Unidade 2 - Parâmetros e cálculo de linhas de transmissão

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Unidade	2	-	Parâmetros	e	cálculo	de	linhas
de	transmissão
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Introdução	da	unidade
Nesta	 unidade,	 estudaremos	 sobre	 os	 parâmetros	 e	 o	 cálculo	 de	 uma	 linha	 de
transmissão.
Um	 sistema	 elétrico	 de	 potência	 é	 dividido	 em	 três	 processos	 (geração,
transmissão	 e	 distribuição	 de	 energia),	 sendo	 possível	 citar	 os	 principais
elementos	 que	 compõem	cada	um	deles:	 linha	 de	 transmissão,	 transformador	 de
potência,	 gerador	 e	 carga.	 Para	 cada	 um	 desses	 elementos,	 existem	 parâmetros
específicos	a	serem	estimados,	sendo,	portanto,	objeto	de	discussão	desta	unidade
o	cálculo	de	parâmetros	específicos	de	uma	linha	de	transmissão.
Face	 à	 demanda	 crescente	 por	 energia	 elétrica	 que	 vem	 aumentando
expressivamente	 nas	 últimas	 décadas,	 torna-se	 extremamente	 importante	 o
controle	 sobre	 a	 operação	 de	 sistemas	 elétricos	 existentes	 a	 fim	 de	 evitar
interrupções	 no	 fornecimento	 de	 energia	 a	 consumidores.	 Dessa	 maneira,
estudaremos	os	parâmetros	 resistência,	 indutância	e	 capacitância,	que	compõem
uma	linha	de	transmissão	de	energia	elétrica.
Bom	estudo!
Parametrização	 de	 uma	 linha	 de	 transmissão:
resistência
Dentre	 as	 principais	 falhas	 que	 podem	 causar	 uma	 interrupção	 de	 energia,	 é
possível	 citar:	 curto-circuito;	 sobrecargas;	 sub	 e	 sobretensões	—	 sendo	 as	 linhas
de	 transmissão	 a	 parte	mais	 vulnerável	 a	 essas	 falhas.	 As	 linhas	 de	 transmissão
compõem	 a	 estrutura	 dos	 sistemas	 de	 potência,	 sendo	 responsáveis	 pelo
transporte	de	grande	quantidade	de	energia	 elétrica	 com	a	menor	 perda	e	 custo
possíveis.	Para	Wentworth	 (2008),	a	primeira	aplicação	da	 teoria	eletromagnética
a	 ser	 estudada	 é	 a	 linha	 de	 transmissão,	 podendo	 ser	 uma	 linha	 de	 potência,
linhas	telefônicas	ou	linhas	de	TV	a	cabo.	Em	toda	e	qualquer	linha	de	transmissão,
o	comprimento	é	de	suma	importância.
Conforme	 aponta	Mohan	 (2016),	muitos	 sistemas	 de	 transmissão	 são	 aéreos,	 no
entanto	 também	 devemos	 considerar	 os	 sistemas	 de	 linha	 de	 transmissão	 em
corrente	alternada	(CA)	subterrâneos,	usados	na	maioria	das	áreas	metropolitanas.
Existem	outros	sistemas	de	transmissão	de	alta-tensão	em	corrente	contínua	(CC)
que	 transportam	grandes	quantidades	de	energia	por	 longa	distância,	porém	não
serão	objeto	de	discussão	nesta	unidade.
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Ainda	 segundo	 Mohan	 (2016),	 as	 linhas	 de	 transmissão	 são	 compostas	 por	 três
fases	nas	tensões	usadas:	115	kV,	161	kV,	230	kV,	345	kV,	500	kV	e	765	kV,	sendo
as	menores	 que	 115	 kV	 consideradas	 para	 distribuição	 e	 as	maiores	 que	 765	 kV
para	transmissão	de	 longa	distância.	Nesse	sentido,	 todo	projeto	de	uma	 linha	de
transmissão	deve	considerar	o	nível	de	tensão	para	o	qual	a	linha	foi	projetada.
REFLITA
O	 sistema	 de	 transmissão	 da	 usina	 de	 Itaipu	 é
formado	 por	 cinco	 linhas	 de	 transmissão	 que
completam	 900	 km.	 Três	 delas	 são	 em	 corrente
alternada	 (750	 kV)	 duas	 delas;	 em	 corrente
contínua	 (aproximadamente	 600	 kV).	 Reflita	 como
deve	ser	o	mapa	das	linhas	de	transmissão	daqui	a
uma	década	e	quais	os	principais	avanços	a	serem
considerados.	Para	 tanto,	você	deverá	pesquisar	o
mapa	 das	 linhas	 de	 transmissão	 pertencentes	 ao
Sistema	 Interligado	 Nacional	 (SIU)	 e	 aprofundar
seu	conhecimento.
Elaborado	pelo	Autor.
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O	 projeto	 da	 resistência,	 numa	 linha	 de	 transmissão,	 é	 feito	 por	 unidade	 e	 tem
como	 objetivo	 minimizar	 perdas	 que	 diminuem	 à	 medida	 que	 a	 dimensão	 do
condutor	 aumenta	 e,	 consequentemente,	 os	 custos	 apenas	 dos	 condutores	 e	 de
toda	a	 rede	de	 transmissão.	No	caso	de	arranjos	com	condutores	múltiplos,	deve
ser	considerada	a	resistência	paralela	dos	condutores	agrupados.
