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São Carlos, v.8 n. 30 2006 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
Reitor: 
Profa. Titular SUELY VILELA SAMPAIO 
 
Vice-Reitor: 
Prof. Titular FRANCO MARIA LAJOLO 
 
 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
 
Diretor: 
Prof. Titular FRANCISCO ANTONIO ROCCO LAHR 
 
Vice-Diretor: 
Prof. Titular ARTHUR JOSÉ VIEIRA PORTO 
 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS 
 
Chefe do Departamento: 
Prof. Titular CARLITO CALIL JUNIOR 
 
Suplente do Chefe do Departamento: 
Prof. Titular SÉRGIO PERSIVAL BARONCINI PROENÇA 
 
Coordenador de Pós-Graduação: 
Prof. Associado MARCIO ANTONIO RAMALHO 
 
Coordenadora de Publicações e Material Bibliográfico: 
MARIA NADIR MINATEL 
e-mail: minatel@sc.usp.br 
 
Editoração e Diagramação: 
FRANCISCO CARLOS GUETE DE BRITO 
MASAKI KAWABATA NETO 
MELINA BENATTI OSTINI 
TATIANE MALVESTIO SILVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Carlos, v.8 n. 30 2006 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Engenharia de Estruturas 
Escola de Engenharia de São Carlos – USP 
Av. Trabalhador Sãocarlense, 400 – Centro 
CEP: 13566-590 – São Carlos – SP 
Fone: (16) 3373-9481 Fax: (16) 3373-9482 
site: http://www.set.eesc.usp.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SSUUMMÁÁRRIIOO 
 
 
 
Análise teórico-experimental de elementos comprimidos de aço: ênfase em 
perfis soldados 
Geraldo Donizetti de Paula & Roberto Martins Gonçalves 1 
 
Análise de pontes de madeira protendidas transversalmente formadas por 
vigas-T 
Nívea Mara Pereira Alves & Antonio Alves Dias 27 
 
Efeitos do confinamento em pilares de concreto armado encamisados com 
compósito de fibra de carbono 
Ricardo Carrazedo & João Bento de Hanai 59 
 
Tabuleiro ortótropo treliçado protendido transversalmente para aplicação em 
pontes de madeira 
Andrés Batista Cheung & Carlito Calil Junior 79 
 
Pilares de concreto de alta resistência confinados por estribos retangulares e com 
adição de fibras de aço 
Humberto Correia Lima Júnior & José Samuel Giongo 111 
 
Análise não linear física de placas e cascas anisotrópicas laminadas acopladas ou não 
com meio contínuo tridimensional viscoelástico através da combinação entre o MEC e 
o MEF 
Rodrigo Ribeiro Paccola & Humberto Breves Coda 135 
 
 
ISSN 1809-5860 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p. 1-25, 2006 
ANÁLISE TEÓRICO-EXPERIMENTAL DE 
ELEMENTOS COMPRIMIDOS DE AÇO: ÊNFASE EM 
PERFIS SOLDADOS 
Geraldo Donizetti de Paula1 & Roberto Martins Gonçalves 2 
 
Resumo 
Este trabalho apresenta resultados de uma análise teórico-experimental sobre a 
resistência à compressão de perfis I soldados de aço, formados por chapas cortadas 
a maçarico. A construção metálica no Brasil utiliza os perfis I soldados de aço 
formados por chapas cortadas a maçarico em virtude da pouca disponibilidade no 
mercado dos perfis laminados. Os perfis soldados brasileiros apresentam dimensões 
(altura, largura de mesa e espessura) diferentes das encontradas nos perfis 
laminados e soldados, fabricados em outros países. Apresentam-se os principais 
parâmetros envolvidos na formulação das curvas de resistência à compressão para 
perfis soldados de pequenas dimensões, tais como: tensões residuais, imperfeições 
geométricas iniciais e seus efeitos no cálculo da resistência à compressão dos perfis 
soldados compostos por chapas cortadas a maçarico. Os perfis ensaiados pertencem 
às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29, sendo que foram obtidos resultados 
experimentais da força normal crítica e das imperfeições geométricas iniciais para três 
modelos de cada série com quatro índices de esbeltez diferente. 
 
Palavras-chave: perfis soldados de aço; resistência à compressão; imperfeições 
iniciais. 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 Apresenta-se neste trabalho as formulações analíticas baseadas no modelo de 
2ª espécie, os principais parâmetros que regem as curvas de resistência à 
compressão dos perfis de aço estrutural e os resultados de uma análise teórico-
experimental sobre a resistência à compressão dos perfis I soldados de aço formados 
por chapas cortadas a maçarico (I – FC) das séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e 
PS 225 x 29. 
 A análise experimental consta-se do ensaio de caracterização do aço, do 
ensaio para medir as imperfeições iniciais transversais medidas ao longo do 
 
1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, geraldo@em.ufop.br 
2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, goncalve@sc.usp.br 
 
Geraldo Donizetti de Paula & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p. 1-25, 2006 
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comprimento dos perfis e do ensaio à compressão dos perfis I – FC, com três 
modelos para cada série, sendo utilizados quatro índices de esbeltez λ diferente. 
 Os resultados teóricos e experimentais se referem à força normal crítica dos 
modelos ensaiados à compressão. 
 Utiliza-se a nomenclatura PS para representar as séries de perfis I soldados 
de aço duplamente simétricos, não relacionadas nas Tabelas do anexo B da norma 
NBR 5884: 2000, atendendo uma recomendação da própria norma. 
 
2 ANÁLISE TEÓRICA 
 Apresenta-se nesta seção uma análise baseada no denominado modelo de 
2a espécie, admitindo o equilíbrio do elemento comprimido em sua posição deslocada 
e as curvas de resistência à compressão recomendadas pelas normas brasileira 
NBR 8800:1986 e européia Eurocode 3:1992. 
 A partir da análise do modelo de 2a espécie pode-se definir os principais 
parâmetros envolvidos na formulação das curvas de resistência à compressão para as 
diversas famílias de perfis de aço estrutural. 
 Os resultados da força normal crítica teórica de cada modelo analisado são 
determinados a partir das curvas b e c da norma Eurocode 3:1992, admitindo as 
imperfeições iniciais v0 medidas em laboratório. 
 
2.1 Modelo de 2ª espécie 
 O modelo de 2a espécie, considerado nesta análise, representa um elemento 
comprimido com articulações nas extremidades em sua posição deslocada, ou seja, 
um elemento com um deslocamento inicial v0 no meio do vão, conforme ilustra a 
Figura 1. 
 
 
v0
N 
N 
L 
L/2 
L/2 
posição 
deslocada
x 
y 
 
 
 
 
 (a) elemento comprimido (b) perspectiva 
Figura 1 - Modelo de 2a espécie. 
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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p.1-25, 2006 
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 Admitindo o equilíbrio do elemento na posição deslocada, obtém-se a 
expressão para o momento de segunda ordem: 
 
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−= N N 1
1
 NvM
e
0 (1) 
 Para análise de um modelo de 2ª espécie, pode-se admitir a verificação da 
resistência na seção mais solicitada de um elemento comprimido na sua configuração 
deformada. 
 Admitindo que a máxima tensão num elemento comprimido seja igual à tensão 
de escoamento do material fy, tem-se a expressão da flexão composta, definida como: 
 
y
g
f
W
M
A
N =+ (2) 
 
Substituindo a expressão (1) em (2) e introduzindo Ag, obtém-se: 
y
e
0
g
g
g
f
N N1
1 v
A
A
 
W
N
A
N =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+ (3) 
 
Rearranjando a equação (3), tem-se: 
y
egg
f
N N1
1 
A
N
A
N =⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
η+ (4) 
 
onde: 
 
W
v A 0g=η (5) 
 
Reescrevendo a expressão (4), tem-se: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
η
eg
y
g N
N1 
A
Nf
A
N (6) 
Dividindo os dois termos da equação (6) por fy e reescrevendo, tem-se: 
( )( )eN N1 N1 N −−=η (7) 
 
onde: 
yyg N
N
f A
N
N ==ρ= (força normal resistente) (8) 
Rearranjando a expressão (7), obtém-se: 
( )( )2 N1 N1 N λ−−=η (9) 
onde: 
Geraldo Donizetti de Paula & Roberto Martins Gonçalves 
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4
e
y
e
y
e f
f
 
N
N
 
N
N ρ=ρ= (10) 
2 
2 
e
E 
f λ
π= (tensão crítica de Euler) (11) 
y
2
p
f
E 
 
π=λ (índice de esbeltez correspondente a plastificação) (12) 
pλ
λ=λ (índice de esbeltez reduzido) (13) 
 
A expressão (9) é conhecida como fórmula adimensional de “Ayrton-Perry”. 
Rearranjando esta, obtém-se: 
 ( ) ( ) 01 1 2 22 =+ρλ+η+−ρλ (14) 
 
 O valor de ρ possibilita o cálculo da força normal crítica, cuja solução é: 
 ( ) ( )
2
2222
 2
 4 1 1 
λ
λ−+η+λ±+η+λ=ρ (15) 
 
 Deve-se desprezar a maior raiz da equação (15) para obter-se a menor força 
normal crítica de compressão. O parâmetro η representa matematicamente a 
influência das imperfeições iniciais v0 e os efeitos de tensão residual. 
 MAQUOI & RONDAL (1978) apresentaram sete (07) proposições para o 
parâmetro η. As proposições para η foram obtidas por meio de resultados de ensaios 
realizados na Europa, considerando tensões residuais e uma imperfeição inicial 
padrão v0 = L / 1000. Propuseram-se inicialmente quatro curvas de resistência à 
compressão para diversas “famílias” de perfis de perfis de aço estruturais, “famílias” 
estas definidas pela distribuição das tensões residuais. 
 A partir do parâmetro η pode-se determinar um coeficiente γ, o qual associa a 
uma imperfeição geométrica fictícia que considera o tipo da seção transversal e os 
eixos considerados. 
Dividindo o segundo termo da expressão (5) por y / y, obtém-se: 
 
( ) W y y 
v A 0g=η (16) 
 
Define-se y como a distância da fibra mais comprimida em relação ao eixo 
considerado, conforme o esquema da Figura 2. 
 
