Prova 01 (substitutiva) de Algebra Linear

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo - CCA
Primeira prova de A´lgebra Linear - Substitutiva
Alegre, 8 de novembro de 2012
Nome:
Justifique todas as respostas!
1. (2 pontos) Chamamos de sistema homogeˆneo de n equac¸o˜es e m inco´gnitas aquele sistema
cujos termos independentes, bi, sa˜o todos nulos. Encontre os valores de k ∈ R, tais que o
sistema homogeˆneo  2x − 5y + 2z = 0x + y + z = 0
2x + kz = 0
tenha uma soluc¸a˜o distinta da soluc¸a˜o trivial (x = y = z = 0).
2. (2 pontos) Sejam A =
0 3 40 8 11
4 6 0
 e U =
2 3 00 5 7
0 0 2
.
(a) Mostre que A ∼ U , isto e´, A e´ linha equivalente a U .
(b) Encontre o posto e a nulidade de A.
3. (1 ponto) Determine um escalar λ tal que Ax = λx, onde:
A =
(
2 1
1 2
)
, x =
(
1
1
)
4. (2,5 pontos) Responda Falso ou Verdadeiro e justifique sua resposta:
(a) Se A e B sa˜o anti-sime´tricas, enta˜o A + B e´ anti-sime´trica.
(b) Se x1 e´ uma soluc¸a˜o do sistema Ax = B e y1 e´ uma soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo
associado Ax = 0, enta˜o x1 + y1 e´ uma soluc¸a˜o de Ax = B.
5. (2,5 pontos) Resolva o sistema de equac¸o˜es, escrevendo a matriz ampliada e reduzindo
esta matriz a` forma escada reduzida por linhas. x + y + z + w = 0x + y − 2z + w = 0
2x + y − 2z = w
Boa prova!