Expansão do universo- Modelos alternativos de energia escura

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HERON BUSSOLIM BARBOSA
Modelos cosmo´logicos alternativos de energia escura
HERON BUSSOLIM BARBOSA
Modelos cosmo´logicos alternativos de energia escura
Orientador: Prof. Dr. Saulo Henrique Pereira
Relato´rio de iniciac¸a˜o cient´ıfica.
Guaratingueta´
2014
BUSSOLIM, H.B. Estudo expansa˜o do universo, modelos cosmolo´gicos,
cosmologia neo-newtoniana - Faculdade de Engenharia do Campus de Gua-
ratingueta´, Universidade Estadual Paulista, Guaratingueta´.
3
Resumo
A humanidade vem desde seu berc¸o procurando entender a natureza em sua
volta e seu lugar nela, com este esp´ırito comec¸amos a criar modelos e os
testamos sempre aprendendo algo novo e evoluindo para um entendimento
da verdade. Se´culos atra´s pensa´vamos que hav´ıamos achado nosso lugar com
o modelo de Newton no sec. XVII, que havia elaborado um conceito de
gravitac¸a˜o onde, por atrac¸a˜o entre massas, gerava uma forc¸a e com ela o
movimento, podendo este ser o lanc¸ar de uma pedra ou o movimento dos
planetas que orbitam o sol. Anos mais tarde pod´ıamos ver que era um bom
modelo para o sistema solar e planetas pro´ximos de no´s, mas na˜o para todo
o universo. Seu modelo foi substitu´ıdo por um que usava a resoluc¸a˜o das
equac¸o˜es de Einstein para a cosmologia, este modelo vem da relatividade
geral e tem como resultado as equac¸o˜es de Friedmann que sa˜o usadas para o
desenvolvimento deste projeto.
Tendo que a matema´tica usada no modelo de Relatividade e´ complexa,
podemos, como alternativa, buscar dentro da mecaˆnica newtoniana um modo
para chegar nestas equac¸o˜es. Para usarmos esta formulac¸a˜o proposta em
1934 por Milne & McCrea usamos a gravitac¸a˜o de Newton e as equac¸o˜es
da hidrodinaˆmica ba´sica, com a ideia de o universo se comportar como um
fluido onde as gala´xias e astros em geral esta˜o uniformemente distribu´ıdos,
o que na˜o e´ uma aproximac¸a˜o ruim tendo em vista que a distaˆncia entre
eles sa˜o ta˜o grandes que as interac¸o˜es sa˜o pequenas o suficiente para serem
desconsideradas. Para iniciar as deduc¸o˜es vamos tomar que a pressa˜o dentro
do universo e´ zero depois para uma abordagem mais realista com a natureza
usaremos o modelo FRW que considera uma pressa˜o diferente de zero.
Usando as equac¸o˜es de Friedmann e os dados obtidos analisando o redshift
de gala´xias observadas, estudaremos modelos contenso mate´ria barioˆnica,
mate´ria escura, energia escura e constante cosmolo´gica Λ, atrave´s de v´ınculos
com os dados observacionais.
Suma´rio
1 Uma abordagem neo-newtoniana! 3
1.1 Abordagem de Milne & McCrea com modelo FRW sem pressa˜o,
p = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Modelo com pressa˜o p 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Modelos Cosmolo´gicos 7
2.1 Como vemos o universo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Observac¸a˜o atrave´s do redshift . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Vı´nculos observacionais para diferentes modelos . . . . . . . . 12
2.3.1 Universo em sua maioria composta de mate´ria . . . . . 12
2.3.2 Universo em sua maioria composto de radiac¸a˜o . . . . 13
2.3.3 Universo em sua maioria composta de uma energia des-
conhecida (constante cosmolo´gica ou energia escura) . . 13
2.3.4 Chen- Wu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Conclusa˜o 19
Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2
Cap´ıtulo 1
Uma abordagem
neo-newtoniana!
