Resumo sobre Mecânica

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MECÂ NICA 
 
Cinemática e dinâmica da 
partícula a duas dimensões 
 
A posição de uma partícula, num dado 
instante, pode ser indicada por um vetor 
posição, 𝑟 , cuja origem coincide com a 
origem 0 de um referencial cartesiano e cuja 
extremidade coincide com a posição da 
partícula nesse instante. 
 
Quando uma partícula se encontra em 
movimento em relação a um referencial, a 
sua posição varia no decorrer do tempo e o 
movimento pode ser descrito através das 
equações paramétricas ( x = x(t) / y = y(t) / z 
= z(t) ) ou da Lei do movimento ( 𝑟(𝑡) =
𝑥(𝑡)𝑒𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦(𝑡)𝑒𝑦⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑧(𝑡)𝑒𝑧⃗⃗ ⃗⃗ ) 
 
O deslocamento Δ𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ é uma grandeza 
vetorial que indica a variação de posição de 
uma partícula no seu movimento, num dado 
intervalo de tempo, em que Δ𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟2⃗⃗⃗⃗ − 𝑟1⃗⃗⃗ ⃗. 
 
A velocidade média é uma grandeza vetorial 
que se calcula 𝑉𝑚⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 
Δ𝑟⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Δ𝑡. 
 
Nos movimentos retilíneos só pode haver 
aceleração tangencial e nos movimentos 
curvilíneos há sempre aceleração normal. 
 
De acordo com a Segunda Lei de Newton, a 
força resultante, 𝐹𝑟⃗⃗⃗⃗ , pode ser decomposta 
em duas componentes, uma tangencial e 
outra normal à trajetória, se considerarmos 
um referencial associado à partícula. 
 
Movimentos sob a ação de uma 
força resultante de módulo 
constante 
 
Uma força que atua num corpo segundo a 
direção da velocidade só faz aumentar ou 
diminuir o módulo da velocidade, não altera 
a sua direção. A trajetória é retilínea. 
 
Uma força que atua num corpo segundo a 
direção perpendicular à velocidade só faz 
variar a direção da velocidade, não altera o 
seu módulo. A trajetória é circular. 
 
Uma força que atua num corpo numa 
direção oblíqua relativamente à direção da 
velocidade faz variar a direção e o módulo 
da velocidade. A trajetória é curvilínea. 
 
O movimento de uma partícula sujeita a 
uma força resultante constante, com 
direção diferente da velocidade inicial, pode 
ser decomposto num movimento 
uniformemente variado (na direção da 
força resultante) ou uniforme (na direção 
perpendicular). 
 
O movimento de um projétil é um caso 
particular de um movimento sob a ação de 
uma força resultante constante, quando é 
desprezável a resistência do ar. 
 
O lançamento de um projétil pode ser: 
 vertical, onde a força resultante 
constante (força gravítica) tem a 
direção da velocidade inicial e o 
movimento é retilíneo 
uniformemente variado (retardado 
na subida e acelerado na descida). 
 horizontal, onde o movimento é 
uniforme segundo a direção do eixo 
dos xx. 
 
Quando a resistência do ar não é 
desprezável, a trajetória do projétil não é 
parabólica. O alcance e a altura máxima da 
trajetória são inferiores aos valores que se 
obtêm quando se despreza a resistência do 
ar. 
 
Movimentos de corpos sujeitos a 
ligações 
 
As forças aplicadas são forças que atuam 
num corpo independentemente das 
ligações ou vínculos a que o corpo está 
sujeito. 
 
As forças de ligação são forças que se 
exercem pelo facto de um corpo esta sujeito 
a ligações ou vínculos e que restringem a 
trajetória do corpo. O seu módulo depende 
do módulo das forças aplicadas e, em 
situações de movimento, das características 
do movimento. 
 
As forças de atrito (forças não conservativas) 
são forças de ligação, existem sempre que 
um corpo se move ou tende a mover-se 
sobre outro, são forças que tendem a opor-
se ao deslizamento entre as superfícies em 
contacto e dependem do material de que 
são feitas as superfícies em contacto e do 
seu polimento. 
 
Se a intensidade da força aplicada, �⃗� , 
aumentar, há um momento em que o corpo 
inicia o seu movimento. A força de atrito 
estático atinge nesse instante a sua 
intensidade máxima; designa-se por força 
de atrito estático máxima, 𝐹𝑎 𝑚á𝑥.⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
Uma vez iniciado o movimento, a força de 
atrito passa a designar-se por força de atrito 
cinético, �⃗�𝑎𝑐 , sendo a sua intensidade 
inferior à da força de atrito estático máximo 
para as mesmas superfícies. 
 
A Primeira Lei diz que a força não depende 
da área (aparente) de contacto das 
superfícies. 
 
A Segunda Lei diz que quando duas 
superfícies estão em repouso relativo, a 
intensidade máxima da força de atrito 
estático é diretamente proporcional à 
intensidade máxima da reação normal, �⃗⃗⃗�. 
 
Os coeficientes de atrito estático e de atrito 
cinético, μe e μc, dependem da natureza dos 
materiais em contacto e do seu polimento. 
Verifica-se que, em geral, é μc < μe. 
 