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5
xx
y
 
Figura 2 - Representação da distância y ao eixo x – x. 
 
 
 
Considerando-se que W.y = I, tem-se da expressão (17): 
 
y I 
v A 0g=η (17) 
Substituindo gA I r = na expressão (17), obtém-se: 
 
y r
v
2 
0=η (18) 
 
O fator v0 representa as imperfeições geométricas iniciais, o qual pode ser 
expresso em função de uma imperfeição padrão. 
 
γ=
Lv0 (19) 
 
onde γ é um número definido para cada tipo de seção e dos eixos considerados. 
 
Substituindo a expressão (19) na equação (18), tem-se: 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛γ
=η
y r 
L
2
 (20) 
 
Admitindo por definição λ = L / r e rearranjando a expressão (20), tem-se: 
 
( ) y r γ λ=η (21) 
 
 Isolando γ na expressão (21), tem-se: 
 
( ) y r η λ=γ (22) 
 
 Substituindo (12) e (13) na expressão (22) e rearranjando, obtém-se: 
 ( )
( ) y r 
f E y
η
πλ=γ (23) 
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 Considerando o índice de esbeltez reduzido λ a partir do patamar de 
escoamento, ρ = 1,0 para 0λ≤λ , a expressão (23) resulta em: 
 ( )
( )y r 
f E y0
η
πλ−λ=γ (24) 
 
 Substituindo η da expressão (24) por ( )0λ−λα=η , parâmetro utilizado pela 
normalização européia - Eurocode 3: 1992, tem-se: 
( )y r 
f E y
α
π=γ (25) 
 
 A Tabela 1 apresenta valores da relação r / y para os perfis I – FC ensaiados à 
compressão no Laboratório de Estruturas do Departamento de Engenharia de 
Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos. 
 
Tabela 1 - Valores da relação r / y para os perfis I – FC ensaiados 
Perfil Séries Eixo Valor de r / y 
 CS 150 x 25 x – x 0,85 
 y – y 0,50 
 PS 200 x 25 x – x 0,83 
 y – y 0,46 
 PS 225 x 29 x – x 0,83 
 y – y 0,46 
 
 
 
 O parâmetro α considerado na expressão (25) representa as contribuições das 
tensões residuais α1 e da imperfeição geométrica α2, respectivamente, como: 
 
α = α1 + α2 (26) 
 
 Admitindo na expressão (25) α = α2 e γ = 1000, tem-se que: 
 
( ) y r 1000
f E y
2
π=α (27) 
 
 A partir das expressões (25), (26) e (27) pode-se estabelecer um parâmetro α* 
para determinar o fator de redução da força normal crítica ρ de um perfil de aço 
estrutural contendo tensões residuais e uma imperfeição geométrica inicial igual a 
L / γ, como: 
 
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −γ
π+α=α
1000
11
y r 
f E y* (28) 
 
x x 
y 
y 
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onde: 
α ⇒ coeficiente que representa a contribuição das tensões residuais; 
γ ⇒ número correspondente ao denominador da fração que representa uma 
imperfeição geométrica inicial (por exemplo: 500, 1000, 2000). 
 
 Cabe salientar que o fator γ = 1000 foi adotado para o estabelecimento das 
curvas de resistência à compressão das diversas famílias de perfisde aço estrutural. 
 MAQUOI & RONDAL (1979) recomendam considerar o valor de α da 
expressão (28) em função da curva de resistência à compressão correspondente ao 
perfil considerado. 
 Por exemplo, utilizando a norma Eurocode 3: 1992 para a determinação da 
resistência à compressão dos perfis I – FC analisados neste trabalho, os valores de α 
para as curvas b e c são 0,339 e 0,489, conforme ilustra a Tabela 3. 
 
2.2 Curvas de resistência à compressão 
 A representação matemática das curvas de resistência à compressão adotada 
pela normalização européia teve sua origem a partir da formulação analítica proposta 
por Aryton-Perry, ou seja, a menor raiz da expressão (15), ou seja, expressão (29). 
MAQUOI & RONDAL (1978) adotou expressão (29) ajustando esta com o 
parâmetro 20
2 λ−λα=η , para diversas famílias de perfis de aço estrutural, de tal 
forma que os valores de α sejam os apresentados na Tabela 2. Esta formulação foi 
adotada pela norma Eurocode 3: 1978 (DRAFT). 
 
( ) ( )
2
2222
 2
 4 1 1 
λ
λ−+η+λ−+η+λ=ρ (29) 
 
Tabela 2 - Valores de α 
curva α 
a 0,158 
b 0,281 
c 0,384 
d 0,587 
 
 
 
 A norma brasileira NBR 8800: 1986 baseou-se nas recomendações do 
Eurocode 3: 1978 (DRAFT) para estabelecer suas curvas de resistência à compressão 
das diversas famílias de perfis de aço estrutural. 
MAQUOI & RONDAL (1979) admitiu o parâmetro ( ) 0λ−λα=η na expressão 
(29) ajustando esta para diversas famílias de perfis de aço estrutural, propondo novas 
curvas de resistência à compressão, com os valores de α ilustrados na Tabela 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geraldo Donizetti de Paula & Roberto Martins Gonçalves 
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8
Tabela 3 - Valores de α 
curva α 
a 0,206 
b 0,339 
c 0,489 
d 0,756 
 
 
 
 Em 1983 a norma Eurocode 3 corrigiu suas curvas de resistência à 
compressão e recomendou-se a formulação proposta por MAQUOI & RONDAL (1979). 
Cabe salientar que a nova formulação é representada pela expressão (29) com o 
parâmetro ( ) 0λ−λα=η e os valores de α da Tabela 3. 
 
2.3 Seção transversal dos perfis analisados 
 Os perfis formados por chapas cortadas a maçarico (I – FC) analisados neste 
trabalho, pertencem às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29, cujas 
dimensões nominais e médias encontram-se ilustradas na Tabela 4 e suas 
respectivas propriedades geométricas na Tabela 5. 
 Cabe salientar que as dimensões médias da seção transversal dos perfis 
foram medidas no Laboratório de Estruturas do Departamento de Engenharia de 
Estruturas da EESC - USP, com um paquímetro de sensibilidade igual a 0,01 mm. 
 
Tabela 4 - Seções transversais analisadas (dimensões nominais e médias) 
Dimensões nominais (mm) Dimensões médias (mm) Seção Transversal Perfil 
d h bf tf tw d h bf tf tw 
CS 
150 x 25 150 134 150 8,0 6,3 
152 135,8 152 8,1 6,7
PS 
200 x 25 200 184 130 8,0 6,3 
202 185,8 132 8,1 6,7
 
PS 
225 x 29 225 209 150 8,0 6,3 
227 210,8 152 8,1 6,7
 
 
 
Tabela 5 - Propriedades geométricas dos perfis 
Perfil Ag 
(cm2) 
Ix 
(cm4) 
Iy 
(cm4) 
It 
(cm4)
Wx 
(cm3) 
Wy 
(cm3) 
rx 
(cm)
ry 
(cm)
r02 
(cm2) 
Cw 
(cm6) 
CS 150 33,72 1415,91 474,43 6,75 186,30 62,43 6,48 3,75 56,06 24542,91 
PS 200 33,83 2369,24 310,96 6,54 234,58 47,12 8,37 3,03 79,23 29184,43 
PS 225 38,75 3474,13 474,62 7,50 306,09 62,45 9,47 3,50 101,90 56793,16 
 
 
 
 
t
tf
h
b
tf
xx
y 
y 
d
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9
 As propriedades geométricas apresentadas na Tabela 5 foram determinadas 
admitindo-se as dimensões médias dos perfis ilustradas na Tabela 4. 
 
2.4 Resultados da análise teórica 
 Os resultados apresentados nesta seção correspondem aos valores da força 
normal crítica teórica, obtida por meio das curvas b e c norma Eurocode 3: 1992, de 
para cada modelo ensaiado com suas respectivas imperfeições iniciais v0. Salientando 
que v0 corresponde às imperfeições transversais medidas ao longo do comprimento 
do perfil. 
 Determina-se a força normal crítica teórica NT, para os modelos ensaiados à 
compressão, por meio da expressão (30). 
 
ygT f A N ρ= (30) 
 
 Sendo Ag a área bruta da seção transversal e fy a tensão de escoamento do 
aço. Os valores de Ag para os modelos pertencentes às séries CS 150 x 25, PS 200x25 
e PS 225x29 estão apresentados na Tabela 5. 
Determina-se o fator de redução da resistência ρ da expressão (30) por meio 
da expressão (29), apresentada na seção 2.2, admitindo nesta equação os seguintes 
parâmetros: 
 ( )0* λ−λα=η (31) 
 
2,00 =λ (32) 
E
f
 
r
kL
 
1 y
y
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
π=λ (33) 
 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −γ
π+α=α
1000
11
y r 
f E y* (34) 
 
 Para o cálculo da força normal crítica teórica por meio das curvas b e c da 
norma Eurocode 3: 1992, considerando as imperfeições iniciais v0, utiliza-se o 
parâmetro α* da expressão (34) com os valores de α apresentados na Tabela 3. 
 Admitiu-se para a determinação da força normal crítica teórica, o módulo de 
elasticidade E = 20500 kN / cm2 e a tensão de escoamento do aço fy = 30 kN / cm2. Os 
valores de E e de fy correspondem aos valores médios, aproximados, obtidos a partir 
da caracterização do aço, por meio do ensaio à tração de corpos-de-prova retirados 
das mesas dos perfis soldados. 
 A força normal crítica NT é obtida para uma imperfeição inicial v0 / L = 1 / γ 
(medida no Laboratório para cada modelo) e a força normal crítica NT* é determinada 
para uma imperfeição inicial padrão v0* / L = 1 / 1000. 
 As Tabelas 6, 7 e 8 apresentam os valores da força normal crítica teórica para 
os modelos pertencentes às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29. 
 Nas Tabelas 6, 7 e 8 as forças críticas (NT)Eb e (NT)Ec são determinadas por 
meio das curvas b e c da norma Eurocode 3: 1992, com a imperfeição inicial 
v0 / L = 1 / γ para cada modelo, enquanto que as forças (NT*)Eb e (NT*)Ec são obtidas 
com a imperfeição inicial padrão v0* / L = 1 / 1000. 
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10
 Adotou-se para a determinação de λ e λ um fator comprimento efetivo 
k = 0,85, como sendo uma aproximação do valor médio obtido a partir da deformada 
dos os modelos ensaiados à compressão e a flambagem por flexão em torno do eixo 
de menor inércia (y-y). 
 
