Apostila de Tópicos de Matemática - Eng. Básico UNIP

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TÓPICOS DE 
REVISÃO DA 
 
PROF
UNIVERSIDADE 
NOTAS DE AULA 
 
 
ÓPICOS DE MATEMÁTICA
DA MATEMÁTICA BÁSICA E FUNÇÕES
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ROF. LUIZ CARLOS MARTINS JR 
ENGENHARIA BÁSICA 
NIVERSIDADE PAULISTA (UNIP) 
2016 
ATEMÁTICA 
E FUNÇÕES 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 1 
Tópicos de Matemática 
Conteúdo programático: 
 Matrizes: Definição. Operações com matrizes. Matrizes inversas. Aplicações de Matrizes. 
 Sistemas Lineares: Classificação. Resolução. Sistemas por escalonamento. Aplicações de sistemas lineares. 
 Funções: Domínio e Imagem. Função Linear. Função do 1º grau. Função do 2º grau. Função exponencial. Função 
logarítmica. Funções Trigonométricas. Aplicações das funções em problemas e análise de gráficos. 
 Áreas de Figuras Planas: Quadrado, Retângulo, Paralelogramo, Triângulo, Trapézio, Losango, Círculo e Setores 
Circulares. 
 Volume e área da superfície de figuras espaciais: Prismas, Paralelepípedos, Pirâmides, Cilindros, Cones e Esferas. Bibliografia Básica. 
 KOLMAN, B. e HILL, D. R. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. Rio de Janeiro, LTC – Livros Técnicos e Científicos 
Editora S.A., 2006. 
 HOFFMANN L.D. e BRADLEY G.L., Cálculo – Um curso moderno e suas aplicações. 7ª edição, Rio de Janeiro, LTC – Livros 
Técnicos e Científicos Editora S.A., 2002. 
 Boulos, P. Cálculo Diferencial e Integral, volume 1. Makron Books (Grupo Pearson), 1999. Bibliografia Complementar. 
 STEWART, J. Cálculo, v.1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. 
 Edwards e Penney. Cálculo com Geometria Analítica, volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 2005. 
 RICH, B. Geometria Plana. São Paulo, Bookman Companhia Editora. 2003. 
 KREYSZIG E., Matemática Superior para a Engenharia, volume 1, Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
 LAY, D. C. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 1999. Dicas: 
 Evite faltar e evite chegar atrasado nas aulas. 
 Estude a matéria dada TODAS as semanas e evite estudar de última hora (é suicídio!) 
 Estudo, preferencialmente, em grupo. 
 Pegue LIVROS na biblioteca. É melhor estudar com um livro. 
 A internet é uma boa fonte de material para estudo. Mas CUIDADO! Tem muita porcaria também. Você encontrará 
alguns bons vídeos no youtube. Porém, é melhor estudar com um livro!!!! 
 Como está sua MATEMÁTICA BÁSICA? Lembre-se que você esta fazendo um curso superior de ENGENHARIA! 
 Se sua matemática básica não está boa (nem regular!) então você está, infelizmente, como a maioria da população 
brasileira. Reserve um tempo na semana pra rever a matemática básica a partir da 5a série (6º ano). É sério!!!!!! MUITO 
SÉRIO!!!!!!!!! 
 Estudo requer planejamento, organização e disciplina para obter resultados. Mas lembre-se que tais resultados virão 
lentamente. Por isso, tenha PACIÊNCIA e PERSEVERÂNÇA. Quem aprende é o aluno. Não é o professor quem ensina. 
 Ouça e coloque em prática as dicas dos seus professores (eles já foram alunos e têm muito mais experiência que você 
nesse assunto!) 
 Tenha uma boa calculadora científica. Recomendo a Casio fx82-MS (ou similar) pois é uma boa calculadora a um preço acessível. 
 
 
 
 
 
"A verdadeira dificuldade não está em aceitar ideias novas, mas em escapar das antigas." John Maynard Keynes (economista britânico / 1883 - 1946) 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 2 
Revisão 
Revisão 1 (Operações com números racionais) 
Conjunto dos números naturais: ℕ = {0,1,2,3,4,5, … } 
Conjunto dos números inteiros: ℤ = {… , −5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5, … } 
Conjunto dos números racionais: ℚ = ቄ௔௕ : ܽ, ܾ߳ℤ ݁ ܾ ≠ 0ቅ. 
Na fração ௔௕ , o número inteiro a é chamado numerador e número inteiro b de denominador, com 0b . Se essa fração não pode mais ser simplificada então dizemos ser uma fração irredutível. Exemplos: ଶଷ e ଼ଵହ são frações irredutíveis, mas ସ଺ não é. 
Observação: A fração ଴ହ tem o mesmo valor que 0. A fração ହ଴ não existe, enquanto que ଴଴ é chamada de indeterminação. 
Definições 
 Igualdade: ௔௕ = ௫௬ ↔ ܽݕ = ܾݔ ; Exemplo: ଶଷ = ଺ଽ pois 2 ∙ 9 = 3 ∙ 6 
 Adição: ௔௕ + ௫௬ = ௔௬ା௫௕௬ ; Exemplo: ଷହ + ଵ଻ = ଷ∙଻ାଵ∙ହହ∙଻ = ଶ଺ଷହ 
 Subtração: ௔௕ − ௫௬ = ௔௬ି௫௕௕௬ ; Exemplo: ଷହ − ଵ଻ = ଷ∙଻ିଵ∙ହହ∙଻ = ଵ଺ଷହ 
 Multiplicação: ௔௕ ∙ ௫௬ = ௔∙௫௕∙௬ ; Exemplo: ଷହ ∙ ଵ଻ = ଷ∙ଵହ∙଻ = ଷଷହ 
 Divisão: ௔௕ ÷ ௫௬ = ௔௕ ∙ ௬௫ = ௔௬௕௫ ; Exemplo: ଷହ ÷ ଵ଻ = ଷହ ∙ ଻ଵ = ଷ∙଻ହ∙ଵ = ଶଵହ 
 Fração inversa: ቀ௔௕ቁିଵ = ௕௔ ; Exemplo: ቀଷହቁ
ିଵ = ହଷ 
 Potência: ቀ௔௕ቁ௡ = ௔೙௕೙ , onde n é um número natural. OBS: ቀ௔௕ቁ଴ = 1 desde que ܽ ≠ 0 ݁ ܾ ≠ 0. 
Exercícios em aula 
1) Assinale a alternativa que representa uma fração equivalente a ଻ଵଷ. 
a) ଵଷଵଶସହ b) ଵଷଵଶଷଽ c) ଷହଽ଺଺଻ d) ଺ଷ଻ଵଵ଼ଷ e) ଺଻ଷଵଶହ଴ 2) Calcule: 
a) ଻଺ + ଵଽ଺ 
b) ଷ଻ + ସହ 
c) ହସ + ଻଺ 
d) ଷଶ − ଺଻ 
e) ସ଻ × ଷହ 
f) ଵଶହ ÷ ସଵହ 
g) ቀ ଷଵସ ∙ ଶଵଵହ + ଺ଷହ ∙ ଵହ଼ ቁ ÷ ଵ଻ସଷହ 
3) Resolva: 
a) ଻௫ିଶ = ଷଵି௫ b) 54453 12 xx 
c) 11 381352
 

 

 x 
d) 15252132   x 
Respostas 
1) D 
2) a) ଵଷଷ b) ସଷଷହ c) ଶଽଵଶ d) ଽଵସ e) ଵଶଷହ f) 9 g) ଵ଼ 
3) a) ݔ = ଵଷଵ଴ b) 2 c) ݔ = ଵଷହଵ଺ d) ݔ = ଵହଵସ 
Tópicos de Matemática Revisão 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP 3 
Revisão 2 (Potenciação) 
Definição: Seja a um números real e n um número inteiro maior que 1. Então 
 fatores n
n aaaa  . 
Nomenclatura: Na potência na , chamaremos ܽ de base e ݊ de expoente. 
Exemplos: 
 322222225  
 16222224  
 822223  
 42222  
 ?21  
 ?20  
 ?2 1  
 ?2 2  
Por definição temos que: ቐ
ܽଵ = ܽ ܽ଴ = 1 (ܽ ≠ 0)
ܽି௡ = ଵ௔೙ (ܽ ≠ 0)
  
Logo, 221  , 120  , 212 1  e 41212 22  . 
Importante: Não está definido o símbolo 00 pois este é uma das formas de indeterminação. Se necessário for, por 
definição (e por conveniência algébrica), podemos definir 0଴ = 1. 
Propriedades das potências 
 nmnm aaa  Ex.:     743 2222222222  ou 74343 2222   
 nmn
m aa
a  Ex.: 235 333333 3333333   ou 2353
5 333
3   
   mnnm aa  Ex.:               622232 33333333333  ou   63232 333   
 n
nn
b
a
b
a 