Wentworth	 (2008)	 aponta	 que:	 para	 uma	 dada	 geometria	 e	 composição	 do
material	 do	 condutor,	 são	 obtidas	 fórmulas	 para	 cada	 um	 dos	 parâmetros
distribuídos.	 Nesse,	 sentido,	 apresentaremos,	 a	 seguir,	 a	 primeira	 equação	 de
nosso	estudo,	que	expressa	a	resistência	da	linha	R	dada	por:
	
Onde:	 é	 a	 resistividade	 do	 material	 (aumenta	 com	 a	 temperatura);	 l	 é	 o
comprimento	do	condutor;	A	é	a	seção	transversão	do	condutor	através	do	qual	a
corrente	flui.
De	acordo	com	Mohan	(2016),	a	área	efetiva	A	depende	da	frequência,	devido	ao
efeito	pelicular.	A	corrente	de	60	Hz	de	frequência	está	concentrada	na	região	da
periferia	do	condutor	com	elevada	densidade	de	corrente,	não	estando,	portanto,
uniformemente	distribuída	por	toda	área	A	da	seção	transversal.
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FIGURA	1	-		(a)	Seção	transversal	de	condutores	ACSR;	(b)	efeito	pelicular	num
condutor	sólido
Fonte:	MOHAN,	2016,	p.	55
Já	 a	 densidade	 de	 corrente	 J	 decresce	 exponencialmente,	 de	 maneira,	 que,	 na
profundidade	 pelicular,	 ela	 atinge	 fator	 igual	 a	 e	=	 2,718,	menor	 que	 o	 fator	 de
superfície.	Assim,	dada	uma	frequência	f,	a	profundidade	do	efeito	pelicular	de	um
material	é	expressa	por:
	(Eq.1)
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Nessa	nova	equação,	μ	representa	a	permeabilidade	do	material.
A	seguir,	estudaremos	a	respeito	dos	parâmetros	indutância	e	capacitância	de	uma
linha	de	transmissão.
Parametrização	 de	 uma	 linha	 de	 transmissão:
indutância	e	capacitância
É	sabido	que,	numa	linha	de	transmissão,	além	das	perdas	de	potência	devidas	a
	 na	 resistência	 série,	 existem	 as	 perdas	 de	 energia	 em	 decorrência	 da
corrente	 de	 fuga	 que	 flui	 através	 do	 isolador	 e	 do	 efeito	 corona.	 Para	minimizar
essas	 perdas,	 acrescenta-se	 uma	 condutância	shunt	 G	 em	 derivação	 com	 a
capacitância.	A	seguir,	aprofundaremos	a	discussão	sobre	esse	assunto.
Condutância	em	derivação	shunt	G
Para	 Mohan	 (2016),	 nas	 linhas	 de	 transmissão,	 devem	 ser	 consideradas	 não
apenas	as	perdas	de	potência	devido	a	I2.R	na	resistência	série	mas	também	uma
pequena	perda	de	energia	devida	à	corrente	de	fuga	que	flui	através	do	isolador	e
do	 efeito	 corona	 provocado	 pela	 ionização	 do	 ar	 próximo	 aos	 condutores.
Conforme	 explica	 Mohan	 (2016),	 esse	 efeito	 é	 percebido	 a	 partir	 de	 um	 som
sibilante	que	pode	ser	escutado	em	clima	nebuloso	e	enevoado.
O	 problema	 causado	 por	 esse	 efeito	 é	 sanado	 pelo	 aumento	 do	 tamanho	 do
condutor	 ou	 pelo	 uso	 do	 condutor	 agrupado.	 As	 perdas	 dependem
aproximadamente	 do	 quadrado	 da	 tensão	 e,	 portanto,	 podem	 ser	 representadas
colocando-se	 uma	 condutância	 G	 em	 derivação	 (shunt)	 com	 a	 capacitância.
Considerando	que	essas	perdas	são	insignificantes,	em	nossas	análises,	não	serão
consideradas	a	presença	de	G.
No	vídeo	a	seguir,	falaremos	sobre	a	indutância	série	L.	Vamos	lá?
Recurso	Externo
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A	seguir,	apresentaremos	como	calcular	a	capacitância	da	linha	a	partir	da	carga	q
em	um	condutor.
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Capacitância	em	derivação	(shunt)	C
Para	calcular	a	capacitância,	numa	linha	de	transmissão,	devem	ser	consideradas:
uma	 carga	 q	 num	 condutor	 que	 promoverá	 a	 formação	 de	 linhas	 de	 fluxo	 no
dielétrico;	a	intensidade	de	campo	elétrico	E.	Segundo	Mohan	(2016),	a	densidade
de	 fluxo	 D	 e	 o	 campo	 elétrico	 E	 são	 calculados	 considerando	 uma	 superfície
gaussiana	 a	 uma	distância	 x	 do	 condutor	 com	 comprimento	 unitário,	 cuja	 área	 é
igual	 a	 	por	unidade	de	comprimento,	perpendicular	às	 linhas	de	campo.
