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FORMULÁRIO DE ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA DESCRITIVA DADOS NÃO AGRUPADOS: {x1 , x2 , , xn} ou {x1 , x2 , , xN} MÉDIA AMOSTRAL: x= 1 n ∑i=1 n xi MÉDIA DA POPULAÇÃO: = 1 N ∑i=1 N xi VARIÂNCIA AMOSTRAL: s2 = 1 n−1 ∑i=1 n x i−x 2 = n ∑ i=1 n xi 2 − ∑ i=1 n x i 2 n n−1 VARIÂNCIA DA POPULAÇÃO: 2 = 1 N ∑i=1 N x i− 2 DADOS AGRUPADOS: {x1 , x2 , , xk} com frequências {n1 , n2 , , nk} NÚMERO DE ELEMENTOS: n=∑ i=1 k ni MÉDIA AMOSTRAL: x= 1 n ∑i=1 k ni x i VARIÂNCIA AMOSTRAL: s2= 1 n−1 ∑i=1 k ni xi−x 2= n ∑ i=1 k n i xi 2 − ∑ i=1 k ni x i 2 n n−1 DADOS AGRUPADOS EM CLASSES: Se os dados estiverem agrupados em intervalos de classes, são também utilizadas as fórmulas (acima) para dados agrupados, nas quais x i é o ponto médio da i-ésima classe e n i é a frequência absoluta correspondente. DESVIO PADRÃO DESVIO PADRÃO AMOSTRAL: s= s2 DESVIO PADRÃO DA POPULAÇÃO: =2 PERCENTIS PERCENTIL DO VALOR DE ORDEM k : p= k−1 n−1 ORDEM : k= p n−11 Se k ' for tal que kk 'k1 então: xk' = xkk '−k x k1−xk PROBABILIDADE PROBABILIDADE DE UM EVENTO A: P A= n A n . n(A) é o número de resultados favoráveis; n(Ω) é o número de possíveis resultados. PROBABILIDADE CONDICIONAL de A dado B: 0)(, )( )()( ≠∩= BP BP BAPBAP . EVENTOS ji EE e MUTUAMENTE EXCLUSIVOS:: φ=∩ ji EE ; E i∪E j= (universo).. REGRA DA ADIÇÃO: )()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ . REGRA DO PRODUTO: P A∩B=P A P B∣A=P B P A∣B EVENTOS INDEPENDENTES Os eventos A e B são independentes se: P A∣B=P A ou P B∣A=P B A probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos independentes, A e B, é: )()()( BPAPBAP =∩ . TEOREMA DE BAYES: A probabilidade de ocorrência de um dos eventos iC , dado que ocorreu o evento A é: ∑ = = n j jj ii i CAPCP CAPCP ACP 1 )()( )()( )( , onde { }nCCC ,,, 21 é uma partição do espaço amostral isto é, φ=∩ ji CC ( ji ≠ ) e Ω=∪∪∪ nCCC 21 . 1 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA VALOR MÉDIO OU ESPERANÇA MATEMÁTICA: =E X =∑ i=1 n x i p x i VARIÂNCIA DE X: [ ] ( ) ( )[ ]22 1 22 )()()(Var XEXE xpXExX n i ii −= −== ∑ = σ em que E X 2=∑ i=1 n x i 2 p x i PROPRIEDADES: Se baXY += então: bXEaYE += )()( e )(Var)(Var 2 XaY = . VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS VALOR ESPERADO: ),(),()],([ ji i ji j yxpyxfYXfE ∑ ∑= COVARIÂNCIA: )()()( ),()]()][([ ]))(())(([),(Cov YEXEXYE yxpYEyXEx YEYXEXEYX i j jiji −= −−= −−= ∑ ∑ COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO: )()( ),(Cov),( YX YXYX σσ ρ = , em que X =Var X e Y =Var Y são os desvios padrão das variáveis X e Y, respectivamente. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES: Se X e Y são duas variáveis aleatórias independentes, então: 0),(Cov =YX (X,Y não-correlacionadas) A recíproca não é verdadeira, isto é, 0),(Cov =YX não implica X e Y independentes necessariamente. PROPRIEDADES: )()()( YEXEYXE +=+ ),(Cov2)(Var)(Var)(Var YXYXYX ++=+ Se X e Y são independentes, então )(Var)(Var)(Var YXYX +=+ DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISCRETAS DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL:DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL: É a distribuição de probabilidade da variável aleatória X (definida como o número x de sucessos em n ensaios de Bernoulli independentes) dada por xnx pp x n xP −− = )1()( , ( x=0,1,2 ,⋯, n ), em que p é a probabilidade de sucesso em um ensaio e )!