 
Tabela 6 - Valores da força normal crítica teórica para o perfil CS 150 x 25 
Modelo L 
(cm) 
λ v0 / L (NT)Eb 
(kN) 
(NT*)Eb 
(kN) 
(NT)Ec 
(kN) 
(NT*)Ec 
(kN) 
(NT)Eb / (NT*)Eb (NT)Ec / (NT*)Ec 
1 180 0,50 1/1593 915 893 871 851 1,025 1,024 
2 180 0,50 1/1895 920 893 876 851 1,030 1,029 
3 180 0,50 1/1698 916 893 873 851 1,026 1,026 
1 220 0,61 1/1264 858 840 803 786 1,021 1,022 
2 220 0,61 1/928* 839 840 786 786 0,999 1,000 
3 220 0,61 1/1196 854 840 799 786 1,017 1,017 
1 290 0,80 1/1534 762 727 692 664 1,048 1,042 
2 290 0,80 1/2266 782 727 707 664 1,076 1,065 
3 290 0,80 1/1629 766 727 695 664 1,054 1,0471 360 1,00 1/1698 642 600 574 543 1,070 1,057 
2 360 1,00 1/1818 645 600 577 543 1,075 1,063 
3 360 1,00 1/1423 632 600 567 543 1,053 1,044 
* Deslocamento inicial v0 superior ao valor permitido pela norma NBR 5884, ou seja, L / 1000. 
 
 
 
 O modelo 2, de comprimento L = 220 cm, do perfil CS 150 x 25 apresenta um 
deslocamento inicial v0 superior a L / 1000, porém a força NT iguala-se à força NT*. 
 
 
Tabela 7 - Valores da força normal crítica teórica para o perfil PS 200 x 25 
Modelo L 
(cm) 
λ v0 / L (NT)Eb 
(kN) 
(NT*)Eb 
(kN) 
(NT)Ec 
(kN) 
(NT*)Ec 
(kN) 
(NT)Eb / (NT*)Eb (NT)Ec / (NT*)Ec 
1 150 0,51 1/1389 908 889 863 845 1,021 1,021 
2 150 0,51 1/1420 909 889 863 845 1,023 1,021 
3 150 0,51 1/1304 905 889 860 845 1,018 1,018 
1 200 0,68 1/1087 812 800 751 741 1,015 1,008 
2 200 0,68 1/1242 821 800 759 741 1,026 1,024 
3 200 0,68 1/1136 815 800 754 741 1,019 1,018 
1 240 0,82 1/1290 744 716 675 653 1,039 1,034 
2 240 0,82 1/938* 718 716 655 653 1,003 1,003 
3 240 0,82 1/1212 739 716 672 653 1,032 1,029 
1 300 1,02 1/787* 570 582 519 526 0,979 0,987 
2 300 1,02 1/1685 625 582 559 526 1,074 1,063 
3 300 1,02 1/1240 606 582 545 526 1,041 1,036 
* Deslocamento inicial v0 superior ao valor permitido pela norma NBR 5884, ou seja, L / 1000. 
 
 
Análise teórico-experimental de elementos comprimidos de aço: ênfase em perfis soldados 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p.1-25, 2006 
11
Tabela 8 - Valores da força normal crítica teórica para o perfil PS 225 x 29 
Modelo L 
(cm) 
λ v0 / L (NT)Eb
(kN) 
(NT*)Eb 
(kN) 
(NT)Ec 
(kN) 
(NT*)Ec 
(kN) 
(NT)Eb / (NT*)Eb (NT)Ec / (NT*)Ec 
1 160 0,47 1/1282 1054 1039 1009 994 1,014 1,015 
2 160 0,47 1/1695 1065 1039 1019 994 1,025 1,025 
3 160 0,47 1/1356 1057 1039 1011 994 1,017 1,017 
1 200 0,59 1/1980 1018 974 953 914 1,045 1,043 
2 200 0,59 1/1220 993 974 931 914 1,020 1,019 
3 200 0,59 1/1328 998 974 936 914 1,025 1,024 
1 250 0,74 1/1289 907 879 832 808 1,032 1,030 
2 250 0,74 1/1572 922 879 843 808 1,049 1,043 
3 250 0,74 1/1269 906 879 831 808 1,031 1,029 
1 350 1,04 1/1944 717 659 639 596 1,088 1,072 
2 350 1,04 1/1563 704 659 630 596 1,068 1,057 
3 350 1,04 1/1584 704 659 631 596 1,068 1,059 
 
 
 
 O modelo 1, de L = 300 cm, do perfil PS 200 x 25 apresenta um deslocamento 
inicial v0 / L = 1 / 717 superior ao deslocamento inicial v0* / L = 1 / 1000, permitido pela 
norma NBR 5884. Neste caso, como a resistência do modelo é inferior à permitida 
pela normalização, conforme ilustra a Tabela 7, o mesmo deve ser desprezado. 
 O modelo 2, de L = 240 cm, do perfil PS 200 x 25 com uma imperfeição inicial 
v0 / L = 1 / 938 superior à imperfeição inicial padrão v0* / L = 1 / 1000, porém da mesma 
ordem de grandeza, poderá ser utilizado, pois conforme ilustra a Tabelas 7 sua 
resistência não é inferior à permitida pela normalização. 
 A influência das imperfeições iniciais v0 na resistência à compressão dos 
modelos pertencentes às três séries em análise é clara e como já era previsto o maior 
efeito ocorre para os modelos mais esbeltos. 
 
3 ANÁLISE EXPERMENTAL 
 Apresenta-se nesta seção, a metodologia adotada para realização dos ensaios 
de laboratório, bem como os principais resultados experimentais obtidos, os quais são 
utilizados para a determinação da força normal crítica à compressão dos modelos 
formados por perfis I – FC das séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29. 
 Durante a fase experimental foram executados os ensaios de caracterização 
do material, medição das imperfeições iniciais transversais medidas ao longo do 
comprimento do perfil e o ensaio à compressão dos modelos. 
 
3.1 Ensaio de caracterização do aço 
 As propriedades mecânicas de interesse do aço ASTM – A36, empregado na 
fabricação dos perfis, foram determinadas por meio do ensaio à tração de oito (08) 
corpos-de-prova, na máquina de ensaio servo-hidráulica INSTRON. A partir destes 
ensaios determinou-se as resistências ao escoamento fy e à ruptura fu e o modulo de 
elasticidade E, estabelecendo-se os seguintes valores médios: fy = 300 MPa, 
fu = 400 MPa e E = 205000 MPa. 
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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p. 1-25, 2006 
12
 Os corpos-de-prova foram retirados de três (03) perfis I - FC, pertencentes ao 
lote de perfis destinados ao ensaio à compressão. Retirou-se destes perfis quatro (04) 
corpos-de-prova das mesas e quatro (04) da alma, totalizando-se oito (08). As 
dimensões foram admitidas segundo as recomendações da norma ASTM A370 – 96, 
as quais encontram-se ilustradas na figura 3. Onde t corresponde a espessura da 
chapa constituinte do perfil. 
 
 
50 
230 
Rmin = 25 
w = 40 ± 2,0 
800 mm
t
 
Figura 3 - Dimensões nominais do corpo-de-prova para o ensaio à tração. 
 
 
 
 A figura 4 ilustra um diagrama tensão-deformação (σ x ε) padrão para os 
corpos-de-prova retirados das mesas dos perfis. Salientar-se que os corpos-de-prova 
apresentaram propriedades mecânicas diferentes, caracterizando que os perfis foram 
fabricados de chapas de aço de corrida diferente durante o processo de laminação. 
 
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0,000 0,003 0,005 0,008 0,010 0,013
σ (
M
Pa
)
ε
 
Figura 4 - Diagrama tensão-deformação. 
 
 
 
3.2 Medição das imperfeições iniciais 
As imperfeições geométricas iniciais dos perfis foram determinadas por meio 
da utilização de uma bancada, composta por um mancal devidamente ajustado sobre 
um perfil U laminado de 200 mm de altura construída para esta finalidade no 
Laboratório de Estruturas do Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de 
Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo. 
 A Figura 5 mostra um dispositivo utilizando a bancada, citada anteriormente, 
para a leitura das imperfeições geométricas transversais, as quais são medidas ao 
longo do comprimento longitudinal dos perfis. As imperfeições geométricas dos perfis 
foram obtidas por meio de um transdutor de deslocamento linear, que se desloca com 
o mancal, a fim de se obter as leituras nos pontos desejados. 
 
Análise teórico-experimental de elementos comprimidos de aço: ênfase em perfis soldados 
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13
 
Figura 5 - Dispositivo para leitura das imperfeições geométricas transversais. 
 
 
 
As imperfeições geométricas foram medidas na alma e nas mesas dos perfis, 
em três linhas, conforme ilustra a Figura 6. As medidas foram realizadas a cada 200 
mm, com o transdutor de deslocamento posicionado manualmente ao longo de cada 
ponto. 
 
A B C
FED
G
H
I
 
Figura 6 - Posições para medidas das deslocadas transversais. 
 
 
 
 A figura 7 apresenta um ajuste das imperfeições transversais, medidas ao 
longo da linha média da alma, linha H. O ajuste foi realizado por meio da função 
senoidal, proposta por Young (1807), representada pela expressão (35): 
 
)Lx(senv)x(v 00 π= (35) 
 
onde v0 é o valor da imperfeição inicial no meio do vão do modelo. 
 
 A figura 7 ilustra a posição deslocada inicial do modelo 3 pertencente ao perfil 
PS 225 x 29, de comprimento L = 1600 mm. 
 