As	 expressões	 da	 densidade	 de	 fluxo	 D	 e	 do	 campo	 elétrico	 E	 são	 dadas	 pela
relação:
			(Eq.	12)
Na	 equação	 anterior,	 temos	 que	 	 representa	 a	 permissividade	 do	 vácuo	 e
equivale	aproximadamente	à	permissividade	do	ar.	Voltando	à	Figura	5,	vimos	que
a	tensão	do	ponto	1	em	relação	ao	ponto	2	(V12)	é	dada	pela	equação:
				(Eq.	13)
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Agora,	consideremosuma	situação	com	três	condutores	dispostos	simetricamente
a	uma	distância	D,	como	mostra	a	Figura	6.	Nesse	exemplo,	é	possível	calcular	a
tensão	Vab,	superpondo-se	os	efeitos	de	qa,	qb	e	qc.
FIGURA	1	-		Capacitância	em	derivação,	ou	shunt
Fonte:	MOHAN,	2016,	p.	58
Assim,	temos:
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					(Eq.	14)
					(Eq.	15)
Ou	também:
				(Eq.	16)
E	Vab,qc	=	0,	pois	qc	não	produz	nenhuma	tensão	entre	a	e	b,	mesmo	que	esteja	a
uma	distância	equidistante	de	ambos	os	condutores.
Por	fim,	o	efeito	das	três	cargas	é	expresso	em:
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					(Eq.	17)
Ao	considerarmos	um	ponto	neutro	n	hipotético	e	as	capacitâncias	C	de	cada	fase,
encontramos	a	tensão	Vab,	como	segue:
					(Eq.	18)
A	capacitância	shunt	por	unidade	de	comprimento	é	igual	a:
					(Eq.	19)
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Na	expressão	anterior,	não	devem	ser	considerados	o	efeito	da	terra	e	a	presença
dos	cabos	de	proteção.
Além	disso,	se	os	condutores	estão	transpostos	e	a	distâncias	D1,	D	2	e	D3,	então,
D	representa	a	distância	D	geométrica	média	(DGM)	entre	eles,	a	qual	é	dada	pela
relação:
					(Eq.	20)
A	seguir,	apresentaremos	uma	tabela	com	valores	típicos	da	linha	de	transmissão
em	 vários	 níveis	 de	 tensão.	 Supõe-se	 que	 os	 condutores	 estão	 arranjados	 num
agrupamento	de	três	condutores	por	fase	com	espaçamento	de	45,72	cm.
Tensão	Nominal R	(Ω/Km) ωL	(Ω/Km) ωC	(μ___/Km)
230	kV 0,06 0,5 3,4
345	kV 0,04 0,38 4,6
500	kV 0,03 0,33 5,3
765	kV 0,01 0,34 5,0
TABELA	1	-		Parâmetros	aproximados	das	linhas	de	transmissão	com	condutores
agrupados	em	60	Hz
Fonte:	MOHAN,	2010,	p.	59
As	 linhas	 de	 transmissão	 trifásicas,	 transpostas	 de	 maneira	 perfeita,	 podem	 ser
tratadas	 como	 um	 modelo	 monofásico	 sob	 operação	 balanceada	 em	 regime
permanente	senoidal.	É	o	que	veremos,	a	seguir.
Representação	dos	parâmetros	distribuídos	das	linhas	de	transmissão	em
regime	permanente	senoidal
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A	próxima	 figura	 ilustra	uma	 linha	de	distribuição	por	 fase	 (G	não	mostrado)	 sob
operação	 balanceada	 em	 regime	 permanente.	 Assim,	 linhas	 de	 transmissão
trifásicas,	 ao	 serem	 consideradas	 perfeitamente	 transpostas,	 podem	 ser	 tratadas
como	um	modelo	monofásico.
Os	 modelos	 de	 parâmetros	 distribuídos	 pressupõem	 que	 os	 parâmetros
(resistência,	 indutância	 e	 capacitância)	 estejam	 igualmente	 distribuídos	 ao	 longo
de	toda	a	linha.	Assim,	numa	linha	de	transmissão,	os	parâmetros	distribuídos	são,
respectivamente,	 a	 indutância	 L	 por	 unidade	 de	 comprimento	 (H/m),	 a
capacitância	 C	 por	 unidade	 de	 comprimento	 (F/m),	 a	 resistência	 por	 unidade	 de
comprimento	 (Ω/m)	 (responsável	 pelas	perdas	ôhmicas	na	 linha)	 e	a	 condutância
por	unidade	de	comprimento	G	 (S/m)	 (responsável	pelas	perdas	no	 isolamento	—
dielétrico).
FIGURA	1	-		Linha	de	transmissão	distribuída	por	fase
Fonte:	MOHAN,	2016,	p.	60
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Ainda	de	acordo	com	Mohan	(2016),	as	linhas	de	transmissão	são	projetadas	para
terem	 resistência	 bem	 pequena,	 de	 maneira	 a	 reduzir	 seu	 custo.	 Assim	 sendo,
supõe-se	 a	 resistência	 concentrada	 para	 linhas	 de	 transmissão	 de	 comprimento
médio	 (aproximadamente	 300	 km)	 ou	 curto.	 É	 possível	 considerar	 tal	 resistência
de	maneira	separada.