 Ex.: 44
4
3
2
3333
2222
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2  









 ou 44
4
3
2
3
2 

 
   nnn baba  Ex.:         333 7577755575757575  ou   333 7575  
Revisão 3 (Radiciação) 
Definição:  Para n inteiro positivo ímpar .abba nn  
  Para n inteiro positivo par .0,0,  baabba nn 
Exemplos:  283   283   3273   3273  
 √16ర = 2  42564  √−16ర não existe  √16 = ±4 (falso!) 
Nomenclatura: Na raiz n a chamamos n de índice do radical e a de radicando. 
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Propriedades: Sejam 0, ba . 
 nnn baba  Exemplo: 333 842  
 nnn baba  Exemplo: 216232232 444
4  
   n mmn aa  Exemplo:   33 223 422  
 mnn m aa  Exemplo: 12433 4 222   
 pn pmn m aa   Exemplo: 332 46 4416   
 √ܽ௡೙ = ܽ para ݊ ímpar Exemplo: √ݔହఱ = ݔ 
 √ܽ௡೙ = |ܽ| para ݊ par Exemplo: √ݔଶ = |ݔ| 
Importante: As propriedades listadas acima só valem para o caso do radicando ser maior ou igual a zero. Se o 
radicando for negativo, o uso das propriedades acima pode nos levar a contradições. Por exemplo: 
  264882 623 23   , (− 2 = 2 ? ? ? ? ) 
Potência de expoente racional: ܽ ೙೘ = √ܽ௡೘ onde a é não negativo e n é inteiro positivo. Em particularܽ భ೘ = √ܽ೘ 
Exemplos: 25భమ = √25 = 5 ; 8మయ = √8ଶయ = √64య = 4 
Exercícios em aula 
4) Calcule: 
a) ( 17342 x 4773) ÷ (17340 x 4774) 
b) xx  1 11 1 
c)       2122 333,0 
d) 51 3251 32  
e) 324134 821168 
 
5) Qual a ordem crescente dos números 43 7,5,3 ? (Não use calculadora!) 
Respostas 
4) a) ଶ଼ଽସ b) − ଶ௫ିଵ c) ଵ଼ଶଽ d) √ଷାଶ√ହଶ e) − ଶଷଵ଺ 
5) √7ర < ඥ5 < √3య 
Revisão 4: Equação do 1º grau. Equação do 2º grau. 
 Equação: é uma expressão matemática contendo uma igualdade. 
Equação do 1o grau: é uma equação que pode ser escrita na forma ܽݔ + ܾ = 0 com ܽ ≠ 0. 
Raiz: ݔ = − ௕௔ 
Equação do 2o grau: é uma equação que pode ser escrita na forma: ܽݔଶ + ܾݔ + ܿ = 0 onde ܽ ≠ 0. 
Raízes (Fórmula de Báskara): ݔ = ି௕ ± √∆ଶ௔ onde ∆ = ܾଶ − 4ܽܿ é chamado discriminante. 
Tópicos de Matemática 
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OBS: Se ∆ > 0 então a equação tem 2 raízes reais de distintas
 Se ∆ = 0 então a equação tem somente 1 raiz (de multiplicidade 2)
 Se ∆ < 0 então a equação não tem raízes reais (as raízes são complexas e conjugadas).
Exercícios em aula 
6) Resolva: 
a. 54453 12 xx 
b. 4 13  xx c. 2xଶ − 4x = −xଶ + 2 
d. ଶ୶ାଵ୶ାଶ = ୶ାହ୶ାଷ 
e. ୶ଵା୶ + ୶ିଶ୶ = 1 
7) Se 257 

xx
xx
ee
ee calcule xe . 
8) Se você adicionar um número inteiro, diferente de zero, ao seu inverso multiplicativo, vai obter 
número é esse? 
9) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um destes tirou para si metade dos 
bombons da caixa. Mais tarde o outro
caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa.
a. 18 
b. 5 
c. 40 
d. 15 
e. 23 
10) Um terreno de forma quadrada foi reduzido para dar lugar a uma calçada com 3m de largura. No fin
área passou a ter 625m2. Qual era a medida do lado do quadrado original?
Respostas 
6) a) ݔ = 2 b) ݔ = 3 c) ݔ = ଶଷ ±
7) ݁௫ = ସଷ 8) 3 
9) c 
10) 31 metros 
 
“Tolice é fazer sempre as coisas do mesmo modo e esperar resultados 
 
Exercícios propostos 
1) O conjunto solução da equação ୶ାଵ୶ −a) {-2} 
b) {8} 
c) d) {3,2} 
e) {1} 
 
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então a equação tem 2 raízes reais de distintas 
então a equação tem somente 1 raiz (de multiplicidade 2) 
então a equação não tem raízes reais (as raízes são complexas e conjugadas).
Se você adicionar um número inteiro, diferente de zero, ao seu inverso multiplicativo, vai obter 
Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um destes tirou para si metade dos 
bombons da caixa. Mais tarde o outro menino também tirou para si metade dos bombons que encontrou na 
caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa.
Um terreno de forma quadrada foi reduzido para dar lugar a uma calçada com 3m de largura. No fin
. Qual era a medida do lado do quadrado original? 
± ଵଷ √10 d) ݔ = ±√7 e) ݔ = 1 ± √3 
“Tolice é fazer sempre as coisas do mesmo modo e esperar resultados 
− ହ୶ିଶ = 2 é 
 Revisão 
SP 5 
então a equação não tem raízes reais (as raízes são complexas e conjugadas). 
Se você adicionar um número inteiro, diferente de zero, ao seu inverso multiplicativo, vai obter ଵ଻ସ . Que 
Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um destes tirou para si metade dos 
menino também tirou para si metade dos bombons que encontrou na 
caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa. 
Um terreno de forma quadrada foi reduzido para dar lugar a uma calçada com 3m de largura. No final, sua 
“Tolice é fazer sempre as coisas do mesmo modo e esperar resultados diferentes.” 
Albert Einstein 
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2) Se ݔ(1 − ݔ) = ଵସ, então: 
a) ݔ = ଵଶ b) ݔ = 1 
c) ݔ = ଵସ d) ݔ = 0 
e) ݔ = ଵ଼ 
3) Se ௫ିଶ௬ = 4 e ݕ − 1 = 0, então ݔ é igual a a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) n.d.a 
4) Para realizar a transmissão da Copa do Mundo uma emissora de rádio organizou um pool de empresas 
patrocinadoras, com cotas de US$400.000 cada uma. Após este acordo, duas delas decidiram que o investimento 
era grande demais para seus portes e rescindiram o contrato. As outras participantes decidiram ratear o 
montante entre si, cabendo a cada uma mais US$160.000. Quantas empresas compunham o pool inicial? Qual o 
valor total do patrocínio? 
a) 6 ; US$2.800.000 
b) 7; US$2.800.000 
c) 6; U$2.600.000 
d) 2; U$2.800.000 
e) 7; U$2.400.000 
5) Um indivíduo fez uma viagem de 630 km. Teria gasto menos quatro dias se tivesse caminhado mais 10 km por 
dia. Quantos dias gastou na viagem e quantos quilômetros caminhou por dia? 
a) 18 dias; 25km 
b) 16 dias, 32km 
c) 18 dias; 35km 
d) 17 dias; 35km 
e) 19 dias; 28km 
6) Uma pessoa gasta 1/3 do dinheiro que tem; em seguida gasta 3/4 do que lhe sobra. Sabendo-se que ainda ficou 
com R$12,00, podemos afirmar que tinha inicialmente: 
a) menos do que R$50,00. 
b) mais do que R$80,00. 
c) mais do que R$100,00. 
d) menos do que R$90,00. 
e) R$90,00. 
7) Roberto disse a Valéria: "pense um número; dobre esse número; some 12 ao resultado; divida o novo resultado 
por 2. Quanto deu?" Valéria disse "15", ao que Roberto imediatamente revelou o número original que Valéria 
havia pensado. Calcule esse número 
a) 3 
b) 7 
c) 4 
d) 9 
e) 2 
8) Uma sorveteria tem um custo fixo mensal de R$2.000,00 (custo este que engloba o aluguel, salários e outras 
despesas que independem da quantidade produzida). Sabendo-se que o custo da fabricação de cada sorvete é 
Tópicos de Matemática 
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de R$2,50 e o preço de venda por unidade é R
mensalmente para não haver prejuízo?
a) 400 
b) 500 
c) 600 
d) 700 
e) 800 
9) Em ℕ, o produto das soluções da inequação 
a) maior que 8. 
b) 6 
c) 2 
d) 1 
e) 0 
10) Qual o conjunto solução da seguinte inequação?
a) {x R | − 2 < ݔ < 1} b) {x R | − 5 < ݔ < 2} c) {x R | − 2 < ݔ < 2} d) {x R | 1 < ݔ < −2} e) {x R | − 3 < ݔ < 1} 
11) Durante a discussão da reforma do sistema previdenciário, na década de 1990, aventou
adotada a chamada "fórmula 95". Segundo ela,os tr
do número de anos trabalhados com a idade do trabalhador fosse igual a 95. Com que idade poderia aposentar
se uma pessoa que tivesse começado a trabalhar com 23 anos de idade?
Resp: 36 anos 
12) Maria Helena comprou, no primeiro domingo de junho, cinco quilos de carne e dois pacotes de carvão, pagando 
R$ 34,60. No domingo seguinte, ela retornou ao açougue e comprou apenas 3,5 quilos de carne e um pacote de 
carvão, pagando R$ 23,10. Se os preços não sofr
compras, determine o preço do quilo da carne que ela comprou.
13) Um estudante planejou fazer uma viagem de férias e reservou uma certa quantia em dinheiro para o pagamento 
de diárias. Ele tem duas opções de hospedagem: a Pousada A, com diária de R$ 25,00, e a Pousada B, com diária 
de R$ 30,00. Se escolher a Pousada A, em vez da Pousada B, ele poderá ficar três dias a mais de férias. Nesse 
caso determine quanto este estudante reservou para o pagamento de d
14) O custo total em reais para fabricar n unidades de um certo produto é dado pela função 
 +500݊ + 200. Determine o custo de fabricação de 10 unidades do produto.
15) Um grupo de estudantes dedicado à confecção de produtos de artesanato 
unidade produzida e, além disso, tem um gasto fixo de R$ 600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. 
Quantas unidades terão de vender para obterem um lucro maior que R$ 800,00?
16) Um restaurante vende dois tipos de refeição
 - P.F. ( Prato Feito) R$ 4,00. 
 - Self-Service (Sem Balança) R$ 7,00.
Num determinado dia, foram vendidas 80 refeiçõese arrecadou
Self-Service que foram vendidas. 
17) A receita R, em reais, obtida por uma empr
ܴ(ݍ) = 115ݍ, e o custo ܥ, em reais, para produzir q dessas unidades, satisfaz a equação 
Para que haja lucro, é necessário que a receita 
de unidades desse produto que deverá ser vendido para que essa empresa tenha lucro.
18) Um motorista de táxi, cobra R$ 3,70 a bandeirada (tarifa fixa) e R$ 1,20 por quilômetro rodado. Determine:
 
