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São Carlos, v.7 n. 27 2005 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
Reitor: 
Prof. Titular ADOLFO JOSÉ MELFI 
 
Vice-Reitor: 
Prof. Titular HÉLIO NOGUEIRA DA CRUZ 
 
 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
 
Diretor: 
Prof. Titular FRANCISCO ANTONIO ROCCO LAHR 
 
Vice-Diretor: 
Prof. Titular RUY ALBERTO CORREA ALTAFIM 
 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS 
 
Chefe do Departamento: 
Prof. Titular CARLITO CALIL JUNIOR 
 
Suplente do Chefe do Departamento: 
Prof. Titular SÉRGIO PERSIVAL BARONCINI PROENÇA 
 
Coordenador de Pós-Graduação: 
Prof. Associado MÁRCIO ROBERTO SILVA CORRÊA 
 
Coordenadora de Publicações e Material Bibliográfico: 
MARIA NADIR MINATEL 
e-mail: minatel@sc.usp.br 
 
Editoração e Diagramação: 
FRANCISCO CARLOS GUETE DE BRITO 
MASAKI KAWABATA NETO 
MELINA BENATTI OSTINI 
TATIANE MALVESTIO SILVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Carlos, v.7 n. 27 2005 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Engenharia de Estruturas 
Escola de Engenharia de São Carlos – USP 
Av. Trabalhador Sãocarlense, 400 – Centro 
CEP: 13566-590 – São Carlos – SP 
Fone: (16) 3373-9481 Fax: (16) 3373-9482 
site: http://www.set.eesc.usp.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SSUUMMÁÁRRIIOO 
 
 
 
Análise da resposta numérica de ligações parafusadas tracionadas de 
elementos de aço formados a frio 
Pedro Gonçalves de Rezende & Jorge Munaiar Neto 1 
 
Análise do projeto de estruturas metálicas espaciais: ênfase em coberturas 
Arnaldo Nascimento de Souza & Maximiliano Malite 27 
 
Pilares de concreto armado sob ação centrada com resistência do concreto de 
25MPa 
Ricardo Ferreira Ramos & José Samuel Giongo 59 
 
A interação de paredes de alvenaria estrutural submetidas a ações verticais 
Valentim Capuzzo Neto & Márcio Roberto Silva Corrêa 93 
 
Integração da equação de movimento através da transformada de Fourier com 
o uso de ponderadores de ordem elevada 
Arnaldo Carlos Müller Júnior & José Elias Laier 121 
 
 
ISSN 1809-5860 
 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 27, p. 1-25, 2005 
ANÁLISE DA RESPOSTA NUMÉRICA DE LIGAÇÕES 
PARAFUSADAS TRACIONADAS DE ELEMENTOS 
DE AÇO FORMADOS A FRIO 
Pedro Gonçalves de Rezende1 & Jorge Munaiar Neto2 
 
R e s u m o 
A utilização de perfis de aço formados a frio na construção metálica brasileira vem 
crescendo de forma significativa. Dentro deste mesmo contexto, atenções especiais 
estão sendo direcionadas às ligações utilizadas neste tipo de perfil, pelo fato de as 
chapas que os constituem resultarem cada vez mais esbeltas em função da significativa 
redução na sua espessura (elevada relação largura/espessura). Por esta razão, as 
ligações em perfis formados a frio têm sido estudadas por pesquisadores, tanto no 
contexto mundial como no Brasil. Neste sentido, o presente trabalho tem por objetivo 
realizar estudos relacionados às ligações parafusadas em chapas e perfis formados a 
frio feitos de aço, com vistas a avaliar a resistência e o comportamento destas ligações 
por meio de modelagem numérica, simulando o comportamento estrutural com a 
utilização do código de cálculo ANSYS v.6.0, elaborado com base nos Métodos dos 
Elementos Finitos (MEF). No sentido de avaliar a eficiência e a confiabilidade dos 
modelos elaborados, os resultados numéricos obtidos são comparados com resultados 
experimentais obtidos por meio de ensaios, bem como comparados com resultados 
obtidos por outros pesquisadores. 
 
Palavras-chave: perfis de aço formados a frio; ligações parafusadas; análise numérica. 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 Os perfis de aço formados a frio constituem um tema de grande importância 
no contexto da construção metálica brasileira. A crescente aplicação destes 
elementos nas estruturas e demais componentes, bem como a necessidade e 
importância de publicações e pesquisas no país, compatíveis com o material e os 
perfis aqui empregados, fazem com que este tema seja objeto de interesse e estudos 
nos contextos brasileiro e mundial. 
 Estes perfis são obtidos pelo dobramento a frio de chapas de aço, cujas 
operações de conformação podem ser realizadas por três processos distintos, 
denominados usualmente por dobramento ou prensagem, calandragem e perfilagem, 
 
1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, pg_rezende@yahoo.com.br. 
2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, jmunaiar@sc.usp.br 
 
Pedro Gonçalves de Rezende & Jorge Munaiar Neto 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 27, p. 1-25, 2005 
2 
todos realizados por máquinas do tipo prensas dobradeiras, calandras e perfiladeiras, 
respectivamente. 
 A utilização dos perfis formados a frio na construção metálica teve início por 
volta de 1850, na Inglaterra e nos Estados Unidos, porém, utilizados de maneira 
restrita e sem informações técnicas adequadas sobre seu comportamento estrutural. 
No Brasil, o emprego dos perfis formados a frio se iniciou praticamente no final da 
década de 60, quando algumas empresas adquiriram equipamentos específicos para 
a realização de operações de dobramentos a frio, conforme mencionado em MALITE 
(1993). 
 Os perfis formados a frio proporcionam vantagens, tais como maior 
disponibilidade no mercado para pequenas e elevadas quantidades, e maior 
possibilidade de otimização de perfis nos projetos. Esta otimização ocorre 
principalmente em razão de os perfis formados a frio, em geral, apresentarem maior 
relação inércia/peso quando comparados aos perfis laminados e soldados, tendo 
como conseqüência imediata um menor consumo de material. 
 Pelas razões mencionadas anteriormente, ocorreu uma forte demanda 
induzida de empresas de portes pequeno e médio, do interior do Estado de São 
Paulo, que passaram a consumir em larga escala os perfis formados a frio nas 
chamadas “estruturas leves”, em substituição aos clássicos perfis laminados. 
 Uma vez identificado, naquela época, o aumento na demanda dos perfis 
formados a frio e a inexistência de material técnico adequado para o projeto, 
entendeu-se como necessário elaborar uma norma brasileira para projeto de 
estruturas de aço em perfis formados a frio. Nesta norma, os coeficientes de 
ponderação das ações e das resistências, além da nomenclatura e simbologia, 
estariam calibrados e ajustados com outras normas brasileiras. 
 As ligações parafusadas sempre representaram (e ainda representam) um 
tema bastante difundido no Brasil quando se tratava de estruturas constituídas por 
perfis laminados e soldados, porém, pouco abordado no caso de estruturas 
constituídas por perfis formados a frio. Este aspecto deveu-se ao fato de a NB-
143:1967 (Cálculo de Estruturas de Aço, Constituídas por Perfis Leves), ter, naquela 
época, omitido em suas prescrições o item “ligações”. Neste caso, as ligações eram 
calculadas com base em normas estrangeiras. 
 Com a publicação da NBR 14762:2001,(Dimensionamento de estruturas de 
aço constituídas por perfis formados a frio) o tema ligações passou a ser abordado 
com maior freqüência. Porém, como ocorre com a primeira edição de qualquer 
documento normativo, existem algumas dúvidas com relação ao comportamento e 
procedimentos de cálculo destas ligações adotados pela norma brasileira. 
 Acredita-se, portanto, que sejam necessárias pesquisas complementares 
àquelas já realizadas, ou mesmo àquelas em desenvolvimento, abordando o assunto 
ligações em perfis formados a frio, em especial, no que se refere à utilização de 
ferramentas computacionais para a análise numérica, uma vez que análises 
experimentais são, em geral, realizadas com maior freqüência. 
 Como exemplos de estudos experimentais,podem ser citados os resultados 
obtidos e apresentados em MAIOLA (2004) em que foram largamente estudadas 
ligações parafusadas em chapas finas e em perfis formados a frio feitos de aço, com 
ênfase na ruptura por tração da seção líquida. Nessa referência, são apresentados e 
discutidos resultados de investigações experimentais de ligações parafusadas em 
perfis de aço formados a frio, cantoneiras e perfis U, com espessuras de 1,5 mm e 
Análise da resposta numérica de ligações parafusadas tracionadas de elementos de aço... 
 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 27, p. 1-25, 2005 
3 
3,75 mm, com o objetivo de avaliar o comportamento estrutural destas ligações, bem 
como os correspondentes modos de falha. 
 O comportamento das ligações entre perfis formados a frio pode apresentar 
diferenças significativas quando comparados ao comportamento de ligações entre 
perfis laminados ou soldados. Esta diferença de comportamento se deve ao fato de as 
espessuras dos elementos envolvidos variarem de 0,4 mm a 6,3 mm para os perfis 
formados a frio, e de 6,3 mm a 50 mm para os perfis laminados e soldados. 
 A ligação parafusada deve ser capaz de transmitir a força de um elemento 
para o outro, por meio dos parafusos. Em seções transversais da barra afastadas da 
ligação, a tensão, por simplificação, pode ser assumida com distribuição uniforme. Por 
outro lado, nas proximidades da região da ligação, a distribuição uniforme de tensões 
perde significado e passa a ser considerada como concentrada ou “estrangulada”. 
 Como conseqüência, a seção transversal de um perfil no entorno da ligação 
não é solicitada na sua totalidade quando não conectada por todos os seus 
elementos, o que favorece, neste caso, a ruptura da seção líquida. Este fato 
proporciona uma redução da resistência das barras submetidas à tração que, por sua 
vez, implica na diminuição da resistência das respectivas ligações. Este fenômeno é 
considerado pelas normas, por meio da aplicação de um coeficiente de redução da 
área bruta da seção na região da ligação, obtendo-se desta maneira uma área líquida 
reduzida (ou efetiva). 
 O presente trabalho tem por objetivo analisar numericamente o 
comportamento estrutural de ligações parafusadas em perfis formados a frio, com 
vistas a se estabelecer uma abordagem numérica, confiável e satisfatória, destas 
ligações, realizando simulações numéricas em microcomputadores por meio da 
utilização do código de cálculo ANSYS v. 6.0. 
 Os resultados da análise numérica serão comparados com resultados 
experimentais apresentados em MAIOLA (2004), cujos ensaios foram realizados no 
Laboratório de Estruturas do Departamento de Engenharia de Estruturas, da Escola 
de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. 
 É importante destacar que os modelos numéricos, desde que devidamente 
calibrados, constituem uma ferramenta de grande interesse em pesquisas, pois 
permitem obter resultados bastante satisfatórios em tempo reduzido, sem que exija a 
necessidade de gastos com materiais, bem como a mobilização de pessoal 
especializado (técnicos), entre outros aspectos. 
 
