Aula IC para diferença entre médias e varianças

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS 
APLICADOS À ATUÁRIA II
Aula 4 – IC para diferença entre médias e para variância
Profº Lucas Schmidt
Pressupostos:
1. A variável em estudo tem distribuição normal em ambas
populações (i):
2. As variâncias das populações são iguais ( )
3. As amostras retiradas das populações são independentes.
2. Intervalo de confiança para a diferença entre médias de duas populações
(μ1- μ2).
Exemplo:
Um determinado país possui características determinantes nas regiões
sul e norte, como geografia, cultura e IDH, as quais, podem influenciar
na expectativa de vida populacional. Sabendo disso, uma companhia de
previdência privada deseja estudar a diferença média da expectativa de
vida entre as duas regiões. Para tanto, coletou dados de tábuas de vida
de distritos da região sul e distritos da região norte, obtendo,
para a região sul, média de anos com desvio-padrão de anos.
Para a região norte, obteve média de anos com desvio-padrão de
anos. A expectativa de cada região é normalmente distribuída e sua
variabilidade é homogênea. Estime o intervalo de confiança de
para a diferença média das expectativas de vida das regiões.
Com de confiança, podemos afirmar que o intervalo
contém a diferença média de expectativa entre as regiões.
Dessa forma, podemos afirmar, com de confiança, que a expectativa
média de vida da região Norte é superior à região Sul.
Estimativas:
Sul
,
Norte
Caso o intervalo fosse, por exemplo, − , não
poderíamos afirmar qual região possui maior expectativa média
de vida, com de confiança, pois existe chance tanto de uma
ser menor (diferença negativa) quanto maior (diferença positiva).
Não podemos afirmar que existe mais chance de uma possuir
média maior, ainda que .
Cuidados com a interpretação!
Exemplo: CEBRASPE (CESPE) - Analista de Comércio Exterior
Em uma disputa comercial entre dois países, Y e Z, autoridades do país Y
argumentavam que medidas protecionistas do país Z impediam a livre
circulação de bens entre esses países. De acordo com essa
argumentação, as companhias do país Z praticavam preços menores em
Y que no seu próprio país. Para estudar esse problema, um pesquisador
obteve duas amostras aleatórias, cada uma contendo vendas no país
Y e vendas no país Z, para o mesmo período e para o mesmo bem
comercializado nesses dois países. Da análise das observações foram
obtidos preços médios e e desvios-padrões e
, todos em dólares norte-americanos, para as amostras dos
paísesY e Z, respectivamente.
Sabendo que os preços seguem distribuição normal e possuem
variâncias iguais, construa o intervalo de confiança, ao nível de
, para a diferença entre as médias dos dois países.
Resolução:
Variáveis em estudo: Y=valor das vendas em Y, Z=valor das vendas
em Z; independentes
Pressuposto: Y e Z seguem distribuição normal e possuem mesma
variância
Estimativas:
PaísY País Z
Interpretação:
Concluímos que, com de confiança, o intervalo
[ ] contém a verdadeira diferença do preço
médio das vendas entre os países.
Como o zero ( ) está incluído no intervalo, podemos concluir, com
de confiança, que os preços médios são iguais.
Uma amostra aleatória de famílias da comunidade A apresenta uma
renda média familiar de , com um desvio-padrão de . Uma
amostra aleatória de famílias da comunidade B apresenta uma média de
com um desvio-padrão de . Estime a diferença média
familiar entre as duas comunidades utilizando um intervalo de confiança de
.
Resposta: 
Exercício proposto:
Resolução:
Intervalo de confiança para a variância ( )
3. Intervalo de confiança para a variância ( ) de uma população.
A variância amostral ( ) possui distribuição qui-quadrado ( ), que 
é definida a partir da distribuição Normal.
-Simulação-
Pressuposto:
A variável em estudo tem distribuição normal com média e variância
desconhecidas.
Intervalo de confiança para a variância ( )
Cenários de variabilidade
Lembrando que: X = variável em estudo segue distribuição normal
Cenários de variabilidade – Melhor cenário: variabilidade baixa
, g
No melhor cenário de variabilidade, espera-se que dos produtos 
tenham peso entre e g.
Cenários de variabilidade – Pior cenário: variabilidade alta
, g
No pior cenário de variabilidade, espera-se que dos produtos 
tenham peso entre e g.
Exercícios propostos:
Lista 1.2: I(a), II, VIII(a), IX, XIII.
Aula 4