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de R$2,50 e o preço de venda por unidade é R$5,00, quantos sorvetes, no mínimo, devem ser vendidos 
mensalmente para não haver prejuízo? 
, o produto das soluções da inequação 2ݔ − 3 ൑ 3 é: 
Qual o conjunto solução da seguinte inequação? 
7 < 3ݔ − 1 < 2 
Durante a discussão da reforma do sistema previdenciário, na década de 1990, aventou
"fórmula 95". Segundo ela,os trabalhadores teriam direito à aposentadoria quando a soma 
do número de anos trabalhados com a idade do trabalhador fosse igual a 95. Com que idade poderia aposentar
se uma pessoa que tivesse começado a trabalhar com 23 anos de idade? 
Helena comprou, no primeiro domingo de junho, cinco quilos de carne e dois pacotes de carvão, pagando 
R$ 34,60. No domingo seguinte, ela retornou ao açougue e comprou apenas 3,5 quilos de carne e um pacote de 
carvão, pagando R$ 23,10. Se os preços não sofreram alterações no período em que Maria Helena fez as 
compras, determine o preço do quilo da carne que ela comprou. 
Um estudante planejou fazer uma viagem de férias e reservou uma certa quantia em dinheiro para o pagamento 
de hospedagem: a Pousada A, com diária de R$ 25,00, e a Pousada B, com diária 
de R$ 30,00. Se escolher a Pousada A, em vez da Pousada B, ele poderá ficar três dias a mais de férias. Nesse 
caso determine quanto este estudante reservou para o pagamento de diárias. 
O custo total em reais para fabricar n unidades de um certo produto é dado pela função 
. Determine o custo de fabricação de 10 unidades do produto. 
Um grupo de estudantes dedicado à confecção de produtos de artesanato gasta R$ 15,00 em material, por 
unidade produzida e, além disso, tem um gasto fixo de R$ 600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. 
Quantas unidades terão de vender para obterem um lucro maior que R$ 800,00? 
Um restaurante vende dois tipos de refeição: 
R$ 7,00. 
Num determinado dia, foram vendidas 80 refeições e arrecadou-se R$ 470,00. Determine a quantidade de PF e 
A receita R, em reais, obtida por uma empresa com a venda de q unidades de certo produto, é dada por 
, em reais, para produzir q dessas unidades, satisfaz a equação 
Para que haja lucro, é necessário que a receita ܴ seja maior que o custo ܥ. Então, deter
de unidades desse produto que deverá ser vendido para que essa empresa tenha lucro.
Um motorista de táxi, cobra R$ 3,70 a bandeirada (tarifa fixa) e R$ 1,20 por quilômetro rodado. Determine:
 Revisão 
SP 7 
$5,00, quantos sorvetes, no mínimo, devem ser vendidos 
Durante a discussão da reforma do sistema previdenciário, na década de 1990, aventou-se a hipótese de ser 
abalhadores teriam direito à aposentadoria quando a soma 
do número de anos trabalhados com a idade do trabalhador fosse igual a 95. Com que idade poderia aposentar-
Helena comprou, no primeiro domingo de junho, cinco quilos de carne e dois pacotes de carvão, pagando 
R$ 34,60. No domingo seguinte, ela retornou ao açougue e comprou apenas 3,5 quilos de carne e um pacote de 
eram alterações no período em que Maria Helena fez as 
Um estudante planejou fazer uma viagem de férias e reservou uma certa quantia em dinheiro para o pagamento 
de hospedagem: a Pousada A, com diária de R$ 25,00, e a Pousada B, com diária 
de R$ 30,00. Se escolher a Pousada A, em vez da Pousada B, ele poderá ficar três dias a mais de férias. Nesse 
O custo total em reais para fabricar n unidades de um certo produto é dado pela função ܥ(݊) = ݊ଷ − 30݊ଶ +
gasta R$ 15,00 em material, por 
unidade produzida e, além disso, tem um gasto fixo de R$ 600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. 
se R$ 470,00. Determine a quantidade de PF e 
esa com a venda de q unidades de certo produto, é dada por 
, em reais, para produzir q dessas unidades, satisfaz a equação ܥ(ݍ) = 90ݍ + 760. 
. Então, determine o número mínimo 
de unidades desse produto que deverá ser vendido para que essa empresa tenha lucro. 
Um motorista de táxi, cobra R$ 3,70 a bandeirada (tarifa fixa) e R$ 1,20 por quilômetro rodado. Determine: 
Tópicos de Matemática Revisão 
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a) o preço da corrida em função da distância; 
b) o preço de uma corrida de 8 km; 
c) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 18,70 pela corrida. 
19) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 
50,00, e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 39,00 e cada 
minuto em ligações locais custa R$ 0,30. Nessas condições, determine o número de minutos que tornam o plano 
B menos vantajoso do que o plano A. 
20) Uma produtora pretende lançar um filme em DVD e prevê uma venda de 20.000 cópias. O custo fixo de 
produção do filme foi R$ 120.000,00 e o custo por unidade foi de R$ 18,00. Qual o preço mínimo que deverá ser 
cobrado por DVD, para não haver prejuízo? 
Respostas 
1) C 
2) A 
3) D 
4) B 
5) C 
6) D 
7) D 
8) E 
9) E 
10) A 
11) 36 anos 
12) R$ 5,80 
13) R$ 450,00 
14) R$ 3.200,00 
15) x  21 
16) 30 PF e 50 Self-service. 
17) 31 
18) a) P = 3,70 + 1,20d b) R$ 13,30 c) 12,5 km 
19) 221 minutos 
20) R$ 24,00 
 
Tópicos de Matemática Funções 
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Funções 
Conceitos Básicos 
Def.: Uma função f: A B consta de três partes: um conjunto A, chamado Domínio de f, indicado por ݀݋݉(݂) ou ࡰ(ࢌ) ou ࡰࢌ; um conjunto B, chamado Contradomínio de f, CD(f); e uma regra (lei) que permite associar, de modo bem determinado, a cada a  A, um único elemento b = f(a)  B. Simbolicamente,  x  A, ! f(x)  B. 
Podemos usar diagramas de Venn-Euler (ou diagrama de flechas) para representar funções. 
 
 
 
 
É função Não é função Não é função Observações: 
i. IMPORTANTE!! Não confundir f e f(x): f é o “nome” da função, enquanto f(x) é o valor que a função f assume no ponto x  A, também chamado de imagem de x pela função f. 
ii. Quando x “percorre” o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado Imagem de f, denotado por Im(f). 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii. Para este curso, que trata apenas de funções reais de variável real, A e B serão subconjuntos não vazios do conjunto dos reais, em geral intervalos ou união de intervalos; e a lei que define uma função será SEMPRE dada por uma expressão matemática. 
iv. É muito comum encontrarmos funções "definidas" apenas por sua expressão matemática. Neste caso, podemos considerar o contradomínio como sendo todo o conjunto dos números reais, e o domínio como sendo o maior subconjunto dos números reais x tal que f(x) é também um número real (desde que o domínio não esteja definido pelo contexto). 
Exemplos 
a) ݂: ℝ → ℝ; ݂(ݔ) = |ݔ| (função Módulo ou Valor Absoluto) 
b) ℎ: ℝ → ℝ; ℎ(ݔ) = ݏ݁݊(ݔ) 
c) ݇: ℝ\{2} → ℝ; ݇(ݔ) = ଵ௫ିଶ 
d) ݉: ℝା → ℝ; ݉(ݔ) = ln (ݔ) 
e) ݃: { 4, 5, 8, 13, 20 } → ℝ; ݃(ݔ) = √ݔ − 4 
f f f 
A B A B A B 
    
    
    
    
    
