Representacao dos sistemas de energia eletrica

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18/03/2024, 23:31 Representação dos sistemas de energia elétrica
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Representação dos sistemas de energia elétrica
Profa. Isabela Oliveira Guimarães
Descrição
Você irá conhecer a modelagem dos equipamentos e linhas de
transmissão de energia elétrica, o equacionamento dos parâmetros de
linha e a implementação dos modelos utilizados na análise do sistema
em regime permanente.
Propósito
Os sistemas elétricos de potência podem ser considerados grandes
circuitos interligados por linhas de transmissão e diversos outros
equipamentos. Dessa forma, o conhecimento dos parâmetros que
modelam as linhas e equipamentos é base para modelagem adequada
do sistema e análise operativa das redes.
Preparação
Ao começar seus estudos, tenha em mãos uma calculadora científica
para auxiliar nos cálculos matemáticos relacionados à determinação
dos parâmetros de linha.
Objetivos
Módulo 1
Modelagem e análise das máquinas síncronas
e transformadores
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Reconhecer os modelos de máquinas síncronas e transformadores
aplicados ao sistema de potência.
Módulo 2
Sistema por unidade
Aplicar a conversão das unidades para p.u.
Módulo 3
Parâmetros de linhas de transmissão
Reconhecer os parâmetros da linha de transmissão.
Módulo 4
Modelo das linhas de transmissão
Aplicar os três modelos de estudo para linha de transmissão.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e conheça os
aspectos característicos que permitem representar as
redes elétricas e analisá-las.

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1 - Modelagem e análise das máquinas síncronas e
transformadores
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os modelos de máquinas síncronas e
transformadores aplicados ao sistema de potência.
Equipamentos utilizados no sistema
elétrico
Confira no vídeo uma introdução aos conceitos de máquinas síncronas
e transformadores, equipamentos essenciais para a operação do SEP.
Máquinas síncronas
Conheça neste vídeo os aspectos operativos das máquinas síncronas e
sua representação para a análise do sistema elétrico em regime
permanente.
A máquina síncrona é um elemento de extrema importância nas
análises de sistema de potência. Essa máquina pode funcionar como:
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Gerador
Convertendo a potência mecânica resultante dos movimentos da
turbina em energia elétrica.
Motor
Transformando a energia elétrica em mecânica.
Nas análises do sistema de potência, o objetivo é avaliar a máquina em
sua operação geradora, fornecendo potência ao sistema e garantindo a
alimentação das cargas. Construtivamente, essa máquina possui duas
partes, ambas possuem enrolamentos por onde circulam correntes.
Veja!
Parte �xa
Recebe o nome de
estator.
Nos enrolamentos do
estator circulam
correntes CA.
Parte rotativa
Recebe o nome de rotor
ou armadura.
Nos enrolamentos do
rotor circulam correntes
CC, no caso da
operação de um
gerador.
Confira o esquema de uma máquina síncrona:

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Gerador síncrono monofásico de quatro polos.
A velocidade de rotação dessa máquina é dada por:
Eq. 1
Em que:
: velocidade em 
: frequência em 
: número de polos
Já a tensão gerada é descrita por:
Eq. 2
Nesse caso, estamos considerando um modelo aproximado,
desprezando a resistência de armadura, portanto, a tensão fornecida no
terminal do gerador é em função da força eletromotriz e da
queda de tensão na reatância síncrona.
Comentário
A representação do gerador, como máquina síncrona, na análise do
sistema de potência é o objetivo deste estudo, e isso dependerá da
exigência das análises.
Modelo da máquina em regime permanente
n =
120 f
p
n rpm
f Hz
p
Va = Ea − jIaXs
(Va) Ea
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Para uma análise do sistema em regime permanente, o circuito
equivalente da máquina descrito pela equação anterior se faz adequado.
A seguir temos o modelo representativo do circuito equivalente da
máquina síncrona. Usualmente, a resistência possui um valor
muito menor que a reatância síncrona, e por isso pode ser desprezada.
Circuito equivalente do gerador síncrono.
As grandezas do circuito equivalente são usualmente representadas em
p.u., um sistema de conversão que você ainda entenderá. Como
exemplo de análises em regime permanente, temos a análise de fluxo de
potência e estabilidade (lembrando que também existe estabilidade
transitória).
Comentário
É necessário representar a reatância transitória ou subtransitória para a
análise dinâmica e transitória do sistema, o que não é objetivo deste
estudo. Temos as análises de curto-circuito como exemplo desse tipo
de avaliação.
Transformadores
Conheça neste vídeo os aspectos operativos dos transformadores, o
circuito equivalente e sua aplicação em uma rede trifásica.
O transformador é uma máquina estática composta de bobinas
enroladas em um núcleo de material ferromagnético, que operam
adequando os níveis de tensão para a operação do sistema elétrico.
Confira na imagem um transformador de potência, comumente visto no
sistema elétrico.
(Ra)
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Transformador de potência.
Usualmente, o transformador é representado a partir de seu circuito
equivalente, tal como a máquina síncrona. Inicialmente, tomaremos
como exemplo o circuito magnético do transformador apresentado
nesta imagem:
Exemplo de um transformador de dois enrolamentos.
Observamos na imagem um esquema simples de um transformador
monofásico, com duas bobinas centrais e a corrente circulando na
mesma direção em ambas, o que promove um fluxo magnético aditivo.
O número de espiras das bobinas é representado por e , e cada
enrolamento pode ter centenas delas.
Para um transformador ideal, a permeabilidade do
núcleo é infinita, dessa forma todo o fluxo magnético
fica confinado no núcleo do material, não havendo
dispersões. Ainda, não há resistência nos
N1 N2
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enrolamentos da bobina, e por isso a tensão no
terminal do enrolamento será igual à induzida no
enrolamento.
Pode-se, então, relacionar as tensões e o número de espiras como
mostra a equação:
Eq. 3
A representação do transformador ideal pode ser dada a partir do
circuito abaixo:
Transformador ideal.
O ponto é uma forma de indicar o sentido da corrente, uma vez que não
sabemos para qual lado as bobinas foram enroladas. Nesse caso, o
ponto nos diz que aqueles terminais possuem sinal positivo e, então, a
corrente circula a partir do terminal que recebe a marcação.
Assim como mostrado para a tensão, as relações entre as correntes 
e também podem ser obtidas relacionando o número de espiras da
bobina, e são dadas a partir desta equação:
Eq. 4
O cálculo da impedância da carga pode ser feito aplicando as relações
de circuitos, assim:
Eq. 5
Ou:
Eq. 6
V1
V2
=
N1
N2
I1
I2
I1
I2
=
N2
N1
Z1 = (
N1
N2
)
2
Z2
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É importante saber que a impedância da carga e os parâmetros do
circuito não são a mesma coisa! De forma geral, o transformador será
ligado à rede em ambos os lados no sistemade potência. Isso ocorre da
seguinte forma:
Enrolamento primário
Por onde o
transformador será
ligado à rede e, então,
energizado.
Enrolamento secundário
Por onde o
transformador poderá
alimentar uma carga.
Diferentemente de um transformador ideal, no transformador real a
permeabilidade não é infinita e existem perdas nos enrolamentos e no
núcleo do ferro. A representação do circuito equivalente, com ou sem
um transformador ideal, é apresentada a seguir. No entanto, se todas as
correntes e impedâncias forem referidas ao primário, o transformador
pode ser omitido na representação. Observe!
