Cinemática do Corpo Rígido

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Celso Argachoy
MECÂNICA GERAL
Introdução
Durante o estudo da cinemática da partícula, as dimensões do corpo foram 
desprezadas e não foi considerado um possível movimento de rotação do corpo. 
Porém, para analisar o mecanismo do limpador de para-brisa ou o movimento do 
diferencial automotivo da figura, o modelo da partícula não é adequado.
6 – Cinemática do Corpo Rígido
6 – Cinemática do Corpo Rígido
Para resolver problemas como estes, há necessidade de desenvolver um novo 
modelo: o do corpo rígido. Um corpo é denominado rígido quando as distâncias 
entre dois pontos quaisquer permanecem constantes. Usando um vetor definido 
por dois pontos quaisquer A e B do corpo (como a barra do mecanismo do 
limpador de para-brisa ), pode-se dizer que:
Elevando ao quadrado os dois membros da equação (6.1) obtém-se:
6 – Cinemática do Corpo Rígido
6 – Cinemática do Corpo Rígido
Aplicando a propriedade distributiva do produto escalar da equação (6.9) vem:
O primeiro membro da equação (6.13) representa a 
projeção da velocidade do ponto B na direção da reta 
definida pelos pontos A e B, e o segundo membro da 
equação (6.13) representa a projeção da velocidade do 
ponto A na direção da mesma reta.
Conclui-se que, dados dois pontos quaisquer de um 
sólido, as projeções das velocidades destes pontos na 
direção da reta que os une possuem o mesmo valor.
Esta equação é denominada Equação Característica 
do Movimento de um Corpo Rígido.
6 – Cinemática do Corpo Rígido
Desenvolvendo os produtos escalares da equação (6.11) obtém-se:
7 – Movimentos de um Corpo Rígido
7.1 – Movimento de Translação
O movimento de um corpo rígido é de translação quando todo vetor, determinado 
por dois pontos quaisquer deste corpo, se mantém constante em relação a um 
referencial em todos os instantes do movimento (lembrar que um vetor se mantém 
constante quando não variam seu módulo, sua direção e o seu sentido).
Em cada instante, todos os pontos de um corpo rígido em movimento de 
translação possuem a mesma velocidade e a mesma aceleração. Na figura abaixo, 
o vetor AB, definido pelos pontos A e B da caixa que está sendo transportada pela 
esteira, se mantém constante, portanto, o movimento da caixa é de translação.
Repare que todos os pontos da caixa possuem mesma velocidade e mesma 
aceleração para cada instante considerado.
7 – Movimentos de um Corpo Rígido
7.2 – Movimento de Rotação
O ponto P da figura, que representa um ponto qualquer de uma das pás do 
gerador eólico, por exemplo, descreve movimento circular com centro no 
eixo estabelecido entre os pontos fixos A e B, que definem uma reta 
denominada de EIXO DE ROTAÇÃO. A trajetória de P é uma circunferência 
com centro no ponto P’ e pertencente a um plano perpendicular à reta AB.
7 – Movimentos de um Corpo Rígido
7 – Movimentos de um Corpo Rígido
7 – Movimentos de um Corpo Rígido
7 – Movimentos de um Corpo Rígido
7 – Movimentos de um Corpo Rígido
7.2.1 – Centro Instantâneo de Rotação (CIR)
Considere a situação particular do movimento de uma
placa plana no seu próprio plano (movimento plano). 
Neste caso, o eixo de rotação é perpendicular ao plano 
da placa e atravessa o plano no ponto C da figura. Este 
ponto, que está no eixo de rotação, tem velocidade nula, 
ou se move paralelamente ao eixo subindo ou descendo. 
Este ponto C será chamado de Centro Instantâneo 
de Rotação (CIR).
Deve-se observar que o Centro de Rotação em geral não é um ponto fixo. 
Pense no caso das rodas de um veículo em movimento. Em cada instante o 
pneu gira em torno de um ponto diferente, por isso chamamos de Centro 
Instantâneo de Rotação.
7 – Movimentos de um Corpo Rígido
Regra Prática para Localizar o Centro Instantâneo de Rotação (CIR)
Partido-se da equação (7.10) e considerando a figura, podemos escrever:
Pv   P  C
Multiplicando-se escalarmente por (P-C) os dois membros 
da equação, vem:
Pv . P C   PC.PC
O produto do segundo membro é nulo, por se tratar de um produto misto 
envolvendo dois vetores iguais, logo:
Pv . PC 0
7 – Movimentos de um Corpo Rígido
O produto escalar nulo indica que os vetores são ortogonais, o que permite 
afirmar que, no movimento plano de uma placa rígida, o vetor velocidade de 
cada um de seus pontos é perpendicular ao raio-vetor que liga o ponto ao Centro 
Instantâneo de rotação.
A regra prática estabelece que, se em um determinado instante, tivermos 
as velocidades vA e vB de um elemento, basta levantar as perpendiculares 
nos pontos A e B que elas vão se cruzar no CIR (Centro Instantâneo de 
Rotação).