    
 
 x f(x) 
f 
 * * * * * 
 * * * * * 
f 
Imagem de f 
 0 1 2 3 4 
 4 5 8 13 20 
g 
Tópicos de Matemática 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto 
Exercícios em aula1) Dê o domínio das seguintes funções:
a) ݂(ݔ) = √4ݔ − 1య b) ݂(ݔ) = √4ݔ − 1 
c) ݂(ݔ) = ௫ିଷ௫మାଶ௫ିଷ d) ݂(ݔ) = ܿ݋ݏ(5ߨݔ − 10) 
2) Dada a função ݂(ݔ) = ଵିଶ௫ଷ௫ା଺ determine:a) o domínio de ݂. b) ݂(0) , ݂(3), ݂(−1) c) A imagem de −2 pela função ݂ d) o valor de ݔ tal que ݂(ݔ) = 4. e) Raiz (ou zero) de uma função é um valor que anula a função, ou seja, é um de ݂. 3) Uma bola é lançada verticalmente para cima a partir do solo e sua altura tempo ݐ (em segundos), segundo a funçãoa) Qual a altura da bola quando ݐ =b) Em que instante a bola retorna ao solo?c) Em que instantes a bola atinge a altura 4) João deve confeccionar uma caixa de zinco, sem tampa, usancortando-se 4 quadradinhos de lado resultantes são então dobradas para cima e ele termina a caixa com uma solda.a) Expresse o volume da caixa em fub) Qual o domínio dessa função? c) Qual o volume da caixa se o quadradinho retirado for de 4 cm de lado?
5) A caixa do exercício anterior deve ter uma pintura externa que custa R$a) Expresse o custo da pintura em função de b) Qual o custo da pintura de uma caixa se o quadradinho retirado forcm? 6) Considere a função ݂ representada pelo diagrama de a) Qual o domínio de ݂? b) Qual o contradomínio de ݂? c) Qual a imagem de ݂? d) Qual a imagem do 3 pela funçãoe) Qual a expressão da ݂? 
Respostas 
1) a) ݀݋݉(݂) = ℝ b) ݀݋݉(݂)
c) ݀݋݉(݂) = ℝ\{1,3} d) ݀݋݉(݂)
2) a) ݀݋݉(݂) = ℝ\{2} b) ݂(0) = ଵ଺3) a) ℎ = 10 m b) ݐ = 6 s c) ݐ = 2 4) a) ܸ(ݔ) = 4ݔଷ − 210ݔଶ + 2700ݔ 5) a) ܥ(ݔ) = 5,4 − 0,008ݔଶ 6) a) ݀݋݉(݂) = {−1,0,1,2,3} d) ݂(3) = 9 
 
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Dê o domínio das seguintes funções: 
determine: 
 
Raiz (ou zero) de uma função é um valor que anula a função, ou seja, é um ߙ tal que 
Uma bola é lançada verticalmente para cima a partir do solo e sua altura ℎ (em metros) var(em segundos), segundo a função ℎ(ݐ) = −2ݐଶ + 12ݐ. = 5ݏ? Em que instante a bola retorna ao solo? Em que instantes a bola atinge a altura 16 ݉? João deve confeccionar uma caixa de zinco, sem tampa, usando uma folha de zinco de 60se 4 quadradinhos de lado x cm em cada canto da folha (como mostrada na resultantes são então dobradas para cima e ele termina a caixa com uma solda. Expresse o volume da caixa em função de x. 
Qual o volume da caixa se o quadradinho retirado for de 4 cm de lado? 
 A caixa do exercício anterior deve ter uma pintura externa que custa R$ 20,00 o metro quadrado.Expresse o custo da pintura em função de x. Qual o custo da pintura de uma caixa se o quadradinho retirado for de 10 
representada pelo diagrama de flechas ao lado: 
função ݂? 
( ) = ቄݔ߳ℝ: ݔ ൒ ଵସቅ ou ݀݋݉(݂) = ቃ−∞, ଵସቃ ( ) = ℝ 
) ଵ଺ ; ݂(3) = − ଵଷ ; ݂(−1) = 1 ; c) ݂(−2) não existe s e ݐ = 4 s b) ݀݋݉(ܸ) = {ݔ ∈ ℝ: 0 ൑ ݔ ൑ 22,5} c) ܸ(4) b) R$ 4,60 b) ܥܦ(݂) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} c) ܫ݉(݂ e) ݂(ݔ) = ݔଶ 
 Funções 
SP 10 
tal que ݂(ߙ) = 0. Calcule a raiz 
(em metros) varia em função do 
do uma folha de zinco de 60 cm por 45 cm cm em cada canto da folha (como mostrada na figura abaixo). As abas 
20,00 o metro quadrado. 
ቃ 
) ão existe d) ݔ = − ଶଷଵସ e) ଵଶ 
( ) = 7696 cm3 
(݂) = {0,1,4,9} 
Tópicos de Matemática 
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GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
Def.: O conjunto de pares ordenadosportanto, um subconjunto do ℝଶ (conjunto de todos os paquando o domínio de ݂ é um intervalo de números reais, 
Exemplos 
a) ݂: ℝ → ℝ; ݂(ݔ) = |ݔ| 
 
c) ݂: ℝ → ℝ; ݂(ݔ) = ݏ݁݊(ݔ) 
 
Reconhecimento do gráfico de uma função
Considere inicialmente os gráficos a seguir. Você consegue identificar qual deles não representa o gráfico de 
função? 
 
Gráfico (I) Gráfico (II) 
 
Podemos então estabelecer que: 
“Retas verticais nunca devem ser transversais ao gráfico de funções em 2 ou mais pontos”
Exercícios em aula 
7) Faça o gráfico da função ݂: {0,1,2,3,48) Faça o gráfico da função ݂: ሾ0,4ሿ → ℝ9) Faça o gráfico da função ݂: ℝ → ℝ definida pela expressão 
 
 
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de pares ordenados ܩ(݂) = { (ݔ , ݂(ݔ)) ∈ ℝଶ ∶ ݔ݀݋݉(݂) } é denominado gráfico de (conjunto de todos os pares ordenados (x;y) de números reaisé um intervalo de números reais, o gráfico de uma função é uma curva em 
 b) ݂: ℝା → ℝ; ݂(ݔ) = ln
 
 
Reconhecimento do gráfico de uma função 
Considere inicialmente os gráficos a seguir. Você consegue identificar qual deles não representa o gráfico de 
 
Gráfico (III) Gráfico (IV) Gráfico (V)
“Retas verticais nunca devem ser transversais ao gráfico de funções em 2 ou mais pontos”
4} → ℝ definida pela expressão ݂(ݔ) = 2ݔ + 1 ℝ definida pela expressão ݂(ݔ) = 2ݔ + 1 definida pela expressão ݂(ݔ) = 2ݔ + 1 
 Funções 
SP 11 
é denominado gráfico de f. É, de números reais). De forma geral, o gráfico de uma função é uma curva em ℝଶ. 
ln (ݔ) 
 
Considere inicialmente os gráficos a seguir. Você consegue identificar qual deles não representa o gráfico de uma 
 
Gráfico (V) 
“Retas verticais nunca devem ser transversais ao gráfico de funções em 2 ou mais pontos” 
 
