Cálculo I Gabarito Lista 5

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Gabarito Lista 5
Exerc´ıcio 1. Os pontos B e C devem estar a 925m de distaˆncia um do outro.
Exerc´ıcio 2. Sejam x e y nu´meros reais tais que x ≤ y e x + y = 4. Logo,
y = 4−x. Queremos saber qual valor de xminimiza a func¸a˜o f(x) = x3+(4−x)2.
Temos f ′(x) = 3x2 + 2x − 8. Os pontos cr´ıticos de f sa˜o x = −2 e x = 4
3
. O
ponto x =
4
3
e´ minimante de f . Logo, os nu´meros procurados sa˜o
4
3
e
8
3
.
Exerc´ıcio 3. Soluc¸a˜o:
a)
(3
2
,−1
4
)
e´ ponto de mı´nimo.
b) (e, e−1) e´ ponto de ma´ximo.
c)
(pi
4
,
√
2
)
e´ ponto de ma´ximo e
(
− 3pi
4
,−
√
2
)
e´ ponto de mı´nimo.
d) (0, 0) e´ ponto de mı´nimo.
e) (−2,−2) e´ ponto de mı´nimo.
f) f na˜o possu´ı extremos.
Exerc´ıcio 4. Soluc¸a˜o:
a) x < 1⇒ CV B
x > 1⇒ CV C
(1,−11) e´ ponto de inflexa˜o.
b) x > 0⇒ CV C
A func¸a˜o na˜o possu´ı pontos de inflexa˜o.
c) x < 1⇒ CV B
x > 1⇒ CV C
(1, e−2) e´ ponto de inflexa˜o.
d) t < −1⇒ CV C
−1 < t < 0⇒ CV B
t > 0⇒ CV C
(−1, 0) e´ ponto de inflexa˜o.
e) −pi < x < −3pi
4
⇒ CV B
−3pi
4
< x <
pi
4
⇒ CV C
pi
4
< x < pi ⇒ CV B(
− 3pi
4
, 0
)
e
(pi
4
, 0
)
sa˜o pontos de inflexa˜o.
1
Exerc´ıcio 5. f ′(x) = 3ax2 + 2bx + c e f ′′(x) = 6ax + 2b. Logo, o u´nico
candidato a ponto de inflexa˜o de f e´ o ponto de abscissa x = − b
3a
. Podemos
escrever f ′′(x) = 6a
(
x+
b
3a
)
. Assim, temos:
x < − b
3a
⇒ CV B
x > − b
3a
⇒ CV C
Logo, o ponto de abscissa x = − b
3a
e´ o u´nico ponto de inflexa˜o de f .
Exerc´ıcio 6. Soluc¸a˜o:
a)
2
b)
c)
d)
3
e)
4