Apostila Prof Richard Trevisan - Tópicos Matemática

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Tópicos de Matemática 
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Aluno: ____________________________________________________________ 
 
 
Instituição de Ensino: ________________ Curso: __________________________ 
 
 
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Tópicos de Matemática 
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O R D E M D A S O P E R A Ç Õ E S M A T E M Á T I C A S 
A Matemática é a mais simples, a mais perfeita e a mais antiga de todas as ciências. (Jacques Hadarmard) 
 
Para calcular o valor de expressões numéricas, deve-se obedecer à prioridade dos sinais 
indicativos e das operações matemáticas abaixo: 
Prioridade dos Sinais Prioridade das Operações 
( ) Potenciação ou Radiciação 
[ ] Multiplicação ou Divisão 
{ } Adição ou Subtração 
 
O P E R A Ç Õ E S C O M S I N A I S 
"Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam seriamente a matemática acabam tomados de uma espécie de 
paixão pela mesma. Em verdade, o que proporciona o máximo prazer não é o conhecimento e sim a aprendizagem, não é a 
posse, mas a aquisição, não é a presença, mas o ato de atingir a meta." (Carl Friedrich Gauss) 
 
Adição: Podemos pensar na operação de adição quando queremos juntar as coisas que estão 
separadas. Por exemplo: Em uma pequena escola, existem 3 turmas: uma com 27 alunos, outra 
com 31 alunos e outra com 18 alunos. Quantos alunos existem ao todo nessa escola? 
27 + 31 + 18 = 76 
Números negativos também podem ser somados. Por exemplo, a soma de - 12 com - 5 dá - 17. 
Para escrever essa operação fazemos assim: 
– 12 + (– 5) = – 12 – 5 = – 17 
Observe que colocamos – 5 entre parênteses para evitar que os sinais de + e de – fiquem 
juntos. 
Subtração: Podemos pensar na operação de subtração quando queremos tirar uma quantidade 
de uma outra para ver quanto sobra. Por exemplo: Uma secretária recebeu a tarefa de preparar 
90 envelopes de correspondência. Até a hora do almoço, ela já tinha feito 52. Quantos ela ainda 
tem de fazer? 
90 – 52 = 38 
Em uma subtração, quando o segundo número é maior que o primeiro, o resultado é negativo. 
Por exemplo: 
9 – 5 = 4 e 5 – 9 = – 4 
 
Multiplicação: Usaremos aqui o símbolo . para não confundir com a letra x. Multiplicação nada 
mais é que uma soma com parcelas iguais. Por exemplo: 
7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 . 7 = 35. O número 7 apareceu 5 vezes. Então, 7 vezes 5 dá 35. Da mesma 
forma: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 . 5 = 35 
Em uma multiplicação cada número chama-se fator e, a ordem dos fatores não altera o 
resultado. Por isso: 5 . 7 = 7 . 5 
Quando temos multiplicações com números negativos. As regras são as seguintes: 
( + ) . (–) = (–) (–) . (–) = ( + ) 
(–) . ( + ) = (–) ( + ) . ( + ) = ( + ) 
“Sinais iguais dá mais, sinais diferentes dá menos.” 
Para entender que o produto de dois números negativos é positivo vamos lembrar que o 
produto de qualquer número por zero dá zero (– 3) . 0 = 0. Portanto, vamos escrever essa 
igualdade assim: (– 3) . (– 2 + 2) = 0. Utilizando uma das propriedades da multiplicação, 
podemos escrever a mesma coisa de forma ainda diferente. Veja: 
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Importante: escrever 5 ou + 5 é a mesma coisa. O produto de qualquer número por zero é igual 
a zero. Outros exemplos: 
a) (– 3) . 0 = 0 
b) 4 . (– 3) = – 12 
c) (+) 5 + (+ 3) = 5 + 3 = 8 
d) (– ) 5 + (– 3 ) = 5 – 3 = 2 
e) (– ) 5 – (+ 3) = 5 – 3 = 2 
f) (+) 5 – (– 3 ) = 5 + 3 = 8 
g) 53 – 25 + 65 – 30 – 18 = (53 + 65) – (25 + 30 + 18) = 118 – 73 = 45 
 
Divisão: Podemos pensar na divisão quando queremos dividir um total de partes iguais ou 
quando queremos saber quantas vezes um número cabe no outro. Por exemplo: desejamos 
colocar 80 lápis em 5 caixas, de maneira que todas as caixas tenham o mesmo número de lápis. 
Quantos lápis devemos pôr em cada caixa? 
Basta dividir 80 por 5, ou seja, 80 : 5 = 16, podemos escrever também 80/5=16 
Também podemos escrever na forma de fração: 
80
5
= 16 
“As regras de sinais da divisão, são as mesmas da multiplicação.” 
( + ) : (–) = (–) (–) : (–) = ( + ) 
(–) : ( + ) = (–) ( + ) : ( + ) = ( + ) 
 
Exemplos: Calcule o valor numérico das expressões: 
1) 2 + 3 . 5 = 
2) 4 + 15 : 5 = 
3) 25 – [ 10 + ( 7 – 4 ) ] = 
4) 70 – { 20 – [ 10 – ( 5 – 1 ) ] } = 
5) 2 + { 5 . [ 3 – ( 5 – 10 ) + 1 ] + 4 } – 3 = 
6) 5 + 3 . √25 = 
Respostas: 1)17 2)7 3)12 4)56 5)48 6)20 
 
Exercícios: Efetue as operações indicadas: 
a) 37 + 43 = b) 55 – 18 = c) 18 – 55 = d) 12 + (– 7) = e) 12 – (– 7) = 
f) – 9 – 6 = g) – 9 + (– 6) = h) – 9 – (– 6 ) = i) 3 . 7 = j) – 3 . 7 = 
k) 3 . (– 7) l) –3 . (– 7) m) (– 8) . 9 = n) (7 – 3) . 4 = 
o) (3 – 8) . (– 4) = p) 32 : 8 = q) – 32 : 8 = r) 32 : (– 8) = 
s) –32 : (– 8) = t) (– 5 – 7) . 2 = 
 
Respostas: a)80 b)37 c)–37 d)5 e)19 f)–15 g)–15 h)–3 i)21 j)–21 
k)–21 l)21 m)–48 n)16 o)20 p)4 q)–4 r) –4 s)4 t)–22 
 
http://1.bp.blogspot.com/_j5kbeGgXcbo/SH-DMhJ5ZQI/AAAAAAAABDo/QkegH0TPIEE/s1600-h/form1.jpg
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Módulo 1: MATRIZES (definição, identidade, igualdade, operações 
com matrizes) 
“A Matemática é a mais simples, a mais perfeita e a mais antiga de todas as ciências.” (Jacques Hadarmard) 
"Aqueles que estudam seriamente a matemática acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma." (Carl 
Friedrich Gauss) 
“Entre dois espíritos iguais, postos nas mesmas condições, aquele que sabe calcular é superior ao outro e adquire 
um vigor especial”(Pascal) 
 
 
As matrizes são agrupamentos usados para resolver problemas que apresentam muitos dados e 
operações em sequência, tais como controle de estoques, resoluções de equações diferenciais 
e tantos outros. 
 
Uma matriz de ordem m x n é uma tabela de números reais, onde m representa o número de 
linhas e n o número de colunas, podendo ser escrita entre colchetes ou entre parênteses da 
seguinte forma: 
 
 
 
 
 
Matriz quadrada: é toda matriz, onde o número de linhas é igual ao número de colunas (m = n). 
 
Diagonal principal: é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i = j. 
 
Matriz nula: é aquela que possui todos os elementos iguais a zero, é denotada por Omxn, ou 
por On, se for quadrada. 
 
Matriz identidade: denotada por In, é uma matriz quadrada, que tem os elementos da diagonal 
principal iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero. Por exemplo: 
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Igualdade de matrizes: duas matrizes A e B, são iguais, se e somente se, seus elementos 
correspondentes são iguais. Por exemplo: 
 
Exercício resolvido: 
 
 
 
Operações com Matrizes 
Adição e subtração de matrizes: Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo (mxn), podemos 
fazer a adição ou a subtração dessas matrizes, através dos seus elementos correspondentes. 
 
 
Multiplicação de um número real por uma matriz: Multiplica-se cada elemento da matriz, pelo 
número real. Por exemplo: 
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Multiplicação de matrizes: “na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores altera o produto” 
a multiplicação de matrizes não é uma operação tão simples como as outras já estudadas até 
aqui; não basta multiplicar os elementos correspondentes. Por exemplo: 
 
 
O produto de A por B é dado pela matriz a seguir: 
 
 
A matriz A ● B é de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas colunas). 
 
 
Exercício resolvido: Dado as matrizes: 
 
 
Determine os produtos matriciais M ● N e N ● M 
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E o produto N . M = (
𝟓𝟓 𝟑𝟐
𝟓𝟕 𝟑𝟏
) 
 
Repare que na multiplicação de matrizes, M . N ≠ N . M 
 
Exercíciosdo Módulo 1 
1) Considere as matrizes: 
 
O valor de AB – 3C é igual a: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
2) Considere as matrizes: 
 
Determine o valor de x e de y, sabendo que A = B. 
a)x=1 e y=4 b)x=2 e y=3 c)x=4 e y=1 d)x=6 e y=-1 e)x=-1 e y=-4 
 
3) Considere as matrizes: 
 
A matriz que representa A – 3B é: 
a 
 
b 
 
c 
 
d 
 
e 
 
 
4) Considere as matrizes: 
 
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A matriz que representa 2A . B é: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
5) Considere as matrizes: 
 
O produto de matrizes AB é: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
6) Considere as matrizes: 
 
O produto de matrizes AB é: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) Não é 
possível 
o produto 
AB. 
 
7) Considere as matrizes: 
 
Determine, respectivamente, o valor de x e de y, sabendo que A = B. 
a)-4 e 12 b)-4 e -12 c)-8 e -3 d)-12 e 6 e)-12 e 12 
 
8) Considere as matrizes: 
 
A matriz AB – 3C é dada por: 
a 
 
b 
 
c 
 
d 
 
E 
 
9) Considere as matrizes: 
 
A matriz BC – 0,5A é igual a: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
10) Considere as matrizes: 
 
Se A = B, temos que: 
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a)x=6 e y=4 b)x=4 e y=6 c)x=4 e y=4 d)x=0 e y=8 e)x=2 e y=-2. 
 
11) Os números reais x, y e z que satisfazem a equação matricial mostradas a seguir, são tais 
que sua soma é igual a: 
a) – 3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3 
 
Respostas: 1)d 2)c 3)e 4)b 5)a 6)d 7)b 8)a 9)e 10)b 11)e 
 
D E T E R M I N A N T E 
 
Calculamos o determinante de matrizes quadradas, associando a ela um único número. 
Enquanto as matrizes podem ser representadas por parênteses ou colchetes, os determinantes 
são representados por duas barras verticais. 
 
Determinante de matriz quadrada de ordem 1: é o próprio elemento. 
 
Exemplo: Calcule os determinantes das matrizes: 
 
1) M = (5) det M = 5 2)N = (-1/3) det N = -1/3 
 
Determinante de matriz quadrada de ordem 2: o determinante será dado pela diferença entre 
os produtos da diagonal principal da matriz A pelo produto dos elementos que compõem a sua 
diagonal secundária: 
 
 
Exemplo: Calcule os determinantes das matrizes: 
 
1) 𝐴 = (
−2 5
4 3
), det A = -26 2) 𝐵 = (
2 −2
−3 4
), det B = 2 
 
Determinante de matriz quadrada de ordem 3: é feito o espelhamento da primeira e da 
segunda coluna da matriz, ou seja, repete-se a primeira e a segunda coluna. Em seguida 
realiza-se os produtos de cada diagonal principal e secundária separadamente. Em seguida 
efetua-se a soma entre os termos obtidos dos produtos de cada diagonal. Por fim realiza-se a 
diferença entre os resultados obtidos referente à soma dos termos das diagonais principais e 
das secundárias. No fim desses cálculos, teremos o determinante da matriz. 
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det M3 X 3 = a 1,1 . a 2,2 . a 3,3 + a 1,2 + a 1,2 . a 2,3 . a 3,1 + a 1,3 . a 2,1 . a 3,2 - ( a 1,3 . a 2,2 . a 3,1 + a 1,1 . 
a 2,3 . a 3,2 + a 1,2 . a 2,1 . a 3,3). 
 