 
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14
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
L (mm)
v 0
 (m
m
)
 
Figura 7 - Ajuste da imperfeição transversal na linha H do perfil. 
 
 
 
 Os resultados experimentais dos deslocamentos iniciais v0 ajustados no meio 
do vão dos modelos pertencentes às séries CS 150 x 25, PS200 x 25 e PS 225 x 29 
encontram-se ilustrados nas Tabelas 12, 13 e 14, sob a forma de v0 / L = 1 / γ. 
 
3.3 Ensaio dos modelos à compressão 
 Os elementos comprimidos foram ensaiados em modelos que se aproximam 
de pilares com articulações nas extremidades e a instabilidade prevista para o eixo de 
menor inércia y – y. 
 Os ensaios de 36 modelos pertencentes às séries em estudo foram realizados 
na máquina de ensaio servo-hidráulica INSTRON, com capacidade de 3000 kN e 
altura de 4000 mm, do Laboratório de Estruturas do Departamento de Engenharia de 
Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo. A 
figura 8 mostra uma foto da Máquina INSTRON, com o modelo na posição do ensaio. 
 
 
 
Figura 8 - Máquina INSTRON, com o modelo na posição do ensaio. 
 
 
 
 A Tabela 9 apresenta o número de modelos, com seus respectivos 
comprimentos, para as séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29 ensaiadas. 
 
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15
Tabela 9 - Relação dos modelos ensaiados 
Perfil Série Comprimento (mm) Nº de Modelos
 1800 3 
 CS 150 x 25 2200 3 
 2900 3 
 3600 3 
 1500 3 
 PS 200 x 25 2000 3 
 2400 3 
 3000 3 
 1600 3 
 PS 225 x 29 2000 3 
 2500 3 
 3500 3 
 
 
 
 
 Os modelos foram instrumentados com transdutores de deslocamento, 
posicionados nas linhas médias da alma e de uma das mesas do perfil, para se obter 
os deslocamentos laterais nas posições indicadas, conforme ilustra a figura 9. 
A figura 9.a ilustra a posição dos transdutores 1 a 7 na alma e 8 a 10 na mesa 
do modelo, numerados a partir da extremidade superior do perfil, enquanto que, a 
figura 9.b mostra uma foto ilustrativa de um modelo instrumentado. 
 
 
y
z
x 
 (a) (b) 
Figura 9 - Modelo instrumentado com transdutores de deslocamento. 
 
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16
As Tabelas 10 e 11 apresentam as cotas dos transdutores de deslocamento 
posicionados na alma e na mesa dos modelos pertencentes às séries CS 150 x 25, 
PS 200 x 25 e PS 225 x 29. 
 
 Tabela 10 - Cotas dos transdutores posicionados na alma dos modelos 
 Perfil L (mm) Cotas dos Transdutores (mm) 
 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 
 CS 1800 1700 1300 900 500 367 233 100 
 150 X 25 2200 2100 1600 1100 600 433 267 100 
 2900 2800 2125 1450 775 550 325 100 
 3600 3500 2650 1800 950 667 383 100 
 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 
 PS 1500 1400 1075 750 425 317 208 100 
 200 x 25 2000 1900 1450 1000 550 400 250 100 
 2400 2300 1750 1200 650 467 283 100 
 3000 2900 2200 1500 800 567 333 100 
 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 
 PS 1600 1500 1150 800 450 333 217 100 
 225 x 29 2000 1900 1450 1000 550 400 250 100 
 2500 2400 1825 1250 675 483 292 100 
 3500 3400 2575 1750 925 650 375 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T 1 
T 2 
T 3 
T 4 
T 5 
T 6 
T 7 
 
O 
z 
y 
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17
 Tabela 11 - Cotas dos transdutores posicionados na mesa dos modelos 
 Perfil L (mm) Cotas dos Transdutores (mm)
 T8 T9 T10 
 CS 1800 1700 900 100 
 150 X 26 2200 2100 1100 100 
 2900 2800 1450 100 
 3600 3500 1800 100 
 T8 T9 T10 
 CVS 1500 1400 750 100 
 200 x 26 2000 1900 1000 100 
 2400 2300 1200 100 
 3000 2900 1500 100 
 T8 T9 T10 
 CVS 1600 1500 800 100 
 225 x 30 2000 1900 1000 100 
 2500 2400 1250 100 
 3500 3400 1750 100 
 
 
 
3.4 Resultados da análise experimental 
 Apresentam-se nas tabelas 12, 13 e 14 os valores experimentais da 
imperfeição inicial v0, dos deslocamentos laterais v, do fator comprimento efetivo de 
flambagem k e da força normal crítica experimental NE para os modelos pertencentes 
às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e PS 225 x 29. 
 Os deslocamentos laterais v apresentados nas Tabelas 12, 13 e 14 referem-se 
aos deslocamentos medidos durante o ensaio à compressão dos modelos nos 
transdutores T3 e T9, posicionados na altura média da alma e da mesa dos perfis. 
 O fator comprimento efetivo de flambagem k encontra-se apresentado nas 
Tabelas 12, 13 e 14 em função de ky (obtido a partir da deformada do modelo na 
direção do eixo de menor inércia) e kx (determinado a partir da deformada do modelo 
na direção do eixo de maior inércia). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T 8 
T 9 
T 10 
O
z
x 
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18
Tabela 12 - Valores experimentais para os modelos da série CS 150 x 25 
Modelo L (mm) v0 / L NE (kN) v (mm) 
T3 
v (mm) 
T9 
ky kx 
1 1800 1/1593 951 11 1 0,85 0,64 
2 1800 1/1895 1044 2 3 0,61 0,90 
3 1800 1/1698 959 8 1 0,78 0,47 
1 2200 1/1264 916 7 5 0,92 0,53 
2 2200 1/928 849 8 1 0,83 0,74 
3 2200 1/1196 924 4 0 0,81 0,74 
1 2900 1/1534 788 10 2 0,93 0,73 
2 2900 1/2266 894 3 2 0,77 0,62 
3 2900 1/1629 783 10 3 1,00 0,59 
1 3600 1/1698 699 11 3 0,83 0,67 
2 3600 1/1818 708 10 4 0,83 0,76 
3 3600 1/1423 676 11 3 0,78 0,62 
 
 
 
 
Tabela 13 - Valores experimentais para os modelos da série PS 200 x 25 
Modelo L (mm) v0 / L NE (kN) v (mm) 
T3 
v (mm) 
T9 
ky kx 
1 1500 1/1389 1029 2 1 0,50 0,17 
2 1500 1/1420 985 5 3 0,70 0,70 
3 1500 1/1304 964 4 1 0,58 0,34 
1 2000 1/1087 836 11 0 0,66 0,49 
2 2000 1/1242 1011 4 0 0,66 0,59 
3 2000 1/1136 859 7 0 0,68 0,71 
1 2400 1/1290 936 2 1 0,81 0,37 
2 2400 1/938 769 9 1 0,79 0,77 
3 2400 1/1212 850 3 3 0,75 0,70 
1 3000 1/787 573 18 14 1,00 0,88 
2 3000 1/1685 813 6 5 0,61 0,69 
3 3000 1/1240 785 8 0 0,77 0,44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise teórico-experimental de elementos comprimidos de aço: ênfase em perfis soldados 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p.1-25, 2006 
19
Tabela 14 - Valores experimentais para os modelos da série PS 225 x 29 
Modelo L (mm) v0 / L NE (kN) v (mm) 
T3 
v (mm) 
T9 
ky kx 
1 1600 1/1282 1135 9 1 0,86 0,47 
2 1600 1/1695 1162 7 * 0,88 * 
3 1600 1/1356 1144 4 0 0,72 0,30 
1 2000 1/1980 1155 4 1 0,80 0,75 
2 2000 1/1220 978 13 0 1,00 0,69 
3 2000 1/1328 1055 10 0 0,85 0,69 
1 2500 1/1289 953 11 2 0,88 0,50 
2 2500 1/1572 917 13 0 0,94 0,60 
3 2500 1/1269 845 15 1 0,91 0,53 
1 3500 1/1944 850 0 1 0,77 0,82 
2 3500 1/1563 752 14 0 0,90 0,38 
3 3500 1/1584 763 15 2 0,87 0,87 
* As leituras foram desprezadas, devido a problemas no transdutor T9. 
 
 
 
 Os resultados das imperfeições iniciais v0 apresentados nas Tabelas 12, 13 e 
14 foram utilizados na seção 2.4, para a determinação da força normal crítica teórica. 
 Os valores da força normal crítica experimental NE serão utilizados no item 4, 
seções 4.1 e 4.2, para comparações com a força normal crítica teórica NT e com as 
curvas b e c da norma Eurocode 3: 1992. 
 Os deslocamentos laterais v no meio do vão, medidos pelos transdutores T3 e 
T9 localizados na alma e na mesa dos perfis, mostram a influência das imperfeições 
iniciais na resistência à compressão dos elementos comprimidos e indicam que a 
flambagem ocorre em torno do menor eixo de inércia para a maioria dos modelos 
ensaiados. 
 As séries CS 150x25, PS 200x25 e PS 225x29, apresentaram um fator 
comprimento efetivo de flambagem (ky)médio, na direção do eixo de menor inércia, 
iguais a 0,83, 071 e 0,87, respectivamente. 
 Considerando que a série PS 200x25 apresentou um fatorcomprimento efetivo 
(ky)médio = 0,71 muito baixo, em virtude da grande influência das imperfeições iniciais, 
esta série foi desprezada para a determinação do fator k médio a ser utilizado na 
análise teórica. 
 O fator comprimento efetivo (k)médio foi admitido como sendo a média aritmética 
entre (ky)médio da série CS 150x25 e o (ky)médio da série PS 225x29, ou seja, 
(k)médio = (0,83 + 0,87) / 2 = 0,85. 
 O fator (k)médio = 0,85 foi utilizado para o cáculo da força normal crítica teórica 
NT apresentada na seção 2.4 e na determinação do índice de esbeltez λ e do índice 
de esbeltez reduzido λ utilizados nos gráficos apresentados na seção 4.4. 
 Admitiu-se o fator k = 0,85 para as três séries ensaiadas, numa tentativa de se 
ajustar as posições dos modelos em relação às curvas de resistência à compressão 
adotadas pelas normas de cálculo. 
 