Tópicos de Matemática Funções 
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Operações com funções 
Def.: Sejam ݂, ݃ ∶ ܣ  ܤ; ܣ, ܤ  ℝ. Define-se: 
I. ݂ + ݃: ܣ  ℝ por (݂ + ݃)(ݔ) = ݂(ݔ) + ݃(ݔ); II. ݂ + ݃: ܣ  ℝ por (݂ + ݃)(ݔ) = ݂(ݔ) + ݃(ݔ); III. ݂ . ݃: ܣ  ℝ por (݂ . ݃)(ݔ) = ݂(ݔ) . ݃(ݔ); IV. ݂ / ݃: ܣ  ℝ por (݂ / ݃)(ݔ) = ݂(ݔ) / ݃(ݔ). 
A operação mais importante envolvendo funções, entretanto, é a COMPOSIÇÃO: 
Def.: Sejam ܣ, ܤ, ܥ  ℝ, com ܤ  ܥ, ݂ ∶ ܣ  ܤ e ݃: ܥ  ℝ. Definimos FUNÇÃO COMPOSTA ݃݋݂ ∶ ܦ  ܣ  ℝ por: 
gof(x) = g(f(x)),x  D 
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES!!! 
a. O domínio ܦ de ݃݋݂ consiste nos ݔ  ܣ tais que ݂(ݔ) pertença ao domínio de ݃. Por isso é obrigatório que ܤ  ܥ !! b. O contradomínio de ݃݋݂ é o contradomínio de ݃. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício em aula 
10) Sejam ݂: ℝ  ℝ dada por ݂(ݔ) = ݔଶ e ݃: ℝ  ℝ por ݃(ݔ) = 2ݔଷ. Determine: a) ݂ + ݃ b) ݂ − ݃ c) ݂ ݃ d) ݂/݃ e) ݃/݂ f) ݂݋݃ g) ݃݋݂ 11) Sejam ݂: ℝ  ℝ; ݂(ݔ) = ݔ + 3 e ݃: ℝ \ { −2 }  ܴ; ݃(ݔ) = 2/(ݔ + 2). Ache ݃݋݂ e ݂݋݃. 
Exercícios propostos 
1) Sabendo que f(g(x)) = 3x - 7 e f( x ) = 31 x - 2, então : 
a) g(x) = 9x - 15 b) g(x) = 9x + 15 c) g(x) = 15x - 9 d) g(x) = 15x + 9 e) g(x) =9x - 5 
2) O domínio da função real f(g(x)), sabendo-se que f(x)= x e g(x) = 2x xx
2
 é : 
a)D=(xR/ x -2} b) D={xR/x0 e x -2} c) D={xR/-2<x-1 ou x0 } 
d) D={xR/-2x-1 ou x 0 } e) D= {xR/-2<x<-1ou x 0} 
3) Para cada inteiro x > 0 , f(x) é o número de divisores de x e g(x) é o resto da divisão de x por 5. Então g(f(45)) é : 
a)4 b)3 c)2 d)1 e)0 
 * * * * * 
 * * * * * 
݂ 
 * * * 
Imagem de ݃ 
݃ 
Domínio da ݂ Domínio da ݃ 
Imagem de ݂ 
Tópicos de Matemática Funções 
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4) Considere as funções f(x) =2x + 1 e g(x) = x² - 1. Então as raízes da equação f(g(x))=0 são : 
a) inteiras b)negativas c)racionais d)inversas e)opostas 
5) Sejam f(x) = x² + 1 e g(x) = x - 1 duas funções reais. Definimos a função composta de f e g como sendo 
gof(x)=g(f(x)). Então gof(y-1) é igual a : 
a)y²-2y+1 b)(y-1)²+1 c)y²+2y-2 d)y²-2y+3 e)y²-1 
6) A função de R em R é definida por f(x) = mx + p. Se f(2) = -5 e f(-3) = -10, então f(f(18)) é igual 
a)-2 b)-1 c)1 d)4 e)5 
7) As funções f e g , de R em R, são definidas por f(x) =2x + 3 e g(x) = 3x + m. Se f(g(x))=g(f(x)),então f(m) é um 
número : 
a)primo b)negativo c)cubo perfeito d)menor que 18 e)múltiplo de 12 
8) Seja f : R  R uma função definida por y = f(x). Sabendo-se que f(0)=3, f(1) = 2 e f(3) = 0, o valor de x tal que 
f(f(x+2)) = 3 é : 
a)0 b)1 c)2 d)3 e)4 
9) Se f(x) = 3x - 4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale : 
a)-2 b)0 c)1 d)3 e)5 
10) Se f(g(x)) = 2x²-4x+4 e f(x-2) = x + 2, então o valor de g(2) é : 
a)-2 b)2 c)0 d)3 e)5 
11) Sendo f(x) = x² - 1 e g(x) = x + 2, então o conjunto solução da equação f(g(x))=0 é : 
a){1,3} b){-1,-3} c){1,-3} d){-1,3} e){ } 
12) Sendo f e g funções de R em R , tais que f(x) = 3x - 1 e g(x) = x², o valor de f(g(f(1))) é : 
a)10 b)11 c)12 d)13 e)14 
13) Os gráficos das funções reais definidas por f(x) = x² - 1 e g(x) = xk , 1  k > 0, se interceptam num ponto de 
abscissa 3. Então o valor de f ( g ( k)) é : 
a)3 b)9 c)12 d)15 e) 18 
14) Dadas as funções reais definidas por f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = 3x, então o valor de k tal que g(f(k))= 4 é : 
a)1/4 b)4/5 c) 2 d) 3 e) 7/6 
15) Se f(x) = mx + n e f(f(x)) = 4x + 9, a soma dos possíveis valores de n é: 
a) 6 b) –12 c) –6 d)–18 e) 12 
16) Se x >1 e f (x) = 1x x , então f (f (x + 1)) é igual a: 
a) x+1 b) 1
1x c)x – 1 d) 1x x e) 11xx 
17) Se f e g são funções definidas por f ( x ) = x e g ( x ) = x² + m x + n, com m 0 e n  0, então a soma das raízes de 
fog é 
a) m b) – m c) n d) – n e) m.n 
18) Se f e g são funções reais tais que f(x)=2x-2 e f(g(x))=x+2, para todo xR, então g(f(2)) é igual a: 
a) 4 b) 1 c) 0 d) 2 e) 3 
19) Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g, sendo f(x) = xa .O valor de g(g (-1))+f(g (3)) é: 
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a) 1 b) 2 c) 3 
20) Sejam as funções reais f e g tais que f(x)=2x+1 e (fog)(x)=2x³ 
21) Seja y=f(x) uma função definida no intervalo [
a) 3 b) 0 c) -3 
22) Com respeito à função f:RR, cujo gráfico está representado abaixo, é correto afirmar:
a) (f o f) (-2) = 1 b) (f o f) (-1) = 2
23) Admita os seguintes dados sobre as condições ambientais de uma comunidade, com uma população p, em 
milhares de habitantes: 
- C, a taxa média diária de monóxido de carbono no ar, em partes por milhão, corresponde a C(p)=0,5 p +1;
- em um determinado tempo t, em anos, p será i
Em relação à taxa C, 
a) expresse-a como uma função do tempo;
b) calcule em quantos anos essa taxa será de 13,2 partes por milhão.
24) Duas funções, f e g , são tais que f(x)=3x
a) 3 b) 4 c) 5 
25) Sejam f e g funções de R em R definidas por f(x)=x+1 e g(x)=1
g(f(x)), é correto afirmar que 
a) tangencia o eixo das abscissas. 
b) não intercepta o eixo das abscissas.
 
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 d) 3/2 e) 5/2 
que f(x)=2x+1 e (fog)(x)=2x³ -4x+1.Calcule os valores de x para os quais g(x)>0.
Seja y=f(x) uma função definida no intervalo [-3;6] conforme indicado no gráfico. Logo
 
 d) -1/2 e) 1 
cujo gráfico está representado abaixo, é correto afirmar:
 
1) = 2 c) (f o f) (-2) = -1 d) (f o f) (
dados sobre as condições ambientais de uma comunidade, com uma população p, em 
C, a taxa média diária de monóxido de carbono no ar, em partes por milhão, corresponde a C(p)=0,5 p +1;
em um determinado tempo t, em anos, p será igual a p(t)=10 + 0,1 t£. 
a como uma função do tempo; 
b) calcule em quantos anos essa taxa será de 13,2 partes por milhão. 
, f e g , são tais que f(x)=3x-1 e f[g(x)]=2-6x. Nessas condições, o valor de g(
 d) 6 
Sejam f e g funções de R em R definidas por f(x)=x+1 e g(x)=1-x². Relativamente ao gráfico da função dada por 
b) não intercepta o eixo das abscissas. 
 Funções 
SP 14 
os valores de x para os quais g(x)>0. 
Logo, o valor de f(f(2)) é: 
cujo gráfico está representado abaixo, é correto afirmar: 
d) (f o f) (-1) = 0 e) f(-2) = 1 
dados sobre as condições ambientais de uma comunidade, com uma população p, em 
C, a taxa média diária de monóxido de carbono no ar, em partes por milhão, corresponde a C(p)=0,5 p +1; 
6x. Nessas condições, o valor de g(-1) é: 
x². Relativamente ao gráfico da função dada por 
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c) contém o ponto (-2; 0). 
d) tem concavidade voltada para cima.
e) intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0;
26) Se f e g são funções de R em R tais que f(x)=2x
a) 2x²+1 b) (x/2) -1 c) x²/2
27) As funções reais f e g são tais que f(g(x))=x²
a) 0 b) 1 c) 2
28) Com a função f(x), representada no gráfico anterior, e com função g(x), obtém
expressão algébrica que define g(x) é:
a) -x/4 -1/4 b) -x/4 +1/4 c) x/4 +1/4
29) Para função f(x)=5x + 3 e um número b, tem
a) -1 b) -4/5 c) 
30) Para um número real fixo  , a função f(x) = 
a) 1 b) 2 c) 3
31) No esquema , f e g são funções, respectivamente, de A em B e de B em C. 
Então: 
a) g(x) = 6x + 5 b) f(x) = 6x + 5
d) f(x) = 8x + 6 e) g(x) = (x 
32) Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g.
A soma f(g(1)) + g (f (–1)) é igual a: 
a) –1 b) 2 c) 0 
Respostas 
 1) A 2)C 3)D 4)E 5)A 6)D 7)D 8)B 9) D 10)C 11) B 12)B 13)D 14)E 15)C 16)A 17)B 18)E 19)C 20) 21)E 22)B 23) a) C(p(t)) = 6 + 0,05 t² b) 12 anos 24)A 25)C 26)C 27)D 28)C 29)B 30)A 31)C 32)B
 
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d) tem concavidade voltada para cima. 
e) intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0;-1). 
de R em R tais que f(x)=2x-1 e f(g(x))=x²-1, então g(x) é igual a 
c) x²/2 d) x+1 e) x+(1/2) 
g são tais que f(g(x))=x²-6x+8 e f(x-3)=x+5. Se g (k) é o menor possível, então k vale:
c) 2 d) 3 e) 4 
Com a função f(x), representada no gráfico anterior, e com função g(x), obtém-se a composta g(f(x)) = x. A 
g(x) é: 
c) x/4 +1/4 d) x/4 -1/4 e) x/4 +1 
f(x)=5x + 3 e um número b, tem-se f(f(b)) = - 2. O valor de b é: 
c) -17/25 d) -1/5 e) -3/5 
, a função f(x) = x - 2 é tal que f(f(1))= -3. O valor de  é:
c) 3 d) 4 e) 5 
, f e g são funções, respectivamente, de A em B e de B em C. 
 
b) f(x) = 6x + 5 c) g(x) = 3x + 2 
e) g(x) = (x - 1)/2 
os esboços dos gráficos das funções f e g. 
 
c) 0 d) 3 e) 1 
1) A 2)C 3)D 4)E 5)A 6)D 7)D 8)B 9) D 10)C 11) B 12)B 13)D 14)E 15)C 16)A 17)B 18)E 19)C 20) 21)E 22)B 23) a) C(p(t)) = 6 + 0,05 t² b) 12 anos 24)A 25)C 26)C 27)D 28)C 29)B 30)A 31)C 32)B
 Funções 
SP 15 
3)=x+5. Se g (k) é o menor possível, então k vale: 
se a composta g(f(x)) = x. A 
é: 
1) A 2)C 3)D 4)E 5)A 6)D 7)D 8)B 9) D 10)C 11) B 12)B 13)D 14)E 15)C 16)A 17)B 18)E 19)C 20) 2x 21)E 22)B 23) a) C(p(t)) = 6 + 0,05 t² b) 12 anos 24)A 25)C 26)C 27)D 28)C 29)B 30)A 31)C 32)B
Tópicos de Matemática 
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Funções importantes 
Funções de Primeiro grau 
Uma função ݂: ℝ → ℝ é chamada função do 1݂(ݔ) = ܽݔ + ܾ, onde ܽ e ܾ são números reais, sendo 
Observações: 
I. O gráfico da função do 1o grau é uma reta e portanto, para representá-la, basta conhecer 2 pontos desse reta.II. Quando ܾ ≠ 0 a função do 1o afim. III. Quando ܾ = 0 a função do 1o linear. Neste caso o gráfico sempre passa pela origem.IV. Os coeficientes ܽ e ܾ da função do 1
O coeficiente ܽ é chamado coeficiente angularܽ < 0 , a função é decrescente.
Quanto ao coeficiente ܾ, chamado de cruza o eixo das ordenadas (eixo 
݂(ݔ) = 2ݔ − 4 
V. Quando ܽ = 0 então não temos uma função do 1associa a cada ݔ ∈ ℝ o valor ݂horizontal, ou seja, uma reta paralela aoeixo das abscissas (eixo 
 ܽ > 0: Função crescente
 
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função do 1o grau se a expressão que define ݂ números reais, sendo ܽ não nulo com ܽ ≠ 0. 
grau é uma reta e portanto, para la, basta conhecer 2 pontos desse reta. grau é chamada de função 
 grau é chamada de função Neste caso o gráfico sempre passa pela origem. da função do 1o grau caracterizam o seu gráfico. 
coeficiente angular, ou inclinação, da reta. Se ܽ > . 
chamado de coeficiente linear, ele é a ordenada do ponto em que o gráfico de (eixo ݕ), ou seja, ܾ = ݂(0). 
 
