APOSTILA MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA - PROF ALEXANDRE FEIDEN 2021

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Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 1 
 
 
 
 
Apostila Matemática 
Comercial e 
Financeira – Prof. 
Alexandre Feiden 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 2 
 
2 
 
Sumário 
1. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ........................................................................................................ 3 
2. POTÊNCIAS ..................................................................................................................................... 7 
3. RAZÕES E PROPORÇÕES .............................................................................................................. 9 
4. REGRA DE TRÊS .............................................................................................................................. 16 
4.1 REGRA DE TRÊS SIMPLES........................................................................................................ 17 
4.2 REGRA DE TRÊS COMPOSTA: ................................................................................................. 18 
5 PORCENTAGEM ................................................................................................................................ 19 
5.1 OPERAÇÕES COMERCIAIS QUE UTILIZAM PORCENTAGENS: .......................................... 24 
6 SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO ( JUROS ): .................................................................................. 29 
7 JUROS SIMPLES ................................................................................................................................ 30 
8 DESCONTO SIMPLES: ...................................................................................................................... 34 
9 JUROS COMPOSTOS ......................................................................................................................... 41 
10 DESCONTO COMPOSTO ................................................................................................................ 45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 3 
 
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1. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
 
1.1 Adição e Subtração 
 
 
O método mais direto de resolver frações é o do máximo divisor comum: 
 
b
a
 + 
d
c
 = 
bd
c
d
bd
a
b
bd












 = 
bd
bcda 
 
 
Ex. 1) 
3
2
 + 
7
5
 = 
73
5
7
73
2
3
73






 





 
 = 
21
1514 
 = 
21
29
 
 
Ex. 2) 
5
4
 - 
7
2
 = 
75
2
7
75
4
5
75






 





 
 = 
35
1028 
 = 
35
18
 
 
 
 Para 3 ou mais frações o procedimento é o mesmo. 
 
 
b
a
 + 
d
c
 + 
f
e
 = 
fdb
e
f
fdb
c
d
fdb
a
b
fdb


















 = 
fdb
edbcfbafd )()()( 
 
 
 
Ex. 3) 
7
5
 + 
5
2
 - 
4
3
 = 
457
3
4
457
2
5
457
5
7
457






 





 





 
 = 
 
 = 
720
335228520


 = 
140
51
 
 
 
Resolver: 
 
a) 
7
2
 + 
9
1
 b) 
7
3
 - 
5
1
 c) 
11
8
 - 
5
4
 
 
d) 
7
3
9
2
4
1
 e) 
11
4
8
3
9
4
 f) 
5
4
9
2
3
5
 
 
 
 
 
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1.2 Divisão de frações 
 
 
d
c
b
a
 É só inverter a 2ª fração e multiplicar 
 
d
c
b
a
 = 
c
d
b
a
 = 
bc
ad
 
 
 
Ex. 1) 
7
4
3
2
 = 
4
7
3
2
 = 
12
14
 = 
6
7
 
 
 
Ex. 2) 
3
4
8
5
 = 
4
3
8
5
 = 
32
15
 
 
 
Ex. 3) 
2
1
7
4
8
5
5
2


 = 
72
78
85
5528




 = 
14
1
40
41
 = 
1
14
40
41
 = 
20
287
 
 
 
Resolver: 
 
a) 
5
2
23
11
 b) 
9
8
3
4
 c) 
8
1
7
3
 
 
 
d) 






7
4
3
2
  






2
1
4
15
 e) 






5
1
3
7
  






8
7
3
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3 Exercícios com respostas 
 
 
 
 
 
 
 
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2. POTÊNCIAS 
 
2.1 Exercícios: 
 
 
 
 
 
 
 
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3. RAZÕES E PROPORÇÕES 
 
3.1 Razão 
 
Vamos começar com um exemplo: 
 
Uma escola tem 600 alunos, e realizou uma pesquisa mostrando o esporte preferido pelos alunos. 
ESPORTE N° DE ALUNOS 
Judô 50 
Futebol 150 
Natação 200 
Handebol 50 
Basquete 60 
Nenhum Esporte 90 
 
Vamos analisar os dados da tabela acima através de alguns quocientes: 
a) número de alunos que praticam natação 
200
600
=
1
3
 
 número de alunos da escola 
Significado: em cada 3 alunos da escola, apenas 1 pratica natação. 
 
b) número de alunos que praticam judô 
50
150
=
1
3
 
 número de alunos que jogam futebol 
Significado: O número de alunos que jogam futebol é triplo do número de alunos que praticam judô. 
 
c) número de alunos que praticam esporte 
510
600
=
17
20
 
 número de alunos da escola 
Significado: em cada 20 alunos da escola, 17 praticam esportes. 
 
Observe as expressões: “De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos”, “De cada 10 alunos, 2 gostam de 
Matemática”, “Um dia de sol para cada dois dias de chuva”. 
 Em cada uma dessas frases está sempre clara a comparação entre dois números. No primeiro 
caso, destacamos 5 entre 20, no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2. 
 Todas as comparações são matematicamente expressas por um quociente chamado razão. Temos, 
então: 
1) De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos, ou a cada 4 hab. 1 é analfabeto. Razão =
20
5
=
4
1
 
2) De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática, ou a cada 5 alunos 1 gosta de matemática. 
Razão = 
10
2
 =
5
1
 
3) Um dia de sol, para cada dois de chuva. Razão = ½ 
 
Portanto, razão entre dois números a e b (com b ≠0) é o quociente entre a e b. 
Indica-se: 
b
a
 ou a : b e lê-se a para b. 
O número a é chamado antecedente e o número b, conseqüente. 
 
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Exemplos: 
1. A razão de 3 para 12 é: 
12
3
= 
4
1
 
 2. A razão de 20 para 5 é: 
5
20
= 4 
 3. A razão de 5 e ½ é = 5 . 
1
2
= 10 
 
Exercícios: 
 
1) Em um baile, tem 150 homens e 225 mulheres. Qual a razão entre o número de homens para o 
número de mulheres ? 
 
150
225
=
2
3
 ou seja, existem dois homens para cada três mulheres. 
 
2) Se uma construção tem 800 m2 de área construída e 1000 m2 de área livre, a razão da área 
construída para a área livre é de quanto? 
 
800
1000
=
4
5
 ou seja, a cada 5 m2 de área livre tem-se construído 4 m2. 
 
3) Em um concurso haviam 90 candidatos. 30 deles foram aprovados, qual a razão entre o número 
de aprovados e o número de reprovados. 
 
30
60
=
1
2
 ou seja, a cada candidato aprovado tem-se 2 reprovados. 
 
4) João resolve 15 testes e acerta 7. Antônio resolve 21 testes e erra 10. Ralf resolve 18 testes 
e acerta 9. Coloque os nomes em ordem crescente de eficiência. 
 
João: 
7
15
= 0,47 Antônio: 
11
21
= 0,54 Ralf: 
9
18
= 0,50 
 
Antônio 
Ralf 
João 
 
5) No vestibular de 2011 da UNIFASS concorreram 150 candidatos, para 50 vagas da opção Administração, 
150 candidatos. Qual a relação candidato vaga para essa opção? 
 
150
50
= 3 candidatos por vaga 
 
 
 
6) Na prova de matemática, um aluno acertou 20 questões e errou 5. Escreva a razão entre: 
a) o número de acertos e o númerode questões 
b) o número de acertos e o número de erros 
 
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a) 
20
25
=
4
5
 ou seja, para cada 5 questões, 4 foram acertadas. 
 
b) 
5
20
=
1
4
 ou seja, para cada 4 questões acertadas 1 foi errada. 
 
 
3.1.1 Razão de duas grandezas: 
 
Considerando grandeza como tudo o que pode ser medido, podemos dizer que a razão entre duas 
grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da 
segunda grandeza. 
- Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste 
caso, a razão é um número puro. 
Exemplos: 
1.A razão de 2 m para 3 m é: 
m
m
3
2
3
2
 
 2.A razão de 30 dm para 6 m = 
m
dm
6
30
 = 
m
m
6
3
 = ½ 
- Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades 
das grandezas a partir das quais se determina a razão. 
Exemplo: 
Um automóvel percorre 160 Km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto 
em percorrê-la é: 
h
km
2
160
= 80 Km/h 
 
3.2 Proporção 
 
Existem situações em que as grandezas que estão sendo comparadas podem ser expressas por razões com 
antecedentes e conseqüentes diferentes, porém com o mesmo quociente. Assim, ao dizer que de 40 
alunos entrevistados, 10 gostam de Matemática, poderemos supor que, se forem entrevistados 80 alunos 
da mesma escola, 20 deverão gostar de Matemática. Na verdade, estamos afirmando que 10 estão 
representando em 40 o mesmo que 20 em 80. 
 Escrevemos: 
40
10
= 
80
20
 
 
A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção. 
 