SAIBA	MAIS
O	trabalho	aborda	os	sistemas	de	transmissão	de	energia	elétrica	em
vários	aspectos	dos	pontos	de	vista	técnico	e	econômico,	oferecendo	visão
geral	sobre	a	estrutura	de	um	sistema	elétrico	de	potência.
Clique	em	EXPANDIR	PDF	para	conferir	a	leiutura,	ouu	copie	o	link	a	seguir
em	seu	navegador	e	acesse:
https://repositorio.enap.gov.br/handle/1/2789.	
Confira,	no	infográfico	a	seguir	—	clicando	nos	(•)	—,	as	definições	da	equação.
Recurso	Externo
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Observe	que:	quando	se	supõe	uma	transposição	perfeita,	a	 linha	de	transmissão
poderá	 ser	 tratada	 como	 monofásica.	 Nessa	 situação,	 a	 equação	 da	 tensão
independe	 da	 corrente,	 e,	 da	 mesma	 maneira,	 a	 equação	 da	 corrente	 não
considera	a	tensão.
Da	Equação	23,	obtemos:
https://repositorio.enap.gov.br/handle/1/2789
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						(Eq.	25)
	 são	 coeficientes	 a	 serem	 calculados	 com	 base	 nas	 condições	 de
contorno.	De	maneira	 semelhante,	 encontramos	a	 solução	da	Equação	24	para	 a
corrente.
Derivando	a	Equação	25	em	relação	a	x,	temos:
				(Eq.	26)
Das	Equações	26	e	21,	temos:
					(Eq.	27)
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Sendo	Zc	a	impedância	de	surto	dada	por:
					(Eq.	28)
Para	as	condições	de	contorno,	isto	é,	no	terminal	receptor,	temos	que	x	=	0,	Vx	=
0	=	VR	e	Ix	=	0	=	IR	—	a	serem	aplicados	nas	Equações	25	e	27:
						(Eq.	29)
Ou	seja,
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				(Eq.	30)
A	Equação	30	será	substituída	na	Equação	25.	Para	tanto,	devemos	considerar	as
igualdades:
A	partir	daí,	temos	a	relação:
					(Eq.	31)
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O	mesmo	pode	ser	feito	para	encontrarmos	a	corrente	 ,	expressa	por:
					(Eq.	32)
Impedância	de	surto	Zc	e	a	potência	natural
A	próxima	figura	ilustra	uma	linha	de	transmissão	sem	perdas	carregada	por	uma
resistência	igual	a	Zc.
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FIGURA	1	-	Linha	de	transmissão	monofásica	com	resistência	igual	a	Zc	conectada
ao	terminal	receptor
Fonte:	MOHAN,	2016,	p.	62
Consideremos	que	a	tensão	no	terminal	receptor	seja	o	fasor	de	referência:
(Eq.	33)
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Com	base	na	Equação	31,	temos	que:
			(Eq.	34)
E:
								(Eq.	35)
A	partir	da	Equação	34,	é	possível	observar	que	a	magnitude	da	tensão	tem	perfil
constante,	ou	seja,	ela	é	a	mesma	em	qualquer	parte	da	linha,	e	somente	o	ângulo
aumenta	com	o	valor	de	x.	Isso	pode	ser	percebido	a	partir	da	próxima	figura.
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FIGURA	1	-	Tensão	com	perfil	constante
Fonte:	MOHAN,	2016,	p.	62
Essa	 carga	 é	 denominada	 de	 carregamento	 da	 linha	 pela	 impedância	 de	 surto
(Surge	 Impedance	 Carregando	 —	 SIL),	 ou	 potência	 natural.	 Nessa	 situação,	 a
potência	 reativa	 consumida	 em	 qualquer	 posição	 da	 linha	 é	 igual	 à	 potência
reativa	 produzida,	 uma	 vez	 que,	 sob	 hipótese	 da	 SIL	 e	 das	 equações	 que
expressam	a	tensão	e	a	corrente	Vx	e	Ix,	temos	que:
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Vale,	portanto,	a	identidade:
					(Eq.	36)
A	Tabela	2	apresenta	os	valores	para	a	 impedância	de	surto	e	a	potência	natural
(SIL).	Vale	destacar	que	a	 impedância	característica	de	uma	 linha	de	transmissão
cai	 numa	 determinada	 faixa	 estreita,	 dependendo	 do	 nível	 de	 tensão.	 Esse	 fato
ocorre	devido	à	separação	e	à	altura	dos	condutores	acima	do	solo	que	dependem
dessa	tensão.
A	impedância	de	surto	e	a	potência	natural	são	expressas	pela	equação:
					(Eq.	37)
A	 partir	 da	 próxima	 tabela,	 é	 possível	 observar	 que,	 para	 uma	 alta	 potência
transferida,	há	a	necessidade	de	uma	alta	 tensão,	pois,	em	caso	contrário,	vários
circuitos	seriam	necessários.