Exemplo: Calcule o determinante das matrizes: 
 
1)A = (
1 5 2
4 8 3
1 2 −1
) det A = 21 2)B = (
1 0 −1
2 −2 5
−3 4 3
) det B = - 28 
 
Aplicações de Matrizes 
 
1) Uma loja é formada por três departamentos, identificados por 1, 2 e 3. A matriz abaixo, 
apresenta o faturamento dessa loja nos meses de janeiro e fevereiro de um determinado ano de 
seu funcionamento. Cada elemento aij dessa matriz é a quantia em milhares de reais faturada 
pelo departamento i no mês j. Qual foi o faturamento do departamento 3 em janeiro (mês 1)? 
 
 
Resolução: Do enunciado, o faturamento do departamento 3 no mês 1 é dado, em milhares de 
reais, pelo elemento a31 da matriz A, ou seja, R$ 13.000,00. 
 
2) (MODELO ENEM) – Nove candidatos a uma vaga de estagiário foram distribuídos em uma 
sala de espera, como representado a seguir: 
 
A tabela que representa essa distribuição pode ser chamada de matriz e se substituirmos o 
nome de cada um desses candidatos pelo número que representa a posição ocupada, em nosso 
alfabeto, pela letra com a qual se inicia o nome, obteremos uma nova matriz. O determinante 
dessa nova matriz é igual a: a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2 
 
Resolução: A matriz obtida, substituindo cada um dos nomes pelo número que indica a posição, 
em nosso alfabeto, ocupada pela primeira letra do respectivo nome é representada abaixo e seu 
determinante é igual a zero. 
 
 
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3) (UERJ – MODELO ENEM) – A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus 
Celsius, três vezes ao dia, durante cinco dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde à 
temperatura observada no instante i do dia j. 
 
Determine: 
a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura; 
b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação. 
 
Resolução: 
a) A maior temperatura é dada pelo elemento a24(40,5 °C) da matriz e ocorreu no instante 2 do 
dia 4. 
b) As temperaturas do terceiro dia são a13 = 38,6, a23 = 37,2 e a33 = 36,1. A média, em graus 
Celsius, é: 37,3 
 
4) (MODELO ENEM) – Uma loja guarda as camisas que estão à venda em uma prateleira que 
permite separá-las em tamanho (pequeno, médio e grande) e cor (verde, azul, branca e preta), 
conforme a figura seguinte: 
 
Para controlar o estoque, a loja utiliza uma matriz A = (aij)3x4 em que (i; j) indica a posição em 
que as camisas se encontram na prateleira e aij indica a quantidade de camisas daquela cor e 
tamanho correspondente. Assim, por exemplo, a23 = 5 significa que existem cinco camisas 
brancas de tamanho médio. Quando: 
 
Pode-se dizer que: 
a) existem 7 camisas verdes médias. 
b) existem 18 camisas médias. 
c) existem quantidades iguais de camisas azuis e pretas. 
d) estão em falta camisas azuis grandes. 
e) há mais camisas grandes que pequenas. 
 
Resolução: 
A letra “a” é falsa, temos: 1 camisa verde média; 
A letra “b” também é falsa, temos: 1 + 6 + 5 + 8 = 20 camisas médias; 
A letra “c” é verdadeira, pois: 7 + 6 + 2 = 15 camisas azuis, 3 + 8 + 4 = 15 camisas pretas; 
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A letra “d” é falsa, temos 2 camisas azuis grandes; 
A letra “e” também é falsa, pois: 2 + 7 + 4 + 3 = 16 camisas pequenas e 9 + 2 + 0 + 4 = 15 
camisas grandes. 
 
Portanto a Resposta correta é: C 
 
 
5) (UNESP – MODELO ENEM) – Uma rede de comunicação tem cinco antenas que transmitem 
uma para a outra, conforme mostrado na matriz A = (aij), em que aij = 1 significa que a antena i 
transmite diretamente para a antena j, e aij = 0 significa que a antena i não transmite para a 
antena j. 
 
Qual o significado do elemento b41 da matriz B = A2? 
Resolução: 
Como B = A2 = A . A, temos: b41 = a41 . a11 + a42 . a21 + a43 . a31 + a44 . a41 + a54 . a51 = 1 . 0 + 1 . 
1 + 1 . 1 + 0 . 1 + 1 . 1 = 3 
Este resultado significa que existem 3 maneiras distintas de a antena 4 transmitir informações 
para a antena 1. 
 
6) (UNESP-adaptado – MODELO ENEM) – Foi realizada uma pesquisa, num bairro de 
determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, 
em função da idade x da criança, concluiu-se que o “peso” médio p(x), em quilogramas, era 
dado pelo determinante da matriz A, em que: 
 
Com base na fórmula p(x) = det A, podemos concluir que o peso médio de uma criança de 5 
anos é, em kg, igual a: 
a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 
 
Resolução: 
p(x) = det A = 1 . 0 . 2/3 + 3 . 2 . 1 + 0 . (– 1) . (– x) – 1 . 0 . 0 – 1 . (– x) . 2 – (–1) . 3 . 2/3 = 0 + 6 
+ 0 – 0 + 2x + 2 = 2x + 8 
 
Para x = 5, temos p(5) = 2 . 5 + 8 = 18 
 
Resposta: A 
 
7) Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e 
colonial. A quantidade de materialempregada em cada tipo de casa é dada pela tabela: 
 
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 Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo 
Moderno 5 20 16 7 17 
Mediterrâneo 7 18 12 9 21 
Colonial 6 25 8 5 13 
 
Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, 
respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas? 
 
Resolução: 
O número de unidades de materiais utilizados em cada tipo de casa aumenta proporcionalmente 
ao número de casas construídas. Logo, na construção de 5 casas do tipo moderno serão 
utilizados 5 vezes mais unidades utilizadas na construção de 1 casa desse tipo. Esse 
procedimento vale para os outros casos e indica uma multiplicação de matrizes (1 x 3).(3 x 5). 
 
 
 
Observando as respectivas colunas, vemos que serão utilizados no total: Ferro = 146; Madeira = 
526; Vidro = 260; Tinta = 158; Tijolo = 388. 
 
Módulo 2: SISTEMAS LINEARES (classificação, resolução e 
problemas) 
“A escada da sabedoria tem os degraus feitos de números.” (Blavatsky) 
“A matemática é a linguagem com a qual Deus escreveu o universo.” (Galileu Galilei) 
“Ao longo do tempo muitos homens conseguiram atingir o êxtase da criação. A estes homens dá-se o nome de 
matemáticos.”(Papus de Alexandria) 
 
Os sistemas de equações lineares, são um grupo de equações com n variáveis, cujo conjunto 
solução é comum a todas elas. 
 
Num sistema, não é possível resolver uma equação isoladamente, porque em geral cada 
equação tem mais de uma incógnita (variável), sendo comum a ocorrência de até três variáveis 
nas equações. 
 
Existem diversas técnicas que nos permitem encontrar a solução de um sistema linear. Vamos 
começar com o caso mais simples, que é o sistema linear de duas equações e duas incógnitas. 
Vejamos um exemplo: 
5x – 2y = 4 (i) 
3x + y = 9 (ii) 
 
Encontrar a solução desse sistema significa descobrir os valores de x e de y que tornam as duas 
equações verdadeiras ou válidas. 
 
A primeira técnica que mostraremos é chamada método da adição. Vamos multiplicar a segunda 
equação por 2: 
5x – 2y = 4 (i) 
6x + 2y = 18 (iii) 
 
Observe agora que, se somarmos as duas equações, termo a termo, a variável y vai 
desaparecer. Assim, temos: 
(i) + (iii) = 11x = 22 → x = 22/11 → x = 2 
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Agora, substituindo x = 2 na segunda equação (ii), temos: 
3.2 + y = 9 → y = 9 – 6 → y = 3 
 
Outra técnica também eficiente consiste em isolar uma incógnita em uma equação e substituí-la 
na outra. Essa técnica é conhecida como método da substituição. 
 
Usando a equação (ii), vamos isolar y: 
y = 9 – 3x 
Substituindo na equação (i), temos: 
5x – 2.(9 – 3x) = 4 
5x – 18 + 6x = 4 
11x = 4 + 18 
11x = 22 
x = 22/11 = 2 
Feito isso, substituímos esse resultado na equação (ii), conforme mostramos acima. 
 
Um sistema 3 x 3 é constituído de 3 equações e 3 incógnitas. Veja o exemplo abaixo: 
5x – 2y + z = 5 
4x + y – z = 10 
x + 3y + 2z = 13 
Para resolver esse tipo de sistema, recomendamos a Regra de Cramer. Por essa regra, primeiro 
calculamos o determinante do sistema, formado pelos coeficientes das incógnitas. Esse 
determinante será chamado de D. 
 
Depois construímos outro determinante, substituindo os coeficientes de x pelos termos 
independentes. Esse determinante será chamado de Dx. 
 
Analogamente, construímos Dy substituindo a coluna dos coeficientes de y pelos termos 
independentes. Esse determinante será chamado de Dy. 
 
Por fim, construímos Dz, que será formado a partir de D, substituindo a coluna dos coeficientes 
de z pelos termos independentes. 
 
De posse desses resultados, os valores das variáveis x, y e z podem ser obtidos pelas seguintes 
razões: 
x = Dx/D y = Dy/D z = Dz/D 
 
Para obter esses resultados, obrigatoriamente deveremos ter D diferente de zero. Isso nos 
remete à discussão do sistema. 
 
Discutir um sistema significa avaliá-lo quanto às possibilidades de solução que ele possui. A 
regra de Cramer facilita bastante a discussão. 
 
Primeiro, devemos saber que existem 3 classificações possíveis para um sistema linear: 
Sistema Possível e Determinado (SPD) 
Sistema Possível e Indeterminado (SPI) 
Sistema Impossível (SI) 
Um sistema será chamado de SPD se todos os determinantes calculados forem diferentes de 
zero. Nesse caso, o sistema tem uma única solução. 
 
Um sistema será chamado de SPI quando todos os determinantes do sistema forem iguais a 
zero. Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções. 
 
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Um sistema será chamado de SI quando o determinante do sistema (D) for igual a zero e algum 
outro determinante (Dx, Dy ou Dz) for diferente de zero. Nesse caso, o sistema não tem solução. 
 