Portanto: 
 
 Proporção é uma igualdade entre duas razões. Dados os números racionais a, b, c e d, diferentes 
de zero, eles formam, nessa ordem uma proporção quando a razão de a para b for igual a razão 
de c para d. 
 
Dadas duas razões a/b e c/d com b e d ≠ 0, teremos uma proporção se a/b = c/d 
 
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A proporção também pode ser representada como a : b = c : d 
 * Lê-se: a está para b assim como c está para d 
* a e d são chamados extremos e b e c são chamados meios. 
 
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
 
 
 
Propriedade fundamental das proporções: 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
4
2
= 
18
9
 2 : 4 = 9 : 18 2. 18 = 4. 9 36 = 36 
 
3
2
= 
15
10
 2 . 15 = 3 . 10 
 
4
5
= 
20
25
 5 . 20 = 4 . 25 
 
 
 
Propriedade fundamental para série de razões iguais ( ou proporção múltipla): 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
3
6
 
5
10
 
6
12
 
4
8
 
4653
812106


 = 
3
6
 ou 
5
10
 ou 
6
12
 ou 
4
8
 
 
Exercícios: 
 
1) Verificar se são ou não proporções as seguintes igualdades: 
a) 4/15 = 72/270 b) 0,75/ 0,25 = 3 c) 
2
82,45,9 
 = 
60
1,14
 d)
3/2
9/5
= 
8,0
3/2
 
2) Encontrar o valor de x nas proporções: 
 
a) x/20 = 4/10 b 12/121 = 6/x 
 
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e vice-versa. 
 Em uma série de razões iguais , a soma dos antecedentes está para a soma dos 
consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo consequente. 
 
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3) Escreva quatro proporções utilizando os números 3,4, 6 e 8. 
 
4) Calcular x e y na proporção x/7 = y/12, sabendo que x + y = 76. 
 
3.2.1 Grandezas Proporcionais 
 
Entende-se por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. 
 
O volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, são 
alguns exemplos de grandezas. 
 
A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas de tal forma 
que, quando uma delas varia, como consequência varia também a outra. 
 
Por exemplo, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de 
quilômetros percorridos. O tempo numa construção depende do número de operários empregados. O 
salário está relacionado aos dias de trabalho. 
 
A relação entre duas grandezas estabelece a lei de variação dos valores de uma em relação à 
outra. Existem dois tipos básicos de dependência entre grandezas proporcionais: a proporção 
direta e a proporção inversa. 
 
3.2.1.1 PROPORÇÃO DIRETA OU GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS: 
 
 
Ao analisarmos duas grandezas como trabalho e remuneração, velocidade média e distância 
percorrida, altura de um objeto e comprimento da sombra projetada, etc, veremos que aumentando ou 
diminuindo uma delas a outra também aumenta ou diminui. 
 Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: 
 Um grupo de pessoas se instalou num acampamento que cobra R$ 10,00, a diária individual. Veja 
na tabela a relação entre o número de pessoas e a despesa diária. 
 
 
 Número de pessoas 
 
 1 
 
 2 
 
 4 
 
 5 
 
 10 
 
Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando, aumentando 
ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa 
mesma razão. As razões de cada elemento da primeira por cada elemento 
correspondente da segunda são iguais, ou seja, possuem o mesmo coeficiente de 
proporcionalidade. 
 
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 Despesa diária 10,00 20,00 40,00 50,00 100,00 
 
Percebemos que a razão de aumento do número de pessoas é a mesma para o aumento da 
despesa. É, portanto, uma proporção direta. As grandezas número de pessoas e despesa diária são 
diretamente proporcionais, ou seja, a razão entre o número de pessoas e despesa diária são iguais: 
 
1/10 = 2/20 = 4/40 = 5/50 = 10/100 
      
1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 
 
Exemplo 2: 
Os números 3, 10 e 8 são diretamente proporcionais aos números 6, 20 e 16, nessa ordem, porque 
possuem a mesma razão ou o mesmo coeficiente de proporcionalidade: 
 
3/ 6 = 10/20 = 8/16 
    
 ½ = ½ = ½ 
 
Exemplo 3: 
Em um determinado mês do ano, o litro de gasolina custava R$ 0,50. Tomando como base esse 
dado pode-se formar a seguinte tabela. 
Quantidade de gasolina(em litros) Quantidade a pagar( em reais) 
 1 0,50 
 2 1,00 
 3 1,50 
Observe: 
Se a quantidade de gasolina dobra o preço a ser pago também dobra. 
Se a quantidade de gasolina triplica o preço a ser pago também triplica. 
Neste caso, as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e quantidade de gasolina, são chamadas 
grandezas diretamente proporcionais. 
Duas grandezas são chamadas, diretamente proporcionais quando, dobrando uma dela a outra 
também dobra; triplicando uma delas a outra também triplica. 
 
 
 
3.2.1.2 PROPORÇÃO INVERSA OU GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: 
 
 
Ao analisarmos duas grandezas como tempo de trabalho e número de operários para a mesma 
tarefa, velocidade média e tempo de viagem, número de torneiras e tempo para encher um tanque, 
veremos que aumentando uma grandeza , a outra diminuirá. 
 
Então: 
 
 
 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou 
diminuindo ) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na 
mesma razão. As razões de cada elemento da primeira pelo inverso de cada elemento 
correspondente da segunda são iguais. Em outras palavras, duas grandezas são 
inversamente proporcionais quando os elementos da primeira grandeza forem 
diretamente proporcionais ao inverso dos elementos da segunda grandeza. 
 
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15 
Exemplo 1: 
 Suponhamos que no exemplo analisado na folha anterior (razão direta), a quantia gasta pelo grupo 
de pessoas seja sempre R$ 200,00. Então, o tempo de permanência do grupo dependerá do número de 
pessoas. Analise a tabela: 
 
 
 Número de pessoas 
 
 1 
 
 2 
 
 4 
 
 5 
 
 10 
 
 Tempo de permanência (dias) 
 
 20 
 
 10 
 
 5 
 
 4 
 
 2 
 
Percebemos que, se dobrarmos o número de pessoas, o tempo de permanência se reduzirá à 
metade. É, portanto, uma proporção inversa. As grandezas número de pessoas e número de dias são 
inversamente proporcionais. A razão entre o número de pessoas é igual ao inverso da razão do tempo de 
permanência: 
20/1
1
 
10/1
2
 
5/1
4
 
4/1
5
 
2/1
10
 = 20 
 
Exemplo 2: 
 Duas grandezas: velocidade média e tempo. 
 Suponhamos que um automóvel deve percorrer a distância entre Cascavel e M.C.Rondon, e essa 
distância é de 300 km. È fato que, quanto maior a velocidade do automóvel, menor será o tempo de 
percurso. 
 
Portanto: 
 
VELOCIDADE TEMPO 
50 km/h 6 h 
60 km/h 5 h 
100 km/h 3 h 
Podemos observar que as grandezas v e t são inversamente proporcionais, visto que a razão entre as 
velocidades 
50
60
=
5
6
 é inversa a razão dos tempos correspondentes, 
6
5
 . 
 
Exemplo 3: 
 Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos. Se ele 
escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 12 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um deles 
receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros. 
Observe a tabela: 
Número de alunos escolhidos Número de livros para cada aluno 
2 12 
4 6 
6 4 
 
Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela metade. 
Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai para a terça parte. 
 
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Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz 
para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... e assim por diante. 
 
 
4. REGRA DE TRÊS 
 
 
 Chamamos de regra de três uma regra prática que permite, através da comparação de grandezas 
proporcionais, a resolução de diferentes situações-problema do dia-a-dia. São problemas onde 
relacionamos duas grandezas podendo ser diretamente ou inversamente proporcionais. Para solução dos 
mesmos consiste em formar com três valores conhecidos e a incógnita procurada, uma proporção e dela 
tiramos o valor desejado. 
 Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a 
composta, que envolve mais de duas grandezas. 
 
Tipos de grandezas: 
 
Grandezas diretamente proporcionais: 
 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas, a outra 
grandeza aumenta ou diminui na mesma razão. 
 
Exemplo: 
 Um automóvel fez 120Km com 10 litros de gasolina. Quantos litros de gasolina esse automóvel 
gastaria para percorrer 200Km? 
 