Geraldo Donizetti de Paula & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p. 1-25, 2006 
20
4 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS 
 Discute-se neste item, por meio de uma análise comparativa, os resultados da 
força normal crítica obtidos teoricamente e experimentalmente. Compara-se também, 
em forma de gráficos, os valores da força normal crítica experimental NE com as 
curvas b e c da norma Eurocode 3: 1992. 
 
4.1 Comparação entre a força crítica experimental e teórica 
 Apresenta-se nesta seção uma comparação entre a força normal crítica 
experimental NE e a força normal crítica teórica NT, determinada a partir das curvas b 
e c da norma Eurocode 3: 1992, admitindo imperfeições iniciais v0 / L = 1 / γ, conforme 
ilustram as tabela 15, 16 e 17. 
 
Tabela 15 - Valores da força crítica NE e NT – perfil CS 150 x 25 
Modelo L 
(cm) 
k λ v0 / L (NT)Eb 
(kN) 
(NT)Ec 
(kN) 
NE 
(kN) 
NE / (NT)Eb NE / (NT)Ec 
1 180 0,85 0,50 1/1593 915 871 951 1,039 1,092 
2 180 0,85 0,50 1/1895 920 876 1044 1,135 1,192 
3 180 0,85 0,50 1/1698 916 873 959 1,047 1,099 
1 220 0,85 0,61 1/1264 858 803 916 1,068 1,141 
2 220 0,85 0,61 1/928 839 786 849 1,012 1,080 
3 220 0,85 0,61 1/1196 854 799 924 1,082 1,156 
1 290 0,85 0,81 1/1534 762 692 788 1,034 1,139 
2 290 0,85 0,81 1/2266 782 707 894 1,143 1,265 
3 290 0,85 0,81 1/1629 766 695 783 1,022 1,127 
1 360 0,85 1,01 1/1698 642 574 699 1,088 1,218 
2 360 0,85 1,01 1/1818 645 577 708 1,098 1,227 
3 360 0,85 1,01 1/1423 632 567 676 1,069 1,192 
 
 
Tabela 16 - Valores da força crítica NE e NT – perfil PS 200 x 25 
Modelo L 
(cm) 
k λ v0 / L (NT)Eb 
(kN) 
(NT)Ec 
(kN) 
NE 
(kN) 
NE / (NT)Eb NE / (NT)Ec 
1 150 0,85 0,52 1/1389 908 863 1029 1,133 1,192 
2 150 0,85 0,52 1/1420 909 863 985 1,084 1,141 
3 150 0,85 0,52 1/1304 905 860 964 1,065 1,121 
1 200 0,85 0,69 1/1087 812 751 836 1,030 1,113 
2 200 0,85 0,69 1/1242 821 759 900 1,096 1,186 
3 200 0,85 0,69 1/1136 815 754 859 1,054 1,139 
1 240 0,85 0,83 1/1290 744 675 850 1,143 1,259 
2 240 0,85 0,83 1/938 718 655 769 1,071 1,174 
3 240 0,85 0,83 1/1212 739 672 850 1,150 1,265 
1 300 0,85 1,04 1/787 570 519 573 1,005 1,104 
2 300 0,85 1,04 1/1685 625 559 813 1,301 1,454 
3 300 0,85 1,04 1/1240 606 545 785 1,295 1,440 
Análise teórico-experimental de elementos comprimidos de aço: ênfase em perfis soldados 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p.1-25, 2006 
21
Tabela 17 - Valores da força crítica NE e NT – perfil PS 225 x 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nas Tabelas 15, 16 e 17, NE corresponde a força normal crítica experimental, 
(NT)Eb a força normal crítica teórica para v0 / L = 1 / γ - curva b do Eurocode 3 e (NT)Ec 
a força normal crítica teórica para v0 / L = 1 / γ - curva c do Eurocode 3. 
 O modelo 2, de comprimento L = 180 cm, do perfil CS 150 x 25 apresenta na 
Tabela 15 uma força normal crítica experimental NE da ordem de grandeza da força 
normal crítica de escoamento Ny, caracterizando o escoamento da seção transversal. 
Os deslocamentos laterais nos transdutores T3 e T9 e os próprios valores de ky e kx, 
ilustrados na Tabela 12, indicam que não ocorre predominância de flambagem em 
torno do eixo de menor inércia. 
 O modelo 1, de comprimento L = 150 cm, do perfil PS 200 x 25 apresenta na 
Tabela 16 uma força normal crítica experimental NE da ordem de grandeza da força 
normal crítica de escoamento Ny, caracterizando o escoamento da seção transversal. 
Os deslocamentos laterais nos transdutores T3 e T9, ilustrados na Tabela 13, indicam 
que não ocorre predominância de flambagem em torno do eixo de menor inércia. 
 O modelo 2, de comprimento L = 160 cm, do perfil PS 225 x 29 apresenta na 
Tabela 17 uma força normal crítica experimental NE da ordem de grandeza da força 
normal crítica de escoamento Ny, caracterizando o escoamento da seção transversal. 
 
4.2 Força normal reduzida para os modelos ensaiados 
 Apresenta-se nesta seção uma comparação entre os resultados de ensaio e as 
curvas b e c do Eurocode 3: 1992. Os resultados de ensaios são representados pela 
força normal reduzida ρ. 
 A força normal reduzida ρ é definida pela a razão entre a força normal crítica 
experimental NE e a força normal teórica de escoamento Ny = Ag . fy, conforme a 
expressão (36). 
 
y
E
N
N=ρ (36) 
Modelo L 
(cm) 
k λ v0 / L (NT)Eb 
(kN) 
(NT)Ec 
(kN) 
NE 
(kN) 
NE / (NT)Eb NE / (NT)Ec 
1 160 0,85 0,48 1/1282 1054 1009 1135 1,077 1,125 
2 160 0,85 0,48 1/1695 1065 1019 1162 1,091 1,140 
3 160 0,85 0,48 1/1356 1057 1011 1144 1,082 1,132 
1 200 0,85 0,60 1/1980 1018 953 1155 1,135 1,212 
2 200 0,85 0,60 1/1220 993 931 978 0,985 1,051 
3 200 0,85 0,60 1/1328 998 936 1055 1,057 1,127 
1 250 0,85 0,75 1/1289 907 832 953 1,051 1,145 
2 250 0,85 0,75 1/1572 922 843 917 0,995 1,088 
3 250 0,85 0,75 1/1269 906 831 845 0,933 1,017 
1 350 0,85 1,05 1/1944 717 639 850 1,186 1,330 
2 350 0,85 1,05 1/1563 704 630 752 1,068 1,194 
3 350 0,85 1,05 1/1584 704 631 763 1,084 1,209 
Geraldo Donizetti de Paula & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p. 1-25, 2006 
22
 Admite-se na expressão (36) a tensão de escoamento fy = 30 kN/cm2 e os 
valores da área bruta Ag iguais aos apresentados, anteriormente, na Tabela 5. 
 Os gráficos apresentados nas figuras 10, 11 e 12 ilustram os valores da força 
normal reduzida ρ para os modelos pertencentes às séries CS 150 x 25, PS 200 x 25 e 
PS 225 x 29, admitindo o fator comprimento efetivo de flambagem k = 0,85 e a 
flambagem por flexão em torno do eixo de menor inércia y – y. 
 
 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2
 curva b
 curva c
 modelos
 média
ρ
λ
λ = 41
λ = 50
λ = 66
λ = 82
 
Figura 10 - Força normal reduzida, perfil CS 150 x 25.Curvas b e c - Eurocode 3. 
 
 
 
 
ρ
λ
λ = 42
λ = 56
λ = 67
λ = 84
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2
curva b
curva c
modelos
média
 
Figura 11 - Força normal reduzidal, perfil PS 200 x 25. Curvas b e c – Eurocode 3. 
Análise teórico-experimental de elementos comprimidos de aço: ênfase em perfis soldados 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p.1-25, 2006 
23
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2
curva b
curva c
modelos
média
ρ
λ
λ = 39 λ = 49
λ = 61
λ = 85
 
Figura 12 - Força normal reduzida, perfil PS 225 x 29. Curvas b e c – Eurocode 3. 
 
 
 
 Analisando o gráfico da figura 10, observa-se que a média dos resultados da 
força normal crítica experimental NE dos modelos da série CS 150 x 25 situa-se acima 
da curvab da norma Eurocode 3: 1992, permitindo concluir que a curva b representa 
melhor a resistência à compressão dos modelos ensaiados. 
 Percebe-se ainda, do gráfico da figura 10 que ocorre uma grande dispersão 
entre os resultados experimentais da força normal crítica, para o índice de esbeltez 
λ = 84, isto ocorre em virtude da grande influência das imperfeições geométricas 
iniciais e de alguma provável perturbação ocorrida na direção do eixo de maior 
inércia. 
 O gráfico da figura 11 mostra que a média dos resultados da força normal 
crítica experimental NE dos modelos da série PS 200 x 25 situa-se acima da curva b 
da norma Eurocode 3: 1992, entretanto, verifica-se que os resultados desta série 
encontram-se mais dispersos, em virtude de uma maior influência das imperfeições 
iniciais. Este maior efeito ocorre porque os modelos da série PS 200 x 25 apresentam 
maiores valores dos deslocamentos iniciais v0, quando comparados com as outras 
duas séries. 
 Verifica-se a partir do gráfico da figura 12, que a média dos resultados da força 
normal crítica experimental NE dos modelos da série PS 225 x 29 aproxima-se mais 
da curva b da norma Eurocode 3: 1992, permitindo concluir que a curva b representa 
melhor a resistência à compressão dos modelos ensaiados. Percebe-se ainda que os 
modelos de esbeltez λ = 39 apresentaram a força normal crítica experimental NE 
próxima da força normal de escoamento Ny e que o modelo 1, de comprimento 
L = 350 cm e esbeltez λ = 85, com uma imperfeição v0 pequena e uma força crítica NE 
bem superior ao valor estimado pela análise teórica deverá ser desprezado. 
 