Com um transformador ideal
Sem um transformador ideal
Podemos dizer que o transformador real é igual ao ideal com a inclusão
das impedâncias.
Os parâmetros do circuito equivalente do transformador são obtidos por
meio dos seguintes ensaios:
Z1 = (
V1
V2
)
2
Z2

Ensaio a vazio 
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Para determinar a corrente de excitação, que circula pelo ramo
central, associada às perdas no núcleo e de magnetização
.
Para determinar as impedâncias do circuito ,
responsáveis pelas perdas nos enrolamentos (resistências) e
dispersões de fluxos (reatâncias).
Autotransformador
Além do transformador ideal e real comentado até o momento, há
também o autotransformador. Veja como é a sua conexão!
Autotransformador.
Como pode ser observado, os enrolamentos desse transformador são
eletricamente acoplados e não há isolação entre o primário e
secundário. Na imagem anterior, pelo sentido da corrente indicado pelo
ponto, os fluxos são aditivos.
Transformador trifásico
Esse tipo de transformador é amplamente utilizado nos sistemas de
transmissão e distribuição.
Para formar um transformador trifásico, é possível
conectar transformadores monofásicos iguais. Para
isso, os enrolamentos devem estar dispostos de forma
que a conexão seja em delta ou em Y tanto no primário
quanto no secundário.
O comum é utilizar uma unidade construída para operar de forma
trifásica, pois o custo-benefício é menor. Confira a seguir a
representação das principais conexões dos transformadores trifásicos e
das relações de transformação. Lembre-se de que, para conexões em
(Rc,Xm)
Ensaio de curto-circuito 
(R1,R2,X1,X2)
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delta, a tensão de fase e linha é a mesma, enquanto nas conexões em
estrela, a tensão de fase é vezes maior. Confira na sequência!
Conexão 
Conexão 
Conexão 
Conexão 
No equilíbrio, as impedâncias trifásicas podem ser descritas por esta
equação:
Eq. 7
√3
Y − Δ
Δ − Y
Δ − Δ
Y − Y
Zy =
1
3
ZΔ
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Diagrama uni�lar
O transformador, assim como a máquina síncrona, é representado no
sistema de potência a partir dos valores em p.u. Esses elementos,
adicionados ao modelo de linha de transmissão, irão compor o
diagrama unifilar, que permite a análise do sistema.
O diagrama uni�lar fornece as principais informações do
sistema e componentes dispostos por meio de símbolos.
Observe a seguir o diagrama unifilar, no qual se pode identificar os
geradores síncronos, trifásicos, com conexão em estrela. Além disso,
veja dois transformadores, sendo o primeiro com uma ligação e
o segundo , representada por setas a carga que o sistema
alimenta.
Diagrama unifilar do sistema elétrico.
Vamos à prática!
Exemplo comentado
(Adaptada de Cesgranrio - 2011) A imagem a seguir representa o
equivalente monofásico do sistema de potência, no qual a corrente da
carga é de .
Representação do equivalente monofásico do sistema de potência.
Considerando-se os transformadores ideais, calcularemos as perdas,
em watt, para uma das fases do sistema.
Como se trata de um equivalente monofásico, sua solução
equivale a uma fase do sistema, se o sistema é trifásico a
solução do sistema deve considerar as três fases. Para calcular
as perdas nessa fase, consideraremos os componentes que
promovem a perda no circuito. Como o transformador é ideal,
não há perdas no núcleo desse equipamento.
Análise do transformador para encontrar a
corrente no primário:
Y − Y
Y − Δ
160 A
Veja aqui a solução 
8 kV /64 kV
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Essa corrente circula pela impedância e promove perdas. Logo,
de acordo com os conhecimentos adquiridos em circuitos
elétricos e transformadores:
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
(Adaptada de CS - UFG - 2017). A seguir observamos o circuito
equivalente de um transformador submetido a ensaios em
laboratório.
Nesse circuito, a resistência do ramo magnetizante, RM, é
determinada por meio
I1
I2
=
N2
N1
=
V2
V 1
=
8
64
I1 =
8
64
(160) = 20 A
Perdas = RI 2 = 3 ∗ 400 = 1200 watt
A dos dados de placa do transformador.
B dos dados do ensaio a vazio.
C da aplicação de tensão contínua no primário.
D dos dados do ensaio de curto-circuito.
E
do uso de um equipamento para medição de alta
resistência.
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Os parâmetros do transformador são obtidos a partir de ensaios,
sendo eles o ensaio de curto-circuito e o ensaio a vazio. A partir do
ensaio a vazio, é possível determinar a corrente de excitação e,
portanto, estimar os parâmetros do núcleo sendo .
Questão 2
(AOCP - 219) Um transformador do tipo é alimentado
por uma tensão de linha de . Sabendo que o número de
voltas do enrolamento primário é 1000 e do secundário 20, assinale
a alternativa que apresenta a tensão de fase do lado secundário.
Caso necessário, considere .
Parabéns! A alternativa A está correta.
Como o transformador é , é necessário lembrar que a tensão
que está na linha do secundário é vezes maior que a de fase,
assim:
Resolvendo, tem-se que:
Rm,Xm
Delta − Y
5000 V
√3 = 1, 73
A 173 V
B 100 V
C 250 V
D 57, 73 V
E 2886, 75 V
Δ − Y
√3
V1
V2
=
N1
√3N2
5000
V2
=
1000
√3(20)
V2 = 173 V
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2 - Sistema por unidade
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar a conversão das unidades para p.u.
Sistema p.u.
Conheça neste vídeo o método de conversão de unidades chamado de
sistema p.u., que permite estimar as bases para tensão, corrente,
potência e impedância para sistemas trifásicos e monofásicos.
Grandezas em p.u.
Comumente, algumas das grandezas que representam o
comportamento e os componentes do sistema elétrico são
representadas em p.u. (por unidade) ou em percentual de um dado valor.
A representação em p.u. facilita e minimiza os cálculos,
tonando o problema em análise mais simples.
A escolha pela representação dos dados em p.u. traz outras vantagens
além da simplificação do problema, como a correlação entre os valores
representados.
As grandezas que serão convertidas para a unidade p.u. serão:
Corrente elétrica
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Dada em Ampère.
Tensão
Dada em Volts.
Potência
Dada em Watts.
Impedância
Dada em ohms.
A transformação da unidade original para p.u. não é exclusivamente
aplicada ao sistema de potência, trata-se de uma ferramenta essencial
em diversas aplicações.
De�nição da base
Para que haja a conversão para o valor em p.u., é necessário escolher
uma base referencial, valor sob o qual a quantidade será representada
proporcionalmente.Matematicamente, a equação que define a
conversão do valor em sua unidade original para a grandeza em p.u.
pode ser descrita assim:
Eq. 8
A representação em percentual é semelhante à ação de multiplicar a
grandeza p.u. por 100, como mostra esta equação:
Eq. 9
O objetivo deste estudo é aplicar essa conversão às variáveis do
sistema elétrico, portanto a definição da base para a conversão dessas
variáveis é feita de acordo com o perfil do sistema. Vejamos!