No exemplo resolvido abaixo, você verá como funciona a regra de Cramer. 
Considere o seguinte sistema: 
5x – 2y + z = 5 
4x + y – z = 10 
x + 3y + 2z = 13 
O determinante do sistema é: 
5 -2 1 
4 1 -1 
1 3 2 
Resolvendo esse determinante, temos D = 54 
Em seguida, construímos o Dx, que é obtido substituindo-se a coluna dos coeficientes de x 
(primeira coluna) pelos termos independentes. Assim, temos: 
5 -2 1 
10 1 -1 
13 3 2 
Resolvendo esse determinante, temos Dx = 108 
Analogamente, 
5 5 1 
4 10 -1 
1 13 2 
 
Resolvendo esse determinante, temos Dy = 162 
 
Analogamente, construímos Dz substituindo a coluna dos coeficientes de z pelos termos 
independentes: 
5 -2 5 
4 1 10 
1 3 13 
 
Resolvendo esse determinante, temos Dz = 54 
Feito isso, calculamos as incógnitas por meio das seguintes razões: x = Dx/D; y = Dy/D; z = 
Dz/D. Assim, temos: 
x = 108/54 = 2 
y = 162/54 = 3 
z = 54/54 = 1 
Exercícios do Módulo 2 
 
1) Considere o sistema que possui as equações 2x - y = -4 e x + y = 1, determine os valores de x 
e de y. 
a)x = 2 e y = 6 b)x = -1 e y = 2 c)x = 6 e y = 2 d)x = 2 e y = 1 e)x = 4 e y = 3 
 
2) Considere o sistema que possui as equações x - y = -6 e 2x + y = 12, determine os valores de 
x e de y. 
a)x = 4 e y = 10 b)x = -8 e y = -2 c)x = 2 e y = 8 d)x = -2 e y = 4 e)x = 4 e y = 4 
 
3) Considere o sistema que possui as equações 2a + 3b = 13 e -2a + 4b = 8, determine os 
valores de a e de b. 
a)a = 1 e b = 0 b)a = -1 e b = -2 c)a = 2 e b = 3 d)a = -2 e b = 1 e)a = 3 e b = 2 
 
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16 
 
4) Considere o sistema que possui as equações x + y = 9 e y – 3x = 5, determine os valores de x 
e de y. 
a)x = 1 e y = -8 b)x = 3 e y = 5 c)x = 5 e y = 3 d)x = 2 e y = 6 e)x = 1 e y = 8 
5) Considere o sistema linear de equações x + 2y = 11 e 3x + y = 13, identificando sua solução 
como x = m e y = n, temos que m + n vale: 
a)1 b)-1 c)7 d)-7 e)5 
 
6) Considere o sistema que possui as equações 2x – 4y = 28 e -3x + 5y = -37. Sejam x = m e y = 
n as soluções, então é correto afirmar que m + n é igual a: 
a)1 b)0 c)-1 d)2 e)-2 
 
7) Sejam K e Z as soluções do sistema que possui as equações 3x + 2y = 12 e -x + 3y = 7, 
então, o valor de K + Z é igual a: 
a)2 b)3 c)4 d)5 e)6 
8) Considere o sistema linear que possui as equações x + 2y = 4 e 3x + y = 7, identificando sua 
solução como x = m e y = n, temos que m + n vale: 
a)3 b)-1 c)7 d)-7 e)5 
 
9) Sejam K e Z as soluções do sistema, que contem as equações 2x + 3y = 8 e 5x – 2y = 1. 
Então, o valor de K + Z é igual a: 
a)2 b)3 c)4 d)5 e)6 
 
10) Considere o sistema que possui as equações 3x + y – z = 2, x – 2y + z = –9 e 4x + 3y + 2z = 
1, assinale a alternativa que apresenta corretamente a soma dos valores de x, y e z que são 
solução desse sistema: 
a)0 b)1 c)2 d)3 e)4 
11) Considere o sistema que possui as equações x + y + 2z = 5, 3x – 2y + z = 0 e 2x – 3y +4z = 
5, assinale a alternativa correta em relação aos valores de x, y e z que são solução desse 
sistema.a)x = 0 b)y = 2 c)z = 1 d)x = 1 e)y = 0 
 
12) Considere o sistema, que possui as 3 equações: x + y + z = 0, 2x + y – z = 7 e 3x + 2y + 2z = 
1, é correto afirmar que: 
a)x = -1 ; y = 5 ; z = -4 b)x = 1/4 ; y = 25/8 ; z = -27/8 c)x = 1 ; y = 2 ; z = -3 
d)x = -2 ; y = -4 ; z = 6 e)o sistema é impossível 
 
13) Considere o sistema que possui as equações x + y = 0, 2x – z = 7 e 3x + 2y + 2z = 1, é 
correto afirmar que: 
a)x=-1; y=5; z=-4 b)x=3; y=-3; z=-1 c)x=1; y=2; z=-3 d)x=-2; y=-4; z=6 e) é um SI. 
 
Resposta dos Exercícios do Módulo 2: 1)b 2)c 3)c 4)e 5)c 6)c 7)d 8)a 9)b 10)a 
11)a 12)c 13)b 
 
 
Aplicações de Sistemas Lineares 
 
1) (UFPE – MODELO ENEM) – Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o 
seguinte: “Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à 
idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos.” Qual a idade de 
Júnior? 
a) 2 anos b) 3 anos c) 4 anos d) 5 anos e) 10 anos 
RESOLUÇÃO: 
Sendo x, y e z, respectivamente, as idades de José, de Júnior e de Maria, temos: 
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17 
 
 
 
 
 
2) (U.F.CEARÁ – MODELO ENEM) – Para uma festinha, foram encomendados 90 refrigerantes, 
230 salgados e 120 doces. Os convidados foram divididos em 3 faixas: crianças, senhores e 
senhoras. Cada criança deverá consumir exatamente 2 refrigerantes, 8 salgados e 4 doces; 
cada senhor deverá consumir exatamente 3 refrigerantes, 5 salgados e 3 doces; cada senhora 
deverá consumir exatamente 3 refrigerantes, 6 salgados e 3 doces. Qual deverá ser o total de 
convidados para que não sobrem e nem faltem refrigerantes, salgados e doces? 
a) 25 b) 35 c) 45 d) 55 e) 65 
RESOLUÇÃO: 
Sendo x, y e z, respectivamente, o número de crianças, de senhores e de senhoras convidados 
para a festa, temos: 
I) Os refrigerantes a serem consumidos são 2 para cada criança, 3 para cada senhor e 3 para 
cada senhora. Dessa forma, resulta 2x + 3y + 3z = 90. 
II) Os salgados a serem consumidos são 8 para cada criança, 5 para cada senhor e 6 para cada 
senhora. Assim, temos 8x + 5y + 6z = 230. 
III) Os doces a serem consumidos são 4 para cada criança, 3 para cada senhor e 3 para cada 
senhora. Equacionando, temos 4x + 3y + 3z = 120. 
Resolvendo o sistema formado pelas três equações. 
 
Resposta: B 
 
3) (UFR-RJ – MODELO ENEM) – Uma loja de departamentos, para vender um televisor, um 
videocassete e um aparelho de som, propôs a seguinte oferta: o televisor e o videocassete 
custam juntos R$ 1 200,00; o videocassete e o aparelho de som custam juntos R$ 1 100,00; o 
televisor e o aparelho de som custam juntos R$ 1 500,00. Quanto pagará um cliente que 
comprar os três produtos anunciados? 
 
RESOLUÇÃO: 
Sendo t, v e s, respectivamente os preços de um televisor, um videocassete e um aparelho de 
som, temos: 
 
t + v + s = 1 900 
Resposta: Para comprar os três produtos anunciados, o cliente pagará R$ 1 900,00. 
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18 
 
Módulo 3: FUNÇÃO AFIM “1º grau” (equação da reta e problemas) 
“Há uma razão que explica a elevada reputação da Matemática, é que ela leva para as ciências naturais exatas uma 
certa proporção de segurança que, sem ela, essas ciências não poderiam obter.” (Albert Einstein) 
“A matemática é a única atividade humana INFINITA. É concebível que a humanidade possa chegar a conhecer 
toda a física ou toda a biologia, porém é certo que nunca será capaz de descobrir tudo na matemática, porque o 
tema é INFINITO. Os próprios números são INFINITOS.” (Paul Erdos) 
“Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos 
do mundo real.”(Lobachevsky) 
 
É comum nos depararmos com situações nas quais o valor de uma quantidade depende de 
outra. Como por exemplo, a demanda de um certo produto pode depender de seu preço de 
mercado; o lucro de uma empresa pode depender de sua receita e de seu custo; o tamanho de 
uma criança pode depender de sua idade; a quantidade de poluentes no ar pode depender do 
número de carros e de indústrias da região. Muitas vezes, tais relações podem ser 
representadas (modeladas) por meio de funções matemáticas. Então podemos definir: 
 
Função é uma relação que associa cada item (x) de um conjunto D (domínio) a exatamente 
um item (y) de um outro conjunto CD (contra-domínio). 
 
O valor de y do contra-domínio que é associado a algum x é chamado de imagem de x. 
 
Normalmente, a função f é definida utilizando-se a fórmula matemática: f(x) = x + 3 
 
É muito comum também, vermos a variável y substituindo f(x): y = x + 3 
 
Nesse caso, y é chamada variável dependente e x variável independente, pois o valor de y é 
resultado do emprego da fórmula para um determinado valor de x, ou seja, o valor de y depende 
do valor de x. 
 
Logo, se quisermos saber qual o número que está associado ao número 2 pela fórmula acima, 
basta fazer: f(2) = 2 + 3 = 5 
 
Numa situação prática, não costumamos usar x e y, mas letras que sugerem as grandezas em 
questão, por exemplo, C = custo, q = quantidade, R = receita, L = lucro etc. 
 
Exemplo: O custo total de fabricação de q unidades de uma certa mercadoria é dado pela função 
C(q) = 500q + 200 
Seja k um número real qualquer, a função chamada de função constante é aquela que 
representa sempre o mesmo valor para y, independente do valor de x. Sua representação 
gráfica é uma reta paralela ao eixo x e que passa pelo ponto y = k. 
 
Exemplo: f(x) = 5. Então, f(0) = 5, f(1) = 5, ou seja, o valor da função é sempre 5 independente 
do valor de x. 
 
A Função do 1º grau ou função afim é toda função na forma y = a.x + b, com a ≠ 0. Seu gráfico é 
uma reta que intercepta o eixo y no ponto y = b. O intercepto do eixo x é chamado de raiz da 
função, e é dado por y = -b/a. Podemos, independente dessa fórmula, entender que a raiz é o 
valor de x para o qual y = 0. 
 
A monotonicidade (crescente ou decrescente) da função afim é dada pelo sinal do coeficiente a, 
se a > 0 a função é crescente e, se a < 0 a função é decrescente. 
 
Como o gráfico da função afim é uma reta, podemos determiná-lo com apenas dois pontos. Isso 
quer dizer que basta atribuir dois valores quaisquer para x e calcular os y correspondentes. 
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19 
 
Depois é só marcar os pontos no gráfico e traçar a reta. Em geral, para obter o gráfico de uma 
função afim, recorremos aos interceptos dos eixos x e y. 
 
Se b = 0, a função é chamada de função linear e seu gráfico é uma reta que passa pela origem 
(0; 0) do sistema de eixos cartesianos. Exemplo: f (x) = 3.x, para construir o gráfico da função 
linear, basta atribuirmos um valor para x e calcularmos o y correspondente. Como o gráfico é 
uma reta, basta unir esse ponto calculado com o ponto (0;0) para termos o gráfico. 
 
Exemplo: Construir o gráfico da função y = 2x + 3. 
 
Primeiro vamos montar uma tabela de duas linhas na qual atribuiremos dois valores para x, 
digamos 1 e 2: 
x y 
1 
2 
Para x = 1, temos y = 2.1 + 3 = 5 
Para x = 2, temos y = 2.2 + 3 = 7, a tabela fica: 
x y 
1 5 
2 7 
Colocando esses pontos no gráfico e unindo-os com uma reta, temos: 
 
Observe que foi indicado no gráfico o intercepto do eixo y (b = 3) e do eixo x (raiz = -3/2). 
 
Determinação da Expressão Algébrica da Função do 1º grau: Dado um gráfico no qual se 
conhece as coordenadas de dois pontos, é possível obter a expressão algébrica da função que o 
gerou. Isso equivale a calcular os coeficientes a e b na fórmula y = a.x + b. Dados dois pontos 
A(xA , yA) e B(xB , yB), o coeficiente a é dado por: 
 
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
 
 
Depois de calculado a, podemos usar xA e yA na fórmula y = a.x + b para obter o coeficiente b. 
Como exemplo, vamos obter a expressão algébrica da função que gerou o gráfico abaixo. 
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20Agora calculamos b: 
yA = a.xA + b 
3 = (-7/5).(-2) + b 
b = 3 – 14/5 
b = 1/5 
Portanto temos: y = (-7/5).x + 1/5 
 
É importante destacar que não fará diferença se identificarmos os pontos de outra forma, ou 
seja, se no exemplo anterior tivéssemos identificado A (3, -4) e B(-2, 3) obteríamos o mesmo 
resultado. 
É possível usar outras informações para se obter a expressão algébrica da função do primeiro 
grau. Por exemplo, se conhecermos o intercepto do eixo y, já sabemos que esse é o valor de b. 
Com isso, podemos usar esse valor, junto com as coordenadas de outro ponto para descobrir o 
valor de a. 
 
