Apostila de Tópicos de Matemática - Eng. Básico UNIP

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TÓPICOS DE 
MATRIZES, 
PROF
UNIVERSIDADE 
NOTAS DE AULA 
 
 
ÓPICOS DE MATEMÁTICA
 DETERMINANTES E SISTEMAS L
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ROF. LUIZ CARLOS MARTINS JR 
ENGENHARIA BÁSICA 
NIVERSIDADE PAULISTA (UNIP) 
2016 
ATEMÁTICA 
LINEARES 
 
 
T Ó P I C O S D E M A T E M Á T I C A M A T R I Z E S E S I S T E M A S L I N E A R E S 
P R O F . L U I Z C A R L O S / UNIVERSIDADE PAULISTA (UNIP) / CÂMPUS SÃO JOSÉ DO RIO PRETO 1 
1. MATRIZES 
Introdução 
Os primeiros registros que se tem notícia sobre matrizes datam de 250 a.C. na antiga China sob a forma de tabelas que auxiliavam na resolução de sistemas de equações lineares. Muito tempo depois é que a teoria das matrizes estava, de fato, formulada. Portanto, matrizes nada mais são do que tabelas. Como as matrizes são tabelas, daremos alguns exemplos de matrizes nesse formato: Exemplo 1.1: Poluentes da atmosfera que saem dos escapamentos de automóveis: 
 Monóxido de Carbono Hidrocarbonetos Òxidos Nitrosos Enxofre Fuligem Gasolina 27,7 2,7 1,2 0,22 0,21 Álcool 16,7 1,9 1,2 0 0 Diesel 17,8 2,9 13,0 2,72 0,81 Gás Natural 6,0 0,7 1,1 0 0 
 A matriz acima possui 4 linhas e 5 colunas (corpo da tabela), então dizemos que essa matriz é do tipo 4 x 5. Exemplo 1.2: Perfil de alguns alimentos: 
 Gordura Saturada (g) Colesterol (mg) Bife Magro (100g) 2,7 56,0 Carne de porco (100g) 3,2 80,0 Fígado (100g) 2,5 372,0 Iogurte desnatado (1 copo) 1,8 11,0 Leite integral (1 copo) 5,1 33,0 Lula (100g) 0,4 153,0 Óleo de coco (1 colher sopa) 0 11,8 Óleo de milho (1 colher sopa) 0 1,7 Ovo 1,7 274,0 
 A matriz acima possui 9 linhas e 2 colunas, então dizemos que essa matriz é do tipo 9 x 2 
Conceitos 
Chamamos matriz de ordem m por n a um quadro (ou tabela) de nm  números dispostos em m linhas e n colunas. Neste caso dizemos que a matriz tem ordem m por n. Os números que formam a matriz são chamados elementos da matriz. Ao lado temos um exemplo de matriz 3x4. Podemos denotar as matrizes por colchetes ou por duas barras de cada lado. Abaixo temos mais dois exemplos de matrizes sendo a primeira uma matriz 2x2 e a segunda uma matriz 3x2. 
Exemplo 1.3: 



3
54
02 
33
11
02



 
100
384
012


 
 matriz 2 x 2 matriz 3 x 2 determinante de uma matriz 3 x 3 
ATENÇÃO: A representação com uma barra de cada lado indica o determinante da matriz.. 
Representação 
 Os nomes das matrizes são representados por letras maiúsculas: A, B, C, ... 
 Os elementos são representados por letras minúsculas. 
Em geral os elementos são representados por letras minúsculas acompanhadas de um índice duplo que se refere à posição ocupada pelo elemento na matriz, denotada por LCa onde L é a linha e C é a coluna. 








34333231
24232221
14131211
 








zc
yb
xa
A 
 xa








3231
2221
1211
aa
aa
aa
A 
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Podemos então representar uma matriz genérica recorrendo às reticências como mostrada ao lado ou simplesmente escrevendo:   nmijaA  . 
Alguns tipos especiais de matrizes 
 Matriz linha e matriz coluna (vetores) 
Uma matriz linha é uma matriz de ordem 1 por n e uma matriz coluna é uma matriz de ordem n por 1. Essas matrizes também são chamadas de vetores: vetor linha e vetor coluna. 
Exemplo 1.4: 







 

1
527
1

A  naaaaB ...321 
 Matriz coluna 
 Matriz quadrada 
Chamamos uma matriz de matriz quadrada quando o número de linhas e o número de colunas são iguais. Se uma matriz tem n linhas por n colunas então dizemos simplesmente que é uma matriz de ordem n. Abaixo (à direita) temos um exemplo de matriz de ordem 3. Chamamos de diagonal principal e diagonal secundária os elementos dispostos da seguinte maneira: 








*
*
*
 







*
*
*
 
33311
260
501









 
 diagonal principal diagonal secundária diagonal secundária diagonal principal 
Por exemplo, os elementos da diagonal principal da matriz acima (à direita) são 1 –6 e 3 e os elementos da diagonal secundária são 5, -6 e -1. 
Simbolicamente podemos escrever que os elementos da diagonal principal são os elementos jia , onde ji 
. Os elementos da diagonal secundária são os elementos jia onde 1 nji . 
ATENÇÃO: Somente matrizes quadradas têm diagonal principal e diagonal secundária. 
 Matriz diagonal e matriz identidade 
Uma matriz quadrada  jiaA  é chamada matriz diagonal quando 0jia , ji  . Uma matriz  jiaI  é chamada identidade (ou matriz unidade) quando é uma matriz diagonal tal que 1iia . 
Exemplo 1.5: 

  10
02A 
4000
0000
0030
0001
B 







100
010
001
3I 

 10
01
2I 
Exemplos de matriz diagonal Exemplos de matriz identidade 
 Matriz triangular superior e matriz triangular inferior 
Uma matriz quadrada  jiaA  é chamada triangular superior quando 0jia , ji  . Uma matriz 
quadrada  jiaA  é chamada triangular inferior quando 0jia , ji  . 
Matriz linha 









mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
.......................................
...
...
321
2232221
1131211
 
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Exemplo 1.6: 







 


2000
1000
8030
0421
A 







200
410
253
B Exemplos de matriz triangular superior. 
Exemplo 1.7: 

 32
01A 












0021
0230
0024
0003
B Exemplos de matriz triangular inferior. 
 Matriz nula (ou matriz zero) 
Uma matriz O tal que todos os seus elementos são nulos é chamada matriz nula. 
Exemplo 1.8: 











0000
0000
0000
0000
O 







00000
00000
00000
O  0000O 
 Matriz Oposta 
A matriz oposta de uma matriz A é uma matriz B obtida de A quando trocamos os sinais de todos os elementos de A. 
Exemplo 1.9: Seja 

 
 410
302A . Então a matriz oposta de A é: 

 
 410
302A . 
 Matriz transposta 
Dada uma matriz mnA  chamamos matriz transposta de A a matriz nmtA  , onde as linhas da matriz A 
passam a ser colunas da matriz tA e as colunas de A passam a ser as linhas de tA . 
Exemplo 1.10: Seja 

 
 410
302A . Então a matriz transposta de A é: 









43
10
02
tA . 
Igualdade de matrizes 
Dizemos que duas matrizes são iguais quando os elementos que ocupam posições iguais são iguais. Logo é uma condição necessária que as matrizes tenham mesma ordem para que possam ser iguais. 
Exemplo 1.11: As matrizes A e B abaixo serão iguais se e somente se 8x e 2y . As matrizes A e C 
abaixo não serão iguais quaisquer que sejam os valores de x e y. 
 

 46
2 xA 

 46
8yB 

 26
8yC 
Exercícios (em aula) 
1) Considere a matriz ܣ = ቌ 4 −1 02 3 ఱమ−3 2 −√2ቍ. Quais são os valores dos elementos ܽଵଶ , ܽଶଵ , ܽଷଷ , ܽଵଷ e ܽସଶ. 2) Nos meses de janeiro, fevereiro e março os preços médios dos ovos foram $4,00, $3,00 e $5,00 respectivamente. a) Escreva a matriz Preço Médio: Mês x Preço. Qual a ordem dessa matriz? b) Essa é um tipo especial de matriz? Qual? 
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c) Escreva a matriz transposta da matriz Preço médio. Qual a ordem dessa matriz? 
3) Sabe-se que os ovos são classificados, segundo seu tamanho, em Extra, Tipo A e Tipo B (existem mais!). Os preços médios do ovo tipo Extra foram, em janeiro, fevereiro e março, $4,00, $3,00 e 5,00, respectivamente, do Tipo A foram $3,50, $2,50 e $4,50 e do Tipo B foram $3,00, $2,00 e $4,00. Escreva a matriz Preço Médio no Trimestre: Mês x Preço. Essa é um tipo especial de matriz? Qual? 
4) Uma fábrica de doces produziu em 4 semanas consecutiva as seguintes quantidades: 120, 180, 100 e 80 quilos de figada, 50, 90, 40 e 30 quilos de pessegada. Escreva a matriz Quantidade Produzida: Semana x Doce. Essa é um tipo especial de matriz? Qual? 
5) Escreva a matriz   33xijbB  sabendo que   ji jibij se 0 se 1 . Essa é um tipo especial de matriz? Qual? Qual a ordem dessa matriz? 
6) Escreva a matriz   22 jiaA com jia ji  . Quais os elementos da diagonal secundária? Escreva a matriz oposta de A e a matriz transposta de A. 
7) Considere as matrizes ܣ = ൬ݔ + 2ݕ 2−1 ݕ൰ e ܤ = ቀ 6 ݔ + ݕ−1 4 ቁ 
8) Sendo 