Sistemas monofásicos
A partir dos conhecimentos adquiridos sobre sistemas monofásicos,
temos a equação geral que modela o problema:
Eq. 10
Em que:
Grandezapu =
grandezaunidade
grandezabase
Grandeza% = 100%xGrandezapu
S = V I
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: potência aparente, que relaciona a potência ativa e reativa do
circuito
: tensão elétrica
: corrente elétrica
Sabe-se ainda que a impedância do circuito é descrita por:
Eq. 11
Ou, por substituição:
Eq. 12
Eq. 13
Analisando as equações 10 e 11, é possível perceber que, ao determinar
duas variáveis, as demais são obtidas por consequência, uma vez que
há relação entre elas. Admitindo a escolha de tensão e potência do
sistema como base, é possível descrever as demais bases e seus
respectivos valores em p.u.
Base para corrente elétrica:
Eq. 14
Eq. 15
Impedância de base:
Eq. 16
Eq. 17
Como a admitância é o inverso da impedância, basta fazer:
S
V
I
V = ZI
S =
V 2
Z
Z =
V 2
s
Ibase =
Sbase
Vbase
Ipu =
I
Ibase
=
I
Sbase
Vbase
Zbase =
V 2
base
Sbase
Zpu =
Z
Zbase
=
Z
V 2base
sbase
(Y )
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Eq. 18
Eq. 19
Sistemas trifásicos
A modelagem de um sistema trifásico é um pouco diferente do sistema
monofásico. Nessa representação, a rede é descrita a partir dos dados
de fase e de linha, lembrando que é possível encontrar as ligações
 (estrela- triângulo).
A solução de um sistema trifásico é feita a partir do equivalente
monofásico, considerando para cada um dos circuitos seu respectivo
valor de fase. Sabendo disso, considera-se a relação:
Eq. 20
Em que:
Eq. 21
Logo:
Eq. 22
Multiplicando os dois lados por , temos:
Eq. 23
Considerando a base sendo a potência e a tensão do sistema, a corrente
de base da fase é dada por:
Eq. 24
Nessa mesma condição, a impedância de base da fase é dada por:
Ybase =
1
Zbase
=
1
V 2base
sbase
=
Sbase
V 2
base
Ypu =
Y
Ybase
=
Y
sbase
V 2base
Y − Δ
S = 3VFIF
VF =
VL
√3
S = 3
VL
√3
IF
√3
S = √3VLIF
Ibase =
Sbase
√3VL,base
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Eq. 25
A impedância de base pode ser calculada tanto com os valores de linha
quanto de fase.
Atenção!
O sistema elétrico possui trechos com diferentes níveis de tensão, que
são definidos pelos transformadores. Para cada trecho, uma base deve
ser utilizada. Uma vantagem do sistema p.u. é que após a
implementação, os transformadores, ou grande parte deles, passam a
ter a relação de transformação 1:1, isso se as bases forem
adequadamente definidas.
Mudança de base
É um recurso muito eficaz dentro da representação em p.u., isso porque
a impedância dos componentes pode ser encontrada em uma base
diferente daquela em que o componente se encontra. Um exemplo claro
é o caso dos transformadores, no qual trabalhamos com dois níveis de
tensão em diferentes partes da rede, e em geral a impedância é um valor
dado pelo fabricante para uma determinada condição.
Como o valor da impedância em p.u. deve ser calculado a partir de uma
mesma base, para todo o sistema ou trecho, faz-se a transferência da
base antiga para uma base nova, que é a comum do sistema, observe!
Eq. 26
Sendo que é o valor da impedância em p.u, considerando uma
base dada, em que "a" está sendo utilizado aqui para remeter ao nome
de "anterior", pois sairemos desse valor em p.u para outro que
chamaremos de nova. Esse valor é calculado da seguinte forma:
Eq. 27
Em que:
Eq. 28
Em que os valores usados para base, não são os valores assumidos
para o restante do sistema.
Zbaseϕ =
V 2
L,base
Sbase
Zpu,nova = Zpu,a(
Vbase,a
Vbase,nova
)
2 sbase,nova
sbase,a
Zpu,a
Zpu,a
Zpu,a =
Z
Zbase, a
Zbase, a =
V 2base,a
Sbase,a
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 é o valor da impedância em p.u. na base do sistema, valor
desejado. Esse valor já foi apresentado e é calculado como mostrado a
seguir. O termo nova nada mais é que nomenclatura para diferenciar as
bases.
Aqui estamos tratando da base já apresentada, aquela em que
solucionaremos o problema:
Eq. 29
Nessa equação:
: tensão na base antiga
: tensão base do sistema
: potência na base antiga
: potência na base nova
A equação 27 é obtida a partir da manipulação das equações 28 e 29.
Aplicação dos conceitos
Vejamos alguns exemplos para fixação dos assuntos estudados!
Exercício 1: Conversão p.u. de sistema monofásico
Para efeitos de estudo, considere um sistema monofásico com os
seguintes valores de base:
1. Base de tensão: 
2. Base de potência: 
Colocar o valor de tensão: em p.u.:
Esse cálculo também poderia ser feito com o valor em coordenadas
polares:
Zpu,nova
Zpu,a =
Z
V 2base,nova
Sbase,nova
Vbase,a
Vbase,nova
Sbase,a
Sbase,nova
10 kV
100 MVA
V = 12 + j6 kV
Vpu =
V
Vbase
Vpu =
12 + j6 kV
10 kV
Vpu = 1, 2 + 0, 6 p.u.
V = 12 + j6 kV = 13, 42 ∠26, 57∘
Vpu =
13, 42 kV∠26, 57∘
10 kV
Vpu = 1, 34 p.u. ∠26, 57
∘
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Transformando esse valor em coordenadas retangulares, temos:
Exercício 2: Mudança de bases
Um gerador possui o valor de reatância definido por Essa
reatância é representada a partir dos dados do fabricante, onde tem-se
os seguintes valores: , . Os dados definidos como
base, porém, são e . Sabendo que as impedâncias de
um sistema devem ser representadas em uma mesma base, faça os
devidos ajustes.
Nesse caso, tem-se um problema simples de mudança de base.
0,25 é o que chamamos de base antiga, definida a partir dos dados
que não são as bases comuns.
 é a tensão de base antiga.
A partir da equação, tem-se:
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
(FGV -2022) Um equipamento possui valores nominais de potência
e tensão de e respectivamente. Os valores de
base adotados no local onde está instalado são e
 Sabe-se que a reatância desse equipamento é igual a
.
O valor da reatância para a nova base é
Vpu = 1, 2 + j0, 6 p.u.
0, 25 p.u.
12 kV 300 MVA
15 kV 100 MVA
12 kV
Xpu,nova = Xpu,a(
Vbase,a
Vbase,nova
)
2 Sbase,nova
Sbase,a
Xpu,nova = 0, 25(
12 k
15 k
)
2
100
300
Xpu,nova = 0, 053 pu
40 MVA 1000 kV ,
20 MVA
500 kV .