Se a função cortar o sistema de eixos na origem (0,0), já saberemos que se trata de uma função 
linear, que tem o coeficiente b valendo 0. Assim, só precisaremos calcular o coeficiente a para 
obter a expressão algébrica da função. 
 
Exercícios do Módulo 3: Função Afim 
 
1) Sendo f(x) = ax + b a função do 1º grau, determine os valores de a e b da função f(x) = 5x – 1 
a)a=1 e b=-1 b)a=-1 e b=5 c)a=-5 e b=-1 d)a=5 e b=1 e)a=5 e b=-1 
 
2) Sendo f(x) = ax + b a função do 1º grau, determine os valores de a e b da função f(x) = – 2x 
a)a=0 e b=-1 b)a=-1 e b=0 c)a=-2 e b=0 d)a=0 e b=1 e)a=0 e b=0 
 
3) Sendo f(x) = ax + b a função do 1º grau, determine os valores de a e b da função f(x) = x/4 – 2 
a)a=-4 e b=-2 b)a=-4 e b=2 c)a=-1/4 e b=-2 d)a=1/4 e b=-2 e)a=4 e b=-2 
 
4) Sendo f(x) = ax + b a função do 1º grau, determine os valores de a e b da função f(x) = 2x/3 + 
1/2 
a)a=2/3 e b=1/2 b)a=2 e b=3 c)a=x/4 e b=2/1 d)a=2/4 e b=-1/2 e)a=x/3 e b=1/2 
 
5) Sendo f(x) = ax + b a função do 1º grau, determine os valores de a e b da função f(x) = – 7 – x 
a)a=-7 e b=-1 b)a=-1 e b=-7 c)a=7 e b=-1 d)a=-1 e b=7 e)a=0 e b=-1 
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21 
 
6) Sendo f(x) = ax + b a função do 1º grau, determine os valores de a e b da função f(x) = 10 
a)a=0 e b=-10 b)a=-10 e b=0 c)a=10 e b=0 d)a=10 e b=1 e)a=0 e b=10 
 
7) Dada a função f(x) = 2x – 3, calcule f(2). 
a)-1 b)0 c)2 d)1 e)-2 
 
8) Dada a função f(x) = 2x – 3, calcule f(-2). 
a)-7 b)10 c)12 d)-1 e)2 
 
9) Dada a função f(x) = 2x – 3, calcule f(0). 
a)-1 b)2 c)-3 d)1 e)-2 
 
10) Dada a função f(x) = 2x – 3, calcule f(1/3). 
a)-7 b)-3 c)-3/7 d)-1/3 e)-7/3 
 
11) Dada a função f(x) = -3x + 2, calcule o valor de x, para que f(x)=2 
a)0 b)-1 c)2 d)1 e)-2 
 
12) Dada a função f(x) = -3x + 2, calcule o valor de x, para que f(x)=0 
a)0 b)2/3 c)3/2 d)1 e)-2 
 
13) Escreva a função afim f(x) = ax + b, sabendo que: f(1) = 5 e f(-3) = -7 
a)y=-2x + 5 b)y=-10x + 5 c)y = 3x + 2 d)y=10x + 1 e)y=x - 7 
 
14) Escreva a função afim f(x) = ax + b, sabendo que: f(-1) = 7 e f(2) = 1 
a)y=-2x + 5 b)y=-10x + 5 c)y = 3x + 2 d)y=10x + 1 e)y=3x + 4 
 
15) Determine a fórmula matemática da função afim tal que f(2) = 5 e f(-1) = -4 e depois 
responda qual é a taxa de variação (termo a) dessa função. 
a)2 b)1 c)4 d)3 e)6 
 
16) O proprietário de uma fábrica de chinelos verificou que, quando se produziam 600 pares de 
chinelos por mês, o custo total da empresa era de R$ 14 000,00 e, quando se produziam 900 
pares, o custo mensal era de R$ 15 800,00. O gráfico que representa a relação entre o custo 
mensal (C) e o número de chinelos produzidos por mês (x) é formado por pontos de uma reta. 
Obtenha C em função de x. 
a)C(x)=1400x+6 b)C(x)=6x+1400 c)C(x)=6x+10400 d)C(x)=1400x+0,06 e)C(x)=1400x-0,6 
 
17) O gráfico da função y = 2x + 5 é: 
a)uma reta crescente que intercepta o eixo vertical no valor 5. 
b)uma reta decrescente que intercepta o eixo vertical no valor 5. 
c)uma reta crescente que intercepta o eixo horizontal no valor 2. 
d)uma reta decrescente que intercepta o eixo vertical no valor 2. 
e)uma reta crescente que intercepta o eixo horizontal no valor 7. 
 
18) O gráfico da função y = x + 3 é: 
a)uma reta crescente que intercepta o eixo vertical no valor -3. 
b)uma reta decrescente que intercepta o eixo vertical no valor 3. 
c)uma reta crescente que intercepta o eixo horizontal no valor -3. 
d)uma reta decrescente que intercepta o eixo vertical no valor -3. 
e)uma reta crescente que intercepta o eixo horizontal no valor 3. 
 
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22 
 
19) O gráfico da função y = -3.x + 6 , intercepta os eixos horizontal e vertical respectivamente 
em: 
a)-2 e -6 b)-6 e -2 c)-3 e 6 d)6 e -3 e)2 e 6 
 
20) Um vendedor autônomo recebe uma comissão (C) de 12% sobre o total de suas vendas no 
mês (x). Portanto, a comissão que ele recebe é dada por C = 0,12.x . No mês que a comissão foi 
de R$ 36.000,00, qual foi o total de suas vendas? 
a)R$ 30.000,00 b)R$ 4320,00 c)R$ 300.000,00 d)R$ 4.320.000,00 e)R$ 100.000,00 
 
21) A expressão algébrica da função afim que relaciona y e x conforme os dados da tabela 
abaixo é: 
x -2 -1 0 1 2 3 4 
y -6 -3 0 3 6 9 12 
a)y = x + 3 b)y = 3x + 1 c)y = –x + 3 d)y = 3x e)y = 3x2 
 
22) O gráfico da função y = –2x + 7 corta os eixos horizontal e vertical, respectivamente, nos 
valores: 
a)-2 e 7 b)7 e -2 c)-3,5 e 7 d)3,5 e 7 e)7 e -3,5 
23) Amanda é representante comercial. Ela recebe mensalmente um salário composto de duas 
partes: uma fixa, no valor de R$ 850,00, e uma variável, que corresponde a uma comissão de 
3% sobre o total de vendas que ela faz durante o mês. Considere “S” o salário mensal e “x” o 
total das vendas do mês. Qual é a lei da função ou fórmula que associa “S” a “x” ? 
a)S = 850.x + 3 b)S = 3.x + 850 c)S = 850 + 0,03.x d)S = 850.x + 0,03 e)S = 850.x – 0,3 
 
24) O “modelo” (fórmula ou lei) referente à relação que existe entre os elementos das colunas da 
tabela abaixo é: 
x -2 -1 0 1 2 3 4 
y -2 -1 0 1 2 3 4 
a)y = x2 b)y = x c)y = –x d)y = x3 e)y = -x2 
 
25) José é representante comercial. Ele recebe mensalmente um salário composto de duas 
partes: uma fixa, no valor de R$ 1800,00, e uma variável, que corresponde a uma comissão de 
5% sobre o total de vendas que ele faz durante o mês. Considere “S” o salário mensal e “x” o 
total das vendas do mês. Qual é a lei da função ou fórmula que associa “S” a “x” ? 
a)S = 1800.x + 5 b)S = 5x + 1800 c)S = 1800.x – 0,5 d)S = 1800.x + 0,05 e)S = 1800 + 0,05.x 
 
26) O gráfico da função y = 11x + 5 é: 
a)uma reta crescente que intercepta o eixo vertical no valor 2. 
b)uma reta decrescente que intercepta o eixo vertical no valor 2. 
c)uma reta crescente que intercepta o eixo horizontal no valor 5. 
d)uma reta decrescente que intercepta o eixo vertical no valor 5. 
e)uma reta crescente que intercepta o eixo horizontal no valor –5/11. 
 
27) Seja a função f(x) = 4x – 3. O valor de x para o qual f(x) vale –1 é: 
a)-1/2 b)1/2 c)1 d)-1 e)2/3 
 
28) Considere a função y = 1 + 4x. Assinale a alternativa correta: 
a)essa função é crescente e sua raiz é x = 1/4 
b)essa função é crescente e sua raiz é x = -1/4 
c)essa função é decrescente e sua raiz é x = 1/4 
d)essa função é decrescente e sua raiz é x = -1/4 
e)essa função é crescente e sua raiz é x = 2 
 
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23 
 
29) Considere a função y = -4x + 12. É correto afirmar que 
a)a função é crescente e sua raiz é x = 3 
b)a função é decrescente e sua raiz é x = 3 
c)a função é decrescente e sua raiz é x = -3 
d)a função é crescente e sua raiz é x = -3 
e)a função é decrescente para x < 3 e crescente para x > 3 
 
30) Descubra os pontos em que a reta da função y = x – 5, corta os eixos x e y. 
a)-8 e -4 b)8 e -8 c)-4 e 8 d)4 e -5 e)5 e -5 
 
31) Determine o ponto em que as retas das funções f(x) = 1 – x e g(x) = 3x + 17, se interceptam. 
a)( - 4 ; 5 ) b)( - 4 ; - 5 ) c)( 4 ; - 5 ) d)( - 4 ; 1 ) e)( - 1; 5 ) 
 
Resposta dos Exercícios do Módulo 4: 1)e 2)c 3)d 4)a 5)b 6)e 7)d 8)a 9)c 10)e 
11)a 12)b 13)c 14)a 15)d 16)c 17)a 18)c 19)e 20)c 21)d 22)d 23)c 24)b 25)e 
26)e 27)b 28)b 29)b 30)e 31)a 
 
Aplicações de Função Afim na física e em outras áreas 
 
1) A posição de um móvel varia linearmente com o tempo. Com os dados apresentados na 
tabela a seguir, escreva a equação que relaciona a posição (S), em metros, em função do tempo 
(t), em segundos. DICA: Monte uma função afim, chame uma coluna de x e outra de y. 
Tempo 
(segundos) 
Posição 
(metros) 
2 3 
3 9 
Pela tabela, temos que: f(2)=3 e f(3)=9, logo a=9-3/3-2 → a = 6 e, y = ax + b → 3 = 6 . 2 + b → b 
= -9 
y = ax + b → y = 6x – 9 → S = -9 + 6t 
2) A velocidade de um móvel varia linearmente com o tempo. Com os dados apresentados na 
tabela a seguir, indique o instante, em segundos, no qual a velocidade, em m/s, do móvel é igual 
a zero. DICA: Monte uma função afim e resolva. 
Tempo 
(s) 
Velocidade 
(m/s) 
2 3 
3 9 
No exercício anterior, já montamos uma equação semelhante, logo V = -9 + 6t, substituindo V 
por zero, temos: 0 = -9 + 6t → 9 = 6t → t = 9/6 → t = 3/2 → t = 1,5 
3) O gráfico a seguir representa o valor (V) de um equipamento, em reais, em função do tempo 
(t), em anos. Com base na representação gráfica, a equação que relaciona o valor do 
equipamento, em reais, em função do tempo, em anos, é: DICA: O termo “b” é o valor onde o 
gráfico intersecta o eixo vertical e o termo ”a” é calculado por delta y, sobre delta x. 
 
