Probabilidade 2 ITA

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Matemática 
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(I) Problemas Iniciais 
 
01. (Uerj) Uma urna contém cinco bolas numeradas de 1 a 5, que serão sorteadas por duas crianças. Para formar 
um número de dois algarismos, cada criança retira ao acaso uma bola dessa urna. O algarismo das dezenas será 
a primeira bola retirada e o algarismo das unidades, a segunda. Se o número formado for par, ganhará um picolé 
a primeira criança que retirar a bola da urna; se for ímpar, ganhará a segunda criança. 
 
A probabilidade de a primeira criança ganhar o picolé é igual a: 
a) 40%. 
b) 45%. 
c) 60%. 
d) 65%. 
 
 
 
 
02. (Uerj) Para construir um alvo de dardos como o da figura 1, foram traçados dois círculos de centro D, um 
de raio r e outro de raio 2r, conforme ilustra a figura 2. Duas regiões são observadas no alvo: I, definida pelo 
círculo menor; II, a da coroa circular. 
 
 
 
Considere que um dardo lançado por uma pessoa sempre atinge o alvo em qualquer ponto das regiões I ou II, 
sendo a probabilidade de acertar cada região diretamente proporcional à sua respectiva área. 
 
Assim, ao lançar um dardo, a probabilidade de essa pessoa acertar a região II é igual a: 
a) 
5
6 
b) 
2
3 
c) 
3
4 
d) 
1
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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03. (Unicamp) Márcia vai sortear um número entre 1 e 2025. Qual a probabilidade de o número sorteado ser 
múltiplo de 3 ou de 7? 
a) 
868
.
2025 
b) 
289
.
2025 
c) 
675
.
2025 
d) 
951
.
2025 
 
04. (Unicamp) Uma lanchonete recebeu uma encomenda de 65 copos de sucos de frutas. Até 3 sabores podem 
ser misturados dentro do copo, sendo eles: abacaxi, laranja e morango. 
O diagrama a seguir representa algumas quantidades produzidas de cada tipo de suco. Por exemplo, foram 
pedidos 10 sucos exclusivamente de abacaxi e 6 sucos usando somente laranja e morango. 
 
 
 
Os sucos foram colocados em copos não rotulados. Se uma pessoa escolher um copo ao acaso, qual a 
probabilidade de que ela tome um suco que tenha exatamente dois sabores? 
a) 5/13. 
b) 1/10. 
c) 7/22. 
d) 2/7. 
 
05. (Ufrgs) Em uma urna, estão depositados cartões retangulares de papel com todos os anagramas possíveis de 
serem formados com quatro letras, considerando as letras R, O, M, A, utilizando todas exatamente uma vez. Cada 
cartão contém um único anagrama e todos os cartões são do mesmo tamanho e peso. Retirando de forma aleatória 
um cartão da urna, considere p a probabilidade de estar escrito nesse cartão o anagrama AMOR. 
 
Dadas essas condições, pode-se afirmar que 
a) p 5%. 
b)  5% p 20%. 
c)  20% p 25%. 
d)  25% p 30%. 
e) p 30%. 
 
 
 
 
 
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06. (Uea) Em uma urna foram colocadas 30 bolas do mesmo tipo, cada uma delas com listras de duas cores. 
Dessas 30 bolas, 12 possuem listras azuis e amarelas; 10 possuem listras azuis e vermelhas; e as demais possuem 
listras vermelhas e amarelas. Retirando-se aleatoriamente uma bola dessa urna, a probabilidade de que uma das 
suas listras seja vermelha é 
a) 
3
.
5
 
b) 
2
.
5
 
c) 
4
.
5
 
d) 
2
.
3
 
e) 
1
.
3
 
 
07. (Uea) Em uma sala de aula há determinado número de alunos, sendo que 2 deles escrevem com as duas 
mãos, 4 alunos só escrevem com a mão esquerda e os demais só escrevem com a mão direita. Sorteando-se 
aleatoriamente um aluno dessa sala, a probabilidade de que ele escreva com a mão esquerda é 
3
.
20
 
 
O número de alunos dessa sala que escrevem com a mão direita é 
a) 38. 
b) 40. 
c) 34. 
d) 32. 
e) 36. 
 
08. (Uerj) Para fazer o sorteio de um livro, quatro amigos colocaram três bolas brancas e duas pretas em uma 
caixa. Decidiram que o primeiro a retirar uma bola preta ficará com o livro. Na ordem alfabética de seus nomes, 
cada um retira uma bola, ao acaso, sem devolvê-la à caixa. 
A probabilidade de o terceiro amigo retirar a primeira bola preta e ficar com o livro é igual a: 
a) 10% 
b) 20% 
c) 30% 
d) 40% 
 
09. (Uerj) 
POPULAÇÃO AGREDIDA FISICAMENTE NO BRASIL EM 
2009 
Cor ou raça Homens Mulheres 
Branca 567 000 474 000 
Preta 880 000 608 000 
Adaptado de IBGE/PNAD, 2009. 
 
A partir dos dados da tabela, escolhe-se ao acaso uma pessoa dessa população. 
Sabendo que essa pessoa é uma mulher, a probabilidade de ela ser preta é mais próxima de: 
a) 0,64 
b) 0,56 
c) 0,44 
d) 0,36 
 
 
 
 
 
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10. (Unicamp) João e Maria estão passeando pela floresta. Para não se perderem no caminho, levaram consigo 
uma sacola com 100 pedrinhas, sendo 60 pedrinhas brancas e 40 pedrinhas pretas. A cada 5 passos eles retiram 
aleatoriamente uma pedrinha da sacola e jogam-na no chão para marcar o caminho. 
 
Quando eles pararam para fazer um lanche, notaram que já tinham sido jogadas 35 pedrinhas brancas e 25 
pedrinhas pretas. 
 
Qual a probabilidade de as próximas duas pedrinhas jogadas serem brancas? 
a) 7/13. 
b) 5/13. 
c) 11/52. 
d) 7/52. 
 
11. (Unesp) Ana somou dois números distintos sorteados ao acaso do conjunto {8, 9, 10}. Beto multiplicou dois 
números distintos sorteados ao acaso do conjunto {3, 5, 6}. A probabilidade de que o resultado obtido na conta 
de Ana tenha sido maior ou igual ao obtido na conta de Beto é igual a: 
a) 
1
3
 
b) 
2
3
 
c) 
4
9
 
d) 
3
8
 
e) 
5
9
 
 
12. (Fempar (Fepar)) Carla tem 3 fichas na mão: 1 rosa, 1 verde e 1 amarela. Fernanda tem 4 fichas na mão: 2 
rosas, 1 azul e 1 verde. 
Cada uma delas pega uma ficha aleatoriamente para mostrar à outra. 
 
A probabilidade de as duas fichas terem a mesma cor é de: 
a) 
1
.
4 
b) 
2
.
7 
c) 
1
.
3 
d) 
2
.
5 
e) 
3
.
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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13. (Uea) Em uma urna há 5 bolas vermelhas e as demais bolas são amarelas, de modo que, ao retirar-se 
aleatoriamente uma bola dessa urna, a probabilidade de ela ser amarela é 
2
.
3 O número total de bolas que há 
nessa urna é 
a) 10. 
b) 15. 
c) 21. 
d) 12. 
e) 18. 
 
14. (Ufrgs) Considere uma moeda não viciada tendo uma face cara e uma face coroa. Ao lançar essa moeda 
cinco vezes, a probabilidade de se obter pelo menos três faces coroa é 
a) 
1
.
8 
b) 
1
.
6 
c) 
1
.
5 
d) 
1
.
4 
e) 
1
.
2 
 
15. (Fcmscsp) Em um conjunto de bolas de sinuca há 15 bolas numeradas de 1 a 15. As bolas numeradas de 9 a 
15 são listradas, as demais não. Tomando-se aleatoriamente uma bola listrada e uma bola não listrada, a 
probabilidade de a soma dos números nessas duas bolas ser maior ou igual a 18 é de 
a) 
3
8 
b) 
2
5
 
c) 
7
20
 
d) 
17
40
 
e) 
9
16
 
 
 
 
 
GABARITO 
Problemas Iniciais 
01- A 06- A 11- E 
02- C 07- E 12- A 
03- A 08- B 13- B 
04- A 09- B 14- E 
05- A 10- B 15- A 
 
 
 
 
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(II) CAIU NA OBMEP 
 
16. (Obmep 2023) Em um teatro, cinco garotos e cinco garotas escolheram aleatoriamente seus lugares em uma 
fila com exatamente 10 cadeiras. Dado que as cinco garotas estão em 5 cadeiras adjacentes, qual é a probabilidade 
de que os cinco garotos também estejam em 5 cadeiras adjacentes? 
 
 
a) 1 
b) 3/4 
c) 1/3 
d) 2/5 
e) 1/2 
 
17. (Obmep 2022) Cinco jogadores disputam um torneio de ténis de mesa de modo que cada jogador enfrenta 
todos os outros exatamente uma vez. Nessas partidas não há empates. Em cada partida, os dois jogadores têm a 
mesma probabilidade de ganhar, e o resultado de uma partida não influencia o resultado das demais. 
Qual é a probabilidade de que algum jogador vença todasNão expostas 100 23.100 23.200 
Total 600 23.400 24.000 
 
Com base nesses dados, qual é a estimativa para 
 
a) a probabilidade de que um indivíduo qualquer desenvolva a doença? 
 
b) a probabilidade de que um indivíduo tenha sido exposto, dado que desenvolveu a doença? 
 
c) o risco relativo de que um indivíduo desenvolva a doença, dado que foi exposto ao agente químico? 
 
 
04. (Uerj 2025) Em um circuito de três lâmpadas iguais ligadas em paralelo, se uma delas queimar, as outras 
duas ainda permanecem acesas. Sabe-se que, ao conectar o circuito a uma bateria, a probabilidade de qualquer 
uma dessas lâmpadas queimarem é igual a 20%. Observe o esquema: 
 
 
 
Calcule a probabilidade de, ao conectar o circuito, pelo menos duas lâmpadas queimarem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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05. (Uerj 2024) Quatro pessoas decidem sortear entre elas dois presentes iguais, a partir da seguinte sequência 
de critérios: 
 
I. cada uma escolhe um número do conjunto {1, 2, 3, 4, 5} sem o revelar; 
II. escrevem, secretamente, esse número em um cartão; 
III. apresentam o cartão para que todas vejam seus números. 
 
Se apenas duas pessoas escolherem o mesmo número, cada uma fica com um presente; caso contrário, repete-se 
o sorteio. 
Calcule a probabilidade de duas pessoas ganharem os presentes no primeiro sorteio. 
 
 
 
06. (Unicamp 2024) O gráfico a seguir exibe as temperaturas mínimas e máximas previstas para o período entre 
os dias 16 e 28 do mês de dezembro de 2023 numa determinada cidade. 
 
 
 
a) Considerando registros históricos, a temperatura máxima média para o mês de dezembro nesta cidade é de 27 
graus. A temperatura máxima média prevista no período apresentado no gráfico é maior ou menor do que a média 
histórica? Justifique. 
 
 
b) Uma pessoa vai se mudar para esta cidade no período indicado no gráfico. Ela poderá escolher qualquer dia 
para fazer a sua mudança. Qual a probabilidade de que ela escolha se mudar em um dia em que a temperatura 
mínima prevista seja maior do que 17 graus? Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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07. (Unesp 2024) A figura indica uma roleta circular, dividida em cinco setores. As posições finais do ponteiro 
giratório da roleta, após um giro aleatório em torno do centro do círculo, possuem mesmas probabilidades. Se, 
após o giro, o ponteiro para sobre a linha compartilhada por setores circulares contíguos, ele é girado novamente. 
 
