Medidas de Dispersão

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08/11/2022
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Medidas de 
dispersão
Introdução
Há situações em que as medidas de tendência central não são
suficientes para caracterizar os dados. Veja o exemplo:
M1 = 120: 8 = 15
M2 = 120: 8 = 15
M3 = 120: 8 = 15
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Introdução
Um problema que ocorre com as medidas de tendência central
é que estas descrevem somente a tendência central do
conjunto de dados, não permitindo medir a variabilidade dos
dados. Nesse caso, é conveniente utilizar as medidas de
dispersão, pois expressam o grau de dispersão de um
conjunto de dados. Dentre elas podemos citar:
Desvio médio
Amplitude total
Variância
Desvio padrão
Introdução
 As medidas de dispersão servem para avaliar
o quanto os dados são semelhantes. Visam
descrever melhor os dados no sentido de
informar o grau de dispersão ou afastamento
dos valores observados em torno de um valor
central (média).
 Indicam se determinado conjunto de dados é
homogêneo (pouca ou nenhuma variabilidade)
ou heterogêneo (muita variabilidade entre si),
complementando as informações obtidas pelas
medidas de tendência central.
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Introdução
Imagine a seguinte situação 
que exemplifica bem a função 
e utilidade das medidas de 
dispersão. Um professor aplica 
uma avaliação valendo 30 
pontos em duas turmas, com a 
finalidade de avaliar o nível 
geral das turmas. As notas da 
avaliação estão relacionadas 
na tabela a seguir:
Introdução
Se calcularmos as 
medidas de tendência 
central das duas 
turmas iremos obter:
Com estes dados em 
mãos, conclui-se que o 
professor deve usar 
técnicas diferentes para 
melhorar o desempenho 
das duas turmas.
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Amplitude total
Amplitude total é uma das medidas de dispersão mais simples.
Se refere a diferença entre o maior e o menor valor de um
conjunto de dados. Etapas para cálculo:
1. Organizar os dados em ordem crescente.
2. Calcular a diferença entre os valores extremos.
Amplitude total = Valor máximo - Valor mínimo
Exemplo 1
Calcular a amplitude total dos dois
conjuntos de dados citados no
exemplo anterior, como apresentado
na tabela ao lado:
Turma A Turma B
14 21
11 5
12 12
10 22
12 11
12 12
12 6
11 15
12 18
14 1
10 9
Primeiro passo: 
organizar em ordem 
crescente
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Exemplo 1
Turma A Turma B
10 1
10 5
11 6
11 9
12 11
12 12
12 12
12 15
12 18
14 21
14 22
Turma A = Vmax – Vmin
At = 14 – 10
At = 4
Turma B = Vmax – Vmin
At = 22 – 1
At = 21
Exemplo 2
Observe a tabela ao lado. 
Ela demonstra a 
temperatura média, 
registrada em 7 municípios 
do Sul de Minas Gerais. 
Calcule a amplitude total.
Município Temperatura °C
Lavras 26
Pouso Alegre 22
Congonhal 21
Maria da Fé 10
Itajubá 16
Varginha 24
Inconfidentes 19
Primeiro passo: 
organizar em ordem 
crescente
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Exemplo 2
Município Temperatura °C
Maria da Fé 10
Itajubá 16
Inconfidentes 19
Congonhal 21
Pouso Alegre 22
Varginha 24
Lavras 26
At = Vmax – Vmin
At = 26 – 10
At = 16
Amplitude total
Vantagem: medida de dispersão muito simples e rápida 
de calcular. Utilizada em outras aplicações estatísticas. 
Desvantagem: tem o inconveniente de só levar em 
conta apenas os dois valores extremos da série, com 
isso tem a função de apenas indicar, aproximadamente, 
a dispersão do conjunto de dados.
Precisamos então de medidas que levem em conta 
todos os valores da distribuição. Essas medidas são 
o desvio médio, a Variância e o Desvio Padrão. 
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Desvio médio
 O desvio médio analisa a média das distâncias entre
cada elemento da amostra e seu valor médio.