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24 
 
 
Pelo gráfico, temos que: f(0)=240.000 e f(8)=0, logo a=240.000-0/0-8 → a = -3000 e, b = 24000 
Logo, y = ax + b → y = -3000x + 24000 →V = 24000 – 3000t 
4) Uma barra uniforme, com 60 cm de comprimento, em determinado instante, tem uma das 
extremidades com temperatura de 35 ºC e, a outra extremidade, com temperatura de 5 ºC. 
Sabendo que a temperatura T (ºC) da barra varia linearmente com a posição de um ponto L (em 
cm), medido a partir da extremidade mais quente, como resumido na tabela e sendo que o 
gráfico mostra o comportamento da temperatura em relação ao comprimento da barra, a 
temperatura varia ao longo da barra de acordo com a expressão: 
 
 
Como queremos T em função de L, convém invertermos os eixos do gráfico: 
 
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25 
 
Dessa forma, temos que f(0) = 35 e f(30) = 20, logo a = 35-20/0-30 = 15/-30 = -0,5, portanto, 
a = -0,5 e como y = ax + b, temos: 35 = -0,5 . 0 + b, logo b = 35, então y = -0,5x + 35, ou seja: 
T = 35 – 0,5L 
 
Módulo 4: FUNÇÃO QUADRÁTICA “2º grau” (Introdução, gráfico e 
problemas) 
“A matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos, como também 
para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens.” (Descartes) 
“Sem a matemática, não poderia haver astronomia; sem os recursos maravilhosos da astronomia, seria 
completamente impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade.”(Amoroso 
Costa) 
“A Matemática é a inabalável base das ciências e a abundante fonte do progresso nos negócios humanos.”(Barrow) 
 
Chama-se função do 2o grau ou função quadrática a toda função na forma y = ax2 + bx + c, com 
a ≠ 0. Esse tipo de função tem como gráfico uma curva chamada parábola, cuja concavidade 
pode ser voltada para cima ou para baixo, conforme o sinal do coeficiente a: 
 
a > 0 concavidade voltada para cima a < 0 concavidade voltada para baixo 
 
Raízes: as funções quadráticas podem ter zero, uma ou duas raízes, dadas pelas fórmulas: 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 e 𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 
 
Se Δ > 0 a função tem duas raízes reais, se Δ = 0 a função tem uma única raiz real, se Δ < 0 a 
função não tem raízes reais. 
 
Gráfico: a parábola é uma curva que tem um ponto de inflexão, denominado vértice. Suas 
coordenadas são dadas por: 
𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
 e 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
 
 
Veja no esquema abaixo a posição do vértice nas parábolas: 
 
 
No gráfico, os interceptos do eixo x são dados pelas raízes. O intercepto do eixo y é dado por y 
= c. Assim, para construir o gráfico de uma função do 2o grau, devemos considerar as seguintes 
referências: interceptos do eixo x (raízes), vértice e intercepto do eixo y. 
Esboço gráfico da função quadrática: Para esboçar o gráfico da função do 2º grau, seguimos 
os seguintes passos: 
1º) Verificar se a função é crescente ou decrescente: 
a > 0 a parábola tem a concavidade voltada para cima. 
a < 0 a parábola tem a concavidade voltada para baixo. 
 
2º) Calcular o Delta e as raízes: 
Se Δ = 0, a parábola intercepta o eixo x em um único ponto. 
Se Δ > 0, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. 
Se Δ < 0, a parábola não intercepta o eixo x. 
 
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26 
 
3º) Determinar o vértice da parábola, através das fórmulas: 
𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
 e 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
 
 
O gráfico da função quadrática pode ser: 
 
 
Se a > 0 e Δ > 0 Se a > 0 e Δ = 0 Se a > 0 e Δ < 0 
 
 
Se a < 0 e Δ > 0 Se a < 0 e Δ = 0 Se a < 0 e Δ < 0 
 
 
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27 
 
 
 
Monotonicidade (Xv): toda função do 2o grau tem um trecho crescente e um trecho 
decrescente. Esses dois trechos são separados pelo vértice. 
 
Estudo do sinal: na função do 2o grau, podemos ter trechos com y > 0 , com y < 0 e com y = 0 
(nas raízes). Da mesma forma, podemos ter a função sempre positiva ou sempre negativa. É 
essencial construir o gráfico para depois estudar o sinal da função. Veja nos gráficos abaixo o 
sinal das funções: 
 
Pontos críticos (Yv): os valores que y pode assumir em uma função quadrática são limitados 
pelo vértice da parábola. Assim, se a parábola tiver a concavidade voltada para cima, a função 
atinge ponto de mínimo em y = yV. Se a concavidade for para baixo a função atinge ponto de 
máximo em y = yv. 
 
Determinação da Expressão Algébrica da Função do 2º grau: a expressão algébrica da 
função do 2º grau é: y = a.x² + b.x + c. Para obtermos essa expressão com base em um gráfico, 
devemos conhecer as raízes e o intercepto do eixo y. 
 
Chamando as raízes de x1 e x2, podemos usar as expressões da soma e do produto da seguinte 
forma: 
S = x1 + x2 = -b/a e P = x1.x2 = c/a 
 
Se conhecermos o intercepto do eixo y, sabemos que esse valor é o coeficiente c. 
 
Usando esse valor de c na expressão do produto “P” acima, juntamente com as raízes, podemos 
calcular o coeficiente a. 
 
Usando o resultado do coeficiente a na expressão de “P”, juntamente com a soma das raízes, 
podemos determinar o coeficiente b. 
 
Exemplo 1: vamos obter a expressão algébrica da função do segundo grau que gerou o gráfico: 
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28 
 
 
As raízes são 1 e 3, assim temos S = 4 e P = 3. 
 
O intercepto do eixo y é 3, assim, c = 3. 
 
Usando P = c/a temos: 3=3/a, logo a = 1. 
 
Usando a = 1 e S = 4, temos: 
S = -b/a 
4 = -b/1 
b = -4 
Logo, a função que gerou o gráfico é y = 1.x2 – 4x + 3 ou simplesmente y = x2 – 4x + 3 
 
 
 
Exercícios do módulo 4 
 
1) Para qual valor de t a função f(x) = -5xt + 2x – 1 é quadrática? 
a)3 b)1 c)-1 d)2 e)0 
 
2) Assinale a alternativa que contém uma função quadrática. 
a) f(x) = 2x + 1 b) f(x) = 5x c) f(x) = 2/x² d) f(x) = 0x² + 3x – 4 e) f(x) = 2x² 
 
3) Assinale a alternativa que apresenta corretamente os termos a, b e c da função y=x2 – 5x + 3 
a)a=2, b=-5, c=3 b)a=1, b=-5, c=3 c)a=-1, b=-5, c=3 d)a=-2, b=-5, c=3 e)a=1/2, b=-5, c=3 
 
4) A função f(x) = (x + 2) (x – 3) é equivalente a função f(x) = ax + b + c, determine os valores de 
a, b e c. 



−=
=


=

=

=
=−−=−−+−
=++−−+−+−=−−−
=−−
2
6
 
2
84
 
2
644
 
2
1214164
0124n 12)2(
12)403()0)1(2( 12 
0
1
1
 
n
4
2
 
0
114
312
 
:segunda da produtosdos soma pela diagonal,
primeira da produtos dos soma asubtrair e matriz, da direita à colunas primeiras duas ascopiar 
em consiste que Sarrus, de regra autilizar podemos 3x3 matriz uma de tedeterminan oachar Para
.12
0
114
312
 equação da solução a Encontre :Resolvido Exercício
22
n
n
nn
).(-.-
n
nnnnn
nnnnn
nn
n
nn
n
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29 
 
a)a=1, b=-1, c=-6 b)a=1, b=-5, c=3 c)a=-1, b=-5, c=3 d)a=-2, b=-5, c=3 e)a=1/2, b=-5, c=3 
 
5) Assinale a alternativa que apresenta corretamente a (s) raiz (es) da função y = x2 – 8x + 16. 
a)-8 e -4 b)8 e -8 c)-4 e 8 d)4 e)essa função não tem raízes reais 
 
6) Considere a função y = –x2 + 2x + 3. Assinale a alternativa que apresenta corretamente as 
coordenadas do seu vértice: 
a)-1 e 3 b)1 e 4 c)0 e 4 d)0 e 8 e)2 e 8 
 
7) Considere a função y = –x2 + 2x + 3. Assinale a alternativa que apresenta corretamente o seu 
ponto crítico: 
a)atinge ponto de mínimo em y = 1 
b)atinge ponto de máximo em y = 1 
c)atinge ponto de mínimo em y = 4 
d)atinge ponto de máximo em y = 4 
e)atinge ponto de mínimo em y = 3 
 
8) Assinale a alternativa que apresenta corretamente a (s) raiz (es) da função y = x2 – 5x + 6 
a)1 e 2 b)1 e 3 c)2 e 3 d)2 e 4 e)3 e 4 
 
9) Assinale a alternativa que apresenta corretamente a (s) raiz (es) da função y = x2 + 2x + 6 
a)3 e -3 b)3 e 6 c)3 e 9 d)2 e 3 e)essa função não tem raízes reais 
 
10) Assinale a alternativa que apresenta corretamente a (s) raiz (es) da função y = –x2 – x + 30 
a)6 e -5 b)5 e 6 c)5 e -6 d)-5 e -6 e)essa função não tem raízes reais 
 
11) Considere a função y = –x2 – x + 30. Assinale a alternativa que apresenta corretamente as 
coordenadas do seu vértice. 
a)-1 e 30 b)1/2 e 15 c)-1/2 e 121/4 d)-1 e 121/2 e)1 e -30 
 
12) Considere a função y = –x2 – x + 30. Assinale a alternativa que apresenta corretamente o 
seu ponto crítico. 
a)atinge ponto de mínimo em y = 121/2 
b)atinge ponto de máximo em y = 121/4 
c)atinge ponto de máximo em y = 121/2 
d)atinge ponto de mínimo em y = 30 
e)atinge ponto de mínimo em y = 121/4 
 
13) Considere a função do segundo grau dada por y = x² - 10x + 16. Suas raízes são: 
a)5 e 8 b)2 e 8 c)2 e 5 d)-5 e 8 e)5 e -8 
 
14) Considere a função do 2º grau dada por y = x² – 10x + 16. As coordenadas do vértice (xv e 
yv) são, respectivamente 
a)5 e 9 b)-5 e 9 c)5 e -9 d)-5 e -9 e)2 e 8 
 
15) Considere a função y = 10x – x². Observando o gráfico dessa função, é correto afirmar que 
ela: 
a)atinge ponto de mínimo em y = 5 b)atinge ponto de máximo em y = 5 
c)atinge ponto de mínimo em y = 25 d)atinge ponto de máximo em y = 25 
e)atinge ponto de mínimo em y = 10 
 
16) Identifique a função quadrática f(x) = ax² + bx + c, que possui raízes valendo -2 e 3. 
a)y = x² – x – 6 b)y = 10x – x² c)y = –x2 – x + 30 d)y = x2 + 2x + 6 e)y = x² – 10x + 16 
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30 
 
17) Identifique a função quadrática f(x) = ax² + bx + c, que possui raízes valendo -1 e 2. 
a)y = x² – x – 6 b)y = 10x – x² c)y = –x2 – x + 30 d)y = x2 + 2x + 6 e)y = x² – x – 2 
 
18) Identifique a função quadrática f(x) = ax² + bx + c, que possui raízes valendo 5 e 10. 
a)y = x² – x – 6 b)y = 10x – x² c)y = x2 – 15x + 50 d)y = x2 + 2x + 6 e)y = x² – x – 2 
 
19) Identifique a função quadrática f(x) = ax² + bx + c, que possui raízes valendo 0 e 3. 
a)y = x² – x – 6 b)y = x² – 3x c)y = –x2 – x + 30 d)y = x2 + 2x + 6 e)y = x² – x – 2 
 
20) Identifique a função quadrática f(x) = ax² + bx + c, que possui raiz valendo 2. 
a)y = x² – x – 6 b)y = 10x – x² c)y = x2 – 4x + 4 d)y = x2 + 2x + 6 e)y = x² – x – 2 
 
21) Calcular as raízes da função y = x2 – 4x + 3. 
a)1 e 3 b)-5 e 9 c)5 e -9 d)-5 e -9 e)2 e 8 
 