 
 
a) Girando-se ao acaso o ponteiro da roleta até que ele pare em uma região do interior de algum dos cinco setores, 
qual a probabilidade de que o ângulo central do setor seja obtuso? E qual a probabilidade de que esse ângulo seja 
agudo? 
 
 
b) Girando-se ao acaso duas vezes o ponteiro da roleta e anotando-se os dois ângulos obtidos, qual é a 
probabilidade de que ao menos um deles seja ângulo interno de um polígono regular? 
 
 
 
08. (Fuvest 2024) Uma padaria faz parte de um movimento que pretende combater o desperdício de alimentos 
e vende com descontos seus produtos próximos à data de vencimento. São montados três tipos de kits: A (doces), 
B (salgados) e C (mistos). No momento da compra, um cliente deve indicar apenas uma preferência entre os kits 
A, B ou C, mas receberá um kit surpresa (A, B ou C), conforme a disponibilidade de produtos em promoção. 
 
Sabendo que 40% dos consumidores preferem o kit A, 30% preferem o kit B e 40% preferem o kit C e que a 
probabilidade de um cliente ter a sua preferência atendida é de 80% para o kit A, 90% para o kit B e 70% para o 
kit C, responda: 
 
a) Qual a probabilidade de um cliente não ter a sua preferência atendida? 
 
 
b) Dois amigos fazem uma compra cada um, indicando preferências distintas entre si. Qual a probabilidade de 
ambos terem as suas preferências atendidas? 
 
 
c) Um cliente teve a sua preferência atendida. Qual a probabilidade de que ele tenha pedido o kit B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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09. (Unifesp 2ª Aplicação 2024) Considere a seguinte distribuição de turistas, de diferentes nacionalidades, em 
um cruzeiro: 
 
 
Nacionalidade 
Italiana Chinesa Sul-africana 
Homens 140 280 90 
Mulheres 210 190 90 
 
a) Escolhendo-se aleatoriamente um dos turistas desse cruzeiro, determine a probabilidade de esse turista ter 
nacionalidade sul-africana. 
 
b) Um dos turistas desse cruzeiro foi escolhido aleatoriamente. Sabendo que o turista escolhido não tem 
nacionalidade italiana, determine a probabilidade de que ele seja uma mulher. 
 
10. (Pucrj 2023) Em uma urna, há 6 bolas vermelhas, 6 bolas amarelas, 6 bolas verdes e 6 bolas azuis. 
 
a) Jorge tira uma bola ao acaso. Qual é a probabilidade de que ela seja azul? 
 
b) Depois de repor a bola e sacudir a urna, Jorge tira duas bolas ao acaso. Qual é a probabilidade de que elas 
sejam da mesma cor? 
 
c) Depois de repor as bolas e sacudir a urna, Jorge vai tirar uma bola de cada vez até ter tirado pelo menos uma 
de cada cor e, então, ele vai parar e contar as bolas que tirou. Assim, qual é a probabilidade de que ele tire 
exatamente 5 bolas? 
 
11. (Fgv 2023) Em um torneio de tênis disputado em duas chaves, A e B, após as rodadas iniciais, restaram dois 
jogadores em cada chave: André e Antônio na chave A e Bruno e Bernardo na chave B. Os dois jogos das 
semifinais serão disputados por jogadores da chave A contra jogadores da chave B e serão escolhidos através de 
sorteio. 
Nos torneios de tênis todos os jogos são eliminatórios e não há empates. No torneio em questão, a probabilidade 
de qualquer jogador da chave A vencer qualquer jogador da chave B é 
3
.
4
 Além disso, a probabilidade de Antônio 
vencer André é 
3
.
5
 
 
a) De quantas maneiras Antônio pode ser o campeão? 
 
b) Qual a probabilidade de Antônio ser o campeão? 
 
12. (Ufjf-pism 3 2023) O jogo chamado "Pura Sorte" tem duas caixas de madeira. Em uma delas está pintada a 
letra A e na outra a letra B. Cada caixa contém 100 bolinhas numeradas de 1 a 100. Em cada jogada um jogador 
retira uma bolinha da caixa A e outra da caixa B. Se o número da bolinha retirada da caixa A for menor do que o 
da bolinha retirada da caixa B o jogador ganha 2 pontos. Caso isto não ocorra, ele não pontua. Cada bolinha deve 
então ser devolvida para sua respectiva caixa. Em seguida passa-se a vez para o outro jogador. Ao usarem o jogo 
um grupo de amigos percebeu que estava faltando a bolinha com o número 43 na caixa B. Apesar disso, decidiram 
continuar com a brincadeira. 
 
a) De todas as formas de se retirar uma bolinha de cada caixa, quantas resultarão em 2 pontos para o jogador? 
 
b) Qual é a probabilidade de um dos jogadores conseguir 2 pontos na sua jogada? (Apresente o resultado na 
forma de fração) 
 
 
 
 
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(VI) 2ª Fase ITA/IME 
 
 
01. (Ime 2023) Dado um dodecaedro regular, escolhem-se 3 vértices ao acaso. 
Calcule a probabilidade dos 3 vértices escolhidos pertencerem a uma mesma face. 
 
02. (Ime 2022) Em uma sala com 11 estudantes, um professor decidiu aplicar um trabalho dividindo 
aleatoriamente a turma em três grupos de 3 estudantes e um grupo de 2 estudantes. Sabendo que na turma há um 
casal, qual é a probabilidade de que o mesmo faça o trabalho junto? 
 
03. (Ime 2021) Suponha que cada pacote do cereal CROK contenha um cupom com uma das letras da palavra 
CROK. Um consumidor que tenha todas as letras desse cereal ganha um pacote. Considere que todas as letras 
tenham a mesma probabilidade de aparecer no pacote. Determine a probabilidade de que um consumidor que 
comprou 10 pacotes desse cereal ganhe pelo menos um pacote. 
 
04. (Ita 2021) Uma moeda é lançada sucessivas vezes até que se tenha a ocorrênciade 2 caras. Qual a 
probabilidade do número total de lançamentos ser par? 
 
05. (Ime 2020) Em um jogo, João e Maria possuem cada um três dados não viciados com seis faces numeradas 
de 1 a 6. Cada um lançará os seus dados, sendo João o primeiro a lançar. O vencedor será aquele que obtiver o 
maior número de dados com resultados iguais. Em caso de empate, vencerá aquele que tiver o maior número nos 
dados de igual resultado. Se ainda houver empate, não haverá vencedor. Suponha que João obteve apenas dois 
dados com mesmo resultado. Qual é a probabilidade de Maria vencer o jogo? 
 
06. (Ita 2020) Lançando três dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, sem ver o resultado, você é informado de 
que a soma dos números observados na face superior de cada dado é igual a 9. Determine a probabilidade de o 
número observado em cada uma dessas faces ser um número ímpar. 
 
07. (Ita 2019) Escolhem-se aleatoriamente três números distintos no conjunto {1, 2, 3, , 29, 30}. Determine a 
probabilidade da soma desses três números ser divisível por 3. 
 
08. (Ime 2018) Um ônibus escolar transporta n crianças. Sejam A o evento em que dentro do ônibus tenham 
crianças de ambos os sexos e B o evento em que há no máximo uma menina dentro do ônibus. 
 
Determine o valor de n para que os eventos A e B sejam independentes. 
 
09. (Ita 2018) De uma caixa que contém 10 bolas brancas e 6 bolas pretas, são selecionadas ao acaso 
k bolas. 
 
a) Qual a probabilidade de que exatamente r bolas sejam brancas, nas condições 0 k r 6 −  e 0 k 10.  
 
b) Use o item (a) para calcular a soma 
6
r 0
10 6
.
r 6 r
=
  
  
−  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10. (Ime 2017) Seja =A {1, 2, 3, 4}. 
 
- Quantas funções de A para A têm exatamente 2 elementos em seu conjunto imagem? 
- Entre as 256 funções de A para A, sorteiam-se as funções f e g, podendo haver repetição. Qual a probabilidade 
da função composta f g ser uma função constante? 
 
11. (Ime 2016) Três jogadores sentam ao redor de uma mesa e jogam, alternadamente, um dado não viciado de 
seis faces. O primeiro jogador lança o dado, seguido pelo que está sentado à sua esquerda, continuando neste 
sentido até o jogo acabar. Aquele que jogar o dado e o resultado for 6, ganha e o jogo acaba. Se um jogador 
obtiver o resultado 1, o jogador seguinte perderá a vez, isto é, a vez passará ao jogador sentado à direita de quem 
obteve 1. O jogo seguirá até que um jogador ganhe ao tirar um 6. Qual é a probabilidade de vitória do primeiro 
jogador a jogar? 
 
12. (Ita 2016) Numa certa brincadeira, um menino dispõe de uma caixa contendo quatro bolas, cada qual marcada 
apenas com apenas uma destas letras: N, S, L e O. Ao retirar aleatoriamente uma bola, ele vê a letra 
correspondente e devolve a bola à caixa. Se essa letra for N, ele dá um passo na direção Norte, se S, em direção 
Sul, se L, na direção Leste e se O, na direção Oeste. 
Qual a probabilidade de ele voltar para a posição inicial no sexto passo? 
 
13. (Ita 2015) Três pessoas, aqui designadas por A, B e C, realizam o seguinte experimento: A recebe um 
cartão em branco e nele assinala o sinal + ou o sinal ,− passando em seguida a B, que mantém ou troca o sinal 
marcado por A e repassa o cartão a C. Este, por sua vez, também opta por manter ou trocar o sinal do cartão. 
Sendo de 
1
3
 a probabilidade de A escrever o sinal + e de 
2
3
 as respectivas probabilidades de B e C trocarem o 
sinal recebido, determine a probabilidade de A haver escrito o sinal + sabendo-se ter sido este o sinal ao término 
do experimento. 
 
14. (Ita 2014) Seja Ω o espaço amostral que representa todos os resultados possíveis do lançamento simultâneo 
de três dados. Se  ΩA é o evento para o qual a soma dos resultados dos três dados é igual a 9 e  ΩB o evento 
cuja soma dos resultados é igual a 10, calcule: 
 
a) Ωn( ); 
 
b) n(A) e n(B); 
 
c) P(A) e P(B). 
 
15. (Ita 2012) Dez cartões estão numerados de 1 a 10. Depois de embaralhados, são formados dois conjuntos de 
5 cartões cada. Determine a probabilidade de que os números 9 e 10 apareçam num mesmo conjunto. 
 
16. (Ime 2012) Os nove elementos de uma matriz M quadrada de ordem 3 são preenchidos aleatoriamente com 
os números 1 ou –1, com a mesma probabilidade de ocorrência. Determine: 
 
a) o maior valor possível para o determinante de M; 
 
b) a probabilidade de que o determinante de M tenha este valor máximo. 
 
 
 
 
 
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17. (Ita 2011) Sobre uma mesa estão dispostos 5 livros de história, 4 de biologia e 2 de espanhol. Determine a 
probabilidade de os livros serem empilhados sobre a mesa de tal forma que aqueles que tratam do mesmo assunto 
estejam juntos. 
 
18. (Ita 2010) Uma urna de sorteio contem 90 bolas numeradas de 1 a 90, sendo que a retirada de uma bola e 
equiprovável à retirada de cada uma das demais. 
 
a) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna. Calcule a probabilidade de o numero desta bola ser um 
múltiplo de 5 ou de 6. 
 
b) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna e, sem repô-la, retira-se uma segunda bola. Calcule a 
probabilidade de o numero da segunda bola retirada não ser um múltiplo de 6. 
 
