Funções de várias variáveis_Curvas de nível_Derivadas Parciais

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
Professor: Armando Peixoto 
I. Funções reais de várias variáveis reais 
II. Curvas de Nível 
III. Derivadas Parciais 
 
1. Funções reais de duas variáveis reais 
 
A temperatura T num ponto da superfície da Terra em qualquer instante de tempo depende da 
longitude x e da latitude y do ponto. Podemos pensar em T como uma função de duas variáveis (grande-
zas) x e y independentes, ou como uma função do par 
( , )x y
. Indicamos essa dependência funcional es-
crevendo 
( , )T f x y
, ou ainda 
  3, , ( , )x y f x y T 
. Outras motivações podem pensar no volume V de 
um cilindro circular, o qual depende de seu raio r e de sua altura h. De fato, sabemos que 
2V r h
. 
Assim, podemos dizer que V é uma função de raio r e de altura h, e escreveremos 
2( , )V r h r h
, ou 
ainda 
 2 3, ,r h r h V  
. 
 
Definição: uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números 
reais 
( , )x y
 de um domínio D um único valor real denotado por 
( , )f x y
. O conjunto D é o domínio de f, e 
sua imagem é o conjunto de valores possíveis de f, ou seja, 
 Im( ) ( , ); ( , )f f x y x y D 
. 
Frequentemente escreveremos 
( , )z f x y
 para tornar explícito os valores tomados por f num pon-
to genérico 
( , )x y
. As variáveis x e y são variáveis independentes, e z é a variável dependente. 
Uma função de duas variáveis é uma função cujo domínio é um subconjunto de 2 e cuja imagem 
é um subconjunto de 
No que foi exposto no texto acima, podemos escrever em símbolos como segue: 
2 3: ( , ) , ; ( , , )f D x y D z x y z f       
. 
Uma maneira de visualizar tal função é pelo diagrama de flechas (ver figura abaixo), onde o domí-
nio D é representado como um subconjunto do plano 
xOy
. 
 
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Se a função f é dada por sua fórmula e seu domínio não é especificado, fica entendido como domí-
nio de f o conjunto de todos os pares de valores 
( , )x y
 para os quais a expressão da função fornece um 
número real bem definido. 
 
Exemplo: determine os domínios das seguintes funções e calcule a imagem 
(3,2)f
. 
a) 
1
( , )
1
x y
f x y
x
 


 b) 
2( , ) ln( )f x y x y x 
 c) 
2 2( , ) 9f x y x y  
 
 
Definição: se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de to-
dos os pontos 
( , , )x y z
 em 3 tal que 
( , )z f x y
 e 
( , )x y
 pertençam a D. 
 
Exemplo 1: esboce o gráfico das funções 
2:f D 
, dadas abaixo: 
a) 
( , ) 6 3 2f x y x y  
 b) 
2 2( , )f x y x y 
 c) 
2 2( , )f x y x y 
 
 
Exemplo 2: use um software matemático para esboçar os seguintes gráficos: 
a) 2 2
2 2
( )
( , )
xy x y
f x y
x y



 b) 2 22 2( , ) ( 3 ) x yf x y x y e   
c) 
( , ) sen( ) sen( )f x y x y 
 
d) 2 2
( , ) x yf x y xye  
 e) sen( ) sen( )
( , )
x y
f x y
xy


 f) 
2 2
3
( , )
1
y
f x y
x y


 
 
 
2. Curvas de nível e mapa de contorno 
 
Definição: as curvas de nível de uma função 
2:f D 
 de duas variáveis são as cur-
vas com equação 
( , )f x y k
, onde k é uma 
constante (na imagem de f). 
Uma curva de nível 
( , )f x y k
 é o conjunto de 
todos os pontos do domínio de f nos quais o 
valor de f é k. Em outras palavras, mostra 
onde o gráfico de f tem altura k. Você pode 
ver na figura ao lado a relação entre as curvas 
de nível e os traços horizontais. 
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As curvas de nível 
( , )f x y k
 são apenas traços do gráfico de f no plano horizontal 
z k
 projetado sobre 
o plano 
xOy
. Assim, se você traçar as curvas de nível da função e visualizá-las elevadas para a superfície 
na altura indicada poderá imaginar o gráfico da função colocando as duas informações juntas. A superfí-
cie será mais inclinada onde as curvas de nível estiverem mais próximas uma das outras. Ela é mais ou 
menos plana onde as curvas de nível estão distantes umas das outras. 
Sequem exemplos: 
 
Exemplo 1: a figura ao lado mostra um mapa de contorno 
para uma função 
( , )f x y z
. Com o auxilio deste mapa, 
podemos estimar as imagens (alturas) de 
(1,3)f
 que é a-
proximadamente 73, e de 
(4,5) 56f 
. 
 