5 CONCLUSÕES 
Os resultados da análise teórica, baseada no modelo de 2a espécie, 
fundamentam a verificação da resistência na seção mais solicitada do elemento 
Geraldo Donizetti de Paula & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p. 1-25, 2006 
24
comprimido na sua configuração deformada e indica resultados com boa correlação 
quando comparados com os obtidos experimentalmente. 
Verifica-se a partir de uma comparação entre a força normal crítica 
experimental NE e a força normal crítica teórica NT, que os resultados obtidos 
experimentalmente são coerentes e satisfatórios. 
Comparando a força normal crítica experimental NE com a força normal crítica 
determinada pela norma Eurocode 3: 1992, admitindo as imperfeições geométricas 
iniciais v0 / L = 1 / γ, apresentada nas Tabelas 15, 16 e 17, pode-se perceber a grande 
influência das imperfeições iniciais na resistência à compressão dos elementos 
comprimidos de aço formados pelos perfis I – FC de pequenas dimensões. 
Verifica-se a partir de uma comparação entre a força normal crítica 
experimental NE e a força normal crítica NT apresentada nas Tabelas 15, 16 e 17, que 
a maior influência das imperfeições iniciais v0 ocorre para os modelos com maiores 
índices de esbeltez λ, pois os modelos mais esbeltos situam na faixa de esbeltez com 
maior efeito das imperfeições geométricas iniciais na resistência à compressão. 
Levando em consideração a posição da média dos resultados da força normal 
crítica de compressão dos modelos ensaiados, em relação às curvas b e c, conclui-se 
que a curva b é a mais adequada, quando a flambagem ocorre por flexão em torno do 
eixo de menor inércia y – y, para o cálculo da resistência à compressão dos perfis 
I – FC de pequenas dimensões. 
Analisando as três séries ensaiadas, considerando a posição da média dos 
valores da força normal crítica experimental NE em relação às curvas do Eurocode 3, 
percebe-se que a série CS 150 x 25 apresenta melhores resultados em relação às 
demais séries. Dentre as séries PS, perfis que não constam nas Tabelas apresentadas 
no anexo B da norma NBR 5884: 2000, a série PS 225 x 29 é a que se comporta 
melhor. 
 É importante ressaltar que há necessidade de ampliar o número de modelos a 
serem ensaiados e avaliar as condições e resultados quando a flambagem não ocorre 
em torno do eixo de menor inércia e que seja realizado um trabalho efetivo de 
caracterização de tensões residuais, para permitir uma conclusão definitiva sobre os 
procedimentos adotados quanto ao dimensionamento de perfis I soldados de aço, 
formados por chapas cortadas a maçarico, comprimidos. 
 
 
6 AGRADECIMENTOS 
 Agradecemos a CAPES pela concessão da bolsa de estudos e a empresa 
USIMINAS pelo apoio financeiro na compra dos perfis estruturais de aço, sem o qual 
esta pesquisa poderia não ter sido realizada. 
 
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para revisão da NBR 5884 – Elementos estruturais de aço soldados por arco 
elétrico – Parte I – Perfil I. Rio de Janeiro. 
Análise teórico-experimental de elementos comprimidos de aço: ênfase em perfis soldados 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p.1-25, 2006 
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 26
 
ISSN 1809-5860 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p. 27-57, 2006 
ANÁLISE DE PONTES DE MADEIRA PROTENDIDAS 
TRANSVERSALMENTE FORMADAS POR VIGAS-T 
Nívea Mara Pereira Alves1 & Antonio Alves Dias2 
 
Resumo 
Neste trabalho é estudada uma variação do sistema estrutural de ponte de madeira 
com tabuleiro laminado protendido, em que a seção transversal é formada por vigas-T. 
As nervuras destas vigas são de madeira laminada colada e o tabuleiro de madeira 
serrada. São analisadas pontes da classe 30, com uma ou duas faixas de tráfego, 
dimensionando-se os elementos estruturaispara diversas situações de projeto, e 
avaliando-se as influências das espécies e classes de resistência das madeiras e dos 
fatores geométricos (largura da nervura, altura do tabuleiro e espaçamento entre 
nervuras) na altura das nervuras. O procedimento de cálculo utilizado no 
dimensionamento das pontes de madeira formadas por vigas-T baseia-se no método 
WVU. Para o desenvolvimento deste trabalho, o método foi adaptado aos critérios da 
Associação Brasileira de Normas Técnicas, “NBR 7188/84 - Cargas Móveis em Pontes 
Rodoviárias e Passarelas de Pedestres” e “NBR 7190/97 - Projeto de Estruturas de 
Madeira”, e programado em software MATHCAD©. Os resultados obtidos indicam que 
não existe influência significativa na altura da nervura, ao se utilizar madeira da classe 
C 30 ou C 40 no tabuleiro, ou ao se variar a altura do tabuleiro de 15 até 25 cm. O 
modelo teórico é avaliado experimentalmente, por meio de modelo reduzido na escala 
geométrica de 1:5, obtendo-se boa concordância entre os valores experimentais e os 
teóricos. 
 
Palavras-chave: pontes de madeira; protensão transversal; vigas-T. 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 O sistema estrutural de pontes de madeira com tabuleiro protendido se originou 
no Canadá, em 1976, como uma forma de recuperar tabuleiros pregados, que 
apresentavam problemas de delaminação. O bom desempenho estrutural dos 
tabuleiros recuperados com esta técnica incentivou a sua aplicação na construção de 
novas pontes. 
 O sistema laminado protendido consiste em peças de madeira posicionadas ao 
longo do vão, umas adjacentes às outras, e protendidas transversalmente por barras 
ou cabos de aço de alta resistência. Esta protensão transversal permite que o esforço 
 
1 Mestre em Engenharia de Estrutura – EESC-USP. 
2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC – USP, dias@sc.usp.br 
Nívea Mara Pereira Alves & Antonio Alves Dias 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p.27-57, 2006 
28
cortante vertical seja transmitido lateralmente entre as lâminas, por meio do atrito. 
Com isto, o sistema comporta-se como uma placa ortotrópica capaz de distribuir 
lateralmente as cargas dos veículos e de resistir à flexão transversal. 
 Os tabuleiros protendidos com seção transversal constituído por peças de 
mesma altura são os mais utilizados para vãos menores que 10 m. Devido à 
necessidade de se construir pontes para vencer vãos maiores, foram estudadas 
derivações deste sistema, utilizando formas estruturais mais eficientes para a seção 
transversal (sistema T, sistema sanduíche, seção caixão e outras). O sistema T, 
mostrado na figura 1, consiste na introdução de vigas intermediárias com maiores 
dimensões no tabuleiro. 
 
 
 
 Figura 1 - Ponte de madeira com vigas-T (OKIMOTO, 1997). 
 
 
 Neste trabalho são avaliadas as pontes formadas por vigas-T, utilizando 
nervuras de madeira laminada colada (MLC) e tabuleiro de madeira serrada. 
Inicialmente. Inicialmente, são efetuados os dimensionamentos destas pontes, para 
diversas situações de projeto, seguindo o procedimento de cálculo baseado no método 
WVU (Método desenvolvido pelo Departamento de Engenharia Civil da West Virginia 
University e apresentado por DAVALOS & SALIM (1992)) para o sistema T das pontes 
de madeira protendidas transversalmente, e um estudo para verificar a influência das 
espécies e classes de resistência das madeiras e das variações dos fatores 
geométricos na altura das nervuras. Por último, é realizado o ensaio de um modelo 
reduzido de ponte formada por vigas-T, para se avaliar o modelo teórico utilizado no 
dimensionamento destas pontes. 
 Para o desenvolvimento deste trabalho, o método WVU foi adaptado aos 
critérios da Associação Brasileira de Normas Técnicas, “NBR 7188/84 - Cargas Móveis 
em Pontes Rodoviárias e Passarelas de Pedestres” e “NBR 7190/97 - Projeto de 
Estruturas de Madeira”, e programado em software MATHCAD©. 
 
2 ANÁLISE NUMÉRICA DO SISTEMA T 
 O procedimento de cálculo utilizado para a análise numérica do sistema T das 
pontes de madeira baseia-se no método WVU para o dimensionamento da altura e 
largura das nervuras, da altura do tabuleiro e do espaçamento entre nervuras. Para o 
desenvolvimento deste trabalho, o método WVU foi adaptado aos critérios da 
Associação Brasileira de Normas Técnicas, “NBR 7188/84 - Cargas Móveis em Pontes 
Rodoviárias e Passarelas de Pedestres” e “NBR 7190/97 - Projeto de Estruturas de 
Madeira”, e programado em software MATHCAD©. 
 Este estudo é conduzido a partir da definição preliminar do vão, da largura e 
classe da ponte, das espécies e classes de resistência das madeiras utilizadas para as 
nervuras e o tabuleiro. São analisadas diversas configurações de pontes, variando-se 
Análise de pontes de madeira protendidas transversalmente formadas por vigas – T 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p. 27-57, 2006 
29
a altura do tabuleiro, a largura das nervuras, o número de nervuras e determinando-se 
a altura das mesmas para cada configuração. 
 
2.1 Características das pontes 
 As pontes analisadas numericamente são da classe 30, por se tratar do 
emprego mais comum das pontes de madeira protendidas. 
 Os vãos utilizados para a análise destas pontes foram iguais a 10, 15, 20 e 25 
m. O limite inferior é escolhido porque para vãos menores que 10 m empregam-se 
pontes com seção transversal de altura constante e o limite superior é o vão máximo 
empregado para as pontes de madeira formadas por vigas-T. Estas pontes têm uma 
ou duas faixas de tráfego, de larguras iguais a 5,5 e 10,0 m respectivamente. 
 As figuras 2 e 3 apresentam os desenhos esquemáticos de uma ponte com 5 
nervuras e uma faixa de tráfego e de uma ponte com 9 nervuras e duas faixas de 
tráfego. 
 
t
Unidade: cm
bwS
550
100 350 100
D
 
Figura 2 - Ponte com uma faixa de tráfego. 
 