19. (Ita 2008) Em um espaço amostral com uma probabilidade P, são dados os eventos A, B e n tais que: 
P(A) = P(B) = 
1
2
, com A e B independentes, P(A ⋂ B ⋂ C) = 1/16, e sabe-se que P((A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C)) = 
3
10
. 
Calcule as probabilidades condicionais P(C A B ) e P(n A B ). 
 
20. (Ita 2005) São dados dois cartões, sendo que um deles tem ambos os lados na cor vermelha, enquanto o 
outro tem um lado na cor vermelha e o outro na cor azul. Um dos cartões é escolhido ao acaso e colocado sobre 
uma mesa. Se a cor exposta é vermelha, calcule a probabilidade de o cartão escolhido ter a outra cor também 
vermelha. 
 
21. (Ita 2004) Uma caixa branca contém 5 bolas verdes e 3 azuis, e uma caixa preta contém 3 bolas verdes e 2 
azuis. Pretende-se retirar uma bola de uma das caixas. Para tanto, 2 dados são atirados. Se a soma resultante dos 
dois dados for menor que 4, retira-se uma bola da caixa branca. Nos demais casos, retira-se uma bola da caixa 
preta. Qual é a probabilidade de se retirar uma bola verde?as suas partidas? 
 
 
a) 1/4 
b) 5/8 
c) 5/16 
d) 5/32 
e) 5/64 
 
 
 
 
18. (Obmep 2019) Em uma caixa há cinco bolas idênticas, com as letras O, B, M, E e P. Em uma segunda caixa 
há três bolas idênticas, com as letras O, B e M. Uma bola é sorteada da primeira caixa e, a seguir, outra bola é 
sorteada da segunda caixa. Qual é a probabilidade de que essas bolas tenham a mesma letra? 
 
 
a) 1/6 
b) 1/5 
c) 1/4 
d) 1/3 
e) 1/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
7 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
19. (Obmep 2019) Uma formiga caminha pela grade abaixo, podendo se mover apenas para a direita ou para 
cima. Se tiver duas opções para se mover, ela escolhe uma ao acaso, com probabilidade 1/2. Qual é a 
probabilidade de que a formiga comece no ponto A e termine no ponto B? 
 
 
a) 1/5 
b) 1/32 
c) 1/2 
d) 1/10 
e) 1/8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. (Obmep 2018) Tomás tem duas caixas, cada uma com cinco bolas numeradas de 1 a 5. As dez bolas são 
idênticas, exceto pelo seu número. Ele sorteia uma bola da primeira caixa e a coloca na segunda. Em seguida, ele 
sorteia duas bolas da segunda caixa. Qual é a probabilidade de que a soma dos números das duas bolas sorteadas 
da segunda caixa seja igual a 6? 
a) 1/5 
b) 4/15 
c) 11/30 
d) 7/45 
e) 1/3 
 
 
 
 
 
21. (Obmep 2017) Uma caixa contém nove bolas idênticas numeradas de 1 a 9. Uma primeira bola é sorteada, 
seu número é anotado e a bola é devolvida à caixa. Repete-se esse procedimento mais duas vezes, anotando-se 
também os números da segunda e terceira bolas sorteadas. Qual é a probabilidade de que a soma dos números 
nas duas primeiras bolas sorteadas não seja um múltiplo de 3 e a soma dos números nas três bolas sorteadas seja 
um múltiplo de 3? 
a) 
2
9
 
b) 
1
3
 
c) 
2
3
 
d) 
6
9
 
e) 
7
9
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
8 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
22. (Obmep 2016) A professora decidiu premiar, por sorteio, dois dentre os 20 alunos da turma de João. Para o 
sorteio, 20 bolas com os números dos alunos foram colocadas em uma caixa. A primeira bola sorteada pela 
professora caiu no chão e se perdeu, sem que ninguém visse seu número. Ela decidiu fazer o sorteio com as bolas 
restantes. Qual é a probabilidade de que João tenha sido um dos dois alunos sorteados? 
 
a) 
1
10 
b) 
2
19 
c) 
19
200 
d) 
39
380 
e) 
37
342 
 
23. (Obmep 2015) Na figura, o círculo das centenas está dividido em três setores, um semicircular e outros dois 
de mesma área. Cada um dos outros dois círculos está dividido em setores de mesma área. As setas nesses 
círculos, quando giradas, param ao acaso em algum setor, determinando um número de três algarismos. Por 
exemplo, na figura elas determinaram o número 331. 
 
 
 
Qual é a probabilidade de que o número determinado pelas setas, após serem giradas, seja maior do que 260? 
a) 45% 
b) 55% 
c) 60% 
d) 65% 
e) 70% 
 
24. (Obmep 2014) Dois dados têm suas faces pintadas de vermelho ou azul. Ao jogá-los, a probabilidade de 
observarmos duas faces superiores de mesma cor é 11/18. Se um deles tem cinco faces vermelhas e uma azul, 
quantas faces vermelhas tem o outro? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
9 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
25. (Obmep 2013) Um dado foi construído usando a planificação da figura. Qual é a probabilidade de obtermos 
dois resultados diferentes quando jogamos esse dado duas vezes? 
 
a) 
1
2
 
b) 
11
18
 
c) 
2
3
 
d) 
5
6
 
e) 
31
36
 
 
26. (Obmep 2012) Pedro vai participar de um programa de prêmios em que há uma urna contendo quatro bolas 
com valores diferentes e desconhecidos por ele, que serão sorteadas uma a uma até que ele decida ficar com uma 
delas. Ele observa o valor das duas primeiras bolas sorteadas e as descarta. Se o valor da terceira bola sorteada 
for maior que os das duas primeiras, ele ficará com ela e, caso contrário, ficará com a bola que restou. Qual é a 
probabilidade de Pedro ficar com a bola de maior valor? 
a) 
1
4
 
b) 
1
3
 
c) 
3
8
 
d) 
5
12
 
e) 
1
2
 
 
27. (Obmep 2011) Três amigas possuem, cada uma, três blusas: uma amarela, uma branca e uma preta. Se cada 
amiga escolher ao acaso uma de suas blusas, qual é a probabilidade de que as cores das blusas escolhidas sejam 
todas diferentes? 
a) 
1
9
 
b) 
1
8
 
c) 
2
9
 
d) 
3
8
 
e) 
3
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
10 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
28. (Obmep 2010) Carmem tem duas caixas, A e B, cada uma com 4 bolas brancas e 10 bolas pretas. Se ela 
retirar 6 bolas da caixa A e as colocar na caixa B, qual será o menor percentual possível de bolas pretas na caixa 
B? 
 
a) 50% 
b) 55% 
c) 60% 
d) 65% 
e) 70% 
 
 
 
29. (Obmep 2010) Carolina tem três cartões brancos numerados de 1 a 3 e três cartões pretos, também numerados 
de 1 a 3. Ela escolheu, ao acaso, um cartão branco e um preto. Qual é a probabilidade de a soma dos números dos 
cartões escolhidos ser par? 
a) 
3
5
 
b) 
5
9
 
c) 
1
2
 
d) 
2
3
 
e) 
3
4
 
 
30. (Obmep 2009) Luciana tem três canetas pretas e três vermelhas. Ontem ela pegou, ao acaso, uma dessas 
canetas e colocou-a na bolsa. Hoje ela colocou uma caneta preta na bolsa. Se ela retirar uma dessas duas canetas 
da bolsa, sem olhar, qual a probabilidade de essa caneta ser preta? 
a) 
1
2
 
b) 
2
3
 
c) 
3
5
 
d) 
3
4
 
e) 
4
7
 
 
 
 
 
GABARITO 
CAIU NA OBMEP 
16- C 21- A 26- B 
17- C 22- A 27- D 
18- B 23- B 28- C 
19- C 24- D 29- C 
20- A 25- D 30- B 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
11 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
(III) Militares 
 
 
01. (Espcex (Aman) 2025) Alex coleciona figurinhas de jogadores de futebol. Ele possui 10 figurinhas de 
jogadores do Palmeiras, 15 figurinhas de jogadores do Flamengo e 20 figurinhas de jogadores do Grêmio. Como 
ele é desorganizado, as figurinhas estão todas misturadas em uma caixa. Alex quer presentear um amigo com 2 
figurinhas. Para isso, ele retira aleatoriamente da caixa, sucessivamente e sem reposição, 2 figurinhas. A 
probabilidade de que essas 2 figurinhas retiradas sejam de jogadores do Flamengo é igual a: 
a) 
7
66
 
b) 
1
9
 
c) 
2
15
 
d) 
2
45
 
e) 
3
22
 
 
 
 
 
02. (Esa 2025) A 1ª Bateria de Obuses (1ª Bia O), do 22º GAC AP, está localizada na cidade de Uruguaiana – 
RS, região de fronteira do Brasil com a Argentina. Devido à sua localização geográfica, é comum que seus 
integrantes sejam habilitados em outros idiomas. Em um levantamento feito pelo subtenente Cleber, entre os 120 
militares da 1ª Bia O, 50 são habilitados no idioma Inglês, 65 no idioma Espanhol e 20 não são habilitados nem 
em Inglês e nem em Espanhol. Sorteando aleatoriamente um destes militares, qual a probabilidade de se 
selecionar alguém habilitado em ambos os idiomas? 
a) 0,1 
b) 0,125 
c) 0,15 
d) 0,175 
e) 0,2 
 
 
 
 
 
03. (Esa 2025) Em uma urna existem 10 bolas vermelhas, 06 bolas azuis e 08 bolas brancas. Todas as bolas são 
idênticas, exceto pela cor. Retirando as bolas da urna, uma a uma, por sorteio e sem reposição, é correto afirmar 
que: 
a) Retirando 11 bolas da urna, certamente uma das bolas sorteadas será vermelha. 
b) Retirando 3/4 das bolas da urna, certamente uma das bolas sorteadas será azul. 
c) A probabilidade de que as duas primeiras bolas sorteadas sejam brancas é maior que 1/10. 
d) A probabilidade de que as três primeiras bolas sorteadas tenham cores distintas é de 0,125. 
e) A probabilidade de que a primeira bola sorteada seja branca é de 1/4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática12 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
A seguir, você lerá um trecho do livro Viagens de Gulliver, um clássico da literatura universal, escrito por 
Jonathan Swift, publicado em 1726. O trecho foi extraído da Parte III do Capítulo 5 do livro. 
 