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Tensão	Nominal	(kV) Zc	(Ω) SIL	(MW)
230 385	 135
345 275 430
500 245 1020
765 255 2300
TABELA	2	-	Impedância	de	surto	aproximada	e	potência	natural	trifásica
Fonte:	MOHAN,	2016,	p.	62
A	 seguir,	 apresentaremos	 os	 modelos	 de	 linha	 de	 transmissão	 com	 parâmetros
concentrados	 em	 regime	 permanente	 que	 diferem	 na	 constituição	 dos	 modelos
com	parâmetros	distribuídos.
Modelos	 de	 linha	 de	 transmissão	 com	 parâmetros	 concentrados	 em
regime	permanente
Segundo	 Mohan	 (2016),	 quando	 estamos	 diante	 de	 um	 regime	 permanente
balanceado	 senoidal,	 é	 comum	 o	 modelo	 de	 transmissão	 monofásica.	 Nesse
modelo,	 supõe-se	 que:	 as	 três	 fases	 estejam	 perfeitamente	 transpostas;	 as
correntes	e	as	tensões	estejam	balanceadas	e	em	regime	plenamente	senoidal.
No	vídeo	a	seguir,	daremos	continuidade	sobre	a	temática	de	modelos	de	linha	de
transmissão	com	parâmetros	concentrados	em	regime	permanente.
Recurso	Externo
Recurso	é	melhor	visualizado	no	formato	interativo
A	 seguir,	 estudaremos	 a	 classificaçãoque	 as	 linhas	 de	 transmissão	 recebem:
curtas,	 médias	 ou	 longas.	 Essa	 classificação	 está	 associada	 ao	 fato	 de	 a
capacidade	 em	 derivação	 ser,	 ou	 não,	 pequena	 a	 ponto	 de	 ser	 desprezada	 sem
perda	apreciável	de	precisão.
Cálculo	de	linhas	de	trasmissão:	linhas	curtas
As	linhas	de	transmissão	de	comprimento	curto	são	aquelas	menores	de	100	km.	A
capacitância	 pode	 ser	 desprezada,	 e	 a	 linha	 considera	 apenas	 a	 resistência	 e	 a
indutância	 em	 série.	 Dessa	 maneira,	 os	 circuitos	 de	 linhas	 curtas	 são	 simples,
sendo	sua	corrente	igual	em	ambas	as	extremidades.
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Vale,	portanto,	a	representação	que	segue	com	a	indutância	em	série:
FIGURA	1	-	Linha	de	transmissão	de	comprimento	curto
Fonte:	CLASSIFICAÇÃO...,	[20--],	on-line.
Assim,	nessas	linhas,	serão	negligenciadas	as	capacitâncias	em	derivação	(shunt),
resultando	 apenas	 na	 impedância	 série	 e,	 em	 alguns	 estudos	 simplificados,	 a
resistência	série	também	poderá	ser	omitida.
Para	linhas	de	transmissão	curtas,	temos	as	seguintes	identidades:
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No	estudo	de	sistemas	de	grande	porte,	é	conveniente	a	adoção	de	modelos	que
representem	 o	 comportamento	 real	 do	 sistema	 em	 estudo.	 Assim,	 adiante,
estudaremos	as	linhas	de	transmissão	de	comprimentos	médio	e	longo.
Cálculo	de	linhas	de	transmissão:	linhas
médias	e	longas
As	linhas	de	transmissão	de	comprimento	médio	(aquelas	com	comprimento	entre
100	 km	 e	 300	 km)	 são	 representadas	 por	 resistência,	 indutância	 e	 metade	 da
capacitância	ao	neutro	em	cada	extremidade.	Nelas,	a	admitância	em	derivação	é
representada	por	uma	capacitância	pura,	e	a	admitância	total	é	dividida	em	duas
partes	iguais	colocadas	nas	barras	transmissora	e	receptora	da	linha.
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DICA
Uma	dica	para	complementar	seus	estudos	é	ler	as
páginas	480	a	490	do	livro	“Análise	de	sistemas	de
transmissão	de	energia	elétrica”	de	Ernesto	João
Robba	et	al.	(2020).	Nele,	você	encontrará	os
principais	conceitos	tratados	nesta	unidade
referentes	aos	parâmetros	elétricos	de	redes
aéreas.
Para	realizar	a	leitura,	copie	o	link	em	seu
navegador	e	acesse	a	Minha	Biblioteca:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/bo
oks/9786555060096/pageid/479	
Quanto	 à	 representação	 do	 circuito	 de	 linhas	 de	 transmissão	 com	 comprimento
médio,	o	modelo	comum	é	o	modelo	π.	O	circuito	equivalente	é	o	 representado	a
seguir.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786555060096/pageid/479
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FIGURA	1	-	Linha	de	transmissão	de	comprimento	médio
Fonte:	CLASSIFICAÇÃO...,	[20--],	on-line.
