Lista 3

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Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral II
Professor: Eduardo Lenho
Curso: Engenharia Per´ıodo: 2016.1
Lista de Exerc´ıcios: Derivadas Parciais
1) Se f(x, y) = 16− 4x2 − y2, determine fx(1, 2) e fy(1, 2) e interprete esses
nu´meros como inclinac¸o˜es atrave´s de uma ilustrac¸a˜o
2) Determine as derivadas parciais de primeira ordem indicadas
a) f(x, y) = 3x− 2y4, fx(x, y), fy(x, y)
b) f(x, y) = xe3y, fx(x, y), fy(x, y)
c) f(x, y, z) =
y
x + y + z
, fy(2, 1,−1)
3) Use a derivac¸a˜o impl´ıcita para calcular ∂z/∂x e ∂z/∂y
a) x2 + y2 + z2 = 3xyz
b) sen(xyz) = x + 2y + 3z
4) Use a regra da cadeia para determinar
a) dz/dt
z = x2y + xy2, x = 2 + t4, y = 1− t3
b) ∂z/∂s, ∂z/∂t
z = x2y3, x = s cos t, y = s sent
5) A temperatura em um ponto (x, y) e´ T (x, y), medida em graus Celsius.
Um inseto rasteja de modo que sua posic¸a˜o depois de t segundos seja dada
por x =
√
1 + t, y = 2 + 1
3
t, onde x e y sa˜o medidos em cent´ımetros. A
func¸a˜o temperatura satisfaz Tx(2, 3) = 4 e Ty(2, 3) = 3. Qua˜o ra´pido a
temperatura aumenta no caminho do inseto depois de treˆs segundos?
6) A produc¸a˜o W de trigo em um determinado ano depende da
temperatura me´dia T e da quantidade anual de chuva R. Cientistas
estimam que a temperatura me´dia anual esta´ crescendo a uma taxa de 0,15
graus Celsius por ano e a quantidade anual de chuva esta´ decrescendo a
1
uma taxa de 0,1 cm/ano. Eles tambe´m estimam que, no atual n´ıvel de
produc¸a˜o, ∂W/∂T = −2 e ∂W/∂R = 8.
a) Qual e´ o significado do sinal dessas derivadas parciais?
b) Estime a taxa de variac¸a˜o corrente da produc¸a˜o de trigo dW/dt
7) O comprimento l, a largura w, e a altura h de uma caixa variam com o
tempo. Em um certo instante, as dimenso˜es da caixa sa˜o l = 1 m, e
w = h = 2 m, l e w aumentam a uma taxa de 2 m/s, ao passo que h
diminui a taxa de 3 m/s. Nesse instante, determine as taxas nas quais as
seguintes quantidades esta˜o variando
a) o volume
b) a a´rea da superf´ıcie
Respostas
1)
• fx(1, 2) = −8, inclinac¸a˜o de C1 (veja o gra´fico) no ponto dado;
• fy(1, 2) = −4, inclinac¸a˜o de C2 (gra´fico) no ponto dado;
2)
a) 4(2xy + y2)t3 − 3(x2 2xy)t2
b)
• ∂z
∂s
= 2xy3 cos t− 3x2y2 sent;
• ∂z
∂t
= −2sxy3sent + 3sx2y2 cos t
2
3)
a)
• ∂z
∂x
=
3yz − 2x
2z − 3xy
• ∂z
∂y
=
3xz − 2y
2z − 3xy
b)
• ∂z
∂x
=
1− yz cos(xyx)
xy cos(xyz)− 3
• ∂z
∂y
=
2− cos(xyz)xz
xy cos(xyz)− 3
4)
a) fx(x, y) = 3, fy(x, y) = 8y
3
b) fx(x, y) = e
3y, fy(x, y) = 3xe
3y
c) 1/4
5) 2◦C/s
6)
a) Os sinais indicam que a produc¸a˜o de trigo decresce com o aumento da
temperatura me´dia anual e a produc¸a˜o cresce com a diminuic¸a˜o da
quantidade anual de chuva, respectivamente.
b) -1,1 produc¸a˜o de trigo/ano
7) a) 6 m3/s, b)10 m2/s
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