Viagens de Gulliver 
 
Fizemos um passeio para a outra parte da academia, onde, como já disse, moravam os cientistas de estudos 
especulativos. 
1O primeiro professor que encontrei estava numa sala muito grande, com quarenta alunos em torno dele. 
Depois das saudações, 2tendo observado que eu olhava com curiosidade para um painel, /.../, disse ele, que “talvez 
eu pudesse gostar de vê-lo utilizando um projeto para a melhoria do conhecimento especulativo, por meio das 
operações práticas e mecânicas.” 
/.../ Todos sabiam como era trabalhoso o método atual para a conquista das artes e das ciências, ao passo 
que, graças às suas ideias, a pessoa mais ignorante, a um custo acessível, e com pouco esforço físico, poderia 
escrever livros de filosofia, poesia, política, direito, matemática e teologia, sem necessidade de recorrer ao auxílio 
de um gênio ou através de estudo. 
Ele então me conduziu até o painel, /.../. As superfícies eram compostas por vários pedaços de madeira, 
aproximadamente do tamanho de um dado, porém alguns eram maiores que os outros. Todos eles eram ligados 
juntos por meio de finos arames. Esses pedaços de madeira eram cobertos, em cada quadrado, com papéis colados 
a eles, e sobre estes papéis estavam escritas todas as palavras do idioma deles, em seus mais diversos modos, 
tempos e declinações, porém sem nenhuma ordem. 
3O professor então quis que eu “observasse, porque ele iria colocar seu mecanismo em funcionamento.” 
Os alunos, sob sua direção, seguravam cada um deles uma alça de ferro, das quais havia quarenta fixadas em 
torno das extremidades do painel, e, dando-lhes uma volta súbita, toda a disposição das palavras se modificava 
totalmente. 4Pediu então para que trinta e seis dos garotos lessem vagarosamente as diversas linhas, à medida que 
elas apareciam no painel, 5e, quando eles encontravam três ou quatro palavras juntas que pudessem fazer parte 
de uma sentença, eles ditavam para os quatro garotos restantes, que eram os escreventes. 
/.../ Esta operação foi repetida três ou quatro vezes, e em cada volta, o mecanismo era tão bem planejado, 
que as palavras se moviam para novos lugares, à medida que os pedaços de madeira quadrados se movimentavam 
de cima para baixo. 
Seis horas por dia eram empregadas pelos estudantes para a realização desta tarefa, e o professor me 
mostrou vários volumes em grande formato, já colecionados, de frases incompletas, as quais ele pretendia montar, 
e além dessa riqueza de material, com a finalidade de oferecer ao mundo uma obra completa de todas as artes e 
ciências, as quais, todavia, poderiam ainda serem melhoradas, e em muito aceleradas, se o público criasse um 
fundo para construção e utilização de quinhentos painéis como aquele em Legado, e obrigasse os diretores a 
contribuírem conjuntamente com suas inúmeras coleções. 
Ele me garantiu que naquela invenção havia utilizado toda 6a inteligência da sua juventude, que ele havia 
esgotado todo o vocabulário com o seu painel, e havia feito um cálculo rigoroso da proporção geral que havia 
nos livros entre os números de partículas, substantivos e verbos, e outros componentes de uma oração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
13 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
 
Ilustração do mecanismo de criação de sentenças descrito no texto: 
 
 
(Disponível em: https://upload.wikimedia.org/commons/c/c0/Viagens_de-Gulliver_050.jpeg. Acesso em: 20/03/2023) 
 
 
04. (Epcar (Afa) 2024) Abaixo, há uma versão simplificada do experimento relatado em As viagens de 
Gulliver, conforme o texto. 
 
Imagine um dispositivo que seja programado para, a cada giro das manivelas, as colunas se movimentem 
conforme as ilustrações abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
14 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
Um programa de computador será criado tendo como base o experimento acima, de tal forma que a cada vez que 
a tecla ENTER for acionada, as manivelas girarão de forma independente uma das outras e em quantidades 
aleatórias. Ao se acionar a tecla ENTER uma única vez, a probabilidade de obter uma sentença coerente e 
sintaticamente correta em língua portuguesa, em sentido denotativo, formada por 4 palavras, a qual apresenta 
sujeito feminino no plural, com predicado nominal, é igual a 
a) 0,42% 
b) 0,54% 
c) 0,60% 
d) 1,08% 
 
05. (Epcar (Afa) 2024) Considere todos os anagramas que podem ser formados com as letras da palavra 
EXCELĘNCIA desprezando o acento circunflexo. 
A probabilidade de se escolher um desses anagramas em que estão agrupadas todas as vogais e todas as 
consoantes é dada por 
a) 
5!
10!
 
b) 
2 2(2!) (5!)
10!

 
c) 
2(5!)
10!
 
d) 
22 (5!)
10!

 
 
06. (Espcex (Aman) 2024) Um segmento de reta de 2 cm deve ser dividido em três partes. Qual a probabilidade 
dessas três partes formarem um triângulo? 
a) 
1
8
 
b) 
1
5
 
c) 
1
4
 
d) 
1
3
 
e) 
1
2
 
 
07. (Esa 2024) Em uma Organização Militar, existe um grupo com 8 militares, sendo 4 militares do segmento 
masculino e 4 militares do segmento feminino. Desse grupo, o comando decidiu escolher 3 militares para realizar 
o Estágio de Operações do Pantanal. Qual a probabilidade de exatamente um militar do segmento masculino ser 
escolhido? 
a) 
1
4
 
b) 
3
4
 
c) 
3
7
 
d) 
4
7
 
e) 
1
2
 
 
 
 
 
 
Matemática 
15 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
08. (Esa 2024) Um número que figura entre 1 e 300 é escolhido aleatoriamente. Qual a probabilidade de que ele 
seja divisível por 3 ou por 5? 
a) 
1
3
 
b) 
1
15
 
c) 
7
10
 
d) 
7
12
 
e) 
7
15
 
 
 
 
 
09. (Eear 2024) Os 99 vagões de carga de um trem, numerados de 1 a 99, foram cheios da seguinte forma: do 
número 1 ao número 30, com trigo; do 31 ao 46, com soja; do 47 ao 70, com milho; e os outros, com café. Ao 
escolher, ao acaso, 2 números naturais distintos no intervalo [1, 99], a probabilidade de que o 1º número seja o 
número de um vagão cheio de milho e o 2º número seja o número de um vagão cheio de soja é, aproximadamente 
__________%. 
a) 2 
b) 4 
c) 20 
d) 40 
 
 
 
 
10. (Esc. Naval 2024) Um físico convida seus alunos para realizar um experimento no laboratório de mecânica 
e leva consigo duas caixinhas idênticas, uma em cada bolso, contendo barrinhas de alumínio idênticas. Para fazer 
o experimento, o professor toma uma barrinha de uma das caixinhas, a qual é escolhida aleatoriamente. 
Inicialmente, cada caixinha contém exatamente "n" barrinhas, as quais vão sendo, sucessivamente, usadas e 
descartadas. Como o físico tem um grau acentuado de distração, há um momento em que tira uma das caixinhas 
de um dos bolsos e percebe-a vazia. Neste momento, qual é a probabilidade de que a outra caixa contenha 
exatamente k barrinhas? 
a) 
2n k
(2n k)!
(n k)! 2 −
−
−
 
b) 
2n
(2n k)!
n! (n k)! 2
−
−
 
c) 
2n k
(2n k)!
n! (n k)! 2 −
−
−
 
d) 
k
(2n k)!
n! (n k)! 2
−
−
 
e) 
2n k
(n k)!
n! (n k)! 2 −
−
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
16 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
11. (Epcar (Afa) 2023) O mostruário de equipamento para treinamento físico esportivo, do catálogo online, de 
certa loja especializada, está organizado de maneira que os 99 itens disponíveis correspondem às modalidades 
para ou academias tradicionais ou aquelas da linha cross fit. 
Além disso, cada uma dessas modalidades se subdivide em ou artigos importados ou artigos nacionais, os quais 
podem ser para o sexo ou masculinoou feminino. 
O controle dos itens fica assim dividido: 
 
- o número de itens importados para o sexo masculino da linha para academia tradicional é a metade daqueles da 
mesma linha e sexo, porém, nacionais; 
- o número de itens do sexo masculino, importados e para academia tradicional é igual ao de nacionais, do mesmo 
sexo, para cross fit; 
- o número de itens femininos para cross fit importados e nacionais é igual; 
- o número de itens para academia tradicional, femininos e importados é o triplo daqueles importados, de mesmo 
sexo da linha cross fit; 
- o número de itens que se destinam a academia tradicional, que são nacionais para o sexo feminino é a metade 
daqueles da mesma linha e sexo, mas importados; 
- 50 itens são nacionais; 
- 52 itens destinados ao sexo feminino; e 
- 33 itens para a modalidade de cross fit. 
 
Um item é escolhido aleatoriamente. 
A probabilidade de ele ser importado, para o sexo masculino, na modalidade de cross fit, em relação ao total de 
itens importados é 
a) menor que 10% 
b) maior que 10% e menor que 20% 
c) maior que 20% e menor que 30% 
d) maior que 30% 
 
12. (Esa 2023) Para avançar ao Rancho, 8 (oito) soldados, entre eles o Sd Alfa e o Sd Bravo, são colocados em 
fila. Pode-se afirmar que a probabilidade desses dois militares ficarem juntos é de: 
a) 50% 
b) 40% 
c) 25% 
d) 20% 
e) 12,5% 
 
13. (Espcex (Aman) 2023) Um grupo de alunos de Cálculo I da EsPCEx é constituído por 8 homens e 4 
mulheres. Três desses alunos são selecionados ao acaso, sem reposição, para apresentarem um trabalho sobre 
aplicação da Integral. A probabilidade de que nessa escolha ao menos dois sejam homens é igual a 
a) 
7
.
55
 
b) 
13
.
55
 
c) 
14
.
55
 
d) 
36
.
55
 
e) 
42
.
55
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
17 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
14. (Epcar (Afa) 2022) Um supermercado registrou a forma de pagamento utilizada por 180 clientes durante 
certa manhã e obteve a seguinte tabela: 
 
 Dinheiro Cheque Cartão 
Compras até 100 reais 40 25 34 
Compras acima de 100 reais 10 27 44 
 
Se uma das compras efetuadas é escolhida ao acaso, então, a probabilidade de que nela se tenha utilizado cheque, 
sabendo que seu valor excedeu 100 reais, é igual a 
a) 
9
10
 
b) 
3
20
 
c) 
13
45
 
d) 
1
3
 
 
 
 
15. (Efomm 2022) Um dado tradicional (6 faces) é lançado três vezes sucessivamente. A probabilidade de que 
os resultados de dois lançamentos consecutivos sejam iguais é 
a) 
4
9
 
b) 
11
36
 
c) 
1
6
 
d) 
1
3
 
e) 
13
18
 
 
 
16. (Espcex (Aman) 2022) Um aluno da EsPCEx tem a probabilidade de 60% de acertar um problema de 
Matemбtica ao tentar resolvк-lo. Numa prova de Matemбtica com 5 problemas, qual a probabilidade desse aluno 
acertar ao menos um dos 5 problemas? 
a) 
5
3
1
5
 
−  
 
 
b) 
5
2
5
 
 
 
 
c) 
3
5
 
 
 
 
d) 
5
2
1
5
 
−  
 
 
e) 
5
3
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
18 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
17. (Esa 2022) Em uma urna existem 5 bolinhas numeradas de 1 a 5. Quatro dessas bolinhas são retiradas, uma 
a uma, sem reposição. Qual a probabilidade de que a sequência de números observados, nessas retiradas, seja 
crescente? 
a) 
2
5
 
b) 
1
5
 
c) 
1
36
 
d) 
1
24
 
e) 
1
12
 
 
18. (Esc. Naval 2022) Na última corrida de automóveis em um campeonato, Lewis precisa completar a prova, 
no mínimo, duas posições à frente de Max para ser declarado campeão. Nessa última corrida, com apenas dez 
participantes, Lewis larga em primeiro e Max na última posição. Considerando os resultados possíveis da corrida 
e que todos os pilotos completem a prova, qual a probabilidade de Lewis ser o campeão? 
a) 
1
90
 
b) 
7
10
 
c) 
4
5
 
d) 
2
5
 
e) 
3
8
 
 
19. (epcar (Cpcar) 2021) Testes realizados em um jogo de arco e flecha 
provaram que a probabilidade de acerto em uma das quatro áreas A1, A2, 
A3 ou A4 de um alvo como o da figura a seguir é a razão entre a área da 
região e o quadrado da distância entre o jogador e o alvo, nessa ordem. 
Sabe-se que A1 é a área de um círculo de raio 1m e A2, A3 e A4 são áreas 
de coroas circulares concêntricas com A1, com as medidas indicadas na 
figura a seguir, em metros. 
 