A	tensão	é	dada	por:
			
	(Eq.	46)
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Para	 o	 cálculo	 das	 equações	 de	 transmissão	 de	 linhas	 longas,	 aquelas	 cujo
comprimento	 ultrapassa	 300	 km,	 assumiremos,	 inicialmente,	 a	 admitância	 e	 a
impedância	distribuídas	uniformemente	ao	longo	da	linha,	sendo,	portanto,	comum
o	modelo	a	parâmetros	distribuídos.	Além	disso,	uma	linha	de	comprimento	longo
é	representada	por	mais	de	um	circuito	π.	Sua	representação	é	dada	pela	próxima
figura.
FIGURA	1	-	Linha	de	transmissão	de	comprimento	longo
Fonte:	CLASSIFICAÇÃO...,	[20--],	on-line.
As	 próximas	 equações	 expressam	 a	 tensão	 e	 a	 corrente	 eficaz	 de	 uma	 linha	 de
transmissão	longa	em	qualquer	ponto	do	circuito	em	termos	de	distância.
E-Book	-	Apostila
28	-	40
Onde:	 	é	a	impedância	característica	da	linha.
As	Equações	47	podem	ser	expressas	a	partir	de	funções	hiperbólicas:
E-Book	-	Apostila
29	-	40
Assim,	 apresentamos	 as	 principais	 características	 que	 descrevem	 linhas	 de
transmissão	de	comprimento	curto,	médio	e	longo	e	as	equações	matemáticas	que
descrevem	 seus	 parâmetros	 (tensão	 e	 corrente)	 e	 relações.	 Também
apresentamos	 os	 modelos	 de	 circuitos	 que	 descrevem	 a	 distribuição	 desses
mesmos	parâmetros.
Considerações	finais
Nesta	unidade,	você	teve	a	oportunidade	de:
Identificar	os	parâmetros	de	uma	linha	de	transmissão.
Calcular	 resistência,	 indutância	 e	 capacitância	shunt	de	 uma
linha	de	transmissão.
Compreender	 as	 principais	 diferenças	 entre	 linhas	 de
transmissão	curta,	média	e	longa.	
Estudamos	que	os	sistemas	elétricos	de	potência	têm	a	função	de	fornecer	energia
elétrica	a	usuários	com	qualidade	adequada,	sendo	seus	sistemas	divididos	entre
produtor,	 transformador	 e	 distribuidor	 de	 energia.	 Como	 parte	 integrada	 dos
sistemas	de	distribuição	de	energia,	vimos	que,	nos	sistemas	elétricos	de	potência,
as	 linhas	de	transmissão	são	responsáveis	pelo	transporte	de	energia	elétrica	das
usinas	geradoras	às	unidades	consumidoras.
Verificamos	que	as	linhas	de	transmissão	podem	ser	modeladas	matematicamente,
de	maneira	 que	 seus	 parâmetros	 (resistência,	 indutância	 e	 capacitância)	 possam
ser	 estimados.	 No	 entanto,	 para	 que	 esses	 parâmetros	 sejam	 corretamente
estimados,	é	necessário	conhecer	o	histórico	de	dados	da	linha.	Assim,	a	utilização
de	parâmetros	confiáveis	pode	aumentar	a	margem	de	transferência	de	potência,
minimizar	 riscos	 de	 curto-circuito,	 sobrecargas	 e	 sub	 ou	 sobretensões	 e,
consequentemente,	reduzir	custos	operacionais	e	de	manutenção.
E-Book	-	Apostila
30	-	40
Dessa	maneira,	 aprendemos	a	 calcular,	 a	partir	 das	equações	matemáticas,	 seus
parâmetros:	 resistência,	 indutância	 e	 capacitância	 —	 sempre	 por	 unidade	 de
comprimento.	Além	disso,	vimos	que	existem	diferentes	 linhas	de	 transmissão	de
energia	que	dependem	de	seu	comprimento,	sendo	elas	de	curto,	médio	ou	grande
comprimento;	cada	uma	tem	suas	particularidades,	que	lhes	asseguram	diferentes
configurações	e	distribuição	de	parâmetros.
Agora	que	finalizamos	este	conteúdo,	testaremos	seus	conhecimentos	com
o	quiz	a	seguir.	
QUIZ
No	projeto	de	uma	linha	de
transmissão,	devem	ser	considerados
os	parâmetros	utilizados	para
determinar	as	equações	que	governam
o	comportamento	das	ondas	numa
linha	de	transmissão.
A	respeito	do	parâmetro	resistência,	assinale	a
alternativa	correta:
o	projeto	da	resistência,	numa	linha	de	transmissão,
E-Book	-	Apostila
31	-	40
Resposta	Incorreta:
A	alternativa	está	incorreta.	O	projeto	de	uma	linha	de
transmissão	deve	privilegiar	baixos	valores	de
resistência	e,	consequentemente,	a	redução	de	custos
de	toda	a	rede.	Além	disso,	devem	ser	consideradas	a
perda	em	decorrência	da	corrente	elevada	ao
quadrado	vezes	a	resistência	e	também	outras
perdas,	por	exemplo,	a	que	ocorre	devido	ao	efeito
corona.