  00
2 baaA uma matriz nula calcule a e b. 
9) A matriz transposta de 

 654
321A é a matriz 







36
25
14
? Justifique! 
10) Quais os elementos da diagonal principal e diagonal secundária das matrizes do exercício anterior? 11) Quantos elementos tem uma matriz quadrada de ordem 8? 
12) Seja um sistema linear de m equações e n incógnitas: 






mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
..............................................
...
...
2211
22222121
11212111
. Podemos 
associar a ele as seguintes matrizes: 
 











mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
 











mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
B
...
...............
...
...
21
222221
111211
 
chamada matriz incompleta chamada matriz completa 
Por exemplo, dado o sistema 
 

62
432
zyx
zyx temos 

 
 121
132A e 

 
 6121
4132B 
como matrizes incompleta e completa respectivamente1. Escreva as matrizes completa e incompleta dos seguintes sistemas: 
a) 
 

62
432
zyx
zyx b) 
 

012
2432
xy
zyx 
 
 1 As matrizes são particularmente úteis para solução computacional de sistemas de equações lineares pois estas são tratadas como matrizes pelos algoritmos (e que são vistos na disciplina Cálculo Numérico). 
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Exercícios propostos 
1 - Uma editora imprimiu no ano de 1998 as seguintes quantidades de livros: 3 romances, 4 aventuras, 5 romances juvenis e 2 policiais. Escreva a matriz Produção 1998: Ano x Livros. Resposta:  25431998 PJAR 
2 - Dona Maria foi à feira e comprou 4 dúzias de ovos, duas dúzias de bananas, três maçãs e 5 quilos de feijão. Dona Augusta foi à mesma feira e comprou 1 dúzia de ovos, 3 dúzias de banana, 2 quilos de feijão e 3 quilos de arroz. Escreva a matriz Compras na Feira: Pessoa x Produto. Resposta: 



3231
5324
Augusta
Maria
FMBO 
3 - Escreva a matriz transposta da matriz do exercício anterior. Resposta: 








35
23
32
14 
4 - Um agricultor dispõe de 4 qualidades de adubo com as seguintes características: a) Cada quilograma do adubo I contém 10g de nitrato, 10g de fosfato e 100g de potássio. b) Cada quilograma do adubo II contém 10g de nitrato, 100g de fosfato e 30g de potássio. c) Cada quilograma do adubo III contém 50g de nitrato, 20g de fosfato e 20g de potássio. d) Cada quilograma do adubo IV contém 20g de nitrato, 40g de fosfato e 35g de potássio. 
Escreva a matriz Características dos Adubos: Adubo x Quantidades. Resposta: 








354020
202050
3010010
1001010
IV
III
II
I
PFN 
5 - Escreva a matriz incompleta dos seguintes sistemas de equações lineares: 
a) 
 

04
132
yx
zyx b) 
 

4
32
zy
zx c) 





ttx
yxz
xyx
3
23
13
 
Resposta: a) 

 

014
132 b) 

 

110
102 c) 











2001
0113
0012 
6 - Dada a matriz   23 jiaA , com jia ji  , escreva a matriz oposta de A. Resposta: 












54
43
32
A 
7 - Determine a matriz real quadrada A de ordem 2, definida por 
 
  jii
jia jiji se 1
 se 2
2 . Resposta:  65 82A 
8 - Escreva as ordens das matrizes anteriores e os respectivos nomes (retangular, quadrada, linha, ...) 9 - Definimos traço de uma matriz (quadrada) como sendo a soma dos elementos da sua diagonal principal. Calcule o traço das seguintes matrizes: 
a)  3 b)   23 42 c)  43 21 d) 










301
240
311
 Respostas; a) 3 b) 0 c) 5 d) 2 
10 - Obtenha x para que seja verificada a igualdade 




x
x
3
1
23
21 2 . Resposta: 2 
Exercícios Complementares 
1 - Numa classe existem 8 rapazes e 10 moças, sendo que 4 rapazes são louros, os outros são morenos com exceção de um que é negro; 3 moças são louras, 6 são morenas e uma é ruiva. Escreva a matriz Distribuição: Sexo x Tipo. Resposta: 



1063
0134
Moças
Rapazes
RNML 
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2 - No jogo treino da seleção da universidade experimentaram 4 novos atacantes: X, Y, Z e W. Verificou-se que X chutou 9 bolas em gol, Y chutou 10, Z chutou 12 e W chutou 15. Foram defendidas 2, 4, 3 e 1 respectivamente. Só X e Z marcaram, sendo 1 gol de X e 1 gol de Z. Chutaram na trave: Y uma vez e Z também uma vez. Escreva a matriz Resultados: Jogadores x Resultados. Essa é um tipo especial de matriz? 
Qual? Resposta: 










00115
11312
10410
0129
W
Z
Y
X
TGDC 
3 - Um grupo de pesquisadores estudou três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g) eles determinaram que: 
a) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C. b) O alimento II tem 2, 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C. c) O alimento III tem 3 unidades de vitaminas A, 3 unidades e vitamina C e não contém vitamina B. 
Escreva a matriz Constituição dos Alimentos: Alimento x Quantidade de vitamina. Resposta: 








303
532
431
III
II
I
CBA 
4 - A seguinte igualdade é verdadeira? Justifique!       31042
2
52
21 33
215,0
279
41 Resposta: Não. 
5 - Calcular x e y de modo que se verifique a igualdade: 



 

539
212
49
24
2x
y . Resposta: ver [8] pág. 387 
6 - Quais das igualdades abaixo são verdadeiras? 
a) 




12
30
01
23 b) 




043
021
43
21 c) 









00
42
31
043
021 d)      12 0112 01 2 
Resposta: Somente a última 7 - Escreva as matrizes abaixo: 
a)   32 jiaA , sendo ija ji  
b)  23 jibB , sendo   jijib  1 . Resposta: a)  642 321A b) Ver [2] pág. 10 
8 - Considere o seguinte problema: temos que transportar produtos das várias origens onde estão estocados para vários destinos onde são necessários. Os custos unitários de transporte de cada origem para cada destino estão mostrados na figura ao lado onde Cij é o custo unitário de transporte de cada origem i para o destino j. Escreva a matriz Custo Unitário de Transporte.2 
 
9 - Um grafo é uma estrutura de abstração que representa um conjunto de elementos denominados nós (ou vértices) e suas relações de interdependência (as arestas). Podemos representar grafos por diagramas como no exercício anterior. Outra forma de representação do grafos é através de matrizes. Como você representaria, matricialmente, o grafo ilustrado ao lado? 3 
 2 Exemplo tirado do livro Pesquisa Operacional – para os cursos de economia, administração e ciências contábeis, MEDEIROS, MEDEIROS, GONÇALVES, MUROLO, Ed. Atlas, página 96. 3 Definição de grafo retirada de Otimização Combinatória e Programação Linear – modelos e algoritmos, M. C. Goldbarg e H. P. L. Luna, Ed. Campus. Veja Representação de Matriz de Adjacência na página 593. 
1 
2 
3 4 
5 6 
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10 - Na figura ao lado temos representada uma rede de comunicação em cinco locais, numerados de 1 à 5, com transmissores de potências distintas. Nela vemos que o transmissor 1 pode transmitir diretamente para o transmissor 3 mas o transmissor 3 não pode transmitir diretamente para o transmissor 1 (veja as direções das setas). Escreva a matriz que representa esse grafo convencionando que os valores da matriz serão 0 e 1 para representar a transmissão direta ou não. (Dica: Veja o exercício 16, pág. 13 de [4]) 
Dica de Leitura 
Para reforçar os conceitos vistos aqui: 
 Leia e faça alguns exercícios contidos em [2] (pág. 8-13) e [1] (pág. 169-173). 
 Leia as páginas 1-4 do livro [4] e as páginas 8-10 de [5]. 
 Para os cursos de computação é interessante ver [11] páginas 204-205, em particular a seção 5.2 sobre Representações Computacionais de Grafos nas páginas 243-245 e os exercícios das páginas 248-249. 
 2. OPERAÇÕES COM MATRIZES 
Adição e subtração com matrizes 
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem nm  é uma matriz também de ordem nm  denotada por BA que obtemos somando os elementos de mesmo índice da matrizes dadas. Analogamente podemos definir a subtração de matrizes. 
Exemplo 1.12: 