2 CONSTRUÇÃO DOS MODELOS NUMÉRICOS 
 A modelagem numérica de um sistema físico qualquer consiste em simular 
este sistema por meio de uma aproximação matemática, utilizando-se um conjunto de 
elementos finitos inter-relacionados, que represente de maneira satisfatória o sistema 
analisado. 
 Quando se trata de modelagem numérica de estruturas metálicas e, 
principalmente de estruturas constituídas por perfis formados a frio, é comum realizar 
análises em campo bidimensional, por meio de elementos finitos do tipo casca (Shell) 
para representar os perfis. Trata-se de uma estratégia numérica que, geralmente, 
conduz a bons resultados, além do fato de reduzir consideravelmente o número de 
Pedro Gonçalves de Rezende & Jorge Munaiar Neto 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 27, p. 1-25, 2005 
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elementos finitos utilizados na discretização dos modelos e, conseqüentemente, o 
tempo de processamento. No entanto, em algumas situações, como por exemplo, no 
caso de ligações parafusadas, a adoção de algumas condições de contorno (por 
exemplo, na região dos parafusos) pode comprometer os resultados das análises. 
 No presente trabalho foram construídos e analisados três modelos numéricos 
de ligações parafusadas em perfis formados a frio. Estes modelos foram elaborados 
de acordo com os modelos experimentais apresentados em MAIOLA (2004), razão 
pela qual foram adotadas para os modelos numéricos a mesma nomenclatura dos 
modelos experimentais ensaiados. 
 O primeiro modelo experimental escolhido para análise consiste de uma 
ligação parafusada em chapa fina, composta por aço CSN COR 420 com 2,0 mm de 
espessura. A mesma ligação apresenta dois furos de 14,5 mm de diâmetro na direção 
perpendicular à linha da força, com espaçamentos entre esses mesmos furos 
respeitando as distâncias mínimas estabelecidas pela NBR 14762:2001, ou seja, 3d 
(37,5 mm) entre furos e 1,5d (18,75 mm) entre furo e borda, estando dispostos em 
três seções distantes entre si 37,5 mm, conforme Fig. 1a. 
 Na análise experimental, esta configuração apresentou modo de falha por 
ruptura da seção líquida, obtendo força última com valor igual a 48,8 kN e 
deslocamento total, incluindo acomodação dos parafusos no furo, igual a 8,4 mm, 
conforme apresentado Fig. 1b. 
 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
0 2 4 6 8 10
Deslocamentos (mm)
Fo
rç
a 
(k
N
)
Des locam entos observados
Des locam entos corrigidos
Acomodação dos 
parafusos 
 
 (a) (b) 
Figura 1 – Modelo de chapa: (a) Esquema do perfil ensaiado (unidade mm) e (b) Relação 
Força versus Deslocamento obtido no modelo experimental. 
 
 O segundo modelo experimental escolhido para análise consiste de uma 
ligação parafusada em perfil formado a frio com cantoneira de abas iguais (L 50 x 
50 x 1,55 mm), conectada por uma das abas e composta por aço ZAR 345. A mesma 
ligação apresenta três parafusos alinhados na direção da força, com furos de diâmetro 
14,5 mm, localizados no centro da aba conectada, e com espaçamentos entre centros 
de furos e centro de furo e borda de 37,5 mm, Fig. 2a. 
 Na análise experimental, esta configuração apresentou modo de falha por 
ruptura da seção líquida, obtendo força última com valor igual a 36,5 kN e 
Análise da resposta numérica de ligações parafusadas tracionadas de elementos de aço... 
 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 27, p. 1-25, 2005 
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deslocamento total, incluindo acomodação dos parafusos no furo, igual a 10,7 mm, 
conforme apresentado na Fig. 2b. 
 
 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 2 4 6 8 10
Deslocamento. (mm)
Fo
rç
a 
(k
N
)
Deslocamentos observados
Deslocamentos corrigidosAcomodação 
dos parafusos 
 
 (a) (b) 
Figura 2 – Modelo cantoneira: (a) Esquema do perfil ensaiado (unidade mm) e (b) Relação 
Força versus Deslocamento obtido no modelo experimental. 
 
 O terceiro modelo experimental escolhido para análise consiste de uma 
ligação parafusada em perfil formado a frio do tipo U (U 100 x 40 x 1,55 mm), 
conectada pela alma e composta por aço ZAR 345. Apresenta quatro parafusos 
alinhados na direção da força, com furos de diâmetro 14,5 mm, localizados no centro 
da alma, com espaçamentos entre centros de furos e entre centro de furo e borda, 
igual a 37,5 mm, como mostra a Fig. 3a. 
 Na análise experimental, esta configuração apresentou modo de falha por 
ruptura da seção líquida, obtendo força última com valor igual a 70,05 kN e 
deslocamento total, incluindo acomodação dos parafusos no furo, igual a 12,31 mm, 
conforme mostra a Fig. 3b. 
 
 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
4550
55
60
65
70
75
0 2 4 6 8 10 12 14
Deslocamento (mm)
Fo
rç
a 
(k
N
) Deslocamentos corrigidos
Deslocamentos observados
Acomodação dos parafusos
 
 (a) (b) 
Figura 3 – Modelo perfil U: (a) Esquema do perfil ensaiado (unidade mm) e (b) Relação Força 
versus Deslocamento obtido no modelo experimental. 
Pedro Gonçalves de Rezende & Jorge Munaiar Neto 
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 Durante o ensaio, uma vez vencido o atrito entre o perfil e o dispositivo de 
fixação, foi verificada a acomodação do parafuso no furo padrão. Esse fenômeno não 
foi representado nas análises numéricas, uma vez que, para representar esse 
fenômeno, seriam necessários modelos numéricos mais complexos que englobariam 
aspectos que não constituem os objetivos do presente trabalho. Nesse caso, para 
comparação dos resultados experimentais, o trecho de deslocamento correspondente 
à acomodação do parafuso foi suprimido das relações entre força e deslocamento, 
conforme identificado nos gráficos das Fig.1, 2 e 3. 
 
3 ASPECTOS SOBRE A CONSTRUÇÃO DOS MODELOS NUMÉRICOS 
3.1 Elementos finitos utilizados 
 O código de cálculo ANSYS v.6.0 disponibiliza ao usuário uma extensa 
variedade de elementos finitos, os quais devem ser convenientemente utilizados de 
acordo com o tipo de problema a ser resolvido. A escolha dos tipos de elementos 
finitos a serem utilizados na simulação numérica deve ser feita levando-se em conta 
vários aspectos, tais como, a família a qual o elemento pertence, graus de liberdade, 
número de nós e, principalmente, o comportamento que ele apresenta perante a 
análise desejada. 
 Na elaboração dos modelos numéricos foi utilizado o elemento finito do tipo 
sólido, denominado SOLID 45 para modelar as chapas, perfis, parafusos e porcas, e 
os elementos do tipo contato, denominados TARGET 170 e CONTACT 174, para 
modelar os contatos entre os diversos elementos da ligação. 
 
3.1.1 Elemento finito SOLID 45 
 O elemento finito denominado SOLID 45, ilustrado na Fig. 4, é um elemento 
finito tridimensional que possui oito nós, com três graus de liberdade por nó, 
referentes às translações nas direções X, Y e Z (coordenadas globais). Esse elemento 
foi utilizado para a discretização das chapas, perfis, porcas e parafusos. 
 
Análise da resposta numérica de ligações parafusadas tracionadas de elementos de aço... 
 
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Figura 4 – Elemento finito denominado SOLID 45. 
 
3.1.2 Elementos finitos de contato TARGET 170 e CONTACT 174 
 O elemento finito de contato denominado TARGET 170, ilustrado na Fig. 5, é 
um elemento finito tridimensional utilizado em conjunto com o elemento de contato 
CONTACT 174, ilustrado na Fig. 6, com vistas à discretizar o contato entre os 
componentes da ligação (chapas, perfis e parafusos). Ambos apresentam as mesmas 
características, ou seja, possuem oito nós, com três graus de liberdade por nó, 
referentes às translações nas direções X, Y e Z (coordenadas globais). 
 