 
1000
S
150
t
bw
Unidade: cm
D
700 150
 
Figura 3 - Ponte com duas faixas de tráfego. 
 
 
 Com relação às dimensões dos elementos estruturais, foram adotadas larguras 
das nervuras e alturas dos tabuleiros iguais a 15, 20 e 25 cm. As dimensões menores 
que 15 cm tornam a seção transversal delgada em relação à altura da nervura, e as 
dimensões maiores que 25 cm dificultam a obtenção das peças de madeira serrada. 
 O espaçamento mínimo entre duas nervuras deve ser maior ou igual a 70 cm, 
resultando em um número máximo de nervuras igual a 8 para pontes com uma faixa 
de tráfego e 14 para pontes com duas faixas de tráfego. O espaçamento máximo deve 
ser menor ou igual a 200 cm, resultando em um número mínimo de nervuras igual a 8 
para ponte com uma faixa de tráfego e 14 para ponte com duas faixas de tráfego. 
 
Nívea Mara Pereira Alves & Antonio Alves Dias 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p.27-57, 2006 
30
2.2 Procedimento de cálculo 
 Neste tópico está descrito e exemplificado o procedimento de cálculo utilizado 
no dimensionamento das pontes de madeira formadas por vigas-T. 
 Após a definição do vão, da largura e da classe da ponte, das espécies e das 
classes de resistência das madeiras utilizadas para as nervuras e o tabuleiro, é 
calculado o módulo de elasticidade na direção transversal do tabuleiro. 
 O número mínimo de nervuras é determinado, segundo DAVALOS et al (1993), 
em função do deslocamento máximo da porção do tabuleiro entre duas nervuras 
adjacentes, sob a ação da carga de uma roda (Figura 4). Segundo GANGARAO & 
RAJU (1992), este deslocamento deve ser menor ou igual a 0,5 cm para que não 
ocorra fissuração do pavimento asfáltico, sendo este o limite utilizado no presente 
trabalho. Deste modo, o espaçamento máximo entre nervuras deve ser menor ou igual 
a 2,0 m para que apenas uma roda se posicione entre duas nervuras.Figura 4 - Número mínimo de nervuras. 
 
 
 O número máximo de nervuras é determinado, de modo que o espaçamento 
mínimo entre nervuras seja maior ou igual a 0,7 m (Figura 5). Este valor foi definido 
como premissa do trabalho, pois os espaçamentos menores que 0,7 m conduzem ao 
tabuleiro com altura constante. 
 
 
Figura 5 - Número máximo de nervuras. 
 
 
 Após a determinação do número de nervuras, são feitas as verificações dos 
efeitos localizados no tabuleiro e os cálculos da largura efetiva da mesa de uma viga-T 
interna e do fator de distribuição da carga, que determina a parcela da carga 
transmitida para a nervura mais solicitada. A partir de então, o projeto do sistema T 
resume-se ao dimensionamento de uma viga-T. Com as equações de flexão simples, 
são calculados os momentos fletores e os esforços cortantes máximos devidos às 
ações permanentes e variáveis, e verificados os estados limites últimos e de utilização 
Smín ≥ 0,7 m 
Smáx ≤ 2,0 m 
δ ≤ 0,5 cm 
Análise de pontes de madeira protendidas transversalmente formadas por vigas – T 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p. 27-57, 2006 
31
correspondentes. Por último, calcula-se o volume de madeira do tabuleiro e das 
nervuras, para efeito de comparação. 
 
2.3 Descrição e resultados da análise numérica 
 A seguir são descritos os métodos das análises efetuadas numericamente e 
apresentados os resultados correspondentes. Estas análises referem-se ao 
dimensionamento das pontes formadas com vigas-T; ao estudo das influências da 
altura do tabuleiro e da largura das nervuras, e da espécie de madeira do tabuleiro e 
das nervuras na altura D. 
 As pontes formadas com vigas-T foram dimensionadas para vãos L iguais a 10, 
15, 20 e 25 m, larguras b iguais a 5,5 (1 faixa de tráfego) e 10,0 m (2 faixas de 
tráfego), larguras das nervuras Bw e alturas dos tabuleiros t iguais a 15, 20 e 25 cm e 
número de nervuras n variando de 4 até 8 (1 faixa de tráfego) e de 7 até 14 (2 faixas 
de tráfego). 
 O estudo das influências da altura do tabuleiro e da largura das nervuras, da 
espécie de madeira do tabuleiro e das nervuras na altura D foram realizados a partir 
dos resultados numéricos do dimensionamento de pontes com os mesmos parâmetros 
supracitados, porém fixando-se o vão L em 15 m. 
 
2.3.1 Dimensionamento das pontes formadas por vigas-T 
 Com o objetivo de se conhecer as dimensões das seções transversais das 
pontes formadas com vigas-T, as alturas D foram calculadas considerando-se a 
madeira Classe C 30 - Conífera para as nervuras e o tabuleiro, e as combinações das 
variações de L, b, Bw, t, e n, conforme descritos no item 3.3. 
 Com os resultados obtidos, foi montada a tabela 1, que apresenta as alturas 
das nervuras para a ponte com 1 faixa de tráfego. Estes resultados também podem 
ser visualizados na figura 6. 
 Os resultados referentes às pontes com 2 faixas de tráfego são apresentados 
na tabela 2 e na figura 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nívea Mara Pereira Alves & Antonio Alves Dias 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p.27-57, 2006 
32
 
Tabela 1 - Alturas das nervuras D para pontes com 1 faixa de tráfego (Bw, t, D em cm) 
VÃOS DAS PONTES n 
L = 10 m L = 15 m L = 20 m L = 25 m 
Bw 
t 15 20 25 
Bw 
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25 
4 15 
20 
25 
- 
145 
145 
- 
128 
128 
- 
117 
116 
15 
20 
25 
- 
192 
192 
- 
170
169
- 
154
153
15 
20 
25
- 
241
239
- 
213
210
- 
193
191
15 
20 
25
- 
289 
286 
- 
256 
252 
- 
233 
229 
Bw 
t 15 20 25 
Bw 
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25 
5 15 
20 
25 
126 
126 
126 
112 
112 
112 
102 
102 
102 
15 
20 
25 
171 
169 
168 
151
150
148
138
136
135
15 
20 
25
215
212
210
191
188
185
174
171
168
15 
20 
25
260 
255 
251 
231 
226 
222 
211 
206 
202 
Bw 
t 15 20 25 
Bw 
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25 
6 15 
20 
25 
114 
114 
114 
101 
101 
101 
92 
92 
92 
15 
20 
25 
155 
154 
152 
138
136
134
126
124
122
15 
20 
25
196
193
190
174
171
168
159
156
153
15 
20 
25
237 
232 
227 
211 
206 
201 
193 
188 
183 
Bw 
t 15 20 25 
Bw 
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25 
7 15 
20 
25 
106 
105 
105 
94 
93 
93 
85 
85 
85 
15 
20 
25 
144 
142 
140 
128
126
124
117
115
113
15 
20 
25
182
178
175
162
158
155
148
144
141
15 
20 
25
220 
214 
209 
196 
190 
185 
179 
174 
169 
Bw 
t 15 20 25 
Bw 
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25 
8 15 
20 
25 
99 
98 
98 
88 
87 
86 
80 
79 
79 
15 
20 
25 
135 
133 
131 
120
118
116
110
108
105
15 
20 
25
170
166
163
152
148
144
139
135
132
15 
20 
25
206 
200 
195 
184 
178 
173 
169 
164 
159 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise de pontes de madeira protendidas transversalmente formadas por vigas – T 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p. 27-57, 2006 
33
n = 4
110
146
182
218
254
290
10 15 20 25
L (m)
D
 (c
m
)
n = 5
100
133
166
199
232
265
10 15 20 25
L (m)
D
 (c
m
)
n = 6
90
120
150
180
210
240
10 15 20 25
L (m)
D
 (c
m
)
n = 7
80
109
138
167
196
225
10 15 20 25
L (m)
D
 (c
m
)
n = 8
75
102
129
156
183
210
10 15 20 25
L (m)
D
 (c
m
)
 
t = 15 cm, Bw = 15 cm t = 15 cm, Bw = 20 cm t = 15 cm, Bw = 25 cm
t = 20 cm, Bw = 15 cm t = 20 cm, Bw = 20 cm t = 20 cm, Bw = 25 cm
t = 25 cm, Bw = 15 cm t = 25 cm, Bw = 20 cm t = 25 cm, Bw = 25 cm
 
Figura 6 - Gráficos D x L para pontes com 1 faixa de tráfego. 
 
