepípedo definido por 1 2,w w
G G e 3wG . 
 Resp. 44 u.v.