Iremos utilizar neste cap´ıtulo uma abordagem mais simples matematicamente
para entendermos as equac¸o˜es de Friedmann e a deduzirmos. Iremos tambe´m
olhar esta parte da f´ısica, a cosmologia, com uma visa˜o semi-cla´ssica atrave´s
da mecaˆnica cla´ssica newtoniana.
Para deduc¸a˜o das equac¸o˜es de Friedmann na cosmologia neo- newtoni-
ana tomamos o universo com base nas leis da Hidrodinaˆmica cla´ssica, como
no modelo de Milne e McCrea de 1934 tem pressa˜o igual a zero justamente
porque a pressa˜o uniforme na hidrodinaˆmica cla´ssica na˜o desempenha qual-
quer caracter´ıstica dinaˆmica. Para resolver este problema McCrea e Harri-
son (1965) consideraram em suas formulac¸o˜es algumas caracter´ısticas rela-
tiv´ısticas, como o sistema massa e energia, tornando a mecaˆnica usada com
propriedades neocla´ssicas ou neo- newtoniana.
Para esta formulac¸a˜o consideramos o universo como uma nuvem de ga´s
homogeˆneo e pensando num fluido em expansa˜o onde as galaxias sa˜o part´ıculas
deste ga´s, esta nuvem e´ considerada muito grande, assim a nuvem garante
na˜o ter um fim e nem um centro, sendo uma nuvem homogeˆnea e isotro´pica
podemos fazer os ca´lculos com uma precisa˜o consideravelmente alta.
3
1.1 Abordagem de Milne & McCrea com mo-
delo FRW sem pressa˜o, p = 0.
Para um modelo com pressa˜o p = 0 temos que considerar a cinema´tica nuvem
do ga´s cosmolo´gico e o movimento das part´ıculas do ga´s e´ estritamente radial.
Vamos considerar que |~v| = v e |~r| = r com um observador em um tempo t.
Temos a Equac¸a˜o do movimento:
dv(r, t)
dt
= −GM(r)
r2
(1.1)
Com a densidade ρ = M
V
e o volume do universo considerando como esfera,
V = 4pir
3
3
, isolamos a massa na equac¸a˜o de densidade e substitu´ımos o vo-
lume. Usando, dv
dt
= ∂v
∂t
+v ∂v
∂r
podemos reescrever a equac¸a˜o (1.1) da seguinte
maneira;
∂v
∂t
+ v
∂v
∂r
= −4
3
piGρr (1.2)
A equac¸a˜o da continuidade em coordenadas esfe´ricas onde ρ depende apenas
do tempo, e´ dada por:
1
ρ
dρ
dt
+
1
r2
∂(r2v)
∂r
= 0 (1.3)
Como 1
ρ
dρ
dt
na˜o depende de r podemos supor uma func¸a˜o do tempo como:
1
ρ
dρ
dt
= −3H(t) (1.4)
Assim fica fa´cil de ver:
1
r2
∂(r2v)
∂r
= 3H(t) (1.5)
Se integrarmos a (1.5) em dr teremos:
v = rH(t) +
G(t)
r2
(1.6)
Substituindo a (1.6) na (1.3) e fazendo G(t) = 0 teremos:
H˙(t) +H(t)2 = −4
3
piGρ (1.7)
4
Usando 1
r
dr
dt
= H(t) integrando e definindo H(t) = 1
a
da
dt
, temos
r ∼ a(t) (1.8)
o a(t) seria uma func¸a˜o do tempo universal podemos mostrar pela (1.4):
H(t) =
1
ρ
dρ
dt
=
a˙
a
(1.9)
Uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o e´:
ρ(t) =
ρ0a0
3
a3
(1.10)
substituindo em em H(t) de (1.9) e com o resultado substitui em (1.7) tere-
mos:
2a¨ = −
8
3
piGa0
3ρ0
a3
(1.11)
integrando em dt:
a˙
2
=
4
3
piGa0
3ρ0
a2
+ C (1.12)
Se na equac¸a˜o 1.11 dividirmos por a e a 1.12 por a2 e somarmos ambas
teremos;
2
a¨
a
+
a˙2
a2
− 2E
a2
= 0 (1.13)
Esta equac¸a˜o e´ analoga a equac¸a˜o de Friedmann para um universo com P = 0,
se E = −k/2 e Λ = 0
1.2 Modelo com pressa˜o p 6= 0
Nesta parte iremos ver a abordagem de McCrea para p 6= 0, enta˜o faremos
duas considerac¸o˜es relativ´ısticas. Sendo elas:
a-) Teremos que considerar a equivaleˆncia entre massa e energia, o fluido
expandindo com p uniforme, vai realizar o trabalho com uma taxa
4pir2pdr
dt
perdendo energia interna, o fluido perde massa com a mesma
taxa. Assim:
d
dt
(4/3piρr3) = −4pir2pdr
dt
(1.14)
5
com a relac¸a˜o de velocidade onde v = rH(t) e tendo a relac¸a˜o de (1.9)
escrevemos:
ρ˙+ 3
a˙
a
(p+ ρ) = 0 (1.15)
b-) Distinc¸a˜o entre massa gravitacional e massa inercial (lei de Tolman),
onde a densidade σ de massa gravitacional efetiva de um sistema e´
dado:
σ = ρ+ 3p (1.16)
onde p e´ a pressa˜o e ρ e´ densidade de massa inercial.
Utilizando estes preceitos relativ´ısticos e a equac¸a˜o v = rH(t) obteremos
a analogia com as equac¸o˜es de Friedmann restantes.
Substitu´ımos ρ por σ na equac¸a˜o (1.7) usando a relac¸a˜o de (1.9) e sabendo
que H˙(t) = a¨a−1 − a˙2a−2 podemos enta˜o usar a relac¸a˜o de densidade massa
gravitacional da (1.16) e reescrever a (1.7)
a¨
a
= −4
3
piG(ρ+ 3p) (1.17)
Juntando esta equac¸a˜o a equac¸a˜o 1.16 e a 1.13 obtemos o analogo as
equac¸o˜es de Friedmann,que sa˜o:
a˙2
a2
+ k
a2
= 8
3
piGρ (1.18)
a¨
a
= −4
3
piG(ρ+ 3p)
ρ˙+ 3 a˙
a
(p+ ρ) = 0
k e´ a curvatura espacial, onde k = 0 (plano), k = +1 (fechado), k = −1
(aberto).
6
Cap´ıtulo 2
Modelos Cosmolo´gicos
Com o avanc¸o dos me´todos observacionais podemos ver diversos tipos de
comportamento do universo, e um deles talvez o mais intrigante e´ a expansa˜o
do universo que acontece de maneira acelerada ou desafio e´ encontrar um
modelo teo´rico que comporte esta acelerac¸a˜o, e veremos neste capitulo dois
modelos que fazem isso.
2.1 Como vemos o universo?
Para conseguirmos obter informac¸a˜o tomaremos algumas hipo´teses do que e´
feito o universo para isso usaremos uma equivaleˆncia entre massa e densidade
de energia (ρ). fazendo a analise dimensional vemos que a densidade de
energia e a pressa˜o esta˜o relacionados, e afim de de demostra- la escrevemos
a equac¸a˜o de estado:
p = ωρ (2.1)
onde ω e´ contante.