  1219
042A e 

 
 128
241B  


  02517
203BA e 




 2231
281BA 
Exemplo 1.13: Sendo 

 
 128
241A e 

 11
11B não podemos efetuar BA  nem BA . Porque? 
Simbolicamente: Se   nmjiaA  e   nmjibB  então       nmji nmjidBA cBA onde jibad jibac jijiji jijiji ,, ,,  . 
 Propriedades 
Sejam A e B matrizes de ordem nm  . Então valem as seguintes propriedades: 
a - Propriedade associativa:    CBACBA  
b - Propriedades comutativa: ABBA  
c - Elemento neutro: AOAOA  , onde O é a matriz nula de mesma ordem que a matriz A. 
d - Existência do oposto: Qualquer que seja a matriz A podemos encontrar uma matriz B (de mesma 
ordem) tal que OBA  . Esta matriz B é chamada oposta de A e indicaremos por -A. 
Essas propriedades nos dizem que as operações de soma e subtração em equações matriciais podem ser tratadas da mesma maneira que a soma e a subtração com números reais Conceitos avançados: Seja C um conjunto qualquer (como por exemplo o conjunto das matriz de ordem 3x2!). Se neste conjunto estiver definido uma operação (como por exemplo a + vista acima) que é associativa então dizemos que esse conjunto é um semigrupo. Se além da associativa essa operação também implica na existência do elemento neutro então chamamos esse grupo de monóide. Se essa operação, além de associativa e existir o elemento neutro, for tal que todo elemento de C tenha um elemento oposto (em relação à +) então chamamos esse conjunto de grupo. Esse grupo é chamado de grupo comutativo ou grupo abeliano caso a operação também seja comutativa. Concluímos então que as matrizes, de uma dada ordem, são, em relação à adição, um grupo comutativo. Para mais informações e exemplos veja [11] páginas 361-370. 
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Igual 
pmpnnm CBA  
Resultado 
Produto de escalar por 
Seja  um escalar e   nmjiaA  uma matriz qualquer. Então o produto de  por A é a matriz A obtida multiplicando cada elemento de A por  . Analogamente podemos definir a divisão de uma matriz por um 
escalar não nulo (diferente de zero) assim: AA  1 . 
Exemplo 1.14: Sendo 


  1219
042A então 


  32327
01263A e 






 
3
1
6
13
03
4
3
2
3
A . 
Simbolicamente: Se   nmjiaA  e  IR então   nmjicA  onde jiac jiji ,,  . 
 Propriedades 
Sejam  e  escalares e A e B matrizes de ordem nm  . Então valem as seguintes propriedades: 
a -   BABA   c-    AA   
b -   AAA   d- AA 1 
Conceitos avançados: Um conjunto C (como por exemplo o conjunto das matrizes de ordem m x n) onde existe uma operação sobre C ou lei de composição interna que faz de C um grupo (como a adição de matrizes) e uma outra operação entre um escalar e um elemento de C cujo resultado está em C e que satisfaz as mesmas propriedades vistas acima é chamado de espaço vetorial. São muitos os conjunto que se comportam assim, em particular o conjunto das matrizes de ordem m x n. Para mais detalhes veja, por exemplo, [4] páginas 97-105. 
Produto de matrizes 
Vamos utilizar um exemplo para mostrar a multiplicação entre matrizes. 
Exemplo 1.15: Calcule ABC  , sendo:  
22
21 21
35e33

 

 BA 
Observação: Para começar devemos observar se o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B. A matriz resultante terá ordem formada pelo número de linha de A e colunas de B. Veja o esquema acima. Vemos neste exemplo que não será possível calcular o produto de B por A, ou seja, BA. 
Resumindo: Multiplicamos os elementos da 1ª linha com a 1ª coluna e somamos os resultados. Então repetimos o processo para a 2ª coluna. 
Potência: Seja ܣ uma matriz quadrada de ordem ݇. Então sempre é possível calcular ܣ ∙ ܣ. Definimos ܣଶ = ܣ ∙ ܣ. Seja n um número inteiro maior que 1. Então: 
ܣ௡ = ܣ ∙ ܣ ∙ ⋯ ∙ ܣᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ
௡ ௩௘௭௘௦
 
assim como é feito com números reais. As matrizes ܣଶ e ܣ௡ também são matrizes quadradas de ordem k. 
152333 
181353 
 
22
21 21
3533

 

 BeA   211518 C
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Exemplo 1.16: Sejam 







10
12
21
A e 

  210
641B . Então 
333223 210
1472
1021
210
641
10
12
21
xxx
AB 










 







 
222332
12
129
10
12
21
210
641
xxx
BA 










  
Exemplo 1.17: Sejam 
2310
12
21







A e 
2211
11


B . Então 
232223 11
33
33
11
11
10
12
21
xxx
AB 















e 









2322 10
12
21
11
11
xx
BA não existe!!! 
ATENÇÃO: O número de colunas da matriz à esquerda deve ser igual ao número e linhas da matriz à direita. 
APLICAÇÃO: Uma empresa fabrica 3 produtos: X, Y e Z. A tabela abaixo mostra as despesas em produzir cada um desses produtos (em centavos de real) que estão divididos em 3 categorias: matéria prima, mão de obra e despesas gerais: Despesas para produzir os produtos X, Y e Z, segundo o tipo de despesa 
Categoria de despesa X Y Z 
Matéria prima 12 10 40 
Mão de obra 30 15 50 
Despesas gerais 15 25 32 
 As quantidades produzidas nos meses de janeiro, fevereiro e março estão descritas na tabela abaixo: Quantidades produzidas dos produtos X, Y e Z nos meses de jan, fev e mar. 
Produto Jan Fev Mar 
X 130 140 250 
Y 180 220 300 
Z 140 360 420 
 a) Colocando os dados da 1ª tabela na matriz A e os dados da 2ª tabela numa matriz B, qual produto faz sentido neste contexto? AB ou BA? b) Usando multiplicação de matrizes, quanto foi a despesa com matéria prima no mês de fevereiro? c) Usando multiplicação de matrizes, quanto foi a despesa com mão de obra no mês de março? 
 Propriedades 
a - Associatividade: Sejam A uma matriz de ordem nm  , B uma matriz pn e C uma matriz de 
ordem qp . Então    BCACAB  . 
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b - Distributiva à esquerda: Sejam A e B matrizes de ordem nm  e C uma matriz de ordem pn . 
Então   BCACCBA  . 
c - Distributiva à direita: Sejam A uma matriz de ordem nm  , B e C matrizes de ordem pn . Então   ACABCBA  . 
d - Existência do elemento neutro: Seja A uma matriz de ordem nm  . Então nm AIAAI  . 
e - Dadas as matrizes A de ordem nm  e B de ordem pn e  um número real temos que :      BAABBA   . 
f - A multiplicação matricial não é, em geral, comutativa. Veja exercícios abaixo. 
g - Não é verdade que se OAB então OA  ou OB  , como acontece com os números reais. Veja 
exercícios abaixo. 
h - Não é verdade que se ACAB  então CB  (lei do anulamento). Veja os exercícios abaixo. 
Em [2], páginas 20-29, você encontrará mais detalhes e vários exemplos ilustrando essas propriedades. Você também encontrará muitos exemplos em [5] páginas 20-28, e em [3] páginas 55-67. Observação: No conjunto das matrizes de ordem m x n a operação de multiplicação só poderá ser realizada caso m = n. Neste caso este conjunto é um monóide em relação à multiplicação, 
Exercícios (em aula) 
1) Dadas as matrizes 










25
03
01
A , 







20
08
17
B e 







62
04
80
C , obtenha a matriz .CBA  
2) Obtenha a matriz X tal que OBAX  sendo: 

 41
03A e 

 75
61B . 
3) Dadas as matrizes 







0
3
1
A , 







1
8
7
B e 







6
2
4
C , calcule 22
CBA  . 
4) Dadas as matrizes 

 04
32A , 

 08
14B e 

 13
26C , obtenha X tal que CBAX 3 . 
5) Dadas as matrizes 

  31
20A e 

  20
64B , obter AB e BA. 
6) Dadas as matrizes 

 
 403
210A e 







7
6
5
B , obter AB e BA, se existirem. 
7) Considere a matriz ܣ = ቀ2 −11 3 ቁ. Calcule ܣଶ. 8) Dona Maria mandou a empregada à feira, e esta comprou 3 dúzias de bananas, 5 dúzias de laranjas e 2 abacaxis. Sabendo-se que os preços são $4,00, $3,00 e $0,70, calcule matricialmente a despesa. 
9) Dadas as matrizes 

 02
02A e 

 22
00B , obter AB e BA. 
10) A multiplicação matricial é comutativa, ou seja, BAAB  ? Justifique! 
11) É verdade que se OAB então OA  ou OB  , como acontece com os números reais? Justifique! 
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12) Sejam 

 42
21A , 

 
 11
30B e 

 
 20
12C . Verifique que 

 
 104
52ACAB . 
13) É verdade que se ACAB  então CB  (lei do anulamento)? Justifique!. 
14) Considere a matriz 