Resposta	Correta:
A	alternativa	está	correta.	O	projeto	de	uma	linha	de
transmissão	deve	considerar	as	perdas	em
decorrência	do	fator	I	ao	quadrado	vezes	R	e	também
as	perdas	devidas	à	corrente	de	fuga	e	ao	efeito
corona.
deve	considerar	altos	valores	de	resistência.a
o	projeto	da	resistência	de	uma	linha	de	transmissão
deve	considerar	as	perdas	devidas	à	corrente	de
fuga	e	ao	efeito	corona.
b
a	resistência	é	responsável	por	armazenar	energia.c
E-Book	-	Apostila
32	-	40
Resposta	Incorreta:
A	alternativa	está	incorreta.	O	projeto	de	uma	linha	de
transmissão	deve	privilegiar	baixos	valores	de
resistência	e,	consequentemente,	a	redução	de	custos
de	toda	a	rede.	Além	disso,	devem	ser	consideradas	a
perda	em	decorrência	da	corrente	elevada	ao
quadrado	vezes	a	resistência	e	também	outras
perdas,	por	exemplo,	a	que	ocorre	devido	ao	efeito
corona.
Resposta	Incorreta:
A	alternativa	está	incorreta.	O	projeto	de	uma	linha	de
transmissão	deve	privilegiar	baixos	valores	de
resistência	e,	consequentemente,	a	redução	de	custos
de	toda	a	rede.	Além	disso,	devem	ser	consideradas	a
perda	em	decorrência	da	corrente	elevada	ao
quadrado	vezes	a	resistência	e	também	outras
perdas,	por	exemplo,	a	que	ocorre	devido	ao	efeito
corona.
a	equação	que	expressa	a	resistência	da	linha	não
considera	a	resistividade	do	material.d
a	resistividade	do	material	diminui	com	a
temperatura.e
E-Book	-	Apostila
33	-	40
Resposta	Incorreta:
A	alternativa	está	incorreta.	O	projeto	de	uma	linha	de
transmissão	deve	privilegiarbaixos	valores	de
resistência	e,	consequentemente,	a	redução	de	custos
de	toda	a	rede.	Além	disso,	devem	ser	consideradas	a
perda	em	decorrência	da	corrente	elevada	ao
quadrado	vezes	a	resistência	e	também	outras
perdas,	por	exemplo,	a	que	ocorre	devido	ao	efeito
corona.
O	cálculo	dos	parâmetros	de	linhas
por	unidade	de	comprimento	é	bem
conhecido	e	consolidado	na	área,
assim,	faz-se	necessário	representar
os	comportamentos	resistivo,	indutivo
e	capacitivo	em	toda	a	linha.
A	respeito	do	que	foi	dito,	assinale	a	alternativa
correta:
a	expressão	da	indutância	de	cada	fase	relaciona
unicamente	o	fluxo	total	que	enlaça	essa	fase.a
E-Book	-	Apostila
34	-	40
Resposta	Incorreta:
A	alternativa	está	incorreta.	A	expressão	da
indutância	de	cada	fase	relaciona	o	fluxo	total	que
enlaça	essa	fase	e	também	sua	corrente,	sendo	a
indutância	responsável	pelo	armazenamento	de
energia.	Quando	os	condutores	estão	a	distâncias
diferentes,	seu	cálculo	considera	a	distância	média
geométrica.	Também	é	possível	considerar	que	a
soma	das	correntes	é	igual	a	zero	quando	tratamos	de
uma	linha	de	transmissão	trifásica	balanceada.
Resposta	Incorreta:
A	alternativa	está	incorreta.	A	expressão	da
indutância	de	cada	fase	relaciona	o	fluxo	total	que
enlaça	essa	fase	e	também	sua	corrente,	sendo	a
indutância	responsável	pelo	armazenamento	de
energia.	Quando	os	condutores	estão	a	distâncias
diferentes,	seu	cálculo	considera	a	distância	média
geométrica.	Também	é	possível	considerar	que	a
soma	das	correntes	é	igual	a	zero	quando	tratamos	de
uma	linha	de	transmissão	trifásica	balanceada.
no	cálculo	da	indutância	L,	caso	os	condutores
estejam	a	distâncias	diferentes	uns	dos	outros,
torna-se	impossível	calcular	a	distância	D	entre	eles.
b
a	indutância	é	responsável	pelo	consumo	de	energia.c
E-Book	-	Apostila
35	-	40
Resposta	Incorreta:
A	alternativa	está	incorreta.	A	expressão	da
indutância	de	cada	fase	relaciona	o	fluxo	total	que
enlaça	essa	fase	e	também	sua	corrente,	sendo	a
indutância	responsável	pelo	armazenamento	de
energia.	Quando	os	condutores	estão	a	distâncias
diferentes,	seu	cálculo	considera	a	distância	média
geométrica.	Também	é	possível	considerar	que	a
soma	das	correntes	é	igual	a	zero	quando	tratamos	de
uma	linha	de	transmissão	trifásica	balanceada.
