Álgebra Linear: Inversa e Posto de Matrizes

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ÁLGEBRA LINEAR
Aula 2: Inversa e cálculo de posto de uma matriz
Objetivo desta Aula
Após a leitura dessa aula, você:
Determinar a inversa de uma matriz por dois tipos de métodos;
Conhecer as propriedades da matriz inversa;
Escalonar uma matriz e calcular o seu posto;
Comparar os métodos de inversão de matrizes com objetivo de utilizar o mais adequado ao seu problema.
A determinação da inversa de uma matriz torna-se necessária na simplificação de equações matriciais. O conhecimento prévio de algumas de suas propriedades muitas vezes evita cálculos matriciais desnecessários que, em geral, são muito trabalhosos. Por fim, o conceito de posto de matriz terá uma grande influência nos nossos estudos futuros de discussão e resolução de sistemas de equações lineares.
Para fixar bem as ideias, não deixe de resolver todos os exercícios propostos.
Matriz inversível
A inversa de uma matriz possui grande aplicabilidade na simplificação de equações matriciais. Em nossos estudos futuros veremos a sua influência nos processos de discussão e resolução de sistemas de equações lineares.
Diz-se que uma matriz quadrada A de ordem n é inversível se podemos encontrar uma matriz B também de ordem n, de tal modo que:
Onde, ln é a matriz identidade de ordem n.
Neste caso, a matriz B é dita a inversa da matriz A e, em geral, é denominada por B = A-1.
	É importante ressaltar que se a matriz B é inversa de A, então a matriz A será a inversa de B.
A seguir, vamos usar a definição para calcular a inversa de uma matriz A genérica de ordem (2 x 2).
Veja os dois sistemas nas variáveis x, z, y e w que precisamos resolver:
Resolvendo (l) por substituição de variável, temos
Resolvendo o sistema (ll), de forma análoga obtemos:
Por fim,
Observe a relação existente entre os elementos da matriz A e sua inversa A-1.
Gabarito
Em geral, a determinação da inversa de uma matriz de ordem n requer muitos cálculos. É importante ressaltar que somente podemos calcular inversas de matrizes quadradas determinantes não nulos.
Matriz dos cofatores
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
Lembramos que o cofator do elemento genérico aij da matriz A é definido pelo número
onde: A     é a submatriz obtida de A, retirando-se a linha i e a coluna j. 
A matriz dos cofatores de A, denotada por A  , é formada calculando-se todos os cofatores de A, isto é,		
Logo:			
Matriz adjunta de A
Denotada por Adj(A), é definida como a transposta da matriz dos cofatores de A, isto é,
NO exemplo:
Após a determinação da matriz adjunta da matriz A, podemos encontrar a inversa de A, usando o seguinte resultado:
Por fim, a inversa da matriz A do exemplo será dada por:
Ache se possível a matriz inversa das seguintes matrizes:
PROPRIEDADES DA INVERSA
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n inversíveis.
( 1 ) A inversa da matriz identidade é a matriz identidade.
Gabarito
 
Troca de linhas
É descrita por uma permuta de duas linhas na matriz, isto é, a linha i troca com a linha j 
Exemplo: 	
Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo
É descrita pela multiplicação de todos os elementos de uma linha por um escalar k diferente de zero 
Exemplo	
Substituição de uma linha por ela própria adicionada a uma linha multiplicada por um escalar
É descrita pela troca de uma linha por ela mesma somando a outra linha que está multiplicada por uma constante 
Exemplo	
Matrizes linhas equivalentes
Uma matriz B é linha equivalente a uma matriz A se B for obtida de A por um número finito de operações elementares.
Exemplos:
De fato, aplicando-se as operações elementares descritas a seguir à matriz A, obtemos B.
Forma escalonada de uma matriz
Justifique por que a matriz a seguir não está na forma escalonada.
O primeiro elemento não nulo da terceira linha não é igual a um. Além disso, a terceira coluna, que contém o primeiro elemento não nulo na terceira linha, possui outros elementos não nulos.
Atenção!
Toda matriz A é linha equivalente a uma única matriz B reduzida à forma escalonada. Isto é, a matriz B obtida de A após o escalonamento.
Exemplo:
Vamos encontrar a matriz B reduzida à forma escalonada da matriz A.
Posto de uma matriz
Seja B a matriz escalonada da matriz A. Definimos o posto de A como sendo o número de linhas não nulas da matriz B.
No exemplo anterior, como o número de linhas não nulas da matriz B é igual a três, então o posto da matriz A é a três.
 
Gabarito
	
Como vimos, o cálculo da inversa da matriz por meio da determinação de todos os seus cofatores envolve em geral uma grande quantidade de operações. O método prático que vamos agora apresentar se baseia em dois princípios:
A forma escalonada de uma matriz quadrada inversível é sempre a matriz identidade.
A mesma sequência de operações elementares que transforma a matriz A na matriz identidade transforma a matriz identidade na matriz inversa de A.
Esse método torna-se vantajoso quando a matriz é formada por números inteiros não muito grandes.
A seguir apresentamos o passo a passo do método:
Verificar se a matriz A é inversível 
Exemplo:
Verificar se existe a inversa de A.
Formar uma matriz constituída por dois blocos da seguinte maneira: o primeiro bloco é a matriz A que desejamos inverter e o segundo bloco é a matriz identidade de mesma ordem de A.
(A | lr)
Atividade proposta
Síntese da Aula
Nesta aula você:
Entendeu por que devemos determinar a inversa de uma matriz;
Determinou a inversa de uma matriz;
Conheceu as propriedades da inversa;
Aprendeu a escalonar uma matriz e determinou o seu posto.