0, 2 p.u
A .0, 1 p.u
B .0, 2 p.u
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Nesse caso, tem-se um problema simples de mudança de base:
 é o que chamamos de base antiga, definida a partir dos
dados que não são as bases comuns
 é a tensão de base antiga
 é a potência de base antiga
Assim:
Questão 2
(FGV - 2022) Um equipamento de e e reatância
igual a (em função de seus valores nominais) está
inserido em um setor do sistema elétrico, cujas bases são iguais a
 e . O novo valor da reatância desse equipamento é
C
.0, 4 p.u
D .0, 8 p.u
E .2, 0 p.u
0, 2
1000 kV
40 MVA
Xpu,nova = Xpu,a(
Vbase,a
Vbase,nova
)
2 Sbase,nova
Sbase,a
Xpu,nova = 0, 2(
1000
500
)
2 20
40
Xpu,nova = 0, 4 p.u.
20 kV 1, 0 MVA
0, 3 p.u.
60 kV 3 MVAA .0, 05 p.u
B .0, 10 p.u
C .0, 15 p.u
D .0, 20 p.u
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Nesse caso, tem-se um problema simples de mudança de base:
 é o que chamamos de base antiga, definida a partir dos
dados que não são as bases comuns
 é a tensão de base antiga
 é a potência de base antiga
Assim:
3 - Parâmetros de linhas de transmissão
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os parâmetros da linha de transmissão.
Descrição dos parâmetros das linhas
de transmissão
Conheça neste vídeo os parâmetros das linhas de transmissão: a
resistência, a indutância e a capacitância.
E .0, 25 p.u
0, 3
20 kV
1 MVA
Xpu,nova = Xpu,a(
Vbase,a
Vbase,nova
)
2 Sbase,nova
Sbase,a
Xpu,nova = 0, 3(
20
60
)
2 3
1
Xpu,nova = 0, 099pu ≅0, 10 pu
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Linhas de transmissão
Executoras de uma importante função dentro do sistema de potência, as
linhas de transmissão transportam a energia produzida nas centrais
geradoras para o sistema de distribuição. O sistema de transmissão
brasileiro opera de forma interligada, essa é uma característica positiva
e permite melhor aproveitamento dos recursos nas diversas regiões do
país.
Recomendação
Você pode consultar a última projeção do SIN, disponibilizada pela
empresa de pesquisa energética. Nela é possível ver as linhas de
transmissão em atuação, bem como os níveis de tensão.
As linhas de transmissão possuem quatro parâmetros que podem
comprometer seu funcionamento:
Resistência
Indutância
Capacitância
Condutância
Ao projetar as linhas de transmissão, esses quatro parâmetros devem
ser cuidadosamente avaliados, pois o material utilizado como condutor
influencia diretamente na variação deles, bem como o arranjo que esse
material assumirá.
Para as análises das linhas de transmissão aéreas, objetivo deste
estudo, pode-se desprezar o efeito da condutância. Dessa forma os
parâmetros passam a ser classificados em:
Parâmetros série
Resistência e indutância.
Parâmetros shunt
Capacitância. Podem também ser chamados de paralelo ou derivação.
Uma linha de transmissão pode ser curta, média ou longa. Isso definirá
o modelo de circuito e, por consequência, impactará a precisão dos
cálculos. Um modelo não necessariamente é melhor que o outro, a
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escolha de qual utilizar depende da demanda de precisão da análise e
do tipo de estudo feito.
Tipo de linha Comprimento (I)
Curta < 80 km
Média 80 < | < 240 km
Longa > 240 km
Tabela: Tipo de linha e comprimento.
Isabela Oliveira Guimarães.
Condutores
Um aspecto importante no projeto das linhas de transmissão é a
escolha do condutor e a área transversal dele, pois são fatores que
influenciam diretamente no custo do projeto. A área da seção
transversal afeta ainda a densidade de corrente. Ao comparar materiais
como o cobre e o alumínio, com o mesmo comprimento e a mesma
resistência à passagem de corrente, observou-se um comportamento
que destaca suas diferenças:
Cobre
É mais denso e requer
estruturas mais firmes
para suportar as linhas.
Alumínio
É preciso utlizar uma
maior seção para
garantir o mesmo fluxo
de corrente, pois a
condutividade é menor.
No passado, a transmissão era feita a partir dessas linhas fabricadas
em alumínio, mas atualmente se comprovou que o custo-benefício torna
esses materiais inviáveis. Para que haja compensação e viabilidade
econômica, os cabos são fabricados a partir de encordoamentos de fios
e ainda se aplicam técnicas para torná-los múltiplos. Os condutores
encontrados nos sistemas de transmissão podem ser:
CA: condutor de alumínio puro
AAAC: condutor de liga de alumínio pura
CAA: condutores de alumínio com alma de aço
ACAR: condutores de alumínio com alma de liga de alumínio

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Veja a seguir um cabo encordoado, cuja região central, mais escura,
refere-se ao suporte mecânico e a parte externa é a seção condutora.
Cabos encordoados.
Resistência
É característica de todo condutor, ao ser percorrido por corrente,
apresentar uma resistência a ela. Grande parte das perdas na
transmissão são perdas ôhmicas. A resistência efetiva de um condutor
é dada pela seguinte equação:
Eq. 30
Em que:
: resistência efetiva
: potência dissipada
: corrente eficaz
A resistência efetiva de um condutor percorrido por corrente alternada
se refere aos parâmetros que transformam energia elétrica em calor, ou
seja, dissipam de energia. Quando um condutor é percorrido por
corrente contínua (CC), o único parâmetro que fará essa dissipação
ocorrer, é a resistência do material, já em corrente alternada existem
outros fatores, como a histerese e as correntes de Focault.
Sabe-se que a resistência em um circuito ou condutor percorrido
por CC é dada pela seguinte equação:
Eq. 31
Ref =
 Potência perdida 
|I|2
Ref
Potência perdida
I
(R)
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Em que:
: resistividade do material
: área da seção transversal do condutor
: comprimento do condutor
O cálculo da resistência CC, considerando condutores encordoados, não
é exatamente o valor obtido por meio da equação 23. Estima-se 2% de
aumento para fios concêntricos e 1% para encordoamentos a três fios.
Em condições normais, a resistência, além de variar com a disposição
dos cabos, oscilará conforme a temperatura, com um perfil linear e
modelado pela equação 32. Os dados para cálculo (condutividade e
resistividade) em geral são em função do cobre recozido. Sabe-se,
ainda, que o cobre têmpera dura possui 97,3% da condutividade desse
material, enquanto o alumínio possui 61%. Esses valores serão úteis
para a conversão de dados. Observe o gráfico de variação da resistência
com a temperatura:
Gráfico: Variação da resistência com a temperatura.
E a equação:
Eq. 32
Em que é a constante determinada pelo gráfico:
R =
ρl
A
ρ
A
l
R2
R1
=
T + t2
T + t1
T
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Material
%
Condutividade
1/p a 20 °C
234,5
Cobre
recozido
100% -
241,0
Cobre
têmpera
dura
97,3%
228,0
Alumínio
têmpera
dura
61%
Tabela: Condutividade versus temperatura.
Isabela Oliveira Guimarães.
Ainda, é a resistência para o instante em que a temperatura é ,
enquanto é a resistência no instante em que a temperatura é . A
partir da equação 32, é possível corrigir o valor de resistência
considerando as variações de temperatura.
As equações mostradas até o momento permitem fazer a correção do
valor de resistência de acordo com a temperatura, entretanto, se
desejado, a conversão entre resistência efetiva e resistência CC pode
ser efetuada a partir da relação descrita pela seguinte equação:
Eq. 33
Em que é diâmetro do condutor, e a resistência será dada em 
ou . Essa equação é válida somente para .