22) Determine, respectivamente, a coordenadas x e y, de vértice da função y = x2 – 4x + 3. 
a)1 e 3 b)-1 e 2 c)5 e -9 d)-5 e -9 e)2 e 8 
 
23) O ponto crítico da função y = x2 – 4x + 3 atinge o ponto de mínimo em: 
a)1 b)-2 c)5 d)-1 e)2 
 
24) Dada a função f(x) = x2 – 4x + 3, determine o valor de f(2). 
a)1 b)-2 c)5 d)-1 e)2 
 
Resposta dos Exercícios do Módulo 4: 1)d 2)e 3)b 4)a 5)d 6)b 7)d 8)c 9)e 10)c 
11)c 12)b 13)b 14)c 15)d 16)a 17)e 18)c 19)b 20)c 21)a 22)b 23)d 24)d 
 
Aplicações da Função Quadrática 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
Aplicações da Função Quadrática - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Uma bola é lançada verticalmente para cima a partir do solo. Suponha que a sua altura h, em metros, t 
segundos após o lançamento, seja h(t)= 8.t-t2. Em quais instantes a bola se encontra a 15 metros do 
solo? Dica: Faça h(t) igual a 15 e calcule as raízes da equação 
a)2 e 6 segundos b)0 e 8 segundos c)1 e 10 segundos d)3 e 6 segundos e)3 e 5 segundos 
 
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32 
 
2) Suponha que uma partícula tem velocidade em função do tempo dada por V(t) =-2.t2+8.t, onde t é o 
tempo em segundos e V é a velocidade em m/s. Qual é a velocidade máxima atingida pela partícula? Em 
qual instante ocorre essa velocidade máxima? Dica: Calcule y do vértice para achar a velocidade 
máxima, substitua v(t) pelo valor do y do vértice para achar o tempo. 
a) 8 m/s. 2 s. b) 8m/s. 4 s. c) 4 m/s. 2 s. d) 2 m/s. 8 s. e) 5 m/s. 10 s. 
 
3) Deixa-se cair uma bola do alto de uma torre. A altura da bola (em metros) após t segundos é dada pela 
função h(t) =-1,2.t2+43,2. Qual é a altura da torre? Quanto tempo a bola leva para chegar ao solo? Dica: 
Calcule y do vértice e terá a altura da torre. Faça h(t) igual a zero, resolva a equação e terá o tempo. 
a)43,2 m. 6 s. b)36 m. 6 s. c)32 m. 3 s. d)21,6 m. 3 s. e)12 m. 2 s. 
 
4) Uma partícula tem velocidade em função do tempo dada por V(t) = -4t² + 16t (SI). Qual a velocidade 
máxima atingida pela partícula? 
a)2 m/s. b)40 m/s. c)16 m/s. d)24 m/s. e)4 m/s. 
 
5) Pesquisadores de uma bolsa de valores, detectaram às 10h30min que as ações de uma empresa 
seguiam o modelo V(t) = t²- 24t + 143, sendo t o horário do dia entre 0 e 24 horas e V o valor das ações. 
Determine o horário de mínimo valor das ações e o valor nesse horário. 
a)V = -1 e t = 11h b)V = -12 e t = 1h c)V = 13 e t = 12h d)V = 13 e t = 11h e)V = -1 e t = 12h 
 
6) Considere o gráfico ao lado e assinale a alternativa que apresenta a 
expressão algébrica da função do 2º grau que o gerou. 
 
a)y = x2 + 6x + 5 
b)y = x2 – 6x + 5 
c)y = x2 – 6x – 5 
d)y = x2 + 6x – 5 
e)y = –x2 – 6x + 5 
 
 
Respostas: 1)e 2)a 3)a 4)c 5)e 6)b 
 
Módulo 5: Função exponencial e logarítmica (Domínio, imagem, 
gráficos, problemas) 
 
“Sem entusiasmo não há matemática.” Novalis 
“OS SINAIS + E - MODIFICAM A QUANTIDADE DIANTE DA QUAL SÃO COLOCADOS COMO O ADJETIVO 
MODIFICA O SUBSTANTIVO.” (CAUCHY) 
“Toda a educação científica que não se inicia com a Matemática é, naturalmente, imperfeita na sua base.” (Auguste 
Conte) 
 
Vamos iniciar este capítulo relembrando as operações envolvendo potências e raízes. 
 
Equações Exponenciais: uma equação onde a incógnita está no expoente é chamada de 
equação exponencial. A maioria das equações exponenciais é resolvida simplesmente tornando 
as bases iguais e em seguida igualando-se seus expoentes. Outras necessitam de uma análise 
mais aprofundada. Vejamos os exemplos: 
 
Exemplo 1: 
 
Nosso objetivo é igualar as bases, vamos fatorarambos os lados: 
 
O lado esquerdo já estava fatorado. Agora temos os dois lados com a mesma base 
(3). Chegamos ao objetivo. Agora devemos "CORTAR" as bases de ambos os lados. 
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Pronto, com as bases "cortadas" mantemos os expoentes e calculamos uma equação 
do primeiro grau. 
x=2 Esta é a solução. 
 
Exemplo 2: 
 
Nosso objetivo é sempre o mesmo, igualar as bases. Vamos fatorar ambos os 
lados. 
 
Temos agora que utilizar as propriedade de potenciação. 
 
Pronto, estamos com as bases iguais. Vamos “cortar” e resolver a equação do 
primeiro grau novamente. 
2x-2=5 Aplicando as propriedades operatórias. 
2x=5+2 
2x=7 
x=7/2 
 
 
Esta é a solução. 
 
Exemplo 3: 
3𝑥 = √34
5
 Para igualar as bases, vamos aplicar as propriedades de radiciação. 
3𝑥 = 3
4
5 
Para igualar as bases, vamos aplicar as propriedades de potenciação e 
radiciação. 
3𝑥 = 3
4
5 
Com as bases iguais podemos cancelar e operar os expoentes. 
𝑥 =
4
5
 Esta é a nossa solução x=4/5. 
 
Exemplo 4: 
 
Novamente começamos fatorando. 
 
Para igualar as bases, vamos aplicar as propriedades de potenciação e 
radiciação. 
 
Com as bases iguais vamos operar os expoentes. 
 
Esta é a nossa solução x=4. 
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Exemplo 5: 
 
Este exemplo é um pouco mais difícil pois tem um expoento no expoente. Note 
que teremos que igualar as bases duas vezes. Preste atenção. Vamos fatorar 
 
Agora podemos cortar as bases. Sobram os expoentes. 
 
Temos outra equação exponencial. Novamente vamos fatorar e igualar as bases. 
 
Corta-se as bases. 
x+1=2 
x=2-1 
x=1 
Esta é a nossa solução, x=1 
 
Exemplo 6: 
 
Como sempre, vamos fatorar. 
 
Vamos aplicar as propriedades operatórias de potenciação para 
multiplicação e divisão de mesma base. 
 
Pronto, objetivo alcançado. Cortando... 
8x-7=x-3 
8x-x=7-3 
7x=4 
x=4/7 
 
 
Esta é a solução 
 
Exemplo 7: 
 
Precisamos igualar as bases mas nenhum dos lados da igualdade pode ser fatorado. 
Iremos usar uma propriedade que aprendemos na lição passada: qualquer número 
elevado na potência zero vale 1 (Xo=1). Então o lado direito da igualdade pode ser 
3o. 
 
Agora com as bases igualadas vamos corta-las. 
x2-x-6=0 Agora é uma equação do segundo grau, basta acharmos suas raízes. 
{-2 e 3} Esta é a solução, "x" pode ser qualquer um destes valores. 
 
Exemplo 8: 
3·2x+3=192 
A única diferença deste exemplo é que antes de fatorar para tentar igualar as bases 
temos que "passar" o três que está multiplicando para o lado direito dividindo. 
2x+3=192/3 Efetuando o cálculo 
2x+3=64 Fatoramos para igualar as bases. 
2x+3=26 Cancelando as bases. 
x+3=6 
x=6-3 
x=3 
Esta é a nossa solução. 
 
Exemplo 9: 
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Exercícios propostos: Resolva as equações exponenciais: 
1)2x = 23 2)3x = 1 3)2x = 4 4)2x = 8 5)2x = 32 6)3x = 9 7)4x = 16 8)3x = 243 
 
9)8x = 32 10)43x = 64 11)3x-1 = 81 12)(1/3)2x-3 = (1/3)x 13)2x = 64 14)2x = 128 
 
15)2x = 1/16 16)7x = 49 17)9x = 27 18)3x-1 = 27 19)25x = √5 20)8x-1 = 1/16x 
 
21)(3x)x = (3x)3 22)24x²-1 = 1 23)3x = 81 24)(1/2)2x = (1/2)x-3 25)(1/5)x = 125 
 
26)9x+1 = 1/27 27)0,75x = 9/16 28)3x-2 = 9 29)5x²-2x = 125 30)101-x = 1/10 
 
31)(√2)
𝑥
=4 32)(√2𝑥
5
)=1/32 33)√3𝑥 = √81
3
 34)(√2
3
)
𝑥
= 8 35)(√3
4
)
𝑥
= (√9
3
) 
 
36) (√4
5
)
𝑥
=
1
√8
 37)3x-5 = 1/27 38)3x-5 = 271-x 39)(1/2)x²-4 = 8x+2 40)(√2)x = 2 
 
41)(1/2)x = 16 42)4x = 1/64 43)32x-1 = (1/3)x+2 44)2x-2 = 82x+1 45)3x-5 = 271-x 
 
46)101-x = 
10
1
 47)9x-2 = 27 48) 52x-1 = 1 49)
1
5
2
−






x
= 
8
125
 50)
x






2
1
= 3 4 
 
51)101-4x = 0,001 52) 6 . 7-x+2 = 294 53)2 . 
32
4
1
−






x
= 4 54) 4x = 3 32 55)( 0,2)x-2 = 1 
 
56)
1
2
3
+






x
= 
x21
4
9
+






 57)
x+−






4
3
1
= 9x+3 58)52-x = 
125
1
 59)162x = 8x+2 60)(0,5)2x = 21-3x 
 
61)82-x = (0,25)x+1 62)
2
3
1
+−






x
= 4 9 63)25x = 23x+10 64)(0,01)x²-1 = (0,01)x-1 
Respostas:1)3 2)0 3)2 4)3 5)5 6)2 7)2 8)5 9)5/3 10)1 11)5 12)3 13)6 14)7 15)-4 
16)2 17)3/2 18)4 19)¼ 20)3/7 21)0e3 22)-1e1 23)4 24)-3 25)-3 26)-5/2 27)2 28)4 
29)-1e3 30)2 31)4 32)-25 33)8/3 34)9 35)8/3 36)-15/4 37)2 38)2 39)-1e-2 40)2 
41)-4 42)-3 43)-1/3 44)-1 45)2 46)2 47)11/4 48)1/2 49)-2 50)-2/3 51)1 52)0 53)5/4 
54)5/6 55)2 56)-1/3 57)-2/3 58)5 59)6/5 60)1 61)8 62)5/2 63)5 64)0e1 
 
Função Exponencial: Denomina-se função exponencial de base a, toda função real dada por 
f(x) = ax (com a  1 e a > 0), onde x pertence ao conjunto dos números reais. 
 
Quando a > 1, temos uma função exponencial crescente; 
Quando 0 < a < 1, temos uma função exponencial decrescente. 
 
Exemplos de funções exponenciais: 
a) tV 2= 
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36 
 
b) 
x
xf 





=
5
1
)( 
c) xy 134,0= 
 
O Domínio das funções exponenciais é sempre o conjunto dos números reais. 
 
A imagem de uma função exponencial é o conjunto dos números reais positivos. 
 
Gráfico da Função Exponencial: na figura abaixo temos funções exponenciais crescentes para 
diferentes valores de “a”. Quanto maior for o valor de a na expressão f(x) = ax mais verticalizado 
é o gráfico da função. O eixo das abscissas é uma assíntota horizontal, ou seja, a reta e a curva 
ficam próximas a medida que se afastam da origem do sistema de coordenadas (x,y). 
 
