Cálculo I Lista 3

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Lista 3 - Me´todos Matema´ticos em Biologia I
Exerc´ıcio 1. (Teorema do Ponto Fixo) Seja f : [0, 1] → [0, 1] uma func¸a˜o
cont´ınua. Mostre que f tem um ponto fixo, isto e´, existe a ∈ [0, 1] tal que
f(a) = a.
(Dica: suponha que 0 e 1 na˜o sa˜o fixos e use o TVI para encontrar um zero de
g(x) = f(x)− x).
Exerc´ıcio 2. Verifique se existe f ′(1), onde:
f(x) =
 x− 1, se x ≤ 1x2
3
− 1
3
, se x > 1
Exerc´ıcio 3. Ache a func¸a˜o derivada das seguintes func¸o˜es:
a) y = x6 − 3x3 + 5x− 1
b) y =
pi
x
+ ln 3
c) y = x
√
x2 + 1
d) y = sen(2x+ 2)
e) y = ex · cosx
f) y =
√
5x
g) y =
x3
1 + x
h) y = 3ln2x
i) y = sen3x+ cos2x
j) y = 3tgx
k) y = tg2x
l) y = 3
√
x2 + 3x
m) y =
ex + 1
x− 2
n) y =
senx
x
o) y =
1
2x
1
Exerc´ıcio 4. Uma part´ıcula move-se sobre uma reta de tal forma que apo´s t
segundos ela esta´ a s = 3t2 + t metros de sua posic¸a˜o inicial.
a) Ache a velocidade me´dia da part´ıcula no intervalo [1, 2].
b) Ache a velocidade instantaˆnea em t = 1.
Exerc´ıcio 5. Dado que a reta tangente a y = f(x) no ponto (−1, 3) passa pelo
ponto (0, 4), ache f ′(−1).
Exerc´ıcio 6. Dado que f(3) = −1 e f ′(3) = 5 ache uma equac¸a˜o para a reta
tangente ao gra´fico de y = f(x) em x = 3.
Exerc´ıcio 7. Dado que a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = f(x) no
ponto (2, 5) e´ y = 3x+ 1, determine f ′(2).
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