Efeito pelicular
O valor de resistência efetiva será o mesmo que a resistência do
condutor, quando percorrido por corrente CC, quando houver a
distribuição uniforme da corrente na superfície do condutor.
A distribuição de corrente só é uniforme quando ela é contínua. Quando
a corrente alternada percorre o condutor, sua distribuição é desigual e
dependente de variáveis como:
Campo elétrico
Frequência
Condutividade
Geometria do condutor
Nas nossas análises, estamos considerando seções transversais
circulares, portanto a intensidade de corrente depende do raio,
T
1,77 × 10−8Ωm
2, 83 × 10−8Ωm
R1 t1
R2 t2
Rf = R(0, 0038D√f + 0, 26)
D Ω/Km
Ω/m D√f > 40
18/03/2024, 23:31 Representação dos sistemas de energia elétrica
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concentrando-se na superfície do condutor e reduzindo à medida que se
desloca para o centro. Temos, então o chamado de efeito pelicular ou
efeito skin. Sendo assim:
Efeito pelicular
Provoca a redução da
área útil do condutor,
altera a indutância
interna do condutor.
Consequência
Há um aumento da
resistência do condutor
e alteração nas perdas
avaliadas.
Veja uma representação do efeito:
Efeito pelicular ou efeito skin.
Cálculo da indutância e da
capacitância
Conheça neste vídeo alguns dos aspectos construtivos das linhas de
transmissão, considerando características como cabeamento e efeito
resistivo observado.
Indutância

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Quando uma corrente variável percorre um condutor, alguns efeitos
eletromagnéticos ocorrem. Entre eles, podemos citar o aparecimento de
um campo magnético, associado a essa corrente, que também varia no
tempo, e por consequência é possível descrever a tensão induzida que
aparece devido à variação das linhas de fluxo. Se a permeabilidade do
material é constante, a indutância é constante.
A indutância é um parâmetro que com o arranjo do
cabeamento irá alterar o diâmetro do condutor e a
distância entre os condutores.
Observe agora as equações usadas para calcular as indutâncias em
diferentes cenários. Vamos lá!
Indutância de uma linha monofásica a dois �os
Considerando a imagem a seguir, em que a corrente passa pelo
condutor 1.
Linha monofásica a dois fios.
Temos a equação:
Eq. 34
Em que , que representa o raio corrigido de , o raio de um
condutor fictício. Sobre o outro valor, temos que . A
corrente retorna no condutor 2, por isso há defasamento de 180°. Para
esse condutor, temos:
L1 = 2 × 10
−7 ln(
D
r′
)
r′1 = r1e
− 14 r1
e−
1
4 = 0, 7788
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Eq. 35
A indutância total é, portanto:
Eq. 36
Indutância de uma linha monofásica a dois �os
Exemplos de condutores compostos podem ser vistos nesta imagem:
Dois condutores compostos.
Por exemplo para o fio a:
Eq. 37
Sendo o número de fios do condutor e o número de fios do
condutor .
Se a equação for aplicada para todos os condutores de , a indutância
média dos fios pode ser dada por:
Eq. 38
E a indutância do condutor composto de fios paralelos:
Eq. 39
Essa equação pode ser expandida ao substituir etc. Faça esse
exercício!
L1 = 2 × 10
−7 ln(
D
r′2
)
L = L1 + L2 = 4 × 10
−7 ln(
D
√r1r′2
)
La = 2n × 10
−7 ln
m√DaaDab′……Dam
n√r′aDabDac …Dan
n x m
y
x
Lmedia =
La + Lb + Lc + ⋯ + Ln
n
Lx =
La + Lb + Lc + ⋯ + Ln
n2
La,Lb
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Assim, temos:
Eq. 40
O numerador recebe o nome de distância média geométrica (DMG); já o
denominador, raio médio geométrico (RMG), logo:
Eq. 41
O desenvolvimento detalhado dessas equações pode ser encontrado
nos livros indicados nas referências.
Capacitância
É um parâmetro shunt ou paralelo e depende da distância dos
condutores em relação ao solo. Para as linhas curtas, esse efeito é
baixo, mas, à medida que as linhas se tornam mais longas, o efeito
capacitivo é expressivo e requer atenção.
Fique agora com as equações utilizadas para cálculo das capacitâncias
para alguns cenários.
Capacitância considerando uma linha a dois �os
Considerando dois fios posicionados paralelamente, o cálculo da
capacitância é dado a partir da equação 42, desprezando o efeito do
solo. Veja!
Linha monofásica a dois fios.
Temos a equação:
Eq. 42
Em que:
: distância entre os fios
 e : raios de cada um deles
Lx = 2 × 10
−7
mn√(Daa′Dab′…Dam) (Dba′Dbb′…Dbm) …
n√(r′aDabDac …Dan) (r′bDbaDbc …Dbn)…
Lx = 2 × 10
−7 ln
DMG
RMG
H/m
Cab =
πε
ln( D
rarb
)
F/m
D
ra rb
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: permissividade do meio
Capacitância ao neutro ou capacitância à terra
Temos a equação:
Eq. 43
Capacitância de uma linha trifásica simétrica
Considerando uma linha trifásica, com espaçamento equilátero entre os
condutores, como mostra a imagem:
Linha trifásica de espaçamento simétrico.
Temos a equação:
Eq. 44
Como observamos, é a mesma equação apresentada para dois
condutores.
Capacitância de uma linha trifásica assimétrica
Considerando uma linha trifásica, com espaçamento assimétrico entre
os condutores, como mostra a imagem:
ε
Cn =
2πε
ln ( D
r
)
F/m
Cn =
2πε
ln ( D
r
)
F/m
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Linha trifásica de espaçamento assimétrico.
Temos a equação:
Eq. 45
E:
Eq. 46
Em linhas de transmissão, um efeito não linear muito observado é o
efeito corona, que intensifica as perdas de energia e pode promover
ruídos, falhas no sistema e queda na capacidade energética. Esse efeito
é resultado de campos elétricos elevados em torno do condutor, que
emitem uma luminosidade quando as partículas são ionizadas. O efeito
pode ser minimizado, mas nunca desaparecer por completo. O efeito
corona ocorre tanto na transmissão CC quanto na CA, porém as perdas
sofrem maior impacto quando há transmissão CA.
Exemplo comentado
Acompanhe uma breve aplicação dos parâmetros da linha no cálculo da
potência transmitida por ela.
(Adaptada de FCC - 2018). Considere uma linha de transmissão
monofásica e de circuito simples, que integra um sistema de
transmissão interligado (SIN). Essa linha possui as seguintes tensões
em seus terminais: e , com defasagem entre ambos de
30 graus elétricos. A linha é ideal, possui reatância série de e
resistência série nula.
Utilizando esses dados, vamos calcular a potência ativa que trafega
nessa linha de transmissão em .
Cn =
2πε
ln( Deq
r
)
F/m
Deq =
3√D12D23D31
100 kV 110 kV
2 ohms
GW
Veja aqui a solução 
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Analisando os dados do problema, sabe-se que , pois a
resistência é nula.