A probabilidade de um jogador que está a 16 m de distância do alvo 
acertar a área 
a) A3 é a metade da probabilidade de acertar a área A4. 
b) A2 é o dobro da probabilidade de acertar a área A1. 
c) A4 é sete vezes a probabilidade de acertar a área A1. 
d) A3 é o triplo da probabilidade de acertar a área A2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
19 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
20. (Espcex (Aman) 2021) Dois dados cúbicos não viciados, um azul e outro vermelho, são lançados. Os dois 
dados são numerados de 1 a 6. Qual a probabilidade da soma dos números que saírem nos dois dados dar 7, 
sabendo-se que no dado azul saiu um número par? 
a) 
1
12
 
b) 
1
2
 
c) 
1
6
 
d) 
1
3
 
e) 
1
18
 
21. (Efomm 2021) Uma empresa realiza testes em seus funcionários para detectar a COVID19. O teste acusará 
positivo em 80% dos casos se o paciente realmente estiver infectado. Se o paciente estiver saudável o teste dará 
um falso-positivo em 10% dos casos. Sabendo que a taxa de infecção na população é de 5%, a probabilidade de 
uma pessoa realmente ter a doença sendo que seu exame deu positivo é de 
a) 25 70 
b) 60 85 
c) 40 135 
d) 80 175 
e) 95 165 
22. (Epcar (Afa) 2021) No início do mês de março de 2020, dias após a identificação do primeiro caso do novo 
Coronavírus no Brasil, ainda não se podia dizer com certeza um conjunto específico de sinais e/ou sintomas 
clínicos que fosse suficiente para garantir possíveis indivíduos infectados. 
Fontes ligadas a órgãos governamentais de saúde destacavam os sete sinais e/ou sintomas clínicos listados a 
seguir: 
- Febre 
- Coriza 
- Cefaleia 
- Adinamia 
- Irritabilidade 
- Dor de garganta 
- Batimento de asas nasais 
Devido à falta de testes no Brasil, no início da pandemia, sugeria-se que a coleta de fluidos corporais para exames 
em laboratório fosse feita apenas em indivíduos que apresentassem um conjunto de, no mínimo, quatro desses 
sinais e/ou sintomas. 
Nesse contexto, considere P a probabilidade de um indivíduo, que apresenta um ou mais dos sintomas listados, 
ter seu fluido corporal recolhido para realização de exames em laboratório. 
Considere, também, que a ocorrência de cada sintoma é equiprovável. 
 
P é um número do intervalo 
a) 
1
0,
4
 
 
 
 
b) 
1 1
,
4 2
 
 
 
 
c) 
1 3
,
2 4
 
 
 
 
d) 
3
, 1
4
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
20 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
 23. (Esc. Naval 2021) Jayme e seu neto João irão disputar uma partida de xadrez (tabuleiro na Figura 1). 
 
 
 
João jogará uma moeda circular, de raio 1cm, sobre o tabuleiro. 
 
Se a moeda cair inteiramente sobre uma única casa do tabuleiro (exemplos: Figura 2 e Figura 3), João jogará com 
as peças brancas, caso contrário Jayme jogará com as peças brancas. 
 
 
 
Sabe-se que o tabuleiro é formado por 64 casas (quadradas) de 4 cm de lado, cada, e que a moeda deverá tocar 
em pelo menos um ponto da região quadriculada (exemplos: Figuras 4 e 5). 
 
 
 
A probabilidade de João jogar com brancas é aproximadamente igual a: 
a) 0,12. 
b) 0,22. 
c) 0,35. 
d) 0,40. 
e) 0,47. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
21 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
24. (Epcar (Afa) 2020) Cada questão desta prova consta de quatro alternativas, das quais apenas uma é correta. 
 
Considere que um candidato sabe 60% da matéria da prova. Quando esse candidato sabe uma questão, ele a 
acerta, equando não sabe, ele escolhe qualquer resposta, ao acaso. 
 
Considere, ainda, que esse candidato acertou uma questão. A probabilidade de que tenha sido por acaso é um 
número que pode ser escrito na forma de uma fração irredutível 
p
.
q
 
A soma dos números p e q é igual a 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
 
 
 
 
25. (Epcar (Cpcar) 2020) Você conhece o jogo chamado Dominó? 
 
“Existem várias versões que tentam decifrar de onde veio o 
jogo, mas nenhuma delas até hoje pôde ser confirmada. 
Acredita-se, porém, que ele tenha surgido na China, inventado 
por um soldado chamado Hung Ming, que teria vivido de 243 a 
181 a.C. (...) O nome dominó provavelmente deriva da 
expressão latina domino gratias, que significa “graças a Deus”, 
dita pelos padres europeus enquanto jogavam. Atualmente, o 
dominó é jogado em quase todos os países do mundo, mas é 
mais popular na América Latina.” 
(Disponível em: > Acesso em 26 de fevereiro de 2019.) 
 
 
 
As 28 peças de um dominó tradicional são divididas em duas metades. Nelas aparecem representados os números 
0, 1, 3, 4, 5 ou 6, geralmente pintados em quantidades de pontos tal como a figura anterior. 
 
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa. 
 
( ) Dentre todas as peças do jogo, a probabilidade de se escolher uma peça em que os dois números 
representados são diferentes entre si é igual a 75%. 
( ) A probabilidade de se escolher a peça dentre todas as peças do jogo, é maior que 3,5%. 
( ) Dentre as peças que só têm representados números pares em ambas as metades, 40% são aquelas em que há 
um par de números iguais. 
 
Sobre as proposições, tem-se que 
a) apenas uma afirmação é verdadeira. 
b) apenas duas afirmações são verdadeiras. 
c) todas as afirmações são verdadeiras. 
d) nenhuma afirmação é verdadeira. 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
22 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
26. (Espcex (Aman) 2020) Numa sala existem duas caixas com bolas amarelas e verdes. Na caixa 1, há 3 bolas 
amarelas e 7 bolas verdes. Na caixa 2, há 5 bolas amarelas e 5 bolas verdes. De forma aleatória, uma bola é 
extraída da caixa 1, sem que se saiba a sua cor, e é colocada na caixa 2. Após esse procedimento, a probabilidade 
de extrair uma bola amarela da caixa 2 é igual a 
a) 
49
.
110
 
b) 
51
.
110
 
c) 
53
.
110
 
d) 
57
.
110
 
e) 
61
.
110
 
 
27. (Esc. Naval 2020) Escolhendo aleatoriamente um nϊmero do conjunto {1; 2; 3; ; 2020}, qual ι a probabilidade 
de que o nϊmero escolhido e 2020 sejam primos entre si? 
a) 
40
101
 
b) 
153
1010
 
c) 
293
1010
 
d) 
401
1010
 
e) 
76
505
 
 
 
 
28. (Esc. Naval 2020) Em uma brincadeira entre amigos, Douglas anotou, em cada papelzinho, todos os números 
complexos z, tais que | z | 1= e 
z z
1,
z z
+ = em que z representa o conjugado de z, além de 7 respostas de outros 
exercícios que no envolvem números complexos. Feito isso, ele colocou todas as respostas em uma urna. Calcule 
a probabilidade de um amigo de Douglas retirar unia solução qualquer que apresente uma solução complexa. 
Suponha que a chance de retirar qualquer papelzinho da urna seja a mesma. 
a) 
6
13
 
b) 
10
17
 
c) 
5
12
 
d) 
1
2
 
e) 
8
15
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
23 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
29. (Espcex (Aman) 2019) Enrico guardou moedas em um cofrinho por um certo período de tempo e, ao abri-
lo, constatou que: 
 
I. o cofrinho contém apenas moedas de R$ 0,25, R$ 0,50 e R$ 1,00. 
II. a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,25 é o triplo da probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50. 
III. se forem retiradas 21 moedas de R$ 0,25 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50 
passa a ser 
9
.
40
 
IV. se forem retiradas 9 moedas de R$ 0,50 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 1,00 
passa a ser 
1
.
4
 
 
Diante dessas constatações, podemos afirmar que a quantidade de moedas de R$ 0,25 nesse cofrinho era 
a) 27. 
b) 32. 
c) 33. 
d) 81. 
e) 108. 
 
30. (Epcar (Afa) 2019) Pela legislação brasileira, atualmente, os ditos “Jogos de Azar” estão proibidos. Tais 
jogos são, na maioria das vezes, sustentados pelas perdas dos jogadores que financiam os que vão ter sorte. Esses 
jogos têm por condição de existência que, na diferença entre as probabilidades de sorte e azar, predomine o azar. 
 
Ainda que proibidos, bancas de alguns desses jogos são comumente encontradas em festas populares Brasil afora. 
 
Exemplo desses jogos é aquele em que o jogador tem 1 bolinha para lançar sobre uma rampa, levemente 
inclinada, e deverá acertar uma das “casinhas” numeradas de 1 a 6. Geralmente, o dono da banca de jogo impõe 
condições para que o jogador ganhe um prêmio. 
 
Suponha que uma condição de sorte seja, desconsiderando quaisquer outras influências, lançar a bolinha três 
vezes sucessivas de modo que, ao final dos três lançamentos, seja observado que a soma dos números das casinhas 
é igual a 12. 
 
Desse modo, a probabilidade de se ter sorte nesse jogo é 
a) menor que 3%. 
b) maior que 8% e menor que 10%. 
c) maior que 11% e menor que 13%. 
d) superior a 13%. 
 
31. (Efomm 2019) Considere uma urna contendo cinco bolas brancas, duas pretas e três verdes. Suponha que 
três bolas sejam retiradas da urna, de forma aleatória e sem reposição. Em valores aproximados, qual é a 
probabilidade de que as três bolas retiradas tenham a mesma cor? 
a) 7,44% 
b) 8,33% 
c) 9,17% 
d) 15,95% 
e) 27,51% 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
24 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
32. (Efomm 2019) Um atirador, em um único tiro, tem probabilidade de 80% de acertar um específico tipo de 
alvo. Num exercício ele dá seis tiros seguidos nesse mesmo tipo de alvo. 
 
Considerando-se que os tiros são independentes, em cálculo aproximado, qual é a probabilidade de o atirador 
errar o alvo exatamente duas vezes? 
a) 4,12% 
b) 18,67% 
c) 24,58% 
d) 27,29% 
e) 40,25% 
 
33. (epcar (Cpcar) 2019) Numa competição matemática entre as esquadrilhas do Esquadrão Phoenix, atual 1º 
esquadrão do CPCAR, havia um desafio entre as duas duplas A e B finalistas. Tal desafio consistia em escolher 
uma caixa na qual poderia haver um objeto escondido. 
Foram colocadas 8 caixas e em apenas uma encontrava-se o tal objeto desejado. Ganhava o desafio aquela dupla 
que apontasse a caixa na qual estivesse o objeto. 
Sabe-se que, na competição, as duplas alternariam na escolha da caixa e, caso a dupla errasse, a caixa seria 
eliminada. 
Sorteada a ordem de competição, a dupla A fez a 1ª escolha e errou. A 2ª escolha foi feita pela dupla B que 
também errou. No entanto, a dupla B foi a vencedora do desafio, o que só aconteceu na última caixa restante. 
 
Em relação à probabilidade de cada dupla ser vencedora do desafio no momento de escolha da caixa, é correto 
afirmar que a 
a) maior probabilidade de acerto que a dupla A teve numa de suas escolhas foi menor que 40% 
b) probabilidade de acerto da dupla A em sua 3ª escolha foi maior que 15% e menor que 17% 
c) probabilidade de acerto da dupla B era sempre o dobro da probabilidade de acerto da dupla A, se consideradas 
duas escolhas consecutivas. 
d) 3ª maior probabilidade de acerto da dupla B foi de 20% 
 
34. (Epcar (Afa) 2018) Durante o desfile de Carnaval das escolas de samba do Rio de Janeiro em 2017, uma 
empresa especializada em pesquisa de opinião entrevistou 140 foliões sobre qual agremiação receberia o prêmio 
de melhor do ano que é concedido apenas a uma escola de samba. 
 