 Distância litros de gasolina 
 120 10 
 200 x 
 
120
200
=
10
𝑥
 𝑥 = 16,66 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑠𝑜𝑙𝑖𝑛𝑎 
 
 
Grandezas inversamente proporcionais 
 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando - se uma delas, a outra 
diminui na mesma razão que a primeira aumentou e vice-versa. 
 
Exemplo: 
Um ônibus com a velocidade 60Km/h percorre a distância entre duas cidades em 3h. Que tempo 
levará, se aumentar a velocidade média para 90Km/h? 
 
velocidade média tempo velocidade média tempo 
 60 3 60 x 
 90 X 90 3 
 
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60
90
=
𝑥
3
 𝑥 = 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
 
 
4.1 REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
 
A regra de três simples, como vimos anteriormente, envolve apenas duas grandezas diretamente 
ou inversamente proporcionais. O processo consiste em montarmos uma tabela colocando em cada 
coluna, ordenadamente, os valores da mesma grandeza e, daí, obtermos uma equação através da 
aplicação da propriedade fundamental das proporções. Quando as grandezas forem diretamente 
proporcionais, essa equação terá a mesma forma da tabela. 
 
No caso de grandezas inversamente proporcionais, a montagem da equação será feita invertendo-
se a razão de uma das grandezas. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais dizemos que a 
regra de três é direta. Quando forem inversamente proporcionais, dizemos que a regra de três é inversa. 
 
Procedimentos para resolver problemas por regra de três simples: 
 
1º) Montar a tabela: As quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser expressas 
sempre na mesma unidade de medida 
Comprimento(m) Preço(R$) 
5 80,00 
9 x 
2º) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais: 
- Se as grandezas forem diretamente proporcionais, coloca-se uma seta vertical na coluna onde se 
encontra o x, na direção dele, e uma seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. 
- Se as grandezas forem inversamente proporcionais, procede-se da mesma forma na coluna do x, 
invertendo o sentido da seta na outra coluna. 
 
3º) Determinar o valor de x, que é o termo procurado, através da propriedade fundamental das 
proporções. 
 Exemplo: 
Cinco metros de um tecido custam R$ 80,00. Quanto pagarei por 9 metros do mesmo tecido? 
Nesse exemplo temos uma regra de três simples e direta. Observe os procedimentos acima: 
 Comprimento(m) Preço(R$) 
 5 80,00 
 9 x 
 
 
9
5
 = 
x
80
 x = 
5
9.80
 x = 144,00 
 
ATIVIDADES: 
 
1.Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra? 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 18 
 
18 
3 
2.Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 Km por dia. Quantos dias seriam necessários para 
fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 Km por dia? 
7,5 dias 
3.Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1h30min. Quantas torneiras de mesma 
vazão seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54min? 
 
4.Um corte de tecido de 2m x 2,5m custa R$ 100,00. Quanto deverá ser pago por um corte do mesmo tecido 
de 3m x 5 m? 
 
5.Se 4/9 de uma obra foram feitos em 28 dias, em quantos dias a obra será concluída? 
 
 
4.2 REGRA DE TRÊS COMPOSTA: 
 
 
A regra de três composta envolve três ou mais grandezas relacionadas entre si. Os procedimentos 
de resolução serão os mesmos da regra de três simples. Quando há dependência inversa entre a grandeza 
que contém a variável com as demais grandezas, invertemos os elementos da respectiva coluna. A 
equação será montada, relacionando a grandeza que contém a variável com as demais grandezas. 
 
Exemplo: 
 
Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo 
produzirão sete operários, trabalhando 9 dias? 
 Nº de operários Nº de dias Nº de peças 
 3 6 400 
 7 9 x 
Comparando a grandeza que contém o x com as outras duas grandezas, verificamos que são 
diretamente proporcionais. Então: 
 
x
400
 = 
9.7
6.3
 
x
400
 = 
63
18
 
x
400
 = 
7
2
 2x = 2 800 x = 1 400 peças 
 
ATIVIDADES: 
 
1.Um ciclista percorre 120 Km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá 500Km, 
viajando 5 horas por dia? 
 
2.Numa fazenda, 3 cavalos consomem 210 Kg de alfafa durante 7 diais. Para alimentar 8 cavalos, durante 
10 diais, quantos quilos de alfafa serão necessários? 
 
3.Seis digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, de mesma 
capacidade, prepararão 800 páginas? 
 
 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 19 
 
19 
4.Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 6 dias para fazer certo 
percurso. Se a velocidade fosse 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo 
percurso? 
 
5.Uma torneira enche um tanque em 20 horas, com uma vazão de 1 litro por minuto. Quanto tempo será 
necessário para que duas torneiras, com vazão de 2 litros por minuto, encham o mesmo tanque? 
 
6.Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes. Quantos 
engenheiros seriam necessários para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias? 
 
7.Um livro de 120 páginas, com 25 linhas, é impresso em 4 horas. Quantas horas seriam necessárias para 
imprimir um livro de 100 páginas com 30 linhas por página? 
 
8.Uma pessoa que viajará para os Estados Unidos dispõe de R$ 2 500,00 para a viagem.Quantos dólares 
conseguirá comprar? 
 
5 PORCENTAGEM 
 
 
 O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem. Historicamente a 
expressão por cento aparece nas principais obras da aritmética de autores italianos do século XV. O 
símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis. 
 Em nosso dia-a-dia é comum observarmos também expressões como estas: 
“Desconto de até 45% na grande liquidação de inverno”. 
“Os jovens perfazem um total de 45% da população brasileira”. 
“A inflação registrada em 2011 foi de 6,50%”. 
“O rendimento da caderneta de poupança foi de 0,51% no mês de julho”. 
 
Essas expressões envolvem uma razão especial chamada porcentagem. Porcentagem, portanto, 
pode ser definida como uma razão cujo consequente é 100 ou ainda como uma razão centesimal, onde 
o consequente é substituído pelo símbolo %, chamado “ por cento “. 
 
 
100
70
 = 0,70 = 70% 
 
0,70 = forma unitária 
70% = forma percentual 
 
 Logo, sabemos que um por cento indica que dividimos o inteiro em 100 partes iguais e 
consideramos apenas uma dessas partes. Representamos isso por 
 
 
CÁLCULOS DE PORCENTAGEM: 
 Existem vários recursos para resolver cálculos que envolvem porcentagens: 
 
1º) POR UMA FORMA DIRETA ENVOLVENDO O ENTENDIMENTO DE FRAÇÕES: 
 1 
100 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 20 
 
20 
Exemplo: Quanto é 20% de 800? 
 
 Usando a forma precentual 
20 % de 800 = 800 . 
100
20
 = 160 
 
 ou usando a forma unitária: 
 
20% de 800 = 800 x 0,20 = 160 
 
2º) POR UMA REGRA DE TRÊS SIMPLES E DIRETA: 
 
Exemplo 1: Um trabalhador cujo salário era de R$ 2 000,00, recebeu um aumento de 5%. Quanto passou 
a ser o seu novo salário? 
 Este problema pode ser resolvido por regra de três de dois modos: 
 
 
 
1ª). 2000 100% 
 x 5% x = 
100
5.2000
 x = 100,00 
 Salário= 2 000,00 + 100,00 = 2 100,00 
2ª) 2 000 100% 
 x 105% x = 
100
105.2000
 
 x = 2 100,00 
 Salário: 2 100,00 
 
Exemplo 2: Ao comprar um automóvel por R$ 15 000,00, obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a 
taxa de desconto? 
 15 000 100% 
 1800 x x = 
15000
1800.100
 x = 12% 
 Taxa de desconto: 12% 
 
Exemplo 3: Uma taxa de 13% é aplicado num determinado capital, produzindo um valor porcentual de 
5200,00. De quanto era o capital? 
 
 13% 5 200 
 100% x x = 
13
5200.100
 x = 40.000 
 Capital: R$ 40 000,00 
 
3º) Taxa percentual: 
 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 21 
 
21 
Exemplo 1: Suponhamos que um aluno tenha acertado em um exame, 9 das 15 questões 
apresentadas. Qual a taxa percentual de acerto ? 
 
 
 
 
 
 
 
Esse numeral, 60%, é denominado taxa percentual. 
 
Exemplo 2: : escreva a razão em forma de taxa percentual. 
 
