Aula 6_Taxas de variação_médias e instantânea

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	UNIFACS - Cursos de Engenharia
Disciplina: Cálculo I Semestre: 2013.2
Professores: Adalberto, Adelmo, Adriano, Cleber, Camila, Cristina, Everton, Fernanda, Luciano, Ramon, Sumaia.
AULA 6: Taxas de variação (média e instantânea). Derivada de uma função em um ponto. 
OBJETIVO: Introduzir o conceito de derivada de uma função em um ponto. 
1. Introdução: É muito comum encontrar a palavra “taxa” em Economia, Administração e Engenharia. Por exemplo, podemos encontrar nos jornais a notícia: “segundo dados do IBGE, o PIB da Bahia no trimestre abril/ maio/junho cresceu 1,5% em comparação ao trimestre anterior”. Outro exemplo de taxa de variação é dado pela recente notícia: “Bovespa fecha em queda e termina a semana com perda de quase 5%”. 
A palavra “taxa” tem o mesmo significado que “quociente”, ou “razão” entre duas grandezas. Como vimos nesses exemplos, algumas taxas são positivas (ganhos) e outras podem ser negativas (perdas). 
Matematicamente falando, quando uma grandeza G sofre uma variação de Go para G1 em um certo período, dizemos que (G=G1-Go é a variação de G. Dessa forma, o quociente 
 é chamado de taxa de variação de G nesse período. Esse é o caso a evolução de um capital Co para outro C1, ao longo de um certo período.
Atenção! Existem também exemplos de taxas, onde algumas grandezas são relacionadas com outras grandezas. Um exemplo é a velocidade, que é a razão entre o espaço (S e a variação do tempo (t, ou seja, 
. 
Outro exemplo é dado pela aceleração, que é dada pelo quociente 
Exemplo 1: O dólar nesta semana foi comercializado a R$2,40, enquanto na semana passada estava em R$2,34. Qual foi a taxa de variação dessa moeda nesse período?
Solução: 
 em uma semana.
Exemplo 2: A ação de uma empresa valia R$4,97 em janeiro e agora em setembro está valendo R$ 0,52. Qual foi a taxa de variação dessas ações?
Solução: 
 em 8 meses.
Exemplo 3: Um automóvel encontrava-se no km 55 e viajou até o km 235 em 3 horas. Qual foi sua velocidade média?
Solução: 
. Logo, vm=60 km/h
2. TAXA DE VARIAÇÃO (MÉDIA) DE UMA FUNÇÃO
Definição 1: Dada uma função y=f(x) e um ponto fixo xo, definimos as taxas de variação médias dessa função pelos quocientes 
, onde x é um ponto próximo do ponto xo. 
Em símbolos, temos o seguinte: 
(x = x-xo (variação de x) ; (y = f(x)-f(xo) (variação de y) ⟹ 
 taxa de variação média.
Observação: Quando variamos o ponto x, a taxa média se altera.
Exemplo 4: Seja f(x)=x2 e xo=2. Calcule as taxas médias de variação dessa função para os seguintes valores de x:
 i) x= 2,5		ii) x= 2,2		ii) x= 2,1	
	Solução: 
i) 
. Logo, 
ii) 
 Logo, 
iii) 
 Logo, 
	
Exemplo 5: Seja f(x) = x2 +3x e xo = 2 . Calcule as taxas médias de variação dessa função quando: 
i) x= 2,5			ii) x= 2,2			iii) x= 2,1
	Solução: 
i) 
. Logo, 
ii)
Logo, 
ii)
 Logo, 
	
3. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO 
Definição 2: Prosseguindo, e de modo análogo, dada uma função y=f(x) e um ponto fixo xo, definimos a taxa instantânea (ou derivada) de uma função f no ponto xo como o limite das taxas de variação médias dessa função, quando x → xo. Simbolicamente, escrevemos assim:
, ou então, 
Exemplo 6: No caso da função f(x)=x2+3 e xo=1 temos 
O resultado dessa derivada é então 
Exemplo 7: No caso da função f(x)=x2+3 e xo=2 temos 
O resultado dessa derivada é então 
Exemplo 8: No caso da função f(x)=x2+3 e xo=3 temos 
O resultado dessa derivada é então 
Exercício: Determine as taxas de variação instantâneas (derivadas) da função f(x)=x2+3x nos pontos:
i) xo= 1			ii) xo = 2			iii) xo = -1
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