 
Veja ainda esta outra figura, que ilustra o que foi mencionado no parágrafo anterior: 
 
 
Já na próxima figura temos funções exponenciais decrescentes para diferentes valores de “a”. 
Quanto mais próximo de zero for o valor de a na expressão f(x) = ax mais próximo da posição 
horizontal é o gráfico da função. O eixo das abscissas é uma assíntota horizontal. 
x
y
O
Os valores de 
“a” vão 
diminuindo e o 
x
y
O
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37 
 
 
Uma observação importante é que o gráfico de qualquer função exponencial sempre passa pelo 
ponto )1,0( . Porque qualquer valor elevado a zero é igual a 1. 
 
Aplicações da Função Exponencial 
 
1) Certa substância se decompõe segundo a lei Q(t)=2500.2-0,5.t, onde Q(t) indica a quantidade 
da substância (em gramas) em função do tempo t (em minutos). Qual a quantidade aproximada 
da substância em t=10 minutos? Dica: calcule Q(10). Letra b 
a) 500 gramas b) 78,125 gramas c) 12,500 gramas d) 600 gramas e) 1,500 gramas 
2) Certa substância se decompõe segundo a lei Q(t)=2500.2-0,5.t , onde Q(t) indica a quantidade 
da substância (em gramas) em função do tempo t (em minutos). Após quanto tempo a 
quantidade de substância será igual a 1.250 gramas? Dica: substitua Q(t) por 1250 e calcule t. 
letra e 
a) 1 minuto b)4 minutos c)5 minutos d)15 minutos e)2 minutos 
 
3) (UNISA) Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do tempo 
t, medido em horas, é dado por . Isso significa que 5 dias após a hora zero o número 
de bactérias é: 
Resolução: 
5 dias após o início da hora zero representam um total de 5.24 = 120 horas. Assim, 
. Logo, o número de bactérias 5 dias após a hora zero será de 1024. 
 
4) (Vunesp) Uma certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei , 
em que K é uma constante, t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade da 
substância, em gramas, no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição 
mostrados no gráfico, determine os valores de K e de a. 
 
Resolução: 
A função exponencial passa pelos pontos (a, 
512) e (0, 2048). Substituindo esses pontos na função, temos: 
x
y
O
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38 
 
 
 
5) O montante M é a quantia a ser recebida após a aplicação de um capital C, a uma taxa i, 
durante certo tempo t. No regime de juros compostos, esse montante é calculado pela relação 
. Considere um capital de R$ 10.000 aplicado a uma taxa de 12% ao ano durante 4 
anos. Qual seria o montante ao final dessa aplicação? Dado: 1,124 = 1,57352 
Resolução: 
Como foi dito, o montante, no regime de juros compostos, é dado por . 
Assim, nesse exemplo, temos: 
 
Logo, serão resgatados, após a aplicação, R$ 15.735,20. 
 
6) Após o início de um experimento o número de bactérias de uma cultura é dado pela 
expressão: N(t) = 1200 . 20,4t. Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 19200 
bactérias? 
N(t) = 1200 . 20,4t 
19200 = 1200 . 20,4t 
1200 . 20,4t = 19200 
20,4t = 19200/1200 
20,4t = 16 
20,4t = 24 
0,4t = 4 
t = 4/0,4 
t = 10 h 
A cultura terá 19200 bactérias após 10 h. 
 
7) A quantia de R$ 1200,00 foi aplicada em uma instituição bancária a uma taxa de 1,5% ao 
mês, no sistema de juros compostos. 
a) Qual será o saldo no final de 12 meses? 
b) Qual será o montante final após 6 anos? 
M = C(1+i)t (Fórmula dos juros compostos) onde: 
C = capital 
M = montante final 
i = taxa unitária 
t = tempo de aplicação 
 
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39 
 
a) Após 12 meses. 
Resolução: 
M = ? 
C = 1200 
i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária) 
t = 12 meses 
M = 1200(1+0,015)12 
M = 1200(1,015) 12 
M = 1200*(1,195618) 
M = 1.434,74 
Após 12 meses ele terá um saldo de R$ 1.434,74. 
 
b) Montante final 6 anos. 
Resolução: 
M = ? 
C = 1200 
i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária) 
t = 6 anos = 72 meses 
M = 1200(1+ 0,015)72 
M = 1200(1,015) 72 
M = 1200(2,921158) 
M = 3.505,39 
Após 6 anos ele terá um saldo de R$ 3.505,39 
 
10) 
 
Substituindo na função, o ponto (0; 1200), temos: 
 
 
 
𝑁(𝑡) = 𝐶 ∙ 𝑒𝑘∙𝑡 
𝑁(0) = 𝐶 ∙ 𝑒𝑘∙0 
1200 = 𝐶 ∙ 𝑒𝑘∙0 
1200 = 𝐶 ∙ 𝑒0 
1200 = 𝐶 ∙ 1 
C = 1200 
 
 
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40 
 
Logaritmos 
 
Logaritmo (log): é o expoente ao qual se deve elevar uma base para se encontrar uma 
determinada potência. 
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑥 (lê-se: logaritmo de b na base a é igual a x), onde: 
b é o logaritmando ou antilogaritmo 
a é a base 
x é o logaritmo 
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑥 ↔ 𝑎
𝑥 = 𝑏 
 
Condição de existência: para que exista o logaritmo, devemos ter: 
 
a > 0, a ≠ 1 e b > 0 
 
Sistema de logaritmos decimais: é o sistema de base 10, quando aparecer um log sem 
identificar a base, devemos entender como sendo base 10. 
 
𝑙𝑜𝑔10𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑥 
 
Cologaritmo (colog): é o nome que se dá ao oposto do logaritmo, isto é: 
𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = −𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 
 
Exemplos: 1) Calcule: 
a) 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔28 = −𝑙𝑜𝑔28 = −3 
b) 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔100 = −𝑙𝑜𝑔100 = −2 
 
Exercícios: 1) calcule o valor de x: 
a) 𝑙𝑜𝑔525 = 𝑥 b) 𝑙𝑜𝑔1000 = 𝑥 c) 𝑙𝑜𝑔22 = 𝑥 d) 𝑙𝑜𝑔2 (
1
4
) = 𝑥 e) 𝑙𝑜𝑔1
2
8 = 𝑥 
f) 𝑙𝑜𝑔21 = 𝑥 g) 𝑙𝑜𝑔0,1 = 𝑥 Respostas:a)2 b)3 c)1 d)-2 e)-3 f)0 g)-1 
 
2) Determine o logaritmo de 81 na base 3. Resposta: 4. 
 
3) Qual é o valor do logaritmo de 0,25 na base 2? Resposta: -2. 
 
4) Determine o valor de x em 𝑙𝑜𝑔9243 = 𝑥 Resposta: x = 2,5. 
 
5) Obtenha os valores dos logaritmos: 
a) 𝑙𝑜𝑔0,110 = 𝑥 Resposta x = -1 
b) 𝑙𝑜𝑔1
3
(
1
9
) = 𝑥 Resposta x = 2 
c) 𝑙𝑜𝑔√28 = 𝑥 Resposta x = 6 
d) 𝑙𝑜𝑔4 √16
3
= 𝑥 Resposta x = 2/3 
e) 𝑙𝑜𝑔28 = 𝑥 − 5 Resposta x = 8 
f) 𝑙𝑜𝑔432 = 2𝑥 + 1 Resposta x = 3/4 
g) 𝑙𝑜𝑔1
3
27 = 𝑥 + 2 Resposta x = -5 
 
6) Resolva as seguintes equações: 
a) 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 4 Resposta x = 81 
b) 𝑙𝑜𝑔16𝑥 =
1
2
 Resposta x = 4 
c) 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 − 1) = 1 Resposta x = 4 
d) 𝑙𝑜𝑔𝑥4 = 2 Resposta x = 2, pela condição de existência, -2 não é solução. 
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41 
 
e) 𝑙𝑜𝑔2𝑥4 = 2 Resposta x = 1, pela condição de existência, -1 não é solução. 
f) 𝑙𝑜𝑔𝑥27 = 3 Resposta x = 3 
g) 𝑙𝑜𝑔𝑥(2𝑥
2 − 3𝑥 + 2) = 0 Resposta x = 1/2, pela condição de existência, 1 não é solução. 
 
Propriedades dos logaritmos: 
 
1ª propriedade - Logaritmo do Produto: é igual a soma dos logaritmos dos fatores. 
𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏 ∙ 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐 
Exemplos: 1) Calcule: 
a) 𝑙𝑜𝑔2(8 ∙ 16) = 𝑙𝑜𝑔28 + 𝑙𝑜𝑔216 = 3 + 4 = 7 
b) 𝑙𝑜𝑔2 + 𝑙𝑜𝑔5 = log(2 ∙ 5) = 𝑙𝑜𝑔10 = 1 
 
2ª propriedade - Logaritmo do Quociente: é igual a diferença entre o logaritmo do dividendo e 
o logaritmo do divisor. 
𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏: 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐 
Exemplos: 1) Calcule: 
a) 𝑙𝑜𝑔2 (
4
32
) = 𝑙𝑜𝑔24 − 𝑙𝑜𝑔232 = 2 − 5 = −3 
b) 𝑙𝑜𝑔2(𝑥
2 + 1) − 𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 1 → 𝑙𝑜𝑔2 (
𝑥2+1
𝑥
) = 1 →
𝑥2+1
𝑥
= 21 → 𝑥2 + 1 = 2𝑥 → 
𝑥² − 2𝑥 + 1 = 0 Resposta: x = 1 
 
3ª propriedade - Logaritmo da Potência: é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da 
base da potência. 
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏
𝑚 = 𝑚 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 
Exemplos: 1) Dados log2 = 0,3010 e log3 = 0,4771, calcule: 
a) 𝑙𝑜𝑔8 = 𝑙𝑜𝑔23 = 3 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 = 3 ∙ 0,3010 = 0,903 
b) 𝑙𝑜𝑔81 = 𝑙𝑜𝑔34 = 4 ∙ 𝑙𝑜𝑔3 = 4 ∙ 0,4771 = 1,9084 
 
4ª propriedade – Mudança de base: quando temos o valor de Nblog , mas queremos obter o 
valor de Nalog , com ba  , usamos a relação: 
a
N
N
b
b
a
log
log
log = . (mudamos a base dada “a” para “b”) 
 
Exemplos: 1)Calcular 𝑙𝑜𝑔48: 
𝑙𝑜𝑔48 =
𝑙𝑜𝑔28
𝑙𝑜𝑔24
=
3
2
 
2)Simplificar 𝑙𝑜𝑔25 ∙ 𝑙𝑜𝑔57 ∙ 𝑙𝑜𝑔72: 
𝑙𝑜𝑔25 ∙
𝑙𝑜𝑔27
𝑙𝑜𝑔25
∙
𝑙𝑜𝑔22
𝑙𝑜𝑔72
= 1 
3)Resolver a equação 𝑙𝑜𝑔100𝑥 + 𝑙𝑜𝑔10𝑥 = 3 
 
𝑙𝑜𝑔10𝑥
𝑙𝑜𝑔10100
+ 𝑙𝑜𝑔10𝑥 = 3 
 
𝑙𝑜𝑔10𝑥 + 2𝑙𝑜𝑔10𝑥
2
=
6
2
 
 
3𝑙𝑜𝑔10𝑥 = 6 
 
X = 100 
 
 
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42 
 
4)Calcular o 𝑙𝑜𝑔32, 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑙𝑜𝑔102 = 0,3010 𝑒 𝑙𝑜𝑔103 = 0,4771 
 