 
511
203
431
A . Calcule 3IA  e AI 3 . 
15) Um projeto feito por uma estudante de nutrição tem a participação de 60 mulheres, descritas na tabela abaixo: Distribuição das mulheres participantes do projeto, segundo a faixa etária e sedentarismo 
Sedentárias Idade entre 30 e 45 anos Idade acima de 45 anos 
Sim 13 15 
Não 20 12 
 Em cada refeição o número médio de porções de proteínas, gorduras e carboidratos consumidos por cada uma dessas mulheres foi registrado na seguinte tabela: Número médio de porções consumidos por cada uma das mulheres do projeto, segundo a faixa etária e macronutriente. 
Idade Proteínas Gorduras Carboidratos 
Entre 30 e 45 anos 4 1 9 
Acima de 45 anos 9 2 17 
 Utilizando produto de matrizes, responda: a) Quantas porções de proteínas são consumidas por mulheres sedentárias? b) Quantas porções de gordura são consumidas por mulheres não sedentárias? 
Exercícios Propostos 
1 - Consideremos que a indústria Antonieta possui duas fábricas: uma em São Paulo e outra em Minas Gerais. A fábrica de SP produz mensalmente 60, 30 e 24 unidades dos produtos A, B e C respectivamente. A fábrica de MG produz 10, 8 e 6 unidades/mês. 
a) Escreva a matriz Fábrica x Produção mensal; b) Supondo que o estoque em 1o de abril seja dada pela matriz ao lado, calcule matricialmente o estoque em 1o de maio (supondo não haver pedidos); c) Suponhamos agora que houve, em abril, o pedido mostrado pela matriz ao lado, calcule novamente o estoque em 1o de maio; d) Calcule, matricialmente, o estoque em 31 de dezembro supondo que a produção e os pedidos sejam constantes até o final do ano. e) Prevendo que a produção não será suficiente para a demanda a indústria Antonieta pretende aumentar em 50% sua produção nas 2 fábricas já no início de abril. Calcule novamente o estoque em 31 de dezembro (supondo a mesma demanda). f) Suponhamos que o preço de custo, por unidade produzida, dos produtos A, B e C sejam $10, $12 e $6 em abril calcule matricialmente o custo de produção mensal das fábricas. g) Analistas de mercado prevêem que o preço de custo de produção dos produtos A, B e C sejam de: $12, $20 e $10 para o mês de maio; $15, $30 e $12 para o mês de junho; e $18, $35 e $15 para o mês de julho. Calcule o custo de produção no trimestre considerado para as fábricas. 
ESTOQUE 


058
301040
MG
SP
CBA
 
PEDIDO (ABR.) 


946
10815
MG
SP
CBA
 
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Respostas: a) 


6810
243060 b) 


61318
5440100 c) 

  3912
443285 d) 

  274144
156208445 e) 


07789
264343715 f) 


348
1656 g) 


2028
9207 
2 - Calcule x, y, z e t sabendo que: 



 


tz
yx 23
10
2
21
1 . Resposta: ,1,1  yx 1 e 1  tz 
3 - Sendo 

 10
01A e 

  10
21B , obter X tal que ABX 2 . Resposta:  00 11X 
4 - Sendo 

  02
11A , 

 10
12B e 

 11
11C , obter a matriz BCA . Resposta:  13 24BCA 
5 - Calcule o produto ABC, sendo 
  010
312A , 









1
1
0
B e  054C . Resposta:    054 0108ABC 
6 - Sendo    4141 3020 a  , calcule o número a. Resposta: 2a 
7 - Sendo    3141 3020 a  , calcule o número a. Resposta: Não existe a que satisfaça a equação. 
8 - Uma matriz quadrada  ijaA  pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz que resulta dessas 
operações é chamada potência n da matriz A e é representada por nA . Sendo 

 34
21A calcule 2A e 
3A . Resposta:  1716 892A  8384 42413A 9 - Verdadeiro ou Falso? Justifique! 
a) ( ) Se A e B são matrizes do mesmo tipo, então existe AB e BA. 
b) ( ) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então existe AB e BA. 
c) ( ) Se A e B são matrizes, podemos ter OAB com OA  e OB  . 
d) ( ) Se OA  , podemos ter a igualdade dos produtos matriciais AB e AC, sem que B e C sejam iguais. 
e) ( ) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então AB é sempre diferente de BA. 
f) ( ) Se OA 2 então a matriz A é nula. 
g) ( ) Se OA  ou OB  , então OAB . Respostas: F V V F F V 
10 - Sejam A e B matrizes 2x2. Se o produto AB é nulo, então: 
a) OA  
b) OB  
c) OBA  
d) OA  ou OB  
e) Não se pode garantir que OA  ou OB  . Resposta: e) 
11 - Uma matriz quadrada A de ordem n é chamada inversível se existir uma matriz (também quadrada de ordem 
n) B tal que: nIBAAB  . Quando existe tal matriz B, ela é chamada matriz inversa de A e é denotada 
por 1A . Verifique se B é a inversa de A nos casos: 
a) 

 64
42A e 




21
231
1B . Resposta: Sim 
b) 

  132
321A e 

 32
32B . Resposta Não. 
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c) 

 10
10A e 

 00
11B . Resposta: Não. 
d) 

 01
10A e 

 01
10B . Resposta: Sim. 
Exercícios Complementares 
1 - Calcule xIA sendo 

 01
10A . Resposta:   xx1 1 
2 - Calcule: a) 



 

y
x
21
32 b) 















z
y
x
432
012
201
. Respostas: a)   yx yx 232 b) 








zyx
yx
zx
432
2
2 
3 - Diz-se que uma matriz quadrada A, de ordem n, é idempotente se AA 2 . Das matrizes abaixo, quais são idempotente? 
a) 

 
10
12 b) 

 

33
22 c) 


11
11 d) 


01
10 e) 



13
31 f) 










444
333
111
 
Resposta: b) e f) 
4 - Calcule 2X para as seguintes matrizes: 
a) 

 01
10X b) 



 21
12X c) 

 00
01X d) 

 
 23
23X 
e) 

 01
00X f) 

  24
12X Respostas: a)  10 01 b)  10 01 c)  00 01 d)   23 23 e)  00 00 f)  00 00 
5 - Sendo 

 213
121A e 







13
12
21
B , obter AB e BA. Resposta:  911 58AB 





576
455
547
BA 
6 - Dadas as matrizes 

 010
001A , 







01
10
01
B e 







00
10
01
C , obter AB, BA, AC e CA. 
Resposta: 2IAB  








001
010
001
BA 2IAC  





000
010
001
CA 
7 - Sejam 

 10
10A e 

 00
11B . Verifique que OAB e 

 00
10BA . 
8 - Se  31  kA e 







4
5
3
V , calcule k para que AV seja matriz nula. Resposta: 3k 
9 - Calcule: 

 


01
10sen10
01cos  . Resposta:     cossen sencos 
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10 - Para cada número real  consideremos a matriz: 

    cossen sencosT . 
a) Mostre que  TTT  (Neste exercício você precisará de alguns resultados da trigonometria) 
b) Calcule T e 0T . (Ver exercício resolvido página 24 de [9]) 
11 - Sendo 

 baA
21 calcule a e b tal que 


 178
492A . Resposta: 3,4  ba 
12 - Resolva o sistema: 
 

BYX
AYX
2
3 em que 

 40
02A e 

 03
51B . Resposta: Ver [3] página 54. 
13 - Define-se distância entre duas matrizes  ijn aA  e  ijn bB  , quadradas e de mesma ordem n, pela seguinte fórmula:   njibamáxBAd ijij ,...,2,1,,;  
Calcule a distância entre as matrizes: 
a)  3A e  1B b)  43 21A e  87 65B c) 







987
654
321
A e 






 


240
126
301
B 
Respostas: a)   4; BAd b)   4; BAd c)   7; BAd 
14 - Desenvolver  2BA sabendo que A e B comutam. (Dica: Ver [3] página 64) 
15 - Obtenha a e b de modo que as matrizes 

 21
11A e 

 43
baB sejam comutáveis. Resposta: Ver página 26 de [2] 
16 - Considere as matrizes:   74 jiaA definida por jia ji  ,   97 jibB definida por ib ji  e  jicC  
definida por ABC  . O elemento 63c é: 
b) 112 b) 9 c) 18 d) 112 e) não existe Resposta: e 
17 - Sejam 

 01
1xA e 

 yB 1
21 . Obtenha x e y para que tenhamos 2IBAAB  . Resposta: Não existem 
18 - Obtenha todas as matrizes B que comutam com 