 ݂(ݔ) = 2ݔ
então não temos uma função do 1o grau. Temos uma função constante݂(ݔ) = ܾ. Seu gráfico também é uma reta que, neste caso, sempre será reta paralela ao eixo das abscissas (eixo ݔ). 
 
 Função crescente ܽ < 0: Função decrescente
 Função do 1º grau 
SP 16 
 pode ser escrita na forma: 
 0 , a função é crescente e se 
 
ele é a ordenada do ponto em que o gráfico de ݂ 
 
− 1 
função constante. A função constante Seu gráfico também é uma reta que, neste caso, sempre será 
Função decrescente 
Tópicos de Matemática 
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Exercícios em aula 
12) Dada a função ݂(ݔ) = – 2ݔ + 3, determine 13) Dada a função ݂(ݔ) = 4ݔ + 5, determine 14) A reta, gráfico de uma função afim, passa pelos pontos ݂(16). 
15) Considere a função ݂: ℝ  ℝ definida por a) Verifique se a função é crescente ou decrescente b) O zero da função; c) O ponto onde a função intersecta o eixo d) O gráfico da função; e) Faça o estudo do sinal; 
Exercícios propostos 
1) Seja f uma função do primeiro grau tal que f(2) = 7 e f(5) = 13, calcule o valor de f(2) Se f(x) = 3x + 2, qual o valor de x para que f(x) = 5?3) A função f: R → R definida por y = f(x) = ax + bsão, respectivamente: 
a) 3 e 3 b) 5 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 5 e) 5/3 e 3/5
4) O gráfico da função y = 5x + m – 1 corta o eixo y no ponto de ordenada 3. Determine o valor de 5) O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial Qproporcionalmente à distância D percorrida nessa corrida. Sabepercorridos 3,6km, a quantia cobrada foi de R$8,25 e que em outra corrida, de 2,8km a quantia cobrada foi de R$7,25. a) Calcule o valor inicial de Q0 b) Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$75,00 em 10 corridas, quantos percorreu naquele dia? 6) Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da Terra aumenta, aproximadamente, 3ºC a cada 100m de profundidade. Num certo local, a 100m de profundidade, a temperatura e de 25ºC. Nessas condições, podemos afirmar que a temperatura a 1500m de profundidade e:
a) 7ºC b) 45ºC c) 42ºC d) 60ºC e) 67ºC
7) A poluição atmosférica em metrópoles aumenta ao longo do dia. Em certo dar, às 8h, era de 20 partículas, em cada milhão de partículas, e, às 12h, era de 80 partículas, em cada milhão de partículas. Admitindo que a variação de poluentes no ar durante o dia é uma função do 1º grau (função afim)tempo, qual o número de partículas poluentes no ar em cada milhão de partículas, às 10h20min?
 a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 
8) Se f e uma função do primeiro grau tal que f(120) = 370 e f(330) = 1000, então f(250) é igual a:
a) 760 b) 590 c) 400 d) 880 
9) Na figura mostrada tem-se o gráfico da função do 1º grau definida por y = ax + b. O valor de a/b é igual a:
 
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, determine ݂(1). , determine ࢞ tal que ݂(ݔ) = 7. A reta, gráfico de uma função afim, passa pelos pontos (−2, −63) e (5, 0). Determine essa função e calcule 
definida por ݂(ݔ) = 5ݔ – 3. Verifique se a função é crescente ou decrescente 
ponto onde a função intersecta o eixo y; 
Seja f uma função do primeiro grau tal que f(2) = 7 e f(5) = 13, calcule o valor de f(-1).o valor de x para que f(x) = 5? y = f(x) = ax + b tem o gráfico esboçado. O coeficiente linear e o zero da função 
 
a) 3 e 3 b) 5 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 5 e) 5/3 e 3/5 
1 corta o eixo y no ponto de ordenada 3. Determine o valor de O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial Q0 fixo, mais um valor que varia proporcionalmente à distância D percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram percorridos 3,6km, a quantia cobrada foi de R$8,25 e que em outra corrida, de 2,8km a quantia cobrada foi de 
Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$75,00 em 10 corridas, quantos 
Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da Terra aumenta, aproximadamente, 3ºC a cada 100m de profundidade. Num certo local, a 100m de profundidade, a temperatura e de 25ºC. Nessas condições, odemos afirmar que a temperatura a 1500m de profundidade e: 
a) 7ºC b) 45ºC c) 42ºC d) 60ºC e) 67ºC
A poluição atmosférica em metrópoles aumenta ao longo do dia. Em certo dia, a concentração de poluentes no ar, às 8h, era de 20 partículas, em cada milhão de partículas, e, às 12h, era de 80 partículas, em cada milhão de partículas. Admitindo que a variação de poluentes no ar durante o dia é uma função do 1º grau (função afim)tempo, qual o número de partículas poluentes no ar em cada milhão de partículas, às 10h20min?
a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 
a função do primeiro grau tal que f(120) = 370 e f(330) = 1000, então f(250) é igual a:
a) 760 b) 590 c) 400 d) 880 
se o gráfico da função do 1º grau definida por y = ax + b. O valor de a/b é igual a:
 Função do 1º grau 
SP 17 
. Determine essa função e calcule 
1). 
tem o gráfico esboçado. O coeficiente linear e o zero da função 
1 corta o eixo y no ponto de ordenada 3. Determine o valor de m. fixo, mais um valor que varia m uma corrida na qual foram percorridos 3,6km, a quantia cobrada foi de R$8,25 e que em outra corrida, de 2,8km a quantia cobrada foi de 
Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$75,00 em 10 corridas, quantos quilômetros seu carro 
Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da Terra aumenta, aproximadamente, 3ºC a cada 100m de profundidade. Num certo local, a 100m de profundidade, a temperatura e de 25ºC. Nessas condições, 
a) 7ºC b) 45ºC c) 42ºC d) 60ºC e) 67ºC 
ia, a concentração de poluentes no ar, às 8h, era de 20 partículas, em cada milhão de partículas, e, às 12h, era de 80 partículas, em cada milhão de partículas. Admitindo que a variação de poluentes no ar durante o dia é uma função do 1º grau (função afim) no tempo, qual o número de partículas poluentes no ar em cada milhão de partículas, às 10h20min? 
 e) 65 
a função do primeiro grau tal que f(120) = 370 e f(330) = 1000, então f(250) é igual a: 
 e) 920 
se o gráfico da função do 1º grau definida por y = ax + b. O valor de a/b é igual a: 
Tópicos de Matemática Função do 1º grau 
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a) 3 b) 2 c) 3/2 d) 2/3 e) 1/2 
10) O gráfico da função f(x) = ax + b passa pelos pontos(1, 2) e (0, -1). Pode-se afirmar que a2.b1/3 é: 
a) – 4 b) 4 c) – 9 d) 9 e) 5 
11) Sabendo que os pontos (2, - 3) e (-1, 6) pertencem ao gráfico da função f: R em R definida por ݂(ݔ) = ܽݔ + ܾ 
determine o valor de (b – a). 
Respostas 
1) 1; 2) 1; 3) C; 4) 4; 5) a) R$3,75 b) 30km; 6) E; 7) C; 8) A; 9) E; 10) C; 11) 6 
Tópicos de Matemática Função do 2º grau 
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Funções Quadráticas ou de segundo grau 
Uma função ݂: ℝ → ℝ é chamada de função quadrática, ou função do segundo grau, se pode ser escrita na forma 
݂(ݔ) = ܽݔ² + ܾݔ + ܿ, 
 onde a, b e c números reais, com a não nulo. O coeficiente a é chamado coeficiente dominante. 
Exemplos: 
1. f(x)=x² 
2. f(x)=-4 x² 
3. f(x)=x²-4x+3 
4. f(x)=-x²+2x+7 
O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola. 
 