 
 
 
Figura 5 – Elemento finito denominado TARGET 170. 
Pedro Gonçalves de Rezende & Jorge Munaiar Neto 
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Figura 6 – Elemento finito denominado CONTACT 174. 
 
3.2 Relação constitutiva adotada para o aço 
 Para o presente estudo, foi adotada uma relação constitutiva considerando a 
não linearidade do material. Admitiu-se para o aço, uma relação entre tensão e 
deformação (diagrama tensão x deformação) do tipo trilinear. 
 Com vistas a facilitar a análise dos modelos numéricos, esta relação 
constitutiva foi aplicada a todos os componentes do modelo, ou seja, para as chapas, 
perfis, parafusos e porcas, apesar de o comportamento dos dois últimos componentes 
ser diferentes dos dois primeiros. No entanto, essa simplificação pode ser justificada 
considerando o fato de que as deformações ocorridas nos parafusos e nas porcas são 
insignificantes quando comparadas às deformações ocorridas nas chapas e nos 
perfis. 
 A Fig. 7 apresenta o diagrama tensão x deformação adotada nesta análise. 
Este diagrama é representado por um trecho inicial elástico-linear, com módulo de 
elasticidade E = 20.500 kN/cm2, para níveis de tensões variando entre zero e a tensão 
de proporcionalidade do aço (fp), aqui adotada igual a 70% da resistência ao 
escoamento do aço, ou seja, fp = 0,7fy. 
 
Análise da resposta numérica de ligações parafusadas tracionadas de elementos de aço... 
 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 27, p. 1-25, 2005 
9 
0,0012 0,01 0,2
f y
0,7f y
f u
σ
ε 
 
Figura 7 – Representação gráfica do diagrama Tensão x Deformação adotado. 
 
 Após o material atingir a tensão de proporcionalidade (0,7fy), a relação tensão 
x deformação deixa de ter comportamento elástico linear e, a partir de então, o 
material começa a sofrer deformações plásticas (permanentes). Como os níveis de 
tensões verificada nos ensaios foram da ordem da tensão de ruptura do aço (fu), não 
seria conveniente realizar uma análise apenas linear destas ligações. Por esta razão, 
a análise em questão foi do tipo não linear. 
 Com o objetivo de representar a não linearidade do material, para níveis 
elevados de tensão, foi adotada esta relação constitutiva multilinear. O valor da 
tensão de proporcionalidade do aço (0,7fy), foi adotado por ser um valor bastante 
utilizado por pesquisadores e também sugerido em literatura especializada. 
 É importante salientar que a relação tensão x deformação aplicada ao 
material, pode ser uma curva composta por vários trechos. O programa ANSYS v.6.0 
permite a utilização vários trechos retos, tantos quanto o usuário desejar. Nesta 
análise foram utilizados apenas quatro trechos, justificados pelo fato de os resultados 
obtidos terem sido satisfatórios. 
 Adotou-se um trecho linear para as tensões variando entre a tensão de 
proporcionalidade do aço (0,7fy) e a tensão de escoamento do aço (fy), 
correspondendo a uma deformação εy igual a 0,01. O valor da deformação εy = 0,01 
foi adotado com o objetivo de calibrar os modelos numéricos. Alguns trabalhos, por 
exemplo, em Yu (2000), sugerem essa deformação com valor igual a 0,02. 
 No entanto, nesta mesma referência, o autor deixa em aberto este valor, no 
caso de ligações parafusadas.Nestas circunstâncias, sugere-se que para as ligações 
parafusadas a deformação εy deve ser determinada experimentalmente, uma vez que 
o comportamento destas ligações ainda não é totalmente conhecido. 
 Apos o material atingir a tensão de escoamento (fy), admitiu-se outro 
segmento linear até a tensão de ruptura do material (fu), correspondendo a uma 
deformação εu = 0,2. Para deformações acima de 0,2, admitiu-se que a tensão 
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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 27, p. 1-25, 2005 
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permanece constante e a deformação cresce indefinidamente até a ruptura do 
material. 
 
3.3 Modelos numéricos discretizados por meio de elementos finitos 
 Os modelos construídos com vistas à análise numérica são constituídos por 
elementos que formam os perfis, as chapas, os parafusos e as porcas, bem como o 
contato entre os componentes das ligações. As figuras que se seguem apresentam a 
discretização, em elementos finitos, dos componentes citados anteriormente. 
 Com o objetivo de simplificar os modelos, o fuste e a cabeça do parafuso, 
bem como a porca, foram considerados todos como sendo um só elemento, ou seja, a 
porca foi considerada solidarizada ao fuste do parafuso, resultando em um parafuso 
com duas cabeças fixas. É importante salientar que as porcas e os parafusos 
utilizados nas ligações foram discretizados damesma maneira. 
 A Fig. 8 apresentada a seguir, ilustra detalhadamente a discretização do 
parafuso em elementos finitos. Nessa mesma figura, são apresentadas uma vista 
lateral do parafuso com as respectivas cabeça e porca (Fig. 8a), uma vista frontal da 
cabeça do parafuso ilustrando a sua discretização em elementos finitos (Fig. 8b) e 
uma vista em perspectiva do parafuso com sua cabeça e porca acopladas (Fig.8c). 
 Ainda, nesta mesma figura, são apresentadas uma vista isométrica da porca 
isolada (Fig. 8d), uma vista ilustrando o fuste do parafuso (Fig. 8e) e uma vista em 
perspectiva do parafuso sem a porca (Fig. 8f), onde pode-se perceber claramente a 
coincidência dos nós do fuste com os nós da cabeça do parafuso. 
 A Fig. 9 apresentada a seguir ilustra detalhadamente a discretização em 
elementos finitos do modelo numérico representativo do modelo experimental em 
chapas (Fig.1), aqui denominado C2C1. Nesta figura estão apresentadas duas vistas 
isométricas do modelo, mostrando o modelo completo (Fig. 9a) e em detalhe a região 
dos parafusos na ligação (Fig. 9b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise da resposta numérica de ligações parafusadas tracionadas de elementos de aço... 
 
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11 
 
 (a) (b) (c) 
 
 
 (d) (e) (f) 
Figura 8 – Discretização dos parafusos e porcas em elementos finitos. 
 
 
 
(a) (b) 
Figura 9 – Discretização do modelo numérico denominado C2C1 em elementos finitos. 
 
 A Fig. 10 apresentada a seguir ilustra detalhadamente a discretização em 
elementos finitos do modelo numérico representativo do modelo experimental de 
ligação parafusada em perfil formado a frio do tipo cantoneira (Fig.2), denominado 
LI1C1. Nesta mesma figura, estão apresentadas duas vistas isométricas. Uma vista 
mostrando a discretização em elementos finitos do modelo completo e outra vista 
Pedro Gonçalves de Rezende & Jorge Munaiar Neto 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 27, p. 1-25, 2005 
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mostrando em detalhe a discretização do modelo na região dos parafusos. Pode-se 
perceber que o perfil foi conectado a uma chapa rígida por meio de três parafusos 
alinhados na direção da força, conforme já descrito anteriormente no item 2. 
 
 
 (a) (b) 
Figura 10 – Discretização do modelo numérico denominado LI1C1 por meio de elementos 
finitos. 
 
 A Fig. 11 apresentada ilustra detalhadamente a discretização em elementos 
finitos do modelo numérico representativo do modelo experimental de ligação 
parafusada em perfil formado a frio do tipo U (Fig.3), denominado U1D1. Nesta figura 
são apresentadas duas vistas isométricas, uma vista geral mostrando a discretização 
em elementos finitos do modelo completo e uma vista mostrando, em detalhe, a 
discretização em elementos finitos apenas da região dos parafuso 
 
 
 (a) (b) 
Figura 11 – Discretização do modelo numérico denominado U1D1 por meio de elementos 
finitos. 
 
 O contato entre os elementos das ligações foi estabelecido utilizando-se os 
elementos finitos dos tipos CONTACT 174 e TARGET 170, adequados para esta 
Análise da resposta numérica de ligações parafusadas tracionadas de elementos de aço... 
 
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13 
finalidade. Estes dois tipos de elementos finitos de contato foram utilizados nos três 
modelos numéricos analisados, sendo aplicados em todas as regiões em que havia o 
contato direto entre as partes da ligação, ou seja, entre o fuste do parafuso e a borda 
do furo, entre a face do perfil ou chapa e a face da cabeça ou porca do parafuso, e 
também entre duas chapas adjacentes. 
 A Fig. 12 apresentada a seguir, ilustra a discretização em elementos finitos 
(de contato) utilizada no modelo numérico C2C1. Nesta figura está apresentada uma 
vista geral isométrica dos elementos de contato localizados na interface entre as 
chapas, entre a chapa e a face da cabeça do parafuso, e entre a chapa e a face da 
porca do parafuso (Fig. 12a). 
 Nesta mesma figura, apresentam-se uma vista isométrica ilustrando, em 
detalhe, apenas os elementos de contato das faces da cabeça e porca do parafuso 
(Fig. 12b) e uma vista isométrica ilustrando, em detalhe, os elementos de contato da 
interface entre o fuste do parafuso e a parede do furo na chapa (Fig. 12c). 
 
 
 (a) (b) (c) 
Figura 12 – Discretização dos elementos de contato utilizados no modelo numérico 
denominado C2C1. 
 
 Nos demais modelos numéricos, no caso, LI1C1 e U1D1, o contato entre os 
elementos da ligação foi estabelecido de maneira análoga àquela adotada para o 
modelo numérico C2C1, razão pela qual não serão aqui apresentados. 
 