Agrupados os resultados obtidos, apresentaram-se os índices conforme o quadro a seguir: 
 
Agremiação 
escolhida 
A B CA e B A e C B e C A, B e C 
Nº de 
foliões que 
escolheram 
77 73 70 20 25 40 5 
 
A respeito dos dados colhidos, analise as proposições a seguir e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F 
(FALSA). 
 
( ) Se A for a agremiação vencedora em 2017 e se um dos foliões que opinaram for escolhido ao acaso, então 
a probabilidade de que ele NÃO tenha votado na agremiação que venceu é igual a 45%. 
( ) Escolhido ao acaso um folião, a probabilidade de que ele tenha indicado exatamente duas agremiações é de 
50%. 
( ) Se a agremiação B for a campeã em 2017, a probabilidade de que o folião entrevistado tenha indicado 
apenas esta como campeã é menor que 10%. 
 
 
 
 
Matemática 
25 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
 
A sequência correta é 
a) V – V – F 
b) F – V – V 
c) F – V – F 
d) V – F – V 
 
35. (Efomm 2018) Um programa de auditório tem um jogo chamado “Porta Premiada”, que funciona da seguinte 
maneira: 
 
1º. há três portas: uma tem prêmios e duas estão vazias; 
2º. o apresentador pede ao convidado que escolha uma das portas; 
3º. após a escolha, o apresentador abre uma das duas portas não escolhidas. Como ele sabe qual é a premiada, 
abre uma vazia; 
4º. depois de aberta uma das portas, ele pergunta ao convidado se deseja trocar de porta; 
5º. finalmente, abre a porta do convidado para verificar se ganhou ou perdeu. 
 
Analisando o jogo de forma puramente probabilística, verifique qua(l)(is) das estratégias abaixo tem a maior 
probabilidade de vencer o jogo. 
 
I. Após escolher a porta, não trocá-la até o final do jogo. 
II. Todas as probabilidades são iguais; não há estratégia melhor que a outra, ou seja, tanto faz trocar ou não a 
porta. 
III. A melhor estratégia é sempre trocar a porta. 
 
Sobre as estratégias I, II e III apresentadas, é correto afirmar que 
a) somente a alternativa I está correta. 
b) somente a alternativa II está correta. 
c) somente a alternativa III está correta. 
d) nenhuma alternativa está correta. 
e) todas as alternativas apresentam circunstâncias com a mesma probabilidade de vencer. 
 
36. (Efomm 2018) Um garoto dispõe de um único exemplar de cada poliedro de Platão existente. Para brincar, 
ele numerou cada vértice, face e aresta de cada poliedro sem repetir nenhum número. Em seguida, anotou esses 
números no próprio poliedro. Se ele sortear um dos números usados, aleatoriamente, qual será a probabilidade 
de o número sorteado representar um vértice? 
a) 
5
9
 
b) 
5
14
 
c) 
1
3
 
d) 
5
19
 
e) 
1
10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
26 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
37. (Efomm 2018) Um atleta de tiro ao prato tem probabilidade de 0,9 de acertar o prato a cada novo lançamento. 
Analisando esse jogador antes do início da competição, após quantos lançamento de pratos, a probabilidade de 
ele não ter acertado todos os tiros se tornará maior que a probabilidade de acertar todos? 
a) 9 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
e) 5 
 
38. (Espcex (Aman) 2018) Em uma população de homens e mulheres, 60% são mulheres, sendo 10% delas 
vegetarianas. Sabe-se, ainda, que 5% dos homens dessa população também são vegetarianos. Dessa forma, 
selecionando-se uma pessoa dessa população ao acaso e verificando-se que ela é vegetariana, qual é a 
probabilidade de que seja mulher? 
a) 50% 
b) 70% 
c) 75% 
d) 80% 
e) 85% 
 
39. (Esc. Naval 2018) Pedro está pensando em enviar uma carta para a sua mãe, no interior do Pará, para 
comunicar o falecimento do seu pai no Rio de Janeiro. A probabilidade de que Pedro escreva a carta é de 0,8. A 
probabilidade de que o correio não perca a carta é de 0,9. A probabilidade de que o carteiro entregue a carta é de 
0,9. Sabendo-se que a mãe de Pedro não recebeu a carta, qual é a probabilidade condicional de que Pedro não a 
tenha escrito? 
a) 
25
44
 
b) 
2
5
 
c) 
49
87
 
d) 
73
121
 
e) 
38
88
 
 
40. (Epcar (Afa) 2017) Num auditório da Academia da Força Aérea estão presentes 20 alunos do Curso de 
Formação de Oficiais Aviadores dos quais apenas 10 usam agasalho. Estão presentes, também, 25 alunos do 
Curso de Formação de Oficiais Intendentes dos quais apenas 15 usam agasalho. Um dos alunos presentes é 
escolhido ao acaso. 
 
É correto afirmar que é igual a 
2
9
 a probabilidade de que o aluno escolhido 
a) seja do Curso de Formação de Oficiais Intendentes ou use agasalho. 
b) use agasalho, sabendo que é do Curso de Formação de Oficiais Intendentes. 
c) seja do Curso de Formação de Oficiais Aviadores que não use agasalho. 
d) não use agasalho, sabendo que é do Curso de Formação de Oficiais Aviadores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
27 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
41. (Eear 2017) Uma urna contém bolas verdes e azuis. Sabe-se que a probabilidade de se retirar uma bola azul 
é de 
6
.
11
 A probabilidade de ser retirada, em uma única tentativa, uma bola verde é de 
a) 
1
11
 
b) 
2
11
 
c) 
4
11
 
d) 
5
11
 
 
42. (Efomm 2017) Seis alunos da EFOMM – três paranaenses, dois cariocas e um alagoano – são colocados em 
uma fila aleatoriamente. Qual é a probabilidade, então, de que nenhum conterrâneo fique ao lado do outro? 
a) 
3
31
 
b) 
1
36
 
c) 
1
24
 
d) 
1
12
 
e) 
1
6
 
 
43. (Espcex (Aman) 2017) A probabilidade de um casal ter um filho de olhos azuis é igual a 
1
.
3
 Se o casal 
pretende ter 
4 filhos, a probabilidade de que no máximo dois tenham olhos azuis é 
a) 
1
9
 
b) 
7
9
 
c) 
8
9
 
d) 
2
3
 
e) 
1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
28 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
44. (Esc. Naval 2017) Um exame de laboratório tem eficiência de 90% para detectar uma doença quando essa 
doença existe de fato. Entretanto, o teste aponta um resultado “falso positivo” (o resultado indica doença, mas 
ela não existe) para 1% das pessoas sadias testadas. Se 1,5% da população tem a doenças, qual a probabilidade 
de uma pessoa ter a doença dado que seu exame foi positivo? 
a) 
95
294
 
b) 
160
433
 
c) 
270
467
 
d) 
75
204
 
e) 
73
255
 
 
45. (Epcar (Afa) 2016) Em uma mesa há dois vasos com rosas. O vaso A contém 9 rosas das quais 5 tem 
espinhos e o vaso B contém 8 rosas sendo que exatamente 6 não tem espinhos. 
Retira-se, aleatoriamente, uma rosa do vaso A e coloca-se em B. Em seguida, retira-se uma rosa de B. 
 
A probabilidade de essa rosa retirada de B ter espinhos é 
a) 
8
81
 
b) 
15
81
 
c) 
18
81
 
d) 
23
81
 
 
46. (Efomm 2016) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada 
lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a 
probabilidade de que b seja sucessor de a e que c seja sucessor de b ou que a, b e c sejam primos? 
a) 
4
216
 
b) 
27
216
 
c) 
108
216
 
d) 
31
216
 
e) 
10
216
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
29 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
47. (Esc. Naval 2016) Considere uma urna contendo cinco bolas brancas, duas pretas e três verdes. Suponha que 
três bolas sejam retiradas da urna, de forma aleatória e sem reposição. Qual é, aproximadamente, a probabilidade 
de que as três bolas retiradas tenham a mesma cor? 
a) 9,17% 
b) 27,51% 
c) 7,44% 
d) 15,95% 
e) 8,33% 
 
48. (Esc. Naval 2016) Um atirador, em um único tiro, tem probabilidade de 80% de acertar um específico tipo 
de alvo. Se ele realiza seis tiros seguidos nesse mesmo tipo alvo, considerando-se que os tiros são realizados de 
forma independente, qual a probabilidade de o atirador errar o alvo duas vezes? 
a) 4,12% 
b) 24,58% 
c) 40,25% 
d) 27,29%e) 18,67% 
 
49. (Espcex (Aman) 2015) De uma caixa contendo 50 bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bolas, sem 
reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por 4 e o número da segunda bola ser 
divisível por 5 é 
a) 
12
.
245
 
b) 
14
.
245
 
c) 
59
.
2450
 
d) 
59
.
1225
 
e) 
11
.
545
 
 
50. (Epcar (Afa) 2015) Um jogo é decidido com um único lançamento 
do dado cuja planificação está representada abaixo. 
 
 
 
Participam desse jogo quatro pessoas: Carlos, que vencerá o jogo se 
ocorrer face preta ou menor que 3; José vencerá se ocorrer face branca e 
número primo; Vicente vencerá caso ocorra face preta e número par; 
Antônio vencerá se ocorrer face branca ou número menor que 3. 
Nessas condições, é correto afirmar que 
a) Vicente não tem chance de vencer. 
b) Carlos tem, sozinho, a maior probabilidade de vencer. 
c) a probabilidade de José vencer é o dobro da de Vicente. 
d) a probabilidade de Antônio vencer é maior do que a de Carlos. 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
30 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
51. (Esc. Naval 2015) Três cones circulares 1 2C , C e 3C , possuem raios 
R
R,
2
 e 
R
,
4
 respectivamente. Sabe-se 
que possuem a mesma altura e que 3 2 1.C C C  Escolhendo-se aleatoriamente um ponto de 1C , a probabilidade 
de que esse ponto esteja em 2C e não esteja em 3C é igual a 
a) 
1
4
 
b) 
1
2
 
c) 
3
4
 
d) 
1
16
 
e) 
3
16
 
 
52. (Espcex (Aman) 2014) Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores inteiros positivos 
do número 360, a probabilidade de esse elemento ser um número múltiplo de 12 é: 
a) 
1
2
 
b) 
3
5
 
c) 
1
3
 
d) 
2
3
 
e) 
3
8
 
 
53. (Esc. Naval 2014) Há 10 postos de gasolina em uma cidade. Desses 10, exatamente dois vendem gasolina 
adulterada. Foram sorteados aleatoriamente dois desses 10 postos para serem fiscalizados. Qual é a probabilidade 
de que os dois postos infratores sejam sorteados? 
a) 
1
45
 
b) 
1
90
 
c) 
1
15
 
d) 
2
45
 
e) 
1
30
 
 
54. (Epcar (Afa) 2014) Distribuiu-se, aleatoriamente, 7 bolas iguais em 3 caixas diferentes. Sabendo-se que 
nenhuma delas ficou vazia, a probabilidade de uma caixa conter, exatamente, 4 bolas é 
a) 25% 
b) 30% 
c) 40% 
d) 48% 
 
 
 
 
 
Matemática 
31 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
55. (Epcar (Afa) 2013) Um dado cúbico tem três de suas faces numeradas com “0”, duas com “1” e uma com 
“2”. Um outro dado, tetraédrico, tem duas de suas faces numeradas com “0”, uma com “1” e uma com “2”. Sabe-
se que os dados não são viciados. 
Se ambos são lançados simultaneamente, a probabilidade de a soma do valor ocorrido na face superior do dado 
cúbico com o valor ocorrido na face voltada para baixo no tetraédrico ser igual a 3 é de 
a) 12,5% 
b) 16,6% 
c) 37,5% 
d) 67,5% 
 
56. (Espcex (Aman) 2013) A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma 
das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é 
a) 
1
5
 
b) 
2
5
 
c) 
3
4
 
d) 
1
4
 
e) 
1
2
 
 
57. (Esc. Naval 2013) Uma caixa contém 4 pistolas e 4 fuzis, sendo uma pistola e 2 fuzis defeituosos. Duas 
armas são retiradas da caixa sem reposição. A probabilidade de pelo menos uma arma ser defeituosa ou ser pistola 
é igual a 
a) 
27
28
 
b) 
13
14
 
c) 
6
7
 
d) 
11
14
 
e) 
5
7
 
 
58. (Espcex (Aman) 2012) Pesquisas revelaram que, numa certa região, 4% dos homens e 10% das mulheres 
são diabéticos. Considere um grupo formado por 300 homens e 700 mulheres dessa região. Tomando-se ao acaso 
uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja diabética é 
a) 4% 
b) 5% 
c) 5,4% 
d) 7,2% 
e) 8,2% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
32 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
59. (Epcar (Afa) 2012) Suponha que a distribuição das idades dos cadetes do 1º ano da Academia da Força 
Aérea no ano de 2011 esteja representada pelo gráfico seguinte. 
 