O sinal do coeficiente do termo dominante desta função polinomial indica a concavidade da parábola ("boca aberta"). Se a>0 então a concavidade estará voltada para cima e se a<0 estará voltada para baixo. 
Relacionamento entre o discriminante e a concavidade 
O Discriminante de uma função quadrática (∆), denominado Delta, é dado pela forma: ∆=b2-4ac Podemos construir uma tabela que relaciona o sinal do discriminante com o sinal do coeficiente do termo dominante da função polinomial. 
Delta A parábola no plano cartesiano a>0 concavidade para cima 
a<0 concavidade para baixo 
∆ > 0 Corta o eixo horizontal em 2 pontos (ou 2 raízes reais e distintas) 
∆ = 0 Toca em 1 ponto do eixo horizontal (ou 1 raiz real de multiplicidade 2) 
∆ < 0 Não corta o eixo horizontal (Não tem raiz real) 
Raízes da função quadrática 
Os zeros (ou raízes) da função quadrática f(x)=ax²+bx+c, são encontrados pela fórmula de Bháskara 
Tópicos de Matemática Função do 2º grau 
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ݔ = −ܾ ± √∆2ܽ 
O vértice de uma parábola é o ponto crítico da função quadrática onde ela muda o sentido: ( ݔ௩ , ݕ௩ ) 
ݔ௩ = ି௕ଶ௔ e ݕ௩ = ି∆ସ௔ 
O vértice é também o ponto máximo se ܽ < 0, ou o ponto mínimo se ܽ > 0. 
Para construir o gráfico de função quadrática, devemos ter, no mínimo, 3 pontos. Devemos então encontrar as 
raízes, e o vértice. Caso faltem pontos, podemos encontrar os pontos que faltam apenas atribuindo valores para x e 
encontrando o respectivo valor para y. 
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x)=x²+2x-3. 
 
Exemplo: Construir a parábola f(x)=-x²+2x-3. 
 
Exercícios em aula 
1) As equações abaixo definem funções do 2º grau. Para cada uma dessas funções, ache as coordenadas do vértice que a representa: 
a) f(x)= x² - 4x + 5 
b) f(x)= x² +4x - 6 
c) f(x)= 2x² +5x - 4 
d) f(x)= -x² + 6x - 2 
2) Determine, se existirem, os zeros reais das funções seguintes: 
a) f(x)= 3x² - 7x + 2 
b) f(x)= -x² + 3x - 4 
d) f(x)= x² - 4 
e) f(x)= 3x² 
3) Construa o gráfico das seguintes funções: 
a) f(x)= x² - 16x + 63 
c) f(x)= 4x² - 4x +1 
Tópicos de Matemática Função do 2º grau 
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e) f(x)= -2x² +8x- 6 
4) Em uma partida de vôlei, um jogador deu um saque em que a bola atingiu uma altura h em metros, num tempo t, em segundos, de acordo com a relação 
h(t) = -t² + 8t. 
a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima? [Nota]: observem o vértice 
b) De quantos metros foi a altura máxima alcançada pela bola? 
c) Esboce o gráfico que represente esta situação. 
Exercícios propostos 
1) O vértice da parábola y = 2x2 - 4x + 5 é o ponto 
a) (2, 5) b)  1 11, c) (-1, 11) d)  1 3, e) (1, 3) 
2) A função f(x) = x2 - 4x + k tem o valor mínimo igual a 8. O valor de k é: 
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 
3) Se o vértice da parábola dada por y = x² - 4x + m é o ponto (2, 5), então o valor de m é: 
a) 0 b) 5 c) -5 d) 9 e) -9 
4) A parábola de equação y = ax², passa pelo vértice da parábola y = 4x - x². Ache o valor de a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) nda 
5) O valor mínimo da função f(x) x2 - kx + 15 é -1. O valor de k, sabendo que k < 0 é: 
a) -10 b) -8 c) -6 d) -1/2 e) -1/8 
6) A parábola definida por y = x2 + mx + 9 será tangente aos eixos das abscissas se, e somente se: 
a) m = 6 ou m = -6 b) -6< m < 6 c)   6 6m 
d) m  6 e) m  6 
7) Considere a parábola de equação y = x² - 4x + m. Para que a abscissa e a ordenada do vértice dessa parábola sejam iguais, então m deve ser igual a: 
a) -14 b) -10 c) 2 d) 4 e) 6 
8) O gráfico da função quadrática definida por y = x² - mx + (m - 1), onde m  R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é: 
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 
9) Planeja-se construir duas estradas em uma região plana. Colocando coordenadas cartesianas na região, as estradas ficam representadas pelas partes dos gráficos da parábola y = -x² + 10x e da reta y = 4x + 5, com 2  ݔ  8. Qual a soma das coordenadas do ponto representando a interseção das estradas? 
a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 
10) A distância do vértice da parábola y= -x²+ 8x - 17 ao eixo das abscissas é : 
a) 1 b) 4 c) 8 d) 17 e) 34 
11) O gráfico da função real definida por y = x² + mx + ( 15-m ) tangencia o eixo das abscissas e corta o eixo das ordenadas no ponto (0,k). Se a abscissa do vértice da parábola é negativa, k vale : 
a) 25 b) 18 c) 12 d) 9 e) 6 
12) Os pontos (0, 0) e (2, 1) estão no gráfico de uma função quadrática f. O mínimo de f é assumido no ponto de abscissa x = - 1/ 4. Logo, o valor de f(1) é: 
a) 1/10 b) 2/10 c) 3/10 d) 4/10 e) 5/10 
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13) O gráfico de uma função f, do segundo grau, corta o eixo das abscissas para x = 1 e x = 5. O ponto de máximo de f coincide com o ponto de mínimo da função g, de R em R, definida por g(x) = (2/9)x² ser definida por 
a) y = - x² + 6x + 5 b) y = - x² 
d) y = - x² + 6x – 5 e) y = x² 
14) O gráfico da função quadrática y = ax² + bx + c, x real, é simétrico ao gráfico da parábola y = 2 reta de equação cartesiana y = -2. Determine
a) – 4 b) 1/2 c) 2
15) A função real f, de variável real, dada por f(x) = 
a) mínimo, igual a -16, para x = 6 
c) máximo, igual a 56, para x = 6 
e) máximo, igual a 240, para x = 20 
16) Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja expressão é
a) y = (x² /5) - 2x b) y = x² - 10x c) y = x² + 10x d) y = (x
17) A função f(x) do segundo grau tem raízes 
A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é
a) f(x) = -2(x-1)(x+3) b) f(x) = -
d) f(x) = (x-1)(x+3) e) f(x) = 2(x+1)(x
18) Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (
a) Determine a equação da reta r. b) Determine a equação dessa parábola.c) Seja f(x) a diferença entre as ordenadas de pontos de e o outro sobre a reta r. Determine x para que f(x) seja a maior possível.19) Se a função real definida por f(x) = - inteiros do real k é: 
a) - 2. b) - 1. c) 0. 
 
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O gráfico de uma função f, do segundo grau, corta o eixo das abscissas para x = 1 e x = 5. O ponto de máximo de f com o ponto de mínimo da função g, de R em R, definida por g(x) = (2/9)x² -
x² - 6x + 5 c) y = - x² - 6x - 5 
e) y = x² - 6x + 5 
O gráfico da função quadrática y = ax² + bx + c, x real, é simétrico ao gráfico da parábola y = 2 2. Determine o valor de 8a + b + c. 
c) 2 d) 1 e) 4 
f, de variável real, dada por f(x) = -x² + 12x + 20, tem um valor 
 b) mínimo, iguala 16, para x = -12 
 d) máximo, igual a 72, para x = 12 
 
Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja expressão é
 
10x c) y = x² + 10x d) y = (x²/5) - 10x e) y = (x² /5) + 10x
grau tem raízes -3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), é igual a 8.
A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é 
-(x-1)(x+3) c) f(x) = -2(x+1)(x-3) 
e) f(x) = 2(x+1)(x-3) 
Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (-4, -24) e (2, 0). 
 
 Determine a equação dessa parábola. Seja f(x) a diferença entre as ordenadas de pontos de mesma abscissas x, nesta ordem: um sobre a parábola Determine x para que f(x) seja a maior possível. x² + (4 – k²) possui um máximo positivo, então a soma dos possíveis valores 
 d) 1. e) 2. 
 Função do 2º grau 
SP 22 
O gráfico de uma função f, do segundo grau, corta o eixo das abscissas para x = 1 e x = 5. O ponto de máximo de f - (4/3)x + 6. A função f pode 
O gráfico da função quadrática y = ax² + bx + c, x real, é simétrico ao gráfico da parábola y = 2 - x² com relação à 
Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja expressão é 
10x e) y = (x² /5) + 10x 
3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), é igual a 8. 
mesma abscissas x, nesta ordem: um sobre a parábola 
k²) possui um máximo positivo, então a soma dos possíveis valores 
Tópicos de Matemática 
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20) A função f, de R em R, dada por f(x) = ax² Nessas condições, f(-2) é igual a 
a) 4 b) 2 c) 0 
21) O gráfico da função y =ax² + bx + c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c são, respectivamente:
 
22) A figura a seguir representa o gráfico
A equação da reta r é: a) y = -2x + 2 b) y = x + 2.
23) Qual o maior valor assumido pela função f:[24) O gráfico de f(x) = x² + bx +c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (
 a) - 2/9 b) 2/9 c) 
25) Na parábola y = 2x² - (m - 3)x + 5, o vértice
 a) 3 b) 4 c) 5
26) O ponto de coordenadas (3, 4) pertenceparábola é: 
 a) 1/2 b) 1 c) 3/2
27) Uma função f, do 2grau, admite as raízes afirmar que o valor 
 a) mínimo de f é -5/6 b) máximo de f é 
 e) mínimo de f é -49/6 
28) O ponto de maior ordenada, pertenceordenado (a, b). Então a - b é igual a:
 a) -39/8 b) -11/8 
29) Seja x um número real estritamente circunferência de raio x centímetros e g associa a cada x a área do círculo de raio xcondições, é verdade que 
 a) f(x) > g(x) para 0 < x < 2. b) f(x) = g(x) para x = 4.
 d) f(x) > g(x) para x > 10. e) f(x) > g(x) para qualquer valor de x.
30) A soma e o produto das raízes de uma função do 2função é -4, então seu vértice é o ponto
 