Tomando a equac¸a˜o (1.15) escrevemos:
ρ˙
ρ
= −3 a˙
a
(1 + ω) (2.2)
para resolvermos tomamos uma soluc¸a˜o da forma:
ρ(a(t)) = ρ0a
b(t)
ρ˙ = ρ0ba
b−1a˙
7
Com b constante, substituindo na equac¸a˜o (2.2) vemos que b = −3(ω + 1)
com isso temos
ρ ∝ a−3(ω+1) (2.3)
Poderemos analisar treˆs hipo´teses de formac¸a˜o do universo:
• Universo formado apenas por mate´ria, onde sua pressa˜o seria igual a zero:
(ω = 0)
ρ ∝ a−3 (2.4)
• Universo formado em grande parte por mate´ria quente ou radiac¸a˜o, onde
p = ρ/3:(ω = 1/3)
ρ ∝ a−4 (2.5)
• Universo formado em grande parte por energia de va´cuo quaˆntico, onde
p = −ρ:(ω = −1)
ρ = constante (2.6)
Usando a equac¸o˜es (1.15) e o resultado da soma de (1.17) e (1.19) podemos
chegar na seguinte relac¸a˜o:
a˙+ k =
8piGρa2
3
(2.7)
Esta e´ a equac¸a˜o fundamental de Friedmann que governa a expansa˜o do
Universo. Resolvermos a equac¸a˜o (1.15) para encontrarmos uma func¸a˜o de
a(t), independente da relac¸a˜o de a e ρ e podemos com isso usar a (2.7) e
acharmos importantes concluso˜es sobre caracter´ısticas da expansa˜o. Como
tendo p sempre positivo e k = 0, que se refere a geometria plana que viemos
trabalhando, achamos uma densidade critica atual para qualquer valor da
constante de Hubble H0 ≡ a˙(to)/a(to):
ρ0 =
3H0
2
8piG
= 1, 878× 10−29h2g/cm3 (2.8)
Onde h e´ a constante de Hubble em unidades de 100 km s−1 Mpc−1. Para
qualquer curvatura espacial podemos ter uma mistura com partes de mate´ria
na˜o relativ´ıstica (Ωm0), radiac¸a˜o(Ωr0) e energia de va´cuo(ΩΛ0) enta˜o, da (2.7)
com k = 0 e das eqs. (2.4), (2.5), (2.6) :
ρ =
3H0
2
8piG
[
ΩΛ0 + Ωm0
(
a0
a
)3
+ Ωr0
(
a0
a
)4]
(2.9)
8
Onde;
Ωi =
ρ0,i
ρ0,crit
(2.10)
usando a (2.7) vemos:
ΩΛ0 + Ωm0 + Ωr0 + Ωk0 = 1 (2.11)
onde Ωk0 ≡ ka20H20 Segundo a 2.7 usando a 2.9 e a 2.11 escrevemos este
modelo como:
H2 = H0
2
[
ΩΛ0 + Ωm0
(
a0
a
)3
+ Ωr0
(
a0
a
)4
+ (1− ΩΛ0 − Ωm0 + Ωr0)
(
a0
a
)2]
(2.12)
Onde H ≡ a˙
a
e´ o parametro de Hubble. Este e´ o modelo padra˜o da cosmologia
atual. Com isso podemos analisar o que observamos do nosso Universo.
2.2 Observac¸a˜o atrave´s do redshift
Quando observamos gala´xias podemos detectar sua frequeˆncia e atrave´s do
efeito Doppler determinar sua velocidade e a direc¸a˜o da mesma. Com esta
relac¸a˜o podemos ver a frequeˆncia diminuir e como estamos falando da luz que
recebemos de gala´xias ela desvia para o vermelho (redshift), isso significa
um afastamento entre estas gala´xias, e se ela desvia para o azul (blueshift)
uma aproximac¸a˜o. Atrave´s das observac¸o˜es feitas em laborato´rios terrestres
vemos um desvio que indica o redshift, enta˜o temos que obter uma maneira
de med´ı-lo. Temos o paraˆmetro:
dt = ±a(t) dr√
1− kr2 (2.13)
para k = 0 temos
r(t) =
∫ t0
t1
dt
a(t)
(2.14)
se consideramos um universo esfe´rico podemos tirar uma relac¸a˜o geome´trica:
∆t1
a(t1)
=
∆t0
a(t0)
(2.15)
como νi = 1/ti enta˜o:
ν0/ν1 = a(t1)/a(t0) (2.16)
9
Com o redshit o fator a(t1)/a(t0) vem aumentando isso significa um aumento
no comprimento de onda enta˜o temos um paraˆmetro 1 + z e logo vemos:
a(t1)
a(t0)
= 1 + z (2.17)