(! ! xnx n x n − = é o coeficiente binomial. MÉDIA E VARIÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL: npXE == )(µ , )1()(Var2 pnpX −==σ . DISTRIBUIÇÃO DE POISSON:DISTRIBUIÇÃO DE POISSON: É a distribuição de probabilidade da variável aleatória X (definida como o número x de ocorrências de um evento num intervalo de tempo ou espaço), dada por: ,2,1,0 ! )( = = − x x exP xλλ em que λ é um parâmetro que corresponde ao número médio de ocorrências do evento no intervalo considerado. MÉDIA E VARIÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON: λ== )(Var)( XXE VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA PROBABILIDADE:PROBABILIDADE: ∫=≤≤ b a dxxfbXaP )()( em que f x é a função densidade de probabilidade. 2 VALOR ESPERADO: ∫+ ∞ ∞− = dxxfxXE )()( VARIÂNCIA: [ ] [ ]222 )()()()()(Var XEXEdxxfXExX −=−= ∫+ ∞ ∞− em que ∫+ ∞ ∞− = dxxfxXE )()( 22 . DISTRIBUIÇÃO NORMAL DENSIDADE DE PROBABILIDADE:DENSIDADE DE PROBABILIDADE: ( ) 22 2 2 1)( σµ σpi −− = xexf se ),(: 2σµNX . TRANSFORMAÇÃO PARA A DISTRIBUIÇÃO NORMALTRANSFORMAÇÃO PARA A DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADAPADRONIZADA Se ),(: 2σµNX então )1,0(: NXZ σ µ− = . DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS DA MÉDIA E DA PROPORÇÃO ),(: 2 nNX σµ ))1(,(:ˆ npppNp − ESTIMAÇÃO INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA µ : n ZxIC σγµ γ±=):( INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃO p : n ppZppIC )ˆ1(ˆˆ):( −±≈ γγ TESTE DE HIPÓTESES ● Erro do tipo I: Rejeitar H0 quando esta hipótese for verdadeira. α=I)erro(P ● Erro do tipo II: Aceitar H0 quando esta hipótese for falsa. β=II)erro(P ● Nível Descritivo (ou Valor-p) : o nível descritivo αˆ do teste é definido como o menor nível de significância α para o qual a estatística observada implicaria na rejeição da hipótese nula H0 . ● Poder do teste: o poder do teste é a probabilidade β−1 de uma decisão correta para um dado valor do parâmetro µ especificado em H1. O poder do teste é uma função de µ . REGRESSÃO LINEAR SOMATÓRIOS ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 n n xy i i i ii i n n xx i ii i n n yy i ii i S x x y y x y n x y S x x x n x S y y y n y = = = = = = = − − = − = − = − = − = − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ RETA DE REGRESSÃO yˆ a bx= + Coeficiente angular: xy xx S b S = Coeficiente linear: a y bx= − COVARIÂNCIA ( ) ( ) 1cov( , ) 1 1 n i i xyi x x y y S x y n n = − − = = − − ∑ COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARSON: cov( , ) x y x yr s s = DESVIOS-PADRÕES DAS AMOSTRAS: sx= S xxn−1 ; s y= S yyn−1 . 3 dados agrupados: dados agrupados em classes:
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