3.4 Condições de contorno e de carregamento 
 Para os modelos numéricos apresentados nos itens anteriores, as condições 
de contorno e de carregamento foram adotadas em concordância com aquelas 
estabelecidas nos ensaios experimentais realizados no Laboratório de Estruturas do 
Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, cujos resultados estão 
apresentados em MAIOLA (2004). 
Pedro Gonçalves de Rezende & Jorge Munaiar Neto 
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14 
 Nestes ensaios experimentais, os corpos-de-prova de ligações parafusadas 
foram ensaiados a corte simples e tiveram os deslocamentos relativos na região da 
ligação medidos por meio de transdutores de deslocamentos, posicionados com base 
de medida inicial igual a 375 mm. Com vistas a facilitar a comparação dos resultados 
referentes aos deslocamentos, os modelos numéricos foram também construídos com 
375 mm de comprimento. 
 Nos ensaios experimentais não foram utilizadas arruelas junto à porca e à 
cabeça dos parafusos. Por esta razão, nos modelos numéricos o uso de arruelas junto 
à cabeça e à porca dos parafusos foi também desconsiderado. 
 
3.4.1 Condições para a ligação parafusada entre chapas – Modelo C2C1 
 Neste modelo, uma das extremidades da chapa foi fixada restringindo-se as 
translações nas direções X, Y e Z (coordenadas globais). Para a outra extremidade, 
foram restringidas apenas as translações nas direções Y e Z, deixando livre a 
translação em X (eixo da chapa). 
 Na extremidade da chapa onde a translação na direção X é livre, foi imposto 
um deslocamento igual a 10 mm por meio de procedimento incremental-iterativo. 
Nesta mesma extremidade, os deslocamentos na direção X foram acoplados de forma 
que todos os pontos da seção apresentassem os mesmos deslocamentos, buscando 
respeitar o mesmo procedimento adotado nos ensaios. 
 A Fig. 13 ilustra as condições de contorno e de carregamento aplicadas para 
o modelo C2C1. Nesta mesma figura apresentam-se uma vista geral das condições 
de contorno e de carregamento (Fig. 13a), uma ampliação da extremidade mostrando 
a aplicação do carregamento e as restrições aos deslocamentos nas direções Y e Z e 
o acoplamento dos deslocamentos na direção X (Fig. 13b), bem como uma ampliação 
da outra extremidade, mostrando as restrições aos deslocamentos nas direções X, Y 
e Z (Fig. 13c). 
 
 
 
 (a) (b) (c) 
 
Figura 13 – Condições de contorno e de carregamentopara o modelo numérico C2C1. 
 
Análise da resposta numérica de ligações parafusadas tracionadas de elementos de aço... 
 
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15 
3.4.2 Condições para a ligação parafusada em perfil cantoneira – Modelo LI1C1 
 Nesse modelo, o perfil foi conectado por uma de suas extremidades a uma 
chapa rígida por meio de três parafusos. Nesta extremidade, foi imposta à chapa 
rígida restrições nas direções X, Y e Z (coordenadas globais). 
 Na outra extremidade do perfil, foram restringidas as translações nas direções 
Y e Z, deixando livre a translação na direção X (eixo do perfil). Nesta mesma 
extremidade, foram acoplados os deslocamentos na direção X, de forma que todos os 
pontos da seção apresentassem os mesmos deslocamentos. Foi imposto, nesta 
direção X, um deslocamento igual a 10 mm por meio de procedimento incremental-
iterativo. 
 A Fig. 14 ilustra as condições de contorno e de carregamento aplicadas para 
este modelo. Nesta mesma figura apresentam-se uma vista geral das condições de 
contorno e de carregamento (Fig. 14a) e uma ampliação da extremidade mostrando a 
aplicação do carregamento e as restrições aos deslocamentos nas direções Y e Z, 
bem como o acoplamento dos deslocamentos na direção X (Fig. 14b). 
 A mesma figura apresenta uma ampliação da outra extremidade, mostrando 
as restrições aos deslocamentos nas direções X, Y e Z (coordenadas globais), 
imposta à chapa rígida (Fig. 14c e 14d). 
 
 
(a) (b) 
 
 
 (c) (d) 
Figura 14 – Condições de contorno e de carregamento para o modelo LI1C1. 
Pedro Gonçalves de Rezende & Jorge Munaiar Neto 
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16 
3.4.3 Condições para a ligação parafusada em perfil U – Modelo U1D1 
 As condições de contorno e carregamento consideradas para este modelo, 
foram idênticas àquelas adotadas para o modelo de ligação em perfil cantoneira, 
denominado LI1C1 e apresentado no item 3.4.2. 
 A Figura 15 ilustra as condições de contorno e de carregamento adotadas 
para este modelo. Nesta mesma figura apresentam-se uma vista geral das condições 
de contorno e de carregamento (Fig. 15a) e uma ampliação da extremidade 
mostrando a aplicação do carregamento e as restrições aos deslocamentos nas 
direções Y e Z, bem como o acoplamento dos deslocamentos na direção X (eixo do 
perfil), conforme ilustra a Fig. 15b. A mesma figura apresenta uma ampliação da outra 
extremidade, mostrando as restrições aos deslocamentos nas direções X, Y e Z 
(coordenadas globais), imposta à chapa rígida (Fig. 15c e 15d). 
 
 
(a) (b) 
 
 
(c) (d) 
Figura 15 – Condições de contorno e de carregamento para o modelo numérico U1D1 
 
4 ANÁLISE DA RESPOSTA NUMÉRICA DOS MODELOS 
4.1 Considerações iniciais 
 Serão apresentados neste item, os resultados obtidos por meio de análises 
numéricas para os modelos de ligações parafusadas constituídas por chapa fina, por 
perfil cantoneira e por perfil U. Os resultados numéricos obtidos são comparados com 
resultados experimentais, uma vez que todos os tipos de ligações modelados nesta 
análise foram ensaiados experimentalmente. 
Análise da resposta numérica de ligações parafusadas tracionadas de elementos de aço... 
 
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17 
 Em todos os modelos analisados, os carregamentos foram aplicados 
indiretamente na forma de incrementos de deslocamentos, por meio de 4 (quatro) 
passos de carregamentos, com cada passo subdividido em outros 5 (cinco) ou mais 
sub-passos na solução do modelo. Estes sub-passos são estabelecidos 
automaticamente pelo programa ANSYS v. 6.0 para que ocorra a convergência dos 
resultados. Utilizou-se como parâmetro de convergência para os deslocamentos, uma 
tolerância igual a 0,01. 
 Em razão da forma adotada para a aplicação dos carregamentos, o 
procedimento utilizado para a solução do sistema de equações de equilíbrio foi do tipo 
“incremental-iterativo”, em correspondência com o Método Full-Newton-Raphson para 
a solução de problemas não-lineares. 
 
4.2 Resultados para ligação parafusada em chapa fina - Modelo C2C1 
 Os resultados obtidos para o modelo numérico C2C1 foram comparados com 
resultados experimentais apresentados em MAIOLA (2004). Esta comparação foi 
estabelecida por meio da relação entre Força e Deslocamento, conforme apresentado 
na Fig. 16. 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
0 2 4 6 8 10
Deslocamento (mm)
Fo
rç
a 
(k
N
)
Resultados Experimentais
Resultados Numéricos Modelo
C2C1
 
Figura 16 – Diagrama Força x Deslocamento para a ligação parafusada em chapa fina 
 
 Ao analisar o gráfico apresentado na Fig. 16, nota-se que no trecho inicial da 
curva, para valores de deslocamentos menores que 2 mm, o modelo C2C1 
apresentou rigidez ao deslocamento pouco superior àquela obtida no ensaio 
experimental. No trecho intermediário da curva, para deslocamentos entre 2 mm e 6 
mm, observaram-se concordância satisfatória entre os resultados numéricos dos 
modelos, C2C1 com o resultado experimental. 
Pedro Gonçalves de Rezende & Jorge Munaiar Neto 
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18 
Inicio de 
ruptura entre 
os furos 
Propagação da trinca para as 
bordas e estricção da chapa 
 Para o trecho final da curva força x deslocamentos a comparação não foi 
estabelecida, uma vez que no ensaio experimental ocorreu a ruptura da ligação 
resultando em força nula. No modelo numérico, esse aspecto não pode ser 
identificado tendo em vista que o material, mesmo atingindo elevadas tensões que o 
levam a plastificação, continua respondendo com deslocamentos sempre crescentes. 
Portanto, nesse caso, a comparação deixa de ter sentido físico. 
 Comparando-se a força última obtida para os dois casos, nota-se que no 
modelo numérico C2C1, a força última obtida resultou igual a 49,91 kN, enquanto que 
no ensaio, esta mesma força resultou igual a 49,01 kN, representando uma diferença 
da ordem de 2%. 
 A Fig. 17 apresenta as curvas de isotensões, tomadas com referência às 
tensões equivalentes de von Mises, para o modelo numérico C2C1. Nesta figura, 
pode-se observar que entre os furos aparecem tensões elevadas, da ordem das 
tensões de plastificação do aço. Por esta razão, a região em questão pode ser 
escolhida como forte candidata para a ocorrência da ruptura do material, como de fato 
foi possível constatar no ensaio experimental. 
 
 
 
 
Figura 17 – Curvas de isotensões (equivalente de Mises), para o modelo C2C1. 
Unidade: kN/cm2 
 
 
 
 
 (a) (b) (c) 
Figura 18 – Detalhes da ruptura da ligação para o modelo C2C1 
Análise da resposta numérica de ligações parafusadas tracionadas de elementos de aço... 
 
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19 
 Outro aspecto importante da modelagem numérica e que merece destaque, 
refere-se ao fato de que a configuração deformada verificada no ensaio experimental 
foi satisfatoriamente recuperada nos modelos numéricos. 
 Este fato está representado na Fig. 18, em que é mostrada, em detalhe, a 
ruptura da ligação no ensaio experimental (Fig. 18b e 18c). É mostrada ainda uma 
ampliação da região mais solicitada do modelo numérico C2C1 (Fig. 18a), em que 
pode ser observada a ocorrência de estricção da chapa de aço no local onde ocorrea 
ruptura, em concordância com o ensaio experimental. 
 
4.3 Resultados para ligação em perfil cantoneira - Modelo LI1C1 
 Os resultados obtidos para o modelo numérico LI1C1 foram comparados com 
resultados experimentais apresentados em MAIOLA (2004). Esta comparação foi 
estabelecida por meio da relação Força x Deslocamento, conforme apresentado na 
Fig. 19. Nesta figura pode-se observar que a curva obtida na análise numérica 
apresenta comportamento semelhante àquela obtida na analise experimental. Nesse 
caso, o modelo numérico apresentou resultado satisfatório quando comparado ao 
resultado experimental. 
 No trecho inicial da curva, para valores de deslocamentos menores que 2 mm, 
o modelo numérico LI1C1, apresentou rigidez ao deslocamento praticamente igual à 
rigidez ao deslocamento observada no ensaio experimental. No trecho intermediário 
da curva, para deslocamentos entre 2 mm e 4 mm, observou-se uma concordância 
satisfatória entre o resultado numérico do modelo LI1C1 e o resultado experimental. 
 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 2 4 6 8 10
Deslocamento (mm)
Fo
rç
a 
(k
N
)
Resultados Experimentais
Resultados Numéricos Modelo LI1C1
 
Figura 19 – Diagrama Força x Deslocamento para a ligação parafusada em perfil cantoneira. 
Pedro Gonçalves de Rezende & Jorge Munaiar Neto 
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20 
 No trecho final da curva, correspondente a deslocamentos maiores que 4 mm, 
a comparação deixa de ter sentido físico, uma vez que no ensaio experimental 
ocorreu a ruptura da ligação resultando em força nula. No modelo numérico, isto não 
pode ser identificado, tendo em vista que o material, mesmo atingindo elevadas 
tensões que o levam a plastificação, continua respondendo com deslocamentos 
sempre crescentes para força constante e, conseqüentemente, diferentes de zero. 
 Comparando-se a força última obtida para o modelo numérico LI1C1, nota-se 
que esta força última resultou igual a 39,20 kN, enquanto que no ensaio, esta mesma 
força resultou igual a 36,58 kN, cuja diferença é da ordem de 7,16 %. 
 A Fig. 20 apresenta as curvas de isotensões, tomadas com referência às 
tensões equivalentes de von Mises, para o modelo numérico LI1C1. Nesta figura, 
pode-se observar que entre o furo e a borda da cantoneira, na seção em que está 
localizado o primeiro parafuso, aparecem tensões elevadas, da ordem das tensões de 
plastificação do aço. Por esta razão, a região em questão pode ser indicada como 
forte candidata para a ocorrência da ruptura do material, como de fato foi possível 
constatar no ensaio experimental. 
 
 
 
 
Figura 20 – Curvas de isotensões (equivalente de Mises), para o modelo LI1C1. 
Unidade: kN/cm2. 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 21 – Detalhes da ruptura da ligação em perfil cantoneira. 
Ruptura da ligação 
entre furo e borda e, 
estricção da aba 
Deformação da aba, 
não conectada, da 
cantoneira 
Análise da resposta numérica de ligações parafusadas tracionadas de elementos de aço... 
 
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21 
 A configuração deformada verificada no ensaio experimental foi 
satisfatoriamente recuperada no modelo numérico LI1C1, conforme representado na 
Fig. 21, em que é mostrada em detalhe a ruptura e a configuração deformada da 
ligação no ensaio experimental, Fig. 21a. Na mesma figura, é mostrada ainda uma 
ampliação da região dos parafusos do modelo numérico LI1C1, Fig. 21b, em que se 
pode observar a deformação ocorrida na aba não conectada da cantoneira, em 
concordância com o ensaio. 
 
4.4 Resultados para ligação parafusada em perfil U - Modelo U1D1 
 Os resultados obtidos para o modelo numérico U1D1 foram comparados com 
resultados experimentais apresentados em MAIOLA (2004). Esta comparação foi 
estabelecida por meio da relação entre Força aplicada e Deslocamento (axial), 
conforme apresentado na Fig. 22. 
 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 2 4 6 8 10 12
Deslocamentos (mm)
Fo
rç
a 
(k
N
)
Resultado Numérico Modelo U1C1
Resultado Experimental
 
Figura 22 – Diagrama Força x Deslocamento para a ligação parafusada em perfil U 
 
 Nesta última figura pode-se observar que a curva obtida na análise numérica 
apresenta comportamento semelhante àquela obtida na análise experimental. Nesse 
caso, o modelo numérico apresentou resultado satisfatório quando comparado ao 
resultado experimental. No trecho inicial da curva, para deslocamentos até 0,5 mm, o 
modelo numérico U1D1 apresentou rigidez ao deslocamento equivalente àquela 
rigidez observada no ensaio experimental. 
 O trecho intermediário da curva, para deslocamentos entre 0,5 mm e 4 mm, o 
modelo numérico apresentou rigidez ao deslocamento pouco superior àquela rigidez 
observada no ensaio experimental. 
 Nota-se que as deformações no referido trecho da curva, obtidas no ensaio 
experimental, resultaram maiores que as deformações observadas no modelo 
numérico. Este aspecto pode ser explicado pela ocorrência de acomodações dos 
Pedro Gonçalves de Rezende & Jorge Munaiar Neto 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 27, p. 1-25, 2005 
22 
parafusos e, conseqüentemente, maiores deformações. No modelo numérico, as 
acomodações dos parafusos não foram consideradas, razão pela qual o modelo 
numérico apresente uma maior rigidez às deformações para este trecho da curva. 
 O trecho final da curva, para deslocamentos maiores que 4 mm, a 
concordância resultou bastante satisfatória, ou seja, o modelo numérico apresentou 
resultados muito próximos dos resultados experimentais. Comparando-se a força 
última obtida, nota-se que no modelo numérico, a força última obtida resultou igual a 
69,54 kN, enquanto que no ensaio experimental, esta mesma força resultou igual a 
69,89kN, com diferenças da ordem de 0,5 %. 
 A Fig. 23 apresenta as curvas de isotensões, tomadas com referência às 
tensões equivalentes de von Mises, para o modelo numérico U1D1. Nesta figura, 
pode-se observar que nas bordas do furo, na seção em que está localizado o primeiro 
parafuso, aparece tensões elevadas, da ordem das tensões de plastificação do aço, 
razão pela qual a região em questão pode ser indicada como forte candidata para a 
ocorrência da ruptura do material, como de fato foi possível constatar no ensaio 
experimental. 
 
 
 
 
Figura 23 – Curvas de isotensões (equivalente de Mises), para o modelo U1D1. 
Unidade: kN/cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise da resposta numérica de ligações parafusadas tracionadas de elementos de aço... 
 
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23 
 
 (a) (b) 
Figura 24 – Detalhes da ruptura da ligação em perfil U com quatro parafusos. 
 
 Analogamente ao observado no modelo de ligações parafusadas em perfis 
cantoneira, a configuração deformada verificada no ensaio experimental foi 
satisfatoriamente recuperada no modelo numérico. Este fato está representado na 
Fig. 24a, em que é mostrada, em detalhe, a ruptura e a configuração deformada da 
ligação no ensaio experimental. 
 Na mesma figura, é apresentada uma ampliação da região em que estão 
localizados os parafusos do modelo numérico U1D1, Fig. 24b, em que podem ser 
observadas as deformações ocorridas nas mesas do perfil, em concordância com as 
deformações observadas no ensaio experimental. 
 
5 CONCLUSÕES 
 A estratégia de modelagem numérica adotada no presente trabalho mostrou-
se bastante eficiente, quando os resultados obtidos por meio dos modelos numéricosforam comparados àqueles resultados obtidos experimentalmente. Observou-se que 
para todos os modelos numéricos, denominados C2C1, LI1C1 e U1D1 as forças 
últimas obtidas resultaram satisfatoriamente próximas àquelas identificadas nos 
ensaios experimentais. Vale destacar ainda que a configuração deformada e os 
modos de falha obtidos nos modelos numéricos resultaram praticamente idênticos 
àqueles observados nos ensaios experimentais. 
 É importante salientar que nos ensaios experimentais ocorreram, como 
esperado, acomodações dos parafusos devido ao fato de o diâmetro dos furos ser 
menor se comparado ao diâmetro dos parafusos. Estas acomodações acorreram 
quando o esforço aplicado superava a resistência ao atrito das ligações. 
Ruptura da ligação 
Deformação das abas do perfil 
Pedro Gonçalves de Rezende & Jorge Munaiar Neto 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 27, p. 1-25, 2005 
24 
 Para simular as acomodações em questão, da ordem de 1 mm a 2 mm, seria 
necessária a construção de modelos numéricos mais complexos, tendo como 
conseqüência um aumento significativo no trabalho computacional (tempo de 
processamento). Por esta razão, na estratégia numérica proposta nesse trabalho, 
optou-se pela construção de modelos numéricos mais simples, com vistas 
inicialmente à determinação da força última e dos níveis de tensões nas regiões 
próximas aos parafusos, bem como na recuperação da configuração deformada dos 
perfis. 
 Em razão da simplificação adotada, foram suprimidos nos diagramas Força x 
Deslocamentos, os trechos que representavam as acomodações dos parafusos nos 
ensaios experimentais, com o objetivo de possibilitar comparar os resultados 
numéricos com os resultados experimentais. 
 Tendo em vistas os resultados apresentados anteriormente, pode-se concluir 
que é possível construir modelos numéricos para ligações parafusadas em perfis 
formados a frio bastante simples, e que representem satisfatoriamente os ensaios 
experimentais, aspecto esse que permite facilitar o estudo destas ligações, uma vez 
que a modelagem numérica apresenta custo e tempo bastante reduzidos em 
comparação aos ensaios experimentais. 
 O presente trabalho analisou ligações parafusadas em perfis formados a frio 
apenas em temperatura ambiente. Dentre os resultados satisfatoriamente obtidos, 
destacam-se as configurações deformadas identificadas nos modelos numéricos, 
bastante próximas (qualitativamente idênticas) àquelas obtidas nos ensaios 
experimentais. 
 Dessa forma, fica como sugestão a utilização da estratégia de modelagem 
numérica aqui adotada, para ligações parafusadas em chapas finas e em perfis 
formados a frio em situação de incêndio, situação em que a deformação total (ou 
configuração deformada), que aparece em resposta às reduções da resistência ao 
escoamento e do módulo de elasticidade, é de fundamental importância para a 
determinação da temperatura crítica dos elementos e, conseqüentemente, os esforços 
resistentes de cálculo. 
 Fica ainda como sugestão para estudos futuros, a construção de modelos 
numéricos mais sofisticados que possam prever a acomodação dos parafusos e 
eventuais deformações permanentes na região da ligação. 
 
6 AGRADECIMENTOS 
 Os autores do presente trabalho agradecem ao CNPq – Conselho Nacional de 
Desenvolvimento Científico e Tecnológico, pelo apoio concedido ao desenvolvimento 
da pesquisa em questão. 
 
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ANSYS (1995). Structural nonlinearities: user’s guide for revision 6.0. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1967) NB-143. ABNT - 
Cálculo de estruturas de aço, constituídas por perfis leves. Rio de Janeiro. 
Análise da resposta numérica de ligações parafusadas tracionadas de elementos de aço... 
 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 27, p. 1-25, 2005 
25 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2001). NBR 14762 - 
Dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis formados a frio. 
Rio de Janeiro. 
 
MAIOLA, C. H. (2004) Ligações parafusadas em chapas finas e perfis de aço 
formados a frio. São Carlos. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São 
Carlos – Universidade de São Paulo. 
 
MALITE, M. (1993). Análise do comportamento estrutural de vigas mistas aço-
concreto constituídas por perfis de chapa dobrada. São Carlos. 2v. Tese 
(Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos. Universidade de São Paulo. 
 
REZENDE, P. G. (2005). Análise da resposta numérica de ligações parafusadas 
em chapas finas e perfis formados a frio. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – 
Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo. 
 
 
 
 
 26
 
ISSN 1809-5860 
 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 27, p. 27-58, 2005 
ANÁLISE DO PROJETO DE ESTRUTURAS 
METÁLICAS ESPACIAIS: ÊNFASE EM 
COBERTURAS 
Arnaldo Nascimento de Souza 1 & Maximiliano Malite 2 
 
R e s u m o 
As estruturas metálicas espaciais de cobertura apresentam aspectos diferenciados de 
projeto. Existem diversos arranjos geométricos possíveis para estas estruturas, cuja 
escolha está associada, entre outros fatores, às formas e dimensões do contorno, aos 
pontos de apoio e aos sistemas de conexões empregados. Neste trabalho foi analisado o 
projeto destas estruturas, abordando os aspectos históricos, os sistemas de ligação, o 
comportamento estrutural, as particularidades de projeto, e realizando uma análise 
numérica de diferentes arranjos geométricos. Foram analisados 27 arranjos 
geométricos quadrados (66m x 66m) e 6 arranjos geométricos retangulares (186m x 
66m), todos com vãos centrais de 60m, e com variações na quantidade e 
posicionamento dos apoios, na disposição das barras do reticulado, na altura e nas 
dimensões dos módulos. Adotou-se o modelo de treliça ideal em análise elástica linear 
(teoria de primeira ordem). Com os resultados dos processamentos realizou-se uma 
comparação entre os modelos, abrangendo os seguintes aspectos: quantidade de nós e 
barras, consumo de material, deslocamentos máximos, reações de apoio máximas e 
esforços internos máximos. O fator que causou maior influência no comportamento dos 
arranjos analisados foi a disposição dos apoios. 
 
Palavras-chave: estruturas metálicas; estruturas espaciais; treliças espaciais; arranjos 
tridimensionais; projeto de coberturas. 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 As estruturas reticuladas tridimensionais, mais conhecidas simplesmente por 
estruturas espaciais ou treliças espaciais, são amplamente utilizadas em coberturas 
de edificações que necessitem grandes áreas livres, tais como ginásios, hangares, 
centros de exposição e edifícios industriais. Alguns dos fatores que favorecem o uso 
deste tipo de estrutura em relação às estruturas planas convencionais são: 
• grande rigidez, sendo possível a realização de obras de grandes vãos; 
• facilidade de fixação de instalações, devido à grande quantidade de nós 
nos quais podem ser fixados suportes; 
• liberdade arquitetônica na locação de apoios; 
 
1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP 
2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, mamalite@sc.usp.br 
 
Arnaldo Nascimento de Souza & Maximiliano Malite 
 
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• beleza arquitetônica, permitindo explorar as mais diversas formas; 
• possibilidade de ampliação, e fácil montagem e desmontagem para 
estruturas não permanentes; 
• menor peso e menor custo para grandes vãos (acima de 40 m); 
 
 As barras das estruturas espaciais são conectadas por dispositivos 
denominados nós. Existem diversos tipos de nós, desde os mais simples, formados 
pelo amassamento das extremidades dos perfis e um único parafuso de conexão, até 
os mais requintados, nos quaisos nós são peças esféricas moldadas e as barras da 
estrutura apresentam as extremidades usinadas na forma de pinos que se encaixam 
nos nós. Porém, muitas vezes estas conexões não correspondem ao modelo teórico 
adotado e apresentam problemas de instabilidade. Vários estudos teóricos e 
experimentais vêm sendo conduzidos para analisar o comportamento local e global da 
estrutura para determinados tipos de sistemas de conexão. 
 A partir de 1995, o Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de 
Engenharia de São Carlos (EESC-USP) passou a ser solicitado a participar de 
trabalhos técnicos e assessorias envolvendo treliças metálicas espaciais, quase 
sempre relacionadas com o colapso total ou parcial destas estruturas. Estes 
trabalhos, na sua maioria, deram ênfase aos sistemas de ligação mais utilizados no 
Brasil. 
 A configuração geométrica de uma estrutura espacial é definida, em princípio, 
em função da arquitetura da edificação. Por meio da arquitetura tem-se os requisitos 
básicos necessários para o início da determinação das características geométricas da 
estrutura, entre eles, a disposição dos apoios e os contornos da estrutura. A 
disposição dos apoios define os vãos livres e os balanços da estrutura. Os contornos 
são compostos por superfícies planas e curvas que delimitam a estrutura, 
determinando a extensão e a forma externa da estrutura. 
 Com a determinação dos pontos de apoio e do gabarito externo da estrutura, 
e analisando-se as ações, as limitações de deslocamentos máximos e as condições e 
tecnologias de fabricação, montagem e içamento, podem ser definidos outros 
aspectos específicos das estruturas espaciais, tais como as dimensões e orientações 
dos módulos, quantidades de camadas e altura da estrutura. 
 Diversos trabalhos vêm sendo publicados em vários países abordando a 
concepção geométrica das treliças espaciais, verificando os fatores que mais 
influenciam e as formas geométricas de melhor desempenho. Porém, muitas vezes 
estes estudos não se enquadram na realidade brasileira de arquitetura e de ações. 
 Este trabalho tem como objetivo fornecer subsídios para a concepção de 
projetos de treliças metálicas espaciais planas de cobertura, buscando-se 
características geométricas, tais como disposição das barras, modulação, altura do 
módulo, quantidades de camadas e tipos de apoio, que apresentem o melhor 
desempenho diante de determinadas condições existentes em obras correntes no 
Brasil. Estas condições referem-se à disposição e quantidade de apoios, vãos, ações, 
limitações de flecha entre outras. 
 
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2 GENERALIDADES E HISTÓRIA 
 O termo “estrutura espacial” é empregado de maneira geral para designar um 
sistema estrutural em que não há subsistemas planos definidos. Pode-se perceber 
que o termo estrutura espacial é bastante abrangente, envolvendo estruturas 
reticuladas, constituídas por elementos de barra, estruturas contínuas, constituídas 
por placas, membranas ou cascas, e estruturas mistas, constituídas pela combinação 
de elementos discretos e contínuos. 
 As treliças espaciais planas, os arcos treliçados espaciais e as cúpulas 
treliçadas espaciais são os principais tipos de estruturas espaciais reticuladas. Estas 
estruturas surgiram por volta do século XVIII. Em 1907, Alexander Graham Bell 
desenvolveu um reticulado espacial constituído por barras de mesma dimensão 
conectadas por um único tipo de nó, formando elementos modulares tetraédricos 
(Figura 1). Mostrava-se, assim, a alta capacidade de padronização e a conseqüente 
facilidade de industrialização deste tipo de estrutura (DU CHATEAU 1984). 
 O grande avanço na difusão dos reticulados espaciais foi o surgimento da 
MERO, na Alemanha em 1943, que desenvolveu um sistema pré-fabricado de 
estrutura espacial que consiste na combinação de dois elementos básicos: nós 
esféricos e barras de seção tubular circular . 
 