  03
11A . Resposta: Ver [3] página 63. 
Desafios 
1) Considere as matrizes 

 64
32A , 

  25
81B e 

  312
534C . 
a) Calcule  CAB ; 
b) Calcule  BCA ; 
c) Note neste exercício que    BCACAB  . Foi uma simples coincidência? Justifique! 
d) Calcule  CBA  ; 
e) Calcule BCAC  ; 
f) Note neste exercício que   BCACCBA  . Foi uma simples coincidência? Justifique! 
2) É verdade que IXIX 2 ? Justifique! 
3) É verdade que OXOX 2 ? Justifique! 
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4) É verdade que IXXX 2 ou OX  ? Justifique! 
5) Desenvolver  2BA indicando quais as propriedades aplicadas. 
6) Se OBAAB  prove que ABAB 22  . 
7) Desenvolver   BABA  indicando quais as propriedades aplicadas. 
8) Desenvolver   BABA  sabendo que A e B comutam. 
9) Desenvolver  2AB , sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem. 
10) Desenvolver  2AB , sabendo que A e B comutam. 
11) Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, dê a condição para que    22 BABABA  . 
12) Se AAB  e BBA  prove que AA 2 . 13) Descubra a matriz que deve ser empregada para multiplicar todos os elementos de uma linha de outra matriz por k sem alterar os outros elementos. (Veja os exercícios 3.1 e 3.2 em [10] página 34) 14) Descubra a matriz que deve ser empregada para multiplicar todos os elementos de uma coluna de outra matriz por k sem alterar os outros elementos. 15) Descubra a matriz que deve ser empregada para trocar duas linhas de uma matriz sem alterar as outras linhas. (Veja os exercícios 3.1 e 3.2 em [10] página 34). 16) Descubra a matriz que deve ser empregada para trocar duas colunas de uma matriz sem alterar as outras colunas. 17) Descubra a matriz quedeve ser multiplicada por outra para que uma linha qualquer desta seja substituída pela de seus elementos adicionados com os elementos de outra linha qualquer. 
18) Encontre todas as matrizes de ordem 2 que comutam com 

 20
01A . (Dica: Veja exercício 18 pág. 26 de 
[2]) 19) Escreva o algoritmo para realizar a soma entre duas matrizes. 20) Escreva o algoritmo para realizar a subtração entre duas matrizes. 21) Escreva o algoritmo para multiplicar uma matriz por um escalar. 22) Escreva o algoritmo para multiplicar duas matrizes. Não se esqueça de verificar antes se a multiplicação é possível. 
Dicas de Leitura 
 Se você ainda tiver um pouco de dificuldades, leia o capítulo 12 sobre matrizes do livro [1]. Os exercícios são fáceis e servem para dar confiança. 
 No apêndice do livro [8], páginas 369-398, existem vários exercícios resolvidos e uma boa lista de exercícios propostos. 
 Uma ótima dica é ler as páginas 5-14 de [4]. Tente fazer o exercício 16 página 13! 
 Se você acha que o capítulo 12 do livro [1] é muito elementar, leia o capítulo sobre matrizes dos livros [2] e [3]. Os exercícios não são difíceis, em geral, mas não tão fáceis como os encontrados em [1]. 
 Finalmente, se possível, leia e faça alguns dos exercícios de [4], páginas 1-14 e [5], páginas 8-13. 
 Para os cursos de computação é interessante ver a referência [11] páginas 204-205, em particular as Matrizes Booleanas. Veja também a Alcançabilidade em um grafo direcionado nas páginas 255-257 principalmente o exemplo 29. 
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– + 
– + 
3. DETERMINANTES 
Consideremos uma matriz quadrada 









nnnnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
.......................................
...
...
321
2232221
1131211
 de ordem n. Podemos associar a ela 
um único número, denominado determinante de A, que simbolizaremos por Adet , e que será indicado colocando-se os elementos da matriz entre duas barras verticais - uma de cada lado. 
nnnnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
........................................
...
...
det
321
2232221
1131211
 
O cálculo de determinantes é particularmente útil para sabermos se um sistema de n equações lineares com n incógnitas tem ou não solução única, como veremos mais tarde. 
Determinante de uma matriz de ordem 2 
O determinante de uma matriz de ordem 2 é igual a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
Exemplo 2.1: Se 

 52
34A então 14325452
34det A . 
Exemplo 2.2: Se 

 12
32A então   8321212 32det A . 
Determinante de uma matriz de ordem 3 
Para calcularmos o determinante de uma matriz de ordem 3, existe a seguinte regra denominada Regra de Sarrus: 
Repetimos, à direita da matriz, as duas primeiras colunas. Acompanhando os traços em diagonal, multiplicamos os elementos entre si, associando-lhes o sinal indicado (veja figura ao lado): 
Exemplo 2.3: Se 







312
405
234
A então 
274516010240
312
405
234
det A . 
Exemplo 2.4: Se 







312
405
234
A então   434516010240
312
405
234
det A . 
É bastante interessante a introdução ao estudo dos determinantes encontrada em [4] páginas 64 e 65. 
Exercícios (em aula) 
1) Calcular os seguintes determinantes: 
 
 
12
05
34
312
405
234
 
    + + + 
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a) 2 b) 31
02 c) 31
02
 d) 31
02
 
2) Simplifique 112
2 ba
bb
aa  . 
3) Resolva a equação: 02
93 x . 
4) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e 2I a matriz identidade de ordem 2. Chamam-se auto-valores (ou 
valores-próprios) de A as raízes da equação   OIA  det 4. Calcule os auto-valores de  32 41A . 
5) Calcule 
122
431
201
1 D 
6) Calcule 
863
241
300
2 D . 
7) Resolva a equação 4
512
103
21


x
. 
Menor complementar 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, 1n , e jia um elemento desta matriz. Se eliminarmos a linha i e 
a coluna j, isto é, a linha e a coluna do elemento jia , obteremos uma matriz de ordem 1n , cujo determinante 
será chamado menor complementar do elemento jia e é indicado por jiD . 
Exemplo 2.5: Seja 

 52
13A então 511 D e 121 D . 
Exemplo 2.6: Seja 







285
143
012
A então 028
1411 D e 425
0222 D . 
Cofator ou complemento algébrico 
O cofator de um elemento jia numa matriz quadrada A de ordem n, 1n , é igual a   ji1 multiplicado 
pelo menor complementar do elemento jia e é indicado por jiA . 
 4 O polinômio resultante desta equação é chamado de polinômio característico. Outra definição equivalente é a seguinte: Um número real  é chamado de autovalor de A se existir um vetor não-nulo X tal que XAX  . 
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Exemplo 2.7: Seja 







285
143
012
A então   01 111111   DA ,   1185 121 3223  A e 422 A . 
Determinante de uma matriz de ordem n 
O determinante de uma matriz quadrada  jiaA  de ordem n, 1n , é a soma dos produtos dos elementos de qualquer linha (ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. 
Exemplo 2.8: Se 

 52
34A então, desenvolvendo o determinante pela primeira linha, por exemplo, temos: 
    14|2|13|5|14det 2111  A 
 
Exemplo 2.9: Se 







312
405
234
A então, desenvolvendo o determinante pela segunda coluna, temos: 
      27602145 241132 241032 4513det 232221  A . 
 Verifique que desenvolvendo por qualquer linha, ou por qualquer uma das colunas, o resultado é o mesmo. 
Atenção: O que vimos acima é conhecido como Teorema de Laplace e é especialmente útil para o cálculo de determinante de matrizes de ordem superior à 3. Neste caso escolhemos uma linha (ou coluna) conveniente. 
Propriedades 
Após cada propriedade existe um exemplo. Confira cada um deles! 
a - tAA detdet  . 
Exemplo 2.10: 253
42
54
32  e 0
963
852
741
987
654
321
 . Essa propriedade implica que todas as 
demais propriedades de determinante podem ser provadas apenas para as linhas que serão válidas imediatamente para as colunas e vice-versa. 
b - Usando o Teorema de Laplace é fácil ver que se os elementos de uma linha (ou coluna) de A forem todos 
iguais a zero então: 0det A . 
Exemplo 2.11: 000
21  004
01  0
000
254
321


 0
203
102
302


. Basta desenvolver o 
determinante, usando o Teorema de Laplace, pela linha ou coluna formada somente por zeros. 
c - Se B é a matriz que se obtém da matriz A, quando trocadas entre si as posições de duas linhas (ou 
colunas), temos: AB detdet  ; 
Exemplo 2.12: Se 

 43
21A e 

 34
12B então 2det B e 2det A . 
A11 A12 
A12 A22 A32 
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Exemplo 2.13: Se 







142
111
101A e 







101
111
142
B então 1detdet  AB . (Note que a matriz B foi 
obtida de A trocando-se a 1a e a 3a linha) 
Você pode, como exercício, fazer uma demonstração simples para o caso de matrizes 2 x 2 usando uma matriz genérica. 
d - Se a matriz A tiver duas linhas (ou colunas) iguais então: 0det A . 
Exemplo 2.14: Se 







225
114
443
A e 

 21
21B então 0detdet  BA . 
Essa propriedade pode ser vista como uma conseqüência da propriedade anterior. De fato, se A é uma matriz contendo duas linhas iguais considere B a matriz obtida de A trocando-se essas linhas (iguais). Então B = A. Mas pela propriedade anterior: 0det0det2detdetdetdet  AAAABA . 
e - Sejam A uma matriz quadrada qualquer e B uma matriz obtida multiplicando-se os elementos de uma 
linha (ou coluna) de A por um escalar k. Então AkB detdet  ; 
Exemplo 2.15: Se 







