Matemática - Aula 2

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MATEMÁTICA 
2 
 
 AULA 2 - OPERAÇÕES 
 COM FRAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste capítulo você aprenderá sobre números racionais ou fracionários, 
que são muito úteis em nossa vida diária. Pensando nisso, alguns exemplos 
ilustrados de situações cotidianas ajudarão você a entender o conceito 
matemático de frações. Compreendendo frações, você aprenderá sobre suas 
propriedades e características das operações. Isso torna muito mais fácil 
interpretar e resolver problemas com frações. 
 
Bons estudos! 
3 
 
 
 
 
 
 
Nesta aula, você conferirá os contextos conceituais da psicologia, entenderá 
como ela alcançou o seu estatuto de cientificidade. Além disso, terá a oportunidade 
de conhecer as três grandes doutrinas da psicologia, behaviorismo, psicanálise e 
Gestalt, e as áreas de atuação do psicólogo. 
 Compreender o conceito de psicologia 
 Identificar as diferentes áreas de atuação da psicologia 
 Conhecer as áreas de atuação do psicólogo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Conceituar e ler números fracionários; 
 Utilizar técnicas para efetuar operações com frações; 
 Resolver problemas envolvendo frações. 
 
 
 
 
 
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1 NÚMEROS FRACIONÁRIOS 
Na matemática, muitas operações e propriedades lidam com relacionamentos 
entre conjuntos de números, que podem ser exemplificados pelo conjunto de números 
naturais e o de números inteiros. 
 N = {0, 1, 2, 3, …} — conjunto dos números naturais. 
 Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} — conjunto dos números inteiros. 
Os números inteiros representam múltiplos de unidades, tanto negativos quanto 
positivos. Todos os conjuntos numéricos aparecem em seu trabalho diário durante a 
execução das tarefas mais comuns. Vá à padaria e compre 5 pães ou na papelaria e 
compre 3 cadernos; ter 10 lápis de cor e perder três (-3) deixando apenas 7; entre 
muitos outros exemplos. No entanto, nem todas as situações ou problemas podem 
ser resolvidos apenas com números inteiros. 
Quando um grupo de amigos se reúne e pede uma pizza grande, ela é cortada 
em 8 pedaços iguais. Cada fatia comida faz parte da pizza inteira. Pela necessidade 
de representar partes ou pedaços de algo inteiro, trabalha-se com o conjunto dos 
números racionais. 
Dado um número inteiro q ≠ 1 e -1, seu inverso 
1
𝑞
 não existe em Z (IEZZI; 
MURAKAMI, 2013). No conjunto Z não há definição para divisão por dois números 
que não tenha um resultado inteiro. Para que o resultado das divisões do tipo 
𝑝
𝑞
 faça 
parte do conjunto dos inteiros, p deverá ser sempre um múltiplo de q. 
O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q. Ele contém o 
resultado de operações que não produzem em números inteiros: as frações. Assim 
como cada fatia de pizza representa uma fração, ou seja, uma parte do todo. 
Seja uma fração: 
𝑚
𝑛
 
m — é o numerador; 
n — é o denominador. 
 
5 
 
São exemplos de frações: 
 
O exemplo onde a pizza é dividida em 8 partes iguais pode ser 
representado como mostrado na Figura 1. 
 
Figura 1 – Representação de frações 
Fonte: bityli.com/XmdWvpQr 
Cada pedaço dessa pizza representará 
1
8
 (um oitavo) do todo. 
Algumas frações podem ser reduzidas desde que o numerador e o 
denominador tenham um máximo divisor comum (MDC). Por exemplo, considere a 
fração três nonos representada numericamente por: 
3
9
 
O MDC entre 3 e 9 é igual a 3. Se continuarmos dividindo o numerador e o 
denominador por 3, obtemos como resultado a fração um terço, representada 
numericamente por: 
1
3
 
6 
 
Se você observar a última fração, o MDC entre 1 e 3 é apenas o número 1. 
Essa fração é chamada de irredutível porque o numerador e o denominador não 
podem mais ser simplificados pela divisão por números inteiros. 
7
1
= 7 
Sempre que o denominador de uma fração for 1, o resultado será um número 
inteiro. A representação das frações com seus numeradores e denominadores pode 
ser melhor compreendida na Figura 1. 
Se compararmos duas frações, podemos dizer que elas são equivalentes se 
a forma irredutível de cada uma delas for a mesma. Considere as duas frações a 
seguir e suas respectivas reduções. 
8
24
=
1
3
 