Podemos resolver esta questão utilizando uma proporção (regra de três). Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a propriedade fundamental teremos: 
 
4 . x = 3 . 100 
 
Isolando o 1º membro da incógnita x.  x = 3 . 100 / 4 
 
 
Logo, o valor da taxa percentual é 75. 
A taxa percentual procurada é igual a 75%. 
 
ou pode ser resolvido através da forma unitária: 
 
3/4 = 0,75 x 100 = 75% 
 
ELEMENTOS DO CÁLCULO PORCENTUAL: 
 
Uma proporção onde o último conseqüente seja o número 100 pode ser representada da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
 
 
9 3 
--- = --- = 0,6 = 0,60 x 100 = 60% 
15 5 
 
3 
4 
3 x 
--- = --- 
4 100 
 3 . 100 300 
x = ----------. x = ------- x = 75 
 4 4 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 22 
 
22 
Desta maneira, chamamos o a de porcentagem, o b de principal (que representa o total envolvido) e o c 
de taxa percentual. Temos então que: 
 
 
 
 
 
 
Daí, obtemos as seguintes definições: 
 
 
 TAXA É O VALOR FIXO QUE REPRESENTA A QUANTIDADE DE UNIDADES TOMADAS DE CADA CEM. 
 
 PORCENTAGEM É O VALOR NUMÉRICO QUE REPRESENTA A QUANTIDADE TOMADA DE OUTRA ( 
O PRINCIPAL), PROPORCIONALMENTE A UMA TAXA. 
 
 PRINCIPAL É O VALOR NUMÉRICO DO QUAL SE CALCULA A PERCENTAGEM. REPRESENTA O TOTAL 
SOBRE O QUAL SERÁ CALCULADO O VALOR DA PERCENTAGEM. 
 
 
“Empregam-se, no uso cotidiano, termos como “desconto”, “comissão”, “multa”, “parte”, “quota”, 
“abatimento”, prejuízo”, “ lucro”, etc em lugar de porcentagem. 
 
Concluímos também que a resolução por regra de três permite chegarmos a seguinte fórmula 
resolutiva: 
 
 Porcentagem (p) = 
100
)(.Pr)( itaxaincipalP
 p = 
100
.iP
 , onde P =
i
p.100
 e i = 
P
p.100
 
 
É mais prático usarmos a taxa unitária: 25% = 25/100 = 0,25 
 
 
ATIVIDADES: 
 
1.Calcular: 
 
a) 20 % de 32 b) 3,5% de R$ 4 500 c) 4% de 550 
 
2.Qual a taxa unitária de 20%? 
 
3.Qual a taxa porcentual correspondente a 0,05? 
 
4.Qual é o número principal em que 20 representa 3%? 
 
5.Qual o número principal em que 800 representa 3/5%? 
a c 
--- = --- 
b 100 
Porcentagem taxa 
----------------- = ------ 
 Principal 100 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 23 
 
23 
 
6. Qual a porcentagem em que 2 representa em 40? 
 
7.Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com um lucro de 15% . Quanto ganhou? 
 
8.Em um escola, as 1120 alunas representam 56% do total de alunos. Qual é esse total? 
 
9. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantos serão aprovados num concurso público 
com 6 500 inscritos? 
 
10.Walter pediu aumento salarial na empresa em que trabalha, alegando que um simples reajuste (que 
naquele dissídio seria 7,5% ) não cobriria suas reais necessidades. Na ocasião, seu salário era de 
R$ 2 850,00 e sua proposta foi uma correção de 9 %. No final do mês, ele recebeu R$ 3 092, 25. 
Calculando qual o índice de correção aplicado pela empresa, respondase o pedido foi atendido. 
 
11.Um comerciante comprou um automóvel de R$ 84 000,00 com desconto de 2%. Em seguida, vendeu o 
automóvel por um valor 3% acima desse preço(valor inicial do automóvel). Qual foi a taxa de lucro total, 
desde a venda até a compra, usada pelo comerciante? 
 
12.Dois postos de abastecimento misturam água ao álcool que vendem. No primeiro deles foram 
encontrados 7,5 l de água em 300 l de álcool e, no segundo, 13,5 l de água em 500 l de álcool. Quanto por 
cento o álcool de um posto é mas aguado que o do outro/ 
 
13.Do que eu recebo, 30% vão para a poupança, 20% para o aluguel e 35% para a alimentação, restando-
me apenas R$ 450,00. Qual é o meu salário? 
 
14.Numa cidade, 45% da população é composta por homens. Qual a população total dessa cidade se nela 
residem 60 500 mulheres? 
 
15.Uma certa quantia y tornou-se 2y após 1 ano e 3y após 2 anos. Com relação a quantia inicial, calcule a 
taxa aplicada no primeiro e no segundo ano. 
 
16.Que taxa devemos utilizar para transformar uma quantia x em 3x? 
 
17.Um vendedor ganha 3% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo recebido R$ 300,00 de 
comissões, qual o total vendido por ele? 
 
18.Comprei uma casa cujo preço era R$ 200 000,00. Tendo gasto 5% desse valor em impostos e 3% de 
comissão para o corretor, quanto efetivamente tive que desembolsar? 
 
19.Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60% são moças e 40% são rapazes. Em um determinado dia, 
compareceram às aulas 75% das moças e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram às aulas nesse dia? Qual 
a porcentagem (taxa) que compareceu às aulas nesse dia? 
 
20.Ao comprar uma automóvel por R$ 15 000,00 obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a taxa de 
desconto? 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 24 
 
24 
5.1 OPERAÇÕES COMERCIAIS QUE UTILIZAM PORCENTAGENS: 
 
 Chamamos de operações comerciais as operações de compra, venda, permuta, etc. de 
mercadorias, feitas com o objetivo de obter lucro, sendo o lucro a diferença entre o preço de venda e o 
preço de custo. 
Em situações diversas, envolvendo operações comerciais, é comum ouvirmos: “Vendi uma 
mercadoria com 15% de lucro”. “Vendi uma mercadoria com 25% de prejuízo.” Frases como estas, muitas 
vezes, são motivo de dúvidas: 30% de prejuízo sobre o que? 
 A venda de mercadorias pode oferecer lucro ou prejuízo e estes podem ser “sobre o preço de 
custo” ou “sobre o preço de venda”. 
 
VENDAS COM LUCRO: 
 
- Sobre o preço de custo (ou sobre a compra): 
 
 
Fórmula para resolver questões: 
 
PV=PC+L 
 
Temos: 
PV=Preço de venda 
L=Lucro 
PC= Preço de compra(custo) 
 
Pode-se substituir o L por ( i x PC ) 
 
Portanto: PV = (1 + i).PC 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
Ou 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4 000,00, a fim de obter um 
lucro de 20% sobre a compra . 
Preço de venda = ( 1 + taxa unitária do lucro sobre a compra) . preço de compra 
 PV = (1 + i)PC 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 25 
 
25 
PC=4.000 
L=20% PC 
PV=? 
 
PV=(1+0,20).4000 
PV=1,2x4000 
PV=4.800,00 
 
 
Exemplo 2: Jussara vendeu seu notebook por R$ 2.600,00 com lucro de 30% sobre o custo. Quanto 
custou esse notebook? 
 
PV = 2.600,00 
L = 30% sobre PC 
PC=? 
 
PV=PC+L 
2600=PC+30%PC 
2600 = PC(1+30%) 
2600=PC.(1+0,30) 
PC=2.000,00 
 
 
 
 
 
 
- Sobre o preço de venda: 
 
Temos a fórmula geral: PV=PC+L 
 
Onde PV= PC+i.PV 
 PV-i.PV=PC 
 PV(1-i/100)=PC 
 PV=PC/1-i 
 
 Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Preço de custo 
 Preço de venda = 
 1 – taxa unitária do lucro sobre a venda 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 26 
 
26 
Exemplo 1: Tainara comprou uma máquina fotográfica por R$ 400,00. Se deseja ganhar 20% sobre 
o preço de venda, por quanto deve vendê-la? 
PC=400 
L=20%PV 
PV=? 
 
PV=400/1-0,2 
PV=500,00 
 
Exemplo 2: Calcular por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4 000,00 para ganhar 
20% sobre o preço de venda. 
 
PC=4.000 
L=20%PV 
PV=? 
 
PV=PC/1-i 
PV=4.000/1-0,20 
PV=5.000 
 
- Sobre o preço de venda ou preço de compra: 
 
Exemplo 1: Camila vendeu uma caneta por R 15,00 com lucro de 25%. Quanto custou? 
 
OBS: quando não for mencionado se o lucro foi sobre o custo ou sobre a venda, considera-se sobre 
o custo. 
 
PV= 15 
L=25%PC 
PC=? 
 
 PV=(1+i).PC 
 15=(1+0,25).PC 
 PC=12,00 
 
 
VENDAS COM PREJUÍZO: 
 
- Sobre o preço de custo (ou sobre a compra): 
 
PV=(1-i)PC 
 
Exemplo1 : Paulo vendeu sua moto por 8.000, tendo um prejuízo de 20% sobre o custo. Quanto 
custou essa moto? 
 
PV=8.000 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 27 
 
27 
P=20%PC 
PC=? 
 
PV=(1-i)PC 
8000=(1-0,20).PC 
8000=0,8PC 
PC=10.000 
 
Exemplo 2: Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que 
esse objeto custou R$ 300,00, qual foi o preço de venda? 
 
Como preço de venda = preço de custo – prejuízo, consideramos o preço de venda como 60% e o 
preço de custo 100%. 
 
Por regra de três temos: 
300 100% 
 x 60% x = 300 . 60 : 100 ou 0,60 . 300 = 180,00 
 
 
Então: 
 
 
 
 
Ou 
 
 
 
Onde, V = preço de venda 
 i = taxa unitária de prejuízo 
 C = preço de compra 
- Sobre o preço de venda: 
 
Temos a seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou 
 
 
 
 Preço de venda = ( 1 – taxa de prejuízo sobre a compra) . preço de compra 
V = ( 1 – i) C 
 Preço de custo 
Preço de venda = 
 1 + taxa unitária sobre a venda 
 PC 
PV =--------- 
 1 + i 
 
 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 28 
 
28 
 
 Exemplo 1:Camila comprou um mp3 por 150,00 e o vendeu com prejuízo de 25% sobre o preço de 
venda. Por quanto vendeu? 
 
PC=150,00 
P=25%PV 
PV=? 
 
PV=150/1+0,25 
PV=120,00 
 
 Exemplo: Calcular o preço de venda de uma casa que comprei por 300 000,00, tendo perdido 25% 
do preço de venda. 
 
Como o preço de custo = preço de venda + prejuízo, o preço de custo será de 125%, já que o 
prejuízo foi de 25%. A quantia desconhecida será 100%. 
 Por regra de três temos: 
 125% 300 000 
 100% x x = 300 000. 100 : 125 ou 300 000 : 1,25 = 240 000 
 
 
ATIVIDADES: 
 
1.Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o preço de 
venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00. 540 
 
 
 
2.Por quanto devo vender um carro que comprei por R$ 40 000,00 se desejo lucrar 5% sobre a compra? 
42.000 
 
3.Um comerciante comprou um objeto por R$ 480,00. Desejando ganhar 20% sobre o preço de venda, qual 
deve ser este último?600 
 
4.Uma mercadoria custou R$ 160,00. Pretendo vendê-la com 20% de lucro sobre o preço de venda. A que 
preço devo vendê-la? 200 
 
5.Calcular o prejuízo e o preço de venda de uma mercadoria que comprei por R$ 6 000,00, tendo uma perda 
de 30% sobre o preço de compra.4.200,00 e prejuízo de 1.800,00 
 
6.Calcular o prejuízo e o preço de venda de uma mercadoria que comprei por R$ 800,00, tendo perdido 
25% do preço de venda. 
 
7.Uma casa que custa R$ 96 000,00 foi vendida com um prejuízo de 20 % sobre o preço de venda. Calcule 
o preço de venda. 
 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 29 
 
29 
8. Um terreno foi vendido por R$ 50.600, dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda. Quanto havia 
custado? 
 
 
6 SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO ( JUROS ): 
 
 
 
SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO (JUROS): 
 
Nos dias de hoje as pessoas que têm algum dinheiro disponível, procura alguma maneira de 
emprega-lo de forma a obter mais dinheiro, seja na aquisição de bens, seja no mercado financeiro, ou, 
simplesmente, emprestando a terceiros. Para que essas operações financeiras sejam executadas 
são necessários cálculos adequados a cada situação. Iniciaremos fixando ou relembrando alguns conceitos 
básicos iniciais: 
 
CAPITAL: qualquer quantidade de dinheiro, queesteja disponível em certa data, para ser aplicado 
numa operação financeira. Também recebe o nome de valor atual ou valor presente. Indicaremos o 
capital inicial por PV ( Valor presente ) 
 
 JUROS: remuneração paga ao dono do capital como compensação pelo uso do dinheiro., ou seja, 
o custo do capital durante determinado período de tempo. Indicaremos os juros por j. 
 
 TAXA DE JUROS: unidade de medida de juros que corresponde à remuneração paga pelo uso do 
capital empregado num determinado período financeiro: ao dia, ao mês, ao bimestre, ao semestre, ao 
ano, etc. Pode apresentar-se na forma porcentual (3% ao m ) ou na forma unitária (0,03 ao m). 
Indicaremos a taxa por i. 
 Porcentual ex.: 12% == > esta é usada na HP 
 
Unitária ex.: 0,12 == > usada em cálculos manuais, acadêmicos. 
 
PRAZO: tempo que decorre desde o início até o final de uma operação financeira. O prazo é 
contado em períodos de tempo, sendo o menor deles o dia (dia, mês, bimestre, trimestre, ano...) 
Indicaremos o prazo por n 
 
MONTANTE: soma do valor presente (capital) aplicado e os juros que este rendeu num certo tempo 
a uma determinada taxa. Indicaremos o montante por FV (valor futuro). 
( FV = PV + j ) 
 
 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO: é a operação de adição dos juros ao capital 
 
Existem dois regimes de capitalização: o regime de capitalização simples e o regime de 
capitalização composta. 
 
O regime de capitalização simples ou juros simples consiste em somar os juros ao capital uma 
única vez, no final do período contratado. O cálculo é feito sempre sobre o capital inicial e o montante 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 30 
 
30 
será a soma do capital inicial com os juros, o que equivale a uma única capitalização. O saldo cresce em 
progressão aritmética. 
 
No regime de capitalização composta ou juros compostos os juros são capitalizados no final de 
cada período e o montante assim constituído passará a render juros durante o período seguinte. O saldo 
cresce em progressão geométrica. 
 
7 JUROS SIMPLES 
 
 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES (JUROS SIMPLES): 
 
 Os problemas envolvendo juros simples pode ser resolvidos por uma regra de três composta. 
 
Exemplo: Calcular o juro produzido por R$ 8 000,00, à taxa de 5% ao ano, durante 2 anos. 
 
Os 5% ao ano significam que em cada 100,00 ganhamos R$ 5,00 em 1 ano. 
 
Montando a regra de três composta temos: 
 Capital Juro Tempo 
 100 5 1 
 8 000 x 2 
 
 
x
5
 = 
8000
100
 . 
2
1
 
x
5
 = 
16000
100
 
 
100x = 80 000 x = 800,00 
O juro produzido é de R$ 800,00 
 
Substituindo, temos: 
 100 i 1 
 PV j n 
 
j
i
 = 
PV
100
 . 
n
1
 
j
i
 = 
nPV .
100
 j = 
100
.. niPV
 
 
Usando taxa unitária temos: 
 
 
 
 
Daí, podemos deduzir: 
 
 
 
 
 
 J = PV . i . n 
 
 j 
PV = 
 I . n 
 
 j 
 i = 
 PV . n 
 
 j 
 n = 
 PV . i 
 
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31 
 
 
IMPORTANTE: i e n devem ter as mesmas unidades. Por exemplo: se temos uma taxa diária, n deve ser 
calculado em dias; se a taxa for mensal, n deve ser calculado em meses, etc. 
 
 
Montante: 
 Há problemas em que é necessário trabalhar com a soma do capital mais os juros. O resultado 
dessa soma , como já vimos, recebe o nome de montante, ou seja: 
 
 
 
 
Como j = PV . i . n , podemos reescrever a expressão acima da seguinte maneira; 
FV = PV + PV . i . n 
 Colocando C em evidência, temos: 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES: 
 
1.Qual é o juro simples que um capital de R$ 30 000,00 produz, quando aplicado durante 5 meses, a uma 
taxa de 3,5% ao mês? (R$ 5 250,00)b 
 
2.Qual é o juro simples que um capital de R$ 2 500,00 rende quando aplicado durante um ano , à taxa 
mensal de 2%? (R$ 600,00) 
 
 
3.Um capital de R$ 10 000,00,investido a juros de 13% ao ano, foi sacado após três meses e dez dias, a 
contar da data inicial do investimento, Qual foi o juro? (R$ 361,11) 
 
4.Qual a taxa mensal de juros simples que deverá incidir sobre um capital de R$ 5 000,00 para que este, 
em quatro meses e meio, renda R$ 720,00? ( 3,2% ao mês) 
 
5.Que capital inicial rende R$ 2 000,00 em 50 dias, a uma taxa de 0,2% ao dia? (R$ 20 000,00) 
 
6.Calcular os juros simples que um capital de R$ 2 500,00 rende à taxa de 2,7 % ao m, quando aplicado de 
1º de fevereiro até 14 de maio. (R$ 229,50) 
 
7.Um banco anuncia que um investimento de R$ 9 523,80 rende em seis meses a quantia se R$ 1 047,62.De 
quanto será a taxa anual, calculada com base no ano comercial? ( R$ 22%) 
 
 FV= PV+ j 
FV = PV ( 1 + i . n) FV 
 PV = 
 1 + i . n 
 
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32 
8.Calcular em quanto tempo um capital de R$ 1 200,00 renderá R$ 144,00 de juros quando aplicado a uma 
taxa de 3% ao m. (4 meses) 
 
9.Calcular os juros de R$ 1 200,00, aplicados a uma taxa de 15% ao ano, durante três meses e dez dias. 
(R$ 50,00) 
 
10.Qual será o montante resultante de uma aplicação de R$ 29 800,00, à taxa de 1,2% ao m., durante 6 
meses? (R$ 31 945, 60) 
 
11.Coloquei uma certa quantia em um banco a 12% ao ano e retirei depois de 4 anos, R5 928,00. Quanto 
recebi de juros, sabendo que a aplicação foi feita à base de juros simples? ( C = R$ 627,03 e 
 j =R$ 300,97) 
 
12.Emprestei uma certa quantia a 12% ao ano e recebi R$ 3 230,00 depois de 2 anos e 4 meses. Quanto 
emprestei?(R$ 2 523,40) 
 
13.A que taxa anual um certo capital deve ser aplicado para que, num prazo de 2 anos, triplique de valor? 
(100%) 
 
14.Calcular o montante de uma aplicação a juros simples de um capital de R$ 250 000,00, à taxa mensal 
de 11 %, feita em 14 de março e resgatada em 3 de abril do mesmo ano. (R$ 268 325,00) 
 
ATIVIDADES DE REVISÃO: 
 
 1.Duas pessoas ganharam comissões sobre vendas, sendo que uma delas recebeu R$ 45,00 a mais que a 
outra. Qual a comissão de cada uma, sabendo que há entre elas uma razão de 4/9. (36,00 e 81,00) 
 
2. Os salários de João e José estão entre si assim como 7 está para 8. Calcule esses salários, sabendo que o 
triplo do salário de João menos o dobro do de José é R$ 5 000,00 (7 000,00 e 8 000,00) 
 
3.O lucro de uma determinada empresa foi dividido entre seus três sócios, na proporção de 3, 5 e 9. 
Sabendo que o segundo sócio recebeu R$ 40 000,00 a mais que o primeiro, qual foi o lucro total e quanto 
coube a cada sócio? (60 000, 100 000 e 180 000) 
 
 
4.Três trabalhadores receberam ao todo R$ 3 600,00. O primeiro trabalhou 10 dias à razão de 8 horas por 
dia; o segundo, 20 dias à razão de 6 horas por dia; e o terceiro, 25 dias à razão de 4 horas por dia. Quanto 
recebeu cada um? 
 
5.Três sócios sofreram um prejuízo de R$ 14 400.00. Os três entraram para a sociedade com o mesmo 
capital, ficando o primeiro durante 8 meses, o segundo 10 e o terceiro 12 meses. Qual foi o prejuízo de 
cada um? 
 
6.Uma empresa com dois sócios lucrou R$ 6 400,00. O primeiro sócio empregou R$ 1000,00 durante 1 ano 
e 4 meses: e o segundo, R$ 2 000,00 durante 8 meses. Quanto recebeu cada sócio? ( 3 200,00) 
 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 33 
 
33 
7.Seis digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, de mesma capacidade, 
prepararão 800 páginas? 
 
8.Trabalhando 8 horas por dia, os 2 500 operários de uma indústria automobilística produzem 500 veículos 
em 30 dias. Quantos dias serão necessários para que 1 200 operários produzam 450 veículos trabalhando 
10 horas por dia? ( 45 dias) 
 
9.Uma prova de Matemática,com índice de dificuldade avaliado pelo professor em 20, teve a média de 8 
em uma classe. Qual seria a média da mesma classe se o índice de dificuldade fosse elevado para 25? 
 
10 Em três dias foram construídos 3/10 do comprimento de um muro. Supondo que o trabalho continue a 
ser feito no mesmoritmo, quantos dias terão sido utilizados na construção total do muro? 
 
11.Qual é o principal que à taxa de 20% resulta numa porcentagem de 36? 
 
12.Qual é a taxa que, aplicada num capital de R$ 720 000,00, resulta numa porcentagem de R$ 21 600,00? 
 
13.Uma mercadoria que custava R$ 2 500,00 teve um aumento, passando a custar R$ 2 700,00. Qual foi a 
taxa de aumento sobre o custo? Qual foi taxa de aumento sobre a venda? 
 
14.Uma fatura sofreu abatimento de 13%, resultando num valor líquido de R$ 4 350,00. Qual era o valor 
inicial da fatura? 
 
15.Sobre uma fatura de R$ 100 000,00 são feitos descontos sucessivos de 10%, mais 6% e mais 3%. Qual é 
o valor líquido da fatura? 
 
16.Calcule o prejuízo de um comerciante que vendeu suas mercadorias por R$ 36 394,40, perdendo nessa 
transação a quantia equivalente a 3% sobre o preço de custo? 
 
17.Calcule o juro produzido por R$ 500, 00, à taxa de 64,8% ao ano, durante 45 dias? 
 
18.Depositei certa quantia num banco e recebi o montante de R$ 6 400,00 ao fim de 40 dias. Se a aplicação 
foi feita à taxa de 6% ao ano, quanto recebi de juros? 
 
19.Determine a que taxa mensal esteve aplicado um capital de R$ 48 000,00 que, em 3 meses e 20 dias, 
rendeu R$ 440,00 de juros 
 
 
20.Calcule o montante do capital de R$ 75 000,00, colocado a juros simples, à taxa de 2 ¾ % ao mês, no 
fim de 6 meses. 
 
21.Um empréstimo foi feito em 3 de março, com prazo de pagamento para 30 dias. Tendo em vista o 
critério do prazo exato, qual é a data de vencimento dessa operação? E se fosse prazo comercial? 
 
22.Que quantia devo colocar a 3% ao ano para no mesmo prazo ter os mesmos juros que R$ 15 000,00 a 
4% ao ano?(R$ 20 000,00) 
 
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34 
 
23.A que taxa simples deve ser aplicado um capital para que no final de 10 meses produza um rendimento 
igual a 3/5 de si próprio? (6% ao m) 
 
24. A pessoa A comprou um apartamento por R$ 50 000,00 e alugou-o a R$ 700,00 mensais. A pessoa B 
comprou um apartamento por R$ 85 000,00 e alugou-o a R$ 1 105,00 mensais. Qual das duas pessoas está 
fazendo o melhor negócio? (A pessoa A) 
 
25.O capital de R$ 50 000,00 ficou aplicado durante seis meses e rendeu R$ 3 000,00 de juros. A que taxa 
esteve empregado? (6% ao semestre) 
 
26.Um investimento de R$ 8 000,00 foi aplicado a uma taxa mensal de 3,2% durante 3 meses. Qual o 
montante 
a) se for juros simples? 
b) se for juros compostos? 
 
 
8 DESCONTO SIMPLES: 
 
 
Nos juros simples sempre incorporamos juros, no desconto simples nós tiramos o juros. Esse desconto é 
trazer para o valor presente um pagamento futuro. 
Diferenças dos juros simples para o desconto: 
 O CAPITAL em juros simples é o Valor Atual ou Valor Líquido, no desconto simples . 
O MONTANTE em juros simples é o Valor Nominal ou Valor de Face ou Valor Futuro, no desconto simples. 
Tipos de Descontos: 
Desconto Comercial Simples, Bancário ou desconto por fora. 
- Mais utilizado 
- O desconto é calculado sobre o valor nominal do título (valor de face, valor futuro, antigo Montante nos 
juros simples). 
Fórmulas: 
D = VN . i . 
 
VA = VN ( 1 - i . 
 
 
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35 
 D 
i = ------------------ 
 (VN . n ) 
 
 
 D 
n = ------------------- 
 (VN . i ) 
 
LEMBRE-SE QUE O DESCONTO É: D = VALOR NOMINAL – VALOR ATUAL 
Onde: D=desconto 
 VN=valor nominal 
 i = taxa de desconto 
 n = prazo, período 
 VA= Valor atual 
 
Exercícios: 
1) Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o desconto comercial simples a 
ser concedido e o valor atual do título resgatado 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa 
de desconto de 5% ao mês. 
 
D=N.i.n 
D = 10.000x0,05x3 
D = 1.500,00 
Valor atual: 
VA = 10.000-1.500 = 8.500,00 
 
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36 
2) O valor nominal de uma duplicata a ser descontada à taxa de 2,5% a.m, é R$700,00. Calcule o valor 
atual da duplicata, se for descontada em: 
 
a) 12 dias antes do vencimento 
 
b) 53 dias antes do vencimento 
 
a) Assim, temos: D = 700 x 0,025 x 12/30 = 7,00. Se o valor descontado pelo Banco foi de 7,00, 
temos que A = N – D = 700 – 7 = 693,00. 
Ou 
Assim, temos: D = 700 x 0,0008333 x 12 = 7,00. Se o valor descontado pelo Banco foi de 7,00, 
temos que A = N – D = 700 – 7 = 693,00. 
b) Considerando 53 dias: D = 700 x 0,025 x 53/30 = 30,92. Logo, A = 700 – 30,92 = 669,08. 
Ou 
 D = 700 x 0,0008333 x 53 = 30,92. Logo, A = 700 – 30,92 = 669,08. 
 
3) Um título no valor de $ 14.000,00 foi descontado num banco 3 meses antes do vencimento, a uma taxa 
de desconto comercial de 3,5% a.m.. 
a) calcule o desconto; 
b) calcule o valor líquido recebido pelo empresa. [Valor Atual – VA] 
 
 D = VN.i.n VA = VN - D 
Solução: D = 14000 x [(3,5/100) x 3] VA = VN - D 
VN: 14000 D = 14000 x [0,035 x 3] VA = 14000 - 1470 
i: 3,5% a.m. D = 14000 x 0,105 VA = 12.530,00 
n: 3 meses. D = 1.470,00 
 
 
 
 
4) Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal igual a $ 90.000,00, 40 dias antes do 
vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 30% a.a.. 
 
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37 
a) qual o desconto comercial; 
b) calcule o valor líquido recebido pela empresa. [Valor Atual – VA] 
 
 D = VN.i.n VA = VN - D 
Solução: D = 90000 x {[(30/100)/360] x 40} VA = VN - D 
VN: 90000 D = 90000 x {[0,30/360] x 40} VA = 90000 - 3000 
i: 30% a.a. D = 90000 x 0,000833333 x 40 VA = 87.000,00 
n: 40 dias. D = 90000 x 0,033333333 
 D = 3.000,00 
 
5) Uma duplicata de valor nominal igual a $8.000,00, foi descontada num banco dois meses antes do 
vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,50% a.m.. 
a) qual o desconto comercial; 
b) calcule o valor líquido recebido pelo empresa. [Valor Atual – VA] 
 
 D =VN.i.n VA = VN - D 
Solução: D = 8000 x [(2,50/100) x 2] VA = VN - D 
VN: 8000 D = 8000 x [0,025 x 2} VA = 8000 - 400 
i: 2,5% a.a. D = 8000 x 0,05 VA = 7.600,00 
n: 2 meses. D = 400,00 
 
6) Uma nota promissória de R$ 12.000,00 vai ser descontada a taxa de 3,6% ao mês, faltando 73 dias 
para o seu vencimento. Calcule: 
 
a) O valor do desconto comercial; 
b) O valor atual comercial; 
 
 
a) D = VN . i . n 
D = 12000 . 0,0012 . 73 D = 1051,2 
logo, o desconto comercial será de R$ 1.051,20 
b) VA = VN(1- i.n ) 
VA=12000 (1-0,0012 .73) 
VA=12000 (1 - 0,0876) 
VA =12000 . 0,9124 VA =10.948,80 
Logo, o valor atual comercial será R$ 10.948,80. 
 
 
 
Desconto Racional Simples ou desconto por dentro. 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 38 
 
38 
- O desconto é calculado sobre o valor atual do título (valor líquido ou presente) 
- Como o desconto racional é cobrado sobre o valor atual, este valor será sempre menor que o valor do 
desconto comercial, que é cobrado sobre o valor nominal de título. 
(Por dentro) - exclui o cálculo sobre os juros 
Fórmulas: 
 VN 
VA = --------------- calcula o valor atual 
 ( 1 + i . n ) 
 
 
 D = VA . i . n *** SE TIVER O VALOR ATUAL (VA) 
 
 VN . i . n 
D = ------------------ *** SE TIVER O VALOR NOMINAL (VN) 
 1 + i . n 
 
OBS: É importante ressaltar que, para o cálculo do desconto, “n” é o número de períodos antes do 
vencimento, ou seja, é o tempo que falta para vencer a dívida. 
 D 
i = ------------------- 
 (VA . n) 
 
 D 
n = ------------------ 
 (VA . i ) 
 
 
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Onde: D=desconto 
 VN=valor nominal 
 i = taxa de desconto 
 n = prazo, período 
 VA= Valor atual 
 
Exercícios: 
1) Uma dívida de $ 13.500,00, será saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional será 
obtido, se a taxa dejuros que reza no contrato é de 30% a.a.? 
 
VN: 13.500 n: 3 meses i: 30% a.a. D = ? 
 
 941,84 Dr 
1,075 
1012,50
Dr 
0,075 1 
0,075 x13500
Dr 
0,075 1 
0,075 x13500
Dr 
3] x[0,025 1 
3] x[0,025 x13500
Dr 
3] x[(0,30/12) 1 
3] x[(0,30/12) x13500
Dr 
 in1 
Nin
Dr 










 
$ 941,86 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dívida. 
 
2) Considere um título com valor nominal de R$ 1,000, com prazo de vencimento para daqui a 6 meses. 
Supondo uma taxa de desconto de 5% a.m., qual seria o valor atual racional simples? Qual o valor do 
desconto respectivo? 
Resolução: 
N = R$ 1.000 
n = 6 meses 
i = 5% a.m. 
Vars = ? 
VA = VN/1 + in = 1000/1 + 0,05 . 6 = 1000/1,3 
VA = 769,23 
D =VN – VA = 1.000 – 769,23 
D = 230,77 
3) Calcular o valor do desconto por dentro de um título de R$ 16.000,00 pago 3 meses antes do vencimento 
com uma taxa de 24% a.a. 
Resolvendo: 
Dados do problema 
 
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40 
VN = 16000 
i = 24% a.a. = 24/12= 2% = 0,02 
n = 3 meses 
D = VN . i . n/(1 + i.n) 
 
D = 16000 x 0,02 x 3 / (1 + 0,02.3) = 960/1,06 = 
O valor do desconto é de R$ 905,66 
 
5. Determinar o desconto racional em cada uma das hipóteses abaixo, adotando-se o ano comercial. 
 Valor Nominal Taxa de Juros Prazo de Antecipação 
a) $ 12.000,00 27,30% a.a. 7 meses 
b) $ 4.200,00 18,0% a.a. 120 dias 
c) $ 7.400,00 33,0% a.a. 34 dias 
d) $ 3.700,00 21,0% a.a. 5 meses e 20 dias 
 
Solução: 
a) VN: 12000 i: 27,3%a.a. n: 7 meses D = ? 
  
  
 
 
1.648,48 
 1,15925 
1911
 
0,15925 1
0,15925 x 12000
 
0,02275x7 1
0,02275x712000
 
x70,273/12 1
x70,273/1212000
 
x7/12
100
27,3
1
x7/12
100
27,3
12000
























































D D D D
 
in1
N.i.n
D
 
 
 
b) VN: 4200 i: 33%a.a. n: 120 dias = 4 meses D = ? 
  
  
 
 
237,74 
 1,06 
252
 
0,06 1
 0,06 x 4200
 
0,015x4 1
0,015x44200
 
x40,18/12 1
x40,18/124200
 
x4/12
100
18
1
x4/12
100
18
4200























































D D D 
 D 
in1
N.i.n
D
 
 
 
c) VN: 7400 i: 33%a.a. n: 34 dias D = ? 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 41 
 
41 
  
  
 
 
223,66 
 71,03116666 
230,63
 
70,03116666 1
 70,03116666 x 7400
 
7x340,00091666 1
7x340,000916667400
 
x340,33/360 1
x340,33/3607400
 
x34/360
100
33
1
x34/360
100
33
7400
























































D D D
 D 
in1
N.i.n
D
 
 
d) VN: 3700 i: 21%a.a. n: 5 m e 20 dias = [(5x30)+20] = 170 dias D = ? 
  