142
222
101
A e 







142
666
101
B então 6det3det  AB . (Note que a matriz B foi 
obtida de A multiplicando-se a 2a linha por 3) 
Essa propriedade é conseqüência do Teorema de Laplace. De fato, seja A uma matriz quadrada qualquer e B uma matriz obtida de A multiplicando-se uma linha por um número k. Então desenvolvendo o determinante de B e o determinante de A ambos por essa linha vemos que os cofatores de B são um múltiplo k dos cofatores de A. 
Uma conseqüência dessa propriedade é que   AkkA n detdet  , onde n é a ordem de A e k é um número real. 
Exemplo 2.16: Podemos usar as propriedades [d] e [e] em conjunto. Seja 







625
314
1243
A . Note que na 3a 
coluna de A todos os elementos são múltiplos de 3. Então 0
225
114
443
3det A . 
f - Se A é uma matriz triangular superior (ou inferior) então o determinante será igual ao produto dos elementos da diagonal principal; 
Exemplo 2.17: Se 







567
043
002
A então 40542det A . 
Essa propriedade é também conseqüência do Teorema de Laplace pois basta desenvolver o determinante da matriz em questão pela primeira linha e as matrizes menores seguintes também sempre pela primeira linha. 
g - Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem então BAAB detdetdet  ; 
Exemplo 2.18: Se 

 30
21A e 

 22
34B então 

 66
78AB e BAAB detdet6det  . (Verifique 
que 3det A e 2det B !) 
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Como conseqüência de [g] temos que BAAB detdet  . No exemplo acima temos 

 102
174BA e 
6det BA (Confira!). Mas essa propriedade exige bastante cuidado. Veja o exemplo a seguir! 
Exemplo 2.19: Sejam 

  102
421A e 







11
41
20
B . Então temos os seguintes produtos: 


  51
26AB e 









523
027
204
BA . Verifique que 32det AB e 0det BA . Isso 
contradiz a propriedade [g] acima? Porquê? 
h - Dadas três matrizes A, B e C de ordem n, com 1n linhas correspondentes iguais. Se os elementos da outra linha de C forem iguais à soma dos elementos correspondentes das linhas de A e B então: BAC detdetdet  (o mesmo vale para colunas). Mas cuidado:   BABA detdetdet  . 
Exemplo 2.20: Se 







124
703
512
A , 






 
324
203
112
B e 







424
503
612
C então 
BAC detdet
324
203
112
124
703
512
3124
2703
1512
424
503
612
det 



 . De fato, 
24det C , 27det A e 3det B . Além disso   96det  BA . 
i - Adicionando-se a uma linha de uma matriz A de ordem n, uma outra linha paralela a ela que se multiplica por uma constante, obtemos uma nova matriz B tal que: ;detdet AB  5 
Exemplo 2.21: Se 






 
021
143
002
A e 







521
1443
1002
B que é obtida adicionando-se à 3a coluna (de A) os 
elementos da 1a coluna multiplicados por 5. Então 4detdet  AB . 
Exercícios (em aula) 
1) Calcule 
122
431
201
1 D e 863
241
300
2 D usando o teorema de Laplace. 
2) Calcule o determinante: 
21010
41550
12040
00010
24321



. 
 
 5 Essa propriedade é conhecida como Teorema de Jacobi. 
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Exercícios Propostos 
1) Calcule: a) 34
23

 b) 43
21
 c) 231
110
213



 d)
152
123
542



 e) 
1763
4103
5832



 
Respostas: a) –1 b) -10 c) 2 d) -89 e) Não existe 
2) Resolva as equações: a) 01
2  x
x b) 0
201
123
40


x
 c) 0
201
123
40


x
x
 
 Respostas: a) Não existe b) 2x , c) 20  xx ou 
3) Calcule: a) 10
01 , b) 
100
010
001
, c) 
1000
0100
0010
0001
. Respostas: Todos iguais à 1. 
4) Calcule: a) 00
12 , b)
000
540
321
, c)
1010
3022
1020
3041




. Respostas: 0, 0, 0 
5) Considere uma matriz quadrada A que tem uma linha com todos os elementos iguais a zero. Calcule o determinante de A. Resposta: 0 
6) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e 

 10
01I . Chamam-se auto-valores (ou valores-próprios) de 
A as raízes da equação   OxIA det . Calcule os auto-valores de: 
a) 


01
10 b) 



13
11 c) 


10
12 
Respostas: a) 1 e –1 b) 2 e –2 c) 2 e 1 
Exercícios Complementares 
1) Sendo 0 dc
bax e db
cay 33
22

 calcule xy . Resposta: 6 
2) Calcule o conjunto solução de 1
11
1
11
11
1
x
x
x
 . Resposta: 0x 
3) Calcule os valores próprios de: 

 12
54A e 


 816
1016B . Resposta: Ver [8] pág.283-286. 
4) Calcule os autovalores de: 

 31
31A , 

 
 34
45B , 


 84
78C e 







966
363
225
D . 
Resposta: 0 e 4, 1 e 1, 6 e –6. Ver [10] página 82 5) Faça os exercícios 183 e 184 páginas 211-212 de [3]. 6) Calcule o determinante das seguintes matrizes: 
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








 

0512
1023
2640
0315
A 









2402
5101
1243
3102
B 














21010
41550
12040
00010
24321
C 









0000
1311
8221
5430
D 
 Resposta: 90, -88, -25, 0 7) Faça o exercício 23 página 94 de [4]. 
8) Calcule: a) 30
12
 , b) 600
540
321

, c) 
1000
3200
1120
3541



, d) b
xa
0 , e) c
zb
yxa
00
0 , f)
d
wc
utb
zyxa
000
00
0 . Respostas: a) –6 b) –24 c) -4 d) ab e) abc f) abcd 
9) Vendo os resultados do exercício anterior, a que conclusão que podemos chegar? 
10) Considere A uma matriz triangular superior e de ordem 3. Calcule o determinante de A. 
11) Calcule 23
23

 , 
602
321
321

, 
412
162
412



, 
zyx
cba
cba
, 
cba
zyx
cba
, 
zyx
cba
cba
333 . Resposta: zero. 
12) Vendo os resultadosdo exercício anterior, a que conclusão que podemos chegar? 
13) Dada as matrizes 

 xx
xxA sencos
cossen e 

    cossen sencosB calcule Adet e Bdet Resposta: 1 e 1 
14) Data a matriz 

 12
03A calcule os cofatores 11A e 12A . Resposta: 1 e 0 
15) Dada a matriz 






 
210
402
531
A calcule os cofatores 11A e 22A . Resposta: -4 e 0 
16) Calcule o cofator do elemento 22a da matriz 









113
125
031
. Resposta: 2 
17) Calcule 
9615
0803
5374
2241



. Resposta: Ver [10] página 59. 
18) Sabendo que xx eea 2 e xx eeb 2 , calcule o determinante ab
ba . Resposta: 1 
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Desafios 
1) Dada a matriz 











x
x
x
x
x
A
0100
8000
0100
0010
0001
 e IRIR: f uma função definida por   Axf det . 
Calcule  1f . 
2) Desenvolver o determinante 
010
102
111
010
d
c
b
a

 pelos elementos da 2a coluna. 
3) Se      21  xxxxf então calcule o determinante 
                            6543 5432
4321
3210
ffff
ffff
ffff
ffff
. 
4) Prove que BAAB detdetdet  para o caso particular em que A e B são matrizes quadradas de ordem 2. 
5) Prove que   BABA detdetdet  para o caso particular em que A e B são matrizes quadradas de ordem 2 6) Escreva uma algoritmo em Pascal (ou outra linguagem) para calcular o determinante de uma matriz de ordem 30n . 
Dicas de Leitura 
 Para entender de onde vem o conceito de determinante leia [4] página 64-65. 
 Leia e faça alguns exercícios de [1], capítulo 13, para reforçar os conceitos vistos aqui. 
 As propriedades de determinantes vistas aqui podem ser revistas em [3] páginas 89-106 com mais exemplos e exercícios. Alternativamente pode-se ver [2] páginas 56-69. MATRIZ INVERSA 
Uma matriz quadrada A de ordem n é chamada matriz inversível se existir uma matriz (também quadrada de 
ordem n) B tal que: nIBAAB  . Quando existe tal matriz B, ela é chamada matriz inversa de A e é denotada 
por 1A . 
Em resumo: Uma matriz quadrada A é inversível se e somente se, nIAAAA   11 . Assim sendo 1A é chamada matriz inversa de A. 
Exemplo 1.18: Sejam 

 64
42A e 




21
231
1B . Então BAIAB  2 . Logo a matriz A é inversível 
e sua inversa é BA 1 . 
Exemplo 1.19: A matriz 

  132
321A não é inversível (Por quê?). 
Considere A uma matriz inversível. Como nIAAAA   11 então     1detdetdet 11   nIAAAA . 
Logo 1detdet 1  AA . Temos então a: 
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Propriedade Fundamental: Uma matriz quadrada A é inversível se e somente se 0det A . 
Além disso AA det
1det 1  
Exemplo 1.20: Seja 