Fazendo-se a simplificação pelo MDC (8,24) =8; 
10
30
=
1
3
 
Fazendo-se a simplificação pelo MDC (10,30) =10. 
Você pode, então, afirmar que 
8
24
 é equivalente a 
10
30
 ou, matematicamente 
8
24
=
10
30
: 
Realizar a leitura de frações implica em você estar atento, principalmente, ao 
denominador. Todas as frações cujo denominador for igual a 2, na leitura, fala-se o 
número que está no numerador seguido da palavra “meio” ou “meios”. Assim: 
 
1
2
 = um meio; 
 
5
2
 = cinco meios; 
 
7
2
 = sete meios. 
Para frações com os denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, usamos os termos 
meio, terço, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo e nono (números ordinais). Frações 
com denominadores maiores que 10, lê-se o numerador seguido do denominador com 
7 
 
a expressão "avos". Por exemplo: 
 
10
12
 = dez, doze avos; 
 
15
27
 = quinze, vinte e sete avos. 
Ao representar uma fração, o denominador será sempre o número de partes 
em que o todo foi dividido. Já o numerador será igual ao número dessas partes que 
foram tomadas do todo, conforme a representação da Figura 2. 
Figura 2 – Representação de soma de quatro partes de um inteiro 
Fonte: bityli.com/boENifem 
1.1 Operações com frações 
Assim como acontece com conjuntos de números inteiros, as operações 
também podem ser realizadas em números racionais. Tomaremos como exemplo as 
duas frações: 
𝑎
𝑏
 e, 
𝑐
𝑑
 considerando que b ≠ 0 e d ≠ 0. 
a) Adição e subtração de frações: Para realizar a soma de frações, é essencial que 
ambas tenham o próprio denominador, para que, assim, possamos somar as partes 
do inteiro. Caso as frações tenham denominadores diferentes, será essencial 
encontrar um múltiplo comum entre os mesmos, ou o mínimo múltiplo comum (MMC) 
que pode ajudar nos cálculos. 
8 
 
 
Considerando que bd seja o MMC (b, d), para determinar a soma, você deverá 
dividir o MMC pelo denominador da primeira fração e multiplicar pelo numerador. 
Depois, você deverá repetir em todas as frações que estiverem presentes na adição. 
Como exemplo: 
 
Determinando o MMC (8,2,16) = 16, então em cada parcela dividiremos 
16 pelo denominador e multiplicaremos o resultado pelo numerador, assim: 
 
As frações só podem ser somadas ou subtraídas se todas as parcelas tiverem 
o mesmo denominador. Caso contrário, você precisa encontrar o MMC. 
 
b) Multiplicação de frações: Para realizar a multiplicação (o produto) entre frações, 
basta multiplicar os numeradores e colocar o resultado para a multiplicação dos 
denominadores. 
 
Como exemplos numéricos, realizaremos as multiplicações a seguir: 
 
Independentemente do número de termos presentes na expressão, a 
multiplicação é sempre realizada da mesma forma, multiplicando numerador por 
numerador e denominador por denominador. 
9 
 
c) Divisão de frações: A divisão de frações consiste em organizar as frações sob a 
operação para podermos produzir um produto como vimos anteriormente. 
Primeiro você precisa saber como inverter frações. Sempre que for necessário 
obter a inversa de uma fração, o numerador se torna o denominador e o 
denominador se torna o numerador. Então, para obter o inverso da fração: 
𝑎
𝑏
 
Basta fazer: 
𝑏
 
Também podemos representar a fração usando números decimais conforme 
a divisão que eles especificam: 
 
Se tivermos duas frações divididas, mantemos a primeira fração e a 
multiplicamos pelo inverso da segunda fração: 
 
Para obter o produto conforme aprendido, multiplique o numerador da 
primeira fração pelo numerador da segunda fração; e o denominador da primeira 
fração pelo denominador da segunda. Assim: 
 
Podemos, ainda, simplificar a fração obtida,pois o MDC (21,90) = 3: 
 
10 
 
Ou, ainda, na representação em número decimal: 
 
Saiba mais: 
Sempre que possível, simplifique as operações envolvendo frações deixando 
as frações na forma irredutível. Isso pode facilitar outros cálculos e possíveis 
comparações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
2 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos da matemática elementar: conjuntos-
funções. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
	1 NÚMEROS FRACIONÁRIOS
	1.1 Operações com frações
	2 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS