Fis1C Aula 005 13 versaoM

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Aula 005 1 
CAPÍTULO 3 
VETORES 
Aula 005 2 
CAPÍTULO 3 – VETORES 
x (m) 
y (m) 
A 
A partícula A se deslocou 2,0 m além 
da sua posição inicial. Qual será a sua 
posição final? 
? 
? 
? 
Rta: Impossível determinar só com 
essa informação. 
Deslocamento é uma grandeza vetorial. 
Só é bem determinado quando se 
especifica seu módulo, sua direção e seu 
sentido. 
Aula 005 3 
CAPÍTULO 3 – VETORES 
Representação matemática de uma grandeza vetorial  vetor 
Comprimento  módulo 
q 
Inclinação em relação à horizontal  direção 
Seta  sentido 
Aula 005 4 
CAPÍTULO 3 – VETORES 
x (m) 
y (m) 
𝑨 
𝑩 
𝑪 
𝑫 
𝑬 
𝑨 = 𝑩 = 𝑪 
𝑨 = −𝑫 
Mesmo comprimento, mesma direção, 
setas no mesmo sentido  os vetores 
são iguais 
Mesmo comprimento, mesma direção, 
setas em sentidos opostos  um vetor 
é o inverso do outro 
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CAPÍTULO 3 – VETORES 
3.1 – Soma de vetores (método gráfico): 
𝑨 
𝑩 
𝑨 + 𝑩 = ? 
𝑺 
𝑩 + 𝑨 = ? 
(𝑨 + 𝑩) = (𝑩 + 𝑨) = 𝑺 
𝑺 
Iguais !!! 
Propriedade comutativa: 
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CAPÍTULO 3 – VETORES 
𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝑨 + (𝑩 + 𝑪) Propriedade associativa: 
𝑨 
𝑩 
𝑨 − 𝑩 = ? 
Subtração de vetores: 
Mesmo que 𝑨 + (−𝑩) 
−𝑩 𝑫 
𝑨 − 𝑩 = 𝑫 
𝑩 − 𝑨 = −𝑫 
Mas cuidado!! 
𝑨 − 𝑩 = − 𝑩 − 𝑨 
Aula 005 7 
CAPÍTULO 3 – VETORES 
3.2 – Componentes de um vetor em 2D: 
x (m) 
y (m) 
𝑨 
𝑩 
Componentes = projeções do vetor 
sobre os eixos 
𝑨𝒚 
𝑨𝒙 
𝑩𝒚 
𝑩𝒙 
qA 
A direção de um vetor é sempre 
especificada pelo ângulo q formado 
entre o vetor e o semieixo x positivo 
qB 
Aula 005 8 
Relações entre as componentes e o vetor 
CAPÍTULO 3 – VETORES 
𝑨 
𝑨𝒚 
𝑨𝒙 
qA 
𝑩 
𝑩𝒚 
𝑩𝒙 
qB 
Vetorialmente: 𝑨𝒙 + 𝑨𝒚 = 𝑨 
Em módulo: 𝑨𝒙
𝟐 + 𝑨𝒚
𝟐 = 𝑨𝟐 
𝑨𝒙 = 𝑨 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝑨 
𝑨𝒚 = 𝑨 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜽𝑨 
Em relação ao ângulo: 
𝐭𝐚𝐧 𝜽𝑨 =
𝑨𝒚
𝑨𝒙
 
Aqui qA já é a 
direção do 
vetor 𝑨 ... 
a 
Vetorialmente: 𝑩𝒙 + 𝑩𝒚 = 𝑩 
Em módulo: 𝑩𝒙
𝟐 + 𝑩𝒚
𝟐 = 𝑩𝟐 
Em relação ao ângulo: 
𝑩𝒙 = 𝑩 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 
𝑩𝒚 = 𝑩 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜶 
𝐭𝐚𝐧 𝜶 =
𝑩𝒚
𝑩𝒙
 
Mas aqui a 
direção de 𝑩 
é dada por 
𝜽𝑩 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝜶 
Aula 005 9 
CAPÍTULO 3 – VETORES 
Exemplo 3.1: 
Determine as componentes dos vetores: 
a. 𝑨, de módulo 6,0 m, orientado 30° abaixo da horizontal 
b. 𝑩, de módulo 10,0 m, orientado 120° acima da horizontal 
𝑨𝒙 = 𝑨 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝑨 
𝑨𝒚 = 𝑨 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜽𝑨 
𝑨𝒙 = 𝟔, 𝟎 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° 𝑨𝒙 = 𝟓, 𝟐 m 
𝑨𝒚 = 𝟔, 𝟎 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝟎° 𝑨𝒚 = 𝟑, 𝟎 m 
Mas peraí... Ay não 
aponta pra baixo, contra 
o sentido do eixo? 
Quer dizer que o ângulo é negativo!! 
𝑨 
𝑨𝒚 
𝑨𝒙 
qA 
Aula 005 10 
𝑨𝒙 = 𝑨 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝑨 
𝑨𝒚 = 𝑨 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜽𝑨 
𝑨𝒙 = 𝟔, 𝟎 ∙ 𝐜𝐨𝐬 −𝟑𝟎° 𝑨𝒙 = 𝟓, 𝟐 m 
𝑨𝒚 = 𝟔, 𝟎 ∙ 𝐬𝐞𝐧 −𝟑𝟎° 𝑨𝒚 = −𝟑, 𝟎 m 
CAPÍTULO 3 – VETORES 
𝑩𝒙 = 𝑩 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 
𝑩𝒚 = 𝑩 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜶 
𝑩𝒙 = 𝟏𝟎 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎° 𝑩𝒙 = 𝟓, 𝟎 m 
𝑩𝒚 = 𝟏𝟎 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝟔𝟎° 𝑩𝒚 = 𝟖, 𝟕 m 
Mas peraí... Bx não 
aponta pra esquerda, 
contra o sentido do eixo? 
𝑩 
𝑩𝒚 
𝑩𝒙 
qB 
Aula 005 11 
Bom, e se eu 
simplesmente adicionar 
um sinal negativo ao Bx? 
CAPÍTULO 3 – VETORES 
𝑩𝒙 = −𝟓, 𝟎 m 𝑩𝒚 = 𝟖, 𝟕 m 
E também pode fazer: 
𝑩𝒙 = 𝑩 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝑩 
𝑩𝒚 = 𝑩 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜽𝑩 
𝑩𝒙 = 𝟏𝟎 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟐𝟎° 𝑩𝒙 = −𝟓, 𝟎 m 
𝑩𝒚 = 𝟏𝟎 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝟏𝟐𝟎° 𝑩𝒚 = 𝟖, 𝟕 m 
Moral da história: sempre que usar o ângulo que dá a direção 
do vetor, chega nos sinais corretos para as componentes. O 
ângulo da direção é positivo se estiver acima do semieixo x 
positivo e negativo se estiver abaixo. 
Aula 005 12 
3.3 – Vetores unitários: 
CAPÍTULO 3 – VETORES 
x 
y 
z 
Definidos como vetores que: 
 - tem sempre módulo = 1 
 - estão sempre na direção do eixo 
 - apontam sempre para o sentido positivo 
i 
j 
k 
Servem para especificar direções no espaço 
Aula 005 13 
x 
y 
z 
i 
j 
k 
CAPÍTULO 3 – VETORES 
𝑽 
𝑽𝒙 
𝑽𝒚 
𝑽𝒛 
É comum escrever o vetor 𝑽 como: 
𝑽 = 𝑽𝒙i + 𝑽𝒚j + 𝑽𝒛k 
Para os vetores do exemplo 
anterior: 
𝑨 = 𝟓, 𝟐i − 𝟑, 𝟎j 𝑨 
𝑩 𝑩 = −𝟓, 𝟎i + 𝟖, 𝟕j 
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CAPÍTULO 3 – VETORES 
3.4 – Soma de vetores através das componentes: 
𝑺 = 𝑪 + 𝑫 𝑺 = 𝑪𝒙i + 𝑪𝒚j + 𝑪𝒛k + 𝑫𝒙i + 𝑫𝒚j + 𝑫𝒛k 
NUNCA se pode somar algebricamente vetores e componentes 
que estão em direções diferentes !!! 
𝑺 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝒙 i + 𝑪𝒚 + 𝑫𝒚 j + 𝑪𝒛 + 𝑫𝒛 k 
𝑺 = 𝑺𝒙i + 𝑺𝒚j + 𝑺𝒛k 
Aula 005 15 
Exemplo 3.2: 
CAPÍTULO 3 – VETORES 
Encontre o vetor soma dos vetores listados abaixo, dados em 
metros. Também calcule explicitamente o módulo e a direção do 
vetor soma. 
𝑪 = −𝟒, 𝟐i − 𝟏, 𝟔j 𝑫 = 𝟏, 𝟔i + 𝟐, 𝟗j 𝑬 = −𝟑, 𝟕j 
Resolver no quadro. Rta: 𝑺 = −𝟐, 𝟔i − 𝟐, 𝟒j 
Verificando pelo método gráfico: 
𝑺 
Rta: módulo = 3,5 m 
 direção = 222,7° ou – 137,3° 
qS 
Aula 005 16 
3.5 – Multiplicação de um escalar por um vetor: 
CAPÍTULO 3 – VETORES 
Escalar · 𝑽 = 𝑵 
Onde o novo vetor 𝑵 terá: 
• Sempre a mesma direção do vetor inicial 𝑽 
• Módulo igual à multiplicação do escalar pelo 𝑽 
• Mesmo sentido de 𝑽 se o escalar for positivo mas 
sentido oposto ao de 𝑽 se o escalar for negativo 
3 · = 
𝑽 𝑵 
-3 · = 
𝑽 𝑵