Exemplo 2: esboce o gráfico das curvas de nível (mapa de 
contorno) da função 
( , ) 6 3 2f x y x y  
 para os quatro 
valores 
6, 0,6 e 12k 
. 
 
Exemplo 3: construa o mapa de contorno da superfície 
2 2( , ) 9g x y x y  
 para 
0,1,2e 3k 
. 
 
Exemplo 4: faça o mesmo para a superfície 
2 2( , ) 4h x y x y 
 (ver figura ao lado), ado-
tando alguns valores para k. 
 
 
 
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3. Derivadas Parciais 
 
Consideremos inicialmente uma função de duas variáveis 
( , )f x y z
 definida em uma região D do plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazer figura explicativa em aula 
Seja 
( , )P a b D
; na paralela ao eixo 
Ox
 conduzida pelo ponto P, 
tomemos um ponto variável 
( , )Q x b
. Observa-se que ao variar o 
ponto Q, a sua ordenada permanece constante, igual a b; apenas 
a abscissa x varia. O valor 
( , )f x b
 da função depende então uni-
camente de x. Podemos, portanto, escrever 
( , ) ( )f x b x
, onde 

 indica uma função de uma única variável x. A derivada desta 
função 

 no ponto de abscissa a é dada pela expressão 
 
( ) ( ) ( , ) ( , )
( ) lim lim
x a x a
x a f x b f a b
a
x a x a
 
 
 
  
 
. 
Se este limite existir, 
( )a
 é chamada derivada parcial da função f, em relação à variável x, no ponto 
(a,b), e é designada por 
( , ) ou ( , )x
f
f a b a b
x


. 
Tomemos, agora, na paralela ao eixo 
Oy
 conduzida pelo ponto P, um ponto variável 
( , )S a y
. Ao variar-
mos S, a sua abscissa permanece constante, igual a a; somente a ordenada y varia. O valor 
( , )f a y
 da 
função depende apenas de y. Podemos escrever 
( , ) ( )f a y y
, onde 

 indica uma função da única 
variável y. A derivada desta função 

 no ponto de ordenada b é dada por: 
( ) ( ) ( , ) ( , )
( ) lim lim
y b y b
y b f a y f a b
b
y b y b
 
 
 
  
 
. 
Se o limite acima existir, 
( )b 
 é chamada derivada parcial da função f, em relação à variável y, no 
ponto (a,b), e é designada por 
( , ) ou ( , )y
f
f a b a b
y


. 
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Deste modo, definimos para uma função de duas variáveis x e y duas derivadas parciais. A derivada 
f
x


 
é obtida considerando y constante e derivando a função f em relação à variável x; enquanto que, a deri-
vada 
f
y


 é obtida considerando x constante e derivando a função f em relação à variável y. 
( , ) ( , )
( , ) ( , ) limx
x a
f f x b f a b
f a b a b
x x a
 
 
 
 
( , ) ( , )
( , ) ( , ) limy
y b
f f a y f a b
f a b a b
y y b
 
 
 
 
Podemos observar que cada derivada parcial da função 
( , )f x y z
 é derivada de uma função de apenas 
uma única variável. Portanto, para calcular as derivadas parciais de f podemos usar corretamente todas 
as regras de derivação estudadas no curso de Cálculo Diferencial e Integral I. 
Exemplos: construir em aula. 
 
Derivadas Parciais de Segunda Ordem 
 Quando derivamos uma função 
( , )f x y
 duas vezes, produzimos suas derivadas de segunda or-
dem. Essas derivadas são em geral denotadas por 
a) 2
2
f f
x x x
   
 
   
, lê-se: “derivada parcialde segunda ordem da função f em relação à x”; 
b) 2
2
f f
y y y
   
 
   
, lê-se: “derivada parcial de segunda ordem da função f em relação à y”; 
c) 2f f
x y x y
   
 
    
, lê-se: “derivada parcial mista de segunda ordem primeiro em relação à y, depois 
em relação à x”; 
d) 2f f
y x y x
   
 
    
, lê-se: “derivada parcial mista de segunda ordem primeiro em relação à x, depois 
em relação à y”; 
Exemplo: seja a função dada por 
( , ) cos( ) xf x y x y ye 
, calcule: a) 2
2
f
x


, b) 2
2
f
y


, c) 2 f
x y

 
 e d) 2 f
y x

 
. 
Faça o mesmo para a função 22( , ) sen( )x yf x y x e x y   . 
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O Teorema das Derivadas Mistas (Teorema de Schwartz) 
 
 Você observou que as derivadas parciais de segunda ordem mistas do exemplo acima são i-
guais? Isso não foi coincidência! Elas vão ser iguais sempre que f, 
f
x


, 
f
y


, 2 f
x y

 
 e 2 f
y x

 
 forem contí-
nuas. O Teorema diz que: Se 
( , )f x y
 e suas derivadas 
f
x


, 
f
y


, 2 f
x y

 
 e 2 f
y x

 
 forem definidas em uma 
região aberta contendo um ponto 
( , )a b
 e todas forem contínuas em 
( , )a b
, então 2 2f f
x y y x
 

   
. 
 
