Para resolver essa questão, vamos usar o princípio da inclusão-exclusão. Temos: - 20 professores que deram aula para o curso de graduação em matemática. - 12 professores que deram aula para outros cursos de graduação. Vamos chamar de \( x \) o número de professores que deram aula tanto para o curso de graduação em matemática quanto para outros cursos. A soma dos professores que deram aula para os dois cursos não pode ultrapassar o total de professores que atuaram, que é 20. Portanto, podemos escrever a seguinte inequação: \[ x \leq 12 \] (porque no máximo 12 professores podem ter dado aula para outros cursos) E também sabemos que: \[ x \geq 20 + 12 - 20 = 12 - x \] Isso implica que: \[ x \geq 0 \] Agora, analisando as alternativas: A) No mínimo 8 professores deram aula tanto para o curso de graduação em matemática quanto para outros cursos de graduação. - Não é necessariamente correto, pois pode haver menos de 8. B) No máximo 8 professores deram aula tanto para o curso de graduação em matemática quanto para outros cursos de graduação. - Não é necessariamente correto, pois pode haver mais de 8. C) No mínimo 12 professores deram aula tanto para o curso de graduação em matemática quanto para outros cursos de graduação. - Não é correto, pois não temos essa garantia. D) No máximo 12 professores deram aula tanto para o curso de graduação em matemática quanto para outros cursos de graduação. - Correto, pois não pode haver mais de 12 professores que deram aula para outros cursos. Portanto, a alternativa correta é: D) No máximo 12 professores deram aula tanto para o curso de graduação em matemática quanto para outros cursos de graduação.