Teoria das Estruturas 2 - Aula 7 - 2013 2S - EC

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1 
T E O R I A D A S E S T R U T U R A S 2 
C E N T R O U N I V E R S I T Á R I O E S T Á C I O R A D I A L D E S Ã O P A U L O 
C U R S O D E G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A C I V I L 
P R O F . A L E X A N D R E A U G U S T O M A R T I N S 
6 º P E R Í O D O 
2 0 1 3 / 2 S 
A
U
LA
 7
 
11
.0
9.
20
13
 
2 
“ L I Ç Ã O D E C A S A ” 
3 
D 
A 
C 
E 
B 
H I J K 
F 
G 
4 
CÁLCULO DO GRAU DE HIPERESTATICIDADE DO PÓRTICO PLANO E DEFINIÇÃO DA SUA SITUAÇÃO DE EQUILÍBRIO: 
g = 
[(NÚMERO DE COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO)+ 
(NÚMERO DE ANÉIS . 3)] 
– 
[3 + (NÚMERO DE EQUAÇÕES VINDAS DE ARTICULAÇÕES 
INTERNAS)] 
g = [(2 + 3 + 3 + 3 + 1 ) + (2 . 3] – [3 + (0)] 
g = 12 + 6 – 3 
g = 15 
PORTANTO, ESTE PÓRTICO É MUITO HIPERESTÁTICO 
D 
A 
C 
E 
B 
H I J K 
F 
G 
HA 
VA 
HB 
VB 
HC 
VC 
HD 
VD 
VE MD 
MB 
MC 
5 
D 
A 
C 
E 
B 
H I J K 
F 
G 
X8 = ? 
X7 = ? 
X9 = ? 
X5 = ? 
X4 = ? 
X6 = ? 
X2 = ? 
X3 = ? 
X1 = ? 
6 
D 
A 
C 
E 
B 
H I J K 
F 
G 
X7 = ? 
X6 = ? 
X8 = ? 
X2 = ? 
X3 = ? 
X1 = ? 
X5 = ? 
X4 = ? 
X9 = ? 
7 
D 
A 
C 
E 
B 
H I J K 
F 
G 
E 
X7 = ? 
X8 = ? 
X2 = ? 
X3 = ? 
X1 = ? 
X5 = ? 
X4 = ? 
X9 = ? 
X6 = ? 
8 
M É T O D O D A S F O R Ç A S 
9 
E Q U A Ç Õ E S C A N Ô N I C A S 
10 
 AS EQUAÇÕES NOS MÉTODOS DAS FORÇAS (OU EQUAÇÕES CANÔNICAS) SÃO 
EQUAÇÕES QUE LEVAM EM CONTA A COMPATIBILIDADE GEOMÉTRICA DA PEÇA EM 
ESTUDO; 
 ELAS EXPRIMEM RELAÇÕES LINEARES ENTRE AÇÕES E DESLOCAMENTOS; 
 DE UM MODO GERAL, PODE-SE ESCREVER: 
δ = K . A 
 ONDE: 
 δ = DESLOCAMENTO; 
 A = AÇÃO; E 
 K = FLEXIBILIDADE, OU SEJA, DESLOCAMENTO PRODUZIDO POR UMA AÇÃO 
ORDINÁRIA. 
11 
D C 
A B 
SITUAÇÃO INICIAL (OU REAL) 
12 
SISTEMA BÁSICO 
D C 
A X2 
X1 
X3 
B 
13 
δ10 
δ20 
δ30 
DESLOCAMENTOS / DEFORMAÇÕES REFERENTES À SITUAÇÃO INICIAL (OU REAL) 
C 
A B X2 
X1 
X3 
14 
D C 
A 
X3 
B A 
δ21 
δ11 
δ31 
X1 
B 
DESLOCAMENTOS / DEFORMAÇÕES REFERENTES AO CARREGAMENTO X1 
15 
A 
δ22 
δ12 
δ32 
X2 
DESLOCAMENTOS / DEFORMAÇÕES REFERENTES AO CARREGAMENTO X2 
D C 
A B 
16 
δ23 
δ13 
δ33 
X3 
DESLOCAMENTOS / DEFORMAÇÕES REFERENTES AO CARREGAMENTO X3 
D C 
A B 
17 
DAS SITUAÇÕES ANTERIORES, TEM-SE: 
 δ10; δ20; δ30: SÃO OS DESLOCAMENTOS NAS DIREÇÕES E SENTIDOS DE X1; X2 E X3, 
RESPECTIVAMENTE, DEVIDO AO CARREGAMENTO DE ÍNDICE ZERO, OU SEJA, EM 
FUNÇÃO DO CARREGAMENTO “ORIGINAL” ATUANTE NA ESTRUTURA; 
 δ11; δ21; δ31: SÃO OS DESLOCAMENTOS NAS DIREÇÕES E SENTIDOS DE X1; X2 E X3, 
RESPECTIVAMENTE, DEVIDO AO CARREGAMENTO DE X1 = 1; 
 ANALOGAMENTE, VALE O RACIOCÍNIO PARA AMBAS AS OUTRAS SITUAÇÕES: 
 δ12; δ22; δ32: DECORRENTES DO CARREGAMENTO X2 = 1; E 
 δ13; δ23; δ33: DECORRENTES DO CARREGAMENTO X3 = 1. 
18 
 SENDO NULOS OS DESLOCAMENTOS E AS DEFORMAÇÕES EM D (NO ENGASTE), PODE-
SE ENTÃO CONSIDERAR: 
 δ10 + X1 . δ11 + X2 . δ12 + X3 . δ13 = 0 
 δ20 + X1 . δ21 + X2 . δ22 + X3 . δ23 = 0 
 δ30 + X1 . δ31 + X2 . δ32 + X3 . δ33 = 0 
 NO ISOLAMENTO DE TERMOS, TEM-SE: 
EQUAÇÕES CANÔNICAS 
δ10 
δ20 
δ30 
δ11 δ12 δ13 
δ21 δ22 δ23 
δ31 δ32 δ33 
X1 
X2 
X3 
0 
0 
0 
+ . = 
MATRIZ DE 
DESLOCAMENTOS 
MATRIZ DE 
FLEXIBILIDADE 
MATRIZ COLUNA 
DAS INCÓGNITAS 
19 
 DE UM MODO GERAL: 
 δi,j = DESLOCAMENTO NA DIREÇÃO E SENTIDO “i”, PROVOCADO PELA AÇÃO 
DE “j”. 
 ISTO É: 
 δ23 = DESLOCAMENTO NA DIREÇÃO E SENTIDO “X2”, PRODUZIDO POR “X3 = 
1”. 
20 
 OS ESFORÇOS FINAIS NA ESTRUTURA SERÃO PORTANTO: 
 OBTIDAS AS INCÓGNITAS HIPERESTÁTICAS COM A RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES, UM 
ESFORÇO QUALQUER, SEJA EXTERNO RELATIVO OU INTERNO SOLICITANTE, PODERÁ 
SER DETERMINADO PELA EXPRESSÃO: 
 ε = ε0 + ε1 . X1 + ε2 . X2 + .................... + εn . Xn 
 ONDE: 
 ε0 = ESFORÇO NO SISTEMA BÁSICO DEVIDO AS CARGAS ATUANTES; 
 ε1 = ESFORÇO NO SISTEMA BÁSICO PRODUZIDO POR X1 = 1; ... 
21 
EXEMPLO: 
TRAÇAR OS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES E DE FORÇAS CORTANTES PARA A 
ESTRUTURA INDICADA. 
DADOS: 
IAB = 0,000737m
4 IAB = 1,8526 . Ip 
IBC = 0,00450m
4 IBC = 11,3177 . Ip 
ICD = 0,000398m
4 ICD = 1,0000 . Ip 
22 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
2tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
Φ = 35cm 
Φ = 30cm 
60cm 
25cm 
23 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
2tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
X1 = ? 
X2 = ? 
VD 
HD 
MD 
24 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(2) Σ Fy = 0 
 VD – 6 – 1 = 0 
 VD = 7 tf 
(1) Σ Fx = 0 
 HD – 2 = 0 
 HD = 2 tf 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
2tf 
X1 = ? 
X2 = ? 
VD 
HD 
MD 
(3) Σ MD = 0 
 VD . 0 + (2 . 4) – (6 . 3) + (1 . 2) = 0 
 Σ MD = 8 – 18 + 2 
 Σ MD = – 8 tf.m 
25 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
2tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
X1 = ? 
X2 = ? 
7 tf 
2 tf 
8 tf 
26 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
2tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
δ30 
δ10 
DESLOCAMENTOS 
PROVOCADOS POR X0 
27 
18 
2 
8 
16 
6tf 1tf 
DIAGRAMA DE MF PARA O 
ISOSTÁTICO FUNDAMENTAL (M0) 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
28 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DESLOCAMENTOS 
PROVOCADOS POR X1 
δ11 
δ21 
X1 = ? 
29 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M1 
PROVOCADO POR X1 = 1 
8 
X1 = ? 
8 
30 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DESLOCAMENTOS 
PROVOCADOS POR X2 
δ22 
δ12 X2 = ? 
31 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M2 
PROVOCADO POR X2 = 1 
X2 = ? 
6 
6 6 
6 
32 
 DETERMINAÇÃO DE X1 E DE X2: 
 PARA O CÁLCULO DE X1 E X2, A EQUAÇÃO A SEGUIR DEVE SER RESOLVIDA: 
 δ10 + X1 . δ11 + X2 . δ12 = 0 
 δ20 + X1 . δ21 + X2 . δ22 = 0 
 OBTENÇÃO DOS COEFICIENTES δi,j = 
E.I. 
s 
Mi . Mj . ds 
 REGRA DE VERECHAGUINE: 
 A INTEGRAL PODE SER DETERMINADA POR MEIO DA MULTIPLICAÇÃO DE 
DIAGRAMAS (RELAÇÕES ENTRE ÁREAS E COORDENADAS). 
33 
18 
2 
8 
16 
6tf 1tf 
DIAGRAMA DE MF PARA O 
ISOSTÁTICO FUNDAMENTAL (M0) 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
34 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M1 
PROVOCADO POR X1 = 1 
8 
X1 = ? 
8 
35 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M1 
PROVOCADO POR X1 = 1 
8 
X1 = ? 
8 
18 
2 
8 
16 
36 
 δ10 = 
1 
E . 11,3177 . Ip 
. [ - 18 . (3 / 2) . 7] + 
1 
E . 1,0000 . Ip 
. { - [((16 + 8)/2) . 4] . 8} 
δ10 = - 400,700 / E .Ip 
37 
18 
2 
8 
16 
6tf 1tf 
DIAGRAMA DE MF PARA O 
ISOSTÁTICO FUNDAMENTAL (M0) 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
38 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M2 
PROVOCADO POR X2 = 1 
X2 = ? 
6 
6 6 
6 
39 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M2 
PROVOCADO POR X2 = 1 
X2 = ? 
6 
6 6 
6 
18 
2 
8 
16 
40 
 δ20 = 
1 
E . 11,3177 . Ip 
. [ - 18 . (3 / 2) . 6] + 
1 
E . 1,0000 . Ip 
. { -[((16 + 8)/2) . 4] . 4,22} 
δ20 = - 216,970 / E . Ip41 
B 
A 
C 
D 
6tf 1tf 
5m 2m 3m 
2m 
4m 
DIAGRAMA DE M1 
PROVOCADO POR X1 = 1 
8 
X1 = ? 
8 
42 
 δ11 = 
1 
E . 11,3177 . Ip 
. [ 8 . (8 / 2) . 5,33] + 
1 
E . 1,0000 . Ip 
. [8 . 4 . 8] 
δ11 = - 271,079 / E . Ip 
43 
C O N T I N U A . . .