Verifique que a matriz A =              520 262 027 é diagonalizável. Determine uma matriz diagonal D e uma matriz P, que represent...

Para verificar se a matriz A é diagonalizável, precisamos verificar se ela possui um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. Para isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz A. Calculando o determinante da matriz A - λI, onde I é a matriz identidade e λ é o autovalor desconhecido, temos: |A - λI| = | -λ -2 0 | | 0 -λ 3 | | 1 2 -λ | = -λ[(λ)(-λ)(-λ) + 6(-λ) - 6] - 2[(-λ)(-λ) + 3(1)] + 2[(-λ)(2) - 3(1)] = -λ³ + 3λ² + 2λ - 6 Podemos fatorar essa expressão como: -λ³ + 3λ² + 2λ - 6 = -(λ - 2)(λ - 3)(λ + 1) Portanto, os autovalores da matriz A são λ1 = 2, λ2 = 3 e λ3 = -1. Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, precisamos resolver o sistema de equações (A - λI)x = 0 para cada autovalor. Para λ1 = 2, temos: (A - 2I)x = | -2 -2 0 | | 0 -2 3 | | 1 2 -2 | = | -2 -2 0 | | 0 -2 3 | | 0 0 -4 | As soluções desse sistema são da forma x1 = (-1/2)x2 e x3 = 0. Portanto, um autovetor correspondente a λ1 é: v1 = | 1 | |-2 | | 0 | Normalizando v1, temos: v1' = | 1/√5 | |-2/√5 | | 0 | Para λ2 = 3, temos: (A - 3I)x = | -3 -2 0 | | 0 -3 3 | | 1 2 -3 | = | -3 -2 0 | | 0 -3 3 | | 0 0 0 | As soluções desse sistema são da forma x1 = (-2/3)x2 e x3 = x3. Portanto, um autovetor correspondente a λ2 é: v2 = | 2 | |-3 | | 1 | Normalizando v2, temos: v2' = | 2/√14 | |-3/√14 | | 1/√14 | Para λ3 = -1, temos: (A + I)x = | -1 -2 0 | | 0 -1 3 | | 1 2 -1 | = | 0 0 0 | | 0 -1 3 | | 1 2 0 | As soluções desse sistema são da forma x1 = (-2/3)x2 e x3 = x3. Portanto, um autovetor correspondente a λ3 é: v3 = | 2 | |-3 | | 3 | Normalizando v3, temos: v3' = | 2/√22 | |-3/√22 | | 3/√22 | Agora que encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor, podemos montar a matriz P, cujas colunas são os autovetores normalizados: P = | 1/√5 2/√14 2/√22 | |-2/√5 -3/√14 -3/√22 | | 0 1/√14 3/√22 | Para encontrar a matriz diagonal D, basta colocar os autovalores na diagonal principal: D = | 2 0 0 | | 0 3 0 | | 0 0 -1 | Para verificar se A é diagonalizável, precisamos verificar se a matriz P é invertível. Podemos verificar isso calculando o determinante de P: |P| = √5 * √14 * √22 = √(5 * 14 * 22) ≠ 0 Portanto, P é invertível e A é diagonalizável. Para verificar se a diagonalização está correta, podemos calcular PDP^-1 e verificar se o resultado é igual a A.