8 – Movimento Geral de um Sólido
A determinação da velocidade e aceleração de um ponto pelo “método da 
geometria e derivadas” gera um certo trabalho para elaborar tais derivadas. Nesta 
seção, será desenvolvida uma equação que permitirá determinar a velocidade de 
um ponto de um corpo rígido de maneira “menos trabalhosa”.
8 – Movimento Geral de um Sólido
A determinação da velocidade e aceleração de um ponto pelo “método da 
geometria e derivadas” gera um certo trabalho para elaborar tais derivadas. Nesta 
seção, será desenvolvida uma equação que permitirá determinar a velocidade de 
um ponto de um corpo rígido de maneira “menos trabalhosa”.
8.1 – Velocidade
Pretende-se relacionar as velocidades de dois 
pontos de um sólido. Para exemplificar, será 
analisado o movimento de uma biela de um motor 
de combustão interna. Para elaborar essa análise 
cinemática, foram adotados dois sistemas de 
referência: sistema fixo ou global Oxyz, e sistema 
solidário ao corpo rígido (no caso a biela) ou 
sistema local BXYZ. Quando o mecanismo 
movimenta-se, os eixos do sistema Oxyz 
permanecem fixos, enquanto os eixos do sistema 
BXYZ acompanham o movimento da biela.
8 – Movimento Geral de um Sólido
8 – Movimento Geral de um Sólido
8 – Movimento Geral de um Sólido
8 – Movimento Geral de um Sólido
A equação (8.15), denominada Fórmula de Poisson ou Equação Fundamental 
da Cinemática dos Rígidos, permite relacionar a velocidade entre dois pontos de 
um corpo rígido. A velocidade do ponto A pode ser interpretada como a resultante 
de uma velocidade de translação [VB ] e de uma velocidade de rotação em torno 
de um eixo que contém o ponto B [  (A – B)]. Assim, o Movimento Geral de um 
Sólido é denominado Roto-translação.
Ԧ𝑣𝐴 = Ԧ𝑣𝐵 + 𝜔 ∧ (𝐴 − 𝐵)
Exercício 1
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Exercício 2
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Exercício 2 – Solução gráfica
Lista de Exercícios 06
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Exercício 4
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Exercício 5
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Exercício 6
Lista de Exercícios 06
Exercício 7
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Exercício 8
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8 – Movimento Geral de um Sólido
8.2 –Aceleração
8 – Movimento Geral de um Sólido
8 – Movimento Geral de um Sólido
A equação (8.21) pode ser simplificada no caso particular do movimento plano,
considerando apenas o movimento de placas planas em seu próprio plano.
Desenvolvendo o duplo produto vetorial, temos:
a  a   A B  .A B   . .A B
A B
Considerando que, no movimento plano, os vetores  e (A – B) são ortogonais,
então o produto escalar entre eles é nulo.
. A B 0
Substituindo na equação (8.22) teremos:
a  a   A B 0   . .A B
A B
Ou ainda:
a  a   A B2. A B
A B
(8.25)
(8.22)
(8.23)
(8.24)
Exercício 1
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Exercício 2
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Exercício 3
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Exercício 4
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Exercício 5
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E (-5R, 0, 0)
F (5R, 0, 0)
Lista de Exercícios 07
Exercício 6
Lista de Exercícios 07
Exercício 7
Lista de Exercícios 07
Exercício 8
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Exercício 9
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Exercício 10
Exercício 11
Lista de Exercícios 07
Exercício 12
Lista de Exercícios 07Exercício 13
Lista de Exercícios 07
Exercício 14
Lista de Exercícios 07
9 – Composição de Movimentos
(9.1)
Vamos analisar o movimento de um ponto em relação a um referencial que não 
seja fixo. Como exemplo, o ponto A da figura abaixo se movimenta com velocidade 
v em relação ao disco, que por sua vez gira em relação a um referencial fixo.
9.1 – Velocidade
Para elaborar a análise cinemática do 
sistema da figura, são adotados dois 
sistemas de referência: o sistema fixo ou 
global Oxyz e o sistema solidário ao 
corpo rígido ou sistema local BXYZ (ou 
referencial móvel). Partindo da equação 
(8.4), aqui reescrita:
(8.4)
9 – Composição de Movimentos
(9.2)
(8.14)
(9.3)
9 – Composição de Movimentos
(9.4)
(9.5)
9 – Composição de Movimentos
(9.6)
(9.7)
(8.9) (8.10) (8.11)
9 – Composição de Movimentos
(9.8)
(9.9)
(9.10)
9 – Composição de Movimentos
(9.11)
(8.9)
(9.12)
9 – Composição de Movimentos
(9.13)
(9.14)
(9.15)
(9.16)
9 – Composição de Movimentos
(9.17)
(9.18)
(9.19)
9 – Composição de Movimentos
(9.20)
9 – Composição de Movimentos
Gaspard-Gustave de Coriolis 
(1792 – 1843)
Em termos gerais, podemos dizer que a aceleração de 
Coriolis é um termo de ajuste, que decodifica 
informações provenientes de eixos sem rotação e de 
eixos com rotação. A direção é sempre normal ao vetor 
vrel e o sentido é definido pela regra da mão esquerda 
para o produto vetorial.
Exercício 1
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Exercício 3
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