Exemplo: para as funções abaixo, verifique que 2 2f f
x y y x
 

   
 
a) 
( , ) ln(2 3 )f x y x y 
 b) 
( , ) ln( ) ln( )xf x y e x y y x  
 
c) 
2 2 3 3 4( , )f x y xy x y x y  
 d) ( , ) sen( ) sen( )f x y x y y x xy  . 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1. Determine o domínio das funções 
2:f D 
 definidas nos itens abaixo. 
 
2 2( , ) 2 4f x y x y 
 
4
2 1
( , )
4
x y
g x y
x y
 

 
 
2 2( , ) lnx y x y  
 
2( , ) ln( 2)x y x y x y      arcsen( )( , )
3
x y
x y
x y
 
 
 
2( , ) 4 ln( )x y y x y    
 
 
 
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2. Considere a superfície dado ao lado definida por 
2 2( , )z f x y x y  
 e o plano dado por 
1x 
. Calcule a 
reta tangente em relação à curva gerada pela interse-
ção entre a superfície e o plano no ponto 
(1,2,5)
. 
 
 
 
 
3. Considere a superfície S dada por 
2 2( , ) 2 4z f x y x y  
. 
a) O plano 
3y 
 intercepta S descrevendo uma curva. Determine a equação da reta tangente a essa 
curva em 
1x 
. Esboce o lugar geométrico. 
b) O plano 
2x 
 intercepta S numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em 
3y 
. Esboce o lugar geométrico. 
c) Construa o mapa de contorno desta superfície exibindo três curvas de nível a sua escolha. 
 
 
4. Esboce as curvas de nível da função 
2 2( , ) ( 2) ( 3)f x y x y   
 para os três valores de 
1, 4 e 9.k 
 
Faça o mesmo para a função 
( , )f x y x y 
 com os valores de 
4,1 e 4.k 
 
 
5. 
a) Considere a função 2:P D  definida por 
( , )
T
P V T nR
V

. Construa a função H dada pela se-
guinte lei de correspondência: 2 2 2 2
2 2
( , )
P P P P
H V T
V T T VT V
   
   
    
. Pergunta-se: esta função é har-
mônica 2 2
2
2 2
( 0)
H H
H
x y
 
   
 
? Justifique sua resposta. 
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b) Considere a função 
2:f D 
 definida por 
4
( , )
y
f x y
x y


. Construa a função g dada pela 
seguinte lei de correspondência: 2 2 2 2
2 2
( , )
f f f f
g x y
x y y xx y
   
   
    
. Pergunta-se: esta função é 
harmônica 2 2
2
2 2
( 0)
g g
g
x y
 
   
 
? Justifique sua resposta. 
c) Dada a função 
3:f D 
 definida por 
 22( , , ) cos zyf x y z x 
, determine as seguintes deriva-
das parciais mistas: 2 f
y x

 
, 2 f
x z

 
 e 2 f
z y

 
. Faça o mesmo para a função 
( , , ) ln( )xf x y z e y z  
. No-
vamente para 
21( , , ) cos( 2 )f x y z x x y
z
   
. 
 
6. Considere a função 
2:f D 
 definida por 
e( , ) R ( , )
xyf x y xye x y 
, onde 
eR ( , )x y
 representa 
a função resistência equivalente entre dois resistores paralelos x e y. Sendo assim, determine as se-
guintes derivadas parciais: 2
2
f
x


, 2
2
f
y


, 2 f
y x

 
 e 2 f
x y

 
. 
 
7. 
a) Se 
( , , )U x y t
é a temperatura em P(x,y) no instante t, pode-se mostrar que U satisfaz a equação bidi-
mensional do calor 2 2
2 2
. 0
U U U
k
t x y
  
  
 
   
 
 
 onde k é uma constante que depende da condutivi-
dade térmica e do calor específico de uma placa delgada de metal. Mostre que a função
22( , , ) 20 sen( )sen( )k tU x y t e x y   é solução desta equação do calor. 
b) Verifique se a superfície 
   ( , ) sen lny yx xx y x  
 é solução da seguinte equação diferencial parcial: 
2 2 2
2 2
2 2
2 0.x xy y
x yx y
    
    
  
 
 
8. Mostre que as funções 
2 2 2 2
( , ) e ( , )
y x
x y x y
x y x y
  
 
 verificam as equações de Cauchy-
Riemann, isto é: 
 e 
x y y x
      
  
   
.