 
Figura 1 – Estrutura espacial de Alexander Graham Bell – Fonte: DU CHATEAU (1984). 
 
 
 Em 1966 foi realizada em Londres a primeira conferência sobre estruturas 
espaciais, marcando o início da integração e do aprofundamento das pesquisas sobre 
estas estruturas. No ano seguinte foi criado pelo ASCE nos Estados Unidos um 
comitê específico para o estudo destas estruturas. 
 A partir da década de 70, com o advento dos computadores eletrônicos, 
houve uma grande revolução no desenvolvimento das estruturas espaciais. Com o 
aparecimento de novas técnicas computacionais foi possível buscar concepções 
geométricas de melhor desempenho estrutural e que mais atendiam aos anseios 
arquitetônicos (MAKOWSKI 1993). 
 Outros fatores que provocaram um grande desenvolvimento na utilização 
destas estruturas foram o desenvolvimento de sistemas padronizados eficientes de 
conexão e as pesquisas científicas sobre o comportamento elástico e não-elástico das 
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estruturas espaciais e sobre os modos de falha das mesmas quando sujeitas a 
carregamento excessivo. 
 
3 ESTRUTURAS ESPACIAIS RETICULADAS 
3.1 Treliças espaciais planas 
São formadas por uma ou mais camadas planas de barras. Estas camadas são 
denominadas banzos, e as barras responsáveis pela ligação entre os diversos planos 
são denominadas diagonais. Os pontos de encontro entre banzos e diagonais são 
denominados “nós” e neles são realizadas as conexões (Figura 2). 
 
3.2 Arcos treliçados espaciais 
 São obtidos pelo arqueamento da treliça espacial plana ao longo de uma 
direção. O resultado é uma forma cilíndrica que pode ser constituída por uma ou mais 
camadas de banzo (Figura 2). 
 
3.3 Cúpulas treliçadas espaciais 
 São treliças espaciais formada por uma ou mais camadas de banzos em 
forma de cúpula (Figura 2). A superfície de uma cúpula normalmente é parte de uma 
superfície única tal como uma esfera ou um parabolóide. 
 
 
Figura 2 – Treliças espaciais planas, arcos treliçados espaciais e cúpulas treliçadas espaciais. 
 
 
4 SISTEMAS DE TRELIÇAS ESPACIAIS 
 As ligações entre as barras de um reticulado espacial são um dos fatores que 
tem a maior influência na confiabilidade, no comportamento e no custo final de um 
sistema. A definição do sistema de ligação está diretamente ligada ao perfil, à 
quantidade e à disposição das barras que incidem no nó. Além disso, o nó deve 
representar da maneira mais fiel possível as hipóteses de cálculo adotadas. A maioria 
dos sistemas apresentam ligações parafusadas, pois as ligações soldadas possuem 
custo elevado e são de difícil execução em obra, podendo muitas vezes comprometer 
a eficiência da ligação. 
 As barras podem ser diversos tipos de perfis, tais como perfis de seção 
tranversal tubular circular e retangular, “I” soldados e laminados, cantoneiras, entre 
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outros. A escolha do perfil está ligada ao nível de solicitação da barra, ao sistema de 
conexão, à concepção arquitetônica, à finalidade da estrutura ou a alguma função que 
o perfil deverá exercer, por exemplo, suporte para fixação de telhas. Quanto ao 
material, os mais utilizados são o aço e o alumínio, sendo que o uso do alumínio vem 
caindo acentuadamente nos últimos anos devido ao elevado custo. 
 O sistema MERO é o sistema mais conhecido e de uso mais difundido em 
todo mundo. Consiste em barras de seção tranversal tubular circular de aço com 
parafusos nas extremidades que são conectados a nós esféricos (Figura 3). 
 
 
Figura 3 – Sistema MERO. 
 
 
4.1 Sistemas utilizados noBrasil 
 No Brasil existe uma variedade de sistemas empregados. Estes sistemas 
variam de acordo com o fabricante, mas de maneira geral nenhum deles é 
patenteado, com exceção de algumas obras executadas pela MERO. Na maioria dos 
casos, estes sistemas foram criados a partir da própria experiência do fabricante ou 
da cópia de outros sistemas, e não foram submetidos a análises experimentais que 
comprovassem sua segurança, confiabilidade e adequação ao modelo teórico. 
 A seguir são descritos alguns tipos de sistemas de ligação para estruturas 
espaciais encontrados no Brasil. A nomenclatura aqui utilizada para descrever os 
sistemas não é padrão para todos os fabricantes, porém procurou-se utilizar as 
denominações mais utilizadas no mercado. 
 
4.1.1 Nó típico ou nó “amassado” 
 Neste sistema o nó é formado pela sobreposição das extremidades 
estampadas das barras unidas por um único parafuso e duas arruelas quadradas que 
confinam o conjunto (Figura 4). Este tipo é o mais empregado no país, devido ao 
baixo custo de fabricação e montagem. 
 Este nó vem sendo alvo de uma série de pesquisas teóricas e experimentais 
na EESC-USP, motivadas por acidentes ocorridos em obras que utilizavam este 
sistema. Segundo MAIOLA (1999), o nó típico constitui-se num detalhe limitado do 
ponto de vista estrutural, não explorando a capacidade das barras e induzindo à uma 
baixa rigidez da estrutura, tomando-se como parâmetro de comparação a treliça ideal 
em análise elástica de primeira ordem. 
 
4.1.2 Nó de aço 
 Neste sistema as barras são conectadas por parafusos a um nó composto por 
chapas soldadas, sendo teoricamente possível eliminar as excentricidades (Figura 4). 
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Estes nós apresentam um comportamento estrutural melhor que os anteriores, mas o 
custo de produção é muito superior. 
 
 
Figura 4 – Sistema de nó típico e nó de aço. 
 
 
 Os sistemas descritos anteriormente podem ser utilizados de maneira 
combinada, assim, é muito comum existirem na mesma estrutura nós típicos e nós de 
aço, sendo estes últimos utilizados nas regiões de maiores esforços. Nos sistemas de 
nó típico, as barras utilizadas são perfis de seção tranversal tubular circular com as 
extremidades estampadas. No sistema de nó de aço todas as barras podem 
apresentar as extremidades estampadas ou na forma de ponteira. A escolha pelo tipo 
de extremidade, na maioria das vezes, está ligada ao diâmetro e à espessura do tubo 
a ser conectado. Tubos de diâmetro e espessura elevados são difíceis de serem 
estampados, por isso opta-se pela execução de ponteiras, que constituem um detalhe 
de melhor desempenho estrutural. Salienta-se, que alguns fabricantes utilizam 
ponteiras para todos os diâmetros, não utilizando tubos estampados. 
 
5 ANÁLISE ESTRUTURAL DE TRELIÇAS ESPACIAIS 
 Algumas características fazem as estruturas espaciais reticuladas terem uma 
análise estrutural diferenciada, entre elas, a tridimensionalidade, a grande quantidade 
de elementos estruturais e o alto grau de hiperestaticidade. 
 Sendo a estrutura espacial reticulada um conjunto de barras interconectadas 
em um número finito de pontos, é natural esperar que um modelo discreto forneça 
uma melhor simulação do comportamento real do que um modelo contínuo. Porém, a 
confiabilidade do método discreto pode apresentar dois pontos de incerteza de difícil 
avaliação em modelos discretos: imperfeições geométricas e eficiência dos nós. 
Outra análise importante diz respeito ao comportamento linear ou não linear das 
estruturas espaciais. 
 Segundo MALLA & SERRETTE (1996), para pequenos deslocamentos e 
baixos valores de carregamento (condições de serviço), o material exibirá um 
comportamento elástico linear. Para estes casos, uma análise elástica linear é 
suficiente para prever o comportamento da estrutura. 
 HILL et al. (1989) sugerem um comportamento linear apenas para estruturas 
com pequenos deslocamentos e solicitações de serviço, desde que a região nodal 
represente corretamente esta condição. Para as demais estruturas, o comportamento 
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apenas pode ser adequadamente avaliado considerando as não linearidades física e 
geométrica. Para as treliças espaciais, devem ser consideradas as não linearidades 
tanto nas barras como nos nós. 
 Para análise não linear, podem ser considerados dois tipos de não 
linearidade: 
• geométrica: relacionada ao equilíbrio de um sistema estrutural na posição 
deslocada. A consideração da não lineridade geométrica é necessária 
quando a configuração deslocada da estrutura é significativamente 
diferente da configuração original; 
• física: relacionada ao comportamento não linear da relação tensão x 
deformação do material; 
 
 Para as treliças espaciais é interessante a análise das não lineridades 
geométricas, pois alguns de seus efeitos, tais como grandes deslocamentos e 
rotações, podem alterar significativamente o equilíbrio da estrutura. Imperfeições 
geométricas tais como falta de linearidade das barras e excentricidades de 
carregamento tendem a amplificar o comportamento não linear. 
 Para se realizar uma análise não linear física, é necessário idealizar um 
modelo constituivo (tensão x deformação) para o material. Conforme citado por 
SOUZA (1998), para as barras tracionados o diagrama tensão x deformação é 
facilmente obtido por meio de um ensaio de tração. Porém, para barras comprimidas é 
mais complicado estabelecer o comportamento tensão x deformação, pois se deve 
considerar o efeito da flambagem. A flambagem destas barras depende, além das 
características do material, da esbeltez e das condições de vinculação. 
 