  
 
 
333,81 
 71,09916666 
366,92
 
70,09916666 1
 70,09916666 x 3700 
 
3x1700,00058333 1
3x1700,000583333700
 
x1700,21/360 1
x1700,21/3603700
 
x170/360
100
21
1
x170/360
100
21
3700
























































D D D
 D 
in1
N.i.n
D
 
9 JUROS COMPOSTOS 
 
 
DIFERENÇA ENTRE JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS 
 
 JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS 
MÊS Rendimento Montante Rendimento Montante 
1 1.000 x 0,2 = 200 1.200 1.000 x 0,2 = 200 1.200 
2 1.000 x 0,2 = 200 1.400 1.200 x 0,2 = 240 1.440 
3 1.000 x 0,2 = 200 1.600 1.440 x 0,2 = 288 1.728 
 
 
FÓRMULAS: 
 
M = C x (1 + i ) n Calcula o montante (principal + juros) 
 
J = M – C 
J = C (1 + i) n - C Calcula o juros 
J = C [(1 + i ) n - 1] 
 
 M 
C = ------------ Calcula o valor inicial (ou valor principal) 
 ( 1 + i )n 
 
 
 
 
 
 n M 
i = ------------------- ( - ) 1 calc. a taxa de juros do período (m/d/ano) 
 
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42 
 C 
 
 
 Log M/C 
n = ------------------ calc. O nº de períodos em questão 
 Log ( 1 + i ) 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Um capital de R$ 2.000,00, foi aplicado a uma taxa de 2% a.m. durante 8 meses. Calcular o montante. 
 
1º. Processo (com o uso da tabela) 
 
C = R$ 2.000,00 
i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 
n = 8 meses 
 
 
M = C (1 + i )^n 
M = 2.000 (1 + 0,02) ^8 
M = 2.000 (1,02)^8 
M = 2.000 x 1,17 
M = 2.343,32 
 
 
 
 
 
 
2)Calcular os juros compostos de um capital de R$6.000,00 aplicado por 5 meses, a uma taxa 6% a.a. 
 
 
J = ? 
C = R$ 6.000,00 
n = 5 meses 
i = 6%a.a.= 0,06 /12 = 0,05 % mês / 100 = 0,005 
 
J = C [(1 + i)n - 1] 
J = 6.000 [(1 + 0,005)^5 - 1] 
J = 6.000 [(1,005)^5 - 1] 
J = 6.000 [1,025 - 1] 
J = 6.000 � 0,025 
J = 151,50 
 
 
Matemática Comercial e Financeira – Prof. Alexandre Feiden Página 43 
 
43 
 
 
 
3) A aplicação de R$ 5.000,00 a taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o montante 
de: 
 
C = R$ 5.000,00 M = C (1 + i)^4 
M = ? M = 5000 (1 + 0,2)^4 
i = 20% a.m. = 0,2 a.m. M = 5000 (1,2)^4 
n = 4 meses M = 5000 . 2,07 
 M = 10.368,00 
 
 
4) Considerando um depósito de R$ 5.000,00 em um banco que lhe pague juros compostos de 6% a.a., 
calcule os juros e o montante após decorrido o prazo de 1 ano. 
 
 
C = R$ 5.000,00 M = C (1 + i)^n 
i = 6% a.a. M = 5000 (1 + 0,06)^1 
J = ? M = 5000 . 1,06 
M = ? M = 5300 
n = 1 ano J = C [(1 + i)^n - 1] 
 J = 5000 [(1 + 0,06)^1 - 1] 
 J = 5000 [1,06 - 1] 
 J = 5000 . 0,06 
 J = 300,00 
 
5) Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% a.a., gera um montante de R$ 14.000,00 
? 
 
n=6 anos 
i = 15% ano 
M= 14.000,00 
C = ? 
 
M = C x (1 + i ) n 
 
C = M / (1 + i )n 
 
C = 14.000 / (1 + 0,15)6 
 
C = 6.052,59 
 
 
 
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44 
6) 
 
 
7) A taxa de 5% a.m., em que prazo 5.000,00 rendem juros de R$ 1.700,48 ? 
 
C= 5.000 
J = 1.700,48 
I = 5% mês 
n = ? 
 
J = C [(1 + i ) n - 1] 
1700,48=5000[(1+0,05)n -1] 
1700,48/5000=(1,05)n -1 
0,340096+1=(1,05)n 
1,340096=(1,05)n 
Log 1,340096=log 1,05 x n 
Log 1,340096/ log 1,05 = n 
n = 0,127136/0,0211893 
n = 6 meses 
 
8) Paguei de juros um total R$ 2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a uma taxa de juro composto de 
1,4% a.m. Qual foi o capital tomado emprestado? 
J = 2.447,22 
n = 8 meses 
i = 1,4% mês 
 
C = M /(1 + )n 
Note que a variável M não consta no enunciado, mas ao invés disto temos a variável j, no entanto sabemos 
que o valor do montante é igual à soma do valor principal com o juro do período, então temos: 
 
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45 
 
Podemos então substituir M por C + j na expressão anterior: 
 
Vamos então novamente isolar a variávelC: 
 
C . (1+i)n = C + J 
C.(1 + i)n – C = J 
C.[(1+i)n – 1] = J 
C = J / (1 + i)n – 1 
C = 2447,22 / (1 + 0,014)8 -1 
C = 20.801,96 
 10 DESCONTO COMPOSTO 
 
 
Similar ao desconto simples, porém iremos troca a multiplicação da taxa pelo parzo, pela potenciação. 
 
Também há dois tipos de desconto composto, o comercial e o racional. A diferença entre eles é a mesma 
dos desconto comercial simples e racional simples. 
 
 
DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO 
 
*** POUCO UTILIZADO NO BRASIL *** 
 
FÓRMULA: 
 
VA = VN ( 1 - i )n 
D = VN – VA desconto 
VA = VALOR ATUAL 
VN = VALOR NOMINAL 
D = DESCONTO 
 
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46 
n = PRAZO 
i = TAXA DE DESCONTO 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1) Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o desconto comercial composto a ser 
concedido e o valor atual de um título resgatado 2 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de 
desconto de 10% ao mês. 
 
VN = 10000 
n = 2 meses 
i = 10% mês 
D= ? 
VA= ? 
 
VA = VN ( 1 - i )n 
VA=10000(1 + 0,10)2 
VA = 8.100,00 
 
D = VN – VA 
D=10000 – 8100 
D = 1.900,00 
 
 
 
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO 
 
***MAIS UTILIZADO , CONHECIDO COMO DESCONTO VERDADEIRO 
 
FÓRMULAS: 
 
 VN 
VA = --------------- calcula o valor atual 
 ( 1 + i )n 
 VN 
D = VN - ------------------ calcula o desconto *** SE TIVER O VALOR NOMINAL (VN) 
 (1 + i)n 
 
 
 
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47 
Exercícios: 
 
1) Determinar o desconto racional composto de um título de R$ 6.000,00 vencível em 2 anos, a taxa de 
2% a.a. 
 
VN = 6000 
n = 2 anos 
i = 2% ano 
 
 VN 
D = VN - ------------------ 
 (1 + i)n 
 
D = 6000 - 6000 / (1+0,02)2 
D= 6000 – 6000/1,0404 
D= 232,99 
 
 
2) Calcule o valor atual de um título de crédito de R$ 1.200,00 quitado 2 meses antes de seu vencimento, 
a taxa de desconto composto de 1,5% a.m. 
 
VN = 1.200 
n = 2 meses 
i = 1,5% mês 
VA= ? 
 
 
 VN 
VA = --------------- calcula o valor atual 
 ( 1 + i )n 
 
VA = 1200 / (1 + 0,015)2 
VA = 1200 / 1,030225 
VA = 1.164,79 
 
3) Desconto racional composto de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.200,00 foi de R$ 200,00. 
Sabendo que a taxa de desconto foi de 1,5% a.m., qual foi o prazo de antecipação do pagamento? 
 
 
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VN = 1200 
D= 200 
i = 1,5% mês 
n=? 
 
 VN 
D = VN - ------------------ 
 (1 + i)n 
 
200 = 1200 - 1200 / (1+0,015)n 
-1000= -1200/(1,015)n 
10.(1,015)n= 12 
(1,015)n=12/10 
n. log 1,015=log 1,2 
n= log1,015/log1,2 
n= 0,0792/0,0065 
n= 12,18 meses 
 
 
4) Uma loja resgata um título no valor de R$ 3.000,00 pelo valor atual de R$ 2.400,00. Como o tempo de 
antecipação foi de 7 meses, qual é a taxa de desconto? 
 
VN= 3000 
VA = 2400 
n= 7 meses 
i=? 
 
 
 VN 
VA = --------------- 
 ( 1 + i )n 
2400=3000/(1+i)7 
2400.(1+i)7=3000 
(1+i)7=3000/2400 
7√(1+i)7=7√1,25 
1+i=1,251/7 
1+i=1,250,14 
1+i=1,0317 
i=1,0317-1 
i=0,0317 
i=3,17% ao mês