Em que:
: tensão na barra de entrada
: tensão na barra de saída
: diferença angular entre as barras
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
(Consulplan - 2020). Uma linha de transmissão de energia elétrica
possui quatro parâmetros, sendo que dois deles, uniformemente
distribuídos ao longo da linha, formam a impedância em série;
assinale-os.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Uma linha de transmissão é caracterizada pelos parâmetros em
série e paralelo. Os parâmetros série são resistência e indutância,
enquanto os parâmetros shunt são capacitância e condutância. A
Z = XL
 Potência ativa  =
V1V2
X
sen (θ1 − θ2)
 Potência ativa  =
(100)(110)
2
sen(30) = 5, 5 GW
V1
V2
θ1 − θ2
A Resistência e indutância.
B Capacitância e indutância.
C Resistência e condutância.
D Resistência e capacitância.
E Capacitância e condutância.
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condutância é desprezada e a capacitância é incluída em alguns
cálculos a depender do comprimento da linha.
Questão 2
A transmissão de energia elétrica pode ser feita em corrente
contínua ou alternada. Durante a transmissão são observados
alguns efeitos particulares à característica de corrente. Assinale a
alternativa correta quanto aos efeitos promovidos no sistema.
Parabéns!A alternativa E está correta.
O efeito skin é um fenômeno físico identificado durante a
transmissão de energia em corrente alternada. Esse fenômeno faz
com que a área de condução seja reduzida, uma vez que as cargas
tendem a se concentrar na superfície do condutor.
A
O efeito skin ocorre durante a transmissão em
corrente contínua.
B
O efeito skin ocorre durante a transmissão em
corrente alternada e desloca o fluxo de cargas para
a região central do condutor.
C
O efeito skin ocorre durante a transmissão em
corrente contínua e desloca o fluxo de cargas para a
região central do condutor.
D
O efeito skin ocorre durante a transmissão em
corrente contínua e desloca o fluxo de cargas para a
superfície do condutor.
E
O efeito skin ocorre durante a transmissão em
corrente alternada e desloca o fluxo de cargas para
a superfície do condutor.
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4 - Modelo das linhas de transmissão
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar os três modelos de estudo para linha de
transmissão.
Modelagem das linhas de transmissão
Confira no vídeo as formas de se modelar as linhas de transmissão para
estudo: os modelos de linha curta, média e longa.
Representação das linhas
Confira neste vídeo os modelos de linha curta e média e suas principais
características.
Conhecidos os parâmetros das linhas, é possível representar as
relações entre tensão e corrente, considerando que a resistência, a
indutância, a condutância e a capacitância se encontram distribuídas ao
longo dela.
Modelo de linha curta
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Para a representação do modelo da linha curta, assume-se que os
parâmetros da linha são concentrados e que, para linhas com distância
inferior a , o efeito capacitivo é baixo, podendo ser desprezado.
Portanto, para o modelo de linha curta, serão considerados apenas os
efeitos da resistência e indutância ao longo do condutor.
Observe a seguir o modelo de um circuito equivalente que representa
uma linha de transmissão curta, em que a capacitância foi desprezada.
O gerador, na extremidade esquerda, é em geral modelado pela
impedância em série com a força eletromotriz do gerador.
Modelo de linha curta.
Analisando o circuito, que seria uma representação de uma fase da rede,
podemos notar:
Correntes e – são valores equivalentes às correntes na barra
transmissora , ou barra de saída, e na barra receptora , ou
barra de entrada. Os termos saída e entrada têm relação com o
sentido que a corrente flui.
Os valores e – são as tensões respectivamente nas barras
transmissora e receptora. Ainda, identificamos a impedância do
circuito (Z) composta pela resistência e reatância da linha.
Para resolver o circuito, basta aplicar a lei de Kirchhoff das tensões, em
que a soma das tensões em uma malha fechada é igual a zero. Por ser
um circuito série, as correntes e são iguais e a equação que define
a tensão na barra em função das variáveis do circuito pode ser
descrita por:
Eq. 42
Modelo de linha média
A análise de uma linha média também pode ser feita com os parâmetros
concentrados, mas o efeito capacitivo é significativo e não pode ser
desprezado como no caso das linhas curtas. As linhas médias têm
comprimento entre e e podem ser modeladas conforme
esta imagem:
80 km
Is IR
(s) (R)
Vs VR
Is IR
S
Vs = VR + IRZ
80 240 km
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Modelo de linha média.
O efeito capacitivo é representado pela capacitância shunt , que é
adicionada nas extremidades do circuito, sendo metade em cada
extremidade. É possível ver nesse circuito que o gerador é representado
pelos parâmetros da máquina, incluindo a tensão gerada por ele. Na
extremidade direita, tem-se uma carga representada por .
Quando um circuito recebe duas admitâncias,
igualmente distribuídas nas extremidades, esse
modelo passa a ser chamado de modelo PI, devido ao
seu aspecto visual. Essa modelagem é extremamente
importante para análise da rede em regime
permanente, cujos cálculos derivam desse regime.
Um primeiro aspecto para analisar e solucionar o circuito é que não se
trabalha com capacitância, e sim com reatância capacitiva ou com
admitância, que é o inverso da capacitância. Veja!
Modelo de linha média.
De circuitos elétricos, sabemos que a corrente que circula pela reatância
capacitiva pode ser descrita a partir das variáveis dadas por:
Eq. 48
Isso pois e para cada trecho, como ,
então a equação acima se aplica.
Podemos aplicar a lei de Kirchhoff dos nós para encontrar a corrente
que passa pelo ramo série.
Eq. 49
Avaliando a barra , aplicando mais uma vez a lei de Kirchhoff das
tensões, temos:
Eq. 50
(C)
ZL
I =
VR
XC
= VR
YC
2
XC = jωC C = C/2 Yc = 1/XC
VR
Yc
2
+ IR
S
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A equação 50 pode ser manipulada resultando na equação 52.
Eq. 51
Eq. 52
Diferentemente do caso anterior, para uma linha curta, e não
possuem o mesmo valor. Para encontrar o valor de , aplicamos a lei
de Kirchhoff das corretes na barra transmissora, portanto:
Eq. 53
O valor da tensão está expresso por meio da equação 52.
Substituindo na equação 53, temos a seguinte equação:
Eq. 54
Manipulando a equação 54 para melhor simplificação e apresentação
dos valores, temos:
Eq. 55
As equações para o modelo ∏ da linha podem ser representadas pela
representação geração:
Eq. 56
Eq. 57
Em que:
V s = (VR
Yc
2
+ IR)Z + VR
V s = (VR
Yc
2
Z + IRZ) + VR
V s = VR(
Yc
2
Z + 1) + IRZ
IR IS
IS
Is = Vs
Yc
2
+ VR
Yc
2
+ IR
VS
IS = (VR(
Yc
2
Z + 1) + IRZ)
Yc
2
+ VR
Yc
2
+ IR
IS = VRYc(1 +
YcZ
4
) + IR(
ZYc
2
+ 1)
V s = AVR + BIR
Is = CVR + DIR
A = ( Yc2 Z + 1)
18/03/2024, 23:31 Representação dos sistemas de energia elétrica
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Modelo de linha longa
Conheça neste vídeo o modelo representativo para a linha longa, com
destaque para as diferenças em relação aos demais modelos, e
conheça ainda o circuito equivalente.
O modelo da linha longa é o último modelo utilizado para representar as
linhas de transmissão. É o mais preciso e detalhado entre os três, pois
os modelos da linha curta e ∏ representam parâmetros concentrados,
enquanto o modelo de linha longa distribui os parâmetros ao longo da
linha.