6 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL DE TRELIÇAS ESPACIAIS 
6.1 Comprimento de flambagem das barras 
 Usualmente, as barras comprimidas têm seu comprimento de flambagem 
tomado igual à distância de centro a centro dos nós. Segundo MARSH (2000), o 
comprimento de flambagem de uma barra comprimida é função da orientação das 
barras que se conectam ao nó, das suas rigidezes à torção, das forças atuantes e do 
modo de conexão ao nó. Se todas as barras que se conectam ao nó estiverem com 
seus valores máximos de compressão, como pode ocorrer na região central de uma 
estrutura de cobertura, não haverá restrição a nenhuma das barras e o comprimento 
de flambagem dos banzos e diagonais será a distância de centro à centro dos nós, 
para flambagem em torno de quaisquer eixos. Se os banzos e as diagonais estiverem 
pouco solicitados em relação a suas capacidades máximas, o parâmetro efetivo de 
flambagem (K) para os banzos comprimidos pode chegar a 0,7. Por outro lado, a 
instabilidade no nó pode reduzir a capacidade para um valor abaixo do valor de uma 
rótula simples, resultando K > 1. 
 MADI & EL-TAYEM (1991) sugerem os seguintes valores de K para uso em 
uma análise elástica : 
• Barras com seção completa na extremidade (barras com as extremidades 
soldadas): K = 0,70; 
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• Barras com seção reduzida nas extremidades (barras com as 
extremidades tronco-cônicas, por exemplo, sistema MERO – Figura 3): K 
= 0,90; 
• Barras com extremidades estampadas (por exemplo, sistema de nó típico 
– Figura 4): K = 0,95. 
 
 Vale salientar que os valores citados por MADI & EL-TAYEM (1991) são 
contra a segurança. Por exemplo, para o caso de barras com extremidades 
estampadas (nó típico), devido as deficiências deste tipo de ligação, o valor de K pode 
ser superior a 1. Na prática, os projetistas, no Brasil, utilizam K igual a 1.6.2 Comportamento dos elementos e do conjunto 
 Segundo SCHMIDT (2000), a resposta global de uma treliça espacial será, 
geralmente, muito dependente das características de resistência das barras 
comprimidas. Como a maioria das barras em uma treliça espacial tem esbeltez 
elevada, as respostas das barras comprimidas e da treliça ao carregamento último 
apresentam um comportamento instável. Conseqüentemente, até mesmo o valor 
teórico referente ao limite do comportamento elástico pode não ser alcançado devido 
ao comportamento instável das barras, as quais são particularmente sensíveis às 
imperfeições, tais como curvatura inicial e excentricidades da força normal. 
 Os esforços atuantes nas barras podem variar consideravelmente em relação 
aos obtidos na análise teórica, por causa das imperfeições nas linhas de ação das 
forças, tolerâncias nos comprimentos das barras e a existência de estados pré-
tensionados que interagem com estes fatores. A montagem de centenas, se não 
milhares, de barras com alto grau de interação na treliça espacial, significa que forças 
iniciais podem ser geradas durante a montagem, que não são levadas em conta 
durante o cálculo. 
 Segundo MURTHA-SMITH (1994), existe continuidade entre as barras em 
muitas treliças espaciais devido ao sistema de conexão empregado. O efeito da 
continuidade é o aumento do nível de carregamento requerido para causar a 
instabilidade da primeira barra, contudo, não necessariamente aumenta o 
carregamento requerido para levar à ruína. 
 Conforme citado por MAIOLA (1999), a instabilidade rotacional das conexões 
pode influenciar o comportamento da estrutura. Esta instabilidade pode ser causada 
pela redução de rigidez das barras nas extremidades, ações de forças excêntricas, 
forças desbalanceadas no nó ou pela própria flexibilidade da conexão. 
 
6.3 Ruína estrutural 
 Segundo MARSH (2000), o início da ruína pode se dar devido a qualquer um 
dos seguintes estados limites: 
• Falha por falta de resistência à tração; 
• Falha por falta de resistência à compressão; 
• Falha por falta de resistência da conexão; 
• Instabilidade da região nodal. 
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 Se a falha de uma barra conduz à ruína ou à redistribuição de esforços entre 
as barras com maior resistência, depende da posição da barra. Por exemplo, as 
diagonais, exceto aquelas ligadas aos apoios, não são usualmente críticas, e muitas 
podem falhar antes que a ruína ocorra. 
 Geralmente assume-se que uma boa concepção estrutural requeira que um 
razoável grau de hiperestaticidade seja estabelecido na estrutura. Assim, se ocorrer a 
falha de uma ou várias barras, a estrutura irá se deformar de uma maneira dúctil, e 
não numa maneira catastrófica. No dimensionamento de estruturas espaciais é 
necessário que seja dada atenção especial a esta situação, pois nem sempre alto 
grau de hiperestaticidade indica alta reserva de resistência (SCHIMDT 2000). 
 Segundo MALLA & SERRETTE (1996), várias situações, tais como vibração 
excessiva, imperfeições geométricas, impactos, acidentes, defeitos em materiais e 
conexões, e fenômenos de flambagem, podem causar danos, ou grandes 
deformações, ou aumento de tensão em uma barra ou em parte da estrutura. Apesar 
de um dano em uma barra afetar inicialmente uma pequena porção da estrutura, ele 
tem potencial para se propagar para outras partes da estrutura e pode até causar a 
ruína da estrutura. Este tipo de mecanismo de falha é conhecido por “colapso 
progressivo”, e resulta da redistribuição de esforços quando uma barra falha, 
causando conseqüentemente, um aumento de solicitação em outra barra. 
 
7 ASPECTOS RELATIVOS AO PROJETO DE TRELIÇAS ESPACIAIS 
7.1 Apoios 
 A quantidade e a disposição dos apoios exercem grande influência no 
comportamento das treliças espaciais, pois determinam os vãos livres e balanços. 
 As restrições impostas, quanto às translações e às rotações, nos pontos de 
apoio também influenciam muito no comportamento. Geralmente, os apoios 
apresentam restrições às translações verticais e horizontais. As restrições podem ser 
totais ou parciais, neste caso são substituídas por coeficientes de mola que 
representam as rigidezes dos pontos de apoio. 
 Normalmente, as treliças espaciais apresentam elevadas reações horizontais, 
causadas tanto pela variação de temperatura, como pela ação do vento nos 
fechamentos das treliças. Quando existem limitações quanto à máxima reação 
horizontal, seja pela resistência do pilar ou da fundação, os apoios podem ser do tipo 
móvel, com translações livres em uma ou mais direções horizontais. Os apoios do tipo 
móvel eliminam as reações horizontais, porém aumentam os deslocamentos. 
 Existem diversas formas e tipos de apoio, algumas utilizadas são: 
• Apoios no banzo inferior: são os mais utilizados, pois tornam os apoios 
mais simples e evitam as interferências (Figura 5); 
• Apoios no banzo superior: são menos utilizados, pois podem ocorrer 
interferências entre as diagonais da treliça e a seção do pilar, dependendo 
das dimensões e dos ângulos envolvidos. Normalmente ocorrem quando a 
modulação do banzo superior coincide com o ponto em que deve estar o 
pilar pelo projeto arquitetônico (Figura 5); 
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• Apoios do tipo “pé-de-galinha”: o ponto de apoio está abaixo do nível do 
banzo inferior, sendo a ligação da estrutura ao ponto de apoio feita por 
meio de diagonais auxiliares. Estes apoios geralmente são escolhidos 
para atender a um destes três fatores: projeto arquitetônico, falta de 
coincidência da modulação do banzo inferior com o ponto de apoio ou 
tentativa de diminuição do vão livre entre apoios (Figura 5); 
• Apoios do tipo “engaste”: as barras da treliça apóiam-se em mais de um 
nível do pilar. Utilizados em treliças espaciais com mais de duas camadas 
de banzo, em que existam limitações de deslocamentos ou de reações de 
apoio. São de difícil execução pois implicam em interferências entre as 
barras e o pilar (Figura 5); 
 
 
Figura 5 – Apoios: no banzo inferior, no banzo superior, tipo “pé-de-galinha” e tipo “engaste”. 
 
 
7.2 Arranjo geométrico 
 Existem diversos arranjos geométricos possíveis, que levam a diferentes 
distribuições de tensões. Formas geométricas ótimas geralmente apresentam tensões 
distribuídas uniformemente. Alguns fatores importantes na determinação do arranjo 
geométrico mais apropriado são a quantidade e a posição dos apoios, o layout em 
planta da edificação, o custo dos nós e as técnicas de montagem e içamento a serem 
utilizadas. 
 Segundo AGERSKOV (1986), a determinação do arranjo geométrico ótimo 
não deve estar associada apenas às soluções de mínimo peso, devem ser levados 
em conta outros fatores, tais como, número de nós (25% a 75% do custo da treliça – 
IFFLAND 1982) e número de barras. A densidade de barras na estrutura deve ser 
baixa, pois além de reduzir o consumo de material diminui o número de nós e o custo 
da montagem. A estrutura deve apresentar barras tracionadas longas e barras 
comprimidas curtas. 
 Várias formas têm sido utilizadas ao longo dos anos. Os tipos de unidades 
básicas construtivas mais utilizados são a tetraédrica, a cúbica e a octaédrica, por 
apresentarem melhor adequação às treliças espaciais planas. No uso destas formas, 
naturalmente tem se tentado otimizar a disposição das barras nos arranjos, de tal 
forma que a resistência da treliça seja aumentada. Alguns dos arranjos geométricos 
mais utilizados nas obras correntes e também mais analisados nas pesquisas teóricas 
e experimentais são: 
• Arranjo quadrado sobre quadrado com defasagem de meio módulo: este é 
sem