 
 
Com base nos dados registrados nesse gráfico, é correto afirmar que, escolhido um aluno ao acaso, a 
probabilidade de ele ter 20 anos ou 21 anos é igual a 
a) 20% 
b) 25% 
c) 30% 
d) 35% 
e) 40% 
 
 
60. (Esc. Naval 2012) Considere como espaço amostral ( ),Ω o círculo no plano xy de centro na origem e raio 
igual a 2. Qual a probabilidade do evento  A (x,y) | | x | | y | 1 ?Ω=  +  
a) 
2
π
 
b) 4π 
c) 
1
π
 
d) 
1
2π
 
e) π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
33 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
61. (Epcar (Afa) 2011) Considere que: 
 
I. Em uma urna encontram-se p bolas vermelhas e q bolas azuis; 
II. Duas bolas são retiradas dessa urna, sucessivamente e com reposição. 
 
Sabe-se que x é a variável que indica o número de bolas azuis observadas com as retiradas, cuja distribuição de 
probabilidade está de acordo com a tabela a seguir. 
 ___________________
x 0 1 2
P(x) 0,36 0,48 0,16
 
 
Nessas condições, é correto afirmar que 
a) a probabilidade de se observar no máximo uma bola azul é 64%; 
b) se p = 6, então q = 9; 
c) se p = 18, então q = 12; 
d) p + q é necessariamente menor ou igual a 100. 
 
62. (Espcex (Aman) 2011) Se forem tomadas ao acaso duas arestas de um prisma reto de bases triangulares, a 
probabilidade de que elas estejam em retas-suporte reversas é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
GABARITO 
ESCOLAS MILITARES 
01- A 11- B 21- C 31- C 41- C 51- E 61- C 
02- B 12- C 22- C 32- C 42- E 52- C 62- A 
03- C 13- E 23- B 33- D 43- C 53- A 
04- A 14- D 24- A 34- A 44- C 54- C 
05- D 15- B 25- C 35- C 45- D 55- A 
06- C 16- D 26- C 36- D 46- D 56- B 
07- C 17- D 27- A 37- C 47- A 57- A 
08- E 18- D 28- E 38- C 48- B 58- E 
09- B 19- C 29- D 39- A 49- D 59- B 
10- C 20- C 30- C 40- C 50- C 60- D 
 
 
 
 
1
3
2
3
1
6
1
4
1
2
 
 
 
 
Matemática 
34 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
 
(IV) ITA/IME 
 
 
01. (Ime 2025) São dados os pontos A e B sobre uma circunferência de raio r, de forma que a corda AB mede r. 
Escolhe-se ao acaso um ponto C sobre o maior arco AB. A probabilidade da área do triângulo ABC ser maior 
que 
2r 3
4
 é 
a) 
1
5
 
b) 
2
5
 
c) 
1
2
 
d) 
3
5
 
e) 
4
5
 
 
02. (Ime 2024) Sejam dois dados cúbicos (com faces numeradas de 1 a 6) e um dado na forma de dodecaedro 
(com faces numeradas de 1 a 12). Em cada tipo de dado, todas as faces possuem mesma probabilidade de 
ocorrência. Com um único lançamento de cada dado, a probabilidade de se obter maior pontuação com o 
dodecaedro do que com os dois dados cúbicos somados é: 
a) 2/3 
b) 1/6 
c) 7/36 
d) 5/12 
e) 3/16 
 
03. (Ime 2024) Em uma escada, uma bola lançada do i-ésimo degrau irá parar em qualquer degrau mais baixo 
com probabilidade 1/i. Por exemplo, ao lançarmos uma bola do 3° degrau, a bola tem 1/3 de chances de parar no 
2° degrau, 1/3 de chances de parar no 1° degrau e 1/3 de chances de parar no degrau 0. Nessa escada lançamos 
uma bola preta do degrau m, m > 0, e uma bola branca do degrau n, n > m. A probabilidade de a bola branca 
parar em um degrau mais baixo do que a bola preta é: 
a) 
2m 2m 1
2n
− +
 
b) 
2m 1
2n
−
 
c) 
m
2n
 
d) 
2m
2n
 
e) 
m 1
2n
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
35 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
04. (Ita 2023) Um conjunto de moedas é lançado sucessivas vezes. Em cada lançamento, todas as moedas que 
resultam em coroa, e apenas estas, são retiradas. As demais moedas permanecem para o próximo lançamento. O 
jogo termina quando todas as moedas tiverem sido retiradas. A probabilidade de o jogo durar mais do que trêsrodadas, se for iniciado com quatro moedas, 
a) 1341/4096. 
b) 1695/4096. 
c) 2049/4096. 
d) 2401/4096. 
e) 2755/4096. 
 
05. (Ime 2023) Dez números reais formam uma progressão geométrica (PG) com razão q > 1. Removem-se ao 
acaso cinco desses números. A probabilidade de que os cinco números restantes estejam em PG é 
a) 
1
252
 
b) 
1
126
 
c) 
3
126
 
d) 
2
63
 
e) 
3
63
 
 
06. (Ime 2023) Um polígono regular possui 2n vértices (n , n 1).  Escolhem-se ao acaso 4 vértices do 
polígono, formando o quadrilátero ABCD. A probabilidade de ABCD ser um retângulo é 
a) 
n
2
2n
4
 
 
 
 
 
 
 
b) 
n 1
2n
4
−
 
 
 
 
c) 
n 2
4
2n
4
+ 
 
 
 
 
 
 
d) 
2n
2
2n
4
 
 
 
 
 
 
 
e) 
2n 2n 4
2n
12
4
+ +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
36 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
 
07. (Ime 2022) Os valores para s e t são escolhidos no intervalo (0, r), tais que s t r.+  Considere três segmentos 
de reta com comprimentos s, t e r s t.− − Qual a probabilidade desses segmentos formarem um triângulo? 
a) 2/3 
b) 1/2 
c) 1/3 
d) 1/4 
e) 3/4 
 
08. (Ita 2022) Dizemos que a representação binária de um número N da forma 
 
0 1 2 3 4 5 6N g 2 f 2 e 2 d 2 c 2 b 2 a 2=  +  +  +  +  +  +  
 
é (abcdefg)2, onde a, b, c, d, e, f, g {0,1} e omitem-se os algarismos 0 até o primeiro algarismo 1 da esquerda para 
a direita. Seja k um número inteiro tal que 1 k 100.  Qual a probabilidade de k e k + 1 terem representações 
binárias com um número distinto de algarismos? 
a) 2%. 
b) 4%. 
c) 6%. 
d) 8%. 
e) 10%. 
 
09. (Ita 2022) Seja A o conjunto de todas as retas que passam por dois vértices distintos de um cubo C. 
Escolhendo aleatoriamente duas retas distintas de A, a probabilidade dessas retas se interceptarem em um vértice 
de C é: 
a) 4/9. 
b) 1/2. 
c) 2/3. 
d) 1/14. 
e) 3/7. 
 
10. (Ime 2021) Há um torneio de xadrez com 6 participantes. Cada participante joga com cada um dos outros 
uma única partida. Não ocorrem empates. Cada participante tem 50% de chance de vencer cada partida. Os 
resultados são independentes. O vencedor em cada partida ganha um ponto e o perdedor zero. Deste modo, o 
total é acumulado para montar o ranking. No primeiro jogo do torneio José vence Maria. Se a probabilidade de 
José chegar à frente de Maria ao final do torneio é 
p
,
q
 com p e q primos entre si, o valor de p q+ é: 
a) 5 
b) 19 
c) 257 
d) 419 
e) 4097 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
37 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
11. (Ita 2021) Um dodecaedro regular tem 12 faces que são pentágonos regulares. Escolhendo-se 2 vértices 
distintos desse dodecaedro, a probabilidade de eles pertencerem a uma mesma aresta é igual a: 
a) 
15
.
100
 
b) 
3
.
19
 
c) 
15
.
190
 
d) 
5
.
12
 
e) 
2
.
5
 
 
 
 
12. (Ime 2020) Considere os conjuntos A {0,1, 2, 3, 4}= e B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}.= Seja F o conjunto de funções 
cujo domínio é A e cujo contradomínio é B. Escolhendo-se ao acaso uma função f de F, a probabilidade de f 
ser estritamente crescente ou ser injetora é: 
a) 0,00252 
b) 0,00462 
c) 0,25200 
d) 0,30240 
e) 0,55440 
 
 
 
 
13. (Ita 2020) Considere o conjunto M (n, k) de todas as matrizes quadradas de ordem n n, com exatamente k 
elementos iguais a 1, e os demais iguais a 0 (zero). Escolhendo aleatoriamente matrizes L M (3,1) e R M (4, 2), 
a probabilidade de que 2L 0= e 2R 0= é igual a 
a) 
1
.
3
 
b) 
1
.
5
 
c) 
4
.
15
 
d) 
13
.
30
 
e) 
29
.
30
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
38 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
14. (Ita 2019) As faces de dez moedas são numeradas de modo que: a primeira moeda tem faces 1 e 2; a segunda, 
2 e 3; a terceira, 3 e 4, e assim sucessivamente até a décima moeda, com faces 10 e 11. As dez moedas são 
lançadas aleatoriamente e os números exibidos são somados. Então, a probabilidade de que essa soma seja igual 
a 60 é 
a) 
63
.
128
 
b) 
63
.
256
 
c) 
63
.
512
 
d) 
180
.
512
 
e) 
189
.
1024
 
 
15. (Ime 2019) Em um jogo de RPG “Role-Playing Game” em que os jogadores lançam um par de dados para 
determinar a vitória ou a derrota quando se confrontam em duelos, os dados são icosaedros regulares com faces 
numeradas de 1 a 20. Vence quem soma mais pontos na rolagem dos dados e, em caso de empate, os dois perdem. 
Em um confronto, seu adversário somou 35 pontos na rolagem de dados. É sua vez de rolar os dados. Qual sua 
chance de vencer este duelo? 
a) 1 2 
b) 3 76 
c) 9 400 
d) 1 80 
e) 3 80 
 
16. (Ime 2019) Um hexágono regular está inscrito em um círculo de raio R. São sorteados 3 vértices distintos 
do hexágono, a saber: A, B e C. Seja r o raio do círculo inscrito ao triângulo ABC. Qual a probabilidade de que 
R
r ?
2
= 
a) 0 
b) 110 
c) 3 5 
d) 1 20 
e) 1 6 
 