Vamos analisar o seguinte circuito:
Modelo de linha longa.
Note que os parâmetros não são representados, uma vez que não há
concentração deles, portanto a inclusão será feita nos cálculos.
Se tomarmos para análise uma pequena fração da linha e calcularmos
para essa fração a tensão e corrente nas extremidades, assumiremos
que a distância entre a barra receptora e o elemento é , e o
comprimento do elemento é . Como esse elemento tem um
comprimento e a impedância é parâmetro distribuído, isto é, varia
conforme a distância/comprimento, pode-se dizer que a impedância
série é:
Eq. 58
Por outro lado, a admitância em derivação é dada por:
Eq. 59
B = Z
C = Yc (1 +
YcZ
4 )
D = ( ZYc2 + 1)
x
Δx
zs = zΔx
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As equações 58 e 59 distribuem o valor do elemento e não mais
consideram sua concentração.
Olhando para a representação do sistema na imagem, do lado direito, no
sentido da carga, a tensão no terminal do elemento é ; já do lado
esquerdo, no sentido da barra transmissora, a tensão terminal é
. Note que há elevação de tensão em , e esse
comportamento é explicado pelo crescimento de no sentido da barra
receptora para transmissorae no sentido da circulação de corrente.
Assim a queda de tensão que define a elevação no sentido no gerador é
dada por:
Eq. 60
Eq. 61
Eq. 62
A partir da equação 62, é possível perceber que se a parcela de linha for
muito pequena, , os conceitos de limites e derivadas são
passíveis de aplicação e podemos dizer que:
Eq. 63
Essa análise feita para a tensão pode ser aplicada à corrente que circula
pela componente amostrado. O valor de corrente na extremidade
esquerda, sentido gerador para carga, é , enquanto na
extremidade direita, sentido carga, é . Há uma diferença entre as
correntes que entram e saem pelo trecho é , e esse valor é descrito
por . O valor da corrente pode ser modelado por meio do elemento
shunt, como mostra a equação 65.
Eq. 64
Eq. 65
Mais uma vez, se manipularmos a equação 65 e fizermos , é
possível aplicar os conceitos de limites e derivadas, resultando na
equação 67.
ysh = yΔx
Δx V
V + ΔV ΔV
x
V + ΔV − V = IzΔx
ΔV = IzΔx
ΔV
Δx
= Iz
Δx → 0
dV
dx
= Iz
Δx
I + ΔI
I
Δx
ΔI
V = ΔI/yΔx
ΔI = V yΔx
Δx → 0
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Eq. 66
Eq. 67
Nesse momento, tanto a equação que modela a tensão quanto a
equação que modela a corrente estão descritas a partir de derivadas.
Derivando ambos os lados das equações 63 e 67 em , temos:
Eq. 68
Eq. 69
Da equação 67 obtemos o valor , que pode ser substituído na
equação 68. Logo:
Eq. 70
Da equação 63 obtemos o valor de , que pode ser substituído na
equação 69. Assim:
Eq. 71
A solução detalhada dessas equações é feita por equações diferenciais
e resulta no seguinte perfil:
Eq. 72
Para encontrar o valor de basta derivar a solução de em ,
resultando na equação seguinte:
Eq. 73
ΔI
Δx
= V y
dI
dx
= V y
x
d2V
dx2
= Z
dI
dx
d2I
dx2
= y
dV
dx
dI
dx
d2V
dx2
= yzV
dV
dx
d2I
dx2
= yzI
V = A1e√
yzx + A2e
−√yzx
I V x
I =
1
√z/y
A1e
√yzx −
1
√z/y
A2e
−√yzx
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As variáveis e , que são as constantes, podem ser obtidas da
seguinte forma:
Admite-se que .
Admite-se que a tensão , na extremidade direita do trecho, é igual
à tensão na barra receptora .
Admite-se que a corrente que sai do trecho é igual à corrente
receptora, logo .
Para encontrar e , utilizaremos a equação 72, substituindo os
valores de e , assim:
Eq. 74
Fazendo o mesmo na equação 73, temos:
Eq. 75
A relação passa a ser chamada de , que é a impedância
característica da linha. Assim, temos que:
Eq. 76
Eq. 77
As equações 72 e 73 podem ser reescritas em:
Eq. 78
Eq. 79
Sendo que modela a constante de propagação.
Os valores e que descrevem a constante de propagação e a
impedância característica são valores complexos. pode ser descrito
desta forma:
A1 A2
x = 0
V
VR
Δx
I = IR
A1 A2
x V
VR = A1 + A2
IR =
1
√ zy
(A1 − A2)
√ zy zc
A1 =
VR + IRzc
2
A2 =
VR − IRZc
2
V =
VR + IRzc
2
eγx +
VR − IRzC
2
e−γx
I =
VR
zc
+ IR
2
eγx −
VR
zc
+ IR
2
e−γx
γ = √yz
γ zc
γ
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Eq. 80
Em que:
: parte real, conhecida como constante de atenuação e medida
em nepers por comprimento (a depender da unidade usada).
: constante de fase, medida em radianos por comprimento (a
depender da unidade usada).
Voltando às equações de tensão e corrente (78 e 79), temos que:
Eq. 81
Eq. 82
Com as novas expressões para corrente e tensão, é possível ver que
essas também são fatoriais, como esperado. À medida que há variação
no comprimento, ou seja, varia, há variação na amplitude, que é
multiplicada por e na fase . A primeira parcela da equação
mostra que há crescimento da amplitude com a distância, e recebe o
nome de tensão incidente. Já o segundo termo reduz a amplitude e
atrasa na fase, observe os sinais, e por isso recebe o nome de tensão
refletida.
Em oposição à análise feita, se for considerado , o comportamento é
contrário e há queda da amplitude e redução/atraso na fase no primeiro
termo e aumento da tensão e fase no segundo termo.
Atenção!
Uma linha plana ou infinita é aquela conectada à sua impedância
característica, não havendo, nesse caso, ondas refletidas de corrente e
de tensão. Isso pode ser observado em linhas de comunicação.
O comprimento da onda é dado por:
Eq. 83
Sabendo que é a relação entre velocidade e frequência da propagação
da onda, tem-se que a velocidade é dada por:
Eq. 84
γ = α + jβ
α
β
V =
VR + IRzc
2
eαxejβx +
VR − IRzc
2
e−αxe−jβx
I =
VR
zc
+ IR
2
eαxejβx −
VR
zc
+ IR
2
e−αxe−jβx
x
eαx ejβx
Vs
λ =
2π
β
λ
velocidade = fλ
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Equação hiperbólica para a linha longa
Nas análises anteriores, foram propostas equações que modelam a
linha de transmissão caracterizada como longa. Nesse modelo, faz-se
necessário o cálculo das ondas incidentes e refletidas para as correntes
e tensões que propagam pelo sistema. Porém esse tipo de análise não é
muito utilizado, em geral esse conhecimento faz parte da consolidação
dos efeitos e fenômenos que ocorrem na rede e facilitam o
entendimento de alguns resultados.