 64
42A . Como 4det A então A é inversível e 4141det 1 A 
Exemplo 1.21: A matriz 

 32
32B não é inversível pois 0det B , ou seja, não existe 1B . 
Outras propriedades 
A) Se a matriz A tem inversa então esta inversa é única. 
B) Se A é inversível então 1A também é. Além disso, a inversa de 1A é a matriz A, ou seja,   AA  11 
C) A matriz identidade é inversível e sua inversa é ela própria., ou seja, II 1 . 
Operações Elementares 
Chamamos de operações elementares de uma matriz as seguintes operações: 
I) Permutação de duas linhas (ou de duas colunas); II) Multiplicação de todos os elementos de uma linha (ou coluna) por um número real diferente de zero; III) Substituição dos elementos de uma linha (ou coluna) pela soma deles com os elementos correspondentes de outra linha (ou coluna) previamente multiplicada por um número real diferente de zero. 
Equivalência de Matrizes 
Dizemos que duas matrizes, de mesma ordem, são equivalentes se for possível transformar uma matriz na outra por meio de uma sucessão de operações elementares. NOTAÇÃO: BA ~ . 
Inversão de uma Matriz por Meio de Operações Elementares 
O processo de encontrar a matriz inversa de uma matriz A consiste em colocar, lado a lado, a matriz A e a matriz identidade (de mesma ordem que A) separadas por um traço vertical. Então, através de uma sucessão de operações elementares aplicadas simultaneamente à A e I, transformamos a matriz A na matriz identidade. 
Observação: Por uma questão simplesmente didática usaremos a notação 1L para indicar o vetor linha formado pelos elementos da 1a linha da matriz em questão, 2L para indicar o vetor linha formado pelos elementos da 2a linha da matriz em questão, e assim por diante. 
Exemplo 1.22: Encontre, se possível, a inversa da matriz 

 64
42A . 
Solução: Como 4det A então é possível encontrar a inversa de A. 



10
01
64
42
IA
 Divida a primeira linha por 2. 



10
0
64
21 21 Substitua a segunda linha por 214 LL  . 



 12
0
20
21 21 Divida a segunda linha por –2. 
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


 21
211
0
10
21 Substitua a primeira linha por 122 LL  





21
231
1
10
01 Pronto! 
Logo, a inversa de 

 64
42A é 

 

21
231 1
1A . (Confira! e verifique que 4
1det 1 A ) 
Exemplo 1.23: Encontre, se possível, a matriz inversa de 







1240
200
531
A . 
Solução: Como 8det A então é possível encontrar a inversa de A. 








100
010
001
1240
200
531
IA
 Troque a segunda linha pela terceira linha. 








010
100
001
200
1240
531
 Divida a segunda linha por 4. 








010
00
001
200
310
531
41 Divida a terceira linha por 2. 








00
00
001
100
310
531
21
41 Substitua a segunda linha por: 233 LL  









00
0
001
100
010
531
21
4123 Substitua a primeira linha por: 135 LL  










00
0
01
100
010
031
21
4123
25
 Substitua a primeira linha por: 123 LL  










00
0
21
100
010
001
21
4123
23
 Pronto! A inversa de 







1240
200
531
A é 







 


00
0
21
21
4123
23
1A 
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Exercícios (em aula) 
1) Encontre, se possível a inversa da seguinte matriz: 









453
210
543
. 
2) Encontre, se possível a inversa da seguinte matriz: 


21
53 . 
3) Sabendo que A é uma matriz inversível, resolva: BAX  . 
4) Use os exercícios anteriores para resolver seguinte sistema: 





1453
02
2543
zyx
zy
zyx
. 
5) Use os exercícios anteriores para resolver seguinte sistema: 
 

12
053
yx
yx . 
 
Exercícios Propostos 
1) Determinar, caso exista, a inversa das seguintes matrizes: 
a) 

 11
11 b) 


00
01 c) 


52
31 d) 

 

21
231
1e) 






 

00
0
21
21
4123
23
 
f) 










203
222
201
 g) 







521
743
222
 h) 







110
013
001
 i) 









0311
3210
4321
 j) 








0010
1010
0100
0101
 
Respostas: a) 

 11
11
2
1 b)  c) 

 

12
35 d) 


64
42 e) 








1240
200
531 f) 











103
121
202
4
1 g)  h) 










113
013
001 i)  j) 










1100
0010
1000
0011 
2) Determine a matriz X tal que BAX  , sendo: 
a) 

 42
13A e 

 30
15B b) 

 10
21A e 

 3
5B . Respostas: a)  63X b) 31 
3) Sendo que 

  10
01A , calcule   31 AA . Resposta:  80 08 
4) Supondo A e B matrizes inversíveis e I a matriz identidade, calcule o valor de X na equação matricial ABAX  . Respostas: BAIX 1 . 
Exercícios Complementares 
1) Calcule, quando possível, as inversas das seguintes matrizes: 
a) 


35
712 b) 










121
131
132
 c) 












2113
3214
2213
2012
 d) 









152
224
132
 Resposta: Ver [8] pág. 487-495. 
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2) Calcule, se possível, a inversa de: 







201
110
011
A , 







732
510
621
B e 







010
100
001
C . Resposta: Ver [9] páginas 29-31. 
3) Calcule a inversa de: 







155
320
111
A , 











325
121
321
B e 







120
010
001
C Resposta: Ver [5] páginas 49-51 
4) Determine a inversa de: 







111
210
121
A , 







431
210
221
B e 










113
112
111
C . Resposta: Ver [9] páginas 32-33 
5) Determine a inversa de 







987
654
321
A . Resposta: Ver [10] página 50 
6) Resolva os seguintes sistemas lineares: 
a) 





14542
023
832
zyx
zyx
zyx
 b) 





11435
523
1672
zyx
zyx
zyx
 c) 





5435
1123
2572
zyx
zyx
zyx
 d) 





5435
523
372
zyx
zyx
zyx
 
Respostas: a) Ver [7] pág. 27 b) c) d) Ver [8] páginas 515-519 
7) Resolva a equação matricial BAX  onde 

 32
43A e 

 1
1B . Resposta: Ver [3] página 73 
8) Expresse X em função de A,B e C sabendo que A, B e C são matrizes quadradas de ordem n e inversíveis e CAXB . Resposta: Ver [3] página 74 
9) Resolva as seguintes equações matriciais onde a variável é X e as matrizes A, B, e C são quadradas, de 
mesma ordem e inversíveis: CABX  e AXBCCAX 2 Resposta: Ver [8] páginas 495-498. 
Desafios 
1) Prove que se A é inversível então 0det A . 
2) Exprimir X, sendo A,B e X matrizes quadradas de mesma ordem e inversíveis; 
a) BAX  ; 
b) BABX  ; 
c) IAXB  ; 
d) AXABA 1 ; 
3) Se A e B são matrizes quadradas inversíveis e de mesma ordem n, prove que: 
a)   111   ABAB ; 
b)   1221   AABABA ; 
c)   AA  11 ; 
d)   1111   AABABA . 
4) Prove que, se A é inversível, então existe uma única matriz B tal que IBAAB  . 
 
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4. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
Equação linear 
Uma equação linear é uma equação do tipo bxaxaxaxa nn  ...332211 , onde naaaa ,...,,, 321 são 
números reais chamados coeficientes, b é um número real chamado termo independente e nxxxx ,...,,, 321 são variáveis (incógnitas). Exemplo 3.1: As seguintes equações são exemplos de equações lineares: 
 142
142  wzyx 
 023
52  zyx 
 2
1sen43  zyx  
 1242  tzyx 
Exemplo 3.2: Abaixo temos exemplos de equações não lineares: 
 2xy 
 4212  yx 
 5sen  yx 
 6ln  yex Observações: 
a - Uma equação linear é uma combinação linear das incógnitas nxxxx ,...,,, 321 . 
b - Uma equação linear é do 1o grau com relação a qualquer uma das incógnitas nxxxx ,...,,, 321 . 
c - Uma equação linear é chamada homogênea quando o seu termo independente é igual a zero. 
Solução de uma equação linear 
Dizemos que a ênuplua  n ,...,,, 321 , de números reais, é solução da equação linear bxaxaxaxa nn  ...332211 , se baaaa nn   ...332211 . 
Exemplo 3.3: Considere a seguinte equação linear: 243  yx . Então  21,0  é uma solução da equação. O par  0,32 é outra solução, assim como  1,2 ,  41,1 ,  161347 , , ... Indicamos abaixo, por setas, algumas das soluções. 
Conjunto-solução de uma equação linear 
O conjunto-solução de uma equação linear é o conjunto de todas as soluções dessa equação linear. O gráfico deste conjunto-solução é uma reta. 
Exemplo 3.4: Considere a equação linear: 243  yx . 
Fazendo x , podemos encontrar y em 
função de  na equação: 
4
23
423243

   y
yy
. 
Portanto o conjunto-solução é 



 
 IR :4 23,S . 
O gráfico do conjunto-solução é a reta que passa pelos pontos  21,0  ,  0,32 ,  1,2 , ... (Veja o gráfico acima.) 
243  yx
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Poderíamos ter escolhido fazer y . Então teríamos: 243243   xx . 
Logo, 3
24  x . portanto o conjunto-solução seria 