Resposta	Incorreta:
A	alternativa	está	incorreta.	A	expressão	da
indutância	de	cada	fase	relaciona	o	fluxo	total	que
enlaça	essa	fase	e	também	sua	corrente,	sendo	a
indutância	responsável	pelo	armazenamento	de
energia.	Quando	os	condutores	estão	a	distâncias
diferentes,	seu	cálculo	considera	a	distância	média
geométrica.	Também	é	possível	considerar	que	a
soma	das	correntes	é	igual	a	zero	quando	tratamos	de
uma	linha	de	transmissão	trifásica	balanceada.
numa	linha	de	transmissão	trifásica	balanceada,	a
soma	das	correntes	é	diferente	de	zero.d
o	cálculo	da	capacitância	de	uma	linha	de
transmissão	depende	da	carga	q	num	condutor.e
E-Book	-	Apostila
36	-	40
Resposta	Correta:
A	alternativa	está	correta.	Para	calcularmos	a
capacitância	de	uma	linha	de	transmissão,	deve	ser
considerada	a	carga	q	do	condutor	que	resultará	em
linhas	de	fluxo	D	e	na	intensidade	de	campo	elétrico
E.
Os	projetos	de	uma	linha	de
transmissão	devem	considerar	os
parâmetros	que	dependem	do	nível	de
tensão	e	a	linha	foi	projetada.
Considerando	os	parâmetros	de	uma	linha	de
transmissão,	sobre	a	indutância	série	L,	analise	as
afirmativas	a	seguir.
I.	 A	soma	das	correntes	ia,	ib	e	ic	é	igual	a
zero	quando	a	linha	trifásica	está
balanceada.
II.	 A	indutância	é	calculada	por	fase.
III.	 A	unidade	de	medida	da	indutância	por
unidade	de	comprimento	é	F/m
(Faraday/metro).
IV.	 A	indutância	por	unidade	de	comprimento
é	maior	num	agrupamento	de	três
condutores	que	num	agrupamento	de	dois
condutores.
E-Book	-	Apostila
37	-	40
É	correto	o	que	se	afirma	em:
Resposta	Incorreta:
A	resposta	está	incorreta.	Lembre-se	das	unidades	de
medida	do	Sistema	Internacional	de	Unidades	(SI)
referentes	aos	parâmetros	aludidos.	A	indutância	é
medida	em	Henry	por	metro	(H/m),	sendo	calculada
por	fase.	Quando	temos	três	condutores	agrupados,
por	exemplo,	a	indutância	por	unidade	de
comprimento	é	menor	que	a	indutância	medida
quando	trabalhamos	com	dois	condutores	agrupados,
todos	com	o	mesmo	espaçamento	entre	eles.
Resposta	Correta:
A	resposta	está	correta.	Numa	linha	de	transmissão
trifásica	balanceada	com	correntes	ia,	ib	e	ic,	a	soma
destas	resulta	em	zero	em	qualquer	tempo.	Além
disso,	a	indutância	é	calculada	por	fase.
I,	apenas.a
I	e	II,	apenas.b
I,	III	e	IV,	apenas.c
E-Book	-	Apostila
38	-	40
Resposta	Incorreta:
A	resposta	está	incorreta.	Lembre-se	das	unidades	de
medida	do	Sistema	Internacional	de	Unidades	(SI)
referentes	aos	parâmetros	aludidos.	A	indutância	é
medida	em	Henry	por	metro	(H/m),	sendo	calculada
por	fase.	Quando	temos	três	condutores	agrupados,
por	exemplo,	a	indutância	por	unidade	de
comprimento	é	menor	que	a	indutância	medida
quando	trabalhamos	com	dois	condutores	agrupados,
todos	com	o	mesmo	espaçamento	entre	eles.
Resposta	Incorreta:
A	resposta	está	incorreta.	Lembre-se	das	unidades	de
medida	do	Sistema	Internacional	de	Unidades	(SI)
referentes	aos	parâmetros	aludidos.	A	indutância	é
medida	em	Henry	por	metro	(H/m),	sendo	calculada
por	fase.	Quando	temos	três	condutores	agrupados,
por	exemplo,	a	indutância	por	unidade	de
comprimento	é	menor	que	a	indutância	medida
quando	trabalhamos	com	dois	condutores	agrupados,
todos	com	o	mesmo	espaçamento	entre	eles.
II	e	IV,	apenas.d
I	e	IV,	apenas.e
E-Book	-	Apostila
39	-	40
Resposta	Incorreta:
A	resposta	está	incorreta.	Lembre-se	das	unidades	de
medida	do	Sistema	Internacional	de	Unidades	(SI)
referentes	aos	parâmetros	aludidos.	A	indutância	é
medida	em	Henry	por	metro	(H/m),	sendo	calculada
por	fase.	Quando	temos	três	condutores	agrupados,
por	exemplo,	a	indutância	por	unidade	de
comprimento	é	menor	que	a	indutância	medida
quando	trabalhamos	com	dois	condutores	agrupados,
todos	com	o	mesmo	espaçamento	entre	eles.
Referências
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https://www.drb-m.org/transmissao/1IIITransmissao.pdf
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40	-	40
VIAN,	 Â.	 Sistemas	 de	 transmissão	 e	 a	 transmissão	 a	 longa	 distância:	 conceitos
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WENTWORTH,	 S.	 M.	Eletromagnetismo	 aplicado:	 abordagem	 antecipada	 das
linhas	de	transmissão.	Porto	Alegre:	Bookman,	2008.