Centro de massa e momento 
linear de sistemas de partículas 
 
Um corpo rígido é um sistema de partículas 
que mantêm as suas posições relativas. 
 
Um sistema de partículas é um sistema 
constituído por um número finito de 
partículas, em que as posições relativas das 
partículas podem variar no decurso do 
movimento. 
 
Um centro de massa é um ponto onde se 
considera estar toda a massa do sistema e 
se aplica a resultante das forças exteriores 
que atuam no sistema. 
 
O vetor posição do centro de massa, 𝑟𝐶𝑀, de 
um sistema de N partículas é igual à média, 
ponderada pelas massas, dos vetores 
posição das partículas do sistema. 
 
O momento linear de uma partícula, 𝑝 , é 
uma grandeza física vetorial igual ao 
produto da massa pela velocidade da 
partícula. 
 
O momento linear de um sistema de N 
partículas, 𝑝𝑠𝑖𝑠𝑡. , é igual à soma dos 
momentos lineares das partículas 
constituintes do sistema: 𝑝𝑠𝑖𝑠𝑡.= ∑ 𝑝 𝑖⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑛𝑖=0 . 
A Segunda Lei de Newton aplicada a um 
sistema de partículas, cita que a resultante 
das forças exteriores que atuam sobre um 
sistema de partículas é igual ao produto da 
massa total do sistema pela aceleração do 
seu centro de massa ou a resultante das 
forças exteriores que atuam sobre um 
sistema de partículas é igual à taxa de 
variação temporal do momento linear do 
sistema. 
 
A Lei da Conservação do Momento Linear 
cita que se a resultante das forças exteriores 
que atuam num sistema for nula, o 
momento linear do sistema permanece 
constante. 
 
Numa colisão, em que a resultante das 
forças exteriores seja desprezável, há 
conservação do momento linear. 
 
As forças de colisão são forças interiores ao 
sistema e, em geral, de intensidade muito 
superior à das forças exteriores. As colisões 
podem ser: 
 colisões elásticas têm conservação 
do momento linear e da energia do 
sistema. 
 Colisões inelásticas apenas 
conservam o momento linear do 
sistema. 
 
Quando numa colisão inelástica a energia 
diminui o máximo possível, a colisão diz-se 
perfeitamente inelástica, onde as partículas 
adquirem a mesma velocidade. 
 
O coeficiente de restituição, e = 
𝑉𝑏 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙− 𝑉𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 
𝑉𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙− 𝑉𝑏𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
, razão entre a velocidade 
de afastamento e a velocidade de 
aproximação. 
 
Fluidos 
 
Os fluidos (líquidos e gases) são materiais 
capazes de escoar, isto é, de fluir através de 
uma abertura no recipiente onde estão 
contidos. 
 
A massa volúmica, p, ou densidade de um 
material, é igual a 
𝑚
𝑣
, onde m é massa e v é 
volume. 
 
A densidade relativa, d, de um material é 
dada por 
𝑝𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙
𝑝𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜
. 
 
A pressão é um módulo da força exercida 
perpendicularmente a uma superfície, por 
unidade de área, onde 
𝐹
𝐴
. 
 
A força de pressão é a força perpendicular à 
superfície sobre a qual atua. 
 
Num fluido em equilíbrio hidrostático, a 
resultante das forças de pressão que se 
exercem num ponto do fluido, em todas as 
direções, é nula. 
 
A Lei Fundamental da Hidrostática cita que 
num líquido homogéneo, em equilíbrio 
hidrostático, a diferença de pressão entre 
dois pontos A e B, no interior do líquido, 
depende da massa volúmica do líquido e da 
diferença de nível entre esses dois pontos. 
 
A Lei de Pascal cita que qualquer variação 
de pressão num ponto de um fluido em 
equilíbrio hidrostático transmite-se 
integralmente a todos os pontos do fluido e 
às paredes do recipiente que o contém. 
 
A impulsão é a resultantedas forças de 
pressão que um fluido exerce sobre um 
corpo total ou parcialmente imerso nele. 
 
A Lei de Arquimedes cita que qualquer 
corpo mergulhado total ou parcialmente 
num fluido sofre, por parte deste, uma 
impulsão, que é uma força vertical, dirigida 
de baixo para cima e de intensidade igual à 
do peso do volume de fluido deslocado pelo 
corpo, em que I = p g V, I é impulsão, p é 
massa volúmica e V é o volume do fluido 
deslocado. 
 
O equilíbrio de corpos flutuantes acontece 
quando um corpo maciço é totalmente 
imerso num fluido e, em seguida, é largado, 
três situações podem ocorrer: 
 Pcorpo > Pfluido, o corpo afunda; 
 Pcorpo = Pfluido, o corpo flutua; 
 Pcorpo < Pfluido, o corpo sobe. 
 
Quando um corpo pequeno se desloca num 
fluido com velocidade baixa, a força de 
resistência ao movimento varia linearmente 
com a velocidade e tem sentido oposto a 
esta. 
 
Quando um corpo tem grandes dimensões 
ou se desloca num fluido, com velocidade 
elevada, o módulo da força de resistência 
ao movimento é proporcional ao quadrado 
da velocidade do corpo