Nívea Mara Pereira Alves & Antonio Alves Dias 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p.27-57, 2006 
34
Tabela 2 - Alturas das nervuras D para pontes com 2 faixas de tráfego (Bw, t, D em cm) 
VÃOS DAS PONTES n 
L = 10 m L = 15 m L = 20 m L = 25 m 
Bw 
t 15 20 25 
Bw 
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25 
7 15 
20 
25 
- 
118 
119 
- 
104 
105 
- 
95 
96 
15 
20 
25 
- 
157 
158 
- 
139
140
- 
127
128
15 
20 
25
- 
198
198
- 
175
176
- 
160
160
15 
20 
25
- 
239 
239 
- 
212 
212 
- 
194 
193 
Bw 
t 15 20 25 
Bw 
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25 
8 15 
20 
25 
- 
110 
111 
- 
97 
98 
- 
89 
89 
15 
20 
25 
- 
147 
148 
- 
130
131
- 
119
119
15 
20 
25
- 
185
186
- 
164
164
- 
150
150
15 
20 
25
- 
224 
224 
- 
199 
198 
- 
182 
181 
Bw 
t 15 20 25 
Bw 
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25 
9 15 
20 
25 
102 
103 
104 
90 
92 
92 
83 
84 
84 
15 
20 
25 
139 
139 
139 
123
123
123
113
112
112
15 
20 
25
176
175
175
156
155
155
143
142
142
15 
20 
25
213 
212 
211 
190 
188 
188 
174 
173 
172 
Bw 
t 15 20 25 
Bw 
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25 
10 15 
20 
25 
97 
98 
99 
86 
87 
88 
78 
79 
80 
15 
20 
25 
132 
132 
132 
117
117
117
107
107
107
15 
20 
25
168
167
167
149
149
148
136
135
135
15 
20 
25
203 
202 
201 
181 
180 
179 
166 
165 
164 
Bw 
t 15 20 25 
Bw 
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25 
11 15 
20 
2593 
93 
94 
82 
83 
84 
75 
76 
76 
15 
20 
25 
127 
126 
127 
112
112
112
103
102
102
15 
20 
25
160
159
159
143
142
141
131
130
129
15 
20 
25
195 
193 
192 
174 
172 
171 
160 
158 
157 
Bw 
t 15 20 25 
Bw 
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25 
12 15 
20 
25 
89 
89 
90 
79 
80 
80 
72 
73 
73 
15 
20 
25 
122 
121 
121 
108
108
108
99 
99 
98 
15 
20 
25
154
153
153
138
136
136
126
125
124
15 
20 
25
188 
186 
185 
168 
166 
165 
154 
152 
151 
Bw 
t 15 20 25 
Bw 
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25 
13 15 
20 
25 
86 
86 
87 
76 
77 
77 
70 
70 
70 
15 
20 
25 
117 
117 
117 
104
104
104
96 
95 
95 
15 
20 
25
149
148
147
133
132
131
122
121
120
15 
20 
25
181 
179 
178 
162 
160 
159 
149 
147 
146 
Bw 
t 15 20 25 
Bw 
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25
Bw
t 15 20 25 
14 15 
20 
25 
83 
83 
84 
74 
74 
74 
67 
68 
68 
15 
20 
25 
114 
113 
113 
101
101
100
93 
92 
92 
15 
20 
25
144
143
142
129
128
127
118
117
116
15 
20 
25
176 
174 
172 
157 
155 
154 
145 
143 
141 
 
Análise de pontes de madeira protendidas transversalmente formadas por vigas – T 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p. 27-57, 2006 
35
 
n = 7
90
120
150
180
210
240
10 15 20 25
L (m)
D
 (c
m
)
n = 8
85
113
141
169
197
225
10 15 20 25
L (m)
D
 (c
m
)
n = 9
80
107
134
161
188
215
10 15 20 25
L (m)
D
 (c
m
)
n = 10
75
102
129
156
183
210
10 15 20 25
L (m)
D
 (c
m
)
n = 11
70
96
122
148
174
200
10 15 20 25
L (m)
D
 (c
m
)
n = 12
70
94
118
142
166
190
10 15 20 25
L (m)
D
 (c
m
)
n = 13
65
89
113
137
161
185
10 15 20 25
L (m)
D
 (c
m
)
n = 14
60
84
108
132
156
180
10 15 20 25
L (m)
D
 (c
m
)
t = 15 cm, Bw = 15 cm t = 15 cm, Bw = 20 cm t = 15 cm, Bw = 25 cm
t = 20 cm, Bw = 15 cm t = 20 cm, Bw = 20 cm t = 20 cm, Bw = 25 cm
t = 25 cm, Bw = 15 cm t = 25 cm, Bw = 20 cm t = 25 cm, Bw = 25 cm
 
Figura 7 - Gráficos D x L para pontes com 2 faixas de tráfego. 
 
Nívea Mara Pereira Alves & Antonio Alves Dias 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p.27-57, 2006 
36
2.3.2 Influência da altura do tabuleiro e da largura das nervuras na altura D 
 Com o objetivo de se verificar a influência da largura Bw e da altura t na altura 
D, estas alturas foram calculadas para pontes com as mesmas características (largura 
da ponte, número de nervuras e madeira Classe C 30 - Conífera para as nervuras e o 
tabuleiro), e então comparadas inicialmente fixando-se a largura Bw e variando-se a 
altura t e, posteriormente, fixando-se a altura t e variando-se a largura Bw. 
 Com os resultados obtidos, foram montadas as tabelas 3 e 4, que apresentam, 
respectivamente, as alturas das nervuras para as pontes com 1 e 2 faixas de tráfego. 
 Estes resultados também podem ser visualizados na figura 8. 
 
Tabela 3 - Alturas D para pontes com 1 faixa de tráfego (Bw, t, D em cm) 
n TABULEIRO E NERVURAS CLASSE C 30 (CONÍFERA) 
Bw 
t 15 20 25 
4 15 
20 
25 
- 
192 
192 
- 
170 
169 
- 
154 
153 
Bw 
t 15 20 25 
5 15 
20 
25 
171 
169 
168 
151 
150 
148 
138 
136 
135 
Bw 
t 15 20 25 
6 15 
20 
25 
155 
154 
152 
138 
136 
134 
126 
124 
122 
Bw 
t 15 20 25 
7 15 
20 
25 
144 
142 
140 
128 
126 
124 
117 
115 
113 
Bw 
t 15 20 25 
8 15 
20 
25 
135 
133 
131 
120 
118 
116 
110 
108 
105 
Análise de pontes de madeira protendidas transversalmente formadas por vigas – T 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p. 27-57, 2006 
37
Tabela 4 - Alturas D para pontes com 2 faixas de tráfego (Bw, t, D em cm) 
n TABULEIRO E NERVURAS CLASSE C 30 (CONÍFERA) 
Bw 
t 15 20 25 
7 15 
20 
25 
- 
157 
158 
- 
139 
140 
- 
127 
128 
Bw 
t 15 20 25 
8 15 
20 
25 
- 
147 
148 
- 
130 
131 
- 
119 
119 
Bw 
t 15 20 25 
9 15 
20 
25 
139 
139 
139 
123 
123 
123 
113 
112 
112 
Bw 
t 15 20 25 
10 15 
20 
25 
132 
132 
132 
117 
117 
117 
107 
107 
107 
Bw 
t 15 20 25 
11 15 
20 
25 
127 
126 
127 
112 
112 
112 
103 
102 
102 
Bw 
t 15 20 25 
12 15 
20 
25 
122 
121 
121 
108 
108 
108 
99 
99 
98 
Bw 
t 15 20 25 
13 15 
20 
25 
117 
117 
117 
104 
104 
104 
96 
95 
95 
Bw 
t 15 20 25 
14 15 
20 
25 
114 
113 
113 
101 
101 
100 
93 
92 
92 
Nívea Mara Pereira Alves & Antonio Alves Dias 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p.27-57, 2006 
38
Influência de Bw (1 faixa)
100
112
124
136
148
160
15 20 25
Bw (cm)
D
 (c
m
)
 
t = 15 cm, n = 6
t = 15 cm, n = 7
t = 15 cm, n = 8
t = 20 cm, n = 6
t = 20 cm, n = 7
t = 20 cm, n = 8
t = 25 cm, n = 6
t = 25 cm, n = 7
t = 25 cm, n = 8
 
Influência de Bw (2 faixas)
90
101
112
123
134
145
15 20 25
Bw (cm)
D
 (c
m
)
 
t = 15 cm, n = 9
t = 15 cm, n = 11
t = 15 cm, n = 14
t = 20 cm, n = 9
t = 20 cm, n = 11
t = 20 cm, n = 14
t = 25 cm, n = 9
t = 25 cm, n = 11
t = 25 cm, n = 14 
Influência de t (1 faixa)
100
112
124
136
148
160
15 20 25
t (cm)
D
 (c
m
)
 
t = 15 cm, n = 6
t = 15 cm, n = 7
t = 15 cm, n = 8
t = 20 cm, n = 6
t = 20 cm, n = 7
t = 20 cm, n = 8
t = 25 cm, n = 6
t = 25 cm, n = 7
t = 25 cm, n = 8
 
Influência de t (2 faixas)
90
101
112
123
134
145
15 20 25
t (cm)
D
 (c
m
)
 
t = 15 cm, n = 9
t = 15 cm, n = 11
t = 15 cm, n = 14
t = 20 cm, n = 9
t = 20 cm, n = 11
t = 20 cm, n = 14
t = 25 cm, n = 9
t = 25 cm, n = 11
t = 25 cm, n = 14 
Figura 8 - Gráficos D x Bw e D x t para pontes com 1 e 2 faixas de tráfego. 
Análise de pontes de madeira protendidas transversalmente formadas por vigas – T 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 30, p. 27-57, 2006 
39
2.3.3 Influência da espécie de madeira do tabuleiro na altura D 
 Com o objetivo de se verificar a influência da espécie de madeira do tabuleiro 
na altura D, estas alturas foram calculadas para pontes com as mesmas 
características (largura da ponte, largura das nervuras, altura do tabuleiro, número de 
nervuras e madeira Classe C 30 - Conífera para as nervuras), e então comparadas 
entre si, mudando-se apenas a madeira do tabuleiro (Classe C 30 - Conífera, Classe C 
30 - Dicotiledônea e Classe C 40 - Dicotiledônea). 
 Com os resultados obtidos, foi montada a tabela 5, que apresenta as alturas 
das nervuras para a ponte com 1 faixa de tráfego. Os resultados referentes às pontes 
com 2 faixas de tráfego são apresentados na tabela 6. 
 Estes resultados também podem ser visualizados na figura 9. 
 
 
Tabela 5 - Alturas das nervuras D para pontes com 1 faixa de tráfego (Bw, t, D em cm) 
CLASSES DE RESISTÊNCIA DAS MADEIRAS DO TABULEIRO 
n CLASSE C 30 
(CONÍFERA) 
CLASSE C 30 
(DICOTILEDÔNEA) 
CLASSE C 40 
(DICOTILEDÔNEA) 
Bw 
t 15 20 25 
Bw
t 15 20 25 
Bw
t 15 20 25 
4 15 
20 
25 
- 
192 
192 
- 
170 
169 
- 
154 
153 
15 
20 
25 
- 
194 
194 
- 
171 
171 
- 
155 
155 
15 
20 
25 
- 
192 
192 
- 
169 
170