Voltando enta˜o para a (2.14) e multiplicando o numerador e o denominador
do integrando por a0, onde a0 ≡ a(t0) chegamos na seguinte relac¸a˜o:
r(t) =
∫ t0
t1
dt
a0
(1 + z) (2.18)
Procuraremos uma forma de substituir (1+z)dt. Podemos partir da definic¸a˜o
de 1 + z = a0/a derivando em dt os dois lados ontemos:
dz
dt
= −a0
a2
da
dt
(2.19)
Lembrando que a˙
a
= H(t) podemos escrever:
dz
H(t)
= (1 + z)dt (2.20)
Continuando a (2.18) temos:
r(t) =
∫ t0
t1
1
a0
(−dz)
H(t)
=
∫ z
0
dz
a0H(z)
(2.21)
enta˜o;
H(z) = H0E(z) (2.22)
Usando a (2.12),
H2 = H0
2
[
ΩΛ0 + Ωm0 (1 + z)
3 + Ωr0 (1 + z)
4 + (1− ΩΛ0 − Ωm0 + Ωr0) (1 + z)2
]
(2.23)
Agora temos uma func¸a˜o em paraˆmetro do redshift e poderemos usar os
dados observacionais. Os dados recentes de H(z)× z obtidos de observac¸o˜es
de gala´xias e aglomerado de gala´xias esta˜o apresentados na Figura 2.1:
10
Figura 2.1: Valores recentes de H(z) × z para diferentes observac¸o˜es de
gala´xias e aglomerado de gala´xias.(Dados de 2014, obtidos de [5])
11
Figura 2.2: Pontos observados e func¸a˜o H(z) para um universo composto
basicamente de mate´ria
2.3 Vı´nculos observacionais para diferentes mo-
delos
2.3.1 Universo em sua maioria composta de mate´ria
Quando observamos e tentamos ver do que e´ constitu´ıdo o universo pode-
mos analisar atrave´s da (2.23) a relac¸a˜o de energia existente no universo e
sua composic¸a˜o. Supondo um universo composto basicamente de mate´ria
(99,5%)e radiac¸a˜o (0,5%) temos: ΩΛ0 = 0, 000,Ωm0 = 0, 995,Ωr0 = 0, 005
constitu´ımos enta˜o o gra´fico (Figura 2.2) com estes ajustes na func¸a˜o (2.23).
Vemos no gra´fico que o ajuste realmente na˜o satisfaz os dados observacionais
o que indica que o modelo de um universo composto basicamente de mate´ria
na˜o seria o mais apropriado.
12
Figura 2.3: Pontos observados e func¸a˜o H(z) para um universo composto
basicamente de radiac¸a˜o
2.3.2 Universo em sua maioria composto de radiac¸a˜o
Qundo ajustamos a func¸a˜o para um universo onde a maioria e´ feita de ra-
diac¸a˜o (95%) com um pouco de mate´ria (5%) temos: ΩΛ0 = 0, 000,Ωm0 =
0, 050,Ωr0 = 0, 950. Temos enta˜o o gra´fico (Figura 2.3) que mostra a func¸a˜o
em comparac¸a˜o aos pontos observados. Vemos novamente que o modelo na˜o
tem acordo com os dados observados.
2.3.3 Universo em sua maioria composta de uma ener-
gia desconhecida (constante cosmolo´gica ou ener-
gia escura)
Neste ajuste usamos uma quantidade de energia desconhecida para enten-
dermos o universo sendo 70% de energia escura ou constante cosmolo´gica,
29,5% de mate´ria e 0,5% de radiac¸a˜o. Ajustamos para comparar com os
dados observados onde ΩΛ0 = 0, 700,Ωm0 = 0, 295,Ωr0 = 0, 005. O resultado
13
Figura 2.4: Pontos observados e func¸a˜o H(z) para um universo composto de
70% de energia escura ou constante cosmolo´gica e 30% de radiac¸a˜o e mate´ria.
que podemos ver na Figura 2.4. E´ um resultado que concorda muito bem
com o que observamos. Apesar de agora o modelo que temos ser compat´ıvel
com o que observamos ainda vemos que este e´ composto por uma energia
desconhecida e esta ocupa 70% da energia existente no universo.