 
 IR :,,3 24S . Note 
que apesar das expressões serem diferentes temos que o conjunto-solução é o mesmo! 
Sistema de equações lineares 
Chamamos sistema de equações lineares (ou simplesmente sistema linear) àquele formado por equações lineares. 
Exemplo 3.5: O sistema linear 





023
142
5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 é um sistema linear nas variáveis 321 e , xxx . 
Dizemos que um sistema linear é homogêneo quando todas as suas equações lineares são homogêneas. 
Exemplo 3.6: O sistema linear 
 

03
045
yx
yx é um sistema linear homogêneo. O exemplo anterior não. 
Conjunto-solução de um sistema linear 
O conjunto-solução de um sistema linear é o conjunto das soluções que satisfazem todas as equações do sistema. 
Exemplo 3.7: Consideremos o sistema 





63
22
43
z
zy
zyx
. Então   2,0,6S . 
Exemplo 3.8: O sistema 
 

0
44
zy
zyx tem como 
conjunto-solução   IR  :,,54S . 
Exemplo 3.9: O sistema 
 

12
243
yx
yx tem como 
conjunto solução o ponto  21,0  , ou seja,   21,0 S . 
Podemos interpretar graficamente o conjunto-solução de um sistema de equações lineares. Já sabemos que o conjunto solução de uma equação linear é uma reta. No gráfico ao lado temos o conjunto-solução das duas equações que compõem o sistema do exemplo acima. Como o conjunto-solução do sistema são as soluções que satisfazem simultaneamente as duas equações vemosque só pode ser o ponto de intersecção entre as duas retas. 
Sistemas equivalentes 
Resolver um sistema linear é obter o seu conjunto-solução. Dois sistemas são chamados equivalentes quando possuem o mesmo conjunto-solução. Dado um sistema é possível, através de transformações elementares transformá-lo num sistema equivalente mais simples, e daí obter o seu conjunto-solução. As transformações elementares são as seguintes: a - Permutar entre si duas equações de um sistema. b - Multiplicar ou dividir qualquer equação de um sistema por um número diferente de zero. c - Multiplicar uma equação do sistema por um número não nulo e adicionar o resultado à outra equação. 
243  yx
12  yx
Conjunto-Solução 
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Exemplo 3.10: Os sistemas 
 

2
52
yx
yx e 
 

52
2
yx
yx são equivalentes pois apenas permutamos as linhas. 
Exemplo 3.11: Os sistema 
 

(I)2
52
yx
yx e 
 

(II)633
52
yx
yx são equivalentes pois a equação (II) é igual 
à equação (I) multiplicada por 3. 
Exemplo 3.12: Os sistemas 
 

(II)2
(I)52
yx
yx e 
 

(III)1727
52
yx
yx são equivalentes pois a equação (III) 
foi obtida multiplicando-se por 3 a equação (I) e adicionando-se o resultado à equação (II). 
Resolução de sistemas lineares 
Chamamos sistema escalonado àquele cuja matriz incompleta apresenta o número de zeros precedendo o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta linha por linha até que sobrem eventualmente linhas nulas. 
Exemplo 3.13: Os sistemas 





63
22
43
z
zy
zyx
 e 
 

22
43
zy
zyx são sistemas escalonados. 
Resolver um sistema escalonado não é difícil, mas a maioria dos sistemas não está na forma escalonada. Dado um sistema iremos escaloná-lo através das transformações elementares e trabalhando. Observação: Você pode, se preferir, trabalhar com a matriz completa do sistema. 
Exemplo 3.14: Vamos resolver o sistema 
 

73
842
yx
yx . Para isso escalonaremos a matriz completa do 
sistema usando as transformações elementares. (O símbolo ~ significa equivalente.) 


 




550
421~713
421~713
842 
Logo temos 
 


 

55
42~73
842
y
yx
yx
yx . Como o conjunto-solução do último sistema é 
  1,2S então o conjunto-solução do sistema em questão também é. 
Exemplo 3.15: Vamos resolver o sistema 





1023
22442
6
zyx
zyx
zyx
. 
























3100
5110
6111
~
8210
10220
6111
~
10123
22442
6111
 
O conjunto-solução de 





3
5
6
z
zy
zyx
 é   3,2,1S . 
Este método é chamado de Eliminação de Gauss. Outro processo chamado de Eliminação de Gauss-Jordan consiste em transformar a matriz incompleta do sistema em uma matriz identidade com o cuidado de sempre realizar também a operações elementares no vetor coluna contendo os termos independentes do sistema (que é a última coluna da matriz completa). A solução do sistema é o vetor dos termos independentes, ou a última coluna da matriz completa. (Veja [5] páginas 29-40.) Em [3] páginas 148-151 existem vários exemplos de escalonamento de sistemas. Vale a pena ver. 
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Classificação quanto ao n
Um sistema linear pode ter uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Quanto ao número de soluções, um sistema linear é: 
 Possível e determinado, quando tem uma única solução; 
 Possível e indeterminadoquando tem infinitas soluções;
 Impossível, quando não tem solução. Ao lado temos um esquema de classificação dos sistemas de equações lineares quanto ao número de soluções. 
Sistema linear homogêneo
Todo sistema linear homogêneo com solução. Esta solução é chamada nula
Exemplo 3.16: Os sistemas 
 

3x
x
Consequentemente todo sistema linear homogêneo é possível admitindo eventualmente outras soluções chamadas próprias, além da trivial. 
Considere um sistema linear homogêneo com matriz incompleta. Então: 
 0D se o somente se o sistema é possível e determinado (somente a solução trivial).
 0D se e somente se o sistema é possível e indeterminado.
Observação: Note que um sistema linear homogêneo nunca será um sistema impossível.
Exercícios (em aula) 
1 - Qual das equações abaixo não é uma equação linear?
a) 252  zyx 
b) 252  zyx 
c) 252 1  zyx 
d) 252 1  zyx 
e) 252  ztyx 
2 - Assinale os pares abaixo que são soluções da equação: 
a)  2,1 b)  2,2 
3 - Determine a de modo que a dupla 
4 - Determine o conjunto solução da equação 
5 - Assinale os pares abaixo que são soluções do sistema 
a)  1,1 b)  2,2 
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Classificação quanto ao no de soluções 
Um sistema linear pode ter uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Quanto ao número de soluções, um 
, quando 
Possível e indeterminado, quando tem infinitas soluções; 
, quando não tem 
Ao lado temos um esquema de classifica-ção dos sistemas de equações lineares 
linear homogêneo 
Todo sistema linear homogêneo com n incógnitas admite a seqüência de n elementos nula, trivial ou imprópria. 


0
0
y
y , 





0
03
0
zy
zyx
zyx
 e 
 

0
03
zyx
zyx admitem a solução trivial.
Consequentemente todo sistema linear homogêneo é possível admitindo eventualmente outras soluções 
Considere um sistema linear homogêneo com n equações e n incógnitas. Seja
se o somente se o sistema é possível e determinado (somente a solução trivial).
se e somente se o sistema é possível e indeterminado. 
sistema linear homogêneo nunca será um sistema impossível.
Qual das equações abaixo não é uma equação linear? 
Assinale os pares abaixo que são soluções da equação: 32  yx . 
 c)  3,1 d)  2,1 e)  0,3
de modo que a dupla  2,1 seja solução da equação 93  ayx . 
Determine o conjunto solução da equação 933  yx . 
Assinale os pares abaixo que são soluções do sistema 
 

2
822
yx
yx 
 c)  3,1 d)  3,1 e)  0,4
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IO PRETO 31 
elementos  0,...,0,0 como 
admitem a solução trivial. 
Consequentemente todo sistema linear homogêneo é possível admitindo eventualmente outras soluções 
incógnitas. Seja D o determinante da sua 
se o somente se o sistema é possível e determinado (somente a solução trivial). 
sistema linear homogêneo nunca será um sistema impossível. 
 
 f) n.d.a. 
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6 - Qual das ternas abaixo é solução do sistema 
a)  2,1,1  b)  1,0,0 
7 - Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas:
a) 
 

1
2
y
yx 
b) 





62
1
32
z
zy
zyx
 
c) 
 

023
1
zy
zyx 
8 - Resolva os seguintes sistemas: 
a) 
 

32
422
yx
yx 
b) 





92
83
32
zyx
zyx
zyx
 
Observação: Como já foi visto anteno plano. Analogamente o gráfico de uma equação linear a três incógnitas é um plano no espaço. Veja os gráficos abaixo. A solução do sistema é o ponto de intersecção dos três planos vis
 Gráfico da equação  x
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Qual das ternas abaixo é solução