 Apresenta uma noção sobre a variabilidade em um
conjunto de dados.
Etapas
Etapa 1: Calcule a média.
Etapa 2: Calcule a distância entre cada dado e
a média usando a função modular.
Etapa 3: Some todos esses desvios.
Etapa 4: Divida a soma pelo número de dados.
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Função modular
Módulo está associado a ideia de distância de um
ponto a outro, desconsiderando o seu sinal. A
representação de um módulo ou valor absoluto é feito
por duas barras paralelas |x|. Veja o seguinte exemplo:
9 x = | x |
-9 + 9 = 0 |9| + |9| = 18
9-x = | x |
Função modular
Módulo ou valor absoluto está associado a ideia de
distância de um ponto a outro, desconsiderando o seu
sinal (positivo ou negativo). A representação de um
módulo ou valor absoluto é feito por duas barras
paralelas | x |. Veja o seguinte exemplo:
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Exemplo 1
Considere a seguinte distribuição numérica: 1, 6, 4, 10, 9. 
Calcule o desvio médio.
Exemplo 1
Considere a seguinte distribuição numérica: 1, 6, 4, 10, 9. 
Calcule o desvio médio.
1 – 6 = |5|
6 – 6 = |0|
4 – 6 = |2|
10 – 6 = |4|
9 – 6 = |3|
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Um grupo de alunos realizou 10 coletas de solos em 
determinada área para analisar os níveis de ph. Calcule o 
desvio médio, após evidenciados os seguintes resultados:
Exemplo 2
Um grupo de alunos realizou 10 coletas de solos em 
determinada área para analisar os níveis de ph. Calcule o 
desvio médio, após evidenciados os seguintes resultados:
Exemplo 2
7,0 – 7,4 = |0,4|
8,2 – 7,4 = |0,8|
7,4 – 7,4 = |0,0|
6,9 – 7,4 = |0,5|
7,5 – 7,4 = |0,1|
7,7 – 7,4 = |0,3|
7,4 – 7,4 = |0,0|
7,1 – 7,4 = |0,3|
6,8 – 7,4 = |0,6|
8,0 – 7,4 = |0,6|
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Variância
A variância é uma medida de dispersão que pode ser 
calculada pelas equações relacionadas a seguir.
Etapa 1: calcule a média.
Etapa 2: calcule o somatório dos desvios ao quadrado.
Etapa 3: calcule a variância.
Exemplo 1
Dado o seguinte conjunto de dados: 9, 7, 5, 3, 1, 
calcule a variância.
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Exemplo 1
9 – 5 = 4
7 – 5 = 2
5 – 5 = 0
3 – 5 = -2
1 – 5 = -4
Dado o seguinte conjunto de dados: 9, 7, 5, 3, 1, 
calcule a variância.
Um grupo de alunos realizou 10 coletas de solos em 
determinada área para analisar os níveis de ph. Calcule a 
variância, após evidenciados os seguintes resultados:
Exemplo 2
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Um grupo de alunos realizou 10 coletas de solos em determinada 
área para analisar os níveis de ph. Calcule a variância, após 
evidenciados os seguintes resultados:
Exemplo 2
7,0 – 7,4 = -0,4 
8,2 – 7,4 = 0,8
7,4 – 7,4 = 0,0
6,9 – 7,4 = -0,5
7,5 – 7,4 = 0,1
7,7 – 7,4 = 0,3
7,4 – 7,4 = 0,0
7,1 – 7,4 = -0,3
6,8 – 7,4 = -0,6
8,0 – 7,4 = 0,6
(-0,4)^2 = 0,16
(0,8)^2 = 0,64
(0,0)^2 = 0,00
(-0,5)^2 = 0,25
(0,1)^2 = 0,01
(0,3)^2 = 0,09
(0,0)^2 = 0,00
(-0,3)^2 = 0,09
(-0,6)^2 = 0,36
(0,6)^2 = 0,36
= 1,96
Desvio padrão
 É uma das medidas mais úteis para calcular a variação de
um grupo de dados em relação à média.
 Mostra a “dispersão” dos dados em relação à média. Um
baixo desvio padrão indica que os dados tendem a estar
próximos da média. Um desvio padrão alto indica que os
dados estão espalhados por uma gama de valores.
A vantagem do desvio padrão sobre a variância é que este
permite uma interpretação direta da variação do grupo, pois o
mesmo é expresso na mesma unidade de medida em que
estão expressas as variáveis amostradas.
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Desvio padrão
O desvio padrão é calculado a partir da raiz quadrada da
variância, podendo ser representado pelas seguinte fórmula:
Etapa 1: calcule a média.
Etapa 2: calcule a variância.
Etapa 3: calcule a raiz quadrada da variância.
 