17. (Ime 2018) João e Maria nasceram no século XX, em anos distintos. A probabilidade da soma dos anos em 
que nasceram ser 3.875 é: 
a) 2 99 
b) 19 2.475 
c) 37 4.950 
d) 19 825 
e) 19 485 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
39 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
18. (Ita 2018) São dadas duas caixas, uma delas contém três bolas brancas e duas pretas e a outra contém duas 
bolas brancas e uma preta. Retira-se, ao acaso, uma bola de cada caixa. Se 1P é a probabilidade de que pelo menos 
uma bola seja preta e 2P a probabilidade de as duas bolas serem da mesma cor, então 1 2P P+ vale 
a) 
8
.
15
 
b) 
7
.
15
 
c) 
6
.
15
 
d) 1. 
e) 
17
.
15
 
 
19. (Ime 2017) Um hexágono é dividido em 6 triângulos equiláteros. De quantas formas podemos colocar os 
números de 1 a 6 em cada triângulo, sem repetição, de maneira que a soma dos números em três triângulos 
adjacentes seja sempre múltiplo de 3? Soluções obtidas por rotação ou reflexão são diferentes, portanto as 
figuras abaixo mostram duas soluções distintas. 
 
 
a) 12 
b) 24 
c) 36 
d) 48 
e) 96 
 
20. (Ita 2017) Com os elementos 1, 2, ,10 são formadas todas as sequências 1 2 7(a , a , , a ). Escolhendo-se 
aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de a sequência escolhida não conter elementos repetidos 
é 
a) 
7
7!
.
10 3!
 
b) 
7
10!
.
10 3!
 
c) 
7
3!
.
10 7!
 
d) 
3
10!
.
10 7!
 
e) 
7
10!
.
10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
40 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
21. (Ita 2017) Um atirador dispõe de três alvos para acertar. O primeiro deste encontra-se a 30 m de distância; 
o segundo, a 40 m; o terceiro alvo, a 60 m. Sabendo que a probabilidade de o atirador acertar o alvo é 
inversamente proporcional ao quadrado da distância e que a probabilidade de ele acertar o primeiro alvo é de 
2
,
3
 
então a probabilidade de acertar ao menos um dos alvos é 
a) 
120
.
160
 
b) 
119
.
154
 
c) 
110
.
144
 
d) 
105
.
135
 
e) 
119
.
144
 
 
22. (Ime 2016) Os inteiros n e m são sorteados do conjunto {1, 2, 3, ..., 2016}, podendo haver repetição. Qual a 
probabilidade do produto n m ser múltiplo de 12? 
a) 
5
12
 
b) 
5
18
 
c) 
5
24
 
d) 
5
36
 
e) 
5
144
 
 
23. (Ita 2016) Escolhendo-se, aleatoriamente, três números inteiros distintos no intervalo [1, 20], a probabilidade 
de que eles estejam, em alguma ordem, em progressão geométrica com razão inteira é igual a 
a) 
2
.
285
 
b) 
2
.
217
 
c) 
1
.
190
 
d) 
4
.
225
 
e) 
1
.
380
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática41 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
24. (Ime 2015) O time de futebol "X" irá participar de um campeonato no qual não são permitidos empates. Em 
80% dos jogos, "X" é o favorito. A probabilidade de "X" ser o vencedor do jogo quando ele é o favorito é 0,9. 
Quando "X" não é o favorito, a probabilidade de ele ser o vencedor é 0,02. Em um determinado jogo de "X" 
contra "Y", o time "X" foi o vencedor. Qual a probabilidade de "X" ter sido o favorito nesse jogo? 
a) 0,80 
b) 0,98 
c) 180 181 
d) 179 181 
e) 170 181 
 
25. (Ita 2013) Seja p uma probabilidade sobre um espaço amostral finito . Se A e B são eventos de  tais que 
( )
1
p A ,
2
= ( )
1
p B
3
= e ( )
1
p A B ,
4
 = as probabilidades dos eventos A \ B, A B e C CA B são, respectivamente, 
a) 
1
,
4
 
5
6
 e 
1
.
4
 
b) 
1
,
6
 
5
6
 e 
1
.
4
 
c) 
1
,
6
 
7
12
 e 
3
.
4
 
d) 
1
,
3
 
5
6
 e 
1
.
3
 
e) 
1
,
4
 
7
12
 e 
3
.
4
 
 
26. (Ita 2013) Considere os seguintes resultados relativamente ao lançamento de uma moeda: 
I. Ocorrência de duas caras em dois lançamentos. 
II. Ocorrência de três caras e uma coroa em quatro lançamentos. 
III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em oito lançamentos. 
Pode-se afirmar que 
a) dos três resultados, I é o mais provável. 
b) dos três resultados, II é o mais provável. 
c) dos três resultados, III é o mais provável. 
d) os resultados I e II são igualmente prováveis. 
e) os resultados II e III são igualmente prováveis. 
 
27. (Ime 2013) Um menino, na cidade do Rio de Janeiro, lança uma moeda. Ele andará 1 m para leste se o 
resultado for cara ou 1 m para oeste se o resultado for coroa. A probabilidade deste menino estar a 5 m de distância 
de sua posição inicial, após 9 lançamentos da moeda, é 
a) 
6
9
2
 
b) 
6
35
2
 
c) 
2
9!
 
d) 
9
35
2
 
e) 
9
9!
2
 
 
 
 
 
 
Matemática 
42 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
28. (Ita 2012) Dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos. Se os dois atiradores disparam 
simultaneamente, então a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
29. (Ime 2012) Em um aeroporto existem 12 vagas numeradas de 1 a 12, conforme a figura. Um piloto estacionou 
sua aeronave em uma vaga que não se encontrava nas extremidades, isto é, distintas da vaga 1 e da vaga 12. Após 
estacionar, o piloto observou que exatamente 8 das 12 vagas estavam ocupadas, incluindo a vaga na qual sua 
aeronave estacionou. Determine a probabilidade de que ambas as vagas vizinhas a sua aeronave estejam vazias. 
 
1 2 3 .... 10 11 12 
 
a) 
1
55
 
b) 
2
55
 
c) 
3
55
 
d) 
4
55
 
e) 
6
55
 
 
30. (Ita 2011) Numa caixa com 40 moedas, 5 apresentam duas caras, 10 são normais (cara e coroa) e as demais 
apresentam duas coroas. Uma moeda é retirada ao acaso e a face observada mostra uma coroa. A probabilidade 
de a outra face desta moeda também apresentar uma coroa é 
a) 
7
.
8
 
b) 
5
.
7
 
c) 
5
.
8
 
d) 
3
.
5
 
e) 
3
.
7
 
 
 
 
 
2
9
1
3
4
9
5
9
2
3
 
 
 
 
Matemática 
43 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
31. (Ita 2010) Um palco possui 6 refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo moderno os 
refletores são acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de 
2
3
 a probabilidade de 
ser aceso. 
Então, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 refletores sejam acesos simultaneamente, é igual a 
a) 
16
27
. 
b) 
49
.
81
 
c) 
151
.
243
 
d) 
479
.
729
 
e) 
4 5
4 5
2 2
.
3 3
+ 
 
32. (Ime 2010) 
 
 
Cada um dos quatro quadrados menores da figura acima é pintado aleatoriamente de verde, azul, amarelo ou 
vermelho. Qual é a probabilidade de que ao menos dois quadrados, que possuam um lado em comum, sejam 
pintados da mesma cor? 
a) 
1
2
 
b) 
5
8
 
c) 
7
16
 
d) 
23
32
 
e) 
43
64
 
 
33. (Ita 2008) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% 
dos homens e 0,25% das mulheres. Indique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica selecionada 
ao acaso nessa população. 
a) 1/21 
b) 1/8 
c) 3/21 
d) 5/21 
e) 1/4 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
44 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
34. (Ita 2008) Considere o conjunto D = {n ∈ N; 1 ≤ n ≤ 365} e H ⊂ P(D) formado por todos os subconjuntos 
de D com 2 elementos. Escolhendo ao acaso um elemento B ∈ H, a probabilidade de a soma de seus elementos 
ser 183 é 
a) 1/730 
b) 46/33215 
c) 1/365 
d) 92/33215 
e) 91/730 
 
35. (Ita 2005) Retiram-se 3 bolas de uma urna que contém 4 bolas verdes, 5 bolas azuis e 7 bolas brancas. Se P1 
é a probabilidade de não sair bola azul e P2 é a probabilidade de todas as bolas saírem com a mesma cor, então a 
alternativa que mais se aproxima de P1 + P2 é 
a) 0,21. 
b) 0,25. 
c) 0,28 
d) 0,35. 
e) 0,40. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
CAIU NA OBMEP 
01- D 11- B 21- E 31- A 
02- D 12- D 22- B 32- E 
03- E 13- B 23- A 33- A 
04- B 14- B 24- C 34- A 
05- D 15- E 25- E 35- A 
06- A 16- B 26- D 
07- D 17- C 27- A 
08- C 18- E 28- D 
09- A 19- D 29- E 
10- D 20- B 30- B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
45 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
(V) Alguns Problemas Abertos 
 
01. (Albert Einstein - Medicina 2025) Um dado comum é o objeto obtido pela inscrição dos números 1, 2, 3, 
4, 5 e 6 nas faces de um cubo, de modo que a soma dos números em faces opostas resulte sempre no mesmo 
número. A figura mostra uma planificação de um dado comum. 
 
 
 
Um dado incomum será definido como o objeto obtido pela inscrição dos números – 4, – 3, – 2, – 1, 0 e 1 nas 
faces de um cubo, de modo que a soma dos números em faces opostas resulte sempre no mesmo número. 
 
a) A figura mostra uma planificação de um dado com apenas uma face já inscrita com o número 1. 
 
 
 
De quantas maneiras distintas é possível inscrever os outros cinco números na planificação indicada de modo a 
ser uma planificação de um dado incomum? 
 
b) Calcule a probabilidade de, em um lançamento simultâneo de dois dados, sendo um comum e o outro incomum, 
a soma dos números inscritos nas faces superiores dos dados ser estritamente positiva. 
 
 
 
 
02. (Ufpr 2025) Um casal fez uma lista com os 6 restaurantes que pretendem conhecer, sendo 3 deles de comida 
japonesa, e os outros 3, de comida mexicana. A ordem de escolha dos restaurantes será aleatória, e o casal não 
retornará a um restaurante ao qual já tenha ido anteriormente. A partir disso, responda ao que se pede, 
apresentando o raciocínio. 
 
a) Determine a probabilidade de o primeiro restaurante escolhido ser de comida japonesa. 
 
b) Determine a probabilidade de o primeiro restaurante escolhido ser de comida japonesa, e o segundo, de comida 
mexicana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
46 
Professor Carlos Alex 
2° Ita 
 
03. (Fuvest 2025) O risco relativo (RR) é um termo estatístico utilizado para comparar as probabilidades 
condicionais de um determinado evento ocorrer, dado que um grupo está exposto a determinado fenômeno, 
enquanto outro não está exposto a esse mesmo fenômeno. Em termos matemáticos, tem-se que: 
 
P(evento | exposto)
RR=
P(evento | não exposto)
 
 
Um grupo de pessoas foi exposto, durante um longo período de tempo, a um determinado agente químico que 
pode representar um fator de risco para uma determinada doença. Outro grupo de pessoas não sofreu essa 
exposição. Em ambos os grupos, houve indivíduos que desenvolveram essa doença e outros não, como mostra a 
tabela a seguir. 
 
Pessoas Com a doença Sem a doença Total 
Expostas 500 300 800