2.3.4 Chen- Wu
Em 1990 temos o modelo de Chen- Wu que nos mostra atravez de analises
dimensionais uma nova concepc¸a˜o para a constante cosmologica:
Λ =
α
an
(2.24)
O n tendo variac¸o˜es conseguimos resgatar modelos como o que viemos traba-
lhando. Para cada ajuste n temos quantidades de energia que varia tambe´m.
Supondo uma geometria plana, ou seja k = 0 teremos as equac¸o˜es de Fried-
mann da seguinte maneira:
8piGρm +α
an
= 3H2
14
Figura 2.5: Modelo de Chen- Wu para H(z) com n = 0.
d
da
(ρa3) =
nα
8piGan−2
Onde ρm seria a densidade de energia de mate´ria. Usando estes equac¸o˜es
para determinar em paraˆmetros de redshift e sabendo que a0/a = 1 + z
temos:
H2 = H20
[(
n− 3Ωm0
n− 3
)
(z + 1)3 +
(
3ΩΛ0
n− 3
)
(z + 1)n
]
(2.25)
Comparamos as func¸o˜es com ajustes de densidade de energia de mate´ria, de
energia escura e n com os dados observados constru´ımos os seguintes gra´ficos:
i. Com n = 0 teremos ΩΛ0 = 0, 700 e Ωm0 = 0, 300 (Figura 2.5).
ii. Com n = 1 teremos ΩΛ0 = 0, 550 e Ωm0 = 0, 450 (Figura 2.6).
iii. Com n = 2 teremos ΩΛ0 = 0, 360 e Ωm0 = 0, 640 (Figura 2.7).
iv. Com n ∼ 3 teremos ΩΛ0 = 0, 225 e Ωm0 = 0, 775 (Figura 2.8).
15
Figura 2.6: Modelo de Chen- Wu para H(z) com n = 1.
16
Figura 2.7: Modelo de Chen- Wu para H(z) com n = 2.
17
Figura 2.8: Modelo de Chen- Wu para H(z) com n ∼ 3.
18
Cap´ıtulo 3
Conclusa˜o
A principio usamos um modelo de geometria plana, k = 0, para formular
equac¸o˜es que nos ajudam a entender caracter´ısticas do universo. Que sa˜o
as equac¸o˜es de Friedmann, usamos uma abordagem neo-newtoniana que na˜o
tem a necessidade da a´lgebra tensorial complicada abordada pela relativi-
dade geral.tendo enta˜o uma concepc¸a˜o da cosmologia a partir da mecaˆnica
cla´ssica e muito pouco da relatividade, essencial para o desenvolvimento de
um primeiro modelo.
Usando as equac¸o˜es analisamos quantidades de energia para diferentes
configurac¸o˜es do universo, dentre elas a mate´ria na˜o relativ´ıstica, a radiac¸a˜o
ou mate´ria quente e um modelo de energia desconhecida ou energia escura,
que se mostrou um melhor candidato quando comparamos os modelos com os
dados observados, o que levou a uma questa˜o; O que poderia ser esta energia
desconhecida?
Neste modelo vimos que temos 70% de energia escura compondo a com-
posic¸a˜o do universo, atrave´s de observac¸o˜es sabemos que o universo esta em
expansa˜o e acelerada, se sua composic¸a˜o for basicamente com Mate´ria ou
radiac¸a˜o na˜o faz sentido f´ısico estar expandindo de maneira acelerada, ja
que a gravidade tem caracter´ıstica atrativa, mas com 70% de energia escura
podemos associar a expansa˜o acelerada a` ela, por isso e´ atribu´ıdo a ela a
caracter´ıstica de ter uma pressa˜o negativa.
19
20
Refereˆncias
[1] A. G. Riess et al., Astrophys. J. 607, 665 (2004). P. Astier et al., Astron.
Astrophys. 447, 31 (2006).
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[3] J. C. Fabris; H. E. S. Velten, Rev. Bras. Ens. Fis. 34, 4302 (2012).
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[9] S. H. Pereira, Rev. Mex. F´ısica E 57, 11 (2011).
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SP.
21