𝑙𝑜𝑔32 =
𝑙𝑜𝑔102
𝑙𝑜𝑔103
=
0,3010
0,4771
≅ 0,63 
 
Exercícios propostos de logaritmos: 
1) Calcule x: 
a)log5 25 = x b)log10 1000 = x c)log2 2 = x d)log2 1/4 = x e)log1/2 8 = x f)log2 1 = x 
g)log10 0,1 = x h)log1/9 3√3 = x i)log3 81 = x j)log1/2 32 = x k)log8 1 = x l)𝑙𝑜𝑔√55 = x 
m) 𝑙𝑜𝑔√39 = x n)log2128 = x o)log327 = x p)log5125 = x q)log10 000 = x r)log1/264 = x 
 
2) Usando a definição, calcule: 
a)log100,01 b)log20,5 c)log2√8 d) log4√32 e)log1/416 f)log2/38/27 g)log20,25 
h)log77 i)log41 j)log1/51/5 
 
3) Determine o valor da base a nas seguintes igualdades: 
a)loga8 = 3 b)loga81 = 4 c)loga5 = 1 d)loga36=2 e)loga4 = -2 f)loga16 = 2 
g)loga1/16 = 2 h)loga25 = 2 i)loga10 = 1 
4) Calcule x nas igualdades: 
a)log2x=5 b)3 = log4x c)log(x+1) = 2 d)logx27 = 3 e)-1 = log3x f)logx = 0 
 
5) Usando as propriedades dos logaritmos, calcule: 
a)log2(8.16) b)log2 + log5 c)log24/32 d)log2√4
3
 e)log48 f)log816 
 
Respostas: 1)a)2 b)3 c)1 d)-2 e)-3 f)0 g)-1 h)-3/4 i)4 j)-5 k)0 l)2 m)4 n)7 o)3 
p)3 q)4 r)-6 2)a)-2 b)-1 c)3/2 d)5/4 e)-2 f)3 g)-2 h)1 i)0 j)1 3)a)2 b)3 c)5 d)6 
e)1/2 f)4 g)1/4 h)5 i)10 4)a)32 b)64 c)99 d)3 e)1/3 f)1 5)a)7 b)1 c)-3 d)2/3 
e)3/2 f)4/3 
 
Função logarítmica: denomina-se função logarítmica de base b, a função f real dada por f(x) = 
logb x (com b  1, b > 0 e x > 0). 
 
Quando b > 1, temos uma função logarítmica crescente. 
Quando 0 < b < 1, temos uma função logarítmica decrescente. 
 
Exemplos de funções logarítmicas: 
a) xV 10log= 
b) xxf
5
1log)( = 
c) xy 134,0log= 
 
O domínio das funções logarítmicas é o conjunto dos números reais positivos. A imagem das 
funções logarítmicas é o conjunto de todos os números reais. 
 
Observação: A função logarítmica é a inversa da exponencial. 
Gráfico da função logarítmica: na figura abaixo temos funções logarítmicas crescentes para 
diferentes valores de “b”. Quanto maior for o valor de b na expressão f(x) =logb x menos 
verticalizado é o gráfico da função. O eixo das ordenadas é uma assíntota vertical, ou seja, a 
reta e a curva ficam próximas a medida que se afastam da origem.. 
 
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43 
 
 
Já na próxima figura temos funções logarítmicas decrescentes para diferentes valores de “b”. 
Quanto mais próximo de zero for o valor de b na expressão f(x) = logb x mais seu gráfico é 
próximo da posição horizontal, conforme o valor de x aumenta. O eixo das ordenadas é uma 
assíntota vertical, ou seja, a reta e a curva ficam próximas a medida que se afastam da origem. 
 
 
Aplicações da Função Logarítmica 
 
1) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, 
evolui, desde que é plantada, segundo o modelo matemático h(t) = 1,5 + log3 (t+1), com h(t) em 
metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de 
altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de: 
a)9 b)8 c)5 d)4 e)2 
Solução: 
Temos que encontrar o valor de t que faz com que h seja 3,5. Basta trocar h por 3,5 na equação 
dada e isolar t. 
3,51)(t log 1,51)(t log 1,5 h(t) 33 =++++= 
=+=+ 23 31t21)(t log t = 8. Portanto a resposta é a letra B. 
 
 
 
x
y
O
x
y
O
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44 
 
2) Uma das grandezas relacionadas ao som é a sua altura A, medida em decibéis (dB). A altura 
de um som está relacionada com a sua intensidade I, medida em watts por metro quadrado, 
através da função 𝐴(𝐼) = 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔 (
𝐼
𝐼0
), sendo I0 uma constante que vale 10−12
𝑊
𝑚2
. Sabe-se que as 
intensidades sonoras aproximadas de um carro e de um avião a jato são iguais a 10−4
𝑊
𝑚2
. e 
102
𝑊
𝑚2
., respectivamente. Portanto, pode-se afirmar que a razão entre as alturas dos sons 
produzidos pelo avião e pelo carro, nessa ordem, é igual a: 
a) 1,75 b) 1,85 c) 1,95 d) 2,05 e) 2,35 
Carro: 
𝐴(𝐼) = 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔 (
10−4
10−12
) → 𝐴(𝐼) = 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔108 → 𝐴(𝐼) = 10 ∙ 8 = 80 
 
Avião: 
𝐴(𝐼) = 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔 (
102
10−12
) → 𝐴(𝐼) = 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔1014 → 𝐴(𝐼) = 10 ∙ 14 = 140 
 
Razão Avião / Carro: 
140
80
= 1,75 Resposta letra A 
 
3) A Escala Richter é uma função logarítmica utilizada para medir a magnitude dos abalos 
sísmicos, ou seja, dos terremotos. Foi criada pelos sismógrafos Beno Gutenberg e Charles 
Francis Richter que estudavam os sismos da Califórnia e colocada em prática em 1935. Dessa 
forma a magnitude de um terremoto pode ser calculada pela equação logarítmica: 
M = log10 (A . f) + 3,30 
Onde: 
M = Magnitude do terremoto na escala Richter; 
A = Amplitude do movimento da onda registrada no sismógrafo. 
f = frequência da onda, em hertz. 
 
Diante das informações acima, suponhamos que um terremoto teve como amplitude 1000 
micrometros e a frequência igual a 0,1Hz. Qual a magnitude deste terremoto? 
 
M= log10 (A . f) + 3,30 
 
M= log10 (1000 . 0,1) + 3,30 
 
M= log10 100 + 3,30 
 
M= log10 100 + 3,30 
 
M= 2 + 3,30 
 
M= 5,3 graus na escala Richter. 
 
4) Grande parte das propriedades físicas e químicas das substâncias nos permite caracterizá-las 
e, uma que pode ser facilmente utilizada é o pH, sigla para potencial hidrogeniônico. Na escala 
de pH, que fornece medidas entre 0 a 14, materiais que apresentam pH abaixo de 7 são 
denominados ácidos, enquanto que materiais com valores de pH acima de 7 são alcalinos, o pH 
7 é neutro. O pH é o log negativo de base 10 da concentração molar de íons de hidrogênio (H+), 
ou seja: 
pH = - log (H+) 
Dessa forma, sabendo que a concentração molar por litro do suco gástrico é: 10 –1 mol/l, qual é o 
seu pH? 
pH : - log (H+) 
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45 
 
pH : - log (10-1) 
O expoente que esta no número 10, "cai": 
pH = - . -1 log (10) 
Multiplicando o logaritmo negativo, por –1: 
pH = + 1 log (10) 
Como a base do logaritmo é dez, então: 
pH = log (10) 
pH = 1 
Logo, o pH do suco gástrico é 1. 
 
5) (FUVEST-adaptado) O químico Sörensen definiu o pH (potencial hidrogeniônico) de uma 
solução do seguinte modo pH = -log [H+], onde H+ é a concentração em íon – grama de 
hidrogênio por litro de solução. Para o pH < 7 a solução é acida, para pH = 7 a solução é neutra 
e para pH > 7 e, teoricamente menor que 14, a solução é básica. Numa amostra de leite de 
magnésia (que é essencialmente uma suspensão de hidróxido de magnésio Mg(OH)2 em água) 
obteve-se a concentração hidrogeniônica H+ = 3,3 . 10-11. Determine o pH dessa amostra de leite 
de magnésia. (Dados: log 3,3 = 0,52 e pH = -log [H+]). 
pH = -log (H+) 
pH = -log(3,3.10-11) 
usando a propriedade do produto: 
pH = -log3,3 - log10-11 
pH = -0,52 + 11 
Resposta: pH = 10,48 
 
6) 
 
Dado: Ln(1,5) = 0,4 
 
Resolução: 
Substituindo na função, o ponto (4; 1800), temos: 
 
N(4) = C . ek.4 → 1800 = 1200 . ek.4 → ek.4 = 1,5 
 
Como “e” é o número de Euler, ou seja “Ln”, temos: 
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46 
 
 
Ln(ek.4) = Ln(1,5) 
 
4k . Ln(e) = 0,4 
 
Mas, como Ln(e) = 1, temos: 
 
4k = 0,4 
 
K = 0,1 
 
Módulo 6: Funções Trigonométricas (triângulo retângulo, função 
seno e função cosseno) 
“Na maior parte das ciências, uma geração põe abaixo o que a outra construiu, e o que uma estabeleceu a outra 
desfaz. Somente na Matemática é que cada geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura.” (Hermann 
Hankel) 
De que irei me ocupar no céu, durante toda a eternidade, se não me derem uma infinidade de problemas de 
matemática para resolver?” (Augustin Louis Cauchy) 
“Arquimedes será lembrado enquanto Ésquilo foi esquecido, porque os idiomas morrem, mas as idéias matemáticas 
permanecem. Imortalidade pode ser uma idéia tola, mas provavelmente um matemático tem a melhor chance que 
pode existir de obtê-la.” (G.H.Hardy) 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
𝒔𝒆𝒏 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
 𝒄𝒐𝒔 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
 
𝒕𝒈 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
 𝒕𝒈 =
𝒔𝒆𝒏𝒐
𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒏𝒐
 
 
1) Complete a tabela: 
 30º 45º 60º 
 
sen 
 
 
 
 
 
 
 
 
cos 
 
 
 
 
 
tg 
 
 
 
 
Dica: 1,2,3...3,2,1. Tudo sobre dois, raiz em cada um. 
 
2) Calcule a partir das figuras seguintes:: 
 
a)sen b)cosC c)tgÊ d)senF 
 
3) Calcule a partir das figuras seguintes: 
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Tópicos de Matemática 
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a)sen b)cosC c)tgÊ 
 
 
d)senF 
 
4)Os catetos de um triângulo retângulo medem 15m e 20m, o ângulo oposto ao cateto 20 é , 
calcule o valor de sen e tg. 
 
Respostas:2)a)0,6 b)0,6 c)√3 d)0,5 3)a)0,6 b)0,6 c)√10/2 d) √14/7 4)sen=0,8 e tg=4/3 
 
APLICAÇÕES DAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 
1) Um avião parte do aeroporto numa trajetória retilínea, formando com o solo um ângulo de 30º. 
Qual a distância por ele percorrida (no ar), do ponto de decolagem até atingir 2000 metros de 
altitude? 4000 m 
 
2) Um edifício projeta uma sombra de 36 metros quando os raios de sol formam um ângulo de 
30º com o chão. Qual é a altura do edifício? 
7,13 =Considere Resp.: 20,4 metros 
 
3) Uma pessoa de 1,72 metros de altura, situada a 10 metros de um mastro vê o topo do mastro 
sob um ângulo de 25º. Qual é a altura do mastro? 
Considere tg 25º = 0,47 Resp.: 6,42 metros 
 
4) Calcule a sombra projetada por uma árvore de 5 metros de altura, quando os raios do sol que 
incidem sobre a árvore formam, com o plano do solo onde a árvore está plantada, um ângulo de 
60º. 7,13 =Considere Resp.: aproximadamente 2,83 metros 
 
5) Para combater o incêndio em um edifício de 45 metros de altura, os bombeiros estacionam o 
caminhão em frente ao edifício e manejam a escada até que ela atinja o topo do prédio. Dessa 
forma, a escada, apoiada sobre a carroceria do caminhão e a 1,5 metros do chão, forma um 
ângulo de 65º com o plano da carroceria. Quantos metros de escada os bombeiros