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A função f, de R em R, dada por f(x) = ax² - 4x + a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. 
 d) - 1/2 e) – 2 
c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c são, respectivamente:
 
gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V. 
 
b) y = x + 2. c) y = 2x + 1 d) y = 2x + 2. e) y = 
Qual o maior valor assumido pela função f:[-7.10]  R definida por f(x) = x² - 5x + 9?b e c são constantes, passa pelos pontos (0, 0) e (1, 2). Então f(
c) - 1/4 d) 1/4 e) 4 
vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é: 
c) 5 d) 6 e) 7 
pertence à parábola de equação y = ax² + bx + 4. A abscissa do vértice dessa 
c) 3/2 d) 2 
grau, admite as raízes -1/3 e 2 e seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0; 
b) máximo de f é -5/6 c) mínimo de f é -13/3 d) máximo de f é 
pertence ao gráfico da função real definida por f(x) = (2x al a: 
 c) 3/8 d) 11/8 e) 39/8 
 positivo. Sejam as funções f e g tais que f associa a cada x o comprimento da circunferência de raio x centímetros e g associa a cada x a área do círculo de raio x centímetros. Nessas 
b) f(x) = g(x) para x = 4. c) g(x) > f(x) para 0 < x < 1.
e) f(x) > g(x) para qualquer valor de x. 
e uma função do 2 grau são, respectivamente, 6 e 5. Se o valor mínimo dessa 4, então seu vértice é o ponto 
a) 1, -6 e 0 
b) - 5, 30 e 0 
c) -1, 3 e 0 
d) -1, 6 e 0 
e) -2, 9 e 0 
 Função do 2º grau 
SP 23 
4x + a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. 
c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c são, respectivamente: 
e) y = -2x – 2 
5x + 9? 0, 0) e (1, 2). Então f(-2/3) vale 
 
de equação y = ax² + bx + 4. A abscissa do vértice dessa 
1/3 e 2 e seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0; -4). É correto 
13/3 d) máximo de f é -49/9 
ao gráfico da função real definida por f(x) = (2x - 1) (3 - x), é o par 
positivo. Sejam as funções f e g tais que f associa a cada x o comprimento da centímetros. Nessas 
c) g(x) > f(x) para 0 < x < 1. 
grau são, respectivamente, 6 e 5. Se o valor mínimo dessa 
Tópicos de Matemática 
Prof. Luiz Carlos / Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto 
 a) (3, -4) b) (11/2, -4) c) (0, 
31) O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x² e 
 a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.
32) O gráfico da função real f definida por f(x) = ax² + bx + c, com a < 0, passa pelos pontos (conjunto de todos os valores possíveis de b é:
a) {b IR | b  -4} b) {b  IR | b < 
33) Nessa figura, estão representados os gráficos das funções
Considere os segmentos paralelos ao eixo y, com uma das extremidade sobre o gráfico da função g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor comprimento. Assim sendo, o comprimento do segmento S é
a) 1/2 b) 3/4 c) 1
34) O gráfico da função f(x) = ax² + bx + c (a, b, c números reais) contém os pontos (
O valor de b é: 
 a) -2. b) -1. c) 0. d) 1
35) Considere a função dada por y = 3t² t, em segundos. 
O valor mínimo dessa função ocorre para t igual a 
 a) -2 b) -1 c) 0 
36) Considere a função dada por y = 3t² instante t, em segundos. O ponto de mínimo da 
a) a velocidade do móvel é nula. b) a velocidade assume valor máximo.
c) a aceleração é nula. d) a aceleração assume valor máximo.
e) o móvel se encontra no ponto mais d
37) O gráfico da função definida por f(x) = x² + bx + cos 8
a) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos positivos.
b) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos negativos.
c) intercepta o eixo das abscissas em 2 pontos de sinais diferentes.
d) intercepta o eixo das abscissas na origem.
e) não intercepta o eixo das abscissas.
38) O gráfico da função quadrática definida por f(x) = 4x² + 5x + 1 é uma parábola de vértice V e intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é
a) 27/8 b) 27/16 
 
/ Universidade Paulista (UNIP) / Câmpus São José do Rio Preto - SP
c) (0, -4) d) (-4; 3) e) (-4, 6) 
de intersecção das duas parábolas y = x² e y = 2x² - 1 é: 
d) 3. e) 4. 
O gráfico da função real f definida por f(x) = ax² + bx + c, com a < 0, passa pelos pontos (conjunto de todos os valores possíveis de b é: 
IR | b < -5} c) {b  IR | b  -3} d) {b IR | b -2} e) {b 
os gráficos das funções: f(x) = x²/2 e g(x) = 3x - 5. 
 
Considere os segmentos paralelos ao eixo y, com uma das extremidades sobre o gráfico da função f e a outra extremidade sobre o gráfico da função g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor comprimento. Assim sendo, o comprimento do segmento S é 
c) 1 d) 5/4 
+ bx + c (a, b, c números reais) contém os pontos (-1, -1), (0, 
d) 1 e) 2. 
por y = 3t² - 6t + 24, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no instant
O valor mínimo dessa função ocorre para t igual a 
 d) 1 e) 2 
dadapor y = 3t² - 6t + 24, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no O ponto de mínimo da função corresponde ao instante em que
a) a velocidade do móvel é nula. b) a velocidade assume valor máximo. 
c) a aceleração é nula. d) a aceleração assume valor máximo. 
e) o móvel se encontra no ponto mais distante da origem. 
por f(x) = x² + bx + cos 8π /7, x  R 
a) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos positivos. 
b) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos negativos. 
as em 2 pontos de sinais diferentes. 
d) intercepta o eixo das abscissas na origem. 
e) não intercepta o eixo das abscissas. 
quadrática definida por f(x) = 4x² + 5x + 1 é uma parábola de vértice V e intercepta o eixo das tos A e B. A área do triângulo AVB é 
 c) 27/32 d) 27/64 
 Função do 2º grau 
SP 24 
O gráfico da função real f definida por f(x) = ax² + bx + c, com a < 0, passa pelos pontos (-1, 10) e (0, 5). Logo o 
2} e) {b  IR | b  -1} 
 
extremidades sobre o gráfico da função f e a outra extremidade sobre o gráfico da função g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor comprimento. Assim 
1), (0, -3) e (1, -1). 
6t + 24, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no instante 
6t + 24, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no função corresponde ao instante em que 
quadrática definida por f(x) = 4x² + 5x + 1 é uma parábola de vértice V e intercepta o eixo das 
 e) 27/128 
Tópicos de Matemática Função do 2º grau 
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39) O gráfico da função y = x² - 1 é transladado de 3 unidades na direção e sentido do eixo x e de 1 unidade na direção e sentido do eixo y. Em seguida, é refletido em torno do eixo x. A figura resultante é o gráfico da função 
 a) y = -(x + 3)² b) y = -(x - 3)² c) y = -(x + 3)² - 2 d) y = (x - 3)² - 2 e) y = (x + 3)² 
40) O gráfico de uma função do segundo grau tem seu eixo de simetria na reta x = 3, tem uma raiz igual a 1 e corta o eixo dos y em y = 25, então seu conjunto imagem é: 
 a) [-20,  [ b) [20,  [ c) ]-  , -20] d) ]-  , 20] e) ]-  , 25] 
41) O intervalo no qual a função f(x) = x2 - 6x + 5 é crescente é: 
 a) x < 5 b) 1 < x < 5 c) x > 1 d) x > 3 
42) A parábola P representada na figura é o gráfico de uma função quadrática f. Se y = g(x) for outra função quadrática cujas raízes sejam as mesmas de f e se o vértice do gráfico dessa g for simétrico ao vértice de P com relação ao eixo 0x, então g(-1) vale 
 
43) Se a figura mostra o esboço do gráfico de f(x)= ax² + 2bx + c, então os números a, b e c sempre são: 
 
a) nessa ordem, termos de uma PA b) nessa ordem, termos de uma PG c) números inteiros. 
d) tais que a < b < c. e) tais que a > b > c. 
44) Sabe-se que o custo C para produzir x peças de um carro é dado por C = x2 - 40x + 200. Nessas condições, calcule a quantidade de peças a serem produzidas para que o custo seja mínimo. Calcule também qual será o valor deste custo mínimo. 45) Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja ℎ(ݐ) = − ݐଶ + 8ݐ + 10. Calcule a altura máxima atingida pela bola e em que instante ela alcança esta altura. 46) O lucro de uma empresa é dado por L = F - C, onde L é o lucro, F o faturamento e C o custo. Sabe-se que, para produzir x unidades, o faturamento e o custo variam de acordo com as equações: ܨ(ݔ) = 1500ݔ − ݔଶ e ܥ(ݔ) = ݔଶ − 500ݔ. Nessas condições, qual será o lucro máximo dessa empresa e quantas peças deverá produzir? 
Respostas 
1) E 2) C 3) D 4) A 5)B 6) A 7) E 8)D 9)C 10)A 11)D 12) C 13)D 14)C 15)C 16)A 17)A 18) a) 4x + y + 8 = 0 b) y = - x² + 2x c) x = -1 19)D 20)D 21)C 22)E 23) 93 24)A 25)A 26)C 27)E 28)B 29) A 30)A 31)C 32)B 33) A 34)C 35)D 36)A 37)C 38)E 39)B 40)A 41)D 42)A 43)B 44)R = 20, 1600 45)R = 4 seg., 26m 46)R = 500 peças, R$ 500.000,00 
a) – 8 
b) – 6 
c) 0 
d) 6 
e) 8 
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