Para cálculos, a formulação matemática gira em torno do modelo
conhecido por modelo hiperbólico da linha longa. Portanto, define-se
seno e cosseno hiperbólico a partir das seguintes equações:
Eq. 85
Eq. 86
Voltando às equações de tensão e corrente, reapresentadas a seguir, os
termos exponenciais serão substituídos por funções hiperbólicas,
resultando nas equações 87 e 88:
Eq. 87
Eq. 88
Caso de análise: 
Para , a tensão e . Portanto:
Eq. 89
Eq. 90
senh =
eθ − e−θ
2
cosh =
eθ + e−θ
2
V =
VR + IRzc
2
eγx +
VR − IRzc
2
e−γx
I =
VR
zc
+ IR
2
eγx −
VR
zc
+ IR
2
e−γx
V = VR coshxγ + IRzc senhxγ
I = IR coshxγ +
VR
zc
senhxγ
x = 1
x = 1 VS = V VS = I
Vs = VR cosh γl + IRzc senh γl
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Em linhas trifásicas, utilizamos os valores de tensão de fase e corrente
de linha para resolver os problemas. Vale lembrar que é um número
complexo, então ainda temos funções complexas, o que é característico,
já que temos correntes e tensões alternadas. Existem várias formas de
resolver funções hiperbólicas, mas obviamente com o advento
tecnológico isso pode facilmente ser resolvido por um computador.
Circuito equivalente para a linha longa
Podemos obter um circuito equivalente para a linha longa a partir dos
parâmetros concentrados já apresentados. Na equação 52 do modelo
da linha média, temos:
Fazendo:
Temos:
Eq. 91
Fazendo com que a equação 91 fique igual à equação 89, que é o
modelo da linha longa, temos:
Eq. 92
Fazendo :
Eq. 93
Expandindo, temos:
Eq. 94
Is = IR cosh γl +
VR
zc
senh γl
γ
V s = VR(
Yc
2
Z + 1) + IRZ
Z = Z ′
Yc
2
=
Y ′c
2
V s = VR(
Yc′
2
Z ′ + 1) + IRZ ′
Z ′ = Zc senh γl =
zl senh γl
√zyl
Z = zl
Z ′ =
Z senh γl
γl
Yc′Z
′
2
+ 1 = cosh γl
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Substituindo na equação, temos:
Eq. 95
Temos:
Eq. 96
Logo, o circuito pode ser representado a partir dos parâmetros da linha
longa. Confira!
Equivalente da linha longa.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
(Adaptada de IFTO - 2016) Uma linha de transmissão pode ser
representada mediante os parâmetros concentrados de acordo com
o modelo PI, conforme mostra o circuito abaixo:
Considere e Is tensão e corrente por fase no lado do
transmissor, e tensão e corrente por faseno lado do receptor
e e impedância e admitância da linha de transmissão. Qual
expressão pode determinar a tensão ?
Z ′
Y ′c
2
=
cosh γl − 1
zc senh γl
cosh γl − 1
zc senh γl
= tanh
γl
2
Vs
Vr Is
Z Y /2
Vs
A
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Para encontrar a expressão, primeiro faz-se e aplica-se a lei
de Kirchhoff das tensões. Em seguida faz-se a mesma análise para
 e aplica-se novamente a lei de Kirchhoff das tensões.
Assim, tem-se que:
Questão 2
(Cesgranrio - 2012) As equações gerais para linhas de transmissão
em corrente alternada, senoidal, em regime permanente, são
utilizadas nas análises de transmissão de energia elétrica em
sistemas elétricos de potência. A análise com parâmetros
distribuídos é comumente empregada em linhas de transmissão
longas e quando na determinação das tensões e correntes das
linhas em pontos específicos de interesse.
Considere:
 a distância da linha de transmissão a partir de seu terminal
receptor.
 e a tensão fase-neutro e a corrente de linha no
ponto de interesse, respectivamente.
 e a tensão fase-neutro e a corrente de linha no terminal
receptor, respectivamente.
 a impedância característica da linha.
 a constante de propagação da linha de transmissão.
Qual a equação matricial que define o quadripolo relativo às
equações gerais para linhas de transmissão com parâmetros
Y (1 + ZY4 )Vr + (1 +
ZY
2 )IR
B Y (1 + ZY2 )Vr + (1 +
ZY
4 )IR
C Y (1 + ZY2 )Vr + ZIR
D Y (1 + ZY2 )Vr + Y IR
E Y (1 + ZY4 )Vr + (
Y
2 )IR
IR = 0
IS = 0
V s = VR(
Yc
2
Z + 1) + IRZ
x
V (x) I(x)
x
Vr Ir
Zc
y
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distribuídos?
Parabéns! A alternativa A está correta.
Analisando as equações que modelam o problema utilizando a linha
longa, tem-se que:
Esses valores podem ser facilmente colocados em uma matriz
onde:
Considerações �nais
O entendimento dos elementos que compõem o sistema de potência e
da forma correta de representá-los faz parte da análise adequada do
sistema elétrico. Neste conteúdo foram apresentados os
A [ ] = [ ] [ ]
V (x)
I(x)
cosh(γx) ZC senh(γx)
1
ZC
senh(γx) cosh(γx)
Vr
Ir
B [ ] = [ ] [ ]
V (x)
I(x)
cosh(γx) 1
ZC
senh(γx)
ZC senh(γx) cosh(γx)
Vr
l
C [ ] = [ ] [ ]
V (x)
I(x)
1
ZC
senh(γx) cosh(γx)
cosh(γx) ZC senh(γx)
Vr
Ir
D [ ] = [ ] [ ]
V (x)
I(x)
ZC senh(γx) cosh(γx)
cosh(γx) 1ZC senh(γx)
Vr
4
E [ ] = [ ] [ ]
V (x)
I(x)
senh(γx) 1
ZC
cosh(γx)
ZC cosh(γx) senh(γx)
Vr
Ir
Vs = VR cosh γl + IRzc senh γl
Is = IR cosh γl +
VR
Zc
senh γl
[ ] = [ ] [ ]
Vs
Is
cosh γl Zc senh γl
1
Zc
senh γl cosh γl
VR
IR
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transformadores e geradores de energia, parte importante do sistema
elétrico, com ênfase na forma representativa dessas máquinas dentro
do sistema. Ainda, foi descrito o sistema por unidades, cuja
implementação torna a análise do sistema mais simples. Discutiu-se
também sobre os parâmetros das linhas de transmissão, mencionando
equações específicas para cálculo dessas grandezas. Por fim, a junção
dessas informações permitiu modelar o sistema mediante modelos de
linha curta, média e longa.
Podcast
Ouça e tenha mais informações sobre a representação dos sistemas de
energia elétrica. Entenda o conceito de máquina síncrona,
transformadores e grandezas em p.u. Além disso, conheça a função das
linhas de transmissão, os parâmetros fundamentais para os cálculos em
projetos e os modelos de linhas.

Explore +
Para conhecer mais as características do sistema elétrico brasileiro,
acesse a página do Operador Nacional do Sistema Elétrico.
Referências
ELGERD, O. I. Introdução à teoria de sistemas de energia elétrica. São
Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1976.
FITZGERALD, A. E.; KINGSLEY JUNIOR, C.; UMANS, S. D. Máquinas
elétricas. 7. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
STEVENSON, W. D. Elementos de análise de sistemas de potência. São
Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1974.
ZANETTA JUNIOR, L. C. Fundamentos de sistemas elétricos de
potência. São Paulo: Livraria da Física, 2006.
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