 
   
Exemplo 1
Dado o seguinte conjunto de dados: 3, 7, 4, 5 e 1, 
calcule o desvio padrão.
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Exemplo 1
3 – 4 = -1
7 – 4 = 3
4 – 4 = 0
5 – 4 = 1
1 – 4 = -3
Dado o seguinte conjunto de dados: 3, 7, 4, 5 e 1, 
calcule a variância.
Exemplo 1
Dado o seguinte conjunto de dados: 3, 7, 4, 5 e 1, 
calcule a variância.
Dp =
∑ 𝑥𝑖 − 𝑚é𝑑𝑖𝑎 
 
𝑛 − 1
 
Dp = 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎
  Dp = 5
 
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Um grupo de alunos realizou 10 coletas de solos em determinada 
área para analisar os níveis de ph. Calcule o desvio padrão, após 
evidenciados os seguintes resultados:
Exemplo 2
Um grupo de alunos realizou 10 coletas de solos em determinada 
área para analisar os níveis de ph. Calcule o desvio padrão, após 
evidenciados os seguintesresultados:
Exemplo 2
7,0 – 7,4 = -0,4 
8,2 – 7,4 = 0,8
7,4 – 7,4 = 0,0
6,9 – 7,4 = -0,5
7,5 – 7,4 = 0,1
7,7 – 7,4 = 0,3
7,4 – 7,4 = 0,0
7,1 – 7,4 = -0,3
6,8 – 7,4 = -0,6
8,0 – 7,4 = 0,6
(-0,4)^2 = 0,16
(0,8)^2 = 0,64
(0,0)^2 = 0,00
(-0,5)^2 = 0,25
(0,1)^2 = 0,01
(0,3)^2 = 0,09
(0,0)^2 = 0,00
(-0,3)^2 = 0,09
(-0,6)^2 = 0,36
(0,6)^2 = 0,36
= 1,96
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Exemplo 2
Dp =
∑ 𝑥𝑖 − 𝑚é𝑑𝑖𝑎 
 
𝑛 − 1
 
Dp = 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎
  Dp = 2,2 
 
Um grupo de alunos realizou 10 coletas de solos em determinada 
área para analisar os níveis de ph. Calcule o desvio padrão, após 
evidenciados os seguintes resultados:
Exemplo 3
As análises dos níveis de colesterol HDL no sangue de
cinco pacientes foram de 65, 59, 47, 30 e 64. Determinar:
a) A amplitude total
b) O desvio médio
c) A variância
d) O desvio padrão
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Amplitude total
1. Organizar os dados em ordem crescente: 30, 47, 59, 64, 65
2. Calcular a diferença entre os valores extremos.
At = Vmax – Vmin
At = 65 – 30
At = 35
Desvio médio
65 – 53 = |12|
59 – 53 = |6|
47 – 53 = |6|
30 – 53 = |23|
64 – 53 = |11|
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Variância
65 – 53 = 12
59 – 53 = 06
47 – 53 = -06
30 – 53 = -23
64 – 53 = 11
Desvio padrão
Dp =
∑ 𝑥𝑖 − 𝑚é𝑑𝑖𝑎 
 
𝑛 − 1
 
Dp = 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎
  Dp = 216,5 
 
4,7
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Exercícios 
resolvidos
Amplitude total
Na tabela seguinte encontram-se os pesos de 40 pacotes 
(em gramas) de bolachas saídos de uma linha de produção. 
Sabendo que a variação máxima definida pelo cliente é de ±
2 gramas, calcule a amplitude total e indique se o lote será 
aprovado ou não.
302 301 298 300 300 300 302 304
298 301 298 300 303 299 299 299
300 300 300 300 301 301 302 299
303 298 298 299 301 302 299 300
299 304 298 302 300 303 298 301
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Amplitude total
298 298 298 298 298 298 298 299
299 299 299 299 299 299 300 300
300 300 300 300 300 300 300 300
301 301 301 301 301 301 302 302
302 302 302 303 303 303 304 304
At = Vmax – Vmin
At = 304 – 298
At = 6 gramas
Não será aprovado!
Desvio médio
A resistência é uma característica importante para analisar materiais 
pré-fabricados. Cada um dos oito elementos de placas pré-fabricadas 
de concreto foi submetido a um teste de tensão e a largura máxima 
(mm) das trincas resultantes foi registrada no seguinte quadro. 
Calcule o desvio médio.
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Desvio médio
0,794 – 1,403 = |0,609|
3,870 – 1,403 = |2,467|
0,483 – 1,403 = |0,920|
0,924 – 1,403 = |0,479|
2,230 – 1,403 = |0,827|
1,038 – 1,403 = |0,365|
1,285 – 1,403 = |0,118|
0,598 – 1,403 = |0,805|
Um farmacêutico comprou um material específico de dois 
diferentes fornecedores. Para comparar o nível de impurezas 
presentes nas compras feitas aos dois fornecedores, o 
farmacêutico mediu a porcentagem de impurezas presentes 
em cada um dos grupos, conforme valores a seguir:
Qual das compras apresenta maior uniformidade nas 
impurezas? 
Variância e Desvio padrão
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Variância e Desvio padrão
Variância
1,8 – 1,6 = 0,2 
2,5 – 1,6 = 0,9
1,5 – 1,6 = -0,1
1,2 – 1,6 = -0,4
1,0 – 1,6 = -0,6
(0,2)^2 = 0,04
(0,9)^2 = 0,81
(-0,1)^2 = 0,01
(-0,4)^2 = 0,16
(-0,6)^2 = 0,36
= 1,38
Fornecedor A
1,6 – 1,8 = -0,2 
2,5 – 1,8 = 0,7
1,2 – 1,8 = -0,6
2,3 – 1,8 = 0,5
1,5 – 1,8 = -0,3
(-0,2)^2 = 0,04
(0,7)^2 = 0,49
(-0,6)^2 = 0,36
(0,5)^2 = 0,25
(-0,3)^2 = 0,09
= 1,23
Fornecedor B
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Desvio padrão
Dp = 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎
 
Dp = 0,345 
 
Fornecedor A
Fornecedor B
Dp = 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎
 
Dp = 0,308 
 
Qual das compras apresenta maior 
uniformidade nas impurezas? 
Exemplo final
Observe o seguinte exemplo. 
Calcule a amplitude total, o 
desvio médio, a variância e o 
desvio padrão das amostras 
e indique qual delas 
apresenta a maior 
variabilidade.
Amostra 1 16 15 15 15 14 15 15 15
Amostra 2 16 13 18 10 19 12 15 17
Amostra 3 16 6 20 8 26 8 10 26
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ALVES, V. dos S. Estatística aplicada. Cuiabá: Ed. UFMT, 2013. 168 p.
BRUNI, A. L. Estatística aplicada à gestão empresarial. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2013. 398 p.
COSTA, P. R. Estatística. 3. ed. Santa Maria: Universidade Federal de Santa Maria, Colégio
Técnico Industrial de Santa Maria, e-Tec Brasil, 2010. 95 p.
FONSECA, S. C. C. Fundamentos de Estatística. Cuiabá: Ed. UFMT, 2015. 92 p.
FREUND, J. E.; DOERING, C. I. Estatística aplicada: economia, administração e contabilidade.
11. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006. 535 p.
MARTINS, G. de A.; DOMINGUES, O. Estatística geral e aplicada: utilizando a planilha Excel
e o SPSS. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2019. 360 p.
McCLAVE, J. T.; BENSON, G. P. SINCICH, T. Estatística para Administração e Economia. 10.
ed. São Paulo: Prentice Hall, 2009. 888 p.
VIEIRA, S. Estatística básica. São Paulo: Cengage Learning, 2012. 176 p.